Cote n° 142, pages 41–60

Cote n° 142 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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41p. 23 de l'auteur. La page achève une suite de calculs commencée avant ce lot : les formules (76) à (79) auxquelles elle renvoie n'y figurent pas. Le reste du feuillet est blanc.

l'égalité du $\beta'$ défini par cette équation ⌜les formules équivalentes,⌝ avec celui défini par (76), ou (76$'$) ou (77), ou le fait que $\beta'$ (vu l'équation (78), écrite en choisissant pour $\beta'$ défini par l'une des formules (76) à (77), ou par la formule (79) — ce qui donne la formulation la plus simple.

La sphère à trois points marqués

Nouvelle suite, paginée 1 à 11 par l'auteur sur les pages 43 à 60 de ce lot ; elle se poursuit au-delà. Les lettres qu'il souligne pour désigner des ensembles à deux éléments ($\boldsymbol{\varpi}$, $\boldsymbol{\omega}$, $\boldsymbol{\varepsilon}$) sont rendues en gras.

43p. 1 de l'auteur. Attention : ne pas confondre la notation […] avec celles des […] $\alpha_i, \beta_i, \beta'_i, \gamma_i, \gamma'_i$ […] (1)…

Considérons une 2-sphère conforme $\Sigma$ avec une partie $J$ à trois éléments, \[J \subset \Sigma, \qquad J = (R_i)_{i \in J}\] de sorte que le groupe $\mathfrak{S}_J$ opère sur $\Sigma$ par automorphismes orientés directs, et aussi étant entendu que le groupe des automorphismes $\mathfrak{S}_J \times \{1,\tau\}$ le groupe des ⌜conformes⌝ de la situation $(\Sigma, J)$ est \[\Gamma_{\Sigma,J} = \Gamma \simeq \mathfrak{S}_J \times \{1, \tau\}\] où $\tau$ est l'unique antiautomorphisme $\neq 1$ […] qui fixe les $R_i$ […] ($\tau$ = conjugaison complexe). NB L'antipodisme ne fait pas partie de $\Gamma$, car il ne stabilise pas $J$. […] dans la catégorie des $(\Sigma, J)$ équivalente (2) […] $(J, \boldsymbol{\varpi})$, $\boldsymbol{\varpi} \in (\mathrm{Ens}_2)$ […], et $\boldsymbol{\varpi} \in (\mathrm{Ens}_2)$ […] $J$ plus bas. Il y a sur $\Sigma$ une unique métrique riemannienne homogène invariante ⌜à scalaire $\lambda \in \mathbf{R}^{*+}$ près⌝ par $\mathfrak{S}_J$, par laquelle, qui nous permet d'identifier canoniquement $\Sigma$ à la sphère unité dans un espace vectoriel réel euclidien $E_3$. On pose \[(3)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \boldsymbol{\varpi} = \Omega(\Sigma) \simeq \Omega(E_3) & \text{ens. des deux orientations} \\ & \text{de } \Sigma \text{, ou de } E \\ \boldsymbol{\omega} = \Omega(J) \simeq \Omega(\Sigma_{\mathbf{R}}) & \\ \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbf{R}}) = \pi_0(E \setminus V) = \pi_0\big((E/V)^{*}\big) & \end{array} \right.\] On pourrait écrire $V(J, \boldsymbol{\omega})$, $E(J, \boldsymbol{\varpi})$. (3 bis) On a $\boldsymbol{\omega} \wedge \boldsymbol{\varepsilon} \wedge \boldsymbol{\varpi} = 1$, i.e. […] — pour la comm. des orientations voir plus loin (4). où $V$ est le $\mathbf{R}$-sous-espace vectoriel de $E$ engendré par les $R_j$, qui est de dimension 2, et où \[\Sigma_{\mathbf{R}} = \Sigma \cap V \qquad \text{cercle euclidien du plan euclidien } V .\]

44On aura dans $V$ \[(4)\quad \sum_{j \in J} R_j = 0\] ce qui donne un isomorphisme \[(5)\quad V \simeq V_J(\mathbf{R}) = \operatorname{Ker}\big(\mathbf{R}^J \xrightarrow{\ \text{somme}\ } \mathbf{R}\big)\] et on a, vu la formule (3) \[(6)\quad \Delta = V^{\perp} \simeq \mathbf{R}(\boldsymbol{\varepsilon})\] (isom. compatible avec la structure quadratique), $\Delta$ « axe polaire », orth. de $V$ dans $E$, donc \[(7)\quad E \simeq V_J(\mathbf{R}) \oplus \mathbf{R}(\boldsymbol{\varepsilon}) \qquad \text{isom. d'espaces euclidiens}\] où dans $V_J(\mathbf{R})$ on prend la seule forme quadratique $q$ pour laquelle les $R_j$ soient unitaires satisfont de carré un \[q(R_j) = 1\] (si […] $q$ […] prend une base formée de $R_i, R_j$, […] $R_k$ de coordonnées $(-1,-1)$, la forme quadratique en question est $x^2 - xy + y^2$). Il est clair, […] $q$ […] invariante sous l'opération de $\mathfrak{S}_J$ sur $V(J)$. Dans le plan euclidien $V$, les $R_i$ forment les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité. L'opération de $\mathfrak{S}_J$ sur $E$ se fait par son opération […] tautologique sur $V(J)$, et l'opération par $\operatorname{sg}(g)$ sur $\Delta$ :

45p. 2 de l'auteur. \[(8)\quad g_E = \underbrace{g_{V_J(\mathbf{R})}}_{\text{tautol.}} \oplus \operatorname{sg}(g)\, \mathrm{id}_{\Delta}\] L'opération de $\tau$ est donnée par \[(9)\quad \tau_E = \mathrm{id}_{V_J(\mathbf{R})} \oplus (-\mathrm{id}_{\Delta})\] Je pose \[(10)\quad \Sigma^{*} = \Sigma \setminus J = \Sigma - \{R_i \mid i \in I\}\] $I$ pour $J$, tel quel sur la page.

et je m'intéresse au groupoïde fondamental de $\Sigma^{*}$, comme exercice préliminaire de syntaxe galoisienne, avant de regarder des situations ⌜un peu⌝ plus complexes (le triangle équilatéral remplacé par d'autres configurations riches en symétries sur la sphère, voire sur d'autres surfaces que la sphère, — celle-ci étant remplacée par la fibre de Hopf, en vue des applications au calcul des groupoïdes de Teichmüller…).

