A) Lemme S schéma satisfaisant régulier intègre tel que \mathrm{Pic}(S) = 0, et car. du point générique \neq 2. Alors H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m) \simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} (si résiduelle car. générique = 2, on trouve \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})

le « et » de la deuxième ligne est une insertion au-dessus de la ligne, reliée par une flèche ; le « Alors » est suivi d'un mot biffé

Dém. On utilise la suite exacte 0 \to H^1(\mathfrak{S}_3, H^0(U_{0,3}, \mathbb{G}_m)) \to H^1(U_{0,3}, \mathfrak{S}_3; \mathbb{G}_m)

\to \underbrace{H^0(\mathfrak{S}_3, H^1(U_{0,3}; \mathbb{G}_m))}_{0} et 0 \to H^0(S, \mathbb{G}_m) \to H^0(U_{0,3}, \mathbb{G}_m) \to V(J) \to 0

note écrite en oblique dans la marge de gauche, sur quatre lignes. Le terme médian de la première suite est coupé par le bord ; sous H^0(\mathfrak{S}_3, \ldots) une accolade marquée 0. Entre H^0(U_{0,3}, \ldots) et V(J), un signe lu r_i

… dis que si \Sigma_J (le schéma) est défini comme \mathbb{P}(V_J), où 0 \to V_J \to \mathcal{O}^J \to \mathcal{O} \to 0 , alors le fibré principal P\Sigma_J = \mathbb{V}(\mathcal{O}(1))^{*}_{\Sigma_J} est un générateur du H^1(\Sigma_J^{*}, \mathfrak{S}_J; \mathbb{G}_m).

« \Sigma_J (le schéma) » est écrit au-dessus d'un mot biffé. L'astérisque de \Sigma^{*}_J est récrit sur une rature

Je vais l'établir en trouvant une trivialisation de \mathcal{O}(1)^{\otimes 6} = \mathcal{O}(6) \simeq V_J^{\otimes 3}(\omega), définie sur une section sur \Sigma^{*}. de \mathcal{O}(6) (qui ) prenant \Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(6)) \simeq \mathrm{Sym}^6 V_J

ligne très surchargée : entre « \Sigma^{*} » et « de \mathcal{O}(6) », deux lignes de mots insérés et biffés ; seuls quelques mots se lisent

d. on prendra \varphi \in \Gamma(\Sigma_J, \mathcal{O}(6)), \qquad \varphi = \prod_{\substack{i, j \in J \\ i \neq j}} (e_i - e_j) = \prod_{i \in J} \underbrace{(e_j - e_k)^2}_{J = \{i, j, k\}}

avant le premier produit, un signe \pm biffé

Ainsi, sur \Sigma^{*}_J, le groupe structural de P\Sigma^{*}_J se réduit à : \mu_6.

NB Signe erroné, … \struck{\ill{}}\ \mathrm{Sym}^{*}(V_J)^{\mathfrak{S}_3} \simeq \mathcal{O}[\gamma_2, \gamma_3]/(2\gamma_3^2 - \gamma_2^3) \begin{cases} \gamma_2 = \sum_{i \in J} (e_j - e_k)^2 \\ \gamma_3 = \prod_{i \in J} (e_j + e_k - 2e_i) \end{cases} \qquad \text{et} \quad \Delta = \gamma_2^{\,3}

les indices de \gamma_2, \gamma_3 dans le crochet sont récrits ; le dernier terme du dénominateur et l'égalité \Delta = \gamma_2^3 se lisent mal. Le signe du produit \gamma_3 est lu + entre e_j et e_k

le carré est marqué « cart ». Au-dessus du premier \simeq, un petit « 2 » . Dans le second M_{11}(\tilde 2), l'indice 11 est repassé et le \tilde 2 porte une barre au-dessus du tilde

\struck{x \longmapsto x^2 \wedge \omega_0} PU(TU_{03}, \mathbb{D}_3; \uncertain{\mu_2})

la flèche M_{11}(2) \to M_{11}(2)' est barrée d'un petit trait. Sous M_{11}(\tilde 2), au départ de la flèche vers M_{11}, une étiquette surchargée où se lit /\Pi_{0,3}

redessiné sur une grille. Sur la page, la flèche marquée \mathbb{D}_3 descend en oblique de (U_{0,3}, \{1, \omega\}) vers (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3), et la flèche « gerbe » descend verticalement de (U_{0,3}, \{1, \omega\}) vers (U_{0,3})

