Fonds Grothendieck, cote n° 138, pages 121–132 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-30) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-30

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 138 Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.). Pages 121 à 132 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 7 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [vers 1976-1978]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/138.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.

1. Appelons « opération » (sur cartes orientées) toute foncteur Soit C = (X, K, S) une carte, soit \mathcal{F} un faisceau préfaisceau sur la catégorie des surfaces cartes finies orientées compactes, ( morphismes les morphismes des (i.e. avec ramifications). [On suppose que si (X, H) est une surface compacte avec H groupe fini opérant avec ramification isolée, on a \mathcal{F}(X/H) = \mathcal{F}(X)^{H}.] On suppose que \mathcal{F} transforme sommes en produits… \mathrm{Aut}(C) opère sur \mathcal{F}(X), donc a fortiori son sous-groupe N(C) = \mathrm{Aut}^{0}(C) des automorphismes isotopes à l'identité opère, soit \mathcal{F}^{\natural}(C) = \mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}^{0}(C). l'exposant de \mathcal{F}, ici et dans toute la page, est un petit signe crochu que nous rendons par \natural ; la lecture du signe est incertaine. C'est un foncteur préfaisceau en C, car si C' = (X', K', S') \xrightarrow{\;f\;} (X, K, S), on a \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(X') et \mathrm{Aut}(f)^{0} de façon compatible avec \mathrm{Aut}(f)^{0}, donc \mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}(f)^{0} \longrightarrow \mathcal{F}(X')/\mathrm{Aut}(f)^{0}, or \mathrm{Aut}(f)^{0} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(X)^{0}, d'où par composition \mathcal{F}(X)/\mathrm{Aut}(C)^{0} \to \mathcal{F}(X')/\mathrm{Aut}(f)^{0} \to \mathcal{F}(X')/\mathrm{Aut}(C')^{0}, i.e. \mathcal{F}^{\natural}(C) \to \mathcal{F}^{\natural}(C'). On étend \mathcal{F}^{\natural} en un foncteur sur la catégorie des cartes orientées C avec groupe fini d'automorphismes, en posant \mathcal{F}^{\natural}(C, G) = \mathcal{F}(C)^{G}/\mathrm{Aut}(C, G)^{0}. Ceci dit, on se propose de trouver toutes les solutions de G \mathcal{F}^{\natural} : \text{Cartes finies}/\text{isomorphismes} \longrightarrow \text{ens.\ finis} « finies » est ajouté par lui au-dessus de « Cartes ».

Un argument essentiellement formel montre que \Gamma(\mathcal{F}^{\natural}) \simeq \varinjlim_{H_\alpha} \mathcal{F}^{\natural}(C_\alpha, G_\alpha) où C_\alpha, où H_\alpha parcourt les sous-groupes libres d'indice fini du groupe cartographique orienté, C_\alpha est la carte orientée associée à H_\alpha, G_\alpha = \mathcal{C}_2^{+}/H_\alpha.

Ex Soit \mathcal{F}(X) = \mathfrak{P}(X), alors \Gamma\mathcal{F}^{\natural} \simeq \mathfrak{P}(S)/\mathrm{Aut}(S), où S est la sphère munie d'une (0,1,\infty) munie du segment [0,1] et le point \infty, qui sert de référence dans notre théorie de rigidification.

une sphère ; sur l'équateur, en pointillé, le point \infty ; en trait gras le segment de 0 à 1.

NB Si on avait pris la théorie non orientée, on aurait trouvé \Gamma(\mathcal{F}^{\natural}) \simeq \mathfrak{P}(S)^{\underline{\sigma}}/\mathrm{Aut}(S, \underline{\sigma}, 0, 1, \infty)^{0} avec \mathrm{Aut}(S, \underline{\sigma}, 0,1,\infty)^{0} \simeq \mathrm{Aut}(S^{+}, 0, 1, \infty)^{0} au-dessus de \mathrm{Aut}, une accolade porte la mention « \simeq » ; l'exposant souligné \underline{\sigma} est une lecture incertaine (symétrie de conjugaison). (où \underline{\sigma} est la conjugaison complexe considérée comme symétrie par rapport à l'« équateur » qui passe par 0, 1, \infty\ldots)

