Cote n° 142, pages 21–40

Cote n° 142 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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Opérations de $\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}$ sur $\pi_1 M_{0,3}$

titre de la main de Grothendieck, sur le feuillet de couverture (p. 21), d'ailleurs blanc ; un symbole biffé […] précède $\pi_1$. Le texte qui suit commence à sa p. 5, mais la numérotation des formules y repart de (1) : les pp. 1–4 de l'auteur ne sont pas dans ce lot.

23p. 5 de l'auteur sphère vue en perspective ; sur l'équateur, trois points marqués (ronds pleins), chacun entouré d'un petit cercle portant deux sommets $R_i^{\omega}$, $R_i^{\omega'}$ ($i = 0, 1, \infty$), reliés par les arcs $a_i^{\omega}$, $a_i^{\omega'}$ ; les sommets voisins de deux points différents sont reliés par les flèches $b_0^{\omega}$, $b_1^{\omega}$ (lecture douteuse), $b_\infty^{\omega}$. Légende : $\mathrm{I}_J$. NB. $\tau(R_i^{\omega}) = R_i^{\omega'}$, $\tau(a_i^{\omega}) = (a_i^{\omega'})^{-1}$, $\tau(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega'}$ dans cette note marginale, écrite en biais, les exposants $\omega'$ sont peu lisibles.

$\widetilde{\mathfrak{S}}_J$ permute transitivement les six flèches $a_i^{\omega}$ et les six flèches $b_i^{\omega}$ : […] \[(1)\quad \begin{cases} a_i^{\omega} : R_i^{\omega} \to R_i^{\omega'} \\ b_i^{\omega} : R^{\omega}_{\omega i} \to R^{\omega'}_{\omega' i} \end{cases}\] \[(2)\quad \begin{cases} \text{a)}\ \ b_i^{\omega} b_i^{\omega'} = 1 \\ \text{b)}\ \ a_i^{\omega} b^{\omega}_{\omega' i} a_i^{\omega'} b^{\omega}_{\omega i} a^{\omega'}_{\omega i} b_i^{\omega} = 1 \end{cases}\] (trois relations effectives) ; (deux relations effectives, une pour chaque $\omega \in \underline{\omega}$) les indices et exposants de (2 b) sont lus avec doute. \[(3)\quad a_i^{\omega'} a_i^{\omega} = \lambda_i^{\omega} = \varphi_i^{\omega}(l_0)\] \[(4)\quad \varphi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} = \pi_1(M_{0,3}\,;R_0^{+}) \hookrightarrow \pi_1(\Sigma^{*}, R_i^{\omega})\] \[\Pi_{0,3} = \{\, l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \,\} \subset \widetilde{\Pi}_{0,3} = \pi_1(M_{0,3}, \mathfrak{S}_3\,; R_0^{+}),\] \[l_0 \mapsto a_i^{\omega'} a_i^{\omega}, \qquad l_1 \mapsto (b^{\omega}_{\omega' i})^{-1} a^{\omega}_{\omega i} a^{\omega'}_{\omega i} b_i^{\omega}\] les indices de l'image de $l_1$ sont incertains ; un trait sous l'expression porte « […] ». Les $\varphi_i^{\omega}$ sont permutés entre eux de façon simplement transitive. \[(5)\quad \tau\varphi_i^{\omega}(g) = \varphi_i^{\omega}(\tau_\infty(g)) \quad \text{où } \tau_\infty \in \widetilde{\Pi}_{0,3},\] \[\tau_\infty(l_0) = l_0^{-1}, \quad \tau_\infty(l_1) = l_1^{-1}, \quad \tau_\infty(l_\infty) = l_0 l_1 = \mathrm{int}(l_0)\, l_\infty^{-1}\] \[(6)\quad \begin{cases} a_i^{\omega}(\varphi_i^{\omega}(g)) = \varphi_i^{\omega'}(\varepsilon_0(g)) \\ b_i^{\omega}(\varphi^{\omega}_{\omega i}(g)) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty(g)) \end{cases} \qquad \varepsilon_0^2 = l_0\] \[\sigma_\infty(l_0) = l_1, \quad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \quad \sigma_\infty(l_\infty) = (l_0 l_1)^{-1} = l_1^{-1} l_0^{-1} = \mathrm{int}(l_0)\, l_\infty\] […]

On introduit \[(7)\quad \tilde b_i^{\omega} = a^{\omega'}_{\omega' i} b_i^{\omega} : R^{\omega}_{\omega i} \to R^{\omega}_{\omega' i} ;\] (2 b) s'écrit \[(8)\quad \tilde b^{\omega}_{\omega^2 i}\, \tilde b^{\omega}_{\omega i}\, \tilde b_i^{\omega} = 1\] NB. L'un des $\tilde b_i^{\omega}$ n'est pas stable sous $\tau$, il faudrait donc aussi prendre les $\tau \tilde b_i^{\omega}$ On aura \[(9)\quad \tilde b_i^{\omega}(\varphi^{\omega}_{\omega i}(g)) = \varphi^{\omega}_{\omega' i}(\rho^{-1}(g)) \qquad \rho^{-1} = \varepsilon_0 \sigma_\infty, \quad \begin{cases} \rho(l_0) = l_1 \\ \rho(l_1) = l_\infty \\ \rho(l_\infty) = l_0 \end{cases}\] Les relations 2 b) deviennent \[(\text{\struck{\ill{}}})\quad \tilde b_{\omega^2 i}\, \tilde b_{\omega i}\, \tilde b_i = 1\]

