Fonds Grothendieck, cote n° 140-1, pages 1–20

« Longue Marche »

le titre est de sa main, entre guillemets, dans un cadre ouvert en haut à droite de la page 1 ; c'est le seul titre du lot. Page au crayon

-v d^2 + w cd + c^2

écrit sous le titre, isolé ; c'est le déterminant calculé plus bas pour v_1 = 1

~~\underline{u}~~ \alpha = \underline{u}\, a^{-1}

\underline{u} = \alpha\, \underline{a} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} a = \alpha^{-1} u

\det(d\rho + c) = d^2 \det\rho + cd\, \mathrm{Tr}\,\rho + c^2

dans d\rho + c, le c est surchargé sur une autre lettre

\rho = \begin{pmatrix} 0 & v_1 \\ v & w \end{pmatrix} \qquad d_0 \rho + c_0 = \begin{pmatrix} c_0 & d_0 v_1 \\ d_0 v & d_0 w + c_0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ dv & dw + \uncertain{c} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac + bdv & \\ & \end{pmatrix}

le produit s'arrête au premier coefficient

\underline{a} = \alpha^{-1} u = \frac{1}{\delta_\alpha} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\delta_\alpha} \begin{pmatrix} d\mu & d\lambda - b \\ -c\mu & -c\lambda + a \end{pmatrix} = c_0 \rho + d_0

les deux coefficients \mu et \lambda de la seconde matrice sont récrits sur d'autres lettres (le second sur un « B_1 » ?) ; le d\mu du produit est écrit par-dessus une rature, et le c_0 final sur une autre lettre

c_0 = d\mu \struck{/} \delta_\alpha = \frac{-dv}{\uncertain{-v^2} + wcd + c^2}

~~d_0 = \frac{1}{\delta_\alpha}(d\lambda - b) = \frac{1}{\delta_\alpha}\bigl(-v bd^2 + v_1 acd + wbcd\bigr.~~

d_0 \struck{v} = -\dfrac{c\mu}{\delta_\alpha} d_0 = -

la ligne s'arrête sur le signe

c_0 = \frac{d\mu}{\delta_\alpha} \qquad d_0 = \frac{-c\mu}{\delta_\alpha v}

\boxed{\underline{a} = \frac{\mu}{\delta_\alpha}\Bigl(-\frac{c}{v}\rho + d\Bigr)}

devant le cadre, un signe raturé souligné ; à gauche, biffé : « \det \underline{a} = \det » sur une fraction de dénominateur \delta_\alpha illisible

\det a \overset{?}{=} \delta_\alpha^{-1} \mu

\det \underline{a} = \Bigl(\frac{\mu}{\delta_\alpha}\Bigr)^2 \Bigl[\frac{c^2}{v^2}(-v v_1) + \frac{dc}{v} w + d^2\Bigr] \ldots

le signe entre les deux premiers termes du crochet est un + repassé en tache

Extensions centrales de \Pi^{D}_n

titre de l'édition. Les pages 3, 5, 7 et 11 portent ses numéros ① à ④ (entourés), la page 13 « 4 bis », les pages 15, 17 et 19 les numéros 5, ⑥ et ⑦ : c'est une suite numérotée de sa main. Les pages 9, 14, 16, 18 et 20 ne portent pas de numéro

p. ① de l'auteur

\widetilde{\Pi}{}^{\circ D}_{n} \struck{\overset{\text{déf}}{=}} \{\tilde\rho, \tilde\sigma \mid \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2}\} \qquad \boxed{\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega_0} \ \text{élément central}

1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi^{\circ D}_{n}} \to \Pi^{D}_{n} \to 1 \qquad \text{ext. centrale}

le petit \circ en exposant de \Pi, ici et à la ligne précédente, est peu marqué ; sa lecture est incertaine

Posons \boxed{\tilde\rho_0 = \tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho} = \tilde\sigma(\tilde\rho)\,\tilde\rho = (\tilde\sigma\tilde\rho)^2\,\tilde\omega_0^{-1} \qquad \boxed{\tilde\rho_i = \tilde\rho^{\,i}(\tilde\rho_0)} \qquad \tilde\rho_i \text{ relève } \rho_i

\tilde\sigma(\tilde\rho), \tilde\rho^{\,i}(\tilde\rho_0) : l'action par conjugaison. L'exposant de \tilde\rho dans la définition de \tilde\rho_i est une tache, lue i

On a \begin{align*} \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 &= \underbrace{\tilde\rho^{\,n-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-(n-1)}}\, \underbrace{\tilde\rho^{\,n-2}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-(n-2)}} \cdots (\tilde\rho\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1})\,\tilde\rho_0 \\ &= \tilde\rho^{\,n-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1} \cdots \tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0 \qquad (n \text{ facteurs } \tilde\rho_0) \\ &= \tilde\rho^{\,n}\,\underbrace{(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)\cdots(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)}_{n \text{ facteurs}} = \underbrace{\tilde\rho^{\,n}}_{\tilde\omega_0}(\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)^n \end{align*}

Or \tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0 = \tilde\rho^{-1}\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho = (\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma)(\tilde\rho) donc (\tilde\rho^{-1}\tilde\rho_0)^n = (\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma)(\tilde\rho^{\,n}) = (\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma)(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0 d'où \boxed{\tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\omega_0^{2}}

Soit \widetilde{\Pi}_n ~~le sous-groupe de \widetilde{\Pi^{D}_{n}} engendré par les \tilde\rho_i, il est invariant par \rho, et aussi par \sigma~~ l'image inverse de \Pi_n \subset \Pi^{D}_n dans \widetilde{\Pi^{D}_{n}}

la correction « l'image inverse de \Pi_n \subset \Pi^D_n dans \widetilde{\Pi^D_n} » est écrite au-dessus des trois lignes biffées ; à gauche, une amorce raturée : « ~~\widetilde{\Pi} \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}~~ »

1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}_n \to \Pi_n \to 1 \widetilde{\Pi}_n = \{\tilde\rho_0, \ldots, \tilde\rho_{n-1}, \tilde\omega_0 \mid \tilde\omega_0 \text{ central},\ \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\omega_0^{2}\}