Il est commode d'introduire une compactification de $\Sigma^{*}$, pour disposer aussi de pts-base « proches » de chaque $R_i$.

46La construction de l'éclatement réel et de la contraction […] dans les variétés $C^\infty$ et […] analytiques réelles. Pour ceci considérons l'éclaté réel de $\Sigma$ en $J$, soit $\Sigma'$, dans lequel l'image inverse de $i \in J$ s'identifie à l'espace la droite projective réelle \[(11)\quad \Sigma'_{R_i} \simeq P(T_{\Sigma,R_i})\] ($T_{\Sigma,R_i}$ espace tangent à $\Sigma$ en $R_i$, identifié à $T^{*}_{\Sigma,R_i}/\mathbf{R}^{*}$), qui est un cercle plongé dans la surface compacte $\Sigma'$ (qu'on peut considérer comme obtenue en enlevant de la sphère trois rondelles autour des $R_i$, et y recollant des rubans de Möbius — on obtient une surface non orientable dont le genre $\chi_!$ est égal à \[\chi_!(\Sigma) - 3\chi_!(\text{rondelle ouverte}) + 3\big(\underbrace{\chi_!(\text{ruban Möbius})}_{0}\big) = 2 - 3 = -1 = 1 - g ,\] donc le genre est $2$). Le découpage de cette surface suivant $\bigcup \Sigma'_{R_i}$ est une surface à bord compacte $\widetilde{\Sigma}$, avec $\partial\widetilde{\Sigma}$ un rev. double de $\coprod \Sigma'_{R_i}$, donc soit en fait \[(12)\quad \partial\widetilde{\Sigma} \simeq \coprod_{i \in I} TU_{\Sigma,R_i}\] (cercle tangent unitaire à $\Sigma$ en $R_i$, identifiable à $T^{*}_{\Sigma,R_i}/\mathbf{R}^{*+}$), noté aussi $U_i$. $\widetilde{\Sigma}$ est une sphère à bord à trois trous. $\widetilde{\Sigma}^{\circ}$ […] munie d'une structure conforme, mais celle-ci ne se prolonge pas à $\widetilde{\Sigma}$.

47p. 3 de l'auteur. On a des équivalences de catégories \[(13)\quad \operatorname{Rev\,et}(\widetilde{\Sigma}) \xrightarrow[\text{équiv}]{\ \approx\ } \operatorname{Rev\,et}(\widetilde{\Sigma}^{\circ}) \xrightarrow[\text{iso}]{\ \sim\ } \operatorname{Rev\,et}(\Sigma^{*})\] déduites de l'inclusion \[\widetilde{\Sigma}^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{\Sigma} \setminus \partial\widetilde{\Sigma} = \widetilde{\Sigma} \,|\, \Sigma^{*} \hookrightarrow \widetilde{\Sigma}\] et de l'isomorphisme \[\widetilde{\Sigma}^{\circ} \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma^{*},\] d'où une équivalence entre les groupoïdes fondamentaux au sens large (cf. les objets sont les rev. étales 1-connexes) \[(14)\quad \Pi_1(\widetilde{\Sigma}) \longrightarrow \Pi_1(\Sigma^{*})\] et en composant avec \[\Pi_1(U_i) \longrightarrow \Pi_1(\widetilde{\Sigma})\] déduit de l'inclusion $U_i \hookrightarrow \widetilde{\Sigma}$, on trouve \[(15)\quad \Pi_1\Big(\coprod U_i\Big) \longrightarrow \Pi_1(\Sigma^{*}) .\] Nous allons représenter graphiquement l'homomorphisme 14, en « dessinant » $\widetilde{\Sigma}$ sur $\Sigma^{*}$, comme une région qui serait contenue dans $\Sigma^{*}$ en lui enlevant ⌜l'intérieur de⌝ trois disques ⌜fictifs⌝ $\Delta_i$ « infiniment petits » (s'identifiant aux disques unités des $T_{\Sigma,R_i}$, ou encore aux cônes sur les $U_i$), et on se représentera (14) comme provenant d'une telle inclusion fictive. Plus précisément, au lieu de travailler […] […] trois trous […] sur $\widetilde{\Sigma}$ […] sphère […] plus grande […].

48En fait, nous allons travailler avec des éléments de $\Pi_1(\widetilde{\Sigma})$ qui proviennent, soit de pts de $\widetilde{\Sigma}$, donc de pts de $\Sigma^{*}$ ou d'un des $U_i$, soit de parties de $\widetilde{\Sigma}$ qui sont 1-connexes pour la top. induite par $\widetilde{\Sigma}$ — en partant peut-être de parties ⌜1-connexes⌝ de $\Sigma^{*}$, et en les faisant « déborder » sur $\widetilde{\Sigma}$ de façon naturelle.

Le groupe $\Gamma$ opère sur la situation ⌜$C^\infty$⌝ $(\Sigma, J)$, donc par transport de structure sur la situation \[\widetilde{\Sigma} \longrightarrow \Sigma, \qquad J \subset \Sigma\] donc sur (14), (15). Un aspect essentiel du travail à faire est de garder cette opération constamment présente à l'esprit, et d'introduire des notations et des constructions qui soient invariantes, dans le sens requis par la situation, par les opérations en question.