NB On prouve que, pour que cette la solution \Omega de \mathcal{F}^{\natural} définie associée à une partie A \cup de S définie associée par à une carte C = (X, K, S) des parties A_X de X qui sont un sous-1-complexe topologique, il faut et il suffit que la partie de S envisagée soit de ce type. Pour que les A_X \cup K soit des sous-1-complexes (par ex. sous-simpliciaux) il faut et il suffit la phrase se poursuit en tête de la page 124 (« que A \cup [0,1] soit un 1-complexe »), non de la page 123.

en marge gauche, un quadrilatère (enveloppe) dont les diagonales et deux segments se rencontrent en un point intérieur.

la page s'ouvre au milieu d'une parenthèse dont le début ne figure ni à la page 122 ni ailleurs dans ce lot ; elle se poursuit à la page 127. (auquel cas les points correspondants des A_X ne sont pas nécessairement des sommets topologiques …) on te considérer comme un « milieu d'arête » des A_X.

À l'exclusion de ce cas, on peut dire que A, avec l'ensemble de ses sommets choisis (qui contient tous les sommets qui sont \in A, topologiques, et les points 0, 1, \infty (qu'ils soient ou non sommets top., et éventuellement d'autres encore, suivant l'opération qu'on a définie i.e. les sommets qu'on attend donner aux A_X), et le choix des arêtes de façon fait en conformité avec la condition 1^{\circ}), et enfin des deux orientations des milieux d'arêtes de A (tous distincts non de 0, 1, \infty) est déduit d'une application \varphi : S \to S ramifiée au-dessus des seuls points 0, 1, \infty, avec ramification 2 au-dessus de 1, en prenant l'image inverse de [0,1] — et l'image inverse des A_X dans X par f : X \to S de A est aussi (\varphi f)^{-1}([0,1]), … \varphi f est ramifié un rev. ramifié en dehors de 0, 1, \infty (car \varphi^{-1}\{0,1,\infty\} \supset \{0,1,\infty\} et

que A \cup [0,1] soit un 1-complexe. Pour que de plus les A_X soient définissent sur les X de nouvelles structures de cartes (i.e. X \setminus A_X a comp. conn. \simeq disques) il faut et il suffit que a) A X soit connexe a) Si A ne 0, 1, \infty, b) A contient il n'y a qui ne soit pas s'il plus des points 0, 1, \infty qui sont \notin A, i.e. définit une carte sur S^{1} des autres cartes deux b) A ne peut contenir pas plus qu'un seul des points 0, 1, \infty. le passage entre a) et b) est un palimpseste : plusieurs lignes biffées, un cadre, et un ajout encadré dont la place dans la phrase est incertaine.

Supposons cette condition satisfaite. Choisissons des sommets de A, et des centres des faces, des milieux d'arêtes, de façon à satisfaire à 2 conditions : 1°) Si des points 0, 1, \infty est dans une face ouverte, on le choisit comme centre de cette [il n'y a pas de conflit…] 2°) Si un [i.e. soit s \in A] on choisit s comme sommet de A A, à l'exception du seul cas qui suit : montrons que ces choix obligés font, , les sommets topolog. des A_X… 3°) Si s = 1 \in A, et si s est un pt d'ordre 1 de A i.e. un bout

un segment issu du point s, marqué A, se prolongeant par une ligne brisée jusqu'à une boucle.

