Fonds Grothendieck, cote n° 14, pages 1–20

Structure d'effectivité

le titre est de sa main, souligné, sur un feuillet de couverture (feuillet 1) laissé par ailleurs blanc ; au-dessus, dans un cadre, un titre biffé de traits diagonaux : « Les éléments de structure motiviques et leur interprétation en termes de groupes algébriques sur \mathbb{Q} »

Structure ce mot est en tête du feuillet, de sa main

4°) La donnée d'une sous-catégorie strict. pleine de \mathcal{M} (motifs effectifs), stable par \otimes, par sommes, par sous-objets, telle que \Lambda(-1) soit effectif et que pour tout E, \exists entier n tel que E(-n) = E \otimes \Lambda(-1)^{\otimes n} soit « effectif ». « strict. pleine » et « \Lambda(-1) soit effectif et que » sont interlinéaires ; devant \Lambda(-1), un petit mot (« où » ?)

Une telle structure sur G_{\mathbb{Q}} en définit une analogue sur G_{\mathbb{C}}, et réciproquement ; donc une telle donnée de structure peut être considérée comme équivalente ~~partie de X^{+} \subset K(G)~~ à la donnée d'un ~~cône~~ cône K^{+}(G_{\mathbb{C}}) ~~K^{+}(G)~~ ~~l'ensemble contenu de G_{\mathbb{C}}~~ ~~(X^{+} + X^{+} \subset X^{+})~~ ~~stable par produit, tel que pour tout~~ dans l'anneau des car. virt./\mathbb{Q} K(G), contenant 0, E stable par multiplication, et engendré par les éléments de la base canonique (classes de rep. irréd. sur \mathbb{Q}) qu'il contient. À priori, ça semble ici une donnée de structure faisant intervenir la structure sur \mathbb{Q}. Il y a lieu de prévoir d'autres axiomes. Par exemple, on voudra que pour H E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{+}, E soit à graduations positives. « l'anneau des car. virt./\mathbb{Q} » est interlinéaire ; le passage biffé mêle plusieurs rédactions successives, raturées l'une sur l'autre ; la note marginale « engendré par… » est reliée par un trait au « et » qui la précède

Axiome. Pour tout entier i, il n'y a qu'un nombre fini de types de motifs effectifs de poids i (?!). En fait motifs effectifs tels que G^{\circ} . encadré à droite, d'une écriture plus petite et plus rapide ; la fin n'est pas lue

De plus on voudra que la structure envisagée provienne d'une structure de même type donnée sur G^{\circ}, . note marginale oblique, en bas à gauche ; « même » est écrit comme un signe =

Un G_{m,\mathbb{C}} \xrightarrow{\ i\ } G_{\mathbb{C}} sera dit ~~positif~~ effectif si pour tout E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{+}, la graduation correspondante de E_{\mathbb{C}} est à

degrés positifs. On voit que si i est effectif, il en est de même de ses conjugués par éléments de G(\mathbb{C}), et de son conjugué par l'automorphisme de \mathbb{C}, \bar{i}. D'autre part, pour i donné, la sous-catégorie pleine \mathrm{Pl}(i) de \mathcal{M} formée des E tels que E_{\mathbb{C}} soit à i-graduation positive est strict. pleine, stable par \otimes, sommes, par , sous-objets, par \otimes, contient 0, et \Lambda(-1) si on suppose que ~~\varepsilon i(\lambda) = \lambda^{p} avec p~~ \langle i, \varepsilon \rangle \geq 0, et vérifie la condition que \forall E \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}, \exists n tel que E(n) \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Pl}(i), si on suppose \boxed{\langle i, \varepsilon \rangle > 0} [N.B. on désigne par \langle i, \varepsilon \rangle l'entier \nu tel que \varepsilon(i(\lambda)) = \lambda^{\nu}]. au-dessus des deux \langle i, \varepsilon \rangle de ce passage, de sa main : « \varepsilon(i) » ; le premier \langle i, \varepsilon \rangle est en partie surchargé

Prenant des intersections ~~si le groupe engendré par et les conjugués~~ ~~\mathrm{int}(g) \circ i les conjugués T_{i} (g \in G(\mathbb{C})), i~~ de sous-catégories \mathrm{P}(i), on trouve des \mathcal{M}^{+} satisfaisant aux axiomes considérés, dont peut être sur la graduation . Par intersection de tels foncteurs, etc.… la dernière phrase est interlinéaire

Les i possibles, \mathcal{M}^{+} étant donné,

\mathcal{M}^{+} \subset \mathrm{Pl}(i), ~~forment~~ correspondent à certaines classes de conjugaison d'hom.

