Cote n° 140-1, pages 1–20

Cote n° 140-1 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · "Longue Marche" [brouillon] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1982]
Édition de démonstration

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« Longue Marche »

le titre est de sa main, entre guillemets, dans un cadre ouvert en haut à droite de la page 1 ; c'est le seul titre du lot. Page au crayon

\[-v d^2 + w cd + c^2\]

écrit sous le titre, isolé ; c'est le déterminant calculé plus bas pour $v_1 = 1$

$\underline{u}$ $\alpha = \underline{u}\, a^{-1}$

$\underline{u} = \alpha\, \underline{a}$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $a = \alpha^{-1} u$

\[\det(d\rho + c) = d^2 \det\rho + cd\, \mathrm{Tr}\,\rho + c^2\]

dans $d\rho + c$, le $c$ est surchargé sur une autre lettre

\[\rho = \begin{pmatrix} 0 & v_1 \\ v & w \end{pmatrix} \qquad d_0 \rho + c_0 = \begin{pmatrix} c_0 & d_0 v_1 \\ d_0 v & d_0 w + c_0 \end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ dv & dw + \uncertain{c} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac + bdv & \\ & \end{pmatrix}\]

le produit s'arrête au premier coefficient

\[\underline{a} = \alpha^{-1} u = \frac{1}{\delta_\alpha} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\delta_\alpha} \begin{pmatrix} d\mu & d\lambda - b \\ -c\mu & -c\lambda + a \end{pmatrix} = c_0 \rho + d_0\]

les deux coefficients $\mu$ et $\lambda$ de la seconde matrice sont récrits sur d'autres lettres (le second sur un « $B_1$ » ?) ; le $d\mu$ du produit est écrit par-dessus une rature, et le $c_0$ final sur une autre lettre

\[c_0 = d\mu \struck{/} \delta_\alpha = \frac{-dv}{\uncertain{-v^2} + wcd + c^2}\]

$d_0 = \frac{1}{\delta_\alpha}(d\lambda - b) = \frac{1}{\delta_\alpha}\bigl(-v bd^2 + v_1 acd + wbcd\bigr.$

$d_0 \struck{v} = -\dfrac{c\mu}{\delta_\alpha}$ $d_0 = -$

la ligne s'arrête sur le signe

\[c_0 = \frac{d\mu}{\delta_\alpha} \qquad d_0 = \frac{-c\mu}{\delta_\alpha v}\]

\[\boxed{\underline{a} = \frac{\mu}{\delta_\alpha}\Bigl(-\frac{c}{v}\rho + d\Bigr)}\]

devant le cadre, un signe raturé souligné ; à gauche, biffé : « $\det \underline{a} = \det$ » sur une fraction de dénominateur $\delta_\alpha$ illisible

$\det a \overset{?}{=} \delta_\alpha^{-1} \mu$

\[\det \underline{a} = \Bigl(\frac{\mu}{\delta_\alpha}\Bigr)^2 \Bigl[\frac{c^2}{v^2}(-v v_1) + \frac{dc}{v} w + d^2\Bigr] \ldots\]

le signe entre les deux premiers termes du crochet est un $+$ repassé en tache

Extensions centrales de $\Pi^{D}_n$

titre de l'édition. Les pages 3, 5, 7 et 11 portent ses numéros ① à ④ (entourés), la page 13 « 4 bis », les pages 15, 17 et 19 les numéros 5, ⑥ et ⑦ : c'est une suite numérotée de sa main. Les pages 9, 14, 16, 18 et 20 ne portent pas de numéro

3p. ① de l'auteur

\[\widetilde{\Pi}{}^{\circ D}_{n} \struck{\overset{\text{déf}}{=}} \{\tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2}\} \qquad \boxed{\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega_0} \ \text{élément central}\]

\[1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi^{\circ D}_{n}} \to \Pi^{D}_{n} \to 1 \qquad \text{ext. centrale}\]

le petit $\circ$ en exposant de $\Pi$, ici et à la ligne précédente, est peu marqué ; sa lecture est incertaine

Posons \[\boxed{\tilde\rho_0 = \tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho} = \tilde\sigma(\tilde\rho)\,\tilde\rho = (\tilde\sigma\tilde\rho)^2\,\tilde\omega_0^{-1} \qquad \boxed{\tilde\rho_i = \tilde\rho^{\,i}(\tilde\rho_0)} \qquad \tilde\rho_i \text{ relève } \rho_i\]

$\tilde\sigma(\tilde\rho)$, $\tilde\rho^{\,i}(\tilde\rho_0)$ : l'action par conjugaison. L'exposant de $\tilde\rho$ dans la définition de $\tilde\rho_i$ est une tache, lue $i$

On a \[\begin{align*} \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 &= \underbrace{\tilde\rho^{\,n-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-(n-1)}}\, \underbrace{\tilde\rho^{\,n-2}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-(n-2)}} \cdots (\tilde\rho\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1})\,\tilde\rho_0 \\ &= \tilde\rho^{\,n-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1} \cdots \tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0 \qquad (n \text{ facteurs } \tilde\rho_0) \\ &= \tilde\rho^{\,n}\,\underbrace{(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)\cdots(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)}_{n \text{ facteurs}} = \underbrace{\tilde\rho^{\,n}}_{\tilde\omega_0}(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)^n \end{align*}\]

Or \[\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0 = \tilde\rho^{-1}\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho = (\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma)(\tilde\rho)\] donc \[(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)^n = (\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma)(\tilde\rho^{\,n}) = (\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma)(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0\] d'où \[\boxed{\tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\omega_0^{2}}\]

Soit $\widetilde{\Pi}_n$ le sous-groupe de $\widetilde{\Pi^{D}_{n}}$ engendré par les $\tilde\rho_i$, il est invariant par $\rho$, et aussi par $\sigma$ l'image inverse de $\Pi_n \subset \Pi^{D}_n$ dans $\widetilde{\Pi^{D}_{n}}$

la correction « l'image inverse de $\Pi_n \subset \Pi^D_n$ dans $\widetilde{\Pi^D_n}$ » est écrite au-dessus des trois lignes biffées ; à gauche, une amorce raturée : « $\widetilde{\Pi}$ […] $\tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}$ »

\[1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}_n \to \Pi_n \to 1\] \[\widetilde{\Pi}_n = \{\tilde\rho_0, \ldots, \tilde\rho_{n-1}, \tilde\omega_0 \mid \tilde\omega_0 \text{ central},\ \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\omega_0^{2}\}\]

