Cote n° 141, pages 1–15

Cote n° 141 · batch 1 · pages 1–15 · Transcription · Théorie de Kumer ? + note Alexandre (bi tenseur…) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980]
Édition de démonstration

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Théorie de Kummer sur un anneau de valuation discrète

ce titre est de l'édition : aucune page du dossier ne porte de titre de sa main. Les pages 1, 3 et 5 sont écrites au stylo bleu, en grands caractères, sur des feuillets dont les versos sont des pages 2, 4 et 6 sans rapport avec les mathématiques

$V$ : a.v.d. noethérien ; complet

$\mathrm{Spec}(V)$ $k$ corps résiduel $K$ corps des fractions

Théor Théorie galoisienne $(K)$

a) $\mathrm{car}(k) = 0$ $k$ alg. clos

dans $\mathrm{car}(k)$, la lettre est surchargée : un $K$ écrit sur un $k$, ou l'inverse ; la suite (« $k$ alg. clos ») veut le corps résiduel

les extens[ions] de $K$ sont abél[iennes] cycliques donc kummeriennes.

\[K^{*}/K^{*n} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \qquad \text{(par la valuation)}\]

Soit $\overline{K}$ clôture a[lgébrique] de $K$.

\[\Gamma(\overline{K}, K) \overset{\text{déf}}{=} T_{\infty}(k) = \varprojlim_{n} \underbrace{\mu_n(k)}_{\simeq\, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \qquad (\simeq \widehat{\mathbb{Z}})\]

la page porte « $\simeq \widehat{2}$ » : le $\mathbb{Z}$ chapeau est tracé comme un 2

si $k$ car $\neq 0$, $V$ pas néces[sairement] complet,

\[\pi_1(K)^{\text{premier à } p} \longrightarrow \varprojlim_{n \text{ premier à } p} \mu_n(k)\]

« premier à $p$ » est écrit sous $\pi_1(K)$ et sous la limite. Le signe entre « car » et « 0 » est un rond surchargé ; « $\neq$ » est ce que demande la présence de $p$

$\bar{s} \in S$, $\bar{s}$ pt géométrique \[\pi_1(S, \bar{s}) \longrightarrow \varprojlim_{n \text{ \uncertain{premier à} } s} \mu_n(S)\]

la condition sous la limite se lit « $n$ premier à $s$ » ; ce que l'argument demande est vraisemblablement que $n$ soit inversible sur $S$, ce que la page ne dit pas

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\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \displaystyle\varprojlim_{n \text{ premier à } p} \mu_n(\overline{K}) \arrow[r] & \pi_1(K) \arrow[r] & \pi_1(k) \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & 1 \\
 & & & \pi_1(V) &
\end{tikzcd}

l'égalité verticale est tracée comme deux traits parallèles sous $\pi_1(k)$

\[0 \to H^0(S, \mu_n) \to H^0(S, \mathbb{G}_m) \to H^1(S, \mu_n) \to H^1(S, \mathbb{G}_m)\]

la ligne omet le second $H^0(S, \mathbb{G}_m)$ et la puissance $n$-ième qui y mène ; la ligne suivante les rétablit

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\begin{tikzcd}
\mu_n(S) \arrow[r] & \mathbb{G}_m(S) \arrow[r] & \mathbb{G}_m(S) \arrow[r] & \mathrm{Rev}(S, \mu_n) \arrow[d] \\
 & & & \mathrm{Pic}(S) \arrow[d, "\otimes n"] \\
 & & & \mathrm{Pic}(S)
\end{tikzcd}

l'étiquette « $\otimes n$ » est écrite au bout de la seconde flèche verticale, contre le second $\mathrm{Pic}$, dont elle cache la dernière lettre ; lue comme la puissance tensorielle $n$-ième

\[0 \to \mathbb{G}_m(S)_n \longrightarrow \mathrm{Rev}(S, \mu_n) \to \uncertain{{}_{n}\mathrm{Pic}}(S) \to 0\]

