V : a.v.d. noethérien ; complet

\mathrm{Spec}(V) k corps résiduel K corps des fractions

Théor Théorie galoisienne (K)

a) \mathrm{car}(k) = 0 k alg. clos

dans \mathrm{car}(k), la lettre est surchargée : un K écrit sur un k, ou l'inverse ; la suite (« k alg. clos ») veut le corps résiduel

les extensions de K sont abéliennes cycliques donc kummeriennes.

K^{*}/K^{*n} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \qquad \text{(par la valuation)}

Soit \overline{K} clôture algébrique de K.

\Gamma(\overline{K}, K) \overset{\text{déf}}{=} T_{\infty}(k) = \varprojlim_{n} \underbrace{\mu_n(k)}_{\simeq\, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \qquad (\simeq \widehat{\mathbb{Z}})

la page porte « \simeq \widehat{2} » : le \mathbb{Z} chapeau est tracé comme un 2

si k car \neq 0, V pas nécessairement complet,

\pi_1(K)^{\text{premier à } p} \longrightarrow \varprojlim_{n \text{ premier à } p} \mu_n(k)

« premier à p » est écrit sous \pi_1(K) et sous la limite. Le signe entre « car » et « 0 » est un rond surchargé ; « \neq » est ce que demande la présence de p

Thm 1 Soit \pi groupe discret, E revêtement \pi-principal d'un espace B. Considérons pour tout espace X l'application \mathrm{hot}(X, B) \overset{h_X}{\longrightarrow} H^1(X, \pi) \qquad \Bigl(\overset{\text{déf}}{=} \text{classes d'isom. de $\pi$-rev. principaux sur $X$}\Bigr) fonctorielle en X.

« tout » est ajouté au stylo bleu au-dessus de la ligne ; au même stylo, \mathrm{hot}(X, B) \to H^1(X,\pi) est souligné d'un trait ondulé, et un signe en forme de S est porté au-dessous

Conditions équivalentes

1) h est un isomorphisme de foncteurs, i.e. bijectif pour tout X

« bi » est écrit au stylo bleu sur un autre début de mot, vraisemblablement « injectif », qui est biffé d'un trait

(On dit alors que (E, B, \pi) est un \pi-rev. universel, B s'appelle « l'espace classifiant » pour \pi).

2) E est contractile

la fiche s'arrête sur cette ligne, coupée au bord inférieur

\tilde{x} \in (\widetilde{X} \supset \widetilde{K} \supset \widetilde{S}) \simeq C_{p,q} \qquad \mathbf{\Gamma_{p,q}} \supset \pi \qquad \mathrm{Norm}(\pi)/\pi

x \in X \supset K \supset S p, q

\Gamma_{\infty,\infty} \supset \pi, \qquad \Gamma_{\infty,\infty} \to \Gamma_{\infty,3}, \qquad \Gamma_{\infty,\infty} \to \Gamma_{p,q} \supset \pi \qquad\qquad \Gamma_{2,2}

les deux flèches issues de \Gamma_{\infty,\infty} partent en éventail, l'une vers \Gamma_{\infty,3}, l'autre vers \Gamma_{p,q} ; un long trait en équerre sépare cette partie de la page du reste

C_{\infty,3}, avec une flèche descendant vers une sphère marquée de trois points sur l'équateur.

la phrase est de l'édition : c'est un dessin, que la flèche relie à C_{\infty,3}

Suite verticale : 1 \to \uncertain{\Gamma_1} \to \Gamma^{0}_{\infty,3} = SL(2, \mathbb{Z})/(\pm 1) \to \mathfrak{S}_3 \to 1

la suite est écrite de haut en bas, flèches descendantes ; le premier terme ressemble à \Gamma_1, et ce que l'exactitude demande là est le sous-groupe noyau de \Gamma^0_{\infty,3} \to \mathfrak{S}_3

V \ni e, \qquad \textbf{$\omega_1, \omega_2$}, \qquad I(\omega_2/\omega_1) > 0 \qquad\qquad \omega_1, \omega_2, \quad \omega_2/\omega_1 = \tau

à côté, une sphère couverte de hachures obliques, deux points marqués

\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \rho_s^{3} = 1\} = \Gamma_{\infty,3} \supset \pi \ni \rho_s, \qquad \textbf{$\rho_s^{\,p}$}

le « = » est vertical, entre la présentation et \Gamma_{\infty,3} ; la présentation n'énumère pas les autres relations

C_{\infty,3} \longrightarrow C_{p,3}

Une ellipse marquée de deux croix, 0 et 2^{3}\cdot 3^{4}, et d'un point, avec une flèche sur son bord ; à côté C_{1,1} ; au-dessous R_{(p,p',q,q')}, \qquad \Gamma_{p,q} \longrightarrow \Gamma_{p',q'}, \qquad C_{p,q} \longrightarrow C_{p',q'} = C_{p,q}/R, \qquad p' \mid p, \quad q' \mid q.

la phrase de présentation est de l'édition. Si les croix marquent les valeurs exceptionnelles de l'invariant modulaire, la seconde vaudrait 1728 = 2^{6} \cdot 3^{3} ; la page porte ce qui se lit 2^{3} \cdot 3^{4}, et on ne corrige pas

C_{2,1} \qquad C_{1,2} \qquad C_{1,1}

n \left\{ \begin{array}{ll} L & d \text{ gén.} \\ \cup & \\ L' & d' \text{ gén.} \end{array} \right. \qquad (d' - 1) = n(d - 1), \qquad 2 = 2 \cdot 1

à côté, un bouquet de cercles dessiné

\begin{array}{lcl} L \simeq \pi_1(X) & & 1 - d \\ \cup & & \\ L' \simeq \pi_1(X') & & 1 - d' \end{array}

à droite, un triangle hachuré de sommets 0, 1, \infty

\pi^{+} \qquad \rho_0 \quad \rho_1 \quad \rho_\infty \rho_0 \mapsto \rho_0^{-1}, \qquad \rho_\infty \mapsto \rho_\infty^{-1}, \qquad \rho_1 \mapsto \rho_\infty \rho_0

les trois correspondances sont écrites verticalement sous \rho_0\,\rho_1\,\rho_\infty ; celle de \rho_1 est une grosse flèche descendante

\pi \qquad \mathrm{Ens}(\pi) \xrightarrow[\text{aux } \varinjlim]{\;\text{commutant}\;} \mathcal{C}

F est écrit au-dessus de la flèche, au-dessus de « commutant ». De \mathcal{C} part un trait vers « avec \varinjlim » et vers « (\simeq \mathrm{Ens}(\pi')) », et une flèche courbe \mathcal{C} \xrightarrow[\text{aux } \varinjlim]{G \text{ commutant}} \mathcal{C}'

\updownarrow

X \pi-objet (à droite) de \mathcal{C}

« à droite » est ajouté au-dessus de la ligne ; le X est repassé

F \longmapsto F(\pi_s) X \longmapsto F_X : E \longmapsto \underbrace{X \times_{\pi} E}_{\in\, \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X \times_{\pi} E, Y) \simeq \mathrm{Hom}_{\pi}(E, \mathrm{Hom}(X, Y)), \qquad Y \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}

le Y est écrit sur un autre signe barré

E \simeq \coprod_{i \in I} \pi/H_i X \times_{\pi} E = \coprod_i \underbrace{X \times_{\pi} (\pi/H_i)}_{X/H_i}