49p. 4 de l'auteur. une sphère, pôles $P^{+}$ en haut et $P^{-}$ en bas, l'équateur $\Sigma_{\mathbf{R}}$ portant les trois trous $R_0$, $R_1$, $R_\infty$, chacun entouré de son petit cercle $U_i$ marqué des points $R_i^{\pm}$, $S_i^{\pm}$ et des arcs $a_i^{++}, a_i^{+-}, \dots$ ; sur l'équateur les points $Q_0$, $Q_1$, $Q_\infty$ et les arcs orientés $b_i^{\pm}$ ; des pôles partent les méridiens portant les arcs $c_i^{\pm}$ (vers les $Q_i$) et $d_i^{\pm}$ (vers les $S_i$), en traits pleins ou pointillés selon l'hémisphère.

On introduit \[(16)\quad \left\{ \begin{array}{ll} Q_i \ (i \in J) & \text{antipodique de } R_i \ (= -R_i) \\ R_i^{\omega} \in U_i & (i \in J,\ \omega \in \boldsymbol{\omega}) \\ P_{\varepsilon} & (\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbf{R}})) \\ S_i^{\varepsilon} & \end{array} \right.\] où $P_\varepsilon$ est défini par \[(17)\quad \{P_\varepsilon\} = \Delta \cap (\Sigma - \Sigma_{\mathbf{R}})_\varepsilon\] et $R_i^{\omega} \in U_{i\mathbf{R}}$ […] et $R_i^{\omega}$ est défini ainsi : On a une bijection canonique \[(18)\quad U_{i\mathbf{R}} \overset{\mathrm{def}}{=} \underbrace{U_i \cap T_{\Sigma_{\mathbf{R}},R_i}}_{TU_{\Sigma_{\mathbf{R}},R_i}} \simeq \boldsymbol{\omega}\] ($\Sigma_{\mathbf{R}}$ variété de dim 1, l'une des orientations de celle-ci aux points $R_i$ (donc globale) est un […] bijectif avec l'une des deux directions orientées tangentes). \[(19)\quad S_i^{\varepsilon} \in U_i \cap T_{\Sigma_i} = TU_{\Sigma_i}\] […] où $\Sigma_i$ est le grand cercle déterminé par les $P_\varepsilon$ et $Q_i$ ; on a $TU_{\Sigma_i} \simeq \boldsymbol{\varepsilon}$ (orientations de celle-ci, car les deux directions tangentes à $\Sigma_i$ en $R_i$ se découpent suivant les deux hémisphères $\in \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbf{R}})$). NB Il faudrait introduire $\widetilde{\Sigma}_\varepsilon$ ($\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}$), les deux hémisphères sur $\widetilde{\Sigma}$, le choix de $S_i^\varepsilon$ est caractérisé par $S_i^\varepsilon \in \widetilde{\Sigma}_\varepsilon$.

On a fait la figure dans le cas où \[J = \{0, 1, \infty\}, \qquad \boldsymbol{\omega} = \{+1, -1\}\] ($+$ donné par la perm. circulaire $1 \mapsto 2 \mapsto 3$, $-$ par l'inverse) et en choisissant une orientation sur $E$ \[\boldsymbol{\varpi} \simeq \{+1, -1\}, \quad \text{d'où} \quad \boldsymbol{\varepsilon} \simeq \{+1, -1\} .\] On définit des chemins sur $\widetilde{\Sigma}$ […] des parties de $\widetilde{\Sigma}$ (19) $a_i^{\omega}$, $b_i$, $c_i^{\omega}$ […] (pour les $b_i^{\omega}$) […] orientations […] symétriques […] Bloc encadré et biffé au bas de la page ; il est repris, numérotation comprise, à la page suivante.

50p. 5 de l'auteur. \[\text{\struck{(19)}}\qquad \boldsymbol{\varpi} \simeq \{\pm 1\}\] si besoin i.e. on donne $\boldsymbol{\omega} \xrightarrow{\sim} \boldsymbol{\varepsilon}$, donc donnant un procédé pour identifier l'une $\boldsymbol{\omega} = \Omega(J) = \Omega(\Sigma_{\mathbf{R}})$ […] deux hémisphères. Il s'agit d'arcs […] d'origine et d'extrémité […] […] sur des cercles.