« $\mathbb{G}_m(S)_n$ » est écrit tel quel, indice $n$ en bas ; le dernier terme est surchargé

\[a \longmapsto \mathrm{Spec}\bigl(\mathcal{O}_S[T]/(T^n - a)\bigr), \qquad A[T]/(T^n - a)\]

Espace classifiant d'un groupe discret

ce titre est de l'édition. Les pages 7 et 8 sont deux fiches de petit format, à l'encre noire, avec quelques corrections au stylo bleu

Thm 1 Soit $\pi$ groupe discret, $E$ revêtement $\pi$-principal d'un espace $B$. Considérons pour tout espace $X$ l'application \[\mathrm{hot}(X, B) \overset{h_X}{\longrightarrow} H^1(X, \pi) \qquad \Bigl(\overset{\text{déf}}{=} \text{classes d'isom. de $\pi$-rev. principaux sur $X$}\Bigr)\] fonctorielle en $X$.

« tout » est ajouté au stylo bleu au-dessus de la ligne ; au même stylo, $\mathrm{hot}(X, B) \to H^1(X,\pi)$ est souligné d'un trait ondulé, et un signe en forme de S est porté au-dessous

Conditions équivalentes

1) $h$ est un isomorphisme de foncteurs, i.e. bijectif pour tout $X$

« bi » est écrit au stylo bleu sur un autre début de mot, vraisemblablement « in[jectif] », qui est biffé d'un trait

(On dit alors que $(E, B, \pi)$ est un $\pi$-rev. universel, $B$ s'appelle « l'espace classifiant » pour $\pi$).

2) $E$ est contractile

la fiche s'arrête sur cette ligne, coupée au bord inférieur

Thm 2 Pour tout $\pi$ discret, il existe un $\pi$-fibré universel, i.e. un espace classifiant (défini à isom. unique près dans la cat. homotopique…)

Soit $X$ un espace sur lequel $\pi$ opère […], et prenons \[E_{\pi} \times_{\pi} X = (E_{\pi} \times X)/\pi\]

au-dessus du signe $=$, un mot biffé, vraisemblablement « déf » ; à la fin de la ligne précédente, après « opère », quelques signes (« $\supset X^{\delta}$ » ?) qui ne se lisent pas

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\begin{tikzcd}
 & (E_{\pi} \times X)/\pi \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
B_{\pi} = E_{\pi}/\pi & & X/\pi
\end{tikzcd}

le but de droite est surchargé : un $E_{\pi}$ biffé après le $X$, puis $\pi$ au-dessus ; lu $X/\pi$ sans certitude

\[\underset{\substack{\| \\ 0}}{\pi_2(B_{\pi})} \longrightarrow \pi_1(X) \to \pi_1(X, \pi) \longrightarrow \pi \longrightarrow \underset{\substack{\| \\ 1}}{\pi_0(X)}\]

Cartes, groupes cartographiques

ce titre est de l'édition. Les pages 9 et 10 sont des pages d'esquisses au feutre bleu : formules dispersées, flèches et dessins. Le contenu est transcrit dans l'ordre de lecture, sans en reproduire la disposition

\[\tilde{x} \in (\widetilde{X} \supset \widetilde{K} \supset \widetilde{S}) \simeq C_{p,q} \qquad \mathbf{\Gamma_{p,q}} \supset \pi \qquad \mathrm{Norm}(\pi)/\pi\]

$x \in$ $X \supset K \supset S$ $p, q$

\[\Gamma_{\infty,\infty} \supset \pi, \qquad \Gamma_{\infty,\infty} \to \Gamma_{\infty,3}, \qquad \Gamma_{\infty,\infty} \to \Gamma_{p,q} \supset \pi \qquad\qquad \Gamma_{2,2}\]

les deux flèches issues de $\Gamma_{\infty,\infty}$ partent en éventail, l'une vers $\Gamma_{\infty,3}$, l'autre vers $\Gamma_{p,q}$ ; un long trait en équerre sépare cette partie de la page du reste

$C_{\infty,3}$, avec une flèche descendant vers une sphère marquée de trois points sur l'équateur.

