Fonds Grothendieck, cote n° 142, pages 41–60

p. 23 de l'auteur. La page achève une suite de calculs commencée avant ce lot : les formules (76) à (79) auxquelles elle renvoie n'y figurent pas. Le reste du feuillet est blanc.

l'égalité du \beta' défini par cette équation les formules équivalentes, avec celui défini par (76), ou (76') ou (77), ou ~~le fait que \beta' (vu~~ l'équation (78), écrite en choisissant pour \beta' défini par l'une des formules (76) à (77), ou par la formule (79) — ce qui donne la formulation la plus simple.

La sphère à trois points marqués

Nouvelle suite, paginée 1 à 11 par l'auteur sur les pages 43 à 60 de ce lot ; elle se poursuit au-delà. Les lettres qu'il souligne pour désigner des ensembles à deux éléments (\boldsymbol{\varpi}, \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\varepsilon}) sont rendues en gras.

p. 1 de l'auteur. Attention : ne pas confondre la notation avec celles des \alpha_i, \beta_i, \beta'_i, \gamma_i, \gamma'_i (1)…

Considérons une 2-sphère conforme \Sigma avec une partie J à trois éléments, J \subset \Sigma, \qquad J = (R_i)_{i \in J} de sorte que le groupe \mathfrak{S}_J opère sur \Sigma par automorphismes ~~orientés~~ directs, ~~et aussi~~ étant entendu que le groupe des automorphismes ~~\mathfrak{S}_J \times \{1,\tau\} le groupe des~~ conformes de la situation (\Sigma, J) est \Gamma_{\Sigma,J} = \Gamma \simeq \mathfrak{S}_J \times \{1, \tau\} où \tau est l'unique ~~anti~~automorphisme \neq 1 qui fixe les R_i (\tau = conjugaison complexe). NB L'antipodisme ne fait pas partie de \Gamma, car il ne stabilise pas J. dans la catégorie des (\Sigma, J) équivalente (2) (J, \boldsymbol{\varpi}), \boldsymbol{\varpi} \in (\mathrm{Ens}_2) , et \boldsymbol{\varpi} \in (\mathrm{Ens}_2) J plus bas. Il y a sur \Sigma une unique métrique riemannienne homogène invariante à scalaire \lambda \in \mathbf{R}^{*+} près par \mathfrak{S}_J, ~~par laquelle~~, qui nous permet d'identifier canoniquement \Sigma à la sphère unité dans un espace vectoriel réel euclidien E_3. On pose (3)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \boldsymbol{\varpi} = \Omega(\Sigma) \simeq \Omega(E_3) & \text{ens. des deux orientations} \\ & \text{de } \Sigma \text{, ou de } E \\ \boldsymbol{\omega} = \Omega(J) \simeq \Omega(\Sigma_{\mathbf{R}}) & \\ \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbf{R}}) = \pi_0(E \setminus V) = \pi_0\big((E/V)^{*}\big) & \end{array} \right. On pourrait écrire V(J, \boldsymbol{\omega}), E(J, \boldsymbol{\varpi}). (3 bis) On a \boldsymbol{\omega} \wedge \boldsymbol{\varepsilon} \wedge \boldsymbol{\varpi} = 1, i.e. — pour la comm. des orientations voir plus loin (4). où V est le \mathbf{R}-sous-espace vectoriel de E engendré par les R_j, qui est de dimension 2, et où \Sigma_{\mathbf{R}} = \Sigma \cap V \qquad \text{cercle euclidien du plan euclidien } V .

On aura dans V (4)\quad \sum_{j \in J} R_j = 0 ce qui donne un isomorphisme (5)\quad V \simeq V_J(\mathbf{R}) = \operatorname{Ker}\big(\mathbf{R}^J \xrightarrow{\ \text{somme}\ } \mathbf{R}\big) et on a, vu la formule (3) (6)\quad \Delta = V^{\perp} \simeq \mathbf{R}(\boldsymbol{\varepsilon}) (isom. compatible avec la structure quadratique), \Delta « axe polaire », orth. de V dans E, donc (7)\quad E \simeq V_J(\mathbf{R}) \oplus \mathbf{R}(\boldsymbol{\varepsilon}) \qquad \text{isom. d'espaces euclidiens} où dans V_J(\mathbf{R}) on prend la seule forme quadratique q pour laquelle les R_j ~~soient unitaires~~ satisfont ~~de carré un~~ q(R_j) = 1 (si q prend une base formée de R_i, R_j, R_k de coordonnées (-1,-1), la forme quadratique en question est x^2 - xy + y^2). Il est clair, q invariante sous l'opération de \mathfrak{S}_J sur V(J). Dans le plan euclidien V, les R_i forment les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité. L'opération de \mathfrak{S}_J sur E se fait par son opération tautologique sur V(J), et l'opération par \operatorname{sg}(g) sur \Delta :

p. 2 de l'auteur. (8)\quad g_E = \underbrace{g_{V_J(\mathbf{R})}}_{\text{tautol.}} \oplus \operatorname{sg}(g)\, \mathrm{id}_{\Delta} L'opération de \tau est donnée par (9)\quad \tau_E = \mathrm{id}_{V_J(\mathbf{R})} \oplus (-\mathrm{id}_{\Delta}) Je pose (10)\quad \Sigma^{*} = \Sigma \setminus J = \Sigma - \{R_i \mid i \in I\} I pour J, tel quel sur la page.

et je m'intéresse au groupoïde fondamental de \Sigma^{*}, comme exercice préliminaire de syntaxe galoisienne, avant de regarder des situations un peu plus complexes (le triangle équilatéral remplacé par d'autres configurations riches en symétries sur la sphère, voire sur d'autres surfaces que la sphère, — celle-ci étant remplacée par la fibre de Hopf, en vue des applications au calcul des groupoïdes de Teichmüller…).