Soit \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n = \{\tilde\rho_0, \ldots, \tilde\rho_{n-1} \mid \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 \text{ central i.e. } \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 = \tilde\rho_{n-2}\tilde\rho_{n-3}\cdots\tilde\rho_0\tilde\rho_{n-1} = \cdots\}

Alors 1 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n \to \Pi_n \to 1 \mathbb{Z} engendré par \varpi = \tilde\rho_{n-1}\tilde\rho_{n-2}\cdots\tilde\rho_0 \widetilde{\Pi}_n \simeq \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n \wedge_{\mathbb{Z}\varpi} \mathbb{Z}\omega \qquad \varpi_0 \longmapsto \omega_0^{2}

au-dessus de \Pi_n dans la suite exacte, un mot court, lu can ; l'exposant du premier \widetilde{\Pi}_n de la dernière ligne est une tache

p. ② de l'auteur

\widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n invariant dans \widetilde{\Pi}_n (ss-groupe d'indice 2)ss-gr. engendré par les \tilde\rho_i est-il invariant dans \widetilde{\Pi}{}^{D}_n ? Invariant par \tilde\rho c'est clair — donc invariant dans \widetilde{\Pi}{}^{D+}_n. Invariant par \tilde\sigma ?

la note marginale, à gauche, est reliée par un arc à \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n

dans \Pi^D_n : \sigma^{-1}(\rho_0) = \rho_1,\quad \sigma^{-1}(\rho_1) = \rho_0,\quad \sigma^{-1}(\rho_2) = \rho_0(\rho_{n-1}),\ \ldots\ \sigma^{-1}(\rho_i) = \rho_n\cdots\rho_{n+2-i}(\rho_{n+1-i})\ \ldots

dans \widetilde{\Pi}{}^{D}_n : \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \tilde\rho_1\tilde z_0,\quad \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\rho_0\tilde z_1\ \cdots\ \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_i) = (\tilde\rho_n\cdots\tilde\rho_{n+2-i})(\tilde\rho_{n+1-i})\,\tilde z_i z_{n-1}z_{n-2}\cdots z_0 = 1

dans (\widetilde{\Pi}{}^{D}_n)_{\mathrm{ab}} : \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \rho_1 + \struck{\ill{}}\, z_0,\quad \tilde\sigma^{-1}(\rho_1) = \rho_0 + z_1,\ \ldots\ \tilde\sigma^{-1}(\rho_i) = \rho_{n+1-i} + z_i

le premier exposant -1 de la ligne de \Pi^D_n est récrit sur une rature ; dans la dernière formule de cette ligne, les indices sont surchargés et se lisent mal

z_i = \tilde\omega_0^{\,\nu_i} la condition d'invariance de \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_n est que les \nu_i \equiv 0\ (2). On va de calculs au moins z_0, z_1.

\tilde\sigma(\tilde\rho_0) = \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \tilde\rho\,\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\,\tilde\sigma \qquad \bigl(\tilde\rho_0 = \tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\bigr) \tilde\rho_1 = \tilde\rho\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1} \tilde\rho_1^{-1}\,\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0) = \tilde\sigma\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho^{-1}\tilde\rho\,\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\tilde\sigma = \tilde\sigma\underbrace{\tilde\rho^{-n}}_{\tilde\omega_0^{-1}}\tilde\sigma = \struck{z_0}\ \tilde\omega_0^{-1}\underbrace{\tilde\sigma^{2}}_{\tilde\omega_0} = 1

dans la première ligne, l'exposant -1 du second \tilde\sigma est ajouté en appuyant. Dans le calcul de \tilde\rho_1^{-1}\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_0), des accolades sous le membre de droite regroupent \tilde\rho^{-1}\tilde\rho, puis \tilde\sigma^{-1}\cdots\tilde\sigma^{-1} en « \tilde\sigma^{-2} = \tilde\rho^{-n} », le tout noté \tilde\rho^{-n} ; sous le résultat, un signe raturé

~~\tilde\sigma(\tilde\rho_1)~~ \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\tilde\sigma\tilde\rho \tilde\rho_0^{-1}\,\tilde\sigma^{-1}(\tilde\rho_1) = \tilde\rho^{-1}\tilde\sigma\,\tilde\rho^{-1}\tilde\sigma^{-1}\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho\tilde\sigma\tilde\rho = 1

sous ce produit, trois accolades emboîtées, étiquetées \omega_0^{-2}, \omega_0^{-2} et 1 ; le premier facteur est récrit sur une rature, et la lecture du deuxième (\tilde\sigma ou \tilde\sigma^{-1}) est incertaine

\struck{\ill{}}\ \tilde\rho_i = \tilde\rho^{\,i}\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho^{\,1-i} \tilde\sigma(\tilde\rho_i) = \tilde\sigma\tilde\rho^{\,i}\tilde\sigma\tilde\rho\tilde\sigma^{-1}\tilde\rho^{\,1-i}\tilde\sigma^{-1} \tilde\rho_n\cdots\tilde\rho_{n+2-i}\,\tilde\rho_{n+1-i}\,\tilde\rho_{n+2-i}^{-1}

la page s'arrête sur cette dernière expression

p. ③ de l'auteur ; feuillet en largeur

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3} \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"] & & \widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z}) \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"] & \\ 1 \arrow[r, "\mathbb{Z}"] & \mathbb{Z}\omega^2 \arrow[ur, "\Pi_{03}"] \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"'] & & \widetilde{\Pi}_{03} \arrow[ur, "\mathbb{D}_3"] \arrow[dr, "\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}"'] & & \widetilde{\mathrm{GL}}(2,\mathbb{Z}) \\ & & \mathbb{Z}\omega \arrow[ur, "\Pi_{03}"'] & & \widetilde{\Pi}{}^{\tau}_{0,3} \arrow[ur, "\mathbb{D}_3"'] & \end{tikzcd}

au-dessus du diagramme, trois accolades : \mathbb{D}'_3 au-dessus du segment de \widetilde{\Pi}{}^{\circ}_{0,3} à \widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z}), \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) au-dessus du segment de \mathbb{Z}\omega^2 à \widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z}), \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) au-dessus du segment de \mathbb{Z}\omega^2 à \widetilde{\mathrm{GL}}(2,\mathbb{Z}). Les étiquettes des flèches sont les quotients successifs. La flèche \mathbb{Z}\omega \to \widetilde{\Pi}_{03} est repassée en gras