Soit \[\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n = \{\tilde\rho_0, \ldots, \tilde\rho_{n-1} \mid \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 \text{ central i.e. } \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\rho_{n-2}\tilde\rho_{n-3}\cdots\tilde\rho_0\tilde\rho_{n-1} = \cdots\}\]

Alors \[1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n \to \Pi_n \to 1\] $\mathbb{Z}$ engendré par $\varpi = \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0$ \[\widetilde{\Pi}_n \simeq \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n \wedge_{\mathbb{Z}\varpi} \mathbb{Z}\omega \qquad \varpi_0 \longmapsto \omega_0^{2}\]

au-dessus de $\Pi_n$ dans la suite exacte, un mot court, lu can ; l'exposant du premier $\widetilde{\Pi}_n$ de la dernière ligne est une tache

5p. ② de l'auteur

$\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n$ invariant dans $\widetilde{\Pi}_n$ (ss-groupe d'indice 2)ss-gr. engendré par les $\tilde\rho_i$ est-il invariant dans $\widetilde{\Pi}{}^{D}_n$ ? Invariant par $\tilde\rho$ c'est clair — donc invariant dans $\widetilde{\Pi}{}^{D+}_n$. Invariant par $\tilde\sigma$ ?

la note marginale, à gauche, est reliée par un arc à $\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n$

dans $\Pi^D_n$ : \[\sigma^{-1}(\rho_0) = \rho_1,\quad \sigma^{-1}(\rho_1) = \rho_0,\quad \sigma^{-1}(\rho_2) = \rho_0(\rho_{n-1}),\ \ldots\ \sigma^{-1}(\rho_i) = \rho_n\cdots\rho_{n+2-i}(\rho_{n+1-i})\ \ldots\]

dans $\widetilde{\Pi}{}^{D}_n$ : \[\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \tilde\rho_1\tilde z_0,\quad \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\rho_0\tilde z_1\ \cdots\ \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_i) = (\tilde\rho_n\cdots\tilde\rho_{n+2-i})(\tilde\rho_{n+1-i})\,\tilde z_i\] \[z_{n-1}z_{n-2}\cdots z_0 = 1\]

dans $(\widetilde{\Pi}{}^{D}_n)_{\mathrm{ab}}$ : \[\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \rho_1 + \struck{\ill{}}\, z_0,\quad \tilde\sigma^{-1}(\rho_1) = \rho_0 + z_1,\ \ldots\ \tilde\sigma^{-1}(\rho_i) = \rho_{n+1-i} + z_i\]

le premier exposant $-1$ de la ligne de $\Pi^D_n$ est récrit sur une rature ; dans la dernière formule de cette ligne, les indices sont surchargés et se lisent mal

$z_i = \tilde\omega_0^{\,\nu_i}$ la condition d'invariance de $\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n$ est que les $\nu_i \equiv 0\ (2)$. On va […] de […] calculs au moins $z_0$, $z_1$.

\[\tilde\sigma(\tilde\rho_0) = \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \tilde\rho\,\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\,\tilde\sigma \qquad \bigl(\tilde\rho_0 = \tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\bigr)\] \[\tilde\rho_1 = \tilde\rho\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\] \[\tilde\rho_1^{-1}\,\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \tilde\sigma\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho^{-1}\tilde\rho\,\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\tilde\sigma = \tilde\sigma\underbrace{\tilde\rho^{-n}}_{\tilde\omega_0^{-1}}\tilde\sigma = \struck{z_0}\ \tilde\omega_0^{-1}\underbrace{\tilde\sigma^{2}}_{\tilde\omega_0} = 1\]

dans la première ligne, l'exposant $-1$ du second $\tilde\sigma$ est ajouté en appuyant. Dans le calcul de $\tilde\rho_1^{-1}\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0)$, des accolades sous le membre de droite regroupent $\tilde\rho^{-1}\tilde\rho$, puis $\tilde\sigma^{-1}\cdots\tilde\sigma^{-1}$ en « $\tilde\sigma^{-2} = \tilde\rho^{-n}$ », le tout noté $\tilde\rho^{-n}$ ; sous le résultat, un signe raturé

$\tilde\sigma(\tilde\rho_1)$ \[\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\tilde\sigma\tilde\rho\] \[\tilde\rho_0^{-1}\,\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\rho^{-1}\tilde\sigma\,\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma^{-1}\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\tilde\sigma\tilde\rho = 1\]

sous ce produit, trois accolades emboîtées, étiquetées $\omega_0^{-2}$, $\omega_0^{-2}$ et $1$ ; le premier facteur est récrit sur une rature, et la lecture du deuxième ($\tilde\sigma$ ou $\tilde\sigma^{-1}$) est incertaine

\[\struck{\ill{}}\ \tilde\rho_i = \tilde\rho^{\,i}\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho^{\,1-i}\] \[\tilde\sigma(\tilde\rho_i) = \tilde\sigma\tilde\rho^{\,i}\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho^{\,1-i}\tilde\sigma^{-1}\] \[\tilde\rho_n\cdots\tilde\rho_{n+2-i}\,\tilde\rho_{n+1-i}\,\tilde\rho_{n+2-i}^{-1}\]

la page s'arrête sur cette dernière expression

7p. ③ de l'auteur ; feuillet en largeur

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3} \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"] & & \widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z}) \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"] & \\
1 \arrow[r, "\mathbb{Z}"] & \mathbb{Z}\omega^2 \arrow[ur, "\Pi_{03}"] \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"'] & & \widetilde{\Pi}_{03} \arrow[ur, "\mathbb{D}_3"] \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"'] & & \widetilde{\mathrm{GL}}(2,\mathbb{Z}) \\
 & & \mathbb{Z}\omega \arrow[ur, "\Pi_{03}"'] & & \widetilde{\Pi}{}^{\tau}_{0,3} \arrow[ur, "\mathbb{D}_3"'] &
\end{tikzcd}

au-dessus du diagramme, trois accolades : $\mathbb{D}'_3$ au-dessus du segment de $\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3}$ à $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z})$, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ au-dessus du segment de $\mathbb{Z}\omega^2$ à $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z})$, $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$ au-dessus du segment de $\mathbb{Z}\omega^2$ à $\widetilde{\mathrm{GL}}(2,\mathbb{Z})$. Les étiquettes des flèches sont les quotients successifs. La flèche $\mathbb{Z}\omega \to \widetilde{\Pi}_{03}$ est repassée en gras

\[\mathbb{D}'_3 = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2,\ \sigma^4 = 1\ (= \rho^6),\ \sigma(\rho) = \rho^{-1}\}\] \[1 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 \to 1\]