\[(20)\quad \overset{12}{a_i^{\omega,\varepsilon}},\quad \overset{6}{b_i^{\omega}},\quad \overset{6}{c_i^{\varepsilon}},\quad \overset{6}{d_i^{\varepsilon}}, \qquad i \in J,\ \omega \in \boldsymbol{\omega},\ \varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}\] Le numéro (20) est restitué : la page porte un numéro surchargé devant la ligne qui précède. On introduit sur $\widetilde{\Sigma}$ les […] chemins simples (segments orientés plongés) ci-dessus ; $b, c, d$ chaque paquet forment un torseur sous $\mathfrak{S}_J$. NB $\operatorname{Rep}(J) \simeq J \times \boldsymbol{\omega}$ (21), $(i,j,k) \mapsto (i, \omega_{ijk})$. Le paquet $(a_i^{\omega\varepsilon})$ […] sous $\Gamma = \mathfrak{S}_J$ […]. NB on a donc $g(a_i^{\omega}) = a_{g(i)}^{g(\omega)}$, etc. ; $\tau$ opérant par \[(22)\quad \tau a_i^{\omega,\varepsilon} = a_i^{\omega,\varepsilon'}, \quad \tau b_i^{\omega} = b_i^{\omega}, \quad \tau c_i^{\varepsilon} = c_i^{\varepsilon'}, \quad \tau d_i^{\varepsilon} = d_i^{\varepsilon'} .\] On a \[(23)\quad a_i^{\omega\varepsilon} : S_i^{\varepsilon} \longrightarrow R_i^{\omega} \quad \text{sur } U_i\] dans le sens de l'orientation de $\Sigma$ en $R_i$ (quart de tour), ce qui caractérise $a_i^{\omega\varepsilon}$ explicitement. \[(24)\quad b_i^{\omega} : Q_i \longrightarrow R_{\omega' i}^{\omega'} \quad \text{sur } \widetilde{\Sigma}_{\mathbf{R}} \simeq \operatorname{Dic}(\Sigma_{\mathbf{R}}, J)\] (chemin d'origine […]) (chemin sur $\widetilde{\Sigma}_{\mathbf{R}}$, d'origine $Q_i$, dans la direction $\omega$, jusqu'à l'extrémité […] du segment $\widetilde{\Sigma}_{\mathbf{R}} \simeq \operatorname{Dic}(\Sigma_{\mathbf{R}}, J)$, soit $R_{\omega' i}^{\omega'}$), « Dic » tel quel sur la page. \[(25)\quad c_i^{\omega} : P^{\omega} \longrightarrow Q_i \qquad \text{suivant un arc de grand cercle}\] \[(26)\quad d_i^{\omega} : P^{\omega} \longrightarrow S_i^{\omega} \qquad \text{suivant un arc de grand cercle}\] Dans (25) et (26) l'indice supérieur est écrit $\omega$ là où (20) porte $\varepsilon$. On pose aussi \[(27)\quad b_i : R_{\omega i}^{\omega'} \longrightarrow R_{\omega' i}^{\omega'}, \qquad \widetilde{b}_i^{\omega} = b_i^{\omega} (b_i^{\omega'})^{-1}\] chemin dans la direction $\omega$ […] […] Tous les arcs $b_i^{\omega}$, $c_i^{\omega}$, $d_i^{\omega}$ se font sur des quarts de grands cercles de $\Sigma$, sauf que les extrémités des $c_i^{\omega}$, $d_i^{\omega}$ ne sont pas dans $\Sigma^{*}$ mais dans $\partial\widetilde{\Sigma} \setminus \Sigma^{*}$ ($U_i \subset \partial\widetilde{\Sigma}$).

51p. 6 de l'auteur (chiffre surchargé). Je vais introduire, dans la sphère $\widetilde{\Sigma}$ dont le degré de connexion est 0, cinq ouverts, aussi grands que possible, qui soient simplement connexes — obtenus en pratiquant des « incisions » qui relient entre eux les trois bords $U_i$ des trois « trous » […]. On pose \[(27)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \widetilde{\Sigma}_\varepsilon = \widetilde{\Sigma} \setminus \bigcup_{i \in J} \operatorname{supp} d_i^{\varepsilon} & \varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon} \\[4pt] \widetilde{\Sigma}_i = \widetilde{\Sigma} \setminus \bigcup_{j \in J \setminus \{i\}} b_j & \end{array} \right.\] (où $b_j = \operatorname{supp} \widetilde{b}_j^{\omega} = \operatorname{supp} c_j^{\omega} \cup \operatorname{supp} c_j^{\omega'}$ ). Le numéro (27) est employé deux fois de suite, p. 50 et ici. deux sphères en marge. Sur la première, $\widetilde{\Sigma}_\varepsilon$ : $P_\varepsilon$ au sommet, les trois incisions $d$ menant aux points $S_i^{\varepsilon'}$, $S_j^{\varepsilon'}$, $S_k^{\varepsilon'}$ des trous, en trait épais. Sur la seconde, $\widetilde{\Sigma}_i$ : $Q_i$, $Q_j$, $R_i^{\omega}$ et les incisions le long de l'équateur.

On voit bien que ces ouverts dans $\widetilde{\Sigma}$ sont simplement connexes, connexes et […] de la sphère ; dans $\widetilde{\Sigma}$ (car le complémentaire est connexe). On dit que $P_\omega$ est le centre de $\widetilde{\Sigma}_\omega$, $Q_i$ le centre de $\widetilde{\Sigma}_i$. en tant qu'ouverts […], et pour cette raison connexes […]

On pose \[(28)\quad \left\{ \begin{array}{l} \Pi_\varepsilon = \pi_1(\widetilde{\Sigma}, \widetilde{\Sigma}_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, \Sigma^{*}_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, P_\varepsilon) \\[4pt] \Pi_i = \pi_1(\widetilde{\Sigma}, \widetilde{\Sigma}_i) = \pi_1(\Sigma^{*}, \Sigma^{*}_i) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, Q_i) \end{array} \right.\] en faisant les identifications impliquées par ces formules. […] Pour tout $x \in \widetilde{\Sigma}_\omega$ resp. $x \in \widetilde{\Sigma}_i$, on pose \[(29)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{\varepsilon,x} \text{ ou } \varphi_\omega : \Pi_\varepsilon \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, x) & \big(\simeq \pi_1(\Sigma^{*}, x) \text{ si } x \in \Sigma^{*}\big) \\[4pt] \varphi_{i,x} \text{ ou } \varphi_i : \Pi_i \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, x) & \text{—} \end{array} \right.\] Les $\varphi$ […] appelés isomorphismes de transition […]

52Numéro de l'auteur « 6 », répété. l'isom. canonique déduit de l'inclusion. On a de plus des isomorphismes canoniques \[(30)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{i\varepsilon} : \Pi_\omega \longrightarrow \Pi_i & \text{défini par } c_i^{\varepsilon} : P_\varepsilon \to Q_i \\[4pt] \varphi_{\varepsilon i} : \Pi_i \longrightarrow \Pi_\omega & \text{---\ } (c_i^{\varepsilon})^{-1} : Q_i \to P_\varepsilon \end{array} \right.\] NB on a $\varphi_{i\varepsilon} = \varphi_{Q_i,\varepsilon}$, $\varphi_{\varepsilon i} = \varphi_{P_\varepsilon, i}$. Par ces isom., les $\Pi_\varepsilon$, $\Pi_i$ sont reliés de façon transitive, mais bien entendu pas par un syst. transitif d'isomorphismes — au contraire, les automorphismes de l'un des groupes $\Pi_\varepsilon$, $\Pi_i$ obtenus en composant des isom. (30) suivant des chemins fermés sur le graphe le graphe d'un octaèdre : $P_\varepsilon$ en haut, $P_{\varepsilon'}$ en bas, $Q_i$, $Q_j$, $Q_k$ sur l'équateur, chaque $P$ relié à chaque $Q$. sont tous les automorphismes intérieurs !

