Cote n° 14, pages 1–20

Cote n° 14 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théorie des cycles algébriques : conjectures de Hodge, Tate, Lefschetz, Weil : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

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Structure d'effectivité

le titre est de sa main, souligné, sur un feuillet de couverture (feuillet 1) laissé par ailleurs blanc ; au-dessus, dans un cadre, un titre biffé de traits diagonaux : « Les éléments de structure motiviques et leur interprétation en termes de groupes algébriques sur \(\mathbb{Q}\) »

2Structure ce mot est en tête du feuillet, de sa main

4°) La donnée d'une sous-catégorie strict. pleine de \(\mathcal{M}\) (motifs effectifs), stable par \(\otimes\), par sommes, par […] sous-[…]objets, telle que \(\Lambda(-1)\) soit effectif et que pour tout \(E\), \(\exists\) entier \(n\) tel que \(E(-n) = E \otimes \Lambda(-1)^{\otimes n}\) soit « effectif ». « strict. pleine » et « \(\Lambda(-1)\) soit effectif et que » sont interlinéaires ; devant \(\Lambda(-1)\), un petit mot (« où » ?)

Une telle structure sur \(G_{\mathbb{Q}}\) en définit une analogue sur \(G_{\mathbb{C}}\), et réciproquement ; donc une telle donnée de structure peut être considérée comme équivalente […] partie de […] \(X^{+} \subset K(G)\) […] à la donnée d'un cône cône \(K^{+}(G_{\mathbb{C}})\) \(K^{+}(G)\) l'ensemble […] contenu de \(G_{\mathbb{C}}\) (\(X^{+} + X^{+} \subset X^{+}\)) stable par produit, tel que pour tout dans l'anneau des car. virt./\(\mathbb{Q}\) \(K(G)\), contenant \(0\), \(E\) stable par multiplication, et engendré par les éléments de la base canonique (classes de rep. irréd. sur \(\mathbb{Q}\)) qu'il contient. À priori, ça semble ici une donnée de structure faisant intervenir la structure sur \(\mathbb{Q}\). Il y a lieu de prévoir d'autres axiomes. Par exemple, […] on voudra que pour \(H\) […] \(E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{+}\), \(E\) soit à graduations positives. « l'anneau des car. virt./\(\mathbb{Q}\) » est interlinéaire ; le passage biffé mêle plusieurs rédactions successives, raturées l'une sur l'autre ; la note marginale « engendré par… » est reliée par un trait au « et » qui la précède

Axiome. Pour tout […] entier \(i\), il n'y a qu'un nombre fini de types de motifs effectifs de poids \(i\) […] (?!). En fait […] motifs effectifs […] tels que \(G^{\circ}\) […]. encadré à droite, d'une écriture plus petite et plus rapide ; la fin n'est pas lue

De plus on voudra que la structure envisagée provienne d'une structure de même type donnée sur \(G^{\circ}\), […] […]. note marginale oblique, en bas à gauche ; « même » est écrit comme un signe \(=\)

Un […] \(G_{m,\mathbb{C}} \xrightarrow{\ i\ } G_{\mathbb{C}}\) sera dit positif effectif si pour tout \(E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{+}\), la graduation correspondante de \(E_{\mathbb{C}}\) est à

4degrés positifs. On voit que si \(i\) est effectif, il en est de même de ses conjugués par éléments de \(G(\mathbb{C})\), et de son conjugué par l'automorphisme […] de \(\mathbb{C}\), […] \(\bar{i}\). D'autre part, pour \(i\) donné, la sous-catégorie pleine \(\mathrm{Pl}(i)\) de \(\mathcal{M}\) formée des \(E\) tels que \(E_{\mathbb{C}}\) soit à \(i\)-graduation positive est strict. pleine, stable par \(\otimes\), sommes, par […], sous-objets, par \(\otimes\), contient \(0\), et \(\Lambda(-1)\) si on suppose que \(\varepsilon i(\lambda) = \lambda^{p}\) avec \(p\) \(\langle i, \varepsilon \rangle \geq 0\), et vérifie la condition que \(\forall E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}\), \(\exists n\) tel que \(E(n) \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Pl}(i)\), si on suppose \[\boxed{\langle i, \varepsilon \rangle > 0}\] [N.B. on désigne par \(\langle i, \varepsilon \rangle\) l'entier \(\nu\) tel que \(\varepsilon(i(\lambda)) = \lambda^{\nu}\)]. au-dessus des deux \(\langle i, \varepsilon \rangle\) de ce passage, de sa main : « \(\varepsilon(i)\) » ; le premier \(\langle i, \varepsilon \rangle\) est en partie surchargé

