Cote n° 140-1 · batch 2 · pages 21–36 · Transcription · "Longue Marche" [brouillon] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1982]
Édition de démonstration

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Le groupe \(H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m)\)

titre de l'édition. Les pages 22 et 24 sont écrites sur le verso d'un feuillet dactylographié dont le texte transparaît ; seule son écriture est transcrite. Elles portent, en tête à gauche, « A) » et « B) », entourés d'un arc

22

A) Lemme \(S\) schéma satisfaisant régulier intègre tel que \(\mathrm{Pic}(S) = 0\), et car. du point générique \(\neq 2\). Alors \[H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m) \simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\] (si résiduelle car. générique \(= 2\), on trouve \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\))

le « et » de la deuxième ligne est une insertion au-dessus de la ligne, reliée par une flèche ; le « Alors » est suivi d'un mot biffé

Dém. On utilise la suite exacte \(0 \to H^1(\mathfrak{S}_3, H^0(U_{0,3}, \mathbb{G}_m))\) \(\to H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m)\)

\(\to \underbrace{H^0(\mathfrak{S}_3, H^1(U_{0,3}; \mathbb{G}_m))}_{0}\) et \(0 \to H^0(S, \mathbb{G}_m) \to H^0(U_{0,3}, \mathbb{G}_m)\) \(\to V(J) \to 0\)

note écrite en oblique dans la marge de gauche, sur quatre lignes. Le terme médian de la première suite est coupé par le bord ; sous \(H^0(\mathfrak{S}_3, \ldots)\) une accolade marquée \(0\). Entre \(H^0(U_{0,3}, \ldots)\) et \(V(J)\), un signe lu \(r_i\)

… dis que si \(\Sigma_J\) (le schéma) […] est défini comme \(\mathbb{P}(V_J)\), où \[0 \to V_J \to \mathcal{O}^J \to \mathcal{O} \to 0 ,\] alors le fibré principal \[P\Sigma_J = \mathbb{V}(\mathcal{O}(1))^{*}_{\Sigma_J}\] est un générateur du \(H^1(\Sigma_J^{*}, \mathfrak{S}_J; \mathbb{G}_m)\).

« \(\Sigma_J\) (le schéma) » est écrit au-dessus d'un mot biffé. L'astérisque de \(\Sigma^{*}_J\) est récrit sur une rature

Je vais l'établir en trouvant une trivialisation de \[\mathcal{O}(1)^{\otimes 6} = \mathcal{O}(6) \simeq V_J^{\otimes 3}(\omega),\] définie sur une section […] sur \(\Sigma^{*}\). […] de \(\mathcal{O}(6)\) (qui […] […]) prenant \[\Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(6)) \simeq \mathrm{Sym}^6 V_J\]

ligne très surchargée : entre « \(\Sigma^{*}\) » et « de \(\mathcal{O}(6)\) », deux lignes de mots insérés et biffés ; seuls quelques mots se lisent

d. on prendra \[\varphi \in \Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(6)), \qquad \varphi = \prod_{\substack{i, j \in J \\ i \neq j}} (e_i - e_j) = \prod_{i \in J} \underbrace{(e_j - e_k)^2}_{J = \{i, j, k\}}\]

avant le premier produit, un signe \(\pm\) biffé

Ainsi, sur \(\Sigma^{*}_J\), le groupe structural de \(P\Sigma^{*}_J\) se réduit à : \(\mu_6\).

NB Signe erroné, … \[\struck{\ill{}}\ \mathrm{Sym}^{*}(V_J)^{\mathfrak{S}_3} \simeq \mathcal{O}[\gamma_2, \gamma_3]/(2\gamma_3^2 - \gamma_2^3)\] \[\begin{cases} \gamma_2 = \sum_{i \in J} (e_j - e_k)^2 \\ \gamma_3 = \prod_{i \in J} (e_j + e_k - 2e_i) \end{cases} \qquad \text{et} \quad \Delta = \gamma_2^{\,3}\]

les indices de \(\gamma_2\), \(\gamma_3\) dans le crochet sont récrits ; le dernier terme du dénominateur et l'égalité \(\Delta = \gamma_2^3\) se lisent mal. Le signe du produit \(\gamma_3\) est lu \(+\) entre \(e_j\) et \(e_k\)

24

B) Si 2 inversible […], on […] […]

\(\mathrm{Sym}^{*}(V_J)^{\mathfrak{S}_3} \simeq \mathcal{O}[\)

[…] […]

Comme \(\gamma_2\) s'annule sur les […] \(P_i\), \(\gamma_3\) sur les \(Q_i\), il s'ensuit qu'il n'y a pas de section inversible d'un \(\mathcal{O}(n)^{*}\) […] sur \(\Sigma_J^{*}\) de degré \(<\) pour \(n \uncertain{\leqslant} 6\), donc que l'ordre de \(\mathrm{cl}(\mathcal{O}(1))\) dans \(H^1(\Sigma_J, \mathfrak{S}_J; \mathbb{G}_m)\) est bien \(6\), ce qui prouve que \(\mathcal{O}(1)\) est un générateur du \(H^1\) cherché.