Si T est un tore maximal de G, et \Gamma = \mathrm{Hom}(G_{m,\mathbb{C}}, T_{\mathbb{C}}), W = (\mathrm{Norm}(T)/T)(\mathbb{C}), W' = (\mathrm{Aut}(G, T)/T)(\mathbb{C}), on sait que W \subset W', W'/W = \mathrm{Autext}(G)(\mathbb{C}), W' opère sur \Gamma, et on obtient un cône \Gamma^{+} de \Gamma, invariant par W (mais peut-être pas par W' !), contenant 0, contenu dans l'hyperplan \varepsilon \geq 0, ~~un cône itou~~ un cône correspondant dans le « quotient » \Gamma' = \Gamma/W. Or \Gamma' = \Gamma/W = \bigl[\mathrm{Hom}(G_{m}, T)/(\mathrm{Norm}_{G}(T)/T)\bigr](\mathbb{C}) = \bigl[\mathrm{Hom}(G_{m}, G)/G\bigr](\mathbb{C}) est formé des pts ~~à val. ds~~ \mathbb{C} d'un schéma S sur \mathbb{Q}, et à ce titre le groupe fondamental \pi_{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{C}) opère sur \Gamma = S(\mathbb{C}) = S(\bar{\mathbb{Q}}), d'ailleurs via un quotient fini de \pi_{1}. Ceci posé, le cône envisagé ~~contient~~ est stable par \pi_{1}. \mathrm{Aut}, \mathrm{Autext} et \mathrm{Hom} sont soulignés par lui (foncteurs en groupes) ; au-dessus de la première égalité, les mots « une partie » ; dans la dernière égalité il écrit \Gamma, sans prime

~~À tout « cône » stable~~

Si nous nous intéressons aux structures d'effectivité qui peuvent se définir ~~par~~ en termes d' une famille de i (comme intersection des \mathrm{P}(i)), la donnée d'une telle structure équivaut à celle d'un « cône » dans \Gamma', invariant par \pi_{1}, contenu « strictement » dans celui défini par \varepsilon, contenant la classe de i, satisfaisant à une condition de saturation que nous ne préciserons pas ici (condition automatiquement satisfaite ?). !!! i.e. \varepsilon est intérieur au cône polaire ! « qui peuvent se » et « strictement » sont interlinéaires ; la note marginale est en face de « strictement »

Le cas le plus intéressant est celui où \mathcal{M}^{+} ~~\otimes~~ est défini comme \mathrm{Pl}(i), où i est comme dans 3°. () [N.B., le cône invariant engendré contient bien j, et est contenu dans le ½-espace défini par \varepsilon, vu , \varepsilon i_{1} = \mathrm{id}]. On trouve ainsi une application I(G) \longrightarrow \mathrm{Eff}(G) devant \mathrm{Eff}(G), quelques lettres biffées ; « N.B. » est écrit au-dessus du passage biffé

~~notant que~~ en particulier, tenant compte de 3°, I^{*}(G) \longrightarrow \mathrm{Pol}(G) \times \mathrm{Eff}(G) les i : G_{m,\mathbb{C}} \to G_{\mathbb{C}} définissant une polarisation, modulo action de G(\mathbb{R})… cette glose de I^{*}(G) est interlinéaire, sous la formule

Questions. Cette dernière application, ou I(G) \to \mathrm{Eff}(G), injective ?

Les structures \in \mathrm{Eff}(G) provenant de la théorie des motifs peuvent-elles toujours se décrire par un i, i.e. sont-elles dans \mathrm{Im}\, I(G) ?

(Regarder en tordant par un torseur). Examiner aussi, pour ces questions et celles posées dans 3°, le cas où G est de structures provenant d'un motif sur associé à un \xi \in S(\mathbb{Q}), en utilisant le foncteur de De Rham… ?] un trait vertical relie en marge ce paragraphe à la note N.B. ci-dessous

N.B. Le fait que la structure d'effectivité puisse se décrire par un élément de I(G) (ou I^{*}(G)) est une propriété intrinsèque de la catégorie de motifs \mathcal{M}, indép. des foncteurs qu'on utilise. note marginale à gauche, précédée de deux points d'exclamation

Regarder G commutatif ! G = \mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}, \mathbb{Q}) !

Des propriétés arithmétiques plus profondes pourraient être sans doute formulées par l'introduction de l'idée de filtrations et l'interprétation des structures 3° et 4° en termes de ces derniers.

