Fonds Grothendieck, cote n° 142, pages 21–40

Opérations de \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} sur \pi_1 M_{0,3}

titre de la main de Grothendieck, sur le feuillet de couverture (p. 21), d'ailleurs blanc ; un symbole biffé précède \pi_1. Le texte qui suit commence à sa p. 5, mais la numérotation des formules y repart de (1) : les pp. 1–4 de l'auteur ne sont pas dans ce lot.

p. 5 de l'auteur sphère vue en perspective ; sur l'équateur, trois points marqués (ronds pleins), chacun entouré d'un petit cercle portant deux sommets R_i^{\omega}, R_i^{\omega'} (i = 0, 1, \infty), reliés par les arcs a_i^{\omega}, a_i^{\omega'} ; les sommets voisins de deux points différents sont reliés par les flèches b_0^{\omega}, b_1^{\omega} (lecture douteuse), b_\infty^{\omega}. Légende : \mathrm{I}_J. NB. \tau(R_i^{\omega}) = R_i^{\omega'}, \tau(a_i^{\omega}) = (a_i^{\omega'})^{-1}, \tau(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega'} dans cette note marginale, écrite en biais, les exposants \omega' sont peu lisibles.

\widetilde{\mathfrak{S}}_J permute transitivement les six flèches a_i^{\omega} et les six flèches b_i^{\omega} : (1)\quad \begin{cases} a_i^{\omega} : R_i^{\omega} \to R_i^{\omega'} \\ b_i^{\omega} : R^{\omega}_{\omega i} \to R^{\omega'}_{\omega' i} \end{cases} (2)\quad \begin{cases} \text{a)}\ \ b_i^{\omega} b_i^{\omega'} = 1 \\ \text{b)}\ \ a_i^{\omega} b^{\omega}_{\omega' i} a_i^{\omega'} b^{\omega}_{\omega i} a^{\omega'}_{\omega i} b_i^{\omega} = 1 \end{cases} (trois relations effectives) ; (deux relations effectives, une pour chaque \omega \in \underline{\omega}) les indices et exposants de (2 b) sont lus avec doute. (3)\quad a_i^{\omega'} a_i^{\omega} = \lambda_i^{\omega} = \varphi_i^{\omega}(l_0) (4)\quad \varphi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} = \pi_1(M_{0,3}\,;R_0^{+}) \hookrightarrow \pi_1(\Sigma^{*}, R_i^{\omega}) \Pi_{0,3} = \{\, l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \,\} \subset \widetilde{\Pi}_{0,3} = \pi_1(M_{0,3}, \mathfrak{S}_3\,; R_0^{+}), l_0 \mapsto a_i^{\omega'} a_i^{\omega}, \qquad l_1 \mapsto (b^{\omega}_{\omega' i})^{-1} a^{\omega}_{\omega i} a^{\omega'}_{\omega i} b_i^{\omega} les indices de l'image de l_1 sont incertains ; un trait sous l'expression porte « ». Les \varphi_i^{\omega} sont permutés entre eux de façon simplement transitive. (5)\quad \tau\varphi_i^{\omega}(g) = \varphi_i^{\omega}(\tau_\infty(g)) \quad \text{où } \tau_\infty \in \widetilde{\Pi}_{0,3}, \tau_\infty(l_0) = l_0^{-1}, \quad \tau_\infty(l_1) = l_1^{-1}, \quad \tau_\infty(l_\infty) = l_0 l_1 = \mathrm{int}(l_0)\, l_\infty^{-1} (6)\quad \begin{cases} a_i^{\omega}(\varphi_i^{\omega}(g)) = \varphi_i^{\omega'}(\varepsilon_0(g)) \\ b_i^{\omega}(\varphi^{\omega}_{\omega i}(g)) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty(g)) \end{cases} \qquad \varepsilon_0^2 = l_0 \sigma_\infty(l_0) = l_1, \quad \sigma_\infty(l_1) = l_0, \quad \sigma_\infty(l_\infty) = (l_0 l_1)^{-1} = l_1^{-1} l_0^{-1} = \mathrm{int}(l_0)\, l_\infty

On introduit (7)\quad \tilde b_i^{\omega} = a^{\omega'}_{\omega' i} b_i^{\omega} : R^{\omega}_{\omega i} \to R^{\omega}_{\omega' i} ; (2 b) s'écrit (8)\quad \tilde b^{\omega}_{\omega^2 i}\, \tilde b^{\omega}_{\omega i}\, \tilde b_i^{\omega} = 1 NB. L'un des \tilde b_i^{\omega} n'est pas stable sous \tau, il faudrait donc aussi prendre les \tau \tilde b_i^{\omega} On aura (9)\quad \tilde b_i^{\omega}(\varphi^{\omega}_{\omega i}(g)) = \varphi^{\omega}_{\omega' i}(\rho^{-1}(g)) \qquad \rho^{-1} = \varepsilon_0 \sigma_\infty, \quad \begin{cases} \rho(l_0) = l_1 \\ \rho(l_1) = l_\infty \\ \rho(l_\infty) = l_0 \end{cases} Les relations 2 b) deviennent (\text{\struck{\ill{}}})\quad \tilde b_{\omega^2 i}\, \tilde b_{\omega i}\, \tilde b_i = 1

