Cote n° 138 · batch 7 · pages 121–132 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

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1211. Appelons « opération » (sur cartes ⌜orientées⌝) toute […] foncteur Soit \(C = (X, K, S)\) une carte, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau ⌜préfaisceau⌝ sur la catégorie des surfaces ⌜cartes finies ⌜orientées⌝⌝ compactes, ([…] […] morphismes les morphismes des […] (i.e. avec ramifications). [On suppose que si \((X, H)\) est une surface compacte avec \(H\) groupe fini opérant avec ramification isolée, on a \(\mathcal{F}(X/H) = \mathcal{F}(X)^{H}\).] On suppose que \(\mathcal{F}\) transforme sommes en produits… \(\mathrm{Aut}(C)\) opère sur \(\mathcal{F}(X)\), donc a fortiori son sous-groupe \(N(C)\) ⌜\(= \mathrm{Aut}^{0}(C)\)⌝ des automorphismes isotopes à l'identité opère, soit \[\mathcal{F}^{\natural}(C) = \mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}^{0}(C).\] l'exposant de \(\mathcal{F}\), ici et dans toute la page, est un petit signe crochu que nous rendons par \(\natural\) ; la lecture du signe est incertaine. C'est un foncteur ⌜préfaisceau⌝ en \(C\), car si \(C' = (X', K', S') \xrightarrow{\;f\;} (X, K, S)\), on a \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(X')\) et […] \(\mathrm{Aut}(f)^{0}\) de façon compatible avec \(\mathrm{Aut}(f)^{0}\), donc \[\mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}(f)^{0} \longrightarrow \mathcal{F}(X')/\mathrm{Aut}(f)^{0},\] or \(\mathrm{Aut}(f)^{0} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(X)^{0}\), d'où par composition \[\mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}(C)^{0} \to \mathcal{F}(X')/\mathrm{Aut}(f)^{0} \to \mathcal{F}(X')/\mathrm{Aut}(C')^{0},\] i.e. \(\mathcal{F}^{\natural}(C) \to \mathcal{F}^{\natural}(C')\). On étend \(\mathcal{F}^{\natural}\) en un foncteur sur la catégorie des cartes orientées \(C\) avec groupe fini d'automorphismes, en posant \[\mathcal{F}^{\natural}(C, G) = \mathcal{F}(C)^{G}/\mathrm{Aut}(C, G)^{0}.\] Ceci dit, on se propose de trouver […] toutes les solutions de \(G\) \[\mathcal{F}^{\natural} : \text{Cartes finies}/\text{isomorphismes} \longrightarrow \text{ens.\ finis}\] « finies » est ajouté par lui au-dessus de « Cartes ».

122Un argument essentiellement formel montre que \[\Gamma(\mathcal{F}^{\natural}) \simeq \varinjlim_{H_\alpha} \mathcal{F}^{\natural}(C_\alpha, G_\alpha)\] où \(C_\alpha\), […] où \(H_\alpha\) parcourt les sous-groupes libres d'indice fini du groupe cartographique orienté, \(C_\alpha\) est la carte orientée associée à \(H_\alpha\), \(G_\alpha = \mathcal{C}_2^{+}/H_\alpha\).

Ex Soit \(\mathcal{F}(X) = \mathfrak{P}(X)\), alors \[\Gamma\mathcal{F}^{\natural} \simeq \mathfrak{P}(S)/\mathrm{Aut}(S),\] où \(S\) est ⌜la⌝ sphère munie d'une […] […] \((0,1,\infty)\) ⌜munie du segment \([0,1]\) et le point \(\infty\),⌝ qui sert de référence dans notre théorie de rigidification.

une sphère ; sur l'équateur, en pointillé, le point \(\infty\) ; en trait gras le segment de \(0\) à \(1\).

NB Si on avait pris la théorie non orientée, on aurait trouvé \[\Gamma(\mathcal{F}^{\natural}) \simeq \mathfrak{P}(S)^{\underline{\sigma}}/\mathrm{Aut}(S, \underline{\sigma}, 0, 1, \infty)^{0}\] avec \(\mathrm{Aut}(S, \underline{\sigma}, 0,1,\infty)^{0} \simeq \mathrm{Aut}(S^{+}, 0, 1, \infty)^{0}\) au-dessus de \(\mathrm{Aut}\), une accolade porte la mention « \(\simeq\) » ; l'exposant souligné \(\underline{\sigma}\) est une lecture incertaine (symétrie de conjugaison). (où \(\underline{\sigma}\) est la conjugaison complexe considérée comme symétrie par rapport à l'« équateur » ⌜[…]⌝ qui passe par \(0, 1, \infty\ldots\))