~~Considérons un point \xi \in S(k), (k corps de car. 0), il définit un foncteur fibre~~ ~~H^{**}_{\xi} (Hodge) et H^{*}_{\xi} (De Rham) : à valeurs dans la catégorie des vectoriels sur k.~~ ces trois lignes sont barrées de grands traits en V ; « k corps de car. 0 » est interlinéaire

Cas d'un tore T sur \mathbb{Q}. « tore » est souligné

Défini par un \pi-module admissible, libre de t.f. sur \mathbb{Z}, soit M, (\pi = \pi_{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{C})).

On aura \varepsilon \in M^{\pi}, i \in \check{M}^{\pi}, \langle i, \varepsilon \rangle = 2.

Les modules sur T correspondent aux éléments invariants par \pi de \mathbb{Z}(M)^{+} (combinaisons lin. à coeff. \geq 0).

~~Donnons nous \varepsilon~~ La donnée d'une structure de polarisation ne dépend que du tore réel T_{\mathbb{R}}. Ce dernier est de la forme ~~T_{\mathbb{R}} \simeq U \times S~~ ext. d'un S split par U compact, i.e. U(\mathbb{R}) compact, ~~S split~~, et \varepsilon est nécessairement nul sur U. Donc on est ramené à S, et il s'agit des structures \varepsilon_{S} et i_{S} sur S, et évidemment S hérite de structure de positivité. J'affirme qu'on doit avoir \dim S = 1, en d'autres termes, que \operatorname{Ker} \varepsilon est compact. « polarisation », « ext. d'un S split par » et « i.e. U(\mathbb{R}) compact » sont interlinéaires ; « J'affirme qu'on doit avoir » est ajouté sous la ligne, devant « \dim S = 1 »

~~En effet, si on avait \dim S \geq 2, on pourrait (éliminant par un de \operatorname{Ker} \varepsilon)~~ ~~trouver de dimension~~ ~~S = G_{m,\mathbb{R}} \times G_{m,\mathbb{R}}, avec i(\lambda) = (\lambda^{\beta}, \lambda^{\alpha}), \varepsilon(\lambda, \mu) = \mu^{\beta},~~ ~~\alpha, \beta entiers \geq 1, \alpha\beta = 2 (donc \alpha = 1, \beta = 2, ou \alpha = 2, \beta = 1).~~ tout ce passage est barré de deux grands traits obliques ; lecture partielle. Les exposants de i(\lambda) et de \varepsilon(\lambda,\mu) sont douteux ; dans la parenthèse finale, « \alpha = 1 » est lui-même biffé

Détermination du groupe des relations rationnelles sur \mathbb{Q}

T_{\mathbb{C}} = D_{\mathbb{C}}(M), M réseau où \pi_{1} opère (\pi_{1} = \pi_{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{C})), via un groupe quotient fini \pi opérant fidèlement.

\mathbb{Z}(M) anneau des caractères virtuels de T_{\mathbb{C}}, \pi y opère.

K(T) = \mathbb{Z}(M)^{\pi} Anneau de type fini sur \mathbb{Z}.

[N.B. \mathbb{Z}(M) est l'anneau affine de S = D_{\mathbb{Z}}(M), sur lequel \pi opère par automorphismes de groupe. K(T) est l'anneau affine de D_{\mathbb{Z}}(M)/\pi]. Les caractères effectifs sont ceux qui prennent des valeurs \geq 0 sur les points de S(\mathbb{R})^{\circ} ?? Comment définir une structure d'effectivité intrinsèque ? \lambda_{1}^{u_{1}} \lambda_{2}^{u_{2}} \cdots \lambda_{r}^{u_{r}} « via un groupe quotient fini \pi opérant fidèlement » et « virtuels » sont interlinéaires ; la formule marginale est à gauche, en face de « définir » ; devant D_{\mathbb{Z}}(M), un \mathbb{Z} biffé

Le procédé standard est de se fixer un i_{1}^{*} : M \to \mathbb{Z}, i.e. un i_{1} : G_{m,\mathbb{C}} \to T_{\mathbb{C}} les propriétés habituelles, et donnant donc \mathbb{Z}(M) \to \mathbb{Z}(\mathbb{Z}) \quad \text{d'où} \quad G_{m,\mathbb{Z}} \xrightarrow{\ \alpha\ } S (pas compatible avec \pi….). La condition est, pour un \chi \in K(T) \simeq \mathbb{Z}(S)^{\pi}, que \chi \circ \alpha \simeq anneau affine de G_{m,\mathbb{Z}} soit une fonction polynômiale, i.e. restant finie sur G_{m,\mathbb{Z}}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{*} pour t \to 0.