Prenant des intersections si le groupe […] engendré par […] et les conjugués \(\mathrm{int}(g) \circ i\) […] les conjugués \(T_{i}\) (\(g \in G(\mathbb{C})\)), \(i\) […] de sous-catégories \(\mathrm{P}(i)\), on trouve des \(\mathcal{M}^{+}\) satisfaisant aux axiomes considérés, dont peut être […] […] sur la graduation […]. Par intersection de tels foncteurs, etc.… la dernière phrase est interlinéaire

Les \(i\) possibles, \(\mathcal{M}^{+}\) étant donné,

6[…] \(\mathcal{M}^{+} \subset \mathrm{Pl}(i)\), forment correspondent à certaines classes de conjugaison d'hom.

Si \(T\) est un tore maximal de \(G\), et \(\Gamma = \mathrm{Hom}(G_{m,\mathbb{C}}, T_{\mathbb{C}})\), \(W = (\mathrm{Norm}(T)/T)(\mathbb{C})\), \(W' = (\mathrm{Aut}(G, T)/T)(\mathbb{C})\), on sait que \(W \subset W'\), \(W'/W = \mathrm{Autext}(G)(\mathbb{C})\), \(W'\) opère sur \(\Gamma\), et on obtient un cône […] \(\Gamma^{+}\) de \(\Gamma\), invariant par \(W\) (mais peut-être pas par \(W'\) !), contenant \(0\), contenu dans l'hyperplan \(\varepsilon \geq 0\), un cône itou un cône correspondant dans le « quotient » \(\Gamma' = \Gamma/W\). Or \[\Gamma' = \Gamma/W = \bigl[\mathrm{Hom}(G_{m}, T)/(\mathrm{Norm}_{G}(T)/T)\bigr](\mathbb{C}) = \bigl[\mathrm{Hom}(G_{m}, G)/G\bigr](\mathbb{C})\] est formé des pts à val. ds \(\mathbb{C}\) d'un schéma […] \(S\) […] sur \(\mathbb{Q}\), et à ce titre le groupe fondamental \(\pi_{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{C})\) opère sur […] \(\Gamma = S(\mathbb{C}) = S(\bar{\mathbb{Q}})\), d'ailleurs via un quotient fini de \(\pi_{1}\). Ceci posé, le cône envisagé contient est stable par \(\pi_{1}\). \(\mathrm{Aut}\), \(\mathrm{Autext}\) et \(\mathrm{Hom}\) sont soulignés par lui (foncteurs en groupes) ; au-dessus de la première égalité, les mots « une partie » ; dans la dernière égalité il écrit \(\Gamma\), sans prime

8À tout « cône » stable

Si nous nous intéressons aux structures d'effectivité qui peuvent se définir par en termes d'[…] une famille de \(i\) (comme intersection des \(\mathrm{P}(i)\)), […] la donnée d'une telle structure équivaut à celle d'un « cône » dans \(\Gamma'\), invariant par \(\pi_{1}\), contenu « strictement » dans celui défini par \(\varepsilon\), contenant la classe de \(i\), satisfaisant à une condition de […] saturation que nous ne préciserons pas ici (condition automatiquement satisfaite ?). !!! i.e. \(\varepsilon\) est intérieur au cône polaire ! « qui peuvent se » et « strictement » sont interlinéaires ; la note marginale est en face de « strictement »

Le cas le plus intéressant est celui où \(\mathcal{M}^{+}\) \(\otimes\) est défini comme \(\mathrm{Pl}(i)\), où \(i\) est comme dans 3°. ([…]) [N.B., le cône invariant engendré contient bien \(j\), et est contenu dans le ½-espace défini par \(\varepsilon\), vu […], \(\varepsilon i_{1} = \mathrm{id}\)]. On trouve ainsi une application \[I(G) \longrightarrow \mathrm{Eff}(G)\] devant \(\mathrm{Eff}(G)\), quelques lettres biffées ; « N.B. » est écrit au-dessus du passage biffé