« \(n \leqslant 6\) » : le signe se lit \(\leqslant\), là où l'argument demande \(n < 6\)

Les champs \((U_{0,3}, \mathbb{D}'_3)\) et les revêtements de \(M_{11}\)

titre de l'édition. Page 26 : trois diagrammes sans texte. Un trait de crayon discontinu, fait de courts segments obliques parallèles, traverse les deux diagrammes du bas sans rien biffer

26

\begin{tikzcd}
\mathbb{D}'_3 \arrow[r] & \mathbb{D}_3
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
PM_{11}(\tilde 2) \simeq PU_{03} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d] & PM_{11}(2) \simeq TU_{03} \arrow[d] \\
U_{0,3} \simeq M_{11}(\tilde 2) \arrow[r] & (U_{0,3}, \{1, \omega\}) \simeq M_{11}(2)
\end{tikzcd}

le carré est marqué « cart ». Au-dessus du premier \(\simeq\), un petit « \(2\) » . Dans le second \(M_{11}(\tilde 2)\), l'indice \(11\) est repassé et le \(\tilde 2\) porte une barre au-dessus du tilde

\[\struck{x \longmapsto x^2 \wedge \omega_0}\] \[PU(TU_{03}, \mathbb{D}_3; \uncertain{\mu_2})\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
M_{11}(\tilde 2) \arrow[rr] \arrow[dr] & & M_{11}(2) \arrow[dl] \arrow[d] \\
 & M_{11} \arrow[d] & M_{11}(2)' \arrow[dl] \\
 & M'_{11} &
\end{tikzcd}

la flèche \(M_{11}(2) \to M_{11}(2)'\) est barrée d'un petit trait. Sous \(M_{11}(\tilde 2)\), au départ de la flèche vers \(M_{11}\), une étiquette surchargée où se lit \(/\Pi_{0,3}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
U_{03} \arrow[r, "{\{1, \omega\}}"] \arrow[dr, "\mathbb{D}'_3"'] & (U_{0,3}, \{1, \omega\}) \arrow[d, "\mathbb{D}_3"'] \arrow[dr, "\mathrm{gerbe}"] & \\
 & (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3) \arrow[d, "\mathrm{gerbe}"'] & (U_{0,3}) \arrow[dl, "\mathbb{D}_3"] \\
 & (U_{0,3}, \mathbb{D}_3) &
\end{tikzcd}

redessiné sur une grille. Sur la page, la flèche marquée \(\mathbb{D}_3\) descend en oblique de \((U_{0,3}, \{1, \omega\})\) vers \((U_{0,3}, \mathbb{D}'_3)\), et la flèche « gerbe » descend verticalement de \((U_{0,3}, \{1, \omega\})\) vers \((U_{0,3})\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\mathcal{D}, \Pi_{0,3}) \arrow[r, Rightarrow, "\mathrm{gal}"] \arrow[dr, "\mathrm{gal}"'] & (\mathcal{D}, \Pi_{0,3} \times \{1, \omega\}) \arrow[d, "\mathrm{gal}"'] \arrow[dr, "2\text{-}\mathrm{gerbe}"] & \\
 & (\mathcal{D}, \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})) \arrow[d, "2\text{-}\mathrm{gerbe}"'] & (\mathcal{D}, \Pi_{0,3}) \arrow[dl, "\mathrm{gal}"] \\
 & (\mathcal{D}, \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})') &
\end{tikzcd}

même disposition que le diagramme précédent, dont celui-ci est le calque. Sous \((\mathcal{D}, \Pi_{0,3})\) : « \(\simeq \mathcal{D}/\Pi_{0,3}\) ». La flèche horizontale porte « gal » au-dessus et « \(\{1, \omega\}\) » au-dessous. Les étiquettes des trois flèches « gal » obliques et verticale nomment le groupe : \(\Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3}\) ou \(\mathbb{D}'_3\) (surchargé) pour la flèche de gauche, \(\mathbb{D}_3\) pour celle du milieu (sur un « \(\{1, \omega\}\) » et un \(\Pi\) biffés), \(\mathbb{D}_3\) pour celle de droite. Le \(2\) de « 2-gerbe » est surchargé ; « gerbe » est souligné sur la flèche de droite. Le \(\mathcal{D}\) est une capitale cursive, lue ici comme le demi-plan de Poincaré