Les $\pi_1(\Sigma^{*}, \text{\ill{}})$ en les $P_\varepsilon$, $Q_i$ étant canonifiés comme les $\Pi_\varepsilon$, $\Pi_i$, il reste à « repérer » les $\pi_1$ en les autres points marqués jusqu'à maintenant. Les choix naturels sont par […] Une formule biffée suit, où l'on reconnaît $\Pi_\varepsilon$, $\Pi_i$ et des flèches ; elle est reprise en (31) à la page suivante.

53\[(31)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{R_i^{\omega},\, \omega i} : \Pi_{\omega i} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, R_i^{\omega}) & \text{ou } \varphi_{\omega i} \\[4pt] \varphi_{S_i^{\varepsilon},\, \varepsilon} : \Pi_\varepsilon \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, S_i^{\varepsilon}) & \text{ou } \varphi^{\varepsilon} \text{ ou } d_i^{\varepsilon} \end{array} \right.\] Les indices de (31) sont lus avec doute. Le plus commode me semble de noter simplement $\varphi_i$, $\varphi_\varepsilon$, pour préciser le groupe $\pi_1$ standard $\Pi_i$ ou $\Pi_\varepsilon$ qui est en jeu, le point base $x$ ($= R_i^{\varepsilon}$ ou $S_i^{\varepsilon}$, disons) ne faisant pas de doute dans le calcul.

Les arcs $a_i^{\omega}$ […] sont trop longs, il faut les couper en deux en posant \[\text{\struck{$a_i^{\omega} = a_i^{\omega-} a_i^{\omega+}$, \quad $a_i^{\omega+} : R_i^{\omega} \to S_i^{\omega}$, \quad $a_i^{\omega-} : S_i^{\omega} \to R_i^{\omega'}$}}\] Bloc encadré et biffé.

Il faut enfin, pour des calculs pénibles, donner une façon de repérer les $\Pi_i$, $\Pi_\omega$ par un groupe standard $\Pi_{0,3}$, pour lequel nous prendrons \[(32)\quad \Pi_{0,3} = \pi_1\big(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0,1,\infty\} \,[= U_{0,3}(\mathbf{C})],\ P^{+}\big) = \{\, l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \,\}\] \[\subset \widetilde{\Pi}_{0,3} = \pi_1\big(U_{0,3}(\mathbf{C}),\ \mathfrak{S}_3 \times \{1,\tau\},\ P^{+}\big)\] \[= \{\, \rho, \sigma_\infty, \widetilde{\sigma}_\infty \mid \rho^3 = \sigma_\infty^2 = \widetilde{\sigma}_\infty^2 = 1,\ \sigma_\infty(\rho) = \rho^{-1},\ \widetilde{\sigma}_\infty(\sigma_\infty) = 1 \,\}\] \[\text{[i.e. } (\sigma_\infty \widetilde{\sigma}_\infty)^2 = 1 \text{]} \qquad \simeq \mathrm{GL}(2,\mathbf{Z})/\{\pm 1\}\] $\{\, \ldots \mid \rho^3 = \sigma_\infty^2 = 1 \,\} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})/\pm 1$ La lecture de la relation $\widetilde{\sigma}_\infty(\sigma_\infty) = 1$ est douteuse ; le second membre de (32) est écrit au-dessus d'une première version biffée.

54p. 7 de l'auteur. avec le formulaire familier dans $\widetilde{\Pi}_{0,3} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$ : \[(33)\quad \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma_\infty \rho, \quad \varepsilon_1 \overset{\mathrm{def}}{=} \rho(\varepsilon_0) \ (= \rho\, \varepsilon_0 \rho^{-1}), \\[4pt] \varepsilon_\infty \overset{\mathrm{def}}{=} \rho(\varepsilon_1) = \rho^2(\varepsilon_0) = \rho^{-1}(\varepsilon_0) \\[4pt] l_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \varepsilon_0^2, \quad l_1 \overset{\mathrm{def}}{=} \varepsilon_1^2, \quad l_\infty \overset{\mathrm{def}}{=} \varepsilon_\infty^2, \quad l_\infty l_1 l_0 = 1 \\[4pt] \rho(l_i) = l_{\rho(i)} \ \ \{\rho(l_0) = l_1,\ \rho(l_1) = l_\infty,\ \rho(l_\infty) = l_0\}, \quad \rho(\varepsilon_i) = \varepsilon_{\rho(i)} \end{array} \right.\] NB on fait opérer $\rho$ sur $0, 1, \infty$ par $0 \mapsto 1 \mapsto \infty \mapsto 0$. Les $\varepsilon_i$ de (33) sont des éléments de $\widetilde{\Pi}_{0,3}$, sans rapport avec les $\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}$. La lecture $\varepsilon_0 = \sigma_\infty\rho$ est douteuse. \[(33)\quad \left\{ \begin{array}{l} \tau_\infty \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma_\infty \widetilde{\sigma}_\infty = \widetilde{\sigma}_\infty \sigma_\infty, \quad \tau_\infty^2 = 1 \\[4pt] \tau_\infty(l_0) = l_0^{-1}, \quad \tau_\infty(l_1) = l_1^{-1}, \quad \tau_\infty(l_\infty) = l_0^{-1} l_\infty^{-1} l_0 \\[4pt] \widetilde{\sigma}_\infty(l_0) = l_1^{-1}, \quad \widetilde{\sigma}_\infty(l_1) = l_0^{-1}, \quad \widetilde{\sigma}_\infty(l_\infty) = l_\infty^{-1} \\[4pt] \sigma_\infty(l_0) = l_1, \quad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \quad \sigma_\infty(l_\infty) = l_1^{-1} l_0^{-1} \end{array} \right.\] Le numéro (33) figure deux fois. La valeur de $\tau_\infty(l_\infty)$ est lue avec doute, et la dernière égalité porte une suite biffée illisible.