24p. 6 de l'auteur Soit $u$ un automorphisme ⌜du groupoïde $\widehat{\mathrm{I}}_J$⌝ qui commute à $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, et fixe les pts, il est déterminé et qui conserve […] les sous-groupoïdes $\widehat{\mathrm{I}}_{J,i}$, où $\widehat{\mathrm{I}}_{J,i}$ est engendré par $R_i^{\omega}$, $a_i^{\omega}$, $\omega \in \underline{\omega}$. La restriction à $\mathrm{I}_{J,i}$ définie est donnée par \[u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) = \varphi_i^{\omega'}(l_0^{\gamma})\, a_i^{\omega} \qquad \text{($\varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) = (\lambda_i^{\omega})^{\gamma}$)}\] $l_0^{\gamma}$ indépendant de $i, \omega$, $\gamma \in \hat{\mathbb{Z}}$ ; on aura \[u(a_i^{\omega'} a_i^{\omega}) = \varphi_i^{\omega}(l_0^{2\gamma+1}), \qquad u(\underbrace{\varphi_i^{\omega}(l_0)}_{\lambda_i^{\omega}}) = \varphi_i^{\omega}(l_0^{p}) = (\lambda_i^{\omega})^{p}, \qquad \gamma = \frac{p-1}{2}\] dans $l_0^{2\gamma+1}$ un caractère surchargé précède le $+1$. \[\begin{cases} u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) \\ u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta) \quad (= \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty \beta)\, b_i^{\omega}) \end{cases} \qquad \gamma = \frac{p-1}{2}, \quad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \text{ multiplicateur}, \quad \beta \in \widehat{\Pi}_{0,3}\] sous la seconde ligne, une variante biffée et illisible. Ici $(p, \beta)$ détermine $u$ (en fait, $\beta$ détermine $p$…) \[u(\tilde b_i^{\omega}) = \tilde b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\underbrace{l_1^{\gamma} \beta}_{\sigma_\infty(\lambda) \beta}) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(l_0^{\gamma} \rho^{-1}(\beta))\, \tilde b_i^{\omega}\] Les équations sur $(p, \beta)$ expriment 2 […] \[(12)\quad \begin{cases} \beta\, \sigma_\infty(\beta) = 1 \\ \alpha\, \rho^{-1}(\alpha)\, \rho^{-2}(\alpha) = 1 \quad \text{où } \text{\struck{$\alpha = l_1^{-\gamma} \beta$}} \\ \alpha = \underbrace{l_1^{\gamma}}_{\sigma_\infty(\lambda)} \beta \end{cases}\] NB. Si on remplace $\beta$ par $\beta^{-1}$, $\alpha$ par $\alpha^{-1}$, on retrouve les équations habituelles ($\alpha^{-1} \rho(\alpha^{-1}) \rho^{2}(\alpha^{-1}) = 1$) — cf plus loin Notons que si $u$ est défini par $(p, \beta)$, alors $\tau(u)$ ⌜$= \tau u \tau^{-1}$⌝ est défini par $(p, \beta' = \tau_\infty(\beta))$. Il faudrait pouvoir vérifier directement, par un calcul dans $\Pi_{0,3}$, que les équations (12) sur $\beta$ impliquent les mêmes relations pour $\beta' = \tau_\infty(\beta)$ (avec le même $\gamma$). (en haut, en biais) Les deux automorphismes […] devrait plus […] on ne sait pas […] $(p, \beta)$, […] $p \in \hat{\mathbb{Z}}$ […] $p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}$, […] $2\gamma+1$ […] $\gamma \in \hat{\mathbb{Z}}$ (au milieu, en biais) Faire les calculs d'abord […] $u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(\lambda)$ avec $\lambda \in \widehat{\Pi}_{0,3}$ […] de la forme $l_0^{\gamma}$, $\gamma \in \hat{\mathbb{Z}}$… (en bas, en biais) Si on change le définition de $\beta$, […] $\beta$ devient $\sigma_\infty(\beta)$ […] les deux premières […] $\alpha = l_1^{\gamma} \sigma_\infty(\beta)$ […] les trois notes marginales de cette page, écrites en biais et très serrées, ne se lisent que par fragments.

25p. 7 de l'auteur même sphère que p. 23, à laquelle s'ajoutent sur l'équateur trois nouveaux sommets $Q_0$, $Q_1$, $Q_\infty$ et des arcs $c_i^{\pm}$ qui les relient aux sommets $R^{\pm}$ voisins. Légende : $\mathrm{II}_J$. On rajoute les sommets $Q_i$ ($i \in J$) et les arcs \[Q_i \xrightarrow{\;c_i^{\omega}\;} R^{\omega'}_{\omega' i}\] permutés transitivement ⌜de façon simplement⌝ transitive par $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$. On a maintenant \[(13)\quad b_i^{\omega} = c_i^{\omega} (c_i^{\omega'})^{-1}\] (donc les $b_i^{\omega}$ deviennent inutiles comme générateurs d'un groupoïde). (⌜Donc⌝ les relations (2) deviennent […], la partie (a) devient automatique, pour écrire commodément la partie (b), on introduit les \[(14)\quad \tilde a_i^{\omega} = (c^{\omega}_{\omega i})^{-1} a_i^{\omega} c^{\omega'}_{\omega' i} : Q_{\omega i} \to Q_{\omega' i}\] la première écriture de (14), surchargée, est remplacée par celle, interlinéaire, qui est donnée ici. à droite : petit schéma de $\tilde a_i^{\omega}$, chemin de $Q_{\omega i}$ à $Q_{\omega' i}$ passant par $(c^{\omega}_{\omega i})^{-1}$, l'arc $a_i^{\omega}$ entre $R_i^{\omega}$ et $R_i^{\omega'}$, puis $c^{\omega'}_{\omega' i}$ ; une première version, au-dessous, est rayée. Dans la marge gauche, un croquis analogue, en partie rayé. qui sont également permutés de façon simpl. transitive par $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, et on a \[(15)\quad \tau(\tilde a_i^{\omega}) = (\tilde a_i^{\omega'})^{-1}\] Les relations (2 b) deviennent \[(16)\quad \tilde a^{\omega}_{\omega^2 i}\, \tilde a^{\omega}_{\omega i}\, \tilde a_i^{\omega} = 1\] (deux relations ess[entiellemen]t distinctes, qui sont permutées par $\tau$)

Pour repérer les ⌜$\pi(Q_i) =$⌝ $\pi_1(\Sigma_J(\mathbb{C}), Q_i)$ de façon commode, on utilise les \[(17)\quad \psi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi(Q_i)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
\Pi_{0,3} \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr, "{\varphi^{\omega'}_{\omega' i}\,\wr}"'] & & \pi(Q_i) \\
& \pi(R^{\omega'}_{\omega' i}) \arrow[ur, "{(c_i^{\omega})^{-1},\,\sim}"'] &
\end{tikzcd}

NB. $\tau\psi_i^{\omega}(g) = \psi_i^{\omega}(\tau_\infty g)$ dans ce NB l'exposant du second membre est peu sûr. on aura \[(18)\quad \psi_i^{\omega}(g) = \psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty(g))\] \[(19)\quad \begin{aligned} \tilde a_i^{\omega}(\psi^{\omega'}_{\omega i}(g)) &= \psi^{\omega}_{\omega' i}(\varepsilon_0(g)) = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty \varepsilon_0(g)) \\ \tilde a_i^{\omega}(\psi^{\omega}_{\omega i}(g)) &= \psi^{\omega}_{\omega' i}(\underbrace{(\varepsilon_0 \sigma_\infty)}_{\rho^{-1}}(g)) = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty \varepsilon_0 \sigma_\infty(g)) \end{aligned}\] dans (19), plusieurs exposants $\omega$ sont surchargés d'un astérisque ; au-dessus de la première ligne, « $\tau_\infty(\rho)$ » précédé d'un mot biffé. La seconde ligne, encadrée, semble corriger la première.