Il est commode d'introduire une compactification de \Sigma^{*}, pour disposer aussi de pts-base « proches » de chaque R_i.

La construction de l'éclatement réel et de la contraction dans les variétés C^\infty et analytiques réelles. Pour ceci considérons l'éclaté réel de \Sigma en J, soit \Sigma', dans lequel l'image inverse de i \in J s'identifie à ~~l'espace~~ la droite projective réelle (11)\quad \Sigma'_{R_i} \simeq P(T_{\Sigma,R_i}) (T_{\Sigma,R_i} espace tangent à \Sigma en R_i, identifié à T^{*}_{\Sigma,R_i}/\mathbf{R}^{*}), qui est un cercle plongé dans la surface compacte \Sigma' (qu'on peut considérer comme obtenue en enlevant de la sphère trois rondelles autour des R_i, et y recollant des rubans de Möbius — on obtient une surface non orientable dont le ~~genre~~ \chi_! est égal à \chi_!(\Sigma) - 3\chi_!(\text{rondelle ouverte}) + 3\big(\underbrace{\chi_!(\text{ruban Möbius})}_{0}\big) = 2 - 3 = -1 = 1 - g , donc le genre est 2). Le découpage de cette surface suivant \bigcup \Sigma'_{R_i} est une surface à bord compacte \widetilde{\Sigma}, avec \partial\widetilde{\Sigma} un rev. double de \coprod \Sigma'_{R_i}, ~~donc~~ soit en fait (12)\quad \partial\widetilde{\Sigma} \simeq \coprod_{i \in I} TU_{\Sigma,R_i} (cercle tangent unitaire à \Sigma en R_i, identifiable à T^{*}_{\Sigma,R_i}/\mathbf{R}^{*+}), noté aussi U_i. \widetilde{\Sigma} est une sphère à bord à trois trous. \widetilde{\Sigma}^{\circ} munie d'une structure conforme, mais celle-ci ne se prolonge pas à \widetilde{\Sigma}.

p. 3 de l'auteur. On a des équivalences de catégories (13)\quad \operatorname{Rev\,et}(\widetilde{\Sigma}) \xrightarrow[\text{équiv}]{\ \approx\ } \operatorname{Rev\,et}(\widetilde{\Sigma}^{\circ}) \xrightarrow[\text{iso}]{\ \sim\ } \operatorname{Rev\,et}(\Sigma^{*}) déduites de l'inclusion \widetilde{\Sigma}^{\circ} \overset{\mathrm{def}}{=} \widetilde{\Sigma} \setminus \partial\widetilde{\Sigma} = \widetilde{\Sigma} \,|\, \Sigma^{*} \hookrightarrow \widetilde{\Sigma} et de l'isomorphisme \widetilde{\Sigma}^{\circ} \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma^{*}, d'où une équivalence entre les groupoïdes fondamentaux au sens large (cf. les objets sont les rev. étales 1-connexes) (14)\quad \Pi_1(\widetilde{\Sigma}) \longrightarrow \Pi_1(\Sigma^{*}) et en composant avec \Pi_1(U_i) \longrightarrow \Pi_1(\widetilde{\Sigma}) déduit de l'inclusion U_i \hookrightarrow \widetilde{\Sigma}, on trouve (15)\quad \Pi_1\Big(\coprod U_i\Big) \longrightarrow \Pi_1(\Sigma^{*}) . Nous allons représenter graphiquement l'homomorphisme 14, en « dessinant » \widetilde{\Sigma} sur \Sigma^{*}, comme une région qui serait contenue dans \Sigma^{*} en lui enlevant l'intérieur de trois disques fictifs \Delta_i « infiniment petits » (s'identifiant aux disques unités des T_{\Sigma,R_i}, ou encore aux cônes sur les U_i), et on se représentera (14) comme provenant d'une telle inclusion fictive. Plus précisément, au lieu de travailler trois trous sur \widetilde{\Sigma} sphère plus grande .

En fait, nous allons travailler avec des éléments de \Pi_1(\widetilde{\Sigma}) qui proviennent, soit de pts de \widetilde{\Sigma}, donc de pts de \Sigma^{*} ou d'un des U_i, soit de parties de \widetilde{\Sigma} qui sont 1-connexes pour la top. induite par \widetilde{\Sigma} — en partant peut-être de parties 1-connexes de \Sigma^{*}, et en les faisant « déborder » sur \widetilde{\Sigma} de façon naturelle.

Le groupe \Gamma opère sur la situation C^\infty (\Sigma, J), donc par transport de structure sur la situation \widetilde{\Sigma} \longrightarrow \Sigma, \qquad J \subset \Sigma donc sur (14), (15). Un aspect essentiel du travail à faire est de garder cette opération constamment présente à l'esprit, et d'introduire des notations et des constructions qui soient invariantes, dans le sens requis par la situation, par les opérations en question.

p. 4 de l'auteur. une sphère, pôles P^{+} en haut et P^{-} en bas, l'équateur \Sigma_{\mathbf{R}} portant les trois trous R_0, R_1, R_\infty, chacun entouré de son petit cercle U_i marqué des points R_i^{\pm}, S_i^{\pm} et des arcs a_i^{++}, a_i^{+-}, \dots ; sur l'équateur les points Q_0, Q_1, Q_\infty et les arcs orientés b_i^{\pm} ; des pôles partent les méridiens portant les arcs c_i^{\pm} (vers les Q_i) et d_i^{\pm} (vers les S_i), en traits pleins ou pointillés selon l'hémisphère.