la phrase est de l'édition : c'est un dessin, que la flèche relie à $C_{\infty,3}$

Suite verticale : \[1 \to \uncertain{\Gamma_1} \to \Gamma^{0}_{\infty,3} = SL(2, \mathbb{Z})/(\pm 1) \to \mathfrak{S}_3 \to 1\]

la suite est écrite de haut en bas, flèches descendantes ; le premier terme ressemble à $\Gamma_1$, et ce que l'exactitude demande là est le sous-groupe noyau de $\Gamma^0_{\infty,3} \to \mathfrak{S}_3$

\[V \ni e, \qquad \textbf{$\omega_1, \omega_2$}, \qquad I(\omega_2/\omega_1) > 0 \qquad\qquad \omega_1, \omega_2, \quad \omega_2/\omega_1 = \tau\]

à côté, une sphère couverte de hachures obliques, deux points marqués

\[\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \rho_s^{3} = 1\} = \Gamma_{\infty,3} \supset \pi \ni \rho_s, \qquad \textbf{$\rho_s^{\,p}$}\]

le « $=$ » est vertical, entre la présentation et $\Gamma_{\infty,3}$ ; la présentation n'énumère pas les autres relations

\[C_{\infty,3} \longrightarrow C_{p,3}\]

Une ellipse marquée de deux croix, $0$ et $2^{3}\cdot 3^{4}$, et d'un point, avec une flèche sur son bord ; à côté $C_{1,1}$ ; au-dessous \[R_{(p,p',q,q')}, \qquad \Gamma_{p,q} \longrightarrow \Gamma_{p',q'}, \qquad C_{p,q} \longrightarrow C_{p',q'} = C_{p,q}/R, \qquad p' \mid p, \quad q' \mid q.\]

la phrase de présentation est de l'édition. Si les croix marquent les valeurs exceptionnelles de l'invariant modulaire, la seconde vaudrait $1728 = 2^{6} \cdot 3^{3}$ ; la page porte ce qui se lit $2^{3} \cdot 3^{4}$, et on ne corrige pas

\[C_{2,1} \qquad C_{1,2} \qquad C_{1,1}\]

Carte trouée $(X \supset K)$ tels que \[X \text{ surface top.}, \qquad K \text{ sous-\uncertain{variété} fermée de dim } 1\]

les deux qualifications sont écrites sous $X$ et sous $K$, reliées par des flèches

les comp. de $\text{Déc}(X, K)$ sont homéomorphes à un $D_n^{*}$ (disque troué standard, $1 \leq n \leq +\infty$)

$\Pi_n$ pol. conv. […] à $n$ côtés $\Pi_n = (S_n, A_n, \uncertain{F_n})$ $S_n \subset |\Pi_n|$

\[\underbrace{|\Pi_n| \times [0,1]} \supset |\Pi_n| \supset S_n\]

le crochet ouvrant de $[0,1]$ est repassé et pourrait être un « $]$ »

\[D_n^{*} = |\Pi_n| \times \left]0,1\right] \smallsetminus S_n\]

la page est ensuite couverte de dessins : un pentagone découpé en secteurs depuis son centre ; une ligne pointée prolongée des deux côtés par « $\ldots$ » (le cas $n = \infty$) ; deux arcs portant des flèches transverses et des segments en éventail ; un cercle divisé, un rayon épaissi, marqué $\pm \frac{1}{n}$ ; un cercle aux arcs épaissis alternés, avec une flèche de rotation ; une carte en forme de pentagone aux sommets cerclés, avec des arêtes pendantes et un point cerclé au centre ; un astérisque

\[\underbrace{\sigma_0\, \sigma_1}\, \sigma_2 \qquad \mathbf{E} \qquad \boxed{\text{Déc}(\widehat{X}, \uncertain{W})} \qquad \widetilde{X} \smallsetminus F\]