Extensions de \(\mathbb{D}_3\) et de \(\Pi^{D}_{0,3}\)

titre de l'édition. Page 28, au crayon : un grand dessin en perspective, deux cubes superposés, que traversent trois longs traits obliques recourbés en crosse, sans rien biffer. Il est redessiné ici sur une grille ; les positions relatives sont celles du dessin autant qu'elles se laissent rendre, et la place de quelques flèches est incertaine

28

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{D}_{0,3} \arrow[d] & & \\
\widetilde{E} \arrow[r] \arrow[d] \arrow[dr, dashed] & \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \simeq \mathbb{D}'_3 \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = E & & \\
\widetilde{\mathbb{D}}_3 \arrow[dr, Rightarrow] & \mathbb{Z} \arrow[r, dashed] & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[r, dashed, "\mathrm{can}"] \arrow[d, dashed] & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \\
 & \mathbb{D}'_3 \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d] & \mathbb{D}_3 \arrow[r, "\mathrm{can}"] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \\
\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[urr, "\mathrm{can}"'] & & &
\end{tikzcd}

sur la page les nœuds sont disposés en perspective, non sur une grille. Lecture des flèches : \(\widetilde{E} \to \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \ldots\) (horizontale) ; de \(\widetilde{E}\) partent aussi une flèche vers \(\widetilde{\mathbb{D}}_3\) et une flèche en tirets vers le premier \(\mathbb{Z}\) ; une autre flèche en tirets va de \(\widetilde{\mathbb{D}}_3\) au second \(\mathbb{Z}\) ; \(\widetilde{\mathbb{D}}_3 \Rightarrow \mathbb{D}'_3\) en trait double et gras ; \(\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3\) en trait double ; \(\mathbb{Z} \cdots \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) en pointillés, \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \dashrightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) marquée « can » ; \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \dashrightarrow \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ; \(\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ; \(\mathbb{D}_3\), \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) vont vers \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), chaque flèche marquée « can » ; le produit fibré du milieu descend vers \(\mathbb{D}'_3\) et vers \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), et \(E\) descend vers \(\mathbb{D}_3\) et vers \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\). Une flèche horizontale part du bord gauche de la page, en haut, vers \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})\), avec un petit trait vertical. Les indices des deux premiers produits fibrés se lisent \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) ; le facteur de droite du premier est lu \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{Z}(\frac{\omega}{2}) \arrow[r] \arrow[d, Rightarrow] & \widetilde{\Pi}^{\circ}_{0,3} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d] & \Pi_{0,3} \arrow[d, hook] & \\
\mathbb{Z}(\omega) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \widetilde{\Pi}'_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi'_{0,3} = \Pi_{0,3} \times \{1, \dot\omega\} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi_{03} \arrow[d, hook] \\
\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \widetilde{\mathrm{SL}}(2, \mathbb{Z}) = \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{D}_{0,3} \arrow[d] \\
\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \widetilde{\mathbb{D}}_3 \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{D}'''_3 \arrow[r, "2"] \arrow[d, "3"] & \mathbb{D}''_3 \arrow[d, "3"] \\
\mathbb{Z} \arrow[r, "12"] & \mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[r, "2"] & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{D}'''_3 \arrow[r, "2"] \arrow[d, "3"'] \arrow[dr, "3"] & \mathbb{D}''_3 \arrow[d, "3"] \arrow[dr, "3"] & \\
\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[dr, "3"'] & \mathbb{D}'_3 \arrow[r, "2"] \arrow[d, "3"] & \mathbb{D}_3 \arrow[d, "3"] \\
 & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r, "2"] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

les deux diagrammes précédents n'en font qu'un sur la page : le second est la face avant du cube dont \(\mathbb{D}'''_3\), \(\mathbb{D}''_3\), \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) sont la face arrière ; il est détaché ici pour la lisibilité, et la flèche \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) (marquée \(2\)) et \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (marquée \(3\)) appartiennent aux deux. En outre : \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})\) envoie une flèche oblique vers \(\mathbb{D}'_3\), \(\Pi^{D}_{0,3}\) une flèche oblique vers \(\mathbb{D}_3\) ; de \(\Pi'_{0,3}\) part une flèche vers \(\Pi_{03}\) et, depuis \(\Pi_{03}\), une flèche courbe grasse vers \(\Pi^{D}_{0,3}\). Les chiffres \(2\) et \(3\) portés par les flèches sont de sa main ; sous \(\mathbb{D}''_3\), un « \(18\) » très pâle. L'étiquette de la flèche \(\mathbb{Z}(\omega/2) \Rightarrow \mathbb{Z}(\omega)\) est entourée ; le \(\widetilde{\Pi}^{\circ}_{0,3}\) est suivi d'un second \(\widetilde{\Pi}\) effacé. Le mot devant le \(\mathbb{Z}\) du bas à gauche est illisible