On introduit (16)\quad \left\{ \begin{array}{ll} Q_i \ (i \in J) & \text{antipodique de } R_i \ (= -R_i) \\ R_i^{\omega} \in U_i & (i \in J,\ \omega \in \boldsymbol{\omega}) \\ P_{\varepsilon} & (\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbf{R}})) \\ S_i^{\varepsilon} & \end{array} \right. où P_\varepsilon est défini par (17)\quad \{P_\varepsilon\} = \Delta \cap (\Sigma - \Sigma_{\mathbf{R}})_\varepsilon ~~et R_i^{\omega} \in U_{i\mathbf{R}}~~ et R_i^{\omega} est défini ainsi : On a une bijection canonique (18)\quad U_{i\mathbf{R}} \overset{\mathrm{def}}{=} \underbrace{U_i \cap T_{\Sigma_{\mathbf{R}},R_i}}_{TU_{\Sigma_{\mathbf{R}},R_i}} \simeq \boldsymbol{\omega} (\Sigma_{\mathbf{R}} variété de dim 1, l'une des orientations de celle-ci aux points R_i (donc globale) est un bijectif avec l'une des deux directions orientées tangentes). (19)\quad S_i^{\varepsilon} \in U_i \cap T_{\Sigma_i} = TU_{\Sigma_i} où \Sigma_i est le grand cercle déterminé par les P_\varepsilon et Q_i ; on a TU_{\Sigma_i} \simeq \boldsymbol{\varepsilon} (orientations de celle-ci, car les deux directions tangentes à \Sigma_i en R_i se découpent suivant les deux hémisphères \in \boldsymbol{\varepsilon} = \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbf{R}})). NB Il faudrait introduire \widetilde{\Sigma}_\varepsilon (\varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}), les deux hémisphères sur \widetilde{\Sigma}, le choix de S_i^\varepsilon est caractérisé par S_i^\varepsilon \in \widetilde{\Sigma}_\varepsilon.

On a fait la figure dans le cas où J = \{0, 1, \infty\}, \qquad \boldsymbol{\omega} = \{+1, -1\} (+ donné par la perm. circulaire 1 \mapsto 2 \mapsto 3, - par l'inverse) et en choisissant une orientation sur E \boldsymbol{\varpi} \simeq \{+1, -1\}, \quad \text{d'où} \quad \boldsymbol{\varepsilon} \simeq \{+1, -1\} . ~~On définit des chemins sur \widetilde{\Sigma} des parties de \widetilde{\Sigma} (19) a_i^{\omega}, b_i, c_i^{\omega} (pour les b_i^{\omega}) orientations symétriques~~ Bloc encadré et biffé au bas de la page ; il est repris, numérotation comprise, à la page suivante.

p. 5 de l'auteur. \text{\struck{(19)}}\qquad \boldsymbol{\varpi} \simeq \{\pm 1\} ~~si besoin~~ i.e. on donne \boldsymbol{\omega} \xrightarrow{\sim} \boldsymbol{\varepsilon}, donc donnant un procédé pour identifier l'une \boldsymbol{\omega} = \Omega(J) = \Omega(\Sigma_{\mathbf{R}}) deux hémisphères. Il s'agit d'arcs d'origine et d'extrémité sur des cercles.