10notant que en particulier, tenant compte de 3°, \[I^{*}(G) \longrightarrow \mathrm{Pol}(G) \times \mathrm{Eff}(G)\] les \(i : G_{m,\mathbb{C}} \to G_{\mathbb{C}}\) définissant une polarisation, modulo action de \(G(\mathbb{R})\)… cette glose de \(I^{*}(G)\) est interlinéaire, sous la formule

Questions. Cette dernière application, ou \(I(G) \to \mathrm{Eff}(G)\), injective ?

Les structures \(\in \mathrm{Eff}(G)\) provenant de la théorie des motifs peuvent-elles toujours se décrire par un \(i\), i.e. sont-elles dans \(\mathrm{Im}\, I(G)\) ?

(Regarder […] en tordant par un torseur). Examiner aussi, pour ces questions et celles posées dans 3°, le cas où \(G\) est […] de structures provenant d'un motif sur […] associé à un \(\xi \in S(\mathbb{Q})\), en utilisant le foncteur de De Rham… ?] un trait vertical relie en marge ce paragraphe à la note N.B. ci-dessous

N.B. Le fait que la structure d'effectivité puisse se décrire par un élément de \(I(G)\) (ou \(I^{*}(G)\)) est une propriété intrinsèque de la catégorie de motifs \(\mathcal{M}\), indép. des foncteurs qu'on utilise. note marginale à gauche, précédée de deux points d'exclamation

Regarder \(G\) commutatif ! \(G = \mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}, \mathbb{Q})\) !

Des propriétés arithmétiques plus profondes pourraient être sans doute formulées par l'introduction de l'idée de filtrations et l'interprétation des structures 3° et 4° en termes de […] ces derniers.

12Considérons un point \(\xi \in S(k)\), (\(k\) corps de car. \(0\)), il définit un foncteur fibre \(H^{**}_{\xi}\) (Hodge) et \(H^{*}_{\xi}\) (De Rham) : à valeurs dans la catégorie des vectoriels sur \(k\). ces trois lignes sont barrées de grands traits en V ; « \(k\) corps de car. \(0\) » est interlinéaire

Cas d'un tore \(T\) sur \(\mathbb{Q}\). « tore » est souligné

Défini par un \(\pi\)-module admissible, libre de t.f. sur \(\mathbb{Z}\), soit \(M\), (\(\pi = \pi_{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{C})\)).

On aura \(\varepsilon \in M^{\pi}\), \(i \in \check{M}^{\pi}\), \(\langle i, \varepsilon \rangle = 2\).

Les modules sur \(T\) correspondent aux éléments invariants par \(\pi\) de \(\mathbb{Z}(M)^{+}\) (combinaisons lin. à coeff. \(\geq 0\)).

Donnons nous \(\varepsilon\) […] La donnée d'une structure de polarisation […] ne dépend que du tore réel \(T_{\mathbb{R}}\). Ce dernier est de la forme \(T_{\mathbb{R}} \simeq U \times S\) ext. d'un \(S\) split par \(U\) compact, i.e. \(U(\mathbb{R})\) compact, \(S\) split, et \(\varepsilon\) est nécessairement nul sur \(U\). Donc on est ramené à \(S\), et il s'agit des structures \(\varepsilon_{S}\) et \(i_{S}\) sur \(S\), et évidemment \(S\) hérite de structure de positivité. J'affirme qu'on doit avoir \(\dim S = 1\), en d'autres termes, que \(\operatorname{Ker} \varepsilon\) est compact. « polarisation », « ext. d'un \(S\) split par » et « i.e. \(U(\mathbb{R})\) compact » sont interlinéaires ; « J'affirme qu'on doit avoir » est ajouté sous la ligne, devant « \(\dim S = 1\) »