bas de la page 28 : trois suites exactes, séparées de la dernière par un trait

\[\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3} & \to & \Pi^{D}_{0,3} & \to & 1 \\ & & \downarrow{\scriptstyle 4} & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3}(4) & \to & \Pi^{D}_{0,3} & \to & 1 \end{array}\]

l'étiquette \(4\) de la première flèche verticale est récrite sur un autre signe ; la dernière flèche de la deuxième ligne est tracée double. Sous le trait, à l'aplomb : « \(\widetilde{\Pi}^{D}_{0,3}\) \(\Pi^{D}_{0,3} \to 1\) »

\[\begin{array}{ccccccccc} & & & & & & \Pi^{D}_{0,3} & & \\ & & & & & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \overset{\omega}{\mathbb{Z}} & \to & \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3}(4) & \to & \Pi^{D}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & & & & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & ? & \to & \struck{\ill{}}\ \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) & \to & 1 \end{array}\]

le point d'interrogation tient lieu du terme médian de la dernière suite ; il est de sa main

Sections de \(\mathcal{O}(1)\) et changement d'orientation

titre de l'édition. Page 29, encre noire ; un long trait de crayon la traverse en oblique. La moitié supérieure est à l'endroit ; la moitié inférieure est écrite tête-bêche et se lit feuille retournée ; une colonne est écrite en travers dans la marge de gauche

29

\(V_J\) […] \(= \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}(1))\) engendré par les \(e_i - e_j\)

\(P(e_i - e_j)\) […] […] […] ces sections […] […] elles

permutations entre elles

à gauche de ces lignes, un cercle portant trois petits traits (repères), avec un point marqué \(e\) à gauche. La flèche qui part de \(\Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}(1))\) ramène à la première ligne

\[\struck{e_i - e_j \quad \sigma(e)} \qquad e_i - e_j = \qquad\qquad \underline{\mathcal{O}}_X(U) \ni \xi_{ij}(x)\] \[\xi_i \qquad\qquad \lambda \qquad \lambda^6 = \prod_{i,j} \xi_{ij}(x)\]

sous \(\underline{\mathcal{O}}_X(U)\), un signe \(\Psi\) au-dessus de \(\lambda\) ; les indices de \(\prod\) sont en pointillé

\[(e_i - e_j)(\underline{Q_k}) \qquad \struck{e_i - e_j}\] \[\mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}_{0,3} \to \Pi^{\struck{\ill{}}}_{03} \to 1\] \[V(\omega) \overset{!!}{\simeq} V \qquad \varphi \in V \qquad e_i - e_j(\struck{\ill{}}_K\] \[e_i - e_j \bmod L_{Q_K} \qquad \begin{array}{ccc} \frac12 & \frac12 & 1 \\[2pt] -\frac12 & -\frac12 & -1 \end{array} \qquad \Bigl(\frac12\Bigr)^4 \qquad \sqrt[3]{1/2}\]

les nombres sont dispersés à droite de la ligne, sans relation écrite entre eux

ce qui suit est écrit tête-bêche (moitié inférieure de la page, feuille retournée)

On a vu qu'une orientation d'une complexe […] combinatoire \(A\) donne lieu : aux opérations \(\vec\rho_s\), \(\vec\rho_f\) sur \(\bar A\), satisfaisant \[\vec\rho_s^{\,-1}\,\vec\rho_f = \sigma .\] Si on prend l'orientation inverse, quelles sont les opérations correspondantes \(\vec\rho\,'_s\), \(\vec\rho\,'_f\) ? Si \(\bar a \in \bar A\) provient de \(a \in A^L_+\), il provient de \(\sigma_n a \in A^L_-\), et on a \[\rho_s(\sigma_n a) = \sigma_n(\sigma_n \underbrace{\rho_s}_{\sigma_n \varepsilon = \rho_s^{-1}} \sigma_n\, a) = \sigma_n(\rho_s^{-1} a) .\] donc la classe de \(\bar A \simeq A^L/\sigma_n\) est celle de \(\rho_s^{-1} a\), i.e. \(\vec\rho_s^{\,-1} \bar a\). […] […] … \[\struck{\rho_f(\sigma_n a) = \sigma_n(\sigma_n \rho_f \sigma_n\, a)}\] \[\vec\rho\,'_s = \vec\rho_f^{\,-1}\] d'où \[\vec\rho\,'_f = \vec\rho\,'_s\,\sigma = \vec\rho_s^{\,-1}\sigma = \sigma\,\vec\rho_f^{\,-1}\,\sigma = \mathrm{int}(\sigma)\,\vec\rho_f^{\,-1}\]