26p. 8 de l'auteur On prend un automorphisme ⌜$u$⌝ des groupoïdes $\widehat{\mathrm{II}}_J$ qui commute à $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$ et qui fixe les sommets, et qui conserve plus exactement bien stables les sous-groupoïdes $\widehat{\mathrm{II}}_{J,i}$ ($i \in J$), engendrés de $\mathrm{II}_{J,i}$ engendré par les ⌜deux⌝ sommets $R_i^{\omega}$ ($\omega \in \underline{\omega}$) et les deux flèches $a_i^{\omega}$ ($\omega \in \underline{\omega}$). […] L'automorphisme $u$ est connu quand on connaît les $u(a_i^{\omega})$, qui sont de la forme \[(20)\quad u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) \qquad \gamma = \frac{p-1}{2} \in \hat{\mathbb{Z}}, \quad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\] NB : $\lambda \in \widehat{\Pi}_{0,3}$, pas le peine d'exiger de prime abord que $\lambda$ soit de la forme $l_0^{\gamma}$… et les \[(21)\quad u(c_i^{\omega}) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\eta)\, c_i^{\omega} = c_i^{\omega} \psi_i^{\omega}(\eta) \qquad \eta \in \widehat{\Pi}_{0,3} \text{ indépendant de } i, \omega\] On aura alors (comparer (11)) \[(22)\quad u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta)\] avec \[(23)\quad \beta = \sigma_\infty(\eta)\, \eta^{-1}\] NB. Devient plus joli si $\eta$ est remplacé par son $\sigma_\infty(\eta)$, ou $\beta$ par $\beta^{-1}$ (en biais, sous (23)) $\eta' = \tau(\eta)$, $\beta' = \tau_\infty(\beta)$ ? Les relations à satisfaire sont celles déjà écrites sur $p$ (ou $\gamma$) et $\beta$, savoir (12) — mais la première relation $\beta\sigma_\infty(\beta) = 1$ est conséquence de (23), il reste la deuxième, qui s'écrit donc \[(24)\quad \text{\struck{$l_1^{-\gamma}\sigma_\infty(\eta)\eta^{-1}$}}\ \ \alpha \rho^{-1}(\alpha) \rho^{-2}(\alpha) = 1 \quad \text{avec } \alpha = \underbrace{l_1^{\gamma}}_{\sigma_\infty(\lambda)} \underbrace{\sigma_\infty(\eta)\eta^{-1}}_{\beta}.\] NB. Si $u$ est remplacé par $\tau u \tau^{-1}$, alors $\eta$ est remplacé par $\tau_\infty(\eta)$, $\beta$ par $\varepsilon_0^{-1}(\tau_\infty(\lambda^{-1}))$ […] note marginale en biais, lecture très incertaine. On aura ici \[(25)\quad u(\tilde a_i^{\omega}) = \psi^{\omega^*}_{\omega i}(\underbrace{\eta^{-1} l_0^{\gamma} \varepsilon_0(\eta)}_{\tilde\alpha = \eta^{-1}\varepsilon_0(\lambda\eta)})\, \tilde a_i^{\omega} = \tilde a_i^{\omega}\, \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\underbrace{\varepsilon_0^{-1}(\eta^{-1}) l_0^{\gamma} \eta}_{\varepsilon_0^{-1}(\tilde\alpha)})\] sous $\tilde\alpha$ : « valable pour tout $\lambda$ ». Dans la marge gauche : $\tilde\alpha = \eta^{-1} l_0^{\gamma} \varepsilon_0(\eta)$. et \[(\text{25\,bis})\quad \alpha = \rho(\eta \tilde\alpha \rho^{-1}(\eta)^{-1})\] valable pour $\lambda$ quelconque, pas nécessairement de la forme $l_0^{\gamma}$. […] Dans l'équation (24) on a (invariante par substitutions $\alpha \mapsto \rho^{-1}(\alpha)$ (ou $\alpha \mapsto \rho\alpha = \rho^{-2}(\alpha)$) et $\alpha \mapsto x\alpha\rho^{-1}(x)^{-1}$,

27p. 9 de l'auteur équivalente à l'équation identique […] ⌜analogue⌝ en $\tilde\alpha$ \[(26)\quad \tilde\alpha\, \rho^{-1}(\tilde\alpha)\, \rho^{-2}(\tilde\alpha) = 1, \qquad \boxed{(27)\quad \tilde\alpha = \eta^{-1} l_0^{\gamma} \varepsilon_0(\eta)}\] le second $\rho$ de (26) porte un exposant peu net, lu $-2$ d'après (24).

Considérons maintenant le groupoïde ⌜$\mathrm{III}_J$⌝ induit par le groupoïde précédent ⌜$\mathrm{II}_J$⌝ sur l'un des trois sommets $Q_i$, c'est-à-dire le groupoïde engendré par le graphe à trois sommets $Q_i$ ($i \in J$) et six arcs orientés $\tilde a_i^{\omega}$ et leurs opposés, avec les seules relations (16) (une des 6 relations stable par $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, et se réduisant en fait à deux relations effectives…). Le groupe $\{1, \tau\}$ opère dans le graphe avec relations, par \[(27)\quad \tau Q_i = Q_i, \qquad \tau \tilde a_i^{\omega} = (\tilde a_i^{\omega'})^{-1}\] le numéro (27) sert ici une seconde fois, comme sur la page. à gauche : sphère portant les trois sommets $Q_0$, $Q_1$, $Q_\infty$ et les six arcs $\tilde a_i^{\pm}$ qui les joignent deux à deux. Légende : $\mathrm{III}_J$. La donnée d'un automorphisme ⌜[…]⌝ des groupoïdes $\widehat{\mathrm{III}}_J$, fixant les sommets et commutant à $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, équivaut à celle d'un $\tilde\alpha \in \widehat{\Pi}_{0,3}$, […] l'équation […] satisfaisant (26). On aura, en introduisant \[(28)\quad \tilde\lambda_i^{\omega} = \tilde a_i^{\omega'} \tilde a_i^{\omega} \in \pi(Q_{\omega' i}) \qquad (\lambda_i^{\omega} = a_i^{\omega'} a_i^{\omega})\] à droite : $Q_{\omega i}$ et $Q_{\omega' i}$ reliés par les deux arcs $\tilde a_i^{\omega}$ (en haut) et $\tilde a_i^{\omega'}$ (en bas) ; au centre, en pointillé, le petit cercle $R_i^{\omega}$, $R_i^{\omega'}$ et l'arc $a_i^{\omega}$. (contourner) […] des $\tilde a_i^{\omega}$ […] groupoïde $\mathrm{II}_J$ ! […] \[(29)\quad u(\tilde\lambda_i^{\omega}) = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha))\, \tilde\lambda_i^{\omega} = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha)\, l_0)\] Dans le cas où $\tilde\alpha$ provient de $\eta, \gamma$ par (27), on a \[(30)\quad \tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha)\, l_0 = \eta^{-1} l_0^{p} \eta \qquad (p = 2\gamma+1) ;\] (en biais, à gauche) $\psi$ serait raisonnable […] les $\tilde a_i^{\omega}$ […] dans $\mathrm{II}_J$ […] — * […] le numéro (30) est écrit dans la marge, en bas à gauche ; les notes marginales de cette page sont écrites en biais et se lisent mal.