\mathbb{D}'_3 = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2,\ \sigma^4 = 1\ (= \rho^6),\ \sigma(\rho) = \rho^{-1}\} 1 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 \to 1

NB cette extension n'est pas scindée (les \rho_{\mathbb{D}'_3} qui relèvent \rho_{\mathbb{D}_3} sont d'ordre 6, non 3) contrairement à \mathbb{D}_6 \to \mathbb{D}_3 :

la note est écrite en petit à gauche des suites exactes ; « qui relèvent \rho_{\mathbb{D}_3} » est inséré par une flèche. Le \mathbb{Z} de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} est récrit sur une autre lettre

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \Pi_{0,3} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr" description] & \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d, hook] & \mathbb{D}_3 \arrow[r] \arrow[d, hook] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \Pi_{0,3} \arrow[r] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) \arrow[r] & \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\} \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

le \mathrm{S} de \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) est récrit sur un \mathrm{G}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[d] & & \\ 1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] \arrow[d, no head, "=" description] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d, "2"] & \mathbb{D}'_3 \times \{1, \tau\} \arrow[r] \arrow[d, "2"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})' \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr" description] & \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\} \arrow[r] & 1 \\ & & \pi_1(\uncertain{U}_{0,3}, \mathbb{D}_3 \times \{1, \tau\}; P_+) & & \end{tikzcd}

le \mathrm{G} de \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})' est récrit sur une autre lettre ; dans la dernière ligne, \mathbb{D}_3 et \{1, \tau\} sont écrits par-dessus des ratures. Les deux flèches verticales marquées « 2 » sont de degré 2

page de schémas : les groupes sont disposés sur la feuille et reliés par des flèches souvent longues, marquées « cont » (contenu) ou d'un indice ; on en donne ci-dessous les nœuds et les flèches lisibles, sans reproduire la disposition. Aucun numéro de sa main

\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \longrightarrow \Pi^{\mathbb{D}}_{03}/\Pi'_{0,3} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{D}_3 \simeq (\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3) \rtimes \{1, \sigma\} \longrightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

sous \Pi'_{0,3}, souligné : « sous-groupe d'indice 3 de \Pi_{0,3} obtenu en faisant \rho_0 = \rho_1 = \rho_\infty, \rho_0^3 = 1 ». Une accolade marquée 18 couvre le produit fibré. Le signe devant \{1, \sigma\} est surchargé, lu comme un produit semi-direct

Au-dessous : \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/(\pm 1) \simeq \mathcal{E} (d'ordre 36) \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, et \mathcal{E} \simeq \mathrm{SL}'(2, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) (sous-groupe d'ordre \uncertain{2} à déterminer) ; \widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z} ; \mathbb{D}_3 (d'ordre 6) et \mathbb{D}'_3 (d'ordre 12), avec \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3.

le premier terme de la ligne est récrit par-dessus une rature ; lecture de « \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/(\pm 1) » incertaine. Les flèches marquées « cont » vont de \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) vers \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}, de \mathcal{E} vers le produit fibré et vers \mathbb{D}_3, de \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} vers \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ; les ordres 6, 12, 18, 36 sont écrits près des groupes. Le « \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} » au bout de la flèche partant de \mathcal{E} est écrit sur un « \mathbb{Z}/12 » raturé

\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1\} \qquad \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega},\ \rho^6 = 1\ (= \sigma^4)\}

\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} \simeq \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = (\sigma\rho)^6 = 1,\ (\sigma\rho)^2 = (\rho\sigma)^2 \ \struck{\text{central}}\} \qquad 18

« = (\rho\sigma)^2 » est écrit au-dessus du mot biffé, lu central

\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} \xrightarrow{\substack{\rho \mapsto \rho \\ \sigma \mapsto \sigma}} \mathbb{D}_3 = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1,\ \sigma(\rho) = \rho^{-1}\} \quad \text{i.e. } (\sigma\rho)^2 = 1

\Pi^{\mathbb{D}}_{0,3}/\Pi'_{0,3} \longrightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \qquad \rho \longmapsto 4 \bmod 6, \quad \sigma \longmapsto 3 \bmod 6

\mathcal{E} = \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega},\ \rho^6 = 1\ (= \sigma^4),\ \underbrace{(\sigma\rho)^2\omega}_{\rho_0 = \sigma\rho\sigma^{-1}\rho} \ \text{invariant par } \rho \text{ et d'ordre } 3\} \qquad 36 \text{i.e. } (\sigma\rho)^6 = \omega, \quad (\sigma\rho)^2 = (\rho\sigma)^2

\mathcal{E} \longrightarrow \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \simeq (\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}))_{\mathrm{ab}} \qquad \begin{aligned} \rho &\longmapsto 10 \bmod 12 & \sigma\rho = \varepsilon_0 &\longmapsto 1 \bmod 12 \\ \sigma &\longmapsto 3 \bmod 12 & (\sigma\rho)^2\omega = \rho_0 &\longmapsto 8 \bmod 12 \\ \omega &\longmapsto 6 \bmod 12 & & \end{aligned}

le 10 est récrit sur un autre chiffre ; entre les deux dernières lignes de droite, une ligne biffée qui reprend (\sigma\rho)^2\omega = \rho_0

\mathbb{D}'_3 = \{\rho, \sigma \mid \underbrace{\rho^3 = \sigma^2}_{\omega},\ \rho^6 = 1\ (= \sigma^4)\}\ \struck{\ill{}} \qquad \rho_0 \longmapsto (2 \bmod 6, 1) \qquad \rho_0 = (\sigma\rho)^2\omega

au-dessus de la relation, un ajout lu « = (\sigma\rho)^2 » , relié par un trait. Le bas de la page est un second schéma, en losange : \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{D}_3 au sommet, avec au-dessous \mathcal{E} puis \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} et 0 ; à droite \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} (flèche « pr_1 ») au-dessus de \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} (flèche marquée « can »), et, plus haut, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \{0\} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} ; à gauche \mathbb{D}_3 au-dessus de \mathbb{D}'_3. De longues diagonales relient \mathbb{D}_3, \mathbb{D}'_3 et 0 au produit fibré et à \mathcal{E}, et une accolade marquée (\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3) et \sigma court le long de la diagonale principale

p. ④ de l'auteur

la moitié gauche de la page est écrite en diagonale, à 45 degrés ; elle est lue ici après rotation. Le texte en est rapide et une bonne part des mots de liaison ne se lit pas