au-dessus du mot biffé de la première ligne, un mot inséré, illisible. L'accolade sous \(\rho_s\) porte « \(\sigma_n \varepsilon = \rho_s^{-1}\) », l'indice de \(\rho\) se lisant \(s\) ou \(f\). Sous la ligne biffée, une accolade marquée « \(\sigma_n \varepsilon \sigma\) ». Dans « \(\vec\rho\,'_s = \vec\rho_f^{\,-1}\) » l'indice de droite est lu \(f\) : il contredit la ligne précédente (\(\vec\rho_s^{\,-1}\)), et la suite utilise \(\vec\rho_s^{\,-1}\)

\(\tilde R_K - \tilde R_j\) ? […] \(e_j - e_i - (e_i - e_k)\)

colonne écrite en travers dans la marge de gauche, lisible la feuille tournée d'un quart de tour

Les extensions \(\widetilde\Pi\), \(\Pi'\) et \(\mathbb{D}'_3\)

titre de l'édition. Page 30, encre noire ; les \(\mathbb{D}\) y sont écrits comme des \(D\) ordinaires

30

\[1 \hookrightarrow \mathbb{Z} \to \widetilde\Pi \to \Pi \to 1\]

la suite est soulignée d'un trait qui se recourbe au bout. De \(\Pi\) descend une flèche vers \(\mathbb{D}''_3\), écrit sur un « \(\mathbb{Z}/6\) » biffé. Au-dessous : « \(\Pi_0 = \Pi_0\) », d'où partent deux flèches, vers \(\Pi'\) et vers \(\Pi\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \widetilde\Pi \arrow[r] \arrow[d] & \Pi' \arrow[r] \arrow[d] \arrow[ddr, bend left=20] & \Pi \arrow[d] \arrow[dr] & \\
\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \widetilde{\mathbb{D}}_3 \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{D}'''_3 \arrow[r] \arrow[d] \arrow[dr] & \mathbb{D}''_3 \arrow[d] \arrow[r, Rightarrow] & \mathbb{D}_3 \arrow[dd] \\
\mathbb{Z} \arrow[r, "12"] & \mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[d] & \mathbb{D}'_3 \arrow[ur] \arrow[d, no head] & \\
 & & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[rr] & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

redessiné sur une grille : sur la page, \(\mathbb{D}'_3\) est placé entre \(\mathbb{D}'''_3\) et \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), et sa flèche vers \(\mathbb{D}_3\) passe au-dessus de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) ; le trait vertical qui descend de \(\mathbb{D}'_3\) coupe la flèche \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to\) et va jusqu'à \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\). La flèche \(\mathbb{D}''_3 \Rightarrow \mathbb{D}_3\) est tracée double ; \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) est un trait oblique sans tête

\[\begin{array}{ccccccccc} & & & & \Pi_0 & & & & \\ & & & & \downarrow & & & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi(4) & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \end{array}\]

à gauche de la flèche verticale, « \(\struck{\widetilde\Pi}\) \(\struck{\mathbb{Z}} \to\) », biffés. Sous \(\Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), une flèche vers un \(\struck{\mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}\) raturé en boucles, et une flèche oblique vers \(\mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \supset \mathbb{D}'_3\) ; un long trait courbe descend de la rature vers le bas

\[\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \Pi_0 & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & \parallel & & \uparrow & & \updownarrow & & \\ 1 & \to & \Pi_0 & \to & \Pi' & \longrightarrow & \mathbb{D}'_3 & \to & 1 \end{array}\]

\[\Pi' \subset \Pi \qquad\qquad \struck{\widetilde\Pi \times \mathbb{Z}/4} \quad \widetilde\Pi(4) \to \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\]

la flèche \(\Pi' \to \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) est tracée avec une boucle en bas (inclusion) ; celle de droite a une tête à chaque bout

Orbites de \(\rho\) et quadruples \((A, \sigma, A', \rho)\)

titre de l'édition. Page 31, à l'encre bleue, rédaction rapide ; un long trait de crayon la traverse en oblique sans rien biffer. Beaucoup de mots de liaison ne se lisent pas

31

Cas a) La construction ne […] se continue indéfiniment, i.e. on finit par avoir \(\sigma a_n \notin A'\), on pose alors \(\sigma a_n = \rho\, a_0\).

au-dessus de « construction », un mot inséré, lu ne

Cas b) La construction se prolonge indéfiniment. ([…] par \(a_i\) […] un cycle fini donc un cycle infini). On ne définit pas \(\rho\, \bar a\) alors.