28p. 10 de l'auteur ou, en d'autres termes, faisant opérer $u$ sur $\pi(Q_{\omega' i})$, identifié à $\widehat{\Pi}_{0,3}$ via $\psi^{\omega'}_{\omega' i}$, $\tilde\lambda_i^{\omega}$ identifié à $l_0$, on trouve que $u(l_0)$ est conjugué de $l_0^{p}$, […] la conjugaison étant effectuée par $\eta^{-1}$ (par la formule (30)). (en biais) NB. Le sous-groupoïde $\widehat{\mathrm{III}}_{J,i}$ ([…]) engendré […] est stable par $u$ […] $\mathfrak{S}_J \times \{1, \tau\}$, […]

Le passage de $u$ à $\tau(u)$ s'exprime par l'on rajoute maintenant les points $P_\omega$ […] ($\omega \in \underline{\omega}$) la passage de $\tilde\alpha$ à \[(31)\quad \tilde\alpha' = \varepsilon_0 \tau_\infty(\tilde\alpha^{-1}) = \underbrace{\rho^{-1} \tilde\sigma_\infty}_{\tilde\sigma_0}(\tilde\alpha^{-1})\] où $\tilde\sigma_\infty = \sigma_\infty \tau_\infty = \tau_\infty \sigma_\infty$ est dans l'image de l'homomorphisme canonique $\widetilde{\mathfrak{S}}_3 \to \widetilde{\Pi}_{0,3}$, […] $\simeq$ $\widetilde{\mathfrak{S}}_3$ stabilisateur de $P_{+}$ dans $\mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\}$ \[\tilde\sigma_i(l_i) = l_i^{-1}, \qquad \tilde\sigma_i(l_j) = l_k^{-1} \quad \text{si } \{0, 1, \infty\} = \{i, j, k\}\]

NB. Le groupe $\widetilde{\mathfrak{S}}_3$ opère sur $\Pi_{0,3}$ et contient $\widetilde{\mathfrak{S}}_3^{+}$ […] $\{1, \rho^{-1}, \rho^{-2}\}$ comme sous-groupe d'indice 2, […] $\widetilde{\mathfrak{S}}_3$ […] $\widetilde{\mathfrak{S}}_3 / \widetilde{\mathfrak{S}}_3^{+}$ opère sur $\widetilde{\mathfrak{S}}_3^{+}$ en échangeant $\rho$ et $\rho^{-1}$, il s'ensuit que $\widetilde{\mathfrak{S}}_3$ opère sur l'ensemble des solutions $x$ de l'équation \[x\, \rho^{-1}(x)\, \rho^{-2}(x) = 1\] par \[(32)\quad \Theta_g x = g \cdot x^{\chi(g)}\] l'exposant de (32), surchargé, est lu $\chi(g)$ sans certitude. et on a ici \[(33)\quad \tilde\alpha' = \Theta_{\tilde\sigma_0}(\tilde\alpha).\]

29p. 11 de l'auteur sphère : pôles $P_{+}$ (en haut) et $P_{-}$ (en bas) ; sur l'équateur, les sommets $Q_0$, $Q_1$, $Q_\infty$ et les trois points marqués (ronds pleins) ; les arcs $\tilde a_i^{\pm}$ le long de l'équateur, et les méridiens $d_i^{+}$ (de $P_{+}$ à $Q_i$) et $d_i^{-}$ (de $P_{-}$ à $Q_i$), en trait plein ou en pointillé selon qu'ils sont vus ou cachés. NB. Les flèches $\tilde a_i^{\omega}$ sont ici superflues, cf (37) et commentaire p. 19. la « p. 19 » est la pagination de l'auteur : p. 37 des archivistes. On rajoute les ⌜deux⌝ sommets $P^{\omega}$ ($\omega \in \underline{\omega}$), et les flèches \[d_i^{\omega} : P^{\omega} \to Q_i\] permutés transitivement par $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, avec \[(34)\quad \tau(P^{\omega}) = P^{\omega'}, \qquad \tau(d_i^{\omega}) = d_i^{\omega'}\] dans (34) et dans la définition de $d_i^{\omega}$, l'indice de $P$ est surchargé ; on lit $P^{\omega}$.

$\mathrm{IV}_J$ Le groupoïde $\mathrm{III}_J$ est équivalent au groupoïde $\mathrm{IV}_J$ ⌜défini par le graphe […]⌝ sur les sommets $Q_i$ ($i \in \omega$) et $P^{\omega}$ ($\omega \in \underline{\omega}$), les arcs $\tilde a_i^{\omega}$ et $d_i^{\omega}$ et les ⌜arcs⌝ opposés, et les six relations \[(35)\quad (d^{\omega}_{\omega' i})^{-1} \tilde a_i^{\omega} d_i^{\omega} = 1\] (qui impliquent d'ailleurs les relations correspondantes (16) pour $\mathrm{III}_J$). La donnée d'un automorphisme ⌜automorphisme⌝ de $\widehat{\mathrm{IV}}_J$ qui fixe les pts sommets (pour simplifier — il faudrait regarder aussi ceux qui permutent les sommets ⌜$P_\omega$⌝, en fixant les $Q_i$), équivalente et qui commutent à $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, équivaut à la donnée des \[(36)\quad \begin{cases} u(\tilde a_i^{\omega}) = \psi^{\omega}_{\omega i}(\tilde\alpha)\, \tilde a_i^{\omega} & \tilde\alpha \in \widehat{\Pi}_{0,3} \ \text{(indép. de } i, \omega) \\ u(d_i^{\omega}) = \psi_i^{\omega}(\zeta)\, d_i^{\omega} \quad (= d_i^{\omega} \tilde\varphi_i^{\omega}(\zeta)) & \zeta \in \widehat{\Pi}_{0,3}\ \ldots \end{cases}\] la parenthèse de la seconde ligne de (36) est d'une lecture douteuse. de $\tilde\alpha, \zeta \in \widehat{\Pi}_{0,3}$, avec la relation déduite de (35), on trouve les équations \[(37)\quad \tilde\alpha = \zeta \cdot \rho^{-1}(\zeta^{-1})\] i.e. $\tilde\alpha$ est connu, quand on connaît $\zeta \in \widehat{\Pi}_{0,3}$. (en biais) il n'y a donc plus de conditions sur $\zeta$ ici.

30p. 12 de l'auteur qui implique bien sûr (26). NB. Le passage de $u$ à $\tau(u)$ s'exprime par $\zeta \mapsto \sigma_\infty \tau_\infty(\zeta) = \tilde\sigma_\infty(\zeta)$ (en biais, à gauche) revenir à l'introduction […]