NB cette extension n'est pas scindée (les $\rho_{\mathbb{D}'_3}$ qui relèvent $\rho_{\mathbb{D}_3}$ sont d'ordre 6, non 3) contrairement à $\mathbb{D}_6 \to \mathbb{D}_3$ :

la note est écrite en petit à gauche des suites exactes ; « qui relèvent $\rho_{\mathbb{D}_3}$ » est inséré par une flèche. Le $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est récrit sur une autre lettre

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \Pi_{0,3} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr" description] & \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d, hook] & \mathbb{D}_3 \arrow[r] \arrow[d, hook] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \Pi_{0,3} \arrow[r] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) \arrow[r] & \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

le $\mathrm{S}$ de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ est récrit sur un $\mathrm{G}$

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[d] & & \\
1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d, "2"] & \mathbb{D}'_3 \times \{1, \tau\} \arrow[r] \arrow[d, "2"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})' \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr" description] & \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\} \arrow[r] & 1 \\
 & & \pi_1(\uncertain{U}_{0,3}, \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\}; P_+) & &
\end{tikzcd}

le $\mathrm{G}$ de $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})'$ est récrit sur une autre lettre ; dans la dernière ligne, $\mathbb{D}_3$ et $\{1, \tau\}$ sont écrits par-dessus des ratures. Les deux flèches verticales marquées « $2$ » sont de degré $2$

page de schémas : les groupes sont disposés sur la feuille et reliés par des flèches souvent longues, marquées « cont » (contenu) ou d'un indice ; on en donne ci-dessous les nœuds et les flèches lisibles, sans reproduire la disposition. Aucun numéro de sa main

\[\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \longrightarrow \Pi^{\mathbb{D}}_{03}/\Pi'_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{D}_3 \simeq (\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3) \rtimes \{1, \sigma\} \longrightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\]

sous $\Pi'_{0,3}$, souligné : « sous-groupe d'indice 3 de $\Pi_{0,3}$ obtenu en faisant $\rho_0 = \rho_1 = \rho_\infty$, $\rho_0^3 = 1$ ». Une accolade marquée $18$ couvre le produit fibré. Le signe devant $\{1, \sigma\}$ est surchargé, lu comme un produit semi-direct

Au-dessous : $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/(\pm 1) \simeq \mathcal{E}$ (d'ordre $36$) $\to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, et $\mathcal{E} \simeq \mathrm{SL}'(2, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z})$ (sous-groupe d'ordre $\uncertain{2}$ à déterminer) ; $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$ ; $\mathbb{D}_3$ (d'ordre $6$) et $\mathbb{D}'_3$ (d'ordre $12$), avec $\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3$.

le premier terme de la ligne est récrit par-dessus une rature ; lecture de « $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/(\pm 1)$ » incertaine. Les flèches marquées « cont » vont de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ vers $\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}$, de $\mathcal{E}$ vers le produit fibré et vers $\mathbb{D}_3$, de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ; les ordres $6$, $12$, $18$, $36$ sont écrits près des groupes. Le « $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ » au bout de la flèche partant de $\mathcal{E}$ est écrit sur un « $\mathbb{Z}/12$ » raturé

\[\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1\} \qquad \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega},\ \rho^6 = 1\ (= \sigma^4)\}\]

\[\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} \simeq \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = (\sigma\rho)^6 = 1,\ (\sigma\rho)^2 = (\rho\sigma)^2 \ \struck{\text{central}}\} \qquad 18\]

« $= (\rho\sigma)^2$ » est écrit au-dessus du mot biffé, lu central

\[\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} \xrightarrow{\substack{\rho \mapsto \rho \\ \sigma \mapsto \sigma}} \mathbb{D}_3 = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1,\ \sigma(\rho) = \rho^{-1}\} \quad \text{i.e. } (\sigma\rho)^2 = 1\]

\[\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} \longrightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \qquad \rho \longmapsto 4 \bmod 6, \quad \sigma \longmapsto 3 \bmod 6\]

\[\mathcal{E} = \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega},\ \rho^6 = 1\ (= \sigma^4),\ \underbrace{(\sigma\rho)^2\omega}_{\rho_0 = \sigma\rho\sigma^{-1}\rho} \ \text{invariant par } \rho \text{ et d'ordre } 3\} \qquad 36\] \[\text{i.e. } (\sigma\rho)^6 = \omega, \quad (\sigma\rho)^2 = (\rho\sigma)^2\]

\[\mathcal{E} \longrightarrow \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \simeq (\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}))_{\mathrm{ab}} \qquad \begin{aligned} \rho &\longmapsto 10 \bmod 12 & \sigma\rho = \varepsilon_0 &\longmapsto 1 \bmod 12 \\ \sigma &\longmapsto 3 \bmod 12 & (\sigma\rho)^2\omega = \rho_0 &\longmapsto 8 \bmod 12 \\ \omega &\longmapsto 6 \bmod 12 & & \end{aligned}\]

le $10$ est récrit sur un autre chiffre ; entre les deux dernières lignes de droite, une ligne biffée qui reprend $(\sigma\rho)^2\omega = \rho_0$

\[\mathbb{D}'_3 = \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega},\ \rho^6 = 1\ (= \sigma^4)\}\ \struck{\ill{}} \qquad \rho_0 \longmapsto (2 \bmod 6, 1) \qquad \rho_0 = (\sigma\rho)^2\omega\]

au-dessus de la relation, un ajout lu « $= (\sigma\rho)^2$ » , relié par un trait. Le bas de la page est un second schéma, en losange : $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{D}_3$ au sommet, avec au-dessous $\mathcal{E}$ puis $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $0$ ; à droite $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (flèche « pr$_1$ ») au-dessus de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (flèche marquée « can »), et, plus haut, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \{0\}$ $\simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ; à gauche $\mathbb{D}_3$ au-dessus de $\mathbb{D}'_3$. De longues diagonales relient $\mathbb{D}_3$, $\mathbb{D}'_3$ et $0$ au produit fibré et à $\mathcal{E}$, et une accolade marquée $(\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3)$ et $\sigma$ court le long de la diagonale principale

11p. ④ de l'auteur

la moitié gauche de la page est écrite en diagonale, à 45 degrés ; elle est lue ici après rotation. Le texte en est rapide et une bonne part des mots de liaison ne se lit pas