p. 6 de l'auteur Soit u un automorphisme du groupoïde \widehat{\mathrm{I}}_J qui commute à \widetilde{\mathfrak{S}}_J, et fixe les pts, ~~il est déterminé~~ et qui conserve les sous-groupoïdes \widehat{\mathrm{I}}_{J,i}, où \widehat{\mathrm{I}}_{J,i} est engendré par R_i^{\omega}, a_i^{\omega}, \omega \in \underline{\omega}. La restriction à \mathrm{I}_{J,i} ~~définie~~ est donnée par u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) = \varphi_i^{\omega'}(l_0^{\gamma})\, a_i^{\omega} \qquad \text{($\varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) = (\lambda_i^{\omega})^{\gamma}$)} l_0^{\gamma} indépendant de i, \omega, \gamma \in \hat{\mathbb{Z}} ; on aura u(a_i^{\omega'} a_i^{\omega}) = \varphi_i^{\omega}(l_0^{2\gamma+1}), \qquad u(\underbrace{\varphi_i^{\omega}(l_0)}_{\lambda_i^{\omega}}) = \varphi_i^{\omega}(l_0^{p}) = (\lambda_i^{\omega})^{p}, \qquad \gamma = \frac{p-1}{2} dans l_0^{2\gamma+1} un caractère surchargé précède le +1. \begin{cases} u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) \\ u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta) \quad (= \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty \beta)\, b_i^{\omega}) \end{cases} \qquad \gamma = \frac{p-1}{2}, \quad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \text{ multiplicateur}, \quad \beta \in \widehat{\Pi}_{0,3} sous la seconde ligne, une variante biffée et illisible. Ici (p, \beta) détermine u (en fait, \beta détermine p…) u(\tilde b_i^{\omega}) = \tilde b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\underbrace{l_1^{\gamma} \beta}_{\sigma_\infty(\lambda) \beta}) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(l_0^{\gamma} \rho^{-1}(\beta))\, \tilde b_i^{\omega} Les équations sur (p, \beta) expriment 2 (12)\quad \begin{cases} \beta\, \sigma_\infty(\beta) = 1 \\ \alpha\, \rho^{-1}(\alpha)\, \rho^{-2}(\alpha) = 1 \quad \text{où } \text{\struck{$\alpha = l_1^{-\gamma} \beta$}} \\ \alpha = \underbrace{l_1^{\gamma}}_{\sigma_\infty(\lambda)} \beta \end{cases} NB. Si on remplace \beta par \beta^{-1}, \alpha par \alpha^{-1}, on retrouve les équations habituelles (\alpha^{-1} \rho(\alpha^{-1}) \rho^{2}(\alpha^{-1}) = 1) — cf plus loin Notons que si u est défini par (p, \beta), alors \tau(u) = \tau u \tau^{-1} est défini par (p, \beta' = \tau_\infty(\beta)). Il faudrait pouvoir vérifier directement, par un calcul dans \Pi_{0,3}, que les équations (12) sur \beta impliquent les mêmes relations pour \beta' = \tau_\infty(\beta) (avec le même \gamma). (en haut, en biais) Les deux automorphismes devrait plus on ne sait pas (p, \beta), p \in \hat{\mathbb{Z}} p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}, 2\gamma+1 \gamma \in \hat{\mathbb{Z}} (au milieu, en biais) Faire les calculs d'abord u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(\lambda) avec \lambda \in \widehat{\Pi}_{0,3} de la forme l_0^{\gamma}, \gamma \in \hat{\mathbb{Z}}… (en bas, en biais) Si on change le définition de \beta, \beta devient \sigma_\infty(\beta) les deux premières \alpha = l_1^{\gamma} \sigma_\infty(\beta) les trois notes marginales de cette page, écrites en biais et très serrées, ne se lisent que par fragments.

p. 7 de l'auteur même sphère que p. 23, à laquelle s'ajoutent sur l'équateur trois nouveaux sommets Q_0, Q_1, Q_\infty et des arcs c_i^{\pm} qui les relient aux sommets R^{\pm} voisins. Légende : \mathrm{II}_J. On rajoute les sommets Q_i (i \in J) et les arcs Q_i \xrightarrow{\;c_i^{\omega}\;} R^{\omega'}_{\omega' i} permutés ~~transitivement~~ de façon simplement transitive par \widetilde{\mathfrak{S}}_J. On a maintenant (13)\quad b_i^{\omega} = c_i^{\omega} (c_i^{\omega'})^{-1} (donc les b_i^{\omega} deviennent inutiles comme générateurs d'un groupoïde). (Donc les relations (2) ~~deviennent~~ , la partie (a) devient automatique, pour écrire commodément la partie (b), on introduit les (14)\quad \tilde a_i^{\omega} = (c^{\omega}_{\omega i})^{-1} a_i^{\omega} c^{\omega'}_{\omega' i} : Q_{\omega i} \to Q_{\omega' i} la première écriture de (14), surchargée, est remplacée par celle, interlinéaire, qui est donnée ici. à droite : petit schéma de \tilde a_i^{\omega}, chemin de Q_{\omega i} à Q_{\omega' i} passant par (c^{\omega}_{\omega i})^{-1}, l'arc a_i^{\omega} entre R_i^{\omega} et R_i^{\omega'}, puis c^{\omega'}_{\omega' i} ; une première version, au-dessous, est rayée. Dans la marge gauche, un croquis analogue, en partie rayé. qui sont également permutés de façon simpl. transitive par \widetilde{\mathfrak{S}}_J, et on a (15)\quad \tau(\tilde a_i^{\omega}) = (\tilde a_i^{\omega'})^{-1} Les relations (2 b) deviennent (16)\quad \tilde a^{\omega}_{\omega^2 i}\, \tilde a^{\omega}_{\omega i}\, \tilde a_i^{\omega} = 1 (deux relations essentiellement distinctes, qui sont permutées par \tau)

Pour repérer les \pi(Q_i) = \pi_1(\Sigma_J(\mathbb{C}), Q_i) de façon commode, on utilise les (17)\quad \psi_i^{\omega} : \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \pi(Q_i)

\begin{tikzcd}[column sep=small] \Pi_{0,3} \arrow[rr, "\sim"] \arrow[dr, "{\varphi^{\omega'}_{\omega' i}\,\wr}"'] & & \pi(Q_i) \\ & \pi(R^{\omega'}_{\omega' i}) \arrow[ur, "{(c_i^{\omega})^{-1},\,\sim}"'] & \end{tikzcd}

NB. \tau\psi_i^{\omega}(g) = \psi_i^{\omega}(\tau_\infty g) dans ce NB l'exposant du second membre est peu sûr. on aura (18)\quad \psi_i^{\omega}(g) = \psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty(g)) (19)\quad \begin{aligned} \tilde a_i^{\omega}(\psi^{\omega'}_{\omega i}(g)) &= \psi^{\omega}_{\omega' i}(\varepsilon_0(g)) = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty \varepsilon_0(g)) \\ \tilde a_i^{\omega}(\psi^{\omega}_{\omega i}(g)) &= \psi^{\omega}_{\omega' i}(\underbrace{(\varepsilon_0 \sigma_\infty)}_{\rho^{-1}}(g)) = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\sigma_\infty \varepsilon_0 \sigma_\infty(g)) \end{aligned} dans (19), plusieurs exposants \omega sont surchargés d'un astérisque ; au-dessus de la première ligne, « \tau_\infty(\rho) » précédé d'un mot biffé. La seconde ligne, encadrée, semble corriger la première.