Je vais considère les isomorphismes

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
\Pi_{0,3} \arrow[rr, "\tilde\psi_i^{\omega}"] \arrow[dr, "\psi_i^{\omega}"'] & & \pi(P^{\omega}) \\
& \pi(Q_i) \arrow[ur, "(d_i^{\omega})^{-1}"'] &
\end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (38). À droite, une note rayée : « […] […] défini de l'isomorphisme $\Pi_{0,3} \simeq \Pi_{0,3}$ […] », remplacée par « pour simplifier ». Il suit que les relations (35) et (19) donnent \[(39)\quad \tilde\psi^{\omega}_{\omega i}(g) = \tilde\psi_i^{\omega}(\rho g) \quad \text{i.e.} \quad \tilde\psi_{\omega i} = \tilde\psi_i \circ \rho,\] au-dessus de $\rho g$, entouré au crayon : « $\rho^{-1}$ ? ». et j'introduis les ⌜deux⌝ flèches \[(40)\quad \tilde d_i^{\omega} : P^{\omega} \to P^{\omega'}, \qquad \tilde d_i^{\omega} = (d_i^{\omega'})^{-1} d_i^{\omega},\] permutés de façon simplement transitive par $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, et satisfaisant satisfaisant \[(41)\quad \tau(\tilde d_i^{\omega}) = \tilde d_i^{\omega'}, \qquad \tilde d_i^{\omega} \tilde d_i^{\omega'} = 1\] On aura donc ⌜a⌝ les relations \[(42)\quad \tilde d_i^{\omega}(\tilde\psi_i^{\omega}(g)) = \tilde\psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty g).\] Revenant à l'automorphisme ⌜automorphisme⌝ $u$, on aura automatiquement \[(43)\quad u(\tilde d_i^{\omega}) = \tilde\psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty \tilde\beta)\, \tilde d_i^{\omega} = \tilde d_i^{\omega}\, \tilde\psi_i^{\omega}(\tilde\beta)\] avec \[(44)\quad \tilde\beta = \zeta\, \sigma_\infty(\zeta)^{-1}.\] dans (43), le premier argument est surchargé ; on lit $\sigma_\infty\tilde\beta$. $\tilde\beta$ satisfaisant, ⌜donc,⌝ comme $\beta$ tantôt, la relation \[(45)\quad \tilde\beta\, \sigma_\infty(\tilde\beta) = 1\] Considérons maintenant le sous-groupoïde

31p. 13 de l'auteur sphère avec les pôles $P_{+}$, $P_{-}$, les trois points marqués sur l'équateur et les méridiens $d_0^{\pm}$, $d_1^{\pm}$, $d_\infty^{\pm}$. Légende : $\mathrm{V}_J$. $\mathrm{IV}_J$, ⌜induit sur les⌝ formé des deux sommets $P^{\omega}$ […] ($\omega \in \underline{\omega}$), on peut le regarder comme le groupoïde libre engendré par le graphe de noms $\mathrm{V}_J$, ayant ces deux sommets, et trois arêtes — donc six arcs $\tilde d_i^{\omega}$ — avec $\tilde d_i^{\omega}$ et $\tilde d_i^{\omega'}$ opposés — arcs permutés transitivement ⌜de façon⌝ simpl[ement] tr[ansitive] […] par $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$. Un ⌜automorphisme⌝ […] de ce groupoïde qui fixe les sommets est déterminé par les \[(46)\quad u(\tilde d_i^{\omega}) = \tilde d_i^{\omega} \tilde\psi_i^{\omega}(\tilde\beta) \qquad \text{avec } \tilde\beta \in \widehat{\Pi}_{0,3} \text{ indépendant de } i, \omega\] la seule relation à satisfaire correspond aux équations $\tilde d_i^{\omega'} \tilde d_i^{\omega} = 1$, qui donne \[(47)\quad \tilde\beta\, \sigma_\infty(\tilde\beta) = 1\]

Considérons enfin le groupoïde induit sur les pts sommets $R_i^{\omega}$, $Q_i$, $P^{\omega}$ ($(6+3+2 = 11$ sommets$)$,

32p. 14 de l'auteur sphère réunissant les figures précédentes : pôles $P^{+}$, $P^{-}$ ; sur l'équateur, $Q_0$, $Q_1$, $Q_\infty$ et, autour de chacun des trois points marqués, le petit cercle $R_i^{\pm}$ avec les arcs $a_i^{\pm}$ ; les arcs $c_i^{\pm}$ joignant les $Q$ aux $R$, et les méridiens $d_i^{\pm}$. Légende : $\mathrm{VI}$. c'est le groupoïde engendré par ces sommets, les arcs $a_i^{\omega}$, $c_i^{\omega}$, $d_i^{\omega}$ (trois paquets, […] chacun homogène sous $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$) et les ⌜six⌝ relations \[(48)\quad (d^{\omega}_{\omega i})^{-1} (c^{\omega'}_{\omega i})^{-1} (a^{\omega}_{\omega i})^{-1} c_i^{\omega} d_i^{\omega} = 1\] les indices de (48), surchargés, sont lus avec doute. L'automorphisme ⌜involution⌝ $\tau$ est donnée par \[(49)\quad \begin{cases} \tau(R_i^{\omega}) = R_i^{\omega'}, \quad \tau Q_i = Q_i, \quad \tau(P^{\omega}) = P^{\omega'} \\ \tau(a_i^{\omega}) = (a_i^{\omega'})^{-1}, \quad \tau(c_i^{\omega}) = c_i^{\omega'}, \quad \tau(d_i^{\omega}) = d_i^{\omega'} \end{cases}\] Les $\pi_1$ en les sommets $R_i^{\omega}$, $Q_i$, $P^{\omega}$ sont repérés respectivement, en termes de $\Pi_{0,3}$, par les isomorphismes \[(50)\quad \begin{cases} \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \varphi_i^{\omega}\ } \pi(R_i^{\omega}) \quad \text{\struck{$\to \pi($}} \\ \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \psi_i^{\omega}\ } \pi(Q_i) \\ \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \tilde\psi_i^{\omega}\ } \pi(P^{\omega}) \end{cases}\] reliés entre ⌜entre⌝ eux par les relations suivantes, qui les expriment les $\psi_i^{\omega}$, $\tilde\psi_i^{\omega}$ en termes des $\varphi_i^{\omega}$ \[(51)\quad \begin{cases} d_i^{\omega}(\tilde\psi_i^{\omega}(g)) = \psi_i^{\omega}(g) \\ c_i^{\omega} \psi_i^{\omega}(g) = \varphi_i^{\omega}(g) \end{cases}\] devant chacune des deux lignes de (51), un symbole surchargé et rayé. On a, pour mémoire \[(52)\quad \psi_i^{\omega}(g) = \psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty(g))\]

33p. 15 de l'auteur \[(53)\quad a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(g) = \varphi_i^{\omega'}(\varepsilon_0(g))\] La donnée d'un endomorphisme des groupoïdes ⌜profinis⌝, fixant les sommets et qui commute à $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, équivaut à celle des […] transformés des $a_i^{\omega}$, $c_i^{\omega}$, $d_i^{\omega}$, de façon compatible à l'action de $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, et de façon à satisfaire aux relations (48). On aura \[(54)\quad \begin{cases} u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(\lambda) \\ u(c_i^{\omega}) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\eta)\, c_i^{\omega} = c_i^{\omega} \psi_i^{\omega}(\eta) \\ u(d_i^{\omega}) = \psi_i^{\omega}(\zeta)\, d_i^{\omega} = d_i^{\omega} \tilde\psi_i^{\omega}(\zeta) \end{cases}\] avec $\lambda, \zeta, \eta \in \widehat{\Pi}_{0,3}$, soumis à la seule relation déduite de (48). Au lieu de refaire le calcul, une fois de plus, pour expliciter la relation en $(\lambda, \eta, \zeta)$, il suffit de noter que le ⌜le⌝ groupoïde envisagé est la réunion des groupoïdes $\mathrm{II}$ et $\mathrm{IV}$, dont l'intersection est $\mathrm{III}$ ⌜(ayant les sommets et commutant à $\mathfrak{S}_3$)⌝, donc ⌜la donnée d'⌝un endomorphisme ⌜équivaut à celle⌝ d'un ⌜tel⌝ endom[orphisme] $(\lambda, \eta)$ de $\mathrm{II}$, et d'un endomorphisme $\zeta$ de $\mathrm{IV}$, de telle façon qu'ils se recollent […] $\mathrm{III}$ pour un $=$ endomorphisme $(\tilde\alpha)$ de $\mathrm{III}$, i.e. tels qu'on ait à la fois \[(55)\quad \tilde\alpha = \eta^{-1} \varepsilon_0(\lambda\eta) \quad \text{et} \quad \tilde\alpha = \zeta \rho^{-1}(\zeta^{-1})\]