(n impair) Prop. Il Il existe des relèvements \tilde\rho, \tilde\sigma de \rho, \sigma tels que l'on ait \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2}, et les deux sont \tilde\omega^{\nu} l'un des mod 2n () des choix des relèvements \tilde\rho, (\tilde\sigma) et \nu \equiv \dfrac{n^2+1}{2} , \nu \bmod 2n \in \bigl\{\bigl(-\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{n+1}{2}\bigr)\bigr\} et \nu est impair ; \nu_0 unique pour ce qui implique qu'il existe un \bigl\{-\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{n+1}{2}\bigr\} qui soit \equiv \nu (2n). \tilde\rho, \tilde\sigma sont uniquement déterminés près : \widetilde{\Pi}{}^{D}_n = \{\tilde\rho, \tilde\sigma, \tilde\omega \mid \tilde\omega \text{ central},\ \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{\nu}\}

au-dessus du mot « relèvements » de la deuxième ligne, une rature. La ligne commençant par « mod 2n » est soulignée et en partie biffée

À droite, le long de la diagonale : \mathbb{Z}\tilde\omega^{2} \longrightarrow \widetilde{\Pi}{}^{D}_n \longrightarrow \Pi^{D}_n = \{\rho, \sigma \mid \rho^n = \sigma^2 = 1\} \longrightarrow 1

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \mathbb{Z} \arrow[d, "2n"] \\ \Pi^{D}_n \arrow[r] \arrow[dr] & \mathbb{Z} \arrow[d] \\ & (\Pi^{D}_n)_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z} \end{tikzcd}

la flèche horizontale part du \widetilde{\Pi}{}^{D}_n de la colonne diagonale ; la flèche vers (\Pi^D_n)_{\mathrm{ab}} part de \Pi^D_n = \{\rho, \sigma \mid \rho^n = \sigma^2 = 1\} et est tracée double. En haut à droite : \tilde\omega = (1, 2n)

\rho \longmapsto (n+1 \bmod 2n) = (1 - n \bmod 2n) \qquad \sigma \longmapsto n \bmod 2n

\tilde\rho_0 = (\rho, n+1) \qquad \tilde\sigma_0 = (\sigma, n) \tilde\rho_0^{\,n} = (\rho^n, n(n+1)) = \struck{\tilde\omega^{\ill{}}} \qquad \tilde\sigma_0^{\,2} = (\underbrace{\sigma^2}_{1}, 2n) \qquad \tilde\rho_0^{\,n}/\tilde\sigma_0^{\,2} = (1, n(n-1)) = \tilde\omega^{\alpha} \alpha = \frac{n-1}{2} \qquad (\ill{}\ \alpha + 1)

(\tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta})^{n} = (\tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma})^{2} \quad \text{i.e.} \quad \tilde\rho_0^{\,n}\tilde\sigma_0^{-2} = \tilde\omega^{\struck{\ill{}}\,2\gamma - n\beta}

\gamma - n\beta = \alpha = \frac{n-1}{2} \qquad \struck{\gamma - 2n\beta =} \qquad \gamma =

(\alpha+1)\cdot 2 - 1 \cdot n = 1 \qquad \underbrace{\alpha(\alpha+1)\cdot 2}_{\gamma} - \underbrace{\alpha}_{\beta}\cdot n = \alpha

\tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta} = \Bigl(\rho,\ n + 1 + 2n\overbrace{\tfrac{n-1}{2}}^{\beta = \alpha}\Bigr) = (\rho, n^2 + 1) \tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma} = \bigl(\sigma,\ n + 2n\underbrace{\gamma}_{\frac{(n-1)(n+1)}{4} = \frac{n^2-1}{4}}\bigr) = \Bigl(\sigma, \frac{n^3+n}{2}\Bigr)

les deux premiers membres sont écrits avec un \tilde\omega en tête et un exposant surchargé (\alpha, \gamma) ; la lecture \tilde\rho_0\tilde\omega^{\beta}, \tilde\sigma_0\tilde\omega^{\gamma} est celle que demande la suite. Sous la seconde ligne, des accolades successives donnent \frac{n^3-n}{2} puis \frac{n^3+n}{2} ; le dernier terme est récrit sur une rature

\tilde\rho_0^{\,n} = (1, n^3 + n) = \tilde\omega^{\overbrace{\scriptstyle\frac{n^2+1}{2}}^{x}} \qquad \tilde\sigma_0^{\,2} = (1, n^3 + n) = \tilde\omega^{\frac{n^2+1}{2}}

dans ces deux lignes, les \tilde\rho_0, \tilde\sigma_0 sont ceux de la ligne précédente, corrigés ; le second « n^3 + n » se lit mal

Séparé par un trait vertical : \tilde\rho = \tilde\rho_0\,\tilde\omega^{2x} \qquad \tilde\sigma = \tilde\sigma_0\,\tilde\omega^{nx} \qquad x =

p. « 4 bis » de l'auteur

\tilde\rho^{\,*} = (\rho, n^2 + 1) \qquad \tilde\sigma^{*} = \Bigl(\sigma, \frac{n^3+n}{2}\Bigr) \qquad \tilde\rho^{\,n} \simeq \tilde\omega^{\,?} = \tilde\omega^{\frac{n^2+1}{2}}

l'exposant de \tilde\rho et de \tilde\sigma est un astérisque appuyé ; le 2 de n^2 est récrit sur un 3

(\tilde\rho\,\tilde\omega^{\beta})^n = (\tilde\sigma\,\tilde\omega^{\gamma})^2 \quad \Leftrightarrow \quad \tilde\omega^{\nu}\,\tilde\omega^{\beta n} = \tilde\omega^{\nu}\,\tilde\omega^{\gamma 2}

\beta n = 2\gamma \qquad \mathbb{Z}^2 \longrightarrow \mathbb{Z}, \ (\beta, \gamma) \qquad \beta = 2x,\ \gamma = nx \qquad \beta n = 2\gamma = (2n)x

\nu + \underline{2nx}

un « \beta » biffé devant \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}. À gauche, isolés : « n^2 - n » et « \frac{n-1}{2} »