NB On prouve que, pour que cette ⌜la⌝ solution \(\Omega\) de \(\mathcal{F}^{\natural}\) ⌜définie⌝ associée à une partie \(A\) ⌜\(\cup\)⌝ de \(S\) définie ⌜associée⌝ par […] […] à une carte \(C = (X, K, S)\) des parties ⌜\(A_X\)⌝ de \(X\) qui sont un sous-1-complexe topologique, il faut et il suffit que la partie de \(S\) envisagée soit de ce type. Pour que les \(A_X \cup K\) soit des sous-1-complexes (par ex. sous-simpliciaux) il faut et il suffit la phrase se poursuit en tête de la page 124 (« que \(A \cup [0,1]\) soit un 1-complexe »), non de la page 123.

en marge gauche, un quadrilatère (enveloppe) dont les diagonales et deux segments se rencontrent en un point intérieur.

123la page s'ouvre au milieu d'une parenthèse dont le début ne figure ni à la page 122 ni ailleurs dans ce lot ; elle se poursuit à la page 127. (auquel cas les points correspondants des \(A_X\) ne sont pas ⌜nécessairement⌝ des sommets topologiques …) on […] te considérer comme un « milieu d'arête » des \(A_X\).

À l'exclusion de ce cas, on peut dire que \(A\), avec l'ensemble de ses sommets choisis (qui contient tous les sommets qui sont \(\in A\), topologiques, et les points \(0, 1, \infty\) (qu'ils soient ou non sommets top., et éventuellement d'autres encore, suivant l'opération qu'on a définie i.e. les sommets qu'on attend donner aux \(A_X\)), et le choix des arêtes de façon fait en conformité avec la condition \(1^{\circ}\)), et enfin des deux orientations des milieux d'arêtes de \(A\) (tous distincts non de \(0, 1, \infty\)) est déduit d'une application \(\varphi : S \to S\) ramifiée au-dessus des seuls points \(0, 1, \infty\), avec ramification 2 au-dessus de \(1\), en prenant l'image inverse de \([0,1]\) — et l'image inverse des \(A_X\) dans \(X\) par \(f : X \to S\) de \(A\) est aussi \((\varphi f)^{-1}([0,1])\), … \(\varphi f\) est ramifié un rev. ramifié en dehors de \(0, 1, \infty\) (car \(\varphi^{-1}\{0,1,\infty\} \supset \{0,1,\infty\}\) et

124que \(A \cup [0,1]\) soit un 1-complexe. Pour que de plus les \(A_X\) soient ⌜définissent⌝ […] sur les \(X\) de nouvelles structures de cartes (i.e. \(X \setminus A_X\) a comp. conn. \(\simeq\) disques) il faut et il suffit que a) \(A\) \(X\) soit connexe a) Si \(A\) ne […] […] \(0, 1, \infty\), […] b) \(A\) contient […] il n'y a […] qui ne soit pas s'il […] ⌜plus des points \(0, 1, \infty\) qui sont \(\notin A\),⌝ ⌜i.e. définit une carte sur \(S^{1}\)⌝ […] […] […] […] des autres cartes […] deux b) \(A\) […] ne peut contenir pas plus qu'un seul des points \(0, 1, \infty\). le passage entre a) et b) est un palimpseste : plusieurs lignes biffées, un cadre, et un ajout encadré dont la place dans la phrase est incertaine.

Supposons cette condition satisfaite. Choisissons des sommets de \(A\), et des centres des faces, des milieux d'arêtes, de façon à satisfaire à 2 conditions : 1°) Si […] des points \(0, 1, \infty\) est dans une face ouverte, on le choisit comme centre de cette [il n'y a pas de conflit…] 2°) Si un [i.e. soit \(s \in A\)] on choisit \(s\) comme sommet de \(A\) ⌜\(A\)⌝, […] à l'exception du seul cas qui suit : montrons que ces choix obligés […] […] […] font, […], les sommets topolog. des \(A_X\)… 3°) Si \(s = 1 \in A\), et si \(s\) est un pt d'ordre \(1\) de \(A\) i.e. un bout

un segment issu du point \(s\), marqué \(A\), se prolongeant par une ligne brisée jusqu'à une boucle.