(20)\quad \overset{12}{a_i^{\omega,\varepsilon}},\quad \overset{6}{b_i^{\omega}},\quad \overset{6}{c_i^{\varepsilon}},\quad \overset{6}{d_i^{\varepsilon}}, \qquad i \in J,\ \omega \in \boldsymbol{\omega},\ \varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon} Le numéro (20) est restitué : la page porte un numéro surchargé devant la ligne qui précède. On introduit sur \widetilde{\Sigma} les chemins simples (segments orientés plongés) ci-dessus ; b, c, d chaque paquet forment un torseur sous \mathfrak{S}_J. NB \operatorname{Rep}(J) \simeq J \times \boldsymbol{\omega} (21), (i,j,k) \mapsto (i, \omega_{ijk}). Le paquet (a_i^{\omega\varepsilon}) sous \Gamma = \mathfrak{S}_J . NB on a donc g(a_i^{\omega}) = a_{g(i)}^{g(\omega)}, etc. ; \tau opérant par (22)\quad \tau a_i^{\omega,\varepsilon} = a_i^{\omega,\varepsilon'}, \quad \tau b_i^{\omega} = b_i^{\omega}, \quad \tau c_i^{\varepsilon} = c_i^{\varepsilon'}, \quad \tau d_i^{\varepsilon} = d_i^{\varepsilon'} . On a (23)\quad a_i^{\omega\varepsilon} : S_i^{\varepsilon} \longrightarrow R_i^{\omega} \quad \text{sur } U_i ~~dans le sens de l'orientation de \Sigma en R_i~~ (quart de tour), ce qui caractérise a_i^{\omega\varepsilon} ~~explicitement~~. (24)\quad b_i^{\omega} : Q_i \longrightarrow R_{\omega' i}^{\omega'} \quad \text{sur } \widetilde{\Sigma}_{\mathbf{R}} \simeq \operatorname{Dic}(\Sigma_{\mathbf{R}}, J) ~~(chemin d'origine )~~ (chemin sur \widetilde{\Sigma}_{\mathbf{R}}, d'origine Q_i, dans la direction \omega, jusqu'à l'extrémité du segment \widetilde{\Sigma}_{\mathbf{R}} \simeq \operatorname{Dic}(\Sigma_{\mathbf{R}}, J), soit R_{\omega' i}^{\omega'}), « Dic » tel quel sur la page. (25)\quad c_i^{\omega} : P^{\omega} \longrightarrow Q_i \qquad \text{suivant un arc de grand cercle} (26)\quad d_i^{\omega} : P^{\omega} \longrightarrow S_i^{\omega} \qquad \text{suivant un arc de grand cercle} Dans (25) et (26) l'indice supérieur est écrit \omega là où (20) porte \varepsilon. On pose aussi (27)\quad b_i : R_{\omega i}^{\omega'} \longrightarrow R_{\omega' i}^{\omega'}, \qquad \widetilde{b}_i^{\omega} = b_i^{\omega} (b_i^{\omega'})^{-1} chemin dans la direction \omega Tous les arcs b_i^{\omega}, c_i^{\omega}, d_i^{\omega} se font sur des quarts de grands cercles de \Sigma, sauf que les extrémités des c_i^{\omega}, d_i^{\omega} ne sont pas dans \Sigma^{*} mais dans \partial\widetilde{\Sigma} \setminus \Sigma^{*} (U_i \subset \partial\widetilde{\Sigma}).

p. 6 de l'auteur (chiffre surchargé). Je vais introduire, dans la sphère \widetilde{\Sigma} dont le degré de connexion est 0, cinq ouverts, aussi grands que possible, qui soient simplement connexes — obtenus en pratiquant des « incisions » qui relient entre eux les ~~trois~~ bords U_i des trois « trous » . On pose (27)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \widetilde{\Sigma}_\varepsilon = \widetilde{\Sigma} \setminus \bigcup_{i \in J} \operatorname{supp} d_i^{\varepsilon} & \varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon} \\[4pt] \widetilde{\Sigma}_i = \widetilde{\Sigma} \setminus \bigcup_{j \in J \setminus \{i\}} b_j & \end{array} \right. (où b_j = \operatorname{supp} \widetilde{b}_j^{\omega} = \operatorname{supp} c_j^{\omega} \cup \operatorname{supp} c_j^{\omega'} ). Le numéro (27) est employé deux fois de suite, p. 50 et ici. deux sphères en marge. Sur la première, \widetilde{\Sigma}_\varepsilon : P_\varepsilon au sommet, les trois incisions d menant aux points S_i^{\varepsilon'}, S_j^{\varepsilon'}, S_k^{\varepsilon'} des trous, en trait épais. Sur la seconde, \widetilde{\Sigma}_i : Q_i, Q_j, R_i^{\omega} et les incisions le long de l'équateur.

On voit bien que ces ouverts ~~dans \widetilde{\Sigma}~~ sont simplement connexes, connexes et de la sphère ; dans \widetilde{\Sigma} (car le complémentaire est connexe). On dit que P_\omega est le centre de \widetilde{\Sigma}_\omega, Q_i le centre de \widetilde{\Sigma}_i. en tant qu'ouverts , et pour cette raison connexes

On pose (28)\quad \left\{ \begin{array}{l} \Pi_\varepsilon = \pi_1(\widetilde{\Sigma}, \widetilde{\Sigma}_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, \Sigma^{*}_\varepsilon) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, P_\varepsilon) \\[4pt] \Pi_i = \pi_1(\widetilde{\Sigma}, \widetilde{\Sigma}_i) = \pi_1(\Sigma^{*}, \Sigma^{*}_i) \simeq \pi_1(\Sigma^{*}, Q_i) \end{array} \right. en faisant les identifications impliquées par ces formules. Pour tout x \in \widetilde{\Sigma}_\omega resp. x \in \widetilde{\Sigma}_i, on pose (29)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{\varepsilon,x} \text{ ou } \varphi_\omega : \Pi_\varepsilon \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, x) & \big(\simeq \pi_1(\Sigma^{*}, x) \text{ si } x \in \Sigma^{*}\big) \\[4pt] \varphi_{i,x} \text{ ou } \varphi_i : \Pi_i \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, x) & \text{—} \end{array} \right. Les \varphi appelés isomorphismes de transition

Numéro de l'auteur « 6 », répété. l'isom. canonique déduit de l'inclusion. On a de plus des isomorphismes canoniques (30)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{i\varepsilon} : \Pi_\omega \longrightarrow \Pi_i & \text{défini par } c_i^{\varepsilon} : P_\varepsilon \to Q_i \\[4pt] \varphi_{\varepsilon i} : \Pi_i \longrightarrow \Pi_\omega & \text{---\ } (c_i^{\varepsilon})^{-1} : Q_i \to P_\varepsilon \end{array} \right. NB on a \varphi_{i\varepsilon} = \varphi_{Q_i,\varepsilon}, \varphi_{\varepsilon i} = \varphi_{P_\varepsilon, i}. Par ces isom., les \Pi_\varepsilon, \Pi_i sont reliés de façon transitive, mais bien entendu pas par un syst. transitif d'isomorphismes — au contraire, les automorphismes de l'un des groupes \Pi_\varepsilon, \Pi_i obtenus en composant des isom. (30) suivant des chemins fermés sur le graphe le graphe d'un octaèdre : P_\varepsilon en haut, P_{\varepsilon'} en bas, Q_i, Q_j, Q_k sur l'équateur, chaque P relié à chaque Q. sont tous les automorphismes intérieurs !