34p. 16 de l'auteur L'équation à satisfaire par $(\lambda, \eta)$ se réduit, comme on sait, à $\tilde\alpha \rho^{-1}(\tilde\alpha) \rho^{-2}(\tilde\alpha) = 1$ avec $\tilde\alpha$ donné en fonction de $(\lambda, \eta)$ par la première relation ⌜formule⌝ (55) — mais cette relation ⌜en $\tilde\alpha$⌝ est conséquence de la seconde relation (55), donnant $\tilde\alpha$ en termes de $\zeta$. Il reste donc, comme seule relation reliant $\lambda, \eta, \zeta$, que la relation (55) sous la forme (où ne figure plus $\tilde\alpha$) \[(56)\quad \eta^{-1} \varepsilon_0(\lambda\eta) = \zeta \rho^{-1}(\zeta)^{-1}\] Je vais la mettre sous une forme plus familière pour moi, en introduisant d'abord les quantités précédentes \[(57)\quad \begin{cases} \beta = \sigma_\infty(\eta)\eta^{-1} & (u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta)) \\ \alpha = \sigma_\infty(\lambda)\beta & (u(\tilde b_i^{\omega}) = \tilde b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\alpha)) \\ \tilde\alpha = \eta^{-1}\varepsilon_0(\lambda\eta) = \zeta\rho^{-1}(\zeta)^{-1} & (u(\tilde a_i^{\omega}) = \psi^{\omega}_{\omega i}(\tilde\alpha)\, \tilde a_i^{\omega}) \end{cases}\] et en les modifiant ainsi, ainsi que $\zeta$ : \[(58)\quad \begin{cases} \beta' = \beta^{-1} \ (= \sigma_\infty(\beta)) = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \\ \alpha' = \alpha^{-1} = \beta^{-1} \sigma_\infty(\lambda)^{-1} = \beta' \sigma_\infty(\lambda^{-1}) \end{cases} \qquad \text{donc } \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda)\] Je vais […] modifier $\zeta$ en introduisant $\zeta' =$ […] $\eta\,\zeta$ ([…] $\gamma$, grâce à $\eta$) la relation (56) équivalant […] deux lignes intercalées dans (58), puis rayées, avec un numéro (59) lui-même rayé. (59) Il reste seulement $\alpha'$, $\gamma$ décrits par les quantités $\boxed{\lambda, \eta, \zeta} \in \widehat{\Pi}_{0,3}$ (équivalentes à la donnée de $\lambda, \eta, \zeta$), auxquelles j'associe $\alpha'$, $\beta'$ par \[(59)\quad \begin{aligned} \beta' &= \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \quad \text{\struck{\ill{}}} \\ \alpha' &= \text{\struck{\ill{}}}\ \beta' \sigma_\infty(\lambda^{-1}) \quad \text{i.e.} \quad \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \end{aligned}\]

35p. 17 de l'auteur et ceci posé, la relation (56) équivaut à \[(60)\quad \begin{cases} \alpha' = \zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1} \\ \text{i.e.}\quad \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} = (\zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1})\, \sigma_\infty(\lambda) \end{cases}\] dans les deux lignes de (60), l'exposant de $\rho$ est surchargé ; on le lit $-1$. En effet, la formule (25 bis) exprimant $\alpha$ en termes de $\tilde\alpha$ \[\alpha = \rho(\eta \tilde\alpha \rho^{-1}(\eta)^{-1})\] le renvoi est écrit « (75 bis) » ; il s'agit de la formule (25 bis) de la p. 26. se récrit, en passant aux inverses et posant \[\tilde\alpha' = \tilde\alpha^{-1}\] sous la forme \[(61)\quad \alpha' = \rho(\rho^{-1}(\eta)\, \tilde\alpha'\, \eta^{-1}) = \eta\, \rho(\tilde\alpha')\, \rho(\eta)^{-1}\] et la formule (on considère ici $\alpha, \alpha', \tilde\alpha, \tilde\alpha'$ comme déduits des $\lambda, \eta \in \widehat{\Pi}_{0,3}$ par la première relation (55) pour ce qui est de $\tilde\alpha$, donc les autres se déduisent par (57), (61)). D'autre part, la ⌜2e⌝ formule (55) s'[…] se récrit alors, en passant aux inverses \[\tilde\alpha' = \rho^{-1}(\zeta)\, \zeta^{-1}\] i.e. \[\rho(\tilde\alpha') = \zeta\, \rho(\zeta)^{-1}\] qui […] équivaut (61) […] s'écrit […] \[\alpha' = \eta\zeta\, \rho(\zeta^{-1}\eta^{-1}) \qquad \text{\struck{i.e.\ $\alpha'$ \ill{} (60)}}\] i.e. (60), avec \[\zeta' = \eta\zeta.\]

En résumé les automorphismes du groupoïde $\mathrm{VI}_J$, induisant l'identité sur les sommets et commutant à l'action de $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, correspondent aux \[(62)\quad \{(\lambda, \eta, \zeta') \in \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3}\}\] satisfaisant la relation des lacets :

36p. 18 de l'auteur \[(63)\quad \boxed{ \begin{aligned} &\beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \qquad (= \alpha' l_1^{\gamma} \ \text{si}\ \lambda = l_0^{\gamma}) \\ &\text{avec}\quad \alpha' = \zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1} \\ &\phantom{\text{avec}\quad} \beta' = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \end{aligned} }\] dans la deuxième ligne de (63), l'exposant de $\rho$ est surchargé ; on le lit $-1$ comme en (60). (en biais, à gauche) le passage de $u$ à $\tau(u)$ s'écrit : $\lambda \mapsto \varepsilon_0^{-1}(\tau_\infty(\lambda^{-1}))$ ($\lambda \mapsto \lambda$ si $\lambda = l_0^{\gamma}$), $\eta \mapsto \tau_\infty(\eta)$, $\zeta \mapsto \sigma_\infty\tau_\infty(\zeta) = \tilde\sigma_\infty(\zeta)$ (en biais, à droite) NB. L'involution […] […] […] : $\zeta' \mapsto \rho H \zeta'$, $\eta \mapsto l_0 H \eta$, i.e. $\alpha' \mapsto l_0 H \alpha'$ […], $\beta' \mapsto l_0 H \beta'$ […] les deux notes marginales en biais de cette page se lisent mal ; la seconde, en particulier, est très incertaine.