($n$ impair) Prop. Il Il existe des relèvements $\tilde\rho$, $\tilde\sigma$ de $\rho$, $\sigma$ tels que l'on ait $\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2}$, et les deux […] sont […] […] […] $\tilde\omega^{\nu}$ […] l'un des […] […] […] […] […] mod $2n$ ([…]) […] […] […] des choix des relèvements $\tilde\rho$, $(\tilde\sigma)$ et $\nu \equiv \dfrac{n^2+1}{2}$ […], […] $\nu \bmod 2n \in \bigl\{\bigl(-\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{n+1}{2}\bigr)\bigr\}$ et $\nu$ est impair ; $\nu_0$ unique pour […] ce qui implique qu'il existe un […] $\bigl\{-\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{n+1}{2}\bigr\}$ qui soit $\equiv \nu$ $(2n)$. […] $\tilde\rho$, $\tilde\sigma$ sont uniquement déterminés […] près : \[\widetilde{\Pi}{}^{D}_n = \{\tilde\rho, \tilde\sigma, \tilde\omega \mid \tilde\omega \text{ central},\ \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{\nu}\}\]

au-dessus du mot « relèvements » de la deuxième ligne, une rature. La ligne commençant par « […] mod $2n$ » est soulignée et en partie biffée

À droite, le long de la diagonale : \[\mathbb{Z}\tilde\omega^{2} \longrightarrow \widetilde{\Pi}{}^{D}_n \longrightarrow \Pi^{D}_n = \{\rho, \sigma \mid \rho^n = \sigma^2 = 1\} \longrightarrow 1\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathbb{Z} \arrow[d, "2n"] \\
\Pi^{D}_n \arrow[r] \arrow[dr] & \mathbb{Z} \arrow[d] \\
 & (\Pi^{D}_n)_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

la flèche horizontale part du $\widetilde{\Pi}{}^{D}_n$ de la colonne diagonale ; la flèche vers $(\Pi^D_n)_{\mathrm{ab}}$ part de $\Pi^D_n = \{\rho, \sigma \mid \rho^n = \sigma^2 = 1\}$ et est tracée double. En haut à droite : $\tilde\omega = (1, 2n)$

\[\rho \longmapsto (n+1 \bmod 2n) = (1 - n \bmod 2n) \qquad \sigma \longmapsto n \bmod 2n\]

\[\tilde\rho_0 = (\rho, n+1) \qquad \tilde\sigma_0 = (\sigma, n)\] \[\tilde\rho_0^{\,n} = (\rho^n, n(n+1)) = \struck{\tilde\omega^{\ill{}}} \qquad \tilde\sigma_0^{\,2} = (\underbrace{\sigma^2}_{1}, 2n) \qquad \tilde\rho_0^{\,n}/\tilde\sigma_0^{\,2} = (1, n(n-1)) = \tilde\omega^{\alpha}\] \[\alpha = \frac{n-1}{2} \qquad (\ill{}\ \alpha + 1)\]

\[(\tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta})^{n} = (\tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma})^{2} \quad \text{i.e.} \quad \tilde\rho_0^{\,n}\tilde\sigma_0^{-2} = \tilde\omega^{\struck{\ill{}}\,2\gamma - n\beta}\]

\[\gamma - n\beta = \alpha = \frac{n-1}{2} \qquad \struck{\gamma - 2n\beta =} \qquad \gamma =\]

\[(\alpha+1)\cdot 2 - 1 \cdot n = 1 \qquad \underbrace{\alpha(\alpha+1)\cdot 2}_{\gamma} - \underbrace{\alpha}_{\beta}\cdot n = \alpha\]

\[\tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta} = \Bigl(\rho,\ n + 1 + 2n\overbrace{\tfrac{n-1}{2}}^{\beta = \alpha}\Bigr) = (\rho, n^2 + 1)\] \[\tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma} = \bigl(\sigma,\ n + 2n\underbrace{\gamma}_{\frac{(n-1)(n+1)}{4} = \frac{n^2-1}{4}}\bigr) = \Bigl(\sigma, \frac{n^3+n}{2}\Bigr)\]

les deux premiers membres sont écrits avec un $\tilde\omega$ en tête et un exposant surchargé ($\alpha$, $\gamma$) ; la lecture $\tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta}$, $\tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma}$ est celle que demande la suite. Sous la seconde ligne, des accolades successives donnent $\frac{n^3-n}{2}$ puis $\frac{n^3+n}{2}$ ; le dernier terme est récrit sur une rature

\[\tilde\rho_0^{\,n} = (1, n^3 + n) = \tilde\omega^{\overbrace{\scriptstyle\frac{n^2+1}{2}}^{x}} \qquad \tilde\sigma_0^{\,2} = (1, n^3 + n) = \tilde\omega^{\frac{n^2+1}{2}}\]

dans ces deux lignes, les $\tilde\rho_0$, $\tilde\sigma_0$ sont ceux de la ligne précédente, corrigés ; le second « $n^3 + n$ » se lit mal

Séparé par un trait vertical : \[\tilde\rho = \tilde\rho_0\,\tilde\omega^{2x} \qquad \tilde\sigma = \tilde\sigma_0\,\tilde\omega^{nx} \qquad x =\]

13p. « 4 bis » de l'auteur

\[\tilde\rho^{\,*} = (\rho, n^2 + 1) \qquad \tilde\sigma^{*} = \Bigl(\sigma, \frac{n^3+n}{2}\Bigr) \qquad \tilde\rho^{\,n} \simeq \tilde\omega^{\,?} = \tilde\omega^{\frac{n^2+1}{2}}\]

l'exposant de $\tilde\rho$ et de $\tilde\sigma$ est un astérisque appuyé ; le $2$ de $n^2$ est récrit sur un $3$

\[(\tilde\rho\,\tilde\omega^{\beta})^n = (\tilde\sigma\,\tilde\omega^{\gamma})^2 \quad \Leftrightarrow \quad \tilde\omega^{\nu}\,\tilde\omega^{\beta n} = \tilde\omega^{\nu}\,\tilde\omega^{\gamma 2}\]

\[\beta n = 2\gamma \qquad \mathbb{Z}^2 \longrightarrow \mathbb{Z}, \ (\beta, \gamma) \qquad \beta = 2x,\ \gamma = nx \qquad \beta n = 2\gamma = (2n)x\]