$\pi$-ensembles et bitorseurs

ce titre est de l'édition. Les pages 11 à 15 sont sur un papier fin, à l'encre noire ; les pages 11 et 12 portent en haut à droite un numéro cerclé de sa main, ① et ②, les suivantes aucun

\[n \left\{ \begin{array}{ll} L & d \text{ gén.} \\ \cup & \\ L' & d' \text{ gén.} \end{array} \right. \qquad (d' - 1) = n(d - 1), \qquad 2 = 2 \cdot 1\]

à côté, un bouquet de cercles dessiné

\[\begin{array}{lcl} L \simeq \pi_1(X) & & 1 - d \\ \cup & & \\ L' \simeq \pi_1(X') & & 1 - d' \end{array}\]

à droite, un triangle hachuré de sommets $0$, $1$, $\infty$

\[\pi^{+} \qquad \rho_0 \quad \rho_1 \quad \rho_\infty\] \[\rho_0 \mapsto \rho_0^{-1}, \qquad \rho_\infty \mapsto \rho_\infty^{-1}, \qquad \rho_1 \mapsto \rho_\infty \rho_0\]

les trois correspondances sont écrites verticalement sous $\rho_0\,\rho_1\,\rho_\infty$ ; celle de $\rho_1$ est une grosse flèche descendante

\[\pi \qquad \mathrm{Ens}(\pi) \xrightarrow[\text{aux } \varinjlim]{\;\text{commutant}\;} \mathcal{C}\]

$F$ est écrit au-dessus de la flèche, au-dessus de « commutant ». De $\mathcal{C}$ part un trait vers « avec $\varinjlim$ » et vers « $(\simeq \mathrm{Ens}(\pi'))$ », et une flèche courbe $\mathcal{C} \xrightarrow[\text{aux } \varinjlim]{G \text{ commutant}} \mathcal{C}'$

\[\updownarrow\]

$X$ $\pi$-objet (à droite) de $\mathcal{C}$

« à droite » est ajouté au-dessus de la ligne ; le $X$ est repassé

\[F \longmapsto F(\pi_s)\] \[X \longmapsto F_X : E \longmapsto \underbrace{X \times_{\pi} E}_{\in\, \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}}\] \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X \times_{\pi} E, Y) \simeq \mathrm{Hom}_{\pi}(E, \mathrm{Hom}(X, Y)), \qquad Y \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\]

le $Y$ est écrit sur un autre signe barré

\[E \simeq \coprod_{i \in I} \pi/H_i\] \[X \times_{\pi} E = \coprod_i \underbrace{X \times_{\pi} (\pi/H_i)}_{X/H_i}\]

Ex. $\mathcal{C} = \mathrm{Ens}(\pi')$

\[\mathbf{Hom}_{!}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi), \mathrm{Ens}(\pi')\bigr) \simeq {}_{\pi'}\mathrm{Ens}_{\pi} \ni {}_{\pi'}X_{\pi}\]

sous le « ! », accolé : « commutant aux $\varinjlim$ »

\[\begin{array}{ccl} X & & E \in \mathrm{Ens}(\pi) \\ \updownarrow & & \\ F : & & E \longmapsto X \times_{\pi} E \end{array}\]

Proposition Pour que $F$ soit exact à gauche, il f[aut] et s[uffit] que $X$ soit un $\pi$-torseur à droite.

la proposition est marquée d'un trait vertical dans la marge gauche

$X$ torseur sous $\pi$ \[{}^{X}\pi \overset{\text{déf}}{=} X \times_{\pi} \mathrm{int}(\pi) = \mathrm{Aut}_{\pi}(X)\] \[\pi' \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\pi}(X)\]

Corollaire Pour que $F$ soit équivalence, il f[au]t et s[uffit] que $\pi' \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}_{\pi}(X)$, i.e. que $X$ soit un bitorseur sous $\pi', \pi$ ; donc

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\begin{tikzcd}
\textbf{Équiv}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi), \mathrm{Ens}(\pi')\bigr) \arrow[d, "u \,\mapsto\, u^{[-1]}"'] & \approx & \mathrm{Bit}(\pi', \pi) \arrow[d] \\
\textbf{Équiv}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi'), \mathrm{Ens}(\pi)\bigr) \arrow[rr, "\approx"] & & \mathrm{Bit}(\pi, \pi')
\end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche verticale de droite ne se lit pas ; sur celle de gauche, un signe avant « $u \mapsto u^{[-1]}$ » ne se lit pas non plus