125Th. Soit \(C = (X, K, S)\) carte ⌜connexe⌝ […], \(G\) un groupe opérant ⌜fidèlement⌝ sur \(X\) supposons que \(G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}}(C)\) soit injectif sur facilité. Conditions équivalentes

la numérotation des conditions a été remaniée : un b) et un a) sont réécrits à l'encre noire, une flèche en marge ramène la condition sur le noyau de \(G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}}\) ; l'ordre ci-dessus suit la dernière main, sous réserve.

a) \(\Rightarrow\) b) \(\Rightarrow\) c) évident.

b) \(\Rightarrow\) a) Revient à ceci : ⌜si un groupe fini⌝ qui ⌜fidèle⌝ […] sur une carte, par des opérations isotopes à id, il opère trivialement de même : si un automorphisme d'ordre fini est isotope à id, il opère […] c'est id. Il suffit de le voir pour un disque fermé et un pt sur le ⌜bord des⌝ disques — on voit d'abord que c'est l'identité sur le bord, […] donc

à droite du texte : un heptagone avec un point central marqué \(s\) ; un disque contenant une petite boucle gribouillée attachée au bord ; plus bas, un disque avec une face découpée en polygones et un petit cercle ; tout en bas, un petit disque traversé d'un segment.

126feuille de calculs et de croquis épars, sans texte suivi ; nous relevons les formules dans l'ordre approximatif de la page, de haut en bas et de gauche à droite. Plusieurs dessins (un personnage dans un triangle, un profil coiffé d'un chapeau) sont des griffonnages sans rapport apparent avec le calcul et ne sont que mentionnés.

une sphère vue en coupe, portant les points \(0\) (en haut), \(1\) (en bas), \(\infty\) et \(\tfrac12\) sur deux méridiens ; un triangle découpé en cases.

\((0,1) \to \infty\) \((0,1) \to \infty\), \((\infty, 1) \to 0\) \(\dfrac{az+b}{cz+d}\)

\[z \longmapsto \frac{z}{cz + (1-c)}\] \(\dfrac{z}{cz+(1-c)} : \Bigl( \dfrac{cz}{cz+1-c} + {}\) […] \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1-c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1-c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2c - c^{2} & (1-c)^{2} \end{pmatrix}\] le second facteur est en partie caché par le dessin d'une sphère (\(0\), \(1\), \(\infty\) et \(z\) marqués) ; nous le complétons d'après le produit écrit à droite. \[(1-c)^{2} = 1, \qquad c - 1 = \pm 1, \qquad c = 0 \text{ ou } 2 .\]

un pentagone finement triangulé autour d'un sommet central, les sommets \(0\) et \(1\) marqués au bord.

\[\frac{z}{2z-1} = \frac{1}{2 - \frac{1}{z}}, \qquad z = \frac{z}{2z-1}, \qquad 2z^{2} - 2z = 0, \qquad z = 0 \text{ ou } 1 .\] devant \(2z^{2} - 2z = 0\), un premier \(2z^{2}\) est biffé. le dénominateur du membre de droite de la première égalité est lu \(2 - \frac12\) ; le calcul exige \(2 - \frac1z\).

\(g\) : \(\underbrace{0,1,\infty}\) \(\longrightarrow 0\) ; \((0,\) \(1\)\(, \infty) \to (0, \infty)\) ; ou \(0, 1\), \(1 \to (0,\infty)\) ou \(1\).

\((0, 1, \infty) \longrightarrow (0, 1, \infty)\)

une sphère avec équateur et méridien en pointillé, les points \(0\), \(1\), \(\infty\) marqués ; deux petits triangles portant le graphe dual (un « Y » intérieur), l'un avec le sommet \(0\) ; un losange coupé par une diagonale et un « Y ».

si […] […] \(s = 0, 1, \infty\) j'en […] […] \(1\) […] […] […] […] […]

un polygone dont le bord est doublé d'une courbe ondulée, avec un éventail de triangles issus d'un sommet intérieur ; à droite, plusieurs disques et ellipses avec un rayon marqué \(z\), un cône.

\[f(z) \in [0,1], \qquad f(z) - \tfrac12, \qquad \bigl(2f(z) - 1\bigr)^{2},\] \[g(z) = \bigl(2f(z) - 1\bigr)^{2},\] \(g(z) = 0 \Rightarrow f(z) =\) \[g(z) = 0 \iff f(z) = \tfrac12, \qquad g(z) = 1 \iff f(z) = 0, 1 .\] les signes \(\iff\) sont de nous : la page aligne les deux colonnes sans signe.

un segment \([0,1]\) avec son milieu marqué ; un pentagone aux sommets noircis et aux milieux d'arêtes marqués d'un trait.

\(\bigl(z - \tfrac12\bigr)^{2} \in [0,1]\), \(z = \tfrac{z}{2}\) \(z \in [0,1]\) ; \(z\bigl(z - \tfrac12\bigr) \in [\ldots\) \[2z - 1 \in [-1, +1], \qquad (2z-1)^{2} \in [0, 1] .\]

127cette page continue la phrase interrompue au bas de la page 123 (« car \(\varphi^{-1}\{0,1,\infty\} \supset \{0,1,\infty\}\) et »), non la page 126. \(= \varphi^{-1}\{0, \infty\} \supset \{0, 1, \infty\}\)), avec indice de ramification \(2\) au-dessus de \(1\) pour \(\varphi f\).