Ici, les quantités $\alpha', \beta', \zeta'$ ont été introduites en termes des quantités primitives $\lambda, \eta, \zeta$ ($\mapsto \beta, \alpha, \tilde\alpha$), s'introduisant dans les formules (54) (et (57)), par le pur calcul […] ⌜dans⌝ $\widehat{\Pi}_{0,3}$, comme donnant lieu aux formules les plus sympathiques. Mais on peut les interpréter aussi de façon « géométrique », en posant […] comme on a fait pour $\beta', \alpha', \tilde\alpha'$ \[(64)\quad b_i'^{\omega} = (b_i^{\omega})^{-1} \ (= b_i^{\omega'}), \qquad \tilde b_i'^{\omega} = (\tilde b_i^{\omega})^{-1}, \qquad \tilde a_i'^{\omega} = (\tilde a_i^{\omega})^{-1}\] de sorte que les formules (57) deviennent \[(65)\quad \begin{cases} u(b_i'^{\omega}) = \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta')\, b_i'^{\omega} \\ u(\tilde b_i'^{\omega}) = \varphi^{\omega}_{\omega i}(\alpha')\, \tilde b_i'^{\omega} \\ u(\tilde a_i'^{\omega}) = \tilde a_i'^{\omega}\, \psi^{\omega}_{\omega i}(\tilde\alpha') \end{cases}\] Enfin, la quantité $\zeta' = \eta\zeta$ est obtenue géométriquement, en introduisant les chemins \[(66)\quad \tilde d_i'^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega'}, \qquad \tilde d_i'^{\omega} = c^{\omega}_{\omega i} \cdot d^{\omega}_{\omega i}\] sous la flèche de (66), le chemin est détaillé : $P^{\omega} \xrightarrow{d^{\omega}_{\omega i}} Q_{\omega i} \xrightarrow{c^{\omega}_{\omega i}} R_i^{\omega'}$. en bas à gauche : petit triangle $P^{\omega}$, $Q_{\omega i}$, $R_i^{\omega'}$ ; arcs $d^{\omega}_{\omega i}$ de $P^{\omega}$ à $Q_{\omega i}$, $c^{\omega}_{\omega i}$ de $Q_{\omega i}$ à $R_i^{\omega'}$, et le chemin composé $\tilde d_i'^{\omega}$ ; une boucle autour de $R_i^{\omega'}$. par la formule

37p. 19 de l'auteur \[(67)\quad u(\tilde d_i'^{\omega}) = \varphi_i^{\omega'}(\underbrace{\zeta'}_{\eta\zeta})\, \tilde d_i'^{\omega}\] On a aussi des chemins \[(66')\quad d_i^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega}, \qquad d_i^{\omega} = c^{\omega'}_{\omega' i} \cdot d^{\omega}_{\omega' i}\] sous la flèche de (66$'$) : $P^{\omega} \xrightarrow{d^{\omega}_{\omega' i}} Q_{\omega' i} \xrightarrow{c^{\omega'}_{\omega' i}} R_i^{\omega}$. Le nom $d_i^{\omega}$ est celui qu'il écrit, bien qu'il ait déjà servi pour les arcs de $P^{\omega}$ à $Q_i$. à gauche : $P^{\omega}$ en haut, $Q_{\omega' i}$ en bas, $R_i^{\omega}$ à gauche ; flèche $d^{\omega}_{\omega' i}$ de $P^{\omega}$ à $Q_{\omega' i}$, arc $c^{\omega'}_{\omega' i}$ de $Q_{\omega' i}$ à $R_i^{\omega}$, et en pointillé le chemin composé. NB $\tau(d_i^{\omega}) = d_i'^{\omega}$ et on aura également \[(67')\quad u(\tilde d_i^{\omega}) = \varphi_i^{\omega}(\eta\, \sigma_\infty(\zeta))\, \tilde d_i^{\omega}\] l'argument de (67$'$) est surchargé ; la lecture $\eta\,\sigma_\infty(\zeta)$ est incertaine.

sphère : les deux pôles, les huit sommets $R_i^{\omega}$, $P^{\omega}$, et les arcs $d_i^{\omega}$, $d_i'^{\omega}$ (méridiens, pleins ou pointillés), $a_i^{\omega}$ (petits cercles) et $b_i^{\omega}$ (le long de l'équateur). Légende : $\mathrm{VII}$. NB les $b_i^{\omega}$ reliant directement les $R$ les $Q_i$ sont ici inutiles Je vois encore deux cas à regarder, savoir les sous-groupoïdes pleins de $\mathrm{VI}$ induits sur les ⌜huit⌝ sommets $(R_i^{\omega}, P^{\omega})$, soit $\mathrm{VII}$, décrit par le graphe de noms et les flèches $d_i'^{\omega}$, $d_i^{\omega}$, $a_i^{\omega}$, $b_i^{\omega}$ (24 flèches), et celui induit sur les […] points ⌜sommets⌝ $Q_i$, $P^{\omega}$ — à strictement parler, c'est le groupoïde déjà nommé $\mathrm{IV}$ ayant les mêmes […] sommets, mais représenté par un graphe un peu plus grand — dans $\mathrm{VIII}$ on distingue les flèches ⌜six⌝ $d_i^{\omega}$ seulement, et on ne donne pas en plus les $\tilde a_i^{\omega}$, ce qui est inutile en effet par (35). (Dans il […] tout donc (37)), […] la donnée de $\tilde\alpha$, par seconde sphère, au crayon : les deux pôles reliés par trois méridiens, les trois points marqués sur l'équateur. Légende : $\mathrm{VIII} = \mathrm{IV}$. la phrase se poursuit à la p. 38.

38p. 20 de l'auteur ⌜les⌝ repère ⌜les⌝ $u(\tilde a_i^{\omega})$, résulte déjà de celle de $\zeta$, qui repère ⌜les⌝ $u(d_i^{\omega})$. // Les graphes $\mathrm{I}$ à $\mathrm{VII}$ donnent lieu au diagramme d'inclusions