[…] ${}_{\pi}X_{\pi}$ $X \circ X \overset{\mu}{\xrightarrow{\sim}} 1$

\[\lambda e = e \lambda \quad \forall \lambda \in \pi\]

\[\mathbf{Bit.invol}(\pi) \xrightarrow{\approx} \mathbf{Invol}\bigl(\mathrm{Ens}(\pi)\bigr) \xrightarrow{\approx} \mathbf{Ext}(\mathbb{Z}/2, \pi)\]

Ext.

\[1 \to \pi \longrightarrow \widetilde{\pi} \overset{p}{\longrightarrow} \mathbb{Z}/2 \to 1\]

le $\mathbb{Z}$ est repassé. Sous la suite : « $p^{-1}(1)$ », avec un crochet renvoyant à « él. non neutre »

deux longs traits fléchés séparent la suite de la page

$I$ […] pol. conv. fini d'ordre $n \geq 3$

cartes $n$-gonales $I$-pondérées

$n \in \mathbf{D}_{I}$ $\pi_I = L_I/(\lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1} = 1)$ […]

la ligne biffée est rayée en croix ; sous elle, d'autres essais biffés où se lisent $\lambda_0$, $\lambda_{n-1}$ et un indice $I$

\[\pi_I = (\mathbb{Z}/2)^{*I}\]

un signe biffé précède la parenthèse ; à droite, une suite biffée $\lambda_0 \lambda_{n-1}\,\lambda_{n-1} \cdots \lambda_1^{-1}$

\[1 \to \pi_I^{+} \longrightarrow \pi_I \to \mathbb{Z}/2 \to 1, \qquad \pi_I^{+} \simeq \underbrace{L_I/\uncertain{-}}\]

sous $\pi_I$, un petit signe courbe indicé $I$ ne se lit pas. Le sous-groupe d'indice $2$ d'un produit libre de $|I|$ copies de $\mathbb{Z}/2$ est libre de rang $|I| - 1$, ce que « $L_I/-$ » peut vouloir dire. À droite, le dessin d'une carte de quadrilatères aux sommets numérotés $0$, $1$, $2$, $3$, certaines faces hachurées

à gauche, une sphère marquée de $i$, $-i$, $1$, d'un point à gauche et de $0$ au centre, avec des lacets ; à droite, des lacets autour de $0$ et de $1$ dans le plan, pointés en $i$ et $-i$

\[\pi \qquad \lambda_0 \; \lambda_1 \; \lambda_2 \; \lambda_3 \qquad \varepsilon\] \[\struck{\lambda_0 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1} \qquad \lambda_3 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_0 = 1 \qquad \varepsilon^{2} = 1\] \[\begin{cases} \varepsilon \lambda_0 \varepsilon^{-1} = \lambda_0^{-1} \\ \varepsilon \lambda_1 \varepsilon^{-1} = \lambda_1^{-1} \end{cases} \qquad \varepsilon \lambda_i \varepsilon^{-1}\] \[\mathrm{Hom}(i, -i) \qquad \underset{\substack{\wr \\ \pi}}{\mathrm{Hom}(-i, i)} \qquad \underset{\substack{\wr \\ \pi}}{\mathrm{Hom}(i, i)} \qquad \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \lambda_1 \qquad \ell \circ \bar{\ell}^{-1}\]

\[i \xrightarrow{\;\varepsilon^{-1}\;} \bar{\imath} \qquad i \xrightarrow{\;\lambda_i\;} \bar{\imath} \qquad \bar{\imath} \xrightarrow{\;\varepsilon\;} i \qquad\qquad \varepsilon \circ \bar{\lambda}_i \circ \varepsilon^{-1}\]

les extrémités des trois chemins sont petites et en partie surchargées ; les barres sont lues sans certitude