* On supposera désormais que \(\rho\) est défini partout sur tout \(A\), i.e. […] que l'orientation inverse (ce sera le cas de \((A, \sigma, A', \rho)\)). Alors \(\rho\) sur \(A\) est un automorphisme. Soit \(\bar S = A/\rho \supset S\), \(\hat S \subset \bar S\) la partie de \(\bar S\) correspondant aux orbites finies. On va compactifier partiellement \(X\) en \(\hat X\) […] ajoutant les points de \(\hat S - S\) (ainsi […] qui : \(K^{\circ}\) […], l'image inverse \(\hat A'\) de \(\hat S\) dans \(A\) ([…] […] […] \(\rho\) et \(\sigma\) […]) […] […] […] : \(\hat A\) […] […] \(\hat A'\).

les mots insérés au-dessus des lignes (« \(\hat A'\) », « \(K_{0,3}\) » , « contient \(A'\) et ») sont reliés par des traits à leur place ; la phrase ne se laisse pas reconstruire

* […] de circuits définis dans un seul sens

stabilité de l'axiome \(A' = \hat A'\) ? […] mais […]

la première note est écrite de biais dans la marge de gauche, à la hauteur de l'astérisque ; la seconde est entourée d'une ligne fermée, en bas à gauche, et reliée par deux traits au texte

Les quadruples \((A, \sigma, A', \rho)\) satisfaisant aux axiomes [et tels que \(A' = \hat A'\)], dits […], s'identifient aux couples triples \((A, \sigma, \rho)\) d'un ens. fini avec un automorphisme \(\sigma\) d'ordre \(2\) sans pt fixe, et un automorphisme \(\rho\) quelc.. On retrouve \(A'\) comme l'une des […] de \(A\) d'orbite finie sous \(\rho\) — mais — telle que \[A' \cup \sigma A' = A .\]

« et tels que \(A' = \hat A'\) » est inséré au-dessus de la ligne, sous une accolade

Classes d'extensions de \(\mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/q\) par \(\mathbb{Z}\)

titre de l'édition. Page 32 à l'encre brune

32

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & \overset{\omega}{\mathbb{Z}} \arrow[r, "p"] \arrow[d, "q"] & \overset{\widetilde\Pi_0}{\mathbb{Z}} \arrow[r, "\alpha\varphi_p"] \arrow[d] & \overset{\Pi_0}{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r] & \widetilde\Pi_0(q) \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \arrow[r] & 0 \\
 & & \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} & &
\end{tikzcd}

les \(\widetilde\Pi_0\), \(\Pi_0\) sont écrits au-dessus des groupes, reliés par un signe \(=\) vertical. La flèche marquée \(\alpha\varphi_p\) est grasse. Sous le \(\mathbb{Z}\) de la deuxième ligne, un « \(\varpi\) ». La flèche \(\widetilde\Pi_0(q) \to \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\) porte : « quotient par \(\widetilde\Pi_0\), can. par \(\mathbb{Z}\varpi\) »

\[\varphi_p : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \quad \text{homom. can.} \qquad \alpha \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*} \qquad \struck{p \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{*}}\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \overset{\omega}{\mathbb{Z}} \arrow[r] \arrow[dl, Rightarrow] & \widetilde\Pi_0 \arrow[r] \arrow[dl] & (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times 0) \arrow[dl] & \\
0 \arrow[r] & \overset{\omega}{\mathbb{Z}} \arrow[r] & \widetilde\Pi_0(q) \arrow[r] & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \arrow[r] & 0 \\
 & \underset{\omega}{\mathbb{Z}} \arrow[r] \arrow[u, Rightarrow, "q"] & \underset{\varpi}{\mathbb{Z}} \arrow[r] \arrow[u] & 0 \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \arrow[u] &
\end{tikzcd}

sur la page les trois lignes sont décalées en perspective et les flèches entre elles sont obliques. À droite de la première ligne : « \(\alpha\eta_p\) ». La flèche \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) du bas porte un signe surchargé […]

\[\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi_0(q) & \to & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} & \to & 0 \\ & & \parallel & & \updownarrow & & \uparrow{\scriptstyle\delta} & & \\ 0 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi'_0 & \longrightarrow & \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} & \to & 0 \end{array}\]