En effet, si on avait \(\dim S \geq 2\), on pourrait […] (éliminant par […] un […] de \(\operatorname{Ker} \varepsilon\)) trouver […] […] de dimension […] […] \(S = G_{m,\mathbb{R}} \times G_{m,\mathbb{R}}\), avec \(i(\lambda) = (\lambda^{\beta}, \lambda^{\alpha})\), \(\varepsilon(\lambda, \mu) = \mu^{\beta}\), \(\alpha, \beta\) entiers \(\geq 1\), \(\alpha\beta = 2\) (donc \(\alpha = 1\), \(\beta = 2\), ou \(\alpha = 2\), \(\beta = 1\)). tout ce passage est barré de deux grands traits obliques ; lecture partielle. Les exposants de \(i(\lambda)\) et de \(\varepsilon(\lambda,\mu)\) sont douteux ; dans la parenthèse finale, « \(\alpha = 1\) » est lui-même biffé

14Détermination du groupe des relations rationnelles sur \(\mathbb{Q}\)

\(T_{\mathbb{C}} = D_{\mathbb{C}}(M)\), \(M\) réseau où \(\pi_{1}\) opère (\(\pi_{1} = \pi_{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{C})\)), via un groupe quotient fini \(\pi\) opérant fidèlement.

\(\mathbb{Z}(M)\) anneau des caractères virtuels de \(T_{\mathbb{C}}\), \(\pi\) y opère.

\(K(T) = \mathbb{Z}(M)^{\pi}\) Anneau de type fini sur \(\mathbb{Z}\).

[N.B. \(\mathbb{Z}(M)\) est l'anneau affine de \(S = D_{\mathbb{Z}}(M)\), sur lequel \(\pi\) opère par automorphismes de groupe. \(K(T)\) est l'anneau affine de \(D_{\mathbb{Z}}(M)/\pi\)]. Les caractères effectifs sont ceux qui prennent des valeurs \(\geq 0\) sur les points de \(S(\mathbb{R})^{\circ}\) ?? Comment définir une structure d'effectivité intrinsèque ? \(\lambda_{1}^{u_{1}} \lambda_{2}^{u_{2}} \cdots \lambda_{r}^{u_{r}}\) « via un groupe quotient fini \(\pi\) opérant fidèlement » et « virtuels » sont interlinéaires ; la formule marginale est à gauche, en face de « définir » ; devant \(D_{\mathbb{Z}}(M)\), un \(\mathbb{Z}\) biffé

Le procédé standard est de se fixer un \(i_{1}^{*} : M \to \mathbb{Z}\), i.e. un \(i_{1} : G_{m,\mathbb{C}} \to T_{\mathbb{C}}\) […] les propriétés habituelles, et donnant donc \[\mathbb{Z}(M) \to \mathbb{Z}(\mathbb{Z}) \quad \text{d'où} \quad G_{m,\mathbb{Z}} \xrightarrow{\ \alpha\ } S\] (pas compatible avec \(\pi\)….). La condition est, […] pour un \(\chi \in K(T) \simeq \mathbb{Z}(S)^{\pi}\), que \(\chi \circ \alpha \simeq\) […] anneau affine de \(G_{m,\mathbb{Z}}\) soit une fonction polynômiale, i.e. restant finie sur \(G_{m,\mathbb{Z}}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{*}\) pour \(t \to 0\).

Considérons les caractères de motifs effectifs de poids donné \(\rho\), […] possible […] qu'il n'y en a qu'un nombre fini. Comme […] […] […] […] quand on passe de \(\mathbb{Q}\) par \(\mathbb{R}\), Alors on […] si \(T\) est de dim \(\geq 3\), la condition de finitude correspondante est fausse. « fausse » est souligné ; la fin du feuillet est serrée et la lecture du dernier paragraphe est très incertaine

Équivalence d'Albanese et de Picard des cycles algébriques

titre de sa main, en haut à droite d'un feuillet de couverture (feuillet 16) laissé par ailleurs blanc ; le feuillet 17 est blanc

18E une grande lettre « E », d'une encre plus forte, en tête du feuillet

\(A\) courbe elliptique.

\(Y = A \times P\), \(P\) courbe non sing. complète conn. l'exposant de \(P\) est surchargé (un « 1 » effacé ?), de même dans \(\Theta_{0} \times P\) ci-dessous, où un petit \(p\) est écrit sous le \(P\)

\(\Theta_{0} = \Delta - A \times (0) - (0) \times A\) […] diviseur correspondant sur \(A \times A\) définissant l'autodualité.