p. 8 de l'auteur On prend un automorphisme u des groupoïdes \widehat{\mathrm{II}}_J qui commute à \widetilde{\mathfrak{S}}_J et qui fixe les sommets, et qui conserve plus exactement bien stables les sous-groupoïdes \widehat{\mathrm{II}}_{J,i} (i \in J), ~~engendrés de~~ \mathrm{II}_{J,i} engendré par les deux sommets R_i^{\omega} (\omega \in \underline{\omega}) et les deux flèches a_i^{\omega} (\omega \in \underline{\omega}). L'automorphisme u est connu quand on connaît les u(a_i^{\omega}), qui sont de la forme (20)\quad u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(l_0^{\gamma}) \qquad \gamma = \frac{p-1}{2} \in \hat{\mathbb{Z}}, \quad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} NB : \lambda \in \widehat{\Pi}_{0,3}, pas le peine d'exiger de prime abord que \lambda soit de la forme l_0^{\gamma}… et les (21)\quad u(c_i^{\omega}) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\eta)\, c_i^{\omega} = c_i^{\omega} \psi_i^{\omega}(\eta) \qquad \eta \in \widehat{\Pi}_{0,3} \text{ indépendant de } i, \omega On aura alors (comparer (11)) (22)\quad u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta) avec (23)\quad \beta = \sigma_\infty(\eta)\, \eta^{-1} NB. Devient plus joli si \eta est remplacé par son \sigma_\infty(\eta), ou \beta par \beta^{-1} (en biais, sous (23)) \eta' = \tau(\eta), \beta' = \tau_\infty(\beta) ? Les relations à satisfaire sont celles déjà écrites sur p (ou \gamma) et \beta, savoir (12) — mais la première relation \beta\sigma_\infty(\beta) = 1 est conséquence de (23), il reste la deuxième, qui s'écrit donc (24)\quad \text{\struck{$l_1^{-\gamma}\sigma_\infty(\eta)\eta^{-1}$}}\ \ \alpha \rho^{-1}(\alpha) \rho^{-2}(\alpha) = 1 \quad \text{avec } \alpha = \underbrace{l_1^{\gamma}}_{\sigma_\infty(\lambda)} \underbrace{\sigma_\infty(\eta)\eta^{-1}}_{\beta}. NB. Si u est remplacé par \tau u \tau^{-1}, alors \eta est remplacé par \tau_\infty(\eta), \beta par \varepsilon_0^{-1}(\tau_\infty(\lambda^{-1})) note marginale en biais, lecture très incertaine. On aura ici (25)\quad u(\tilde a_i^{\omega}) = \psi^{\omega^*}_{\omega i}(\underbrace{\eta^{-1} l_0^{\gamma} \varepsilon_0(\eta)}_{\tilde\alpha = \eta^{-1}\varepsilon_0(\lambda\eta)})\, \tilde a_i^{\omega} = \tilde a_i^{\omega}\, \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\underbrace{\varepsilon_0^{-1}(\eta^{-1}) l_0^{\gamma} \eta}_{\varepsilon_0^{-1}(\tilde\alpha)}) sous \tilde\alpha : « valable pour tout \lambda ». Dans la marge gauche : \tilde\alpha = \eta^{-1} l_0^{\gamma} \varepsilon_0(\eta). et (\text{25\,bis})\quad \alpha = \rho(\eta \tilde\alpha \rho^{-1}(\eta)^{-1}) valable pour \lambda quelconque, pas nécessairement de la forme l_0^{\gamma}. Dans l'équation (24) on a (invariante par substitutions \alpha \mapsto \rho^{-1}(\alpha) (ou \alpha \mapsto \rho\alpha = \rho^{-2}(\alpha)) et \alpha \mapsto x\alpha\rho^{-1}(x)^{-1},

p. 9 de l'auteur équivalente à l'équation ~~identique~~ analogue en \tilde\alpha (26)\quad \tilde\alpha\, \rho^{-1}(\tilde\alpha)\, \rho^{-2}(\tilde\alpha) = 1, \qquad \boxed{(27)\quad \tilde\alpha = \eta^{-1} l_0^{\gamma} \varepsilon_0(\eta)} le second \rho de (26) porte un exposant peu net, lu -2 d'après (24).

Considérons maintenant le groupoïde \mathrm{III}_J induit par le groupoïde précédent \mathrm{II}_J sur l'un des trois sommets Q_i, c'est-à-dire le groupoïde engendré par le graphe à trois sommets Q_i (i \in J) et six arcs orientés \tilde a_i^{\omega} et leurs opposés, avec les seules relations (16) (une des 6 relations stable par \widetilde{\mathfrak{S}}_J, et se réduisant en fait à deux relations effectives…). Le groupe \{1, \tau\} opère dans le graphe avec relations, par (27)\quad \tau Q_i = Q_i, \qquad \tau \tilde a_i^{\omega} = (\tilde a_i^{\omega'})^{-1} le numéro (27) sert ici une seconde fois, comme sur la page. à gauche : sphère portant les trois sommets Q_0, Q_1, Q_\infty et les six arcs \tilde a_i^{\pm} qui les joignent deux à deux. Légende : \mathrm{III}_J. La donnée d'un ~~automorphisme~~ des groupoïdes \widehat{\mathrm{III}}_J, fixant les sommets et commutant à \widetilde{\mathfrak{S}}_J, équivaut à celle d'un \tilde\alpha \in \widehat{\Pi}_{0,3}, ~~l'équation~~ satisfaisant (26). On aura, en introduisant (28)\quad \tilde\lambda_i^{\omega} = \tilde a_i^{\omega'} \tilde a_i^{\omega} \in \pi(Q_{\omega' i}) \qquad (\lambda_i^{\omega} = a_i^{\omega'} a_i^{\omega}) à droite : Q_{\omega i} et Q_{\omega' i} reliés par les deux arcs \tilde a_i^{\omega} (en haut) et \tilde a_i^{\omega'} (en bas) ; au centre, en pointillé, le petit cercle R_i^{\omega}, R_i^{\omega'} et l'arc a_i^{\omega}. (contourner) des \tilde a_i^{\omega} groupoïde \mathrm{II}_J ! (29)\quad u(\tilde\lambda_i^{\omega}) = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha))\, \tilde\lambda_i^{\omega} = \psi^{\omega'}_{\omega' i}(\tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha)\, l_0) Dans le cas où \tilde\alpha provient de \eta, \gamma par (27), on a (30)\quad \tilde\alpha\, \varepsilon_0(\tilde\alpha)\, l_0 = \eta^{-1} l_0^{p} \eta \qquad (p = 2\gamma+1) ; (en biais, à gauche) \psi serait raisonnable les \tilde a_i^{\omega} dans \mathrm{II}_J — * le numéro (30) est écrit dans la marge, en bas à gauche ; les notes marginales de cette page sont écrites en biais et se lisent mal.

p. 10 de l'auteur ou, en d'autres termes, faisant opérer u sur \pi(Q_{\omega' i}), identifié à \widehat{\Pi}_{0,3} via \psi^{\omega'}_{\omega' i}, \tilde\lambda_i^{\omega} identifié à l_0, on trouve que u(l_0) est conjugué de l_0^{p}, la conjugaison étant effectuée par \eta^{-1} (par la formule (30)). (en biais) NB. Le sous-groupoïde \widehat{\mathrm{III}}_{J,i} () engendré est stable par u \mathfrak{S}_J \times \{1, \tau\},