même disposition que le diagramme précédent, dont celui-ci est le calque. Sous (\mathcal{D}, \Pi_{0,3}) : « \simeq \mathcal{D}/\Pi_{0,3} ». La flèche horizontale porte « gal » au-dessus et « \{1, \omega\} » au-dessous. Les étiquettes des trois flèches « gal » obliques et verticale nomment le groupe : \Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} ou \mathbb{D}'_3 (surchargé) pour la flèche de gauche, \mathbb{D}_3 pour celle du milieu (sur un « \{1, \omega\} » et un \Pi biffés), \mathbb{D}_3 pour celle de droite. Le 2 de « 2-gerbe » est surchargé ; « gerbe » est souligné sur la flèche de droite. Le \mathcal{D} est une capitale cursive, lue ici comme le demi-plan de Poincaré

sur la page les nœuds sont disposés en perspective, non sur une grille. Lecture des flèches : \widetilde{E} \to \mathbb{D}_3 \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \ldots (horizontale) ; de \widetilde{E} partent aussi une flèche vers \widetilde{\mathbb{D}}_3 et une flèche en tirets vers le premier \mathbb{Z} ; une autre flèche en tirets va de \widetilde{\mathbb{D}}_3 au second \mathbb{Z} ; \widetilde{\mathbb{D}}_3 \Rightarrow \mathbb{D}'_3 en trait double et gras ; \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 en trait double ; \mathbb{Z} \cdots \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} en pointillés, \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \dashrightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} marquée « can » ; \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \dashrightarrow \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} ; \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} ; \mathbb{D}_3, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} et \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} vont vers \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, chaque flèche marquée « can » ; le produit fibré du milieu descend vers \mathbb{D}'_3 et vers \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, et E descend vers \mathbb{D}_3 et vers \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}. Une flèche horizontale part du bord gauche de la page, en haut, vers \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}), avec un petit trait vertical. Les indices des deux premiers produits fibrés se lisent \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} ; le facteur de droite du premier est lu \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}

les deux diagrammes précédents n'en font qu'un sur la page : le second est la face avant du cube dont \mathbb{D}'''_3, \mathbb{D}''_3, \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} sont la face arrière ; il est détaché ici pour la lisibilité, et la flèche \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} (marquée 2) et \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (marquée 3) appartiennent aux deux. En outre : \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) envoie une flèche oblique vers \mathbb{D}'_3, \Pi^{D}_{0,3} une flèche oblique vers \mathbb{D}_3 ; de \Pi'_{0,3} part une flèche vers \Pi_{03} et, depuis \Pi_{03}, une flèche courbe grasse vers \Pi^{D}_{0,3}. Les chiffres 2 et 3 portés par les flèches sont de sa main ; sous \mathbb{D}''_3, un « 18 » très pâle. L'étiquette de la flèche \mathbb{Z}(\omega/2) \Rightarrow \mathbb{Z}(\omega) est entourée ; le \widetilde{\Pi}^{\circ}_{0,3} est suivi d'un second \widetilde{\Pi} effacé. Le mot devant le \mathbb{Z} du bas à gauche est illisible

bas de la page 28 : trois suites exactes, séparées de la dernière par un trait

\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3} & \to & \Pi^{D}_{0,3} & \to & 1 \\ & & \downarrow{\scriptstyle 4} & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3}(4) & \to & \Pi^{D}_{0,3} & \to & 1 \end{array}

l'étiquette 4 de la première flèche verticale est récrite sur un autre signe ; la dernière flèche de la deuxième ligne est tracée double. Sous le trait, à l'aplomb : « \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3} \Pi^{D}_{0,3} \to 1 »

\begin{array}{ccccccccc} & & & & & & \Pi^{D}_{0,3} & & \\ & & & & & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \overset{\omega}{\mathbb{Z}} & \to & \widetilde{\Pi}^{D}_{0,3}(4) & \to & \Pi^{D}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & & & & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & ? & \to & \struck{\ill{}}\ \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) & \to & 1 \end{array}

le point d'interrogation tient lieu du terme médian de la dernière suite ; il est de sa main

V_J = \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}(1)) engendré par les e_i - e_j

P(e_i - e_j) ces sections elles

permutations entre elles

à gauche de ces lignes, un cercle portant trois petits traits (repères), avec un point marqué e à gauche. La flèche qui part de \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}(1)) ramène à la première ligne

\struck{e_i - e_j \quad \sigma(e)} \qquad e_i - e_j = \qquad\qquad \underline{\mathcal{O}}_X(U) \ni \xi_{ij}(x) \xi_i \qquad\qquad \lambda \qquad \lambda^6 = \prod_{i,j} \xi_{ij}(x)

sous \underline{\mathcal{O}}_X(U), un signe \Psi au-dessus de \lambda ; les indices de \prod sont en pointillé