$\nu + \underline{2nx}$

un « $\beta$ » biffé devant $\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}$. À gauche, isolés : « $n^2 - n$ » et « $\frac{n-1}{2}$ »

\[\frac{n^2+1}{2} \bmod 2n \qquad \frac{n^2+1}{2} \bmod 2n \qquad \struck{n^2}\ 5 \bmod 6 = \qquad 13 \bmod 10 \,/\, 3\]

\[n = 2\alpha + 1 \qquad \frac{n^2+1}{2} = \frac{4\alpha^2 + 4\alpha + 2}{2} = \underbrace{2\alpha^2 + 2\alpha + 1} \ \bmod 4\alpha + 2\]

\[\begin{align*} &(4\alpha+2)\frac{\alpha}{2} + \alpha + 1 && \text{si } \alpha \text{ pair} \\ &\underbrace{(4\alpha+2)\,\frac{\alpha+1}{2}}_{2\alpha^2 + 3\alpha + 1} - \alpha && \text{si } \alpha \text{ impair} \end{align*}\]

\[\frac{n^2+1}{2} \equiv \alpha + 1 = \frac{n+1}{2} \quad (2n) \quad \text{si } \alpha \text{ pair} \qquad \frac{n^2+1}{2} \equiv -\alpha = \frac{1-n}{2} \quad (2n) \quad \text{si } \alpha \text{ impair}\]

le signe $-$ devant $\alpha$ est écrit sur une tache ; le $1$ de $\frac{1-n}{2}$ est récrit

\[\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{\frac{n+1}{2}} \ \text{si } \frac{n+1}{2} \text{ est impair i.e. } \alpha = \frac{n-1}{2} \text{ pair}\] \[\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{-\frac{n-1}{2}} \ \text{si } \frac{n-1}{2} \text{ est impair}\]

donc en tous cas $\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{\nu}$, $\nu \in \bigl\{-\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{n+1}{2}\bigr\}$, $\nu$ impair — ce qui suffit : conditions […].

le premier membre de la seconde ligne est surchargé ; lu $\tilde\rho^{\,n}$. Le dernier mot est une tache

écrit sur le verso d'une pièce administrative dactylographiée, tenue à l'envers ; seul ce qui est de sa main est transcrit. Deux longs traits obliques traversent la page sans rien biffer

\[\Pi^{D}_{03} \longrightarrow \underbrace{\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{D}_3}_{18} = \{\nu, g \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{D}_3 \mid \mathrm{sg}^{+}(g) \equiv \nu\ (2)\}\]

le $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ de l'accolade est récrit sur un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ; lecture de « $\mathrm{sg}^{+}$ » incertaine

et $(\Pi_{0,3})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}^3/\mathbb{Z}$

\[(\Pi_{0,3})_{\mathrm{ab}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_3 = \mathbb{F}_3^3/\mathbb{F}_3 \supset \ill{}(\mathbb{F}_3^{3\,\uncertain{*}})/\mathbb{F}_3\]

\[\rho_0\ \rho_1\ \rho_\infty \quad \begin{cases} \rho_0\rho_1^{-1},\ \rho_1\rho_\infty^{-1},\ \rho_\infty\rho_0^{-1},\ \rho_0^3 \\ \struck{[\rho_0, \rho_1]\,[\rho_1, \rho_\infty]\,[\rho_\infty, \rho_0]} \end{cases}\]

\[\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z})/\{\pm 1\} \simeq \bigl(\underbrace{\mathrm{SL}(2, \struck{\ill{}}\,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}_{6} \times \underbrace{\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})}_{24}\bigr)/\pm 1 \qquad \text{d'ordre } 72\]

sous le $6$, une petite ligne lue $p(p-1)(p+1)$ ; le « d'ordre » est souligné, et l'accolade couvre les deux membres

\[\{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = \struck{\ill{}}\,(\sigma\rho)^6 = 1,\ \sigma\rho\sigma\rho = \rho\sigma\rho\sigma\}\]

au-dessus de la dernière relation : « $(\sigma\rho)^2 = \rho((\sigma\rho)^2)$ »

\[\rho_0 = \sigma\rho\sigma\rho \qquad \rho_1 = \rho\sigma\rho\sigma \qquad \struck{[\rho_0, \rho_1] = \ldots = [\rho_1, \rho_0]}\]

le commutateur biffé est développé sur deux lignes illisibles sous la rature ; au-dessous, un produit isolé lu $\sigma\rho\sigma\rho\sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma^{-1}\rho^{-1}$, et en marge « $\rho_\infty = \uncertain{\sigma\rho}$ »

Au pied de la page : \[\rho_0 \quad \rho_1 \quad \rho_\infty \quad 5 \qquad \rho_0 = \struck{\ill{}}\,\sigma\rho\sigma^{-1}\rho = (\sigma\rho)^2\omega\]

en marge de gauche, écrits de biais : $\sigma\rho\sigma\rho = 1$ et une colonne de puissances lues « $\uncertain{\sigma\rho^{-1}\ 3}$, $\uncertain{9\rho\ 4}$, $\uncertain{9\rho\ 2}$, $2\cdot 4$ », reliées par une flèche marquée $\rho$

15p. 5 de l'auteur

à vérifier — OK $M_{1,1} \simeq (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3)$, où $\mathbb{D}'_3$ est défini comme produit fibré

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathbb{D}_3 = \mathfrak{S}_3 \arrow[r, "\mathrm{can}"] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\
\mathbb{D}'_3 \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[u, "\mathrm{can}"']
\end{tikzcd}

la note marginale, à gauche, est écrite de biais ; « à vérifier » est barré de deux traits, « OK » écrit au-dessous. Le $U$ de $U_{0,3}$ est une capitale ronde, lue $U$ comme au folio 7

donc $\mathbb{D}'_3$ est une extension (bien définie) de $\mathbb{D}_3$ par $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ; beaucoup on fait opérer $\mathbb{D}'_3$ sur $U_{0,3}$ via $\mathbb{D}_3$, donc avec trivialité de l'élément $\omega$ d'ordre $2$ du noyau de $\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3$.

le dernier groupe est écrit « $\mathbb{D}'_2 \to \mathbb{D}_2$ », les indices mal formés ; le contexte demande $\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3$

Or a donc \[\mathcal{T}_{11} \simeq \pi_1(\overbrace{U_{0,3}, \mathbb{D}'_3}^{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}'_3}}; P_+) \quad \text{et ainsi} \qquad \mathcal{T}_{11} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})\]

« $\simeq \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ » est écrit sous $\mathcal{T}_{11}$, précédé d'un signe $\wr$ ; de l'isomorphisme part un trait vers une note : « dépend du choix d'un pt du demi-plan de Poincaré au-dessus de $P_+$, on peut prendre $\zeta = \exp(2i\pi/6)$ ». À gauche de la note, un croquis : le cercle unité dans le plan, un point $\zeta$ sur le cercle, relié à l'origine, avec l'abscisse $\frac12$ marquée