Notons qu'un épinglage de la situation est fourni par un élément du produit $\operatorname{Rep}(J, \boldsymbol{\varpi}) \simeq J \times \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\varpi}$, donc par le choix d'un $(i, \omega, \varpi)$, définissant donc un $\varepsilon = \omega \wedge \varpi \in \boldsymbol{\varepsilon} \simeq \boldsymbol{\omega} \wedge \boldsymbol{\varpi}$. On va définir pour $r = (i, \omega, \varpi)$ des isom. \[(34)\quad \left\{ \begin{array}{l} \psi_\varepsilon^{i,\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\varepsilon \\[4pt] \psi_i^{\omega,\varepsilon} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_i \end{array} \right.\] isom. dits d'épinglage donnant lieu comme de juste à un triangle commutatif (35)

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
  & \Pi_{0,3} \arrow[dl, "\psi_\varepsilon^{i\omega}"'] \arrow[dr, "\psi_i^{\omega,\varepsilon}"] & \\
  \Pi_\varepsilon \arrow[rr, bend left=15, "\varphi_{i\varepsilon}"] & & \Pi_i \arrow[ll, bend left=15, "\varphi_{\varepsilon i}"]
\end{tikzcd}

55ce qui fait qu'il suffit de définir l'un des deux isom. (34) — et vu la définition de $\Pi_{0,3}$ dans (32), il est naturel de définir plutôt l'iso \[\text{\struck{(35)}}\quad \psi_r = \psi_{\varepsilon}^{i,\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\varepsilon \qquad r = (i, \omega, \varpi)\] par transport de structure comme \[(36)\quad \psi_\varepsilon^{i,\omega} = \pi_1(u_{i,\omega,\varepsilon} ; P^{+}), \quad \text{où } u_r = u_{i,\omega,\varepsilon} = u_\varepsilon^{i,\omega} :\] \[\big(U_{0,3}(\mathbf{C}), P^{+}\big) \longrightarrow (\Sigma^{*}, P_\omega)\] est l'unique iso. conforme qui transforme le repère standard $\{\infty, \omega_{01\infty}, +1\}$ […] dans le repère […] $(i, \omega, \varepsilon)$. Le numéro (36) est restitué : la page porte un numéro surchargé, lu « (35) » ou « (36) ». Au couple $(i,\omega)$ on associe le repère $r = (\omega i, \omega' i, i)$ de $J$ […], i.e. $0 \mapsto \omega i$, $1 \mapsto \omega' i$, $\infty \mapsto i$. $r = \ldots$ Avec ces notations $\rho_\omega(r) = r \circ \rho = (\omega i, \omega)$.

Pour un $P_\varepsilon$ fixé, il y a six choix pour les $\psi_r = \psi_{\varepsilon}^{i,\omega} : \Pi_{0,3} \to \Pi_\varepsilon$ — et pour un $Q_i$ fixé, il y a quatre choix pour $\omega, \varepsilon$. Cela fait ⌜trois resp.⌝ douze choix si on suppose qu'on a choisi un élément de $\boldsymbol{\varpi}$, i.e. $\Sigma$ est orienté, d'où $\boldsymbol{\varepsilon} \simeq \boldsymbol{\omega}$, et si on se borne aux $\varepsilon$ qui correspondent aux $\omega$) — il faudrait donc voir comment passer ⌜d'un choix⌝ de l'un à l'autre.

56Numéro de l'auteur « 9 » au-dessus de la première ligne, lu avec doute ; la p. 8 manque à la suite. Notons que l'isom. \[\psi_r : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\omega, \qquad r \in \operatorname{Rep}(J, \boldsymbol{\varpi}) \simeq \operatorname{Isom}\big((\Sigma_0^{*}, P_{+}), (\Sigma^{*}, P_{+})\big)\] est compatible avec le transport de structure, en ce qui ⌜dans le sens⌝ qu'il élément \[g \in \widetilde{\mathfrak{S}}_J \subset \Gamma = \check{\mathfrak{S}}_J\] \[\Gamma_{P_\varepsilon} = \{\, (g, \tau^{\alpha}) \in \mathfrak{S}_J \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \mid \alpha = 0 \text{ si } \operatorname{sg} g = 1,\ \alpha = 1 \text{ si } \operatorname{sg} g = -1 \,\}\] \[= \{\, g \in \Gamma \mid g(\varepsilon) = \varepsilon \,\}\] Le signe « $=$ » vertical relie $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$ à $\Gamma_{P_\varepsilon}$ ; l'accent sur le second $\mathfrak{S}_J$ est lu avec doute. on aura commutativité dans

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  & \Pi_{0,3} \arrow[dl, "{\psi_r = \psi_{\omega,i}^{\varepsilon}}"'] \arrow[dr, "{\psi_{g(r)} = \psi_{g(\omega),g(i)}^{g(\varepsilon)}}"] & \\
  \Pi_\varepsilon \arrow[rr, "\pi_1(g)"'] & & \Pi_\varepsilon
\end{tikzcd}

\[(37)\qquad \pi_1(g) \text{ par transport de structure}\]

ce qui suffit au passage d'un $\psi_r$ à $\psi_{g(r)} = \pi_1(g) \circ \psi_r$, vu que $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$ est simplement transitif sur l'ensemble des repères $r$ correspondant à un $\varepsilon$ fixé. Mais on aimerait exprimer le passage par une formule de transformation dans $\Pi_{0,3}$. Notons que la donnée des repères définit un isom. canonique (encore noté $u_r$)

