Cote n° 14 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

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41le feuillet commence au milieu d'une phrase, et d'un crochet, ouverts au lot précédent. au cas du produit de deux courbes elliptiques]), et b) est trivial à partir du cas de \(C\), car b) est stable par produits puissances cartésiennes]. Alors on a peut-être : \[D^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) = H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{\mathrm{alg}} = H^{2i}(A, \mathbb{Q}_{\ell}(i))^{U} \,]\] \(\mathbb{Q}_{\ell}\)-[…] algébriques, surmonté d'un mot […] ; un trait relie la note au \(D^{2i}\). l'exposant du dernier membre est lu « \(U\) » ; le trait qui le suit est lu comme le crochet fermant.

En effet, l'hypothèse à priori on a les inclusions \(\subset\), \(\subset\), et l'hypothèse indique l'égalité des extrêmes ….

Lettre à Serre du 27.8.65

titre de l'éditeur. Lettre dactylographiée de quatre feuillets (43 à 46), datée « 27.8.65 » en tête, paginée « 2. », « 3. », « 4. » à partir du second, signée « A. Grothendieck ». Son texte n'est pas reproduit mot à mot dans cette passe : on donne les énoncés des conjectures sous forme resserrée et, en note, un relevé de ce que la lettre en dit.

43résumé de l'entrée en matière : il retourne les questions de cycles algébriques ; il manque toujours le pas décisif ; il veut énoncer à Serre les deux conjectures-clef, de façon purement géométrique, sans cohomologie. Notations : \(X\) variété projective lisse connexe de dimension \(n\) sur \(k\) algébriquement clos, \(Y\) section hyperplane lisse ; \(C^{i}(X)\) le groupe des classes de cycles de codimension \(i\) modulo équivalence algébrique, tensorisé par \(\mathbb{Q}\) ; \(\xi \in C^{1}(X)\) la classe de \(Y\).

Conjecture A. Pour \(2i \leqslant n\), le produit par \(\xi^{n-2i}\) induit un isomorphisme \(C^{i}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } C^{n-i}(X)\).

résumé : il suffirait de vérifier la surjectivité, et pour \(n = 2i+1\) ; premier cas ouvert \(i = 1\), \(n = 3\). A donnerait, pour les \(C^{i}\), l'analogue des théorèmes de Lefschetz comparant \(X\) et \(Y\) par image directe et inverse (\(C^{i}\) devenant \(H^{2i}\)), et impliquerait le théorème de Lefschetz cohomologique sous sa forme forte, \(\xi^{n-i} : H^{i} \xrightarrow{\sim} H^{2n-i}\) à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\), que la lettre dit non démontré ; seul l'est le Lefschetz « faible » (dimension cohomologique d'une affine de dimension \(n\) majorée par \(n\)), soit pour \(U = X - Y\) : \(H^{i}(X) \to H^{i}(Y)\) bijectif pour \(i \leqslant n-2\), injectif pour \(i = n-1\), et \(H^{i}(Y) \to H^{i+2}(X)\) bijectif pour \(i \geqslant n\), surjectif pour \(i = n-1\) (fin de la phrase au feuillet 44).

44résumé : il dit savoir prouver A, sauf erreur, à partir de la forme plus faible suivante, du type Lefschetz « faible ».

Conjecture A'. Pour \(2i \geqslant n-1\), l'image directe \(C^{i}(Y) \to C^{i+1}(X)\) est surjective ; autrement dit, à \(\tau\)-équivalence près, tout cycle de dimension \(j < n/2\) sur \(X\) est image d'un cycle à coefficients rationnels de \(Y\).

résumé : là encore \(n = 2i+1\) suffirait. Pour ramener A à A', il semble falloir A' sur un corps de base non nécessairement algébriquement clos, ou bien énoncer A pour l'équivalence cohomologique, au prix du caractère purement géométrique. A impliquerait la « formule de Künneth pour les cycles », donc des théorèmes d'intégralité (coefficients de polynômes caractéristiques), à des puissances de \(p = \operatorname{car} k\) près en dénominateur, donc les conjectures de Weil sauf la question des valeurs absolues des valeurs propres, qui relève de B ; A lui paraît le minimum pour une définition utilisable des motifs sur un corps.