Le passage de u à \tau(u) s'exprime par ~~l'on rajoute maintenant les points P_\omega (\omega \in \underline{\omega})~~ la passage de \tilde\alpha à (31)\quad \tilde\alpha' = \varepsilon_0 \tau_\infty(\tilde\alpha^{-1}) = \underbrace{\rho^{-1} \tilde\sigma_\infty}_{\tilde\sigma_0}(\tilde\alpha^{-1}) où \tilde\sigma_\infty = \sigma_\infty \tau_\infty = \tau_\infty \sigma_\infty est dans l'image de l'homomorphisme canonique \widetilde{\mathfrak{S}}_3 \to \widetilde{\Pi}_{0,3}, \simeq \widetilde{\mathfrak{S}}_3 stabilisateur de P_{+} dans \mathfrak{S}_3 \times \{1, \tau\} \tilde\sigma_i(l_i) = l_i^{-1}, \qquad \tilde\sigma_i(l_j) = l_k^{-1} \quad \text{si } \{0, 1, \infty\} = \{i, j, k\}

NB. Le groupe \widetilde{\mathfrak{S}}_3 opère sur \Pi_{0,3} et contient \widetilde{\mathfrak{S}}_3^{+} \{1, \rho^{-1}, \rho^{-2}\} comme sous-groupe d'indice 2, ~~\widetilde{\mathfrak{S}}_3~~ \widetilde{\mathfrak{S}}_3 / \widetilde{\mathfrak{S}}_3^{+} opère sur \widetilde{\mathfrak{S}}_3^{+} en échangeant \rho et \rho^{-1}, il s'ensuit que \widetilde{\mathfrak{S}}_3 opère sur l'ensemble des solutions x de l'équation x\, \rho^{-1}(x)\, \rho^{-2}(x) = 1 par (32)\quad \Theta_g x = g \cdot x^{\chi(g)} l'exposant de (32), surchargé, est lu \chi(g) sans certitude. et on a ici (33)\quad \tilde\alpha' = \Theta_{\tilde\sigma_0}(\tilde\alpha).

p. 11 de l'auteur sphère : pôles P_{+} (en haut) et P_{-} (en bas) ; sur l'équateur, les sommets Q_0, Q_1, Q_\infty et les trois points marqués (ronds pleins) ; les arcs \tilde a_i^{\pm} le long de l'équateur, et les méridiens d_i^{+} (de P_{+} à Q_i) et d_i^{-} (de P_{-} à Q_i), en trait plein ou en pointillé selon qu'ils sont vus ou cachés. NB. Les flèches \tilde a_i^{\omega} sont ici superflues, cf (37) et commentaire p. 19. la « p. 19 » est la pagination de l'auteur : p. 37 des archivistes. On rajoute les deux sommets P^{\omega} (\omega \in \underline{\omega}), et les flèches d_i^{\omega} : P^{\omega} \to Q_i permutés transitivement par \widetilde{\mathfrak{S}}_J, avec (34)\quad \tau(P^{\omega}) = P^{\omega'}, \qquad \tau(d_i^{\omega}) = d_i^{\omega'} dans (34) et dans la définition de d_i^{\omega}, l'indice de P est surchargé ; on lit P^{\omega}.

\mathrm{IV}_J Le groupoïde \mathrm{III}_J est équivalent au groupoïde \mathrm{IV}_J défini par le graphe ~~sur~~ les sommets Q_i (i \in \omega) et P^{\omega} (\omega \in \underline{\omega}), les arcs \tilde a_i^{\omega} et d_i^{\omega} et les arcs opposés, et les six relations (35)\quad (d^{\omega}_{\omega' i})^{-1} \tilde a_i^{\omega} d_i^{\omega} = 1 (qui impliquent d'ailleurs les relations correspondantes (16) pour \mathrm{III}_J). La donnée d'un ~~automorphisme~~ automorphisme de \widehat{\mathrm{IV}}_J qui fixe les pts sommets (pour simplifier — il faudrait regarder aussi ceux qui permutent les sommets P_\omega, en fixant les Q_i), ~~équivalente~~ et qui commutent à \widetilde{\mathfrak{S}}_J, équivaut à la donnée des (36)\quad \begin{cases} u(\tilde a_i^{\omega}) = \psi^{\omega}_{\omega i}(\tilde\alpha)\, \tilde a_i^{\omega} & \tilde\alpha \in \widehat{\Pi}_{0,3} \ \text{(indép. de } i, \omega) \\ u(d_i^{\omega}) = \psi_i^{\omega}(\zeta)\, d_i^{\omega} \quad (= d_i^{\omega} \tilde\varphi_i^{\omega}(\zeta)) & \zeta \in \widehat{\Pi}_{0,3}\ \ldots \end{cases} la parenthèse de la seconde ligne de (36) est d'une lecture douteuse. de \tilde\alpha, \zeta \in \widehat{\Pi}_{0,3}, avec la relation déduite de (35), on trouve ~~les~~ équations (37)\quad \tilde\alpha = \zeta \cdot \rho^{-1}(\zeta^{-1}) i.e. \tilde\alpha est connu, quand on connaît \zeta \in \widehat{\Pi}_{0,3}. (en biais) il n'y a donc plus de conditions sur \zeta ici.

p. 12 de l'auteur qui implique bien sûr (26). NB. Le passage de u à \tau(u) s'exprime par \zeta \mapsto \sigma_\infty \tau_\infty(\zeta) = \tilde\sigma_\infty(\zeta) (en biais, à gauche) revenir à l'introduction

Je ~~vais~~ considère les isomorphismes

\begin{tikzcd}[column sep=small] \Pi_{0,3} \arrow[rr, "\tilde\psi_i^{\omega}"] \arrow[dr, "\psi_i^{\omega}"'] & & \pi(P^{\omega}) \\ & \pi(Q_i) \arrow[ur, "(d_i^{\omega})^{-1}"'] & \end{tikzcd}