d'extension […] \[\xi' = \mathrm{cl}(\widetilde\Pi'_0) \in \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z}\] \[\xi' = \delta^{*}\bigl(\underbrace{\mathrm{cl}(\widetilde\Pi_0(q))}_{\xi \in \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z},\, \mathbb{Z})}\bigr)\] \[\xi = \mathrm{pr}_1^{*}\bigl(\underbrace{\mathrm{cl}(\widetilde\Pi_0)}_{\alpha\eta_p}\bigr) + \mathrm{pr}_2^{*}\bigl(\underbrace{\mathrm{cl}(\mathbb{Z})}_{\eta_q}\bigr)\]

le symbole à gauche du premier \(=\) est récrit sur une rature ; l'argument de \(\mathrm{pr}_2^{*}\) est inachevé, une parenthèse ouverte avant un blanc

\[\delta_p : \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \qquad \delta_q : \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \qquad \xi' \struck{= q'\eta_\mu + p'\eta_\mu}\] \[\delta_p^{*}(\eta_p) = q'\eta_\mu \qquad \delta_q^{*}(\eta_q) = p'\eta_\mu \qquad \delta_p^{*}(\alpha\eta_p) = q'\alpha\,\eta_\mu\]

\(S\mathcal{T}_{11}\) et \(S\Pi^{D}_{0,3}\)

titre de l'édition. Page 33, encre brune. Le haut est à l'endroit ; le reste de la page est écrit tête-bêche

33

4) \(\widetilde{\mathrm{SL}}(2, \mathbb{Z}) \simeq \Pi_{\ill{}}\) \(S\mathcal{T}_{\ill{}}\)

1) \[S\mathcal{T}_{11} \simeq \widetilde{\mathrm{SL}}(2, \mathbb{Z}) \simeq \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega}\} \simeq \underset{\{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1\}}{\underset{\parallel}{\Pi^{D}_{03}}} \times_{\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\] \[\simeq S\Pi^{D}_{0,3}\]

l'indice du produit fibré est écrit sur un \(\mathbb{Z}\) biffé. Un mot biffé est relié par une courbe à « \(\rho \mapsto 2\), \(\sigma \mapsto 3\) », écrit sous le produit fibré

la suite de la page est écrite tête-bêche ; elle est donnée feuille retournée

\[\begin{array}{ccccccccc} & & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi(4) & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & & & \uparrow{\scriptstyle ?} & & \downarrow & & \\ & & & & \widetilde\Pi & \longrightarrow & \Pi' & & \end{array}\]

la flèche verticale de gauche porte « ? » et un mot souligné […]. Au-dessous, une courbe entoure « \(\rho \mapsto 2\), \(\sigma \mapsto 3\) » (les mêmes mots que plus haut, lus dans l'autre sens) ; à droite, « \(\Pi_0 \times \mathbb{Z}\) »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\widetilde\Pi \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \Pi \arrow[dd, "\mathbb{D}''_3" description] \arrow[r, no head] & \Pi' \arrow[r] \arrow[d, Rightarrow] & \Pi \arrow[d] \\
\mathbb{Z} \arrow[rr] & & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[d] \\
 & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

redessiné sur une grille. Le trait vertical qui descend du \(\Pi\) de la première ligne, marqué \(\mathbb{D}''_3\) à mi-hauteur, jusqu'à un « \(\mathbb{Z}/4\) » coupe les deux flèches horizontales ; la flèche \(\Pi' \Rightarrow \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) est tracée double et grasse. À droite : « \(\Pi_0 = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) »

la page porte encore, tête-bêche et d'une autre main, à l'encre rouge, un bref mot adressé à lui et daté 27-11-81 ; il n'est pas transcrit

Le caractère \(\Pi^{D}_{0,3} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)

titre de l'édition. Page 34, sur papier quadrillé, encre noire

34

\[(p' + q'\alpha)\,\eta_\mu\] \[p = 6, \quad q = 4 \qquad (\alpha = -1\ ?)\] \[\struck{p'}\ \mu = 12 \qquad p' = 3, \quad q' = 2\] \[\struck{p'+}\ (3 - 2)\,\eta_\mu \quad !\]

les valeurs \(p' = 3\), \(q' = 2\) sont celles de \(\mu/q\) et \(\mu/p\)

\[\begin{array}{rcl} \Pi^{D}_{0,3} & \xrightarrow{\ -\alpha'\ } & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \\ \rho & \longmapsto & -2 \bmod 6 \\ \sigma & \longmapsto & 3 \bmod 6 \\ \varepsilon_0 = \sigma\rho & \longmapsto & 1 \bmod 6 \\ \rho_0 = \varepsilon_0^{\,2} & \longmapsto & 2 \bmod 6 \end{array}\]

l'étiquette « \(-\alpha'\) » est entourée, écrite sur un « \(q\) »

défini directement par l'action de \(\Pi^{D}_{0,3}\) sur le revêtement revêtement principal de \((U_{03}, \mathfrak{S}_3)\) de groupe \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), défini par la multiplication […] canonique […] \(\mathcal{O}_{U_{0,3}}(1)^{*} = PU_{03}\)