Conjecture B. Soit \(n = 2m\), et \(P^{m}(X)\) le noyau de la multiplication par \(\xi\) de \(C^{m}(X)\) dans \(C^{m+1}(X)\). La forme \((-1)^{m}\varepsilon(xx')\) est définie positive sur \(P^{m}(X)\).

résumé : pour Weil, la positivité suffirait ; la forme forte donnerait en outre \(\tau\)-équivalence \(=\) équivalence numérique (l'équivalence homologique à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\) étant coincée entre les deux), et la finitude de la dimension des \(C^{m}(X)\) (phrase continuée au feuillet 45).

45résumé : de là, les groupes de classes pour la \(\tau\)-équivalence seraient de type fini, \(C^{m}(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \to H^{2m}(X)(m)\) injectif, et le rang de \(C^{m}(X)\) majoré par \(b_{2m}(X)\). A et B impliqueraient la semi-simplicité de la catégorie des motifs des variétés projectives lisses, et que l'anneau des correspondances algébriques de \(X\) (mod \(\tau\), \(\otimes \mathbb{Q}\)) est une \(\mathbb{Q}\)-algèbre finie semi-simple, avec involution et trace. Généralisation de A (la variante cohomologique de A étant admise) : pour une correspondance \(H^{2i}(X) \to H^{2i+2r}(X')\) et l'homomorphisme \(C^{i}(X) \to C^{i+r}(X')\) qu'elle définit, un élément de \(C^{i+r}(X')\) est dans l'image de \(C^{i}(X)\) si et seulement si son image dans \(H^{2i+2r}\) est dans celle de \(H^{2i}\). La semi-simplicité donnerait celle des opérations de Galois dans les conjectures de Tate ; A et B donneraient une théorie raisonnable des « jacobiennes intermédiaires », morceaux algébriques des jacobiennes de Weil liés à la cohomologie de dimension impaire, et la démonstration de B pourrait passer par elles. A et A' lui semblent préliminaires à B ; il signale une forme équivalente de A'.

Conjecture A''. Soit \(U = X - Y\) l'ouvert affine (de dimension \(n\)). Alors \(C^{i}(U) = 0\) pour \(2i > n\).

46résumé : ceci serait peut-être vrai pour toute variété affine lisse, et, pour toute variété lisse, tout cycle cohomologiquement équivalent à \(0\) serait \(\tau\)-équivalent à \(0\) (pour les projectives, conséquence de A et B). Ce qu'il faudrait : un procédé pour déformer un cycle de dimension pas trop grande et le pousser à l'infini ; il invite Serre à y réfléchir et dit s'y être mis le jour même. Signature. N.B. : \(H^{i}(X)\) désigne la cohomologie à coefficients \(\mathbb{Q}_{\ell}\), éventuellement tordue par une puissance tensorielle de \(T_{\ell}(\mathbb{G}_{m}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_{\ell}\), omise des notations.

Sorites sur VA, Picard, Albanese …

titre de sa main, seul, en haut à droite du feuillet 47, d'une autre encre que les notes qui suivent.

48Résumé. On sait définir des V.A. sur \(k\) (alg. clos fixé), en termes de cycles algébriques sur une variété, soit via les diviseurs [alg. équiv. à \(0\)] (\(B_X\) [\(=\) Picard […]]) soit via les \(0\)-cycles (\(A_X\) \(=\) Albanese). On obtient donc [donc], pour deux variétés abéliennes \(A\) et \(B\), définies [chacune] en termes de \(X\) resp. de \(Y\), de l'une ou de l'autre façon, et un cycle alg. de dim. convenable \(Z\) sur \(X \times Y\), par \(D \mapsto Z(D)\), une application \(A(k) \to B(k)\), et même (il y a \(4 = 2 \times 2\) cas à distinguer). Nous montrons qu'elle est toujours associée à un hom. de V.A. \(u_Z : A \to B\), [ne dépendant que de la classe d'équivalence numérique de \(Z\).] et que [D'ailleurs,] (si on admet des cycles à coeff. rationnels, tous tout hom. de V.A. \(A \to B\) s'obtient de cette façon. En termes de cohomologie \(\ell\)-adique, on peut dire que les hom. \(H^{1}(B) \to H^{1}(A)\) associés à des \(\mathbb{Q}\)-hom. de V.A. \(A \to B\), sont aussi ceux associés à des \(\mathbb{Q}\)-cycles les ajouts interlinéaires sont rendus comme ajouts ; « Picard […] » (peut-être « réduit ») est écrit au-dessus de \(B_X\) ; la parenthèse ouverte avant « si on admet » n'est pas refermée.