ce diagramme porte le numéro (38). À droite, une note rayée : « défini de l'isomorphisme \Pi_{0,3} \simeq \Pi_{0,3} », remplacée par « pour simplifier ». Il suit que les relations (35) et (19) donnent (39)\quad \tilde\psi^{\omega}_{\omega i}(g) = \tilde\psi_i^{\omega}(\rho g) \quad \text{i.e.} \quad \tilde\psi_{\omega i} = \tilde\psi_i \circ \rho, au-dessus de \rho g, entouré au crayon : « \rho^{-1} ? ». et j'introduis les deux flèches (40)\quad \tilde d_i^{\omega} : P^{\omega} \to P^{\omega'}, \qquad \tilde d_i^{\omega} = (d_i^{\omega'})^{-1} d_i^{\omega}, permutés de façon simplement transitive par \widetilde{\mathfrak{S}}_J, ~~et satisfaisant~~ satisfaisant (41)\quad \tau(\tilde d_i^{\omega}) = \tilde d_i^{\omega'}, \qquad \tilde d_i^{\omega} \tilde d_i^{\omega'} = 1 On ~~aura donc~~ a les relations (42)\quad \tilde d_i^{\omega}(\tilde\psi_i^{\omega}(g)) = \tilde\psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty g). Revenant à l'~~automorphisme~~ automorphisme u, on aura ~~automatiquement~~ (43)\quad u(\tilde d_i^{\omega}) = \tilde\psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty \tilde\beta)\, \tilde d_i^{\omega} = \tilde d_i^{\omega}\, \tilde\psi_i^{\omega}(\tilde\beta) avec (44)\quad \tilde\beta = \zeta\, \sigma_\infty(\zeta)^{-1}. dans (43), le premier argument est surchargé ; on lit \sigma_\infty\tilde\beta. \tilde\beta satisfaisant, donc, comme \beta tantôt, la relation (45)\quad \tilde\beta\, \sigma_\infty(\tilde\beta) = 1 Considérons maintenant le sous-groupoïde

p. 13 de l'auteur sphère avec les pôles P_{+}, P_{-}, les trois points marqués sur l'équateur et les méridiens d_0^{\pm}, d_1^{\pm}, d_\infty^{\pm}. Légende : \mathrm{V}_J. \mathrm{IV}_J, induit sur les ~~formé des~~ deux sommets P^{\omega} (\omega \in \underline{\omega}), on peut le regarder comme le groupoïde libre engendré par le graphe de noms \mathrm{V}_J, ayant ces deux sommets, et trois arêtes — donc six arcs \tilde d_i^{\omega} — avec \tilde d_i^{\omega} et \tilde d_i^{\omega'} opposés — arcs permutés ~~transitivement~~ de façon simplement transitive par \widetilde{\mathfrak{S}}_J. Un automorphisme de ce groupoïde qui fixe les sommets est déterminé par les (46)\quad u(\tilde d_i^{\omega}) = \tilde d_i^{\omega} \tilde\psi_i^{\omega}(\tilde\beta) \qquad \text{avec } \tilde\beta \in \widehat{\Pi}_{0,3} \text{ indépendant de } i, \omega la seule relation à satisfaire correspond aux équations \tilde d_i^{\omega'} \tilde d_i^{\omega} = 1, qui donne (47)\quad \tilde\beta\, \sigma_\infty(\tilde\beta) = 1

Considérons enfin le groupoïde induit sur les ~~pts~~ sommets R_i^{\omega}, Q_i, P^{\omega} ((6+3+2 = 11 sommets),

p. 14 de l'auteur sphère réunissant les figures précédentes : pôles P^{+}, P^{-} ; sur l'équateur, Q_0, Q_1, Q_\infty et, autour de chacun des trois points marqués, le petit cercle R_i^{\pm} avec les arcs a_i^{\pm} ; les arcs c_i^{\pm} joignant les Q aux R, et les méridiens d_i^{\pm}. Légende : \mathrm{VI}. c'est le groupoïde engendré par ces sommets, les arcs a_i^{\omega}, c_i^{\omega}, d_i^{\omega} (trois paquets, chacun homogène sous \widetilde{\mathfrak{S}}_J) et les six relations (48)\quad (d^{\omega}_{\omega i})^{-1} (c^{\omega'}_{\omega i})^{-1} (a^{\omega}_{\omega i})^{-1} c_i^{\omega} d_i^{\omega} = 1 les indices de (48), surchargés, sont lus avec doute. L'~~automorphisme~~ involution \tau est donnée par (49)\quad \begin{cases} \tau(R_i^{\omega}) = R_i^{\omega'}, \quad \tau Q_i = Q_i, \quad \tau(P^{\omega}) = P^{\omega'} \\ \tau(a_i^{\omega}) = (a_i^{\omega'})^{-1}, \quad \tau(c_i^{\omega}) = c_i^{\omega'}, \quad \tau(d_i^{\omega}) = d_i^{\omega'} \end{cases} Les \pi_1 en les sommets R_i^{\omega}, Q_i, P^{\omega} sont repérés respectivement, en termes de \Pi_{0,3}, par les isomorphismes (50)\quad \begin{cases} \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \varphi_i^{\omega}\ } \pi(R_i^{\omega}) \quad \text{\struck{$\to \pi($}} \\ \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \psi_i^{\omega}\ } \pi(Q_i) \\ \Pi_{0,3} \xrightarrow{\ \tilde\psi_i^{\omega}\ } \pi(P^{\omega}) \end{cases} reliés ~~entre~~ entre eux par les relations suivantes, qui ~~les~~ expriment les \psi_i^{\omega}, \tilde\psi_i^{\omega} en termes des \varphi_i^{\omega} (51)\quad \begin{cases} d_i^{\omega}(\tilde\psi_i^{\omega}(g)) = \psi_i^{\omega}(g) \\ c_i^{\omega} \psi_i^{\omega}(g) = \varphi_i^{\omega}(g) \end{cases} devant chacune des deux lignes de (51), un symbole surchargé et rayé. On a, pour mémoire (52)\quad \psi_i^{\omega}(g) = \psi_i^{\omega'}(\sigma_\infty(g))

p. 15 de l'auteur (53)\quad a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(g) = \varphi_i^{\omega'}(\varepsilon_0(g)) La donnée d'un endomorphisme des groupoïdes profinis, fixant les sommets et qui commute à \widetilde{\mathfrak{S}}_J, équivaut à celle des transformés des a_i^{\omega}, c_i^{\omega}, d_i^{\omega}, de façon compatible à l'action de \widetilde{\mathfrak{S}}_J, et de façon à satisfaire aux relations (48). On aura (54)\quad \begin{cases} u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(\lambda) \\ u(c_i^{\omega}) = \varphi^{\omega'}_{\omega' i}(\eta)\, c_i^{\omega} = c_i^{\omega} \psi_i^{\omega}(\eta) \\ u(d_i^{\omega}) = \psi_i^{\omega}(\zeta)\, d_i^{\omega} = d_i^{\omega} \tilde\psi_i^{\omega}(\zeta) \end{cases} avec \lambda, \zeta, \eta \in \widehat{\Pi}_{0,3}, soumis à la seule relation déduite de (48). Au lieu de refaire le calcul, une fois de plus, pour expliciter la relation en (\lambda, \eta, \zeta), il suffit de noter que le le groupoïde envisagé est la réunion des groupoïdes \mathrm{II} et \mathrm{IV}, dont l'intersection est \mathrm{III} (ayant les sommets et commutant à \mathfrak{S}_3), donc la donnée d'un endomorphisme équivaut à celle d'un tel endomorphisme (\lambda, \eta) de \mathrm{II}, et d'un endomorphisme \zeta de \mathrm{IV}, de telle façon qu'ils se recollent \mathrm{III} pour un = endomorphisme (\tilde\alpha) de \mathrm{III}, i.e. tels qu'on ait à la fois (55)\quad \tilde\alpha = \eta^{-1} \varepsilon_0(\lambda\eta) \quad \text{et} \quad \tilde\alpha = \zeta \rho^{-1}(\zeta^{-1})