\frac{n^2+1}{2} \bmod 2n \qquad \frac{n^2+1}{2} \bmod 2n \qquad \struck{n^2}\ 5 \bmod 6 = \qquad 13 \bmod 10 \,/\, 3

n = 2\alpha + 1 \qquad \frac{n^2+1}{2} = \frac{4\alpha^2 + 4\alpha + 2}{2} = \underbrace{2\alpha^2 + 2\alpha + 1} \ \bmod 4\alpha + 2

\begin{align*} &(4\alpha+2)\frac{\alpha}{2} + \alpha + 1 && \text{si } \alpha \text{ pair} \\ &\underbrace{(4\alpha+2)\,\frac{\alpha+1}{2}}_{2\alpha^2 + 3\alpha + 1} - \alpha && \text{si } \alpha \text{ impair} \end{align*}

\frac{n^2+1}{2} \equiv \alpha + 1 = \frac{n+1}{2} \quad (2n) \quad \text{si } \alpha \text{ pair} \qquad \frac{n^2+1}{2} \equiv -\alpha = \frac{1-n}{2} \quad (2n) \quad \text{si } \alpha \text{ impair}

le signe - devant \alpha est écrit sur une tache ; le 1 de \frac{1-n}{2} est récrit

\tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{\frac{n+1}{2}} \ \text{si } \frac{n+1}{2} \text{ est impair i.e. } \alpha = \frac{n-1}{2} \text{ pair} \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{-\frac{n-1}{2}} \ \text{si } \frac{n-1}{2} \text{ est impair}

donc en tous cas \tilde\rho^{\,n} = \tilde\sigma^{2} = \tilde\omega^{\nu}, \nu \in \bigl\{-\tfrac{n-1}{2}, \tfrac{n+1}{2}\bigr\}, \nu impair — ce qui suffit : conditions .

le premier membre de la seconde ligne est surchargé ; lu \tilde\rho^{\,n}. Le dernier mot est une tache

écrit sur le verso d'une pièce administrative dactylographiée, tenue à l'envers ; seul ce qui est de sa main est transcrit. Deux longs traits obliques traversent la page sans rien biffer

\Pi^{D}_{03} \longrightarrow \underbrace{\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{D}_3}_{18} = \{\nu, g \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{D}_3 \mid \mathrm{sg}^{+}(g) \equiv \nu\ (2)\}

le \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} de l'accolade est récrit sur un \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ; lecture de « \mathrm{sg}^{+} » incertaine

et (\Pi_{0,3})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}^3/\mathbb{Z}

(\Pi_{0,3})_{\mathrm{ab}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_3 = \mathbb{F}_3^3/\mathbb{F}_3 \supset \ill{}(\mathbb{F}_3^{3\,\uncertain{*}})/\mathbb{F}_3

\rho_0\ \rho_1\ \rho_\infty \quad \begin{cases} \rho_0\rho_1^{-1},\ \rho_1\rho_\infty^{-1},\ \rho_\infty\rho_0^{-1},\ \rho_0^3 \\ \struck{[\rho_0, \rho_1]\,[\rho_1, \rho_\infty]\,[\rho_\infty, \rho_0]} \end{cases}

\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z})/\{\pm 1\} \simeq \bigl(\underbrace{\mathrm{SL}(2, \struck{\ill{}}\,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}_{6} \times \underbrace{\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})}_{24}\bigr)/\pm 1 \qquad \text{d'ordre } 72

sous le 6, une petite ligne lue p(p-1)(p+1) ; le « d'ordre » est souligné, et l'accolade couvre les deux membres

\{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = \struck{\ill{}}\,(\sigma\rho)^6 = 1,\ \sigma\rho\sigma\rho = \rho\sigma\rho\sigma\}

au-dessus de la dernière relation : « (\sigma\rho)^2 = \rho((\sigma\rho)^2) »

\rho_0 = \sigma\rho\sigma\rho \qquad \rho_1 = \rho\sigma\rho\sigma \qquad \struck{[\rho_0, \rho_1] = \ldots = [\rho_1, \rho_0]}

le commutateur biffé est développé sur deux lignes illisibles sous la rature ; au-dessous, un produit isolé lu \sigma\rho\sigma\rho\sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma^{-1}\rho^{-1}, et en marge « \rho_\infty = \uncertain{\sigma\rho} »

Au pied de la page : \rho_0 \quad \rho_1 \quad \rho_\infty \quad 5 \qquad \rho_0 = \struck{\ill{}}\,\sigma\rho\sigma^{-1}\rho = (\sigma\rho)^2\omega

en marge de gauche, écrits de biais : \sigma\rho\sigma\rho = 1 et une colonne de puissances lues « \uncertain{\sigma\rho^{-1}\ 3}, \uncertain{9\rho\ 4}, \uncertain{9\rho\ 2}, 2\cdot 4 », reliées par une flèche marquée \rho

p. 5 de l'auteur

à vérifier — OK M_{1,1} \simeq (U_{0,3}, \mathbb{D}'_3), où \mathbb{D}'_3 est défini comme produit fibré

\begin{tikzcd} \mathbb{D}_3 = \mathfrak{S}_3 \arrow[r, "\mathrm{can}"] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \mathbb{D}'_3 \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[u, "\mathrm{can}"'] \end{tikzcd}

la note marginale, à gauche, est écrite de biais ; « à vérifier » est barré de deux traits, « OK » écrit au-dessous. Le U de U_{0,3} est une capitale ronde, lue U comme au folio 7

donc \mathbb{D}'_3 est une extension (bien définie) de \mathbb{D}_3 par \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ; ~~beaucoup~~ on fait opérer \mathbb{D}'_3 sur U_{0,3} via \mathbb{D}_3, donc avec trivialité de l'élément \omega d'ordre 2 du noyau de \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3.

le dernier groupe est écrit « \mathbb{D}'_2 \to \mathbb{D}_2 », les indices mal formés ; le contexte demande \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3

Or a donc \mathcal{T}_{11} \simeq \pi_1(\overbrace{U_{0,3}, \mathbb{D}'_3}^{\Pi_{0,3}^{\mathbb{D}'_3}}; P_+) \quad \text{et ainsi} \qquad \mathcal{T}_{11} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})