49algébriques sur \(X \times Y\), via les identifications, du type (pour une variété \(T\)) \[\begin{cases} H^{1}(A_T, \mathbb{Q}_{\ell}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}(T, \mathbb{Q}_{\ell}) \\ H^{1}(B_T, \mathbb{Q}_{\ell}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{2n-1}(T, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1) \end{cases}\] dans la seconde ligne, l'exposant « \(1\) » du premier \(H\) est écrit sur un « \(2n-1\) » biffé.

De plus, l'hom. correspondant entre groupes de coh. \(\ell\)-adiques relatifs à \(X\) et à \(Y\), est un isom. ssi le \(\mathbb{Q}\)-hom. correspondant associé \(A \to B\) est une isogénie. Cela prouve en particulier que dans ce cas, il y a une classe de corr. \(\mathbb{Q}\)-algébrique sur \(X \times Y\) définissant l'hom. inverse sur la cohomologie. Nous verrons que cette circonstance se produit en particulier si on a des classes de diviseurs amples \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-1}\) sur \(X\) de dim. \(n\), en prenant l'hom. de cup-produit par \(\xi_1 \cdots \xi_{n-1}\) : \(H^{1}(X, \mathbb{Q}_{\ell}) \to H^{2n-1}(X, \mathbb{Q}_{\ell})(n-1)\). sous « \(\xi_1\) » du dernier produit sont écrits deux \(\xi\) l'un sous l'autre, peut-être pour indiquer qu'on peut prendre tous les \(\xi_i\) égaux.

50le feuillet est divisé par deux traits en quatre cases numérotées I à IV, chacune portant un carré et une flèche entre variétés abéliennes ; les remarques qui suivent sont écrites sous le tableau.

I.

\begin{tikzcd}
  H^{1}(Y) \arrow[r] & H^{1}(X) \\
  H^{1}(A_Y) \arrow[u, "\varphi_Y"] \arrow[r] & H^{1}(A_X) \arrow[u, "\varphi_X"'] \\
  A_Y & A_X \arrow[l]
\end{tikzcd}

II.

\begin{tikzcd}
  H^{2m-1}(Y)(m-1) \arrow[r] \arrow[d, "\psi_Y"'] & H^{2n-1}(X) \arrow[d, "\varphi_X"] \\
  H^{1}(B_Y) \arrow[r] & H^{1}(B_X) \\
  B_Y & B_X \arrow[l]
\end{tikzcd}

Cas transposés l'un de l'autre la note marginale, à droite des cases I et II, les réunit ; la flèche verticale de droite de la case II est marquée d'une lettre lue \(\varphi_X\) (peut-être \(\psi_X\)), et le \((n-1)\) attendu après \(H^{2n-1}(X)\) n'est pas écrit.

III.

\begin{tikzcd}
  H^{2m-1}(Y)(m-1) \arrow[r] \arrow[d, "\psi_Y"'] & H^{1}(X) \\
  H^{1}(B_Y) \arrow[r] & H^{1}(A_X) \arrow[u, "\varphi_X"'] \\
  B_Y & A_X \arrow[l]
\end{tikzcd}

Cas auto-transposé

IV.

\begin{tikzcd}
  H^{1}(Y) \arrow[r] & H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[d, "\psi_X"] \\
  H^{1}(A_Y) \arrow[u, "\varphi_Y"] \arrow[r] & H^{1}(B_X) \\
  A_Y & B_X \arrow[l]
\end{tikzcd}

Cas auto-transposé

Cas I. Pour passer des hom. de VA à des cycles sur \(X \times Y\), il faut inverser \(\varphi_Y\)

Cas II. Cas pareil — \(\varphi_X\) il faut des dénominateurs ? l'accolade de la marge droite réunit \(\varphi_Y\) (cas I) et \(\varphi_X\) (cas II) ; le tiret du cas II est écrit sous « inverser ».

Cas III. On passe tjs […] d'un hom. de VA à un cycle : c'est aussi le théorème classique …

Cas IV. Pour passer des hom. de VA à des cycles sur \(X \times Y\), il faut inverser \(\varphi_Y\) et \(\psi_X\), ce qui introduit des dénominateurs.

Pour inverser \(\psi_X\), on utilise « th. de Lefschetz ». Pour inverser \(\varphi_X\), on utilise le « th. de Lefschetz » et le cas particulier des VA qu'on traite.