Les \pi_1(\Sigma^{*}, \text{\ill{}}) en les P_\varepsilon, Q_i étant canonifiés comme les \Pi_\varepsilon, \Pi_i, il reste à « repérer » les \pi_1 en les autres points marqués jusqu'à maintenant. Les choix naturels sont par Une formule biffée suit, où l'on reconnaît \Pi_\varepsilon, \Pi_i et des flèches ; elle est reprise en (31) à la page suivante.

(31)\quad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{R_i^{\omega},\, \omega i} : \Pi_{\omega i} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, R_i^{\omega}) & \text{ou } \varphi_{\omega i} \\[4pt] \varphi_{S_i^{\varepsilon},\, \varepsilon} : \Pi_\varepsilon \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{\Sigma}, S_i^{\varepsilon}) & \text{ou } \varphi^{\varepsilon} \text{ ou } d_i^{\varepsilon} \end{array} \right. Les indices de (31) sont lus avec doute. Le plus commode me semble de noter simplement \varphi_i, \varphi_\varepsilon, pour préciser le groupe \pi_1 standard \Pi_i ou \Pi_\varepsilon qui est en jeu, le point base x (= R_i^{\varepsilon} ou S_i^{\varepsilon}, disons) ne faisant pas de doute dans le calcul.

~~Les arcs a_i^{\omega} sont trop longs, il faut les couper en deux en posant~~ \text{\struck{$a_i^{\omega} = a_i^{\omega-} a_i^{\omega+}$, \quad $a_i^{\omega+} : R_i^{\omega} \to S_i^{\omega}$, \quad $a_i^{\omega-} : S_i^{\omega} \to R_i^{\omega'}$}} Bloc encadré et biffé.

Il faut enfin, pour des calculs pénibles, donner une façon de repérer les \Pi_i, \Pi_\omega par un groupe standard ~~\Pi_{0,3}~~, pour lequel nous prendrons (32)\quad \Pi_{0,3} = \pi_1\big(\mathbf{P}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0,1,\infty\} \,[= U_{0,3}(\mathbf{C})],\ P^{+}\big) = \{\, l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \,\} \subset \widetilde{\Pi}_{0,3} = \pi_1\big(U_{0,3}(\mathbf{C}),\ \mathfrak{S}_3 \times \{1,\tau\},\ P^{+}\big) = \{\, \rho, \sigma_\infty, \widetilde{\sigma}_\infty \mid \rho^3 = \sigma_\infty^2 = \widetilde{\sigma}_\infty^2 = 1,\ \sigma_\infty(\rho) = \rho^{-1},\ \widetilde{\sigma}_\infty(\sigma_\infty) = 1 \,\} \text{[i.e. } (\sigma_\infty \widetilde{\sigma}_\infty)^2 = 1 \text{]} \qquad \simeq \mathrm{GL}(2,\mathbf{Z})/\{\pm 1\} ~~\{\, \ldots \mid \rho^3 = \sigma_\infty^2 = 1 \,\} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})/\pm 1~~ La lecture de la relation \widetilde{\sigma}_\infty(\sigma_\infty) = 1 est douteuse ; le second membre de (32) est écrit au-dessus d'une première version biffée.

p. 7 de l'auteur. avec le formulaire familier dans \widetilde{\Pi}_{0,3} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}) : (33)\quad \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma_\infty \rho, \quad \varepsilon_1 \overset{\mathrm{def}}{=} \rho(\varepsilon_0) \ (= \rho\, \varepsilon_0 \rho^{-1}), \\[4pt] \varepsilon_\infty \overset{\mathrm{def}}{=} \rho(\varepsilon_1) = \rho^2(\varepsilon_0) = \rho^{-1}(\varepsilon_0) \\[4pt] l_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \varepsilon_0^2, \quad l_1 \overset{\mathrm{def}}{=} \varepsilon_1^2, \quad l_\infty \overset{\mathrm{def}}{=} \varepsilon_\infty^2, \quad l_\infty l_1 l_0 = 1 \\[4pt] \rho(l_i) = l_{\rho(i)} \ \ \{\rho(l_0) = l_1,\ \rho(l_1) = l_\infty,\ \rho(l_\infty) = l_0\}, \quad \rho(\varepsilon_i) = \varepsilon_{\rho(i)} \end{array} \right. NB on fait opérer \rho sur 0, 1, \infty par 0 \mapsto 1 \mapsto \infty \mapsto 0. Les \varepsilon_i de (33) sont des éléments de \widetilde{\Pi}_{0,3}, sans rapport avec les \varepsilon \in \boldsymbol{\varepsilon}. La lecture \varepsilon_0 = \sigma_\infty\rho est douteuse. (33)\quad \left\{ \begin{array}{l} \tau_\infty \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma_\infty \widetilde{\sigma}_\infty = \widetilde{\sigma}_\infty \sigma_\infty, \quad \tau_\infty^2 = 1 \\[4pt] \tau_\infty(l_0) = l_0^{-1}, \quad \tau_\infty(l_1) = l_1^{-1}, \quad \tau_\infty(l_\infty) = l_0^{-1} l_\infty^{-1} l_0 \\[4pt] \widetilde{\sigma}_\infty(l_0) = l_1^{-1}, \quad \widetilde{\sigma}_\infty(l_1) = l_0^{-1}, \quad \widetilde{\sigma}_\infty(l_\infty) = l_\infty^{-1} \\[4pt] \sigma_\infty(l_0) = l_1, \quad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \quad \sigma_\infty(l_\infty) = l_1^{-1} l_0^{-1} \end{array} \right. Le numéro (33) figure deux fois. La valeur de \tau_\infty(l_\infty) est lue avec doute, et la dernière égalité porte une suite biffée illisible.