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1\} \arrow[d, Rightarrow] \\
\mathbb{D}'_3 \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{D}_3 \arrow[d] \\
\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r, no head] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

les deux carrés sont marqués « cart » (cartésiens). Au-dessus de $\Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3}$, « $\Pi_0 \subset \mathbb{D}'$ » ; $\mathbb{D}'_3$ et $\mathbb{D}_3$ sont écrits par-dessus d'autres symboles (« $\mathbb{Z}/4$ », « $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ») raturés

À droite du diagramme : $\rho \mapsto 0$, $\sigma \mapsto 1$ $\rho \mapsto 0$, $\sigma \mapsto 1$

On remplace $\rho$, $\sigma$ par $\rho'$, $\sigma'$ : \[\rho' = (\rho, 2), \quad \sigma' = (\sigma, 3) \qquad \text{alors } \rho'^{6} = \sigma'^{4} = 1, \quad \rho'^{3} = \sigma'^{2} = (\underbrace{1, 2 \bmod 4}_{\omega})\]

les secondes composantes $2$ et $3$ sont récrites sur d'autres chiffres

Bien vérifié ainsi, notamment que $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \simeq \{\rho', \sigma' \mid \rho'^{3} = \sigma'^{2}, \ \ldots\}$

note écrite de biais dans la marge de droite, reliée par une longue accolade à l'accolade de $\rho'$, $\sigma'$ ; la fin des relations se lit mal

Ainsi $\Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ apparaît comme extension de $\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}$ par $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, image inverse de l'ext. $\mathbb{D}'_3$ de $\mathbb{D}_3$ par $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, […] de l'ext. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, via $\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to \mathbb{D}_3$ […] $\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to \struck{\mathbb{D}_3}\, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. C'est une ext. de $\mathbb{D}'_3$ par un sous-groupe $\simeq \Pi_{0,3}$, choisi $\rho_0$, $\rho_1$, $\rho_\infty$ …

la page s'arrête sur ces points de suspension, au ras du bord

Sommets, arêtes, faces

titre de l'édition. Page 16 à l'encre bleue ; un long trait de crayon la traverse en diagonale sans rien biffer

\[\vec{S}(X_\bullet) \simeq G_0 \qquad S(X_\bullet) \simeq G_0/H_S, \quad A(X_\bullet) \simeq G_0/H_A, \quad F(X_\bullet) \simeq G_0/H_F\]

de $\vec{S}(X_\bullet) \simeq G_0$ partent trois flèches, vers chacun des trois quotients

\[H_S \cap H_A = e, \quad H_A \cap H_F = e, \quad H_S \cap H_F = e\] i.e. \[G_0 \hookrightarrow G_0/H_S \times G_0/H_A, \quad G_0 \hookrightarrow G_0/H_A \times G_0/H_F, \quad G_0 \hookrightarrow \struck{\ill{}}\,G_0/H_A \times G_0/H_F\]

la troisième injection répète la deuxième ; on attendrait $G_0/H_S \times G_0/H_F$. Son premier facteur est récrit sur une rature

Cas non orienté Considérons la catégorie des polyèdres (non orientés/des […]) […] type donné, il y a des foncteurs \[S \quad \vec{A} \quad F \quad \struck{\ill{}}\]

« $\vec{A}$ » : un $A$ surmonté d'une flèche, sous un $S$ ; lecture incertaine

$A_1$relation d'incidence entre $S$ et $A$ (arêtes orientées au sens 1)
$A_2$— — $A$ et $F$ (— — 2)
$A_3$rel. d'incidence entre $S$ et $F$

$R = \struck{\ill{}}\ A_1 \times_A A_2$ rel. d'incidence entre $S$ et $F$ drapeaux des $(s, a, f)$, $s < a < f$.

« drapeaux des » est écrit au-dessus de la ligne biffée

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\begin{tikzcd}
 & R \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\
S & A & F
\end{tikzcd}

\[A_1 = \mathrm{Im}(R \to S \times A) \qquad A_2 = \mathrm{Im}(R \to A \times F) \qquad A_3 = \mathrm{Im}(R \to S \times F)\]

$\Omega$ ens. des orientations

\[A_{1\,\Omega} \simeq A_{2\,\Omega} \simeq A_{3\,\Omega} \quad (\]

la parenthèse reste ouverte. Le $A_2$ est récrit sur un $A_3$

\[\mathrm{Pol}_\tau \qquad \mathrm{Pol}_\tau^{\Omega} \simeq \mathrm{Pol}_{\tau\,/\Omega}\]

l'exposant de $\mathrm{Pol}_\tau$ est récrit sur une rature, lu $\Omega$ ; l'indice du dernier terme est écrit sur une rature

Le groupe $\mathcal{T}_{1,1}$

titre de l'édition ; la suite numérotée reprend (pages 17 et 19)

17p. ⑥ de l'auteur

\[S\mathcal{T}_{1,1} \simeq \text{image inverse de } \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \text{ dans } \widetilde{\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})} \simeq \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2\ (= \omega)\} \quad (\omega \text{ élément central})\]

\[\mathcal{T}_{11} = S\mathcal{T}_{11}/\langle\omega^2\rangle\]

le $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ est écrit sur une rature, le tilde à la fin. Le quotient est noté « $S\mathcal{T}_{11}\ k\omega^2\rangle$ », le chevron ouvrant mal formé

\[(\uncertain{S}\mathcal{T}_{11})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z} \qquad \struck{(\rho, \sigma)}\quad \rho \longmapsto 2, \quad \sigma \longmapsto 3, \quad \omega \longmapsto 6\] \[(\mathcal{T}_{11})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \qquad \rho \longmapsto 2 \bmod 12, \quad \sigma \longmapsto 3 \bmod 12\]

le premier groupe est écrit « $(\mathcal{T}_{11})_{\mathrm{ab}}$ », sans le $S$ que demandent les valeurs $2$, $3$, $6$ dans $\mathbb{Z}$ ; le $6$ est récrit sur un autre chiffre

LaTeX source

\begin{tikzcd}
1 & & 1 \\
\mathcal{T}_{11} \arrow[u] \arrow[rr, Rightarrow, "\struck{\ill{}}"] & & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[u] \\
S\mathcal{T}_{11} \arrow[u] \arrow[rr] & & \mathbb{Z} \arrow[u] \\
\mathbb{Z} \arrow[u] \arrow[rr, "\mathrm{id}"] & & \mathbb{Z} \arrow[u, "12"'] \\
1 \arrow[u] & & 1 \arrow[u]
\end{tikzcd}

la flèche du haut porte un mot raturé, puis un « continûment » sous elle. À gauche du $\mathbb{Z}$ de gauche : « $\varpi = \omega^{2}$ » (exposant surchargé), au-dessus d'une flèche partant de $1$