1. Un lemme de théorie des intersections

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 51.

51Th. 1.1. Soient \(X\), \(Y\) projectives lisses [connexes,] sur \(k\) alg. clos, de dim. \(n\) et \(m\), \(Z\) un cycle de dimension \(m\), codim. \(n\), sur \(X \times Y\). \(A_X\), \(A_Y\) les variétés d'Albanese homogènes de \(X\), \(Y\). Alors il existe un homomorphisme de VA. unique \[u_Z : A_Y \longrightarrow A_X\] ayant la propriété suivante : pour tout \(0\)-cycle \(\mathfrak{A}\) sur \(Y\), [de degré \(0\),] tel que \(Z(\mathfrak{A})\) soit défini (i.e. dans un \(0\)-cycle sur \(X\)), on a \[S_X(Z(\mathfrak{A})) = u(S_Y(\mathfrak{A})) .\] le \(0\)-cycle est noté d'une lettre gothique, rendue ici \(\mathfrak{A}\) dans tout le lot. Au-dessus de « \(0\)-cycle », un « de d » inachevé, repris par l'ajout « de degré \(0\) ». De plus, \(u_Z\) ne dépend que de la classe d'équiv. numérique de \(Z\).

Corollaire 1.2. Si \(Z\) et \(\mathfrak{A}\) est alg. équivalent à zéro \(S_Y(\mathfrak{A}) = 0\) et si \(Z(\mathfrak{A})\) est défini, [alors] \(S_X(Z(\mathfrak{A})) = \uncertain{0}\) alg. équivalent à \(0\). le « \(0\) » après le signe égal est écrit sur le début de la fin biffée ; lecture incertaine.

Démonstration. Unicité. Elle est à peu près claire, car il existe un ouvert non vide \(U\) de \(Y\) tel que \(y \in U(k) \leadsto Z(y)\) est défini, D'autre part, donc \(Z(\mathfrak{A})\) est défini pour tout \(0\)-cycle sur \(Y\) de support \(\subset U\). D'autre part, \(A_Y(k)\) est égal à l'ensemble des \(S(\mathfrak{A})\), où \(\mathfrak{A}\) est un […] \(0\)-cycle de degré \(0\) sur \(Y\), de support \(\subset U\), donc \(u(k) : A_Y(k) \to A_X(k)\) est bien déterminé.

52Pour l'existence, considérons l'homomorphisme canonique \[\varphi_X : X \longrightarrow A^{1}_{X} = X'\] et le cycle \[Z' = (\varphi_X \times \mathrm{id}_Y)_{*}(Z) \in \mathrm{Cyc}_{m}(X' \times Y)\] Introduisons également \[B = B_X = \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{A^{1}_{X}/k} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A_X/k}\] (isomorphe canoniquement à \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/k}\) par l'hom. \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A^{1}_{X}/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/k}\) transposé de \(\varphi_X\)). Considérons le cycle \(Z'' = B \times Z'\) sur \(B \times X' \times Y\), et l'élément canonique \(\Theta\) de \(\mathrm{Pic}(B \times X')\), dont l'image inverse dans [sur] \(B \times X' \times Y\) sera notée \(\Theta'\). Soit \(\Theta'\) \(\theta'\) la classe de diviseurs, mod équivalence numérique, définie par \(\Theta'\), et soit de même \(\mathfrak{z}''\) la classe d'équivalence numérique de \(Z''\) (qui ne dépend, bien entendu, que de la classe d'équiv. numérique de \(Z\)). Soit \[\pi : B \times X' \times Y \longrightarrow B \times Y\] la projection, et formons \[c = \pi_{*}(\mathfrak{z}'' . \theta)\] qui est une classe d'équiv. numérique de diviseurs sur \(B \times Y\), donc définit une classe une référence les exposants de \(\underline{\mathrm{Pic}}\) sont transcrits tels qu'ils se lisent : deux petits ronds au premier (le second surchargé) et au troisième, un seul aux deux autres. Dans la formule de \(c\), le \(\theta\) est écrit sans accent. La note marginale, entourée, est en face de « donc définit », souligné d'un trait ondulé.