Notons qu'un épinglage de la situation est fourni par un élément du produit \operatorname{Rep}(J, \boldsymbol{\varpi}) \simeq J \times \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\varpi}, donc par le choix d'un (i, \omega, \varpi), définissant donc un \varepsilon = \omega \wedge \varpi \in \boldsymbol{\varepsilon} \simeq \boldsymbol{\omega} \wedge \boldsymbol{\varpi}. On va définir pour r = (i, \omega, \varpi) des isom. (34)\quad \left\{ \begin{array}{l} \psi_\varepsilon^{i,\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\varepsilon \\[4pt] \psi_i^{\omega,\varepsilon} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_i \end{array} \right. isom. dits d'épinglage donnant lieu comme de juste à un triangle commutatif (35)

\begin{tikzcd}[column sep=large] & \Pi_{0,3} \arrow[dl, "\psi_\varepsilon^{i\omega}"'] \arrow[dr, "\psi_i^{\omega,\varepsilon}"] & \\ \Pi_\varepsilon \arrow[rr, bend left=15, "\varphi_{i\varepsilon}"] & & \Pi_i \arrow[ll, bend left=15, "\varphi_{\varepsilon i}"] \end{tikzcd}

ce qui fait qu'il suffit de définir l'un des deux isom. (34) — et vu la définition de \Pi_{0,3} dans (32), il est naturel de définir plutôt l'iso \text{\struck{(35)}}\quad \psi_r = \psi_{\varepsilon}^{i,\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\varepsilon \qquad r = (i, \omega, \varpi) par transport de structure comme (36)\quad \psi_\varepsilon^{i,\omega} = \pi_1(u_{i,\omega,\varepsilon} ; P^{+}), \quad \text{où } u_r = u_{i,\omega,\varepsilon} = u_\varepsilon^{i,\omega} : \big(U_{0,3}(\mathbf{C}), P^{+}\big) \longrightarrow (\Sigma^{*}, P_\omega) est l'unique iso. conforme qui transforme le repère standard \{\infty, \omega_{01\infty}, +1\} dans le repère (i, \omega, \varepsilon). Le numéro (36) est restitué : la page porte un numéro surchargé, lu « (35) » ou « (36) ». Au couple (i,\omega) on associe le repère r = (\omega i, \omega' i, i) de J , i.e. 0 \mapsto \omega i, 1 \mapsto \omega' i, \infty \mapsto i. ~~r = \ldots~~ Avec ces notations \rho_\omega(r) = r \circ \rho = (\omega i, \omega).

Pour un P_\varepsilon fixé, il y a six choix pour les \psi_r = \psi_{\varepsilon}^{i,\omega} : \Pi_{0,3} \to \Pi_\varepsilon — et pour un Q_i fixé, il y a quatre choix pour \omega, \varepsilon. Cela fait trois resp. ~~douze~~ choix si on suppose qu'on a choisi un élément de \boldsymbol{\varpi}, i.e. \Sigma est orienté, d'où \boldsymbol{\varepsilon} \simeq \boldsymbol{\omega}, et si on se borne aux \varepsilon qui correspondent aux \omega) — il faudrait donc voir comment passer d'un choix de l'un à l'autre.

Numéro de l'auteur « 9 » au-dessus de la première ligne, lu avec doute ; la p. 8 manque à la suite. Notons que l'isom. \psi_r : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \Pi_\omega, \qquad r \in \operatorname{Rep}(J, \boldsymbol{\varpi}) \simeq \operatorname{Isom}\big((\Sigma_0^{*}, P_{+}), (\Sigma^{*}, P_{+})\big) est compatible avec le transport de structure, ~~en ce qui~~ dans le sens qu'il élément g \in \widetilde{\mathfrak{S}}_J \subset \Gamma = \check{\mathfrak{S}}_J \Gamma_{P_\varepsilon} = \{\, (g, \tau^{\alpha}) \in \mathfrak{S}_J \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \mid \alpha = 0 \text{ si } \operatorname{sg} g = 1,\ \alpha = 1 \text{ si } \operatorname{sg} g = -1 \,\} = \{\, g \in \Gamma \mid g(\varepsilon) = \varepsilon \,\} Le signe « = » vertical relie \widetilde{\mathfrak{S}}_J à \Gamma_{P_\varepsilon} ; l'accent sur le second \mathfrak{S}_J est lu avec doute. on aura commutativité dans

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \Pi_{0,3} \arrow[dl, "{\psi_r = \psi_{\omega,i}^{\varepsilon}}"'] \arrow[dr, "{\psi_{g(r)} = \psi_{g(\omega),g(i)}^{g(\varepsilon)}}"] & \\ \Pi_\varepsilon \arrow[rr, "\pi_1(g)"'] & & \Pi_\varepsilon \end{tikzcd}