Donc $S\mathcal{T}_{11}$ se déduit de $\mathcal{T}_{11}$ par image inverse de l'ext. canonique de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ par $\mathbb{Z}$, via $\mathcal{T}_{11} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

le bas de la page porte, tête-bêche et à l'encre bleue, un fragment d'une autre rédaction, barré de trois longs traits de crayon ; il est donné ici tel qu'il se lit, feuille retournée

[…] normalisations de $(K, K_0)$, dans elles est équivalente à la cat. des variétés dans $K_f N$ — […] […] revêt[…] top. — une unique normalisation pour laquelle la projection soit un morphisme de $\Delta$-complexes normalisés. [Mais attention, […] […] […] pas structures normalisées […] […]…]

8. Groupes et groupoïdes fondamentaux. On montrera la relation entre construction top. et construction algébrique.

page au crayon, sans numéro de sa main ; elle reprend le calcul des relèvements $\tilde\rho$, $\tilde\sigma$ des pages 11 et 13. Deux longs traits obliques la traversent sans rien biffer. En tête, deux symboles isolés : le premier biffé […], le second lu $\tilde{\mathfrak{z}}$

\[\tilde\rho_0^{\,n} = \tilde\sigma_0^{\,n} = \qquad\qquad \tilde\sigma^{2} = \tilde\rho^{\,n} = \tilde\omega\]

la première égalité reste inachevée ; l'exposant du second membre est écrit $n$, là où les pages 11 et 13 ont $\tilde\sigma^{2}$. Ici et dans les lignes suivantes, $\tilde\omega$ est écrit comme un $\varpi$ surmonté d'un trait ; sous la seconde égalité, un mot biffé et noirci

\[\struck{\ill{}}\quad \tilde\rho \longmapsto \tilde\rho\,\tilde\omega^{-1} = \tilde\rho_0\] \[\tilde\rho_0^{\,n} \longmapsto \struck{\ill{}} = \tilde\rho^{\,n}\,\tilde\omega^{-n} = \tilde\omega^{\,1-n} = \omega^{\frac{1-n}{2}}\] \[\tilde\sigma_0 = \tilde\sigma_{\uncertain{a}}\,\tilde\omega^{s} \qquad \tilde\sigma_0^{\,2} = \tilde\sigma^{2}\,\tilde\omega^{2s} = \tilde\omega^{\,1+2s}\]

le dernier $\omega$ de la deuxième ligne est écrit sans trait ; l'indice du $\tilde\sigma$ du premier membre de droite de la troisième ligne est surchargé

\[1 + 2s = \frac{1-n}{2} \qquad \text{OK si } \frac{1-n}{2} \text{ impair}\]

« impair » souligné deux fois

la moitié gauche de la page porte deux croquis. En haut, une sphère avec son équateur et deux méridiens ; des flèches partent d'un point du pôle, tangentes à la sphère, et d'un point de l'équateur, le long de l'équateur. Plus bas, un faisceau de cinq courbes issues d'un même point d'une droite, qui s'ouvrent vers la droite et se rejoignent au bord droit de la page ; les étiquettes qui les entourent sont données ci-dessous

$R_i$ $\tilde R_i = (e_j - e_k) \wedge \omega_{jk}$

$t_{\omega}$, $t_{\omega'}$ $V(\omega)$ $\varphi_\omega(\tilde R_k)$ $P_i$ $t_{\omega}$ […] $u_{\uncertain{\omega}}^{\,i}$

$\varphi_\omega(\tilde R_k)$ est écrit à gauche du point d'où partent les courbes, $V(\omega)$ au-dessus ; $P_i$ entre les courbes. L'indice $jk$ de $\omega_{jk}$ est sous le signe, relié par un crochet

$\rho$ $\sigma$ opérant sur l'une des sections

[…]-genres

$R_K\,R$

19p. ⑦ de l'auteur ; feuillet en largeur

\[\tilde\rho = (\rho_0, 2) = (\rho, 2) \qquad \tilde\sigma = (\sigma_0, 3) = (\sigma, 3) \qquad \rho_0 = (\rho, \dot 2) \qquad \sigma_0 = (\sigma, \dot 3) = (\sigma, -1)\]

au-dessus de la troisième égalité, un petit « $\Pi_{0,3}$ ». Entre les deux groupes de formules, une rature noircie et un mot lu identifié, relié par une flèche au $\mathcal{T}_{11}$ du diagramme ; au-dessus, en petit : « $S\mathcal{T}_{11} \simeq \Pi^{D}_{03} \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$ » . Les points au-dessus des chiffres marquent des classes modulo $12$

À droite, séparé par un trait vertical : via $\mathcal{T}_{11}$ identifié à $\Pi^{D}_{03} \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/\uncertain{4}\mathbb{Z}$

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[dd, no head, "=" description] & S\mathcal{T}_{11} \arrow[rr, Rightarrow] \arrow[dd] & & \mathcal{T}_{11} \arrow[rr, Rightarrow] \arrow[dd] \arrow[dr, leftrightarrow] & & \Pi^{\mathbb{D}'}_{03} \arrow[dr, "\mathrm{can}"] \arrow[dd] & \\
 & & & & & \mathbb{D}'_3 \arrow[rr] \arrow[dd] & & \mathbb{D}_3 \arrow[dd, "\mathrm{can}"] \\
1 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "12"] & \mathbb{Z} \arrow[rr, "\mathrm{can}"] & & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[rr, "\mathrm{can}"] \arrow[dr, "\mathrm{can}"'] & & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[dr, "\mathrm{can}"] & \\
 & & & & & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[rr, "\mathrm{can}"] & & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\end{tikzcd}

les trois flèches verticales qui descendent de la première ligne portent : $\tilde\rho \mapsto 2$, $\tilde\sigma \mapsto 3$ (de $S\mathcal{T}_{11}$) ; $\rho_0 \mapsto \dot 2$, $\sigma_0 \mapsto \dot 3$ (de $\mathcal{T}_{11}$) ; $\rho \mapsto 2$, $\sigma \mapsto 3$ (vers $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$). Les deux flèches du haut sont tracées doubles, en gras ; la flèche entre $\mathcal{T}_{11}$ et $\mathbb{D}'_3$ porte une tête à chaque bout, repassée. Les carrés sont marqués « cart » : celui de $S\mathcal{T}_{11}$, $\mathcal{T}_{11}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$, et deux fois dans la partie droite (lecture de leur place incertaine). L'exposant du $\Pi_{03}$ se lit « $'D$ », comme le $\Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3}$ de la page 15 . La flèche verticale marquée $\rho \mapsto 2$, $\sigma \mapsto 3$ part sous $\Pi^{\mathbb{D}'}_{03}$ et coupe la flèche $\mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3$ ; celle qui descend de $\mathbb{D}'_3$ coupe la flèche $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. La flèche du bas, vers $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, semble porter aussi une tête côté $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Au-dessus du $\mathbb{Z}$ de la première ligne : « $1 \to \varpi = \omega^{2}$ », relié par une courbe à $S\mathcal{T}_{11}$