« \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) » est écrit sous \mathcal{T}_{11}, précédé d'un signe \wr ; de l'isomorphisme part un trait vers une note : « dépend du choix d'un pt du demi-plan de Poincaré au-dessus de P_+, on peut prendre \zeta = \exp(2i\pi/6) ». À gauche de la note, un croquis : le cercle unité dans le plan, un point \zeta sur le cercle, relié à l'origine, avec l'abscisse \frac12 marquée

\begin{tikzcd} \Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} = \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2 = 1\} \arrow[d, Rightarrow] \\ \mathbb{D}'_3 \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{D}_3 \arrow[d] \\ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r, no head] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{tikzcd}

les deux carrés sont marqués « cart » (cartésiens). Au-dessus de \Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3}, « \Pi_0 \subset \mathbb{D}' » ; \mathbb{D}'_3 et \mathbb{D}_3 sont écrits par-dessus d'autres symboles (« \mathbb{Z}/4 », « \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ») raturés

À droite du diagramme : ~~\rho \mapsto 0, \sigma \mapsto 1~~ \rho \mapsto 0, \sigma \mapsto 1

On remplace \rho, \sigma par \rho', \sigma' : \rho' = (\rho, 2), \quad \sigma' = (\sigma, 3) \qquad \text{alors } \rho'^{6} = \sigma'^{4} = 1, \quad \rho'^{3} = \sigma'^{2} = (\underbrace{1, 2 \bmod 4}_{\omega})

les secondes composantes 2 et 3 sont récrites sur d'autres chiffres

Bien vérifié ainsi, notamment que \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \simeq \{\rho', \sigma' \mid \rho'^{3} = \sigma'^{2}, \ \ldots\}

note écrite de biais dans la marge de droite, reliée par une longue accolade à l'accolade de \rho', \sigma' ; la fin des relations se lit mal

Ainsi \Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} \simeq \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) apparaît comme extension de \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} par \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, image inverse de l'ext. \mathbb{D}'_3 de \mathbb{D}_3 par \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, de l'ext. \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, via \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to \mathbb{D}_3 \Pi^{\mathbb{D}}_{0,3} \to \struck{\mathbb{D}_3}\, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. C'est une ext. de \mathbb{D}'_3 par un sous-groupe \simeq \Pi_{0,3}, choisi \rho_0, \rho_1, \rho_\infty …

la page s'arrête sur ces points de suspension, au ras du bord

Sommets, arêtes, faces

titre de l'édition. Page 16 à l'encre bleue ; un long trait de crayon la traverse en diagonale sans rien biffer

\vec{S}(X_\bullet) \simeq G_0 \qquad S(X_\bullet) \simeq G_0/H_S, \quad A(X_\bullet) \simeq G_0/H_A, \quad F(X_\bullet) \simeq G_0/H_F

de \vec{S}(X_\bullet) \simeq G_0 partent trois flèches, vers chacun des trois quotients

H_S \cap H_A = e, \quad H_A \cap H_F = e, \quad H_S \cap H_F = e i.e. G_0 \hookrightarrow G_0/H_S \times G_0/H_A, \quad G_0 \hookrightarrow G_0/H_A \times G_0/H_F, \quad G_0 \hookrightarrow \struck{\ill{}}\,G_0/H_A \times G_0/H_F

la troisième injection répète la deuxième ; on attendrait G_0/H_S \times G_0/H_F. Son premier facteur est récrit sur une rature

Cas non orienté Considérons la catégorie des polyèdres (non orientés/des ) type donné, il y a des foncteurs S \quad \vec{A} \quad F \quad \struck{\ill{}}

« \vec{A} » : un A surmonté d'une flèche, sous un S ; lecture incertaine

A_1relation d'incidence entre S et A (arêtes orientées au sens 1) A_2— — A et F (— — 2) A_3rel. d'incidence entre S et F

R = \struck{\ill{}}\ A_1 \times_A A_2 ~~rel. d'incidence entre S et F~~ drapeaux des (s, a, f), s < a < f.

« drapeaux des » est écrit au-dessus de la ligne biffée

\begin{tikzcd} & R \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\ S & A & F \end{tikzcd}

A_1 = \mathrm{Im}(R \to S \times A) \qquad A_2 = \mathrm{Im}(R \to A \times F) \qquad A_3 = \mathrm{Im}(R \to S \times F)

\Omega ens. des orientations

A_{1\,\Omega} \simeq A_{2\,\Omega} \simeq A_{3\,\Omega} \quad (

la parenthèse reste ouverte. Le A_2 est récrit sur un A_3

\mathrm{Pol}_\tau \qquad \mathrm{Pol}_\tau^{\Omega} \simeq \mathrm{Pol}_{\tau\,/\Omega}

l'exposant de \mathrm{Pol}_\tau est récrit sur une rature, lu \Omega ; l'indice du dernier terme est écrit sur une rature

Le groupe \mathcal{T}_{1,1}

titre de l'édition ; la suite numérotée reprend (pages 17 et 19)

p. ⑥ de l'auteur

S\mathcal{T}_{1,1} \simeq \text{image inverse de } \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \text{ dans } \widetilde{\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})} \simeq \{\rho, \sigma \mid \rho^3 = \sigma^2\ (= \omega)\} \quad (\omega \text{ élément central})

\mathcal{T}_{11} = S\mathcal{T}_{11}/\langle\omega^2\rangle

le \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) est écrit sur une rature, le tilde à la fin. Le quotient est noté « S\mathcal{T}_{11}\ k\omega^2\rangle », le chevron ouvrant mal formé

(\uncertain{S}\mathcal{T}_{11})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z} \qquad \struck{(\rho, \sigma)}\quad \rho \longmapsto 2, \quad \sigma \longmapsto 3, \quad \omega \longmapsto 6 (\mathcal{T}_{11})_{\mathrm{ab}} \simeq \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \qquad \rho \longmapsto 2 \bmod 12, \quad \sigma \longmapsto 3 \bmod 12

le premier groupe est écrit « (\mathcal{T}_{11})_{\mathrm{ab}} », sans le S que demandent les valeurs 2, 3, 6 dans \mathbb{Z} ; le 6 est récrit sur un autre chiffre

\begin{tikzcd} 1 & & 1 \\ \mathcal{T}_{11} \arrow[u] \arrow[rr, Rightarrow, "\struck{\ill{}}"] & & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[u] \\ S\mathcal{T}_{11} \arrow[u] \arrow[rr] & & \mathbb{Z} \arrow[u] \\ \mathbb{Z} \arrow[u] \arrow[rr, "\mathrm{id}"] & & \mathbb{Z} \arrow[u, "12"'] \\ 1 \arrow[u] & & 1 \arrow[u] \end{tikzcd}

la flèche du haut porte un mot raturé, puis un « ~~continûment~~ » sous elle. À gauche du \mathbb{Z} de gauche : « \varpi = \omega^{2} » (exposant surchargé), au-dessus d'une flèche partant de 1