p. 16 de l'auteur L'équation à satisfaire par (\lambda, \eta) se réduit, comme on sait, à \tilde\alpha \rho^{-1}(\tilde\alpha) \rho^{-2}(\tilde\alpha) = 1 avec \tilde\alpha donné en fonction de (\lambda, \eta) par la première ~~relation~~ formule (55) — mais cette relation en \tilde\alpha ~~est~~ conséquence de la seconde relation (55), donnant \tilde\alpha en termes de \zeta. Il reste donc, comme seule relation reliant \lambda, \eta, \zeta, que la relation (55) sous la forme (où ne figure plus \tilde\alpha) (56)\quad \eta^{-1} \varepsilon_0(\lambda\eta) = \zeta \rho^{-1}(\zeta)^{-1} Je vais la mettre sous une forme plus familière pour moi, en introduisant d'abord les quantités précédentes (57)\quad \begin{cases} \beta = \sigma_\infty(\eta)\eta^{-1} & (u(b_i^{\omega}) = b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta)) \\ \alpha = \sigma_\infty(\lambda)\beta & (u(\tilde b_i^{\omega}) = \tilde b_i^{\omega} \varphi^{\omega}_{\omega i}(\alpha)) \\ \tilde\alpha = \eta^{-1}\varepsilon_0(\lambda\eta) = \zeta\rho^{-1}(\zeta)^{-1} & (u(\tilde a_i^{\omega}) = \psi^{\omega}_{\omega i}(\tilde\alpha)\, \tilde a_i^{\omega}) \end{cases} et en les modifiant ainsi, ainsi que \zeta : (58)\quad \begin{cases} \beta' = \beta^{-1} \ (= \sigma_\infty(\beta)) = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \\ \alpha' = \alpha^{-1} = \beta^{-1} \sigma_\infty(\lambda)^{-1} = \beta' \sigma_\infty(\lambda^{-1}) \end{cases} \qquad \text{donc } \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) ~~Je vais modifier \zeta en introduisant \zeta' = \eta\,\zeta ( \gamma, grâce à \eta) la relation (56) équivalant~~ deux lignes intercalées dans (58), puis rayées, avec un numéro (59) lui-même rayé. ~~(59) Il reste seulement \alpha', \gamma~~ décrits par les quantités \boxed{\lambda, \eta, \zeta} \in \widehat{\Pi}_{0,3} (équivalentes à la donnée de \lambda, \eta, \zeta), auxquelles j'associe \alpha', \beta' par (59)\quad \begin{aligned} \beta' &= \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \quad \text{\struck{\ill{}}} \\ \alpha' &= \text{\struck{\ill{}}}\ \beta' \sigma_\infty(\lambda^{-1}) \quad \text{i.e.} \quad \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \end{aligned}

p. 17 de l'auteur et ceci posé, la relation (56) équivaut à (60)\quad \begin{cases} \alpha' = \zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1} \\ \text{i.e.}\quad \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} = (\zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1})\, \sigma_\infty(\lambda) \end{cases} dans les deux lignes de (60), l'exposant de \rho est surchargé ; on le lit -1. En effet, la formule (25 bis) exprimant \alpha en termes de \tilde\alpha \alpha = \rho(\eta \tilde\alpha \rho^{-1}(\eta)^{-1}) le renvoi est écrit « (75 bis) » ; il s'agit de la formule (25 bis) de la p. 26. se récrit, en passant aux inverses et posant \tilde\alpha' = \tilde\alpha^{-1} sous la forme (61)\quad \alpha' = \rho(\rho^{-1}(\eta)\, \tilde\alpha'\, \eta^{-1}) = \eta\, \rho(\tilde\alpha')\, \rho(\eta)^{-1} ~~et la formule~~ (on considère ici \alpha, \alpha', \tilde\alpha, \tilde\alpha' comme déduits des \lambda, \eta \in \widehat{\Pi}_{0,3} par la première relation (55) pour ce qui est de \tilde\alpha, donc les autres se déduisent par (57), (61)). D'autre part, la 2e formule (55) s' se récrit alors, en passant aux inverses \tilde\alpha' = \rho^{-1}(\zeta)\, \zeta^{-1} i.e. \rho(\tilde\alpha') = \zeta\, \rho(\zeta)^{-1} ~~qui équivaut (61) s'écrit~~ \alpha' = \eta\zeta\, \rho(\zeta^{-1}\eta^{-1}) \qquad \text{\struck{i.e.\ $\alpha'$ \ill{} (60)}} i.e. (60), avec \zeta' = \eta\zeta.

En résumé les automorphismes du groupoïde \mathrm{VI}_J, induisant l'identité sur les sommets et commutant à l'action de \widetilde{\mathfrak{S}}_J, correspondent aux (62)\quad \{(\lambda, \eta, \zeta') \in \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3}\} satisfaisant la relation des lacets :

p. 18 de l'auteur (63)\quad \boxed{ \begin{aligned} &\beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \qquad (= \alpha' l_1^{\gamma} \ \text{si}\ \lambda = l_0^{\gamma}) \\ &\text{avec}\quad \alpha' = \zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1} \\ &\phantom{\text{avec}\quad} \beta' = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \end{aligned} } dans la deuxième ligne de (63), l'exposant de \rho est surchargé ; on le lit -1 comme en (60). (en biais, à gauche) le passage de u à \tau(u) s'écrit : \lambda \mapsto \varepsilon_0^{-1}(\tau_\infty(\lambda^{-1})) (\lambda \mapsto \lambda si \lambda = l_0^{\gamma}), \eta \mapsto \tau_\infty(\eta), \zeta \mapsto \sigma_\infty\tau_\infty(\zeta) = \tilde\sigma_\infty(\zeta) (en biais, à droite) NB. L'involution : \zeta' \mapsto \rho H \zeta', \eta \mapsto l_0 H \eta, i.e. \alpha' \mapsto l_0 H \alpha' , \beta' \mapsto l_0 H \beta' les deux notes marginales en biais de cette page se lisent mal ; la seconde, en particulier, est très incertaine.