Considérons les caractères de motifs effectifs de poids donné \rho, possible qu'il n'y en a qu'un nombre fini. Comme quand on passe de \mathbb{Q} par \mathbb{R}, ~~Alors~~ on si T est de dim \geq 3, la condition de finitude correspondante est fausse. « fausse » est souligné ; la fin du feuillet est serrée et la lecture du dernier paragraphe est très incertaine

Équivalence d'Albanese et de Picard des cycles algébriques

titre de sa main, en haut à droite d'un feuillet de couverture (feuillet 16) laissé par ailleurs blanc ; le feuillet 17 est blanc

E une grande lettre « E », d'une encre plus forte, en tête du feuillet

A courbe elliptique.

Y = A \times P, P courbe non sing. complète conn. l'exposant de P est surchargé (un « 1 » effacé ?), de même dans \Theta_{0} \times P ci-dessous, où un petit p est écrit sous le P

\Theta_{0} = \Delta - A \times (0) - (0) \times A diviseur correspondant sur A \times A définissant l'autodualité.

\Theta = \Theta_{0} \times P diviseur ~~correspondant~~ sur A \times A \times P = A \times Y.

c, classe de diviseur sur Y, défini par un ~~fibré~~ faisceau inv. L comme (c = \mathrm{cl}(L)).

X = \overline{V(L)} (clôture projective). Y^{2} \xrightarrow{\ i\ } X^{3} section nulle.

Le cycle \Theta sur A \times Y définit z = (\mathrm{id}_{A} \times i)_{*}(\Theta) cycle de codim 2 sur A \times X^{3}. On va calculer, si s : A \times X^{3} \to A est la projection, s_{*}(z^{2}), et on va démontrer des deux c > 0, < 0. « c = \mathrm{cl}(L) » est interlinéaire ; les exposants de Y^{2} et X^{3} marquent les dimensions ; la fin de la phrase sur s_{*}(z^{2}) n'est pas lue

Pour cela, notons que si i' = \mathrm{id}_{A} \times i, z^{2} = i'_{*}(\Theta)^{2} = i'_{*}(\Theta^{2} c') où c' = i'^{*} i'_{*}(1) = c^{1} (faisceau normal par i') = 1_{A} \times c, c étant le faisceau normal par i : Y \to X.

\begin{tikzcd} A \times Y \arrow[dr, "t"'] & A \times X \arrow[l, "i'"'] \arrow[d, "s"] \\ & A \end{tikzcd}

diagramme en marge gauche ; la flèche i' est dessinée vers A \times Y, bien que le texte pose i' = \mathrm{id}_{A} \times i de A \times Y dans A \times X

D'où s_{*}(z^{2}) = t_{*}(\Theta^{2} c'), où t : A \times Y \to A est la projection. , : K(z^{2}) = K(\Theta^{2} c') = K(\Theta^{2} \cdot 1_{A} \times c) = K(p_{*}(\Theta^{2}) \cdot c) où p est la projection A \times Y \to Y. la lettre notée K est lue sous réserve ; devant K(z^{2}) une lettre surchargée ; en marge gauche, la flèche verticale t : A \times Y \to A

Nous allons calculer p_{*}(\Theta^{2}), en remarquant que p = p' \times \mathrm{id}_{P}, où p' : A \times A \to A est la deuxième projection.

\begin{tikzcd}[row sep=small] A \times Y \arrow[r, "p"] & Y \\ \parallel & \\ A \times A \times P \arrow[r] & A \times P \end{tikzcd}

\Theta = \Theta_{0} \times 1_{P} \quad \text{d'où} \quad \Theta^{2} = \Theta_{0}^{2} \times 1_{P} \quad \text{d'où} p_{*}(\Theta^{2}) = p'_{*}(\Theta_{0}^{2}) \times \mathrm{id}_{P*}(1_{P}) = p'_{*}(\Theta_{0}^{2}) \times 1_{P} . D'autre part on a \Theta_{0}^{2} = \Delta^{2} + 0 + 0 - 2(0,0) - 2(0,0) + 2(0,0) = -2(0,0) compte tenu que \Delta^{2} = 0 (équiv. alg.) puisque \chi(A) = 0. « (équiv. alg.) » est interlinéaire

D'où p_{*}(\Theta^{2}) = -2(0 \times 0 \times P) et on trouve finalement K(s_{*}(z^{2})) = -2\, c(0,0) si on pose c(0,0) = K(c \cdot (0 \times 0 \times P)).

Il existe un c tel que c(0,0) = 1, p. ex. c = A \times A \times (a), où a \in P(k). Donc remplaçant c par -c, on trouve comme classes numériquement -2 et 2, qui ont des signes différents !!