\(\Theta = \Theta_{0} \times P\) diviseur correspondant sur \(A \times A \times P = A \times Y\).

\(c\), classe de diviseur sur \(Y\), défini par un fibré faisceau inv. \(L\) comme (\(c = \mathrm{cl}(L)\)).

\(X = \overline{V(L)}\) (clôture projective). \(Y^{2} \xrightarrow{\ i\ } X^{3}\) section nulle.

Le cycle \(\Theta\) sur \(A \times Y\) définit \[z = (\mathrm{id}_{A} \times i)_{*}(\Theta)\] cycle de codim \(2\) sur \(A \times X^{3}\). On va calculer, si \(s : A \times X^{3} \to A\) est la projection, \(s_{*}(z^{2})\), et on va démontrer […] des deux […] […] \(c\) […] \(> 0\), […] \(< 0\). « \(c = \mathrm{cl}(L)\) » est interlinéaire ; les exposants de \(Y^{2}\) et \(X^{3}\) marquent les dimensions ; la fin de la phrase sur \(s_{*}(z^{2})\) n'est pas lue

Pour cela, notons que si \(i' = \mathrm{id}_{A} \times i\), \[z^{2} = i'_{*}(\Theta)^{2} = i'_{*}(\Theta^{2} c')\] où \(c' = i'^{*} i'_{*}(1) = c^{1}\) (faisceau normal par \(i'\)) \(= 1_{A} \times c\), \(c\) étant le faisceau normal par \(i : Y \to X\).

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  A \times Y \arrow[dr, "t"'] & A \times X \arrow[l, "i'"'] \arrow[d, "s"] \\
  & A
\end{tikzcd}

diagramme en marge gauche ; la flèche \(i'\) est dessinée vers \(A \times Y\), bien que le texte pose \(i' = \mathrm{id}_{A} \times i\) de \(A \times Y\) dans \(A \times X\)

20D'où \(s_{*}(z^{2}) = t_{*}(\Theta^{2} c')\), où \(t : A \times Y \to A\) est la projection. […] […], […] […] : \[K(z^{2}) = K(\Theta^{2} c') = K(\Theta^{2} \cdot 1_{A} \times c) = K(p_{*}(\Theta^{2}) \cdot c)\] où \(p\) est la projection \(A \times Y \to Y\). la lettre notée \(K\) est lue sous réserve ; devant \(K(z^{2})\) une lettre surchargée ; en marge gauche, la flèche verticale \(t : A \times Y \to A\)

Nous allons calculer \(p_{*}(\Theta^{2})\), en remarquant que \(p = p' \times \mathrm{id}_{P}\), où \(p' : A \times A \to A\) est la deuxième projection.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[row sep=small]
  A \times Y \arrow[r, "p"] & Y \\
  \parallel & \\
  A \times A \times P \arrow[r] & A \times P
\end{tikzcd}

\[\Theta = \Theta_{0} \times 1_{P} \quad \text{d'où} \quad \Theta^{2} = \Theta_{0}^{2} \times 1_{P} \quad \text{d'où}\] \[p_{*}(\Theta^{2}) = p'_{*}(\Theta_{0}^{2}) \times \mathrm{id}_{P*}(1_{P}) = p'_{*}(\Theta_{0}^{2}) \times 1_{P} .\] D'autre part on a \[\Theta_{0}^{2} = \Delta^{2} + 0 + 0 - 2(0,0) - 2(0,0) + 2(0,0) = -2(0,0)\] compte tenu que \(\Delta^{2} = 0\) (équiv. alg.) puisque \(\chi(A) = 0\). « (équiv. alg.) » est interlinéaire

D'où \[p_{*}(\Theta^{2}) = -2(0 \times 0 \times P)\] et on trouve finalement \[K(s_{*}(z^{2})) = -2\, c(0,0)\] si on pose \(c(0,0) = K(c \cdot (0 \times 0 \times P))\).

Il existe un \(c\) tel que \(c(0,0) = 1\), p. ex. \(c = A \times A \times (a)\), où \(a \in P(k)\). Donc remplaçant \(c\) par \(-c\), on trouve comme classes numériquement \(-2\) et \(2\), qui ont des signes différents !!