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& & \mathrm{III} \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & & \\
\mathrm{I} \arrow[r, hook] \arrow[dr, hook] & \mathrm{II} \arrow[dr, hook] & & \mathrm{IV} \arrow[dl, hook'] & \mathrm{V} \arrow[l, hook'] \\
& \mathrm{VII} \arrow[r, hook] & \mathrm{VI} & &
\end{tikzcd}

diagramme (68). Sur la page, $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{VII}$, $\mathrm{VI}$ sont encadrés ensemble ; une flèche partant de $\mathrm{II}$ vers la droite est rayée. Par le calcul, je peux déjà prédire que la donnée d'un automorphisme de $\mathrm{VII}$ fixant les sommets et commutant à $\widetilde{\mathfrak{S}}_J$, équivaut à la donnée des quantités \[(69)\quad (\lambda, \beta', \zeta') \in \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3}\] donc $\beta'$ inutile ! reliées par les équations (63) i.e. \[(70)\quad \begin{cases} \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \quad \text{où} \quad \alpha' = \zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1} \\ \beta' \sigma_\infty(\beta') = 1 \quad \text{i.e.} \quad \alpha' \sigma_\infty(\lambda)\, \sigma_\infty(\alpha')\, \lambda = 1 \end{cases}\] la seconde ligne de (70) est ajoutée en interligne ; son dernier facteur est surchargé. (tandis que ⌜dans le cas⌝ […] $\mathrm{II}$ ⌜$u$⌝ est défini par $(\lambda, \eta, \alpha')$, \[(69')\quad (\lambda, \eta, \alpha') \in \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3}\] reliés par avec les équations \[(70')\quad \begin{cases} \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \quad \text{où} \quad \beta' = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \\ \alpha' \rho(\alpha') \rho^{2}(\alpha') = 1 \end{cases}\] donc $\alpha'$ inutile ! dans (69$'$), $\lambda$ et $\eta$ sont soulignés ; la parenthèse ouverte avant « tandis que » n'est pas refermée sur la page.

39p. 21 de l'auteur Je vais expliciter les calculs ⌜faits⌝ dans le groupoïde $\mathrm{VII}$, associé au graphe de noms, […] des flèches génératrices \[(71)\quad \begin{cases} \tilde d_i^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega} \\ \tilde d_i'^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega'} \\ a_i^{\omega} : R_i^{\omega} \to R_i^{\omega'} \end{cases}\] liées par les relations \[(72)\quad \begin{cases} (\tilde d_i'^{\omega})^{-1} a_i^{\omega} \tilde d_i^{\omega} = 1 \\ (\tilde d'^{\omega}_{\omega i})^{-1} \tilde d^{\omega'}_{\omega i} (\tilde d_i'^{\omega'})^{-1} \tilde d_i^{\omega} = 1 \end{cases}\] les indices et exposants de la seconde ligne de (72) sont surchargés et lus avec doute. six relations indépendantes exprimant les $\tilde d_i'^{\omega}$ en termes des $\tilde d_i^{\omega}$ et $a_i^{\omega}$, ou les $a_i^{\omega}$ en termes des $\tilde d_i^{\omega}, \tilde d_i'^{\omega}$. En tout six relations, mais il n'y en a que trois indépendantes, car l'équation pour $i, \omega$ et pour $(\omega i, \omega')$ est la même. cette note, à droite de (72), se rapporte à la seconde ligne ; sa première partie est insérée en interligne. sphère : pôles $P^{+}$, $P^{-}$ ; autour des trois points marqués, les petits cercles $R_i^{\pm}$ avec les arcs $a_i^{\pm}$ ; les méridiens $\tilde d_i^{\pm}$ et $\tilde d_i'^{\pm}$ ($i = 0, 1, \infty$) descendant des pôles vers les $R$, en trait plein ou pointillé selon qu'ils sont vus ou cachés. On les repère ensuite par les équations \[(73)\quad \begin{cases} u(\tilde d_i^{\omega}) = \varphi_i^{\omega}(\zeta_1)\, \tilde d_i^{\omega} \\ u(\tilde d_i'^{\omega}) = \varphi_i^{\omega'}(\zeta')\, \tilde d_i'^{\omega} \\ u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(\lambda) \end{cases} \qquad \zeta', \zeta_1, \lambda \in \widehat{\Pi}_{0,3}\] dans les deux premières lignes de (73), un premier facteur, raturé à l'encre, est remplacé par celui qui est donné ici. et il reste à exprimer que $u$ satisfait les relations (72). La première s'explicite sous la forme \[(74)\quad \zeta' = \varepsilon_0(\lambda\zeta_1) \qquad \text{i.e.} \qquad \zeta_1 = \lambda^{-1} \cdot \varepsilon_0^{-1}(\zeta')\] et on trouve également \[(75)\quad \beta\, \zeta_1 = \beta' \sigma_\infty(\zeta')\] où $\beta'$ défini par la condition (65a)le premier $\beta$ de (75) est surchargé.

Cette relation permettant de tirer $\beta'$ en termes la phrase se poursuit à la p. 40.

40p. 22 de l'auteur de $\zeta', \zeta_1$ — ou de l'une des deux quantités seulement \[(75)\quad \begin{aligned} \beta' &= \zeta_1 \sigma_\infty(\zeta')^{-1} = \text{\struck{$\varepsilon_0(\lambda\zeta_1)$}}\ \zeta_1 (\sigma_\infty\varepsilon_0)(\lambda\zeta_1)^{-1} \\ &= \lambda^{-1} \cdot \varepsilon_0^{-1}(\zeta')\, \sigma_\infty(\zeta')^{-1}. \end{aligned}\] […] la dernière ⌜ces⌝ expressions de $\beta'$ on tire \[(75')\quad \sigma_\infty(\beta') = \sigma_\infty(\zeta_1)\, \zeta'^{-1} = \sigma_\infty(\zeta_1)\, \varepsilon_0(\lambda\zeta_1)^{-1} = \sigma_\infty(\lambda)^{-1} \overbrace{\rho(\zeta')\, \zeta'^{-1}}^{\alpha'^{-1}}\] le numéro (75) sert deux fois, ici et à la p. 39 ; à la fin de la ligne de (75$'$), un groupe raturé. et la troisième expression de $\beta'$ donne […] (77) Ce dit, l'équation pour (72 b) équivalente : \[\text{\struck{$\beta' \sigma_\infty(\beta') = 1$}}\] […] $\sigma_\infty(\beta')$ en posant $\beta_1 = \sigma_\infty(\beta')$ […] ce passage est encadré puis rayé ; des traits ondulés au crayon le traversent. s'écrit aussi \[(77)\quad \sigma_\infty(\beta')^{-1} = \alpha' \sigma_\infty(\lambda).\] Ceci posé, l'équation (72 b) équivaut à \[(78)\quad \beta' \sigma_\infty(\beta') = 1 \qquad \text{ou encore} \quad \sigma_\infty(\beta')^{-1} = \beta'\] le numéro (78) est surchargé. ce qui est invariant par la substitution $\beta' \mapsto \sigma_\infty(\beta')$ dans $\beta' \mapsto \beta'^{-1}$, donc posant (dans ses simplifications ($\ast$)) \[\beta_1 = \sigma_\infty(\beta')^{-1} = \alpha' \sigma_\infty(\lambda)\] l'équation (78) équivaut à l'équation \[(\ast\ast)\quad \beta_1 \sigma_\infty(\beta_1) = 1\] et implique que $\beta_1 = \sigma_\infty(\beta_1)^{-1}$ donc $\beta_1 = \beta'$. En résumé, on peut donc se servir plutôt de \[(78)\quad \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \qquad \text{où} \quad \alpha' = \zeta' \rho(\zeta')^{-1}\] et la relation à imposer : $(\lambda, \zeta')$ est, au choix, le numéro (78) sert à nouveau, surchargé. Le texte continue au-delà de la p. 40, hors de ce lot.

Opérations de \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) sur \(\pi_1 M_{0,3}\)