Ici, les quantités \alpha', \beta', \zeta' ont été introduites en termes des quantités primitives \lambda, \eta, \zeta (\mapsto \beta, \alpha, \tilde\alpha), s'introduisant dans les formules (54) (et (57)), par le pur calcul dans \widehat{\Pi}_{0,3}, comme donnant lieu aux formules les plus sympathiques. Mais on peut les interpréter aussi de façon « géométrique », en posant comme on a fait pour \beta', \alpha', \tilde\alpha' (64)\quad b_i'^{\omega} = (b_i^{\omega})^{-1} \ (= b_i^{\omega'}), \qquad \tilde b_i'^{\omega} = (\tilde b_i^{\omega})^{-1}, \qquad \tilde a_i'^{\omega} = (\tilde a_i^{\omega})^{-1} de sorte que les formules (57) deviennent (65)\quad \begin{cases} u(b_i'^{\omega}) = \varphi^{\omega}_{\omega i}(\beta')\, b_i'^{\omega} \\ u(\tilde b_i'^{\omega}) = \varphi^{\omega}_{\omega i}(\alpha')\, \tilde b_i'^{\omega} \\ u(\tilde a_i'^{\omega}) = \tilde a_i'^{\omega}\, \psi^{\omega}_{\omega i}(\tilde\alpha') \end{cases} Enfin, la quantité \zeta' = \eta\zeta est obtenue géométriquement, en introduisant les chemins (66)\quad \tilde d_i'^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega'}, \qquad \tilde d_i'^{\omega} = c^{\omega}_{\omega i} \cdot d^{\omega}_{\omega i} sous la flèche de (66), le chemin est détaillé : P^{\omega} \xrightarrow{d^{\omega}_{\omega i}} Q_{\omega i} \xrightarrow{c^{\omega}_{\omega i}} R_i^{\omega'}. en bas à gauche : petit triangle P^{\omega}, Q_{\omega i}, R_i^{\omega'} ; arcs d^{\omega}_{\omega i} de P^{\omega} à Q_{\omega i}, c^{\omega}_{\omega i} de Q_{\omega i} à R_i^{\omega'}, et le chemin composé \tilde d_i'^{\omega} ; une boucle autour de R_i^{\omega'}. par la formule

p. 19 de l'auteur (67)\quad u(\tilde d_i'^{\omega}) = \varphi_i^{\omega'}(\underbrace{\zeta'}_{\eta\zeta})\, \tilde d_i'^{\omega} On a aussi des chemins (66')\quad d_i^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega}, \qquad d_i^{\omega} = c^{\omega'}_{\omega' i} \cdot d^{\omega}_{\omega' i} sous la flèche de (66') : P^{\omega} \xrightarrow{d^{\omega}_{\omega' i}} Q_{\omega' i} \xrightarrow{c^{\omega'}_{\omega' i}} R_i^{\omega}. Le nom d_i^{\omega} est celui qu'il écrit, bien qu'il ait déjà servi pour les arcs de P^{\omega} à Q_i. à gauche : P^{\omega} en haut, Q_{\omega' i} en bas, R_i^{\omega} à gauche ; flèche d^{\omega}_{\omega' i} de P^{\omega} à Q_{\omega' i}, arc c^{\omega'}_{\omega' i} de Q_{\omega' i} à R_i^{\omega}, et en pointillé le chemin composé. NB \tau(d_i^{\omega}) = d_i'^{\omega} et on aura également (67')\quad u(\tilde d_i^{\omega}) = \varphi_i^{\omega}(\eta\, \sigma_\infty(\zeta))\, \tilde d_i^{\omega} l'argument de (67') est surchargé ; la lecture \eta\,\sigma_\infty(\zeta) est incertaine.

sphère : les deux pôles, les huit sommets R_i^{\omega}, P^{\omega}, et les arcs d_i^{\omega}, d_i'^{\omega} (méridiens, pleins ou pointillés), a_i^{\omega} (petits cercles) et b_i^{\omega} (le long de l'équateur). Légende : \mathrm{VII}. NB les b_i^{\omega} reliant directement les R les Q_i sont ici inutiles Je vois encore deux cas à regarder, savoir les sous-groupoïdes pleins de \mathrm{VI} induits sur les huit sommets (R_i^{\omega}, P^{\omega}), soit \mathrm{VII}, décrit par le graphe de noms et les flèches d_i'^{\omega}, d_i^{\omega}, a_i^{\omega}, b_i^{\omega} (24 flèches), et celui induit sur les ~~points~~ sommets Q_i, P^{\omega} — à strictement parler, c'est le groupoïde déjà nommé \mathrm{IV} ayant les mêmes sommets, mais représenté par un graphe un peu plus grand — dans \mathrm{VIII} on distingue les ~~flèches~~ six d_i^{\omega} seulement, et on ne donne pas en plus les \tilde a_i^{\omega}, ce qui est inutile en effet par (35). (Dans il tout donc (37)), la donnée de \tilde\alpha, par seconde sphère, au crayon : les deux pôles reliés par trois méridiens, les trois points marqués sur l'équateur. Légende : \mathrm{VIII} = \mathrm{IV}. la phrase se poursuit à la p. 38.

p. 20 de l'auteur les repère les u(\tilde a_i^{\omega}), ~~résulte~~ déjà de celle de \zeta, qui repère les u(d_i^{\omega}). // Les graphes \mathrm{I} à \mathrm{VII} donnent lieu au diagramme d'inclusions

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \mathrm{III} \arrow[dl, hook'] \arrow[dr, hook] & & \\ \mathrm{I} \arrow[r, hook] \arrow[dr, hook] & \mathrm{II} \arrow[dr, hook] & & \mathrm{IV} \arrow[dl, hook'] & \mathrm{V} \arrow[l, hook'] \\ & \mathrm{VII} \arrow[r, hook] & \mathrm{VI} & & \end{tikzcd}

diagramme (68). Sur la page, \mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{VII}, \mathrm{VI} sont encadrés ensemble ; une flèche partant de \mathrm{II} vers la droite est rayée. Par le calcul, je peux déjà prédire que la donnée d'un automorphisme de \mathrm{VII} fixant les sommets et commutant à \widetilde{\mathfrak{S}}_J, équivaut à la donnée des quantités (69)\quad (\lambda, \beta', \zeta') \in \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} donc \beta' inutile ! reliées par les équations ~~(63) i.e.~~ (70)\quad \begin{cases} \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \quad \text{où} \quad \alpha' = \zeta' \rho^{-1}(\zeta')^{-1} \\ \beta' \sigma_\infty(\beta') = 1 \quad \text{i.e.} \quad \alpha' \sigma_\infty(\lambda)\, \sigma_\infty(\alpha')\, \lambda = 1 \end{cases} la seconde ligne de (70) est ajoutée en interligne ; son dernier facteur est surchargé. (tandis que dans le cas \mathrm{II} u est défini par ~~(\lambda, \eta, \alpha')~~, (69')\quad (\lambda, \eta, \alpha') \in \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} \times \widehat{\Pi}_{0,3} ~~reliés par~~ avec les équations (70')\quad \begin{cases} \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \quad \text{où} \quad \beta' = \eta\, \sigma_\infty(\eta)^{-1} \\ \alpha' \rho(\alpha') \rho^{2}(\alpha') = 1 \end{cases} donc \alpha' inutile ! dans (69'), \lambda et \eta sont soulignés ; la parenthèse ouverte avant « tandis que » n'est pas refermée sur la page.