Donc S\mathcal{T}_{11} se déduit de \mathcal{T}_{11} par image inverse de l'ext. canonique de \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} par \mathbb{Z}, via \mathcal{T}_{11} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.

le bas de la page porte, tête-bêche et à l'encre bleue, un fragment d'une autre rédaction, barré de trois longs traits de crayon ; il est donné ici tel qu'il se lit, feuille retournée

normalisations de (K, K_0), dans elles est équivalente à la cat. des variétés dans K_f N — revêt top. — une unique normalisation pour laquelle la projection soit un morphisme de \Delta-complexes normalisés. [Mais attention, pas structures normalisées …]

~~8. Groupes et groupoïdes fondamentaux. On montrera la relation entre construction top. et construction algébrique.~~

page au crayon, sans numéro de sa main ; elle reprend le calcul des relèvements \tilde\rho, \tilde\sigma des pages 11 et 13. Deux longs traits obliques la traversent sans rien biffer. En tête, deux symboles isolés : le premier biffé , le second lu \tilde{\mathfrak{z}}

\tilde\rho_0^{\,n} = \tilde\sigma_0^{\,n} = \qquad\qquad \tilde\sigma^{2} = \tilde\rho^{\,n} = \tilde\omega

la première égalité reste inachevée ; l'exposant du second membre est écrit n, là où les pages 11 et 13 ont \tilde\sigma^{2}. Ici et dans les lignes suivantes, \tilde\omega est écrit comme un \varpi surmonté d'un trait ; sous la seconde égalité, un mot biffé et noirci

\struck{\ill{}}\quad \tilde\rho \longmapsto \tilde\rho\,\tilde\omega^{-1} = \tilde\rho_0 \tilde\rho_0^{\,n} \longmapsto \struck{\ill{}} = \tilde\rho^{\,n}\,\tilde\omega^{-n} = \tilde\omega^{\,1-n} = \omega^{\frac{1-n}{2}} \tilde\sigma_0 = \tilde\sigma_{\uncertain{a}}\,\tilde\omega^{s} \qquad \tilde\sigma_0^{\,2} = \tilde\sigma^{2}\,\tilde\omega^{2s} = \tilde\omega^{\,1+2s}

le dernier \omega de la deuxième ligne est écrit sans trait ; l'indice du \tilde\sigma du premier membre de droite de la troisième ligne est surchargé

1 + 2s = \frac{1-n}{2} \qquad \text{OK si } \frac{1-n}{2} \text{ impair}

« impair » souligné deux fois

la moitié gauche de la page porte deux croquis. En haut, une sphère avec son équateur et deux méridiens ; des flèches partent d'un point du pôle, tangentes à la sphère, et d'un point de l'équateur, le long de l'équateur. Plus bas, un faisceau de cinq courbes issues d'un même point d'une droite, qui s'ouvrent vers la droite et se rejoignent au bord droit de la page ; les étiquettes qui les entourent sont données ci-dessous

R_i \tilde R_i = (e_j - e_k) \wedge \omega_{jk}

t_{\omega}, t_{\omega'} V(\omega) \varphi_\omega(\tilde R_k) P_i ~~t_{\omega}~~ u_{\uncertain{\omega}}^{\,i}

\varphi_\omega(\tilde R_k) est écrit à gauche du point d'où partent les courbes, V(\omega) au-dessus ; P_i entre les courbes. L'indice jk de \omega_{jk} est sous le signe, relié par un crochet

\rho \sigma opérant sur l'une des sections

-genres

~~R_K\,R~~

p. ⑦ de l'auteur ; feuillet en largeur

\tilde\rho = (\rho_0, 2) = (\rho, 2) \qquad \tilde\sigma = (\sigma_0, 3) = (\sigma, 3) \qquad \rho_0 = (\rho, \dot 2) \qquad \sigma_0 = (\sigma, \dot 3) = (\sigma, -1)

au-dessus de la troisième égalité, un petit « \Pi_{0,3} ». Entre les deux groupes de formules, une rature noircie et un mot lu identifié, relié par une flèche au \mathcal{T}_{11} du diagramme ; au-dessus, en petit : « S\mathcal{T}_{11} \simeq \Pi^{D}_{03} \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z} » . Les points au-dessus des chiffres marquent des classes modulo 12

À droite, séparé par un trait vertical : via \mathcal{T}_{11} identifié à \Pi^{D}_{03} \times_{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/\uncertain{4}\mathbb{Z}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[dd, no head, "=" description] & S\mathcal{T}_{11} \arrow[rr, Rightarrow] \arrow[dd] & & \mathcal{T}_{11} \arrow[rr, Rightarrow] \arrow[dd] \arrow[dr, leftrightarrow] & & \Pi^{\mathbb{D}'}_{03} \arrow[dr, "\mathrm{can}"] \arrow[dd] & \\ & & & & & \mathbb{D}'_3 \arrow[rr] \arrow[dd] & & \mathbb{D}_3 \arrow[dd, "\mathrm{can}"] \\ 1 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "12"] & \mathbb{Z} \arrow[rr, "\mathrm{can}"] & & \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \arrow[rr, "\mathrm{can}"] \arrow[dr, "\mathrm{can}"'] & & \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \arrow[dr, "\mathrm{can}"] & \\ & & & & & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[rr, "\mathrm{can}"] & & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{tikzcd}

les trois flèches verticales qui descendent de la première ligne portent : \tilde\rho \mapsto 2, \tilde\sigma \mapsto 3 (de S\mathcal{T}_{11}) ; \rho_0 \mapsto \dot 2, \sigma_0 \mapsto \dot 3 (de \mathcal{T}_{11}) ; \rho \mapsto 2, \sigma \mapsto 3 (vers \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}). Les deux flèches du haut sont tracées doubles, en gras ; la flèche entre \mathcal{T}_{11} et \mathbb{D}'_3 porte une tête à chaque bout, repassée. Les carrés sont marqués « cart » : celui de S\mathcal{T}_{11}, \mathcal{T}_{11}, \mathbb{Z}, \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, et deux fois dans la partie droite (lecture de leur place incertaine). L'exposant du \Pi_{03} se lit « 'D », comme le \Pi^{\mathbb{D}'}_{0,3} de la page 15 . La flèche verticale marquée \rho \mapsto 2, \sigma \mapsto 3 part sous \Pi^{\mathbb{D}'}_{03} et coupe la flèche \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 ; celle qui descend de \mathbb{D}'_3 coupe la flèche \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}. La flèche du bas, vers \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, semble porter aussi une tête côté \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}. Au-dessus du \mathbb{Z} de la première ligne : « 1 \to \varpi = \omega^{2} », relié par une courbe à S\mathcal{T}_{11}