57\[u_r : \widetilde{\mathfrak{S}}_3 \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{S}}_3\] et tout repère $r'$ ⌜[…] $= \varepsilon$ pour $r$,⌝ s'écrit de façon unique \[r' = r g_0 \quad \text{avec } g_0 \in \widetilde{\mathfrak{S}}_3\] \[(38)\quad \text{i.e. } u_{r'} = u_r u_{g_0} \qquad (\text{avec } u_r(g_0) = g \text{ mais peu importe})\] d'où, en passant à l'action sur les $\pi_1$ en $P_{+}$ resp. $P_\varepsilon$, on trouve \[(39)\quad \psi_{r'} = \psi_r \circ \pi_1(g_0, P_{+}) \qquad \text{si } r' = r \circ g_0\] $\psi_r$, $\psi_{r'}$ désignent les isom. d'épinglage […] $P_\varepsilon$ […] $\psi_\varepsilon(l_0)$, $\psi_\varepsilon(l_1)$ […] les lacets standard […] $Q_i$ […] $R_{\omega i}$. NB […] les automorphismes […] $P_\varepsilon$, $R_{\omega i}$ […] d'orientation $\boldsymbol{\varpi} = \omega \wedge \varepsilon$. en marge, un petit schéma : $P_\varepsilon$ relié par un lacet $l_0$ au trou $R_{\omega i} \simeq R_0$ (d'orientation $\varpi = \omega \wedge \varepsilon$), au point $Q_\infty$ et au trou $R_{\omega' i} \simeq R_1$.

Explicitons ceci pour \[g_0 = \rho \quad \text{donc} \quad r' = r\rho = (\omega i, \omega, \varpi) \quad \text{si } r = (i, \omega, \varpi)\] on trouve \[(40)\quad \psi_\varepsilon^{\omega i, \omega} = \overbrace{\psi_\varepsilon^{i,\omega} \circ \rho}^{\rho_\omega \circ \psi_\varepsilon^{i,\omega} =}\] où on a identifié $\rho$ aussi à un élément de $\widetilde{\Pi}_{0,3}$, NB $\rho_\omega$ est la rotation autour de l'axe de $P_\varepsilon$, $P_{\varepsilon'}$, d'un tiers de tour, […] d'orientation […] défini par $\omega$ sur l'équateur […] dans $\Pi_{0,3}$. On trouve de même, pour un automorphisme qui renverse l'orientation de $\Sigma$, i.e. pour un \[\widetilde{\sigma}_\infty : \quad 0 \mapsto 1, \quad 1 \mapsto 0, \quad \infty \mapsto \infty, \qquad \varpi \mapsto \varpi'\] \[g_0 = \widetilde{\sigma}_\infty, \qquad r' = r \sigma_\infty = (\omega' i, \omega', \varpi')\] d'où \[(41)\quad \psi_\varepsilon^{\omega' i, \omega'} = \overbrace{\psi_\varepsilon^{i,\omega} \circ \widetilde{\sigma}_\infty}^{\widetilde{\sigma}_{?} \circ \psi_\varepsilon^{i,\omega} =}\] ($\widetilde{\sigma}_i$ est la symétrie p.r. aux grands cercles méridiens passant par $Q_i$). Dans l'accolade de (41) l'indice de $\widetilde{\sigma}$ est illisible ; le premier terme de $r'$ est surchargé.

58p. 10 de l'auteur. Passons au cas de $Q_i$ — la définition […] des $\psi_r = \psi_i^{\omega,\varepsilon} : \Pi_{0,3} \to \Pi_i$ […] est \[\psi_r = \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \pi_1(\underbrace{u_{i,\omega,\varepsilon}}_{u_r} ; Q_\infty)\] où de même $u_r = u_{i,\omega,\varepsilon}$ est l'unique isom. de $U_{0,3}$ ⌜dans $\Sigma^{*}$⌝ qui transforme le repère fixé standard \[(\infty,\ \omega_0 = +1,\ \varpi_0 = +1 \text{ donc } \varepsilon = \omega_0 \wedge \varpi_0 = +1)\] en $r$, i.e. qui transforme $P_{+}$ en $P_\varepsilon$, $Q_0$ en $Q_i$, $Q_1$ en $Q_{\omega i}$. Les épinglages $\psi_i^{\omega,\varepsilon}$ ($i$ fixé, $\omega, \varepsilon$ variables) […] de $\Pi_i$ correspondant aux $u_r$ qui transforment $Q_0$ en $Q_i$, se sont déterminés par compatibilité avec des éléments $g_0 \in \Gamma_0 = \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}$ qui stabilisent $Q_0$ — ces éléments […] forment un groupe $\simeq \mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/2$ engendré par $\sigma_\infty, \tau$. On trouve encore \[\psi_{r'} = \psi_r \circ \pi_1(g_0 ; Q_\infty) \qquad \text{si } r' = r \circ g_0\] où ici $\psi_r$, $\psi_{r'}$ désignent les iso. d'épinglage relatifs à $Q_i$. Il suffit d'expliciter ces formules dans les cas de $g_0 = \sigma_\infty$, $g_0 = \tau$, ce qui revient à calculer leur effet sur […] $\pi_1(U_{0,3} ; Q_\infty)$, quand on identifie celui-ci à $\Pi_{0,3} = \pi_1(U_{0,3} ; P_{+})$, grâce au chemin $d_\infty^{+}$ de $P_{+}$ à $Q_\infty$. On sait que ces générateurs NB on identifie $\pi_1(U_{0,3} ; Q_\infty)$ à $\Pi_{0,3} \overset{\mathrm{def}}{=} \pi_1(U_{0,3} ; P_{+})$ à l'aide du chemin $d_\infty^{+}$ de $P_{+}$ à $Q_\infty$. Les $Q_i$ de cette page jouent le rôle que (31) donnait aux $\Pi_i$ ; le chemin $d_\infty^{+}$ joint ici $P_{+}$ à $Q_\infty$, alors qu'en (25)–(26) c'est $c$ qui mène aux $Q_i$ et $d$ aux $S_i$.