53de correspondance divisorielle canonique \[c' \in \mathrm{Cl}(B, \struck{A} Y) .\] Nous supposons Cette classe définit un homomorphisme \(Y \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/k}\), d'où un homomorphisme \(A_Y \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/k}\), or par Cartier (bidualité) on a [un isom. can.] \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/k} \simeq A_X\), donc \(c'\) définit un […] homomorphisme de VA \[u_Z : A_Y \longrightarrow A_X ,\] ne dépendant que de la classe d'équivalence numérique \(\mathfrak{z}\) de \(Z\). Donc le th. 1 résultera de l'énoncé plus précis :

Corollaire 1.3. L'homomorphisme \(u_Z : A_Y \to A_X\) qu'on vient de construire satisfait à la condition envisagée dans le th. 1.1., car

Cela résultera du

Lemme 1.4. Soit \(\mathfrak{A}\) un diviseur de degré \(0\) sur \(Y\) tel que […] \(Z(\mathfrak{A})\) soit défini. Alors l'élément \(\Theta(S_X(Z(\mathfrak{A})))\) de \(\mathrm{Pic}^{0}(A_X)\) est égal à \(c'(\mathfrak{A})\). « diviseur » est sur la page, là où l'on attend le \(0\)-cycle de degré \(0\) du th. 1.1 ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche.

54E Cela prouvera bien 1.3., car pour prouver \[S_X({}^{t}Z(\mathfrak{A})) = u_Z(S_Y(\mathfrak{A}))\] [sur \(A_X(k)\)], il suffit de prouver (grâce à la bidualité grossière i.e. ensembliste \(A_X\) déduite de \(A_X \xrightarrow{\sim} A_X^{**} = B^{*}\), […] \(A_X(k) \to \mathrm{Pic}^{0}(B)\)) que \[\Theta(S_X({}^{t}Z(\mathfrak{A}))) = \Theta(u_Z(S_Y(\mathfrak{A})))\] [dans \(\mathrm{Pic}^{0}(B)\)] […]. Cela résultera de 1.4. et de l'équation \(\Theta(u_Z(b)) = c'(b)\) dans \(\mathrm{Pic}^{0}(B_X)\), pour tout \(b \in A_Y(k)\) \[c'(\mathfrak{A}) = \Theta(u_Z(S_Y(\mathfrak{A}))) \qquad \text{dans } \mathrm{Pic}^{0}(B)\] qui résulte de la définition de \(u_Z\) en termes de \(c'\), cf. préliminaires. l'exposant \({}^{t}\) devant \(Z\) est ajouté après coup, par-dessus un premier trait, dans les deux formules du haut.

D'autre part, 1.4. sera une conséquence immédiate du

Lemme 1.5. Soit \(\mathfrak{A}\) comme dans 1.4. Alors il existe un diviseur \(D\) dans la classe d'équivalence linéaire de \(\Theta\), tel que, […] posant \(C = \pi_{*}(Z'' . (D \times Y)) \in \mathrm{Cyc}^{1}(B \times Y)\), […] on ait \[D(\varphi_{X*}({}^{t}Z(\mathfrak{A}))) = C(\mathfrak{A}) \qquad \text{dans } \mathrm{Cyc}^{1}(B)\] ([et que] les deux membres de cette égalité soient définis !).

55La démonstration de 1.5. est de la théorie d'intersections standard, que nous nous dispensons ici d'expliciter.

Suivant du point de vue cohomologie \(\ell\)-adique la construction qu'on vient de faire, on vérifie sans difficulté :

Théorème 1.6. Avec les notations du th. 1.1. considérons \(\gamma^{n}(Z) \in H^{2n}(X \times Y)(n)\), et l'homomorphisme correspondant \[a(\gamma^{n}(Z)) : H^{1}(X) \longrightarrow H^{1}(Y)\] Considérons d'autre Considérons d'autre part Alors on a les homomorphismes canoniques (isom. mod torsion gr. […] […]) \(\varphi_X^{*} : H^{1}(A_X) \to H^{1}(X)\), \(\varphi_Y^{*} : H^{1}(A_Y) \to H^{1}(Y)\). On a commutativité dans le diagramme d'homomorphismes

\begin{tikzcd}
  H^{1}(X) \arrow[r, "a(\gamma^{n}(Z))"] & H^{1}(Y) \\
  H^{1}(A_X) \arrow[u, "\varphi_X^{*}"] \arrow[r, "u_Z^{(1)}"] & H^{1}(A_Y) \arrow[u, "\varphi_Y^{*}"']
\end{tikzcd}

(Les cohomologies sont les cohomologies à coefficients \(\mathbb{Z}_{\ell}\)). Ce diagramme est commutatif. l'exposant de \(\gamma\) peut aussi se lire \(m\) ; on a gardé \(n\), qui répond à \(H^{2n}(X \times Y)(n)\) et à la codimension de \(Z\).