(e_i - e_j)(\underline{Q_k}) \qquad \struck{e_i - e_j} \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}_{0,3} \to \Pi^{\struck{\ill{}}}_{03} \to 1 V(\omega) \overset{!!}{\simeq} V \qquad \varphi \in V \qquad e_i - e_j(\struck{\ill{}}_K e_i - e_j \bmod L_{Q_K} \qquad \begin{array}{ccc} \frac12 & \frac12 & 1 \\[2pt] -\frac12 & -\frac12 & -1 \end{array} \qquad \Bigl(\frac12\Bigr)^4 \qquad \sqrt[3]{1/2}

les nombres sont dispersés à droite de la ligne, sans relation écrite entre eux

ce qui suit est écrit tête-bêche (moitié inférieure de la page, feuille retournée)

On a vu qu'une orientation d'une complexe combinatoire A donne lieu : aux opérations \vec\rho_s, \vec\rho_f sur \bar A, satisfaisant \vec\rho_s^{\,-1}\,\vec\rho_f = \sigma . Si on prend l'orientation inverse, quelles sont les opérations correspondantes \vec\rho\,'_s, \vec\rho\,'_f ? Si \bar a \in \bar A provient de a \in A^L_+, il provient de \sigma_n a \in A^L_-, et on a \rho_s(\sigma_n a) = \sigma_n(\sigma_n \underbrace{\rho_s}_{\sigma_n \varepsilon = \rho_s^{-1}} \sigma_n\, a) = \sigma_n(\rho_s^{-1} a) . donc la classe de \bar A \simeq A^L/\sigma_n est celle de \rho_s^{-1} a, i.e. \vec\rho_s^{\,-1} \bar a. … \struck{\rho_f(\sigma_n a) = \sigma_n(\sigma_n \rho_f \sigma_n\, a)} \vec\rho\,'_s = \vec\rho_f^{\,-1} d'où \vec\rho\,'_f = \vec\rho\,'_s\,\sigma = \vec\rho_s^{\,-1}\sigma = \sigma\,\vec\rho_f^{\,-1}\,\sigma = \mathrm{int}(\sigma)\,\vec\rho_f^{\,-1}

au-dessus du mot biffé de la première ligne, un mot inséré, illisible. L'accolade sous \rho_s porte « \sigma_n \varepsilon = \rho_s^{-1} », l'indice de \rho se lisant s ou f. Sous la ligne biffée, une accolade marquée « \sigma_n \varepsilon \sigma ». Dans « \vec\rho\,'_s = \vec\rho_f^{\,-1} » l'indice de droite est lu f : il contredit la ligne précédente (\vec\rho_s^{\,-1}), et la suite utilise \vec\rho_s^{\,-1}

\tilde R_K - \tilde R_j ? e_j - e_i - (e_i - e_k)

colonne écrite en travers dans la marge de gauche, lisible la feuille tournée d'un quart de tour

1 \hookrightarrow \mathbb{Z} \to \widetilde\Pi \to \Pi \to 1

la suite est soulignée d'un trait qui se recourbe au bout. De \Pi descend une flèche vers \mathbb{D}''_3, écrit sur un « \mathbb{Z}/6 » biffé. Au-dessous : « \Pi_0 = \Pi_0 », d'où partent deux flèches, vers \Pi' et vers \Pi

redessiné sur une grille : sur la page, \mathbb{D}'_3 est placé entre \mathbb{D}'''_3 et \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, et sa flèche vers \mathbb{D}_3 passe au-dessus de \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ; le trait vertical qui descend de \mathbb{D}'_3 coupe la flèche \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to et va jusqu'à \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}. La flèche \mathbb{D}''_3 \Rightarrow \mathbb{D}_3 est tracée double ; \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} est un trait oblique sans tête

\begin{array}{ccccccccc} & & & & \Pi_0 & & & & \\ & & & & \downarrow & & & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi(4) & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \end{array}

à gauche de la flèche verticale, « \struck{\widetilde\Pi} \struck{\mathbb{Z}} \to », biffés. Sous \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, une flèche vers un \struck{\mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} raturé en boucles, et une flèche oblique vers \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \supset \mathbb{D}'_3 ; un long trait courbe descend de la rature vers le bas

\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \Pi_0 & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & \mathbb{D}_3 \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & \parallel & & \uparrow & & \updownarrow & & \\ 1 & \to & \Pi_0 & \to & \Pi' & \longrightarrow & \mathbb{D}'_3 & \to & 1 \end{array}

\Pi' \subset \Pi \qquad\qquad \struck{\widetilde\Pi \times \mathbb{Z}/4} \quad \widetilde\Pi(4) \to \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}

la flèche \Pi' \to \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} est tracée avec une boucle en bas (inclusion) ; celle de droite a une tête à chaque bout

Cas a) La construction ne se continue indéfiniment, i.e. on finit par avoir \sigma a_n \notin A', on pose alors \sigma a_n = \rho\, a_0.

au-dessus de « construction », un mot inséré, lu ne

Cas b) La construction se prolonge indéfiniment. ( par a_i un cycle fini donc un cycle infini). On ne définit pas \rho\, \bar a alors.