[…] Que se passe-t-il dans le cas exceptionnel ?

128Soit Soit \(X\) une surface holomorphe, \(C = (K, S)\) une carte sur \(X\). On dit que \(C\) est compatible avec la structure holomorphe, ou encore que \((X, K, S)\) est une carte holomorphe, s'il existe une application holomorphe \(\varphi : X \longrightarrow \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} = S\), telle que

Question Unicité d'un tel \(\varphi\) ? Soient \(\varphi'\) ayant les mêmes propriétés. Par le th. de classification il existe un unique isomorphisme de ⌜cartes, isotope à l'identité⌝ holomorphe rendant commutatif

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[rr, "f"', "\simeq"] \arrow[dr, "\varphi"'] & & X \arrow[dl, "\varphi'"] \\
& S &
\end{tikzcd}

La question est donc si \(f\) (qui est unique holomorphe…) est l'identité, sachant que c'est un automorphisme de la carte \(C\) qui est isotope à id, i.e. fixant sommets, arêtes, faces. Or c'est faux déjà pour la sphère \(X\) \(= S = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\), partagée en deux en marge gauche, deux petites sphères esquissées, numérotées I) et II) (les cas exceptionnels de la page suivante).

129hémisphères par un équateur, avec \(1\) ou deux sommets dessus (dans chacun des cas, \(1\) sommet et une arête, ou \(2\) sommets et \(2\) arêtes). Le groupe des automorphismes holomorphes qui fixe la carte et ses él. de structure (donc induit un automorphisme isotope à \(1\)) est le groupe des \(z \mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}\) (\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), \(ad - bc = 1\)) qui fixent \(\infty\) (donc \(c = 0\) ⌜i.e. le⌝ groupe \(\mathrm{Aff}(1, \mathbb{R})\) […] […]), soit \(0\) et \(\infty\) (groupe \(\mathbb{C}^{*}\) […] de dim \(1\)). « \(\mathrm{Aff}(1, \mathbb{R})\) » : le second argument est surchargé ; nous lisons \(\mathbb{R}\) d'après la condition \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), mais la page porte peut-être \(\mathbb{C}\) repassé. Autre exemple :

un disque (sphère) traversé d'un arc joignant deux points, numéroté III).

(1 arête, 2 sommets, dual de 1 arête 1 sommet) qui a le \(=\) groupe \(\mathrm{Aff}(1, \mathbb{C})\). // Si on exige que les […] de ⌜chaque comp. connexe de \(X\) ait une⌝ ⌜(chaque face ⌜deux sommets⌝ soit au⌝ moins trois, va-t-on gagner ? J'ai l'impression que oui, grâce à la théorie de la représentation conforme. au moins pour les cartes finies… La condition envisagée signifie que les composantes connexes des Uhelecture incertaine ; peut-être une abréviation pour les faces sont distinctes de la sphère munie soit de la carte du type \((2, 1)\) (cas I)

130soit les cartes d'oranges d'ordre \(n \geqslant 1\) — mais si \(n \geqslant 2\), il n'y a pas d'automorphismes hol. \(\neq \mathrm{id}\).

une sphère découpée en fuseaux par des méridiens joignant deux pôles (« orange »).

Donc il semble que les seuls cas où \(\varphi\) ne soit pas unique sont les cas (isomorphes :) I), II), III) \(=\) I\(^{*}\)) (NB II) \(=\) II\(^{*}\))

Il faut cependant tirer au clair entièrement l'argument de représentation conforme, et voir s'il s'applique aux cartes infinies.

Si on se donne en plus les l'ens. […] \(\varphi^{-1}(\{\infty\})\) (centres des faces), alors les cas I) II) III) sont éliminés. [Si on se donnait \(\varphi^{-1}(\{1\})\), cela éliminerait les cas II et III, mais non le cas I…]

131un cercle (la sphère \(S\)) portant le point \(\infty\) et le segment de \(0\) à \(1\).

Opération ⌜\(\Omega\) orientée⌝, définie par une […] complexe carte \((K', S')\) sur \(S\), ayant éventuellement un bout arrondi en le pt \(1 \in S\) ⌜défin. à une isotopie constante sur \([0,1] \cup \{\infty\}\) près⌝. Considérons les conditions

a') b') c') comme a) b) c) mais avec groupe d'autom. hol.

la page s'arrête sur cette condition ; la suite éventuelle n'est pas dans le lot.

en marge gauche, au niveau de d) : une parabole coupée par une droite en deux points, un segment à bout marqué ; en dessous, une barre en « T » renversé et une équerre.