56Passant Prenant pour \(X\), \(Y\) des VA, on trouve :

Corollaire 1.7. Soit Soient \(X\), \(Y\) deux V.A. de dim. \(n\), \(m\). Pour qu'un homomorphisme \(\psi : H^{1}(X) \to H^{1}(Y)\) soit définissable par un cycle algébrique \(Z\) de dim codim. \(n\) sur \(X \times Y\), il faut et il suffit qu'il soit définissable par un homomorphisme de V.A. \(u : Y \to X\) comme \(\psi = u^{(1)}\). De plus, \(Z\) étant fixé, \(u\) \(u\) est uniquement déterminé, et indépendant du nombre premier \(\ell\) choisi pour les coefficients dans la cohomologie.

Remarques 1.8. Généralisation [de 1.1.] aux schémas projectifs lisses, à fibres géom. connexes, sur une base quelconque \(S\)[…], en partant d'un \(n\)-cocycle (au sens du gradué associé au \(K\)) \(Z \in \mathrm{CK}^{n}(X \times_S Y)\) : on obtient, si \(A_Y\) et \(A_X\) existent, (plus généralement, si \(A_Y\) existe

57et si on se donne un hom. de \(X\) dans un principal homog. schéma parabélien sous un schéma abélien \(A\)) un hom. \(A_Y \to A\), via un élément de \(\mathrm{CK}^{1}(A_Y, A^{*})\). ([Sur les] fibres par fibres [géom.], c'est donné par la construction déjà explicitée). « plus généralement » (feuillet 56) est lu sur une abréviation ; la parenthèse qu'il ouvre se ferme après « \(A\) ».

2. Application : l'algébricité de certains homomorphismes de VA ou d'espaces de cohomologie \(\ell\)-adique

titre de sa main, souligné, au milieu du feuillet 57.

Soit \(X\) projective lisse connexe sur \(k\) alg. clos, et soit \(\mathfrak{z}_1 \in Z_1^{(\mathrm{num})}(X)\), défini par \(Z_1 \in \mathrm{Cyc}_1(X)\).

Prop. 2.1. Soient \(X\), \(Y\) projectives lisses connexes sur \(k\), de dim. \(n\) resp. \(m\), et a \(Z_1 \in \mathrm{Cyc}_1(X \times Y)\). Alors il existe un homomorphisme unique \[u : B_X \longrightarrow A_Y , \qquad B_X = \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/k} ,\] satisfaisant la condition suivante : pour tout diviseur \(D\) sur \(X\), algébriquement équiv. à \(0\), tel que \({}^{t}Z(D) = \mathrm{pr}_{2*}((D \times Y) . Z)\) soit défini, on ait \(u(\mathrm{cl}(D)) = S_Y({}^{t}Z(D))\). Cet homomorphisme échanger le rôle de \(X\) et \(Y\) ? l'égalité \(B_X = \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/k}\) est écrite sous \(B_X\), reliée par un signe \(=\) vertical. Dans la formule de \({}^{t}Z(D)\) quelques caractères sont biffés ; l'énoncé écrit \(Z\) où l'hypothèse nomme \(Z_1\).

58est également caractérisé par la condition que le diagramme suivant soit commutatif

\begin{tikzcd}
  H^{1}(A_Y) \arrow[r, "u^{(1)}"] \arrow[d, "\varphi_Y^{(1)}"'] & H^{1}(B_X) \\
  H^{1}(Y) \arrow[r, "a(\gamma^{n+m-1}(\mathfrak{z}))"'] & H^{2n-1}(X)(n-1) \arrow[u, "\psi_X"']
\end{tikzcd}

à côté de la flèche verticale de gauche, il écrit « isom mod torsion ». L'exposant de \(\gamma\) est surchargé.

(où la cohomologie est à coefficients dans \(\mathbb{Z}_{\ell}\), \(\ell\) premier à la caractéristique). Enfin, \(u\) ne dépend que de la classe d'équivalence numérique \(\mathfrak{z}\) de \(Z\).