* On supposera désormais que \rho est défini partout sur tout A, i.e. que l'orientation inverse (ce sera le cas de (A, \sigma, A', \rho)). Alors \rho sur A est un automorphisme. Soit \bar S = A/\rho \supset S, \hat S \subset \bar S la partie de \bar S correspondant aux orbites finies. On va compactifier partiellement X en \hat X ajoutant les points de \hat S - S (ainsi qui : K^{\circ} , l'image inverse \hat A' de \hat S dans A ( \rho et \sigma ) : \hat A \hat A'.

les mots insérés au-dessus des lignes (« \hat A' », « K_{0,3} » , « contient A' et ») sont reliés par des traits à leur place ; la phrase ne se laisse pas reconstruire

* de circuits définis dans un seul sens

stabilité de l'axiome A' = \hat A' ? mais

la première note est écrite de biais dans la marge de gauche, à la hauteur de l'astérisque ; la seconde est entourée d'une ligne fermée, en bas à gauche, et reliée par deux traits au texte

Les quadruples (A, \sigma, A', \rho) satisfaisant aux axiomes [et tels que A' = \hat A'], dits , s'identifient aux couples triples (A, \sigma, \rho) d'un ens. fini avec un automorphisme \sigma d'ordre 2 sans pt fixe, et un automorphisme \rho quelc.. On retrouve A' comme l'une des de A d'orbite finie sous \rho — mais — telle que A' \cup \sigma A' = A .

« et tels que A' = \hat A' » est inséré au-dessus de la ligne, sous une accolade

les \widetilde\Pi_0, \Pi_0 sont écrits au-dessus des groupes, reliés par un signe = vertical. La flèche marquée \alpha\varphi_p est grasse. Sous le \mathbb{Z} de la deuxième ligne, un « \varpi ». La flèche \widetilde\Pi_0(q) \to \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} porte : « quotient par \widetilde\Pi_0, can. par \mathbb{Z}\varpi »

\varphi_p : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \quad \text{homom. can.} \qquad \alpha \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*} \qquad \struck{p \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{*}}

sur la page les trois lignes sont décalées en perspective et les flèches entre elles sont obliques. À droite de la première ligne : « \alpha\eta_p ». La flèche \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} du bas porte un signe surchargé

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi_0(q) & \to & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} & \to & 0 \\ & & \parallel & & \updownarrow & & \uparrow{\scriptstyle\delta} & & \\ 0 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi'_0 & \longrightarrow & \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} & \to & 0 \end{array}

d'extension \xi' = \mathrm{cl}(\widetilde\Pi'_0) \in \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} \xi' = \delta^{*}\bigl(\underbrace{\mathrm{cl}(\widetilde\Pi_0(q))}_{\xi \in \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z},\, \mathbb{Z})}\bigr) \xi = \mathrm{pr}_1^{*}\bigl(\underbrace{\mathrm{cl}(\widetilde\Pi_0)}_{\alpha\eta_p}\bigr) + \mathrm{pr}_2^{*}\bigl(\underbrace{\mathrm{cl}(\mathbb{Z})}_{\eta_q}\bigr)

le symbole à gauche du premier = est récrit sur une rature ; l'argument de \mathrm{pr}_2^{*} est inachevé, une parenthèse ouverte avant un blanc

\delta_p : \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \qquad \delta_q : \mathbb{Z}/\mu\mathbb{Z} \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \qquad \xi' \struck{= q'\eta_\mu + p'\eta_\mu} \delta_p^{*}(\eta_p) = q'\eta_\mu \qquad \delta_q^{*}(\eta_q) = p'\eta_\mu \qquad \delta_p^{*}(\alpha\eta_p) = q'\alpha\,\eta_\mu

4) \widetilde{\mathrm{SL}}(2, \mathbb{Z}) \simeq \Pi_{\ill{}} S\mathcal{T}_{\ill{}}