59sont $\operatorname{int}(\sigma_\infty)$, $\operatorname{int}(\tau_\infty)$. Or dans le cas $g_0 = \tau_\infty$ resp. $g_0 = \sigma_\infty$, donc on trouve $r' = (i, \omega, \varepsilon')$ resp. $r' = (i, \omega', \varepsilon')$, donc \[(39)\quad \left\{ \begin{array}{l} \psi_i^{\omega,\varepsilon'} = \tau \circ \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \tau_\infty \\[4pt] \psi_i^{\omega',\varepsilon'} = \sigma_i \circ \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \sigma_\infty \end{array} \right.\] ($\sigma_i$ : transposition $\in \mathfrak{S}_J$ qui fixe $i$) dont en composant \[(40)\quad \psi_i^{\omega',\varepsilon} = \widetilde{\sigma}_i \circ \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \widetilde{\sigma}_\infty\] Sous $\widetilde{\sigma}_i$ la page porte « $\tau\sigma_i$, symétrie autour des grands cercles passant par $P_\varepsilon$, $P_{\varepsilon'}$, $Q_i$ ». Les numéros (39) et (40) sont ici repris une seconde fois, après (39)–(41) de la p. 57.

Dans tous ces calculs, suivant sans doute d'anciennes habitudes, j'ai privilégié les $P_\varepsilon$ et les $Q_i$ comme pts base — alors que pour le travail que j'ai en vue, ce sont les points $R_i^{\omega}$ qui sont les plus cruciaux, où les calculs […] en ces pts expriment directement les phénomènes de « monodromie » autour des « trous » $R_i$. Je vais réparer cette négligence, en introduisant, en

60p. 11 de l'auteur. plus des $\widetilde{\Sigma}_\omega$, $\Pi_\omega$ et $\widetilde{\Sigma}_i$, $\Pi_i$, des régions \[\widetilde{\Sigma}_r = \widetilde{\Sigma}_i^{\omega,\varepsilon}\] associées aux repères $r = (i, \omega, \struck{\ill{}}\, \varepsilon)$ de $(J, \boldsymbol{\varepsilon})$ (ou ce qui revient au même, de $(J, \boldsymbol{\varpi})$), qu'on peut identifier, géométriquement, aux ⌜douze⌝ triangles-drapeaux $D_r = P_\varepsilon Q_i R_{\omega i}$, correspondant à la subdivision barycentrique standard de la sphère $\Sigma$ définie par l'équateur $\Sigma_{\mathbf{R}}$ et par les trois points $R_i$ sur celui-ci. Le « trou » ⌜sur $\widetilde{\Sigma}$⌝ […] issu de l'un de ces triangles est un quadrilatère $\widetilde{D}_r$ \[P_\varepsilon Q_{\omega' i} R_i^{\omega} S_i^{\varepsilon} \simeq P_{+} Q_\infty R_0^{+} S_0^{+} .\] une sphère : $P_\varepsilon \simeq P_{+}$ au sommet, $P_{\varepsilon'}$ en bas ; le quadrilatère $\widetilde{D}_r$ hachuré entre le méridien de $Q_i \simeq Q_\infty$ et celui du trou $R_{\omega i} \simeq R_1$ ; autour des trous les points $R_{\omega i}^{\omega}$, $S_i^{\varepsilon} \simeq S_0^{\varepsilon}$, $Q_{\omega' i}$ ; légende $r = (i, \omega, \varepsilon)$, $J = \ldots$

On aura à travailler, au « voisinage immédiat » de ce repère […], au triangle-drapeau ⌜drapeau⌝ $\widetilde{\Sigma}_r$, avec les symétriques de $\Sigma_r$ p.r. à ses trois côtés, et ses transformés par $\Sigma_r$, ce qui conduit à regarder la réunion de $\Sigma_r$ avec ses trois transformés \[\tau(\Sigma_r), \quad \widetilde{\sigma}_i(\Sigma_r), \quad \widetilde{\sigma}_{\omega i}(\Sigma_r)\] (qui correspondent, sur la sphère standard avec le repère correspondant au triangle $P_{+} Q_\infty R_0$, à $\tau$, $\widetilde{\sigma}_\infty$, $\widetilde{\sigma}_0$) et sur $\widetilde{\Sigma}$ à prendre \[(41)\quad \widetilde{\Sigma}_r = \widetilde{\Sigma}_i^{\omega,\varepsilon} = \widetilde{D}_r \cup \tau(\widetilde{D}_r) \cup \widetilde{\sigma}_i(\widetilde{D}_r) \cup \widetilde{\sigma}_{\omega i}(\Sigma_r)\] limité par le contour \[P_\varepsilon Q_{\omega' i} R_{\omega' i}^{\omega} S_i^{\varepsilon} \ldots P_{\varepsilon'} \ldots Q_i R_{\omega' i}^{\omega'} S_{\omega' i}^{\varepsilon} P_\varepsilon\] Le contour est lu en partie seulement : plusieurs sommets intermédiaires, serrés en bas de page, restent illisibles et sont remplacés par « $\ldots$ ». L'argument se poursuit au-delà de ce lot.