A-t-on bien | $S\mathcal{T}_{11} \simeq S\Pi^{D}_{03}$ ??

il semblerait plutôt, pourtant […] \[PM_{11} \simeq (T^{*}U_{03}, \mathfrak{S}'_3) \qquad \text{(fibré \struck{tangent} \uncertain{cotangent} de \struck{\ill{}}\,$U_{03}$ !!)}\] donc \[\mathcal{T}_{11} \simeq \pi_1(T^{*}U_{03}, \mathfrak{S}'_3) \ldots\]

« fibré » et la parenthèse sont écrits sous $T^{*}U_{03}$, souligné ; « tangent » est biffé et remplacé au-dessous par un mot court suivi d'un signe, lu cotangent d'après le $T^{*}$. La page s'arrête sur les points de suspension

Les groupes $S\mathcal{T}$, $\mathcal{T}$ et les automorphismes de $\pi$

titre de l'édition. Page 20 à l'encre bleue, sans numéro de sa main ; deux longs traits de crayon la traversent en oblique, recourbés au bout, sans rien biffer

\[\pi \qquad \ell_1 \ \cdots\ \ell_n\]

\[u \in \mathrm{Aut}\,\pi, \quad \sigma \in \mathfrak{S}_n, \quad (g_i)_{i \in n},\ g_i \in \pi \qquad u(\ell_i) = g_i\,\ell_{\sigma(i)}\,g_i^{-1}\]

les trois données sont écrites dans un cadre, les appartenances au-dessous de chacune ; la formule est soulignée d'un crochet

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi \arrow[r, hook] & \widetilde{E} \arrow[r] & \mathfrak{S}_n \\
Z\pi \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z}^n \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

encadré, et relié par un trait au cadre précédent. La flèche verticale entre $\mathbb{Z}^n$ et $\widetilde{E}$ est tracée avec un crochet à chaque bout ; lue comme une inclusion

\[1 \to \pi_1(\mathrm{Aut}(X)) \to \mathbb{Z}^n \to S\mathcal{T} \to \mathcal{T} \to \mathfrak{S}_n \to 1\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & S\mathrm{Aut}^{+}(X) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Aut}^{+}(X) \arrow[r] & \mathrm{Aut}^{+}(\partial X) \arrow[r] & 1 \\
 & S\mathcal{T} & \mathrm{Aut}^{+}_{!}(\widetilde{X}) \arrow[u] & \mathfrak{S}_n \cdot \mathbb{T}^n \arrow[u, "\wr"'] &
\end{tikzcd}

$S\mathcal{T}$ et $\mathfrak{S}_n \cdot \mathbb{T}^n$ sont soulignés ; la flèche vers $S\mathcal{T}$ part d'une accolade sous $S\mathrm{Aut}^{+}(X)$. Au-dessus de $\mathrm{Aut}^{+}(X)$, une flèche en pointillés monte vers le $S\mathcal{T}$ de la suite précédente ; au-dessous de $\mathrm{Aut}^{+}_{!}(\widetilde{X})$, une autre, marquée $\pi$, monte de la suite suivante. Le $!$ en indice est repassé

\[1 \to \underbrace{\pi_1\mathrm{Aut}^{+}(X)}_{0 \text{ ou } \mathbb{Z}} \to \mathbb{Z}^n \to S\mathcal{T} \to \mathcal{T} \to \mathfrak{S}_n \to 1\]

entre $\mathcal{T}$ et $\mathfrak{S}_n$, un petit « $f$ » sur la flèche, que coupe le trait pointillé vertical marqué $\pi$

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & S\mathcal{T} \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \mathfrak{S}_n \arrow[r] & 1 \\
 & \mathbb{Z}^n \arrow[u, hook] & \widetilde{E}/\pi & &
\end{tikzcd}

la suite et $\mathbb{Z}^n$ sont entourés d'une même ligne fermée

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \widetilde{F} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{A} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{G} \arrow[d] & \\
1 \arrow[r] & F \arrow[r] & A \arrow[r] & G \arrow[dr] & \\
 & & & & 1
\end{tikzcd}

sous le $F$ de la seconde ligne, « discret » ; ce $F$ est écrit sur un $\pi$ raturé, et le signe au-dessus du premier $F$ ressemble à un chapeau surmonté d'un tilde, lu $\widetilde{F}$. À droite de $G$ : « $(= \mathfrak{S}_n \cdot \mathbb{T}^n)$ », le signe du produit mal formé

[…] ext. de $\pi_0$ […] $E$

\[\pi_1(G) = \pi_1 \longrightarrow F\] central, […] […] $\longrightarrow Z(F)$ … $\pi_0$

ces fragments sont écrits sous la flèche $\pi_1 \to F$, reliée par une courbe à $Z(F)$

$\pi_0(G) = \pi_0$ opère extérieurement sur $F$, donc opère sur $Z(F)$

\[\pi_0 \quad \pi_1 \quad \text{op.}\]

\[1 \to F \to E \to \pi_0 \to 1 \qquad E = \pi_0(\widetilde{A})\] compatible […] […] l'op. ext.

une longue flèche courbe part de $\pi_1(G)$ et vient au $F$ de cette suite ; l'égalité $E = \pi_0(\widetilde{A})$ est écrite sous $E$

\[1 \to \pi_1(A) \to \pi_1 \to F \to \pi_0(A) \to \pi_0 \to 1\]

$\pi_0(A)$ est souligné d'un trait ondulé ; sous $\pi_0$, un petit trait oblique

\[\struck{\ill{}}\ \to \struck{\ill{}} \to F \to \pi_0(\widetilde{A}) \to \pi_0 \to 1 \qquad \pi_0(\widetilde{A}) = E\]

les deux premiers termes sont surchargés et illisibles ; l'égalité avec $E$ est écrite sous $\pi_0(\widetilde{A})$

« Longue Marche »

Extensions centrales de \(\Pi^{D}_n\)

Sommets, arêtes, faces

Le groupe \(\mathcal{T}_{1,1}\)

Les groupes \(S\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}\) et les automorphismes de \(\pi\)