A-t-on bien | S\mathcal{T}_{11} \simeq S\Pi^{D}_{03} ??

il semblerait plutôt, pourtant PM_{11} \simeq (T^{*}U_{03}, \mathfrak{S}'_3) \qquad \text{(fibré \struck{tangent} \uncertain{cotangent} de \struck{\ill{}}\,$U_{03}$ !!)} donc \mathcal{T}_{11} \simeq \pi_1(T^{*}U_{03}, \mathfrak{S}'_3) \ldots

« fibré » et la parenthèse sont écrits sous T^{*}U_{03}, souligné ; « tangent » est biffé et remplacé au-dessous par un mot court suivi d'un signe, lu cotangent d'après le T^{*}. La page s'arrête sur les points de suspension

Les groupes S\mathcal{T}, \mathcal{T} et les automorphismes de \pi

titre de l'édition. Page 20 à l'encre bleue, sans numéro de sa main ; deux longs traits de crayon la traversent en oblique, recourbés au bout, sans rien biffer

\pi \qquad \ell_1 \ \cdots\ \ell_n

u \in \mathrm{Aut}\,\pi, \quad \sigma \in \mathfrak{S}_n, \quad (g_i)_{i \in n},\ g_i \in \pi \qquad u(\ell_i) = g_i\,\ell_{\sigma(i)}\,g_i^{-1}

les trois données sont écrites dans un cadre, les appartenances au-dessous de chacune ; la formule est soulignée d'un crochet

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \pi \arrow[r, hook] & \widetilde{E} \arrow[r] & \mathfrak{S}_n \\ Z\pi \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z}^n \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

encadré, et relié par un trait au cadre précédent. La flèche verticale entre \mathbb{Z}^n et \widetilde{E} est tracée avec un crochet à chaque bout ; lue comme une inclusion

1 \to \pi_1(\mathrm{Aut}(X)) \to \mathbb{Z}^n \to S\mathcal{T} \to \mathcal{T} \to \mathfrak{S}_n \to 1

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & S\mathrm{Aut}^{+}(X) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Aut}^{+}(X) \arrow[r] & \mathrm{Aut}^{+}(\partial X) \arrow[r] & 1 \\ & S\mathcal{T} & \mathrm{Aut}^{+}_{!}(\widetilde{X}) \arrow[u] & \mathfrak{S}_n \cdot \mathbb{T}^n \arrow[u, "\wr"'] & \end{tikzcd}

S\mathcal{T} et \mathfrak{S}_n \cdot \mathbb{T}^n sont soulignés ; la flèche vers S\mathcal{T} part d'une accolade sous S\mathrm{Aut}^{+}(X). Au-dessus de \mathrm{Aut}^{+}(X), une flèche en pointillés monte vers le S\mathcal{T} de la suite précédente ; au-dessous de \mathrm{Aut}^{+}_{!}(\widetilde{X}), une autre, marquée \pi, monte de la suite suivante. Le ! en indice est repassé

1 \to \underbrace{\pi_1\mathrm{Aut}^{+}(X)}_{0 \text{ ou } \mathbb{Z}} \to \mathbb{Z}^n \to S\mathcal{T} \to \mathcal{T} \to \mathfrak{S}_n \to 1

entre \mathcal{T} et \mathfrak{S}_n, un petit « f » sur la flèche, que coupe le trait pointillé vertical marqué \pi

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & S\mathcal{T} \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \mathfrak{S}_n \arrow[r] & 1 \\ & \mathbb{Z}^n \arrow[u, hook] & \widetilde{E}/\pi & & \end{tikzcd}

la suite et \mathbb{Z}^n sont entourés d'une même ligne fermée

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 1 \arrow[r] & \widetilde{F} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{A} \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{G} \arrow[d] & \\ 1 \arrow[r] & F \arrow[r] & A \arrow[r] & G \arrow[dr] & \\ & & & & 1 \end{tikzcd}

sous le F de la seconde ligne, « discret » ; ce F est écrit sur un \pi raturé, et le signe au-dessus du premier F ressemble à un chapeau surmonté d'un tilde, lu \widetilde{F}. À droite de G : « (= \mathfrak{S}_n \cdot \mathbb{T}^n) », le signe du produit mal formé

~~ext. de \pi_0 E~~

\pi_1(G) = \pi_1 \longrightarrow F central, \longrightarrow Z(F) … \pi_0

ces fragments sont écrits sous la flèche \pi_1 \to F, reliée par une courbe à Z(F)

\pi_0(G) = \pi_0 opère extérieurement sur F, donc opère sur Z(F)

\pi_0 \quad \pi_1 \quad \text{op.}

1 \to F \to E \to \pi_0 \to 1 \qquad E = \pi_0(\widetilde{A}) ~~compatible l'op.~~ ~~ext.~~

une longue flèche courbe part de \pi_1(G) et vient au F de cette suite ; l'égalité E = \pi_0(\widetilde{A}) est écrite sous E

1 \to \pi_1(A) \to \pi_1 \to F \to \pi_0(A) \to \pi_0 \to 1

\pi_0(A) est souligné d'un trait ondulé ; sous \pi_0, un petit trait oblique

\struck{\ill{}}\ \to \struck{\ill{}} \to F \to \pi_0(\widetilde{A}) \to \pi_0 \to 1 \qquad \pi_0(\widetilde{A}) = E

les deux premiers termes sont surchargés et illisibles ; l'égalité avec E est écrite sous \pi_0(\widetilde{A})