p. 21 de l'auteur Je vais expliciter les calculs faits dans le groupoïde \mathrm{VII}, associé au graphe de noms, des flèches génératrices (71)\quad \begin{cases} \tilde d_i^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega} \\ \tilde d_i'^{\omega} : P^{\omega} \to R_i^{\omega'} \\ a_i^{\omega} : R_i^{\omega} \to R_i^{\omega'} \end{cases} liées par les relations (72)\quad \begin{cases} (\tilde d_i'^{\omega})^{-1} a_i^{\omega} \tilde d_i^{\omega} = 1 \\ (\tilde d'^{\omega}_{\omega i})^{-1} \tilde d^{\omega'}_{\omega i} (\tilde d_i'^{\omega'})^{-1} \tilde d_i^{\omega} = 1 \end{cases} les indices et exposants de la seconde ligne de (72) sont surchargés et lus avec doute. six relations indépendantes exprimant les \tilde d_i'^{\omega} en termes des \tilde d_i^{\omega} et a_i^{\omega}, ou les a_i^{\omega} en termes des \tilde d_i^{\omega}, \tilde d_i'^{\omega}. En tout six relations, mais il n'y en a que trois indépendantes, car l'équation pour i, \omega et pour (\omega i, \omega') est la même. cette note, à droite de (72), se rapporte à la seconde ligne ; sa première partie est insérée en interligne. sphère : pôles P^{+}, P^{-} ; autour des trois points marqués, les petits cercles R_i^{\pm} avec les arcs a_i^{\pm} ; les méridiens \tilde d_i^{\pm} et \tilde d_i'^{\pm} (i = 0, 1, \infty) descendant des pôles vers les R, en trait plein ou pointillé selon qu'ils sont vus ou cachés. On les repère ensuite par les équations (73)\quad \begin{cases} u(\tilde d_i^{\omega}) = \varphi_i^{\omega}(\zeta_1)\, \tilde d_i^{\omega} \\ u(\tilde d_i'^{\omega}) = \varphi_i^{\omega'}(\zeta')\, \tilde d_i'^{\omega} \\ u(a_i^{\omega}) = a_i^{\omega} \varphi_i^{\omega}(\lambda) \end{cases} \qquad \zeta', \zeta_1, \lambda \in \widehat{\Pi}_{0,3} dans les deux premières lignes de (73), un premier facteur, raturé à l'encre, est remplacé par celui qui est donné ici. et il reste à exprimer que u satisfait les relations (72). La première s'explicite sous la forme (74)\quad \zeta' = \varepsilon_0(\lambda\zeta_1) \qquad \text{i.e.} \qquad \zeta_1 = \lambda^{-1} \cdot \varepsilon_0^{-1}(\zeta') et on trouve également (75)\quad \beta\, \zeta_1 = \beta' \sigma_\infty(\zeta') où \beta' défini par la condition (65a)le premier \beta de (75) est surchargé.

Cette relation permettant de tirer \beta' en termes la phrase se poursuit à la p. 40.

p. 22 de l'auteur de \zeta', \zeta_1 — ou de l'une des deux quantités seulement (75)\quad \begin{aligned} \beta' &= \zeta_1 \sigma_\infty(\zeta')^{-1} = \text{\struck{$\varepsilon_0(\lambda\zeta_1)$}}\ \zeta_1 (\sigma_\infty\varepsilon_0)(\lambda\zeta_1)^{-1} \\ &= \lambda^{-1} \cdot \varepsilon_0^{-1}(\zeta')\, \sigma_\infty(\zeta')^{-1}. \end{aligned} ~~la dernière~~ ces expressions de \beta' on tire (75')\quad \sigma_\infty(\beta') = \sigma_\infty(\zeta_1)\, \zeta'^{-1} = \sigma_\infty(\zeta_1)\, \varepsilon_0(\lambda\zeta_1)^{-1} = \sigma_\infty(\lambda)^{-1} \overbrace{\rho(\zeta')\, \zeta'^{-1}}^{\alpha'^{-1}} le numéro (75) sert deux fois, ici et à la p. 39 ; à la fin de la ligne de (75'), un groupe raturé. et la troisième expression de \beta' donne ~~(77) Ce dit, l'équation pour (72 b) équivalente :~~ \text{\struck{$\beta' \sigma_\infty(\beta') = 1$}} ~~\sigma_\infty(\beta') en posant \beta_1 = \sigma_\infty(\beta')~~ ce passage est encadré puis rayé ; des traits ondulés au crayon le traversent. s'écrit aussi (77)\quad \sigma_\infty(\beta')^{-1} = \alpha' \sigma_\infty(\lambda). Ceci posé, l'équation (72 b) équivaut à (78)\quad \beta' \sigma_\infty(\beta') = 1 \qquad \text{ou encore} \quad \sigma_\infty(\beta')^{-1} = \beta' le numéro (78) est surchargé. ce qui est invariant par la substitution \beta' \mapsto \sigma_\infty(\beta') ~~dans~~ \beta' \mapsto \beta'^{-1}, donc posant (dans ses simplifications (\ast)) \beta_1 = \sigma_\infty(\beta')^{-1} = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) l'équation (78) équivaut à l'équation (\ast\ast)\quad \beta_1 \sigma_\infty(\beta_1) = 1 et implique que \beta_1 = \sigma_\infty(\beta_1)^{-1} donc \beta_1 = \beta'. En résumé, on peut donc se servir plutôt de (78)\quad \beta' = \alpha' \sigma_\infty(\lambda) \qquad \text{où} \quad \alpha' = \zeta' \rho(\zeta')^{-1} et la relation à imposer : (\lambda, \zeta') est, au choix, le numéro (78) sert à nouveau, surchargé. Le texte continue au-delà de la p. 40, hors de ce lot.