Démonstration. Considérons l'homomorphisme composé \(\psi_X \, a(\gamma(\mathfrak{z})) \, \varphi_X^{(1)}\). Il provient d'une classe de équivalence correspondance algébrique (indépendante de \(\ell\)), car les trois facteurs sont de ce type. En vertu de 1.7. il est de la forme \(u^{(1)}\), où \(u : B_X \to A_Y\) est un hom. de V.A. Il reste à prouver la formule \[u(\mathrm{cl}(D)) = S_Y({}^{t}Z(D))\] lorsque \({}^{t}Z(D)\) est défini (le fait que cette formule caractérise \(u\) est immédiat, car pour tout \(\xi \in \mathrm{Pic}^{0}(X)\), il y a un représentant \(D\) tel que \({}^{t}Z(D)\) soit défini). On va « \(\varphi_X^{(1)}\) » est bien écrit avec l'indice \(X\), là où le diagramme appelle \(\varphi_Y^{(1)}\). L'exposant de \(\mathrm{Pic}\) est surchargé, lu \(0\).

59d'abord construire un \(u : B_X \to A_Y\) ayant cette dernière vertu, indépendamment de considérations cohomologiques. Soit \(D\) un diviseur sur \(X \times B_X\) Notons d'abord qu'il suffit de faire le calcul avec les classes d'équivalence linéaire \(\mathfrak{z}\), \(d\) des cycles (ou même l'équivalence d'Albanese) — puisque si \(\mathfrak{A} \in \mathrm{Cyc}_0(Y)\) est lin. équiv. à \(0\), \(S_Y(\mathfrak{A})\) est nul. Donc on n'a pas besoin de se préoccuper de la question que les produits [de l'existence] des […], et se borner à regarder \(d \mapsto S_Y(\mathfrak{z}(d))\). Or le calcul des intersections prouve que, si \(\pi : Y \times X \times B_X \to Y \times B_X\) est la projection canonique, [et \(\Theta \in A^{1}(X \times B_X)\) l'élément canonique,] on a identiquement pour \[\mathfrak{z}(\Theta(b)) \simeq C(b)\] où \(C \in Z^{m}(Y \times B_X)\) est donné par \[C = \pi_{*}\bigl((1_Y \times \Theta) . (\mathfrak{z} \times 1_{B_X})\bigr)\] D'ailleurs, \(\mathfrak{z}(\Theta(0)) = 0\), donc \(\mathfrak{z}(\Theta(b)) = \mathfrak{z}(\Theta((b) - (0)))\). On applique donc 1.1. à \(C\) sur \(Y \times B_X\), pour obtenir \(u : A_{B_X} = B_X \to A_Y\), satisfaisant \[S_Y\bigl(C((b) - (0))\bigr) = u(b) \qquad \text{i.e.} \qquad S_Y(\mathfrak{z}(\Theta(b))) = u(b) .\] la phrase « D'ailleurs … » est faite de fragments interlinéaires, entre la formule de \(C\) et « On applique » ; devant la formule finale, un début biffé « \(u\,\mathfrak{z}(\Theta(b))\) ». Le mot illisible avant « et se borner » se termine en « -nions » ou « -ions ».

60le fait que cet \(u\) donne ce qu'il faut du point de vue cohomologique se déduit par exemple de 1.6. en suivant la construction précédente du point de vue cohomologique. Bien entendu, \(u\) dépend linéairement de \(\mathfrak{z}\), et si \(\mathfrak{z}\) est num. équiv. à \(0\), il en est de même de \(C\), donc de \(u\) en vertu de 1.1.

Variante de la démonstration. On cherche \(B_X \to A_Y \simeq B_Y^{*}\), i.e. une classe de corr. div. sur \(B_X \times B_Y\). On la construit en termes de \(\Theta_X \in A^{1}(X \times B_X)\), \(\Theta_Y \in A^{1}(Y \times B_Y)\), \(Z \in A^{n+m-1}(X \times Y)\), par le procédé […] […] considérant […] \(X \times B_X \times Y \times B_Y\) et en formant la classe \[\Theta_Y \circ Z \circ {}^{t}\Theta_X \quad \text{sur } B_X \times B_Y ,\] de correspondances …

Corollaire 2.2. Tout homomorphisme \(B_X \to A_Y\) est défini par un \(Z_1 \in \mathrm{Cyc}_1(X \times Y)\). le corollaire est barré de six traits obliques ; au-dessus de la ligne biffée « … \(X \times B_X \times Y \times B_Y\) … », il récrit « \(\Theta_X\) ». Le feuillet s'arrête là.