« canonique » est inséré au-dessus des mots biffés. Entre les deux colonnes, quelques lettres au crayon très pâle (« \(T\) », « \(\varepsilon'\) », « \(t'h\) » ), sans lien visible

\[\widetilde\Pi^{D}_{03}\]

\[\struck{\ill{}}\quad U'_{03} \subset PU_{03} \qquad \mu_6\text{-}\uncertain{\text{revêt.}}\ \struck{\ill{}}\,/U_{03}\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Pi^{D}_{0,3} \arrow[r, "\alpha'"] & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \\
\pi_1(PU_{03}, \mathfrak{S}_3) = \widetilde\Pi^{D}_{03} \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[u] \\
\varpi' \in \mathbb{Z} \arrow[u] \arrow[r, "="] & \mathbb{Z} \arrow[u, "6"']
\end{tikzcd}

l'étiquette \(\alpha'\) est entourée

\[\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi^{D}_{03}(4) & \to & \Pi^{D}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & \parallel & & \parallel & & \updownarrow & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde{\mathcal{T}}_{11} & \Longrightarrow & \mathcal{T}_{1,1} = \Pi^{D}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & & \end{array}\]

le signe \(=\) vertical sous \(\widetilde\Pi^{D}_{03}(4)\) porte, entre parenthèses ouvertes : « \(\pi_1(PU_{03}, \mathfrak{S}_3 \times \mu_4)\) »

\[\struck{\ill{}}\qquad \widetilde\Pi^{D}_{0,3} \ni \begin{cases} \tilde\rho = (\rho, -2) \\ \tilde\sigma = (\sigma, -3) \end{cases} \qquad \tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^{2} = \varpi'\]

les exposants de \(\tilde\rho\) et \(\tilde\sigma\), dans les deux lignes, sont écrits sur d'autres chiffres raturés, illisibles

\[\underset{\substack{\downarrow \\ \rho}}{\tilde\rho},\ \underset{\substack{\downarrow \\ \sigma}}{\tilde\sigma} \in \widetilde\Pi^{D}_{0,3} = \{\tilde\rho, \tilde\sigma \mid \underbrace{\tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^{2}}_{\varpi' = \omega}\ \struck{\ill{}}\} \simeq \widetilde{\mathcal{T}}_{11}\]

35

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \overset{\omega' = \varpi^{-1}}{\mathbb{Z}} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & S\Pi^{D}_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{D}_{03} \arrow[r] \arrow[d, hook] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r] & S\Pi^{D}_{03}(4) \arrow[r] & \Pi^{D}_{03} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r] & 1 \\
1 \arrow[r] & \underset{\omega^2}{\mathbb{Z}} \arrow[r] \arrow[u] & S\mathcal{T}_{11} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{T}_{11} \arrow[u, leftrightarrow] &
\end{tikzcd}

au-dessus de \(S\Pi^{D}_{0,3}\) : « \(\{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2\ \struck{\ill{}}\}\) », relié par un \(=\) vertical, avec sous l'égalité l'accolade « \(\omega'^{-1} = \omega\) ». La flèche \(S\mathcal{T}_{11} \to S\Pi^{D}_{03}(4)\) porte « \(\rho \mapsto \rho\varpi^2\), \(\sigma \mapsto \sigma\varpi^3\), \(\omega \mapsto \varpi^2\), \(\omega^2 \mapsto \varpi^4 = \omega'\) », entourés d'une ligne ; la flèche à deux têtes entre \(\mathcal{T}_{11}\) et \(\Pi^{D}_{03} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) porte « \(\rho \mapsto (\rho, 2)\), \(\sigma \mapsto (\sigma, 3)\) », et à droite « \(\omega \to (1, 2)\) »

\[S\Pi^{D}_{03}(4) = \{\rho, \sigma, \varpi \mid \rho^3 = \sigma^2 = \dot\varpi^{4},\ \varpi \text{ central}\}\] NB \(\dot\varpi^{4} = \ill{}^{\,-1} = \omega'\)

en haut à droite de la page. Le point au-dessus de \(\varpi\) est incertain

au bas de la page, tête-bêche : \[\overbrace{S\Pi^{D}_{0\,3}(4)}^{\pi_1(U_{03}, \mathfrak{S}_3 \times \mu_4)} \longrightarrow \Pi^{D}_{0,3}\]