1) S\mathcal{T}_{11} \simeq \widetilde{\mathrm{SL}}(2, \mathbb{Z}) \simeq \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega}\} \simeq \underset{\{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1\}}{\underset{\parallel}{\Pi^{D}_{03}}} \times_{\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \simeq S\Pi^{D}_{0,3}

l'indice du produit fibré est écrit sur un \mathbb{Z} biffé. Un mot biffé est relié par une courbe à « \rho \mapsto 2, \sigma \mapsto 3 », écrit sous le produit fibré

la suite de la page est écrite tête-bêche ; elle est donnée feuille retournée

\begin{array}{ccccccccc} & & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi(4) & \to & \Pi \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & & & \uparrow{\scriptstyle ?} & & \downarrow & & \\ & & & & \widetilde\Pi & \longrightarrow & \Pi' & & \end{array}

la flèche verticale de gauche porte « ? » et un mot souligné . Au-dessous, une courbe entoure « \rho \mapsto 2, \sigma \mapsto 3 » (les mêmes mots que plus haut, lus dans l'autre sens) ; à droite, « \Pi_0 \times \mathbb{Z} »

redessiné sur une grille. Le trait vertical qui descend du \Pi de la première ligne, marqué \mathbb{D}''_3 à mi-hauteur, jusqu'à un « \mathbb{Z}/4 » coupe les deux flèches horizontales ; la flèche \Pi' \Rightarrow \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} est tracée double et grasse. À droite : « \Pi_0 = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} »

la page porte encore, tête-bêche et d'une autre main, à l'encre rouge, un bref mot adressé à lui et daté 27-11-81 ; il n'est pas transcrit

(p' + q'\alpha)\,\eta_\mu p = 6, \quad q = 4 \qquad (\alpha = -1\ ?) \struck{p'}\ \mu = 12 \qquad p' = 3, \quad q' = 2 \struck{p'+}\ (3 - 2)\,\eta_\mu \quad !

les valeurs p' = 3, q' = 2 sont celles de \mu/q et \mu/p

\begin{array}{rcl} \Pi^{D}_{0,3} & \xrightarrow{\ -\alpha'\ } & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \\ \rho & \longmapsto & -2 \bmod 6 \\ \sigma & \longmapsto & 3 \bmod 6 \\ \varepsilon_0 = \sigma\rho & \longmapsto & 1 \bmod 6 \\ \rho_0 = \varepsilon_0^{\,2} & \longmapsto & 2 \bmod 6 \end{array}

l'étiquette « -\alpha' » est entourée, écrite sur un « q »

défini directement par l'action de \Pi^{D}_{0,3} sur le revêtement revêtement principal de (U_{03}, \mathfrak{S}_3) de groupe \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, défini par la multiplication canonique \mathcal{O}_{U_{0,3}}(1)^{*} = PU_{03}

« canonique » est inséré au-dessus des mots biffés. Entre les deux colonnes, quelques lettres au crayon très pâle (« T », « \varepsilon' », « t'h » ), sans lien visible

\widetilde\Pi^{D}_{03}

\struck{\ill{}}\quad U'_{03} \subset PU_{03} \qquad \mu_6\text{-}\uncertain{\text{revêt.}}\ \struck{\ill{}}\,/U_{03}

l'étiquette \alpha' est entourée

\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde\Pi^{D}_{03}(4) & \to & \Pi^{D}_{0,3} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & 1 \\ & & \parallel & & \parallel & & \updownarrow & & \\ 1 & \to & \mathbb{Z} & \to & \widetilde{\mathcal{T}}_{11} & \Longrightarrow & \mathcal{T}_{1,1} = \Pi^{D}_{0,3} \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & & \end{array}

le signe = vertical sous \widetilde\Pi^{D}_{03}(4) porte, entre parenthèses ouvertes : « \pi_1(PU_{03}, \mathfrak{S}_3 \times \mu_4) »

\struck{\ill{}}\qquad \widetilde\Pi^{D}_{0,3} \ni \begin{cases} \tilde\rho = (\rho, -2) \\ \tilde\sigma = (\sigma, -3) \end{cases} \qquad \tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^{2} = \varpi'

les exposants de \tilde\rho et \tilde\sigma, dans les deux lignes, sont écrits sur d'autres chiffres raturés, illisibles

\underset{\substack{\downarrow \\ \rho}}{\tilde\rho},\ \underset{\substack{\downarrow \\ \sigma}}{\tilde\sigma} \in \widetilde\Pi^{D}_{0,3} = \{\tilde\rho, \tilde\sigma \mid \underbrace{\tilde\rho^{\,3} = \tilde\sigma^{2}}_{\varpi' = \omega}\ \struck{\ill{}}\} \simeq \widetilde{\mathcal{T}}_{11}