(37)\qquad \pi_1(g) \text{ par transport de structure}

ce qui suffit au passage d'un \psi_r à \psi_{g(r)} = \pi_1(g) \circ \psi_r, vu que \widetilde{\mathfrak{S}}_J est simplement transitif sur l'ensemble des repères r correspondant à un \varepsilon fixé. Mais on aimerait exprimer le passage par une formule de transformation dans \Pi_{0,3}. Notons que la donnée des repères définit un isom. canonique (encore noté u_r)

u_r : \widetilde{\mathfrak{S}}_3 \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathfrak{S}}_3 et tout repère r' = \varepsilon pour r, s'écrit de façon unique r' = r g_0 \quad \text{avec } g_0 \in \widetilde{\mathfrak{S}}_3 (38)\quad \text{i.e. } u_{r'} = u_r u_{g_0} \qquad (\text{avec } u_r(g_0) = g \text{ mais peu importe}) d'où, en passant à l'action sur les \pi_1 en P_{+} resp. P_\varepsilon, on trouve (39)\quad \psi_{r'} = \psi_r \circ \pi_1(g_0, P_{+}) \qquad \text{si } r' = r \circ g_0 \psi_r, \psi_{r'} désignent les isom. d'épinglage P_\varepsilon \psi_\varepsilon(l_0), \psi_\varepsilon(l_1) les lacets standard Q_i R_{\omega i}. NB les automorphismes P_\varepsilon, R_{\omega i} d'orientation \boldsymbol{\varpi} = \omega \wedge \varepsilon. en marge, un petit schéma : P_\varepsilon relié par un lacet l_0 au trou R_{\omega i} \simeq R_0 (d'orientation \varpi = \omega \wedge \varepsilon), au point Q_\infty et au trou R_{\omega' i} \simeq R_1.

Explicitons ceci pour g_0 = \rho \quad \text{donc} \quad r' = r\rho = (\omega i, \omega, \varpi) \quad \text{si } r = (i, \omega, \varpi) on trouve (40)\quad \psi_\varepsilon^{\omega i, \omega} = \overbrace{\psi_\varepsilon^{i,\omega} \circ \rho}^{\rho_\omega \circ \psi_\varepsilon^{i,\omega} =} où on a identifié \rho aussi à un élément de \widetilde{\Pi}_{0,3}, NB \rho_\omega est la rotation autour de l'axe de P_\varepsilon, P_{\varepsilon'}, d'un tiers de tour, ~~d'orientation~~ défini par \omega sur l'équateur dans \Pi_{0,3}. On trouve de même, pour un automorphisme qui renverse l'orientation de \Sigma, i.e. pour un \widetilde{\sigma}_\infty : \quad 0 \mapsto 1, \quad 1 \mapsto 0, \quad \infty \mapsto \infty, \qquad \varpi \mapsto \varpi' g_0 = \widetilde{\sigma}_\infty, \qquad r' = r \sigma_\infty = (\omega' i, \omega', \varpi') d'où (41)\quad \psi_\varepsilon^{\omega' i, \omega'} = \overbrace{\psi_\varepsilon^{i,\omega} \circ \widetilde{\sigma}_\infty}^{\widetilde{\sigma}_{?} \circ \psi_\varepsilon^{i,\omega} =} (\widetilde{\sigma}_i est la symétrie p.r. aux grands cercles méridiens passant par Q_i). Dans l'accolade de (41) l'indice de \widetilde{\sigma} est illisible ; le premier terme de r' est surchargé.

p. 10 de l'auteur. Passons au cas de Q_i — la définition des \psi_r = \psi_i^{\omega,\varepsilon} : \Pi_{0,3} \to \Pi_i est \psi_r = \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \pi_1(\underbrace{u_{i,\omega,\varepsilon}}_{u_r} ; Q_\infty) où de même u_r = u_{i,\omega,\varepsilon} est l'unique isom. de U_{0,3} dans \Sigma^{*} qui transforme le repère ~~fixé~~ standard (\infty,\ \omega_0 = +1,\ \varpi_0 = +1 \text{ donc } \varepsilon = \omega_0 \wedge \varpi_0 = +1) en r, i.e. qui transforme P_{+} en P_\varepsilon, Q_0 en Q_i, Q_1 en Q_{\omega i}. Les épinglages \psi_i^{\omega,\varepsilon} (i fixé, \omega, \varepsilon variables) de \Pi_i correspondant aux u_r qui transforment Q_0 en Q_i, se sont déterminés par compatibilité avec des éléments g_0 \in \Gamma_0 = \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\} qui stabilisent Q_0 — ces éléments forment un groupe \simeq \mathbf{Z}/2 \times \mathbf{Z}/2 engendré par \sigma_\infty, \tau. On trouve encore \psi_{r'} = \psi_r \circ \pi_1(g_0 ; Q_\infty) \qquad \text{si } r' = r \circ g_0 où ici \psi_r, \psi_{r'} désignent les iso. d'épinglage relatifs à Q_i. Il suffit d'expliciter ces formules dans les cas de g_0 = \sigma_\infty, g_0 = \tau, ce qui revient à calculer leur effet sur \pi_1(U_{0,3} ; Q_\infty), quand on identifie celui-ci à \Pi_{0,3} = \pi_1(U_{0,3} ; P_{+}), grâce au chemin d_\infty^{+} de P_{+} à Q_\infty. On sait que ces générateurs NB on identifie \pi_1(U_{0,3} ; Q_\infty) à \Pi_{0,3} \overset{\mathrm{def}}{=} \pi_1(U_{0,3} ; P_{+}) à l'aide du chemin d_\infty^{+} de P_{+} à Q_\infty. Les Q_i de cette page jouent le rôle que (31) donnait aux \Pi_i ; le chemin d_\infty^{+} joint ici P_{+} à Q_\infty, alors qu'en (25)–(26) c'est c qui mène aux Q_i et d aux S_i.