\[\underset{\substack{\in \\ a}}{X} \qquad \Gamma\] \[\bigl(\gamma \in \Gamma, \ \ell \in \mathrm{Hom}(\gamma a, \struck{\ill{}}\, b)\bigr) \qquad \bigl(\gamma' \in \Gamma, \ \ell' \in \mathrm{Hom}(\gamma' b, \struck{\ill{}}\, c)\bigr)\]

\[\gamma a \xrightarrow{\;\ell\;} b \qquad \gamma' b \xrightarrow{\;\ell'\;} c\]

après chacune de ces deux flèches, un essai biffé ; une troisième ligne, entièrement biffée, finit par « $\to \gamma\gamma' c$ »

\[a \xrightarrow{\;(\gamma\ell') \circ \ell\;} \gamma\gamma' c \qquad \bigl(\gamma\gamma', (\gamma\ell') \circ \ell\bigr)\]

\[\pi_1(X, \Gamma, a) \longrightarrow \Gamma \qquad \gamma'\gamma a \xrightarrow{\;\gamma'(\ell)\;} \gamma' b \xrightarrow{\;\ell'\;} c\]

\[(\gamma', \ell')(\gamma, \ell) = \bigl(\gamma'\gamma, \ \ell' \circ \gamma'(\ell)\bigr)\]

le second terme est écrit au-dessus d'un premier essai biffé. À droite, séparé par un trait vertical, un schéma : « $\gamma a$ — $\cdot$ » au-dessus de « $\gamma' a$ — $\cdot$ »

\[\mathrm{Ens}(\pi) \xrightarrow{\;F_X\;} \mathrm{Ens}(\pi') \xrightarrow{\;F_Y\;} \mathrm{Ens}(\pi'') \qquad {}_{\pi'}X_{\pi} \qquad {}_{\pi''}Y_{\pi'}\] \[F_Y \circ F_X = F_{Y \wedge_{\pi'} X}\]

${}_{\pi'}X_{\pi}$ bitorseur ; classifiés à isom. près ?

\[\pi' \xrightarrow{\sim} {}^{X}\pi \overset{\text{non can.}}{\simeq} \pi\]

au-dessus du second signe, en interligne : « non can. » puis « mais can. à $\mathbf{Isomext}({}^{X}\pi, \pi)$ près »

Donc $X$ définit $\mathbf{Isomext}(\pi', \pi)$

Classes de bit$(\pi', \pi)$

\[\pi_0\bigl(\mathbf{Bit}(\pi', \pi)\bigr) \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbf{Isomext}(\pi', \pi)\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\pi_0\bigl(\mathbf{Bit.pt}(\pi', \pi)\bigr) \arrow[d] & \simeq & \mathrm{Isom}(\pi', \pi) \arrow[d, "\text{surj.}"] \\
\pi_0\bigl(\mathbf{Bit}(\pi', \pi)\bigr) & \simeq & \mathrm{Isom}(\pi', \pi)/\mathrm{Int}(\pi) = \mathrm{Isomext}(\pi', \pi)
\end{tikzcd}

la flèche de droite est oblique sur la page, de $\mathrm{Isom}(\pi', \pi)$ vers le quotient ; à côté d'elle : « surj. », « passage au quotient par $\mathrm{Int}(\pi)$ »

\[F^{2} \overset{\mu}{\xrightarrow{\sim}} \mathrm{id} \qquad F(F(E)) \xrightarrow{\;\mu_E\;} E\] \[F(F(F(E))) \underset{\mu_{F(E)}}{\overset{F(\mu_E)}{\rightrightarrows}} F(E)\] \[F\mu = \mu F : F^{3} \to F\]

les deux flèches $F(\mu_E)$ et $\mu_{F(E)}$ sont écrites l'une au-dessus de l'autre sur un même trait fléché ; le $E$ de « $\mu_E$ » est repassé sur un autre signe

Théorie de Kummer sur un anneau de valuation discrète

Espace classifiant d'un groupe discret

Cartes, groupes cartographiques

\(\pi\)-ensembles et bitorseurs