sont \operatorname{int}(\sigma_\infty), \operatorname{int}(\tau_\infty). Or dans le cas g_0 = \tau_\infty resp. g_0 = \sigma_\infty, ~~donc~~ on trouve r' = (i, \omega, \varepsilon') resp. r' = (i, \omega', \varepsilon'), donc (39)\quad \left\{ \begin{array}{l} \psi_i^{\omega,\varepsilon'} = \tau \circ \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \tau_\infty \\[4pt] \psi_i^{\omega',\varepsilon'} = \sigma_i \circ \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \sigma_\infty \end{array} \right. (\sigma_i : transposition \in \mathfrak{S}_J qui fixe i) dont en composant (40)\quad \psi_i^{\omega',\varepsilon} = \widetilde{\sigma}_i \circ \psi_i^{\omega,\varepsilon} = \psi_i^{\omega,\varepsilon} \circ \widetilde{\sigma}_\infty Sous \widetilde{\sigma}_i la page porte « \tau\sigma_i, symétrie autour des grands cercles passant par P_\varepsilon, P_{\varepsilon'}, Q_i ». Les numéros (39) et (40) sont ici repris une seconde fois, après (39)–(41) de la p. 57.

Dans tous ces calculs, suivant sans doute d'anciennes habitudes, j'ai privilégié les P_\varepsilon et les Q_i comme pts base — alors que pour le travail que j'ai en vue, ce sont les points R_i^{\omega} qui sont les plus cruciaux, où les calculs en ces pts expriment directement les phénomènes de « monodromie » autour des « trous » R_i. Je vais réparer cette négligence, en introduisant, en

p. 11 de l'auteur. plus des \widetilde{\Sigma}_\omega, \Pi_\omega et \widetilde{\Sigma}_i, \Pi_i, des régions \widetilde{\Sigma}_r = \widetilde{\Sigma}_i^{\omega,\varepsilon} associées aux repères r = (i, \omega, \struck{\ill{}}\, \varepsilon) de (J, \boldsymbol{\varepsilon}) (ou ce qui revient au même, de (J, \boldsymbol{\varpi})), qu'on peut identifier, géométriquement, aux douze triangles-drapeaux D_r = P_\varepsilon Q_i R_{\omega i}, correspondant à la subdivision barycentrique standard de la sphère \Sigma définie par l'équateur \Sigma_{\mathbf{R}} et par les trois points R_i sur celui-ci. Le « trou » sur \widetilde{\Sigma} issu de l'un de ces triangles est un quadrilatère \widetilde{D}_r P_\varepsilon Q_{\omega' i} R_i^{\omega} S_i^{\varepsilon} \simeq P_{+} Q_\infty R_0^{+} S_0^{+} . une sphère : P_\varepsilon \simeq P_{+} au sommet, P_{\varepsilon'} en bas ; le quadrilatère \widetilde{D}_r hachuré entre le méridien de Q_i \simeq Q_\infty et celui du trou R_{\omega i} \simeq R_1 ; autour des trous les points R_{\omega i}^{\omega}, S_i^{\varepsilon} \simeq S_0^{\varepsilon}, Q_{\omega' i} ; légende r = (i, \omega, \varepsilon), J = \ldots

On aura à travailler, au « voisinage immédiat » de ce repère , au ~~triangle-drapeau~~ drapeau \widetilde{\Sigma}_r, avec les symétriques de \Sigma_r p.r. à ses trois côtés, et ses transformés par \Sigma_r, ~~ce qui conduit~~ à regarder la réunion de \Sigma_r avec ses trois transformés \tau(\Sigma_r), \quad \widetilde{\sigma}_i(\Sigma_r), \quad \widetilde{\sigma}_{\omega i}(\Sigma_r) (qui correspondent, sur la sphère standard avec le repère correspondant au triangle P_{+} Q_\infty R_0, à \tau, \widetilde{\sigma}_\infty, \widetilde{\sigma}_0) et sur \widetilde{\Sigma} à prendre (41)\quad \widetilde{\Sigma}_r = \widetilde{\Sigma}_i^{\omega,\varepsilon} = \widetilde{D}_r \cup \tau(\widetilde{D}_r) \cup \widetilde{\sigma}_i(\widetilde{D}_r) \cup \widetilde{\sigma}_{\omega i}(\Sigma_r) limité par le contour P_\varepsilon Q_{\omega' i} R_{\omega' i}^{\omega} S_i^{\varepsilon} \ldots P_{\varepsilon'} \ldots Q_i R_{\omega' i}^{\omega'} S_{\omega' i}^{\varepsilon} P_\varepsilon Le contour est lu en partie seulement : plusieurs sommets intermédiaires, serrés en bas de page, restent illisibles et sont remplacés par « \ldots ». L'argument se poursuit au-delà de ce lot.