Th. Soit C = (X, K, S) carte connexe , G un groupe opérant fidèlement sur X supposons que G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}}(C) soit injectif sur facilité. Conditions équivalentes

L'injectivité de G Pour g \in G tel que g_X soit isotope à id (en tant qu'automorphisme de cartes), g_X = \mathrm{id}_X, i.e. g = 1 i.e. G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}}(C) est injectif (i.e. G opère fidèlement sur X de C à isotopie). sommet de X] Le stabilisateur dans G de F_x est fini b) Le noyau de G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}}(G) est fini Il existe une rigidification de X invariante par G. (C, G) est isomorphe à la réalisation top. d'une opération de Dans ces conditions, ou mieux G sur une carte . De plus, l'espace des rigidifications de X invariantes par G est contractile.

la numérotation des conditions a été remaniée : un b) et un a) sont réécrits à l'encre noire, une flèche en marge ramène la condition sur le noyau de G \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{isot}} ; l'ordre ci-dessus suit la dernière main, sous réserve.

a) \Rightarrow b) \Rightarrow c) évident.

b) \Rightarrow a) Revient à ceci : si un groupe fini qui fidèle sur une carte, par des opérations isotopes à id, il opère trivialement de même : si un automorphisme d'ordre fini est isotope à id, il opère c'est id. Il suffit de le voir pour un disque fermé et un pt sur le bord des disques — on voit d'abord que c'est l'identité sur le bord, donc

à droite du texte : un heptagone avec un point central marqué s ; un disque contenant une petite boucle gribouillée attachée au bord ; plus bas, un disque avec une face découpée en polygones et un petit cercle ; tout en bas, un petit disque traversé d'un segment.

feuille de calculs et de croquis épars, sans texte suivi ; nous relevons les formules dans l'ordre approximatif de la page, de haut en bas et de gauche à droite. Plusieurs dessins (un personnage dans un triangle, un profil coiffé d'un chapeau) sont des griffonnages sans rapport apparent avec le calcul et ne sont que mentionnés.

une sphère vue en coupe, portant les points 0 (en haut), 1 (en bas), \infty et \tfrac12 sur deux méridiens ; un triangle découpé en cases.

(0,1) \to \infty (0,1) \to \infty, (\infty, 1) \to 0 \dfrac{az+b}{cz+d}

z \longmapsto \frac{z}{cz + (1-c)} \dfrac{z}{cz+(1-c)} : \Bigl( \dfrac{cz}{cz+1-c} + {} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1-c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1-c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2c - c^{2} & (1-c)^{2} \end{pmatrix} le second facteur est en partie caché par le dessin d'une sphère (0, 1, \infty et z marqués) ; nous le complétons d'après le produit écrit à droite. (1-c)^{2} = 1, \qquad c - 1 = \pm 1, \qquad c = 0 \text{ ou } 2 .

un pentagone finement triangulé autour d'un sommet central, les sommets 0 et 1 marqués au bord.

\frac{z}{2z-1} = \frac{1}{2 - \frac{1}{z}}, \qquad z = \frac{z}{2z-1}, \qquad 2z^{2} - 2z = 0, \qquad z = 0 \text{ ou } 1 . devant 2z^{2} - 2z = 0, un premier 2z^{2} est biffé. le dénominateur du membre de droite de la première égalité est lu 2 - \frac12 ; le calcul exige 2 - \frac1z.

g : \underbrace{0,1,\infty} \longrightarrow 0 ; (0, 1, \infty) \to (0, \infty) ; ou 0, 1, 1 \to (0,\infty) ou 1.

(0, 1, \infty) \longrightarrow (0, 1, \infty)

une sphère avec équateur et méridien en pointillé, les points 0, 1, \infty marqués ; deux petits triangles portant le graphe dual (un « Y » intérieur), l'un avec le sommet 0 ; un losange coupé par une diagonale et un « Y ».

si s = 0, 1, \infty j'en 1

un polygone dont le bord est doublé d'une courbe ondulée, avec un éventail de triangles issus d'un sommet intérieur ; à droite, plusieurs disques et ellipses avec un rayon marqué z, un cône.

f(z) \in [0,1], \qquad f(z) - \tfrac12, \qquad \bigl(2f(z) - 1\bigr)^{2}, g(z) = \bigl(2f(z) - 1\bigr)^{2}, g(z) = 0 \Rightarrow f(z) = g(z) = 0 \iff f(z) = \tfrac12, \qquad g(z) = 1 \iff f(z) = 0, 1 . les signes \iff sont de nous : la page aligne les deux colonnes sans signe.

un segment [0,1] avec son milieu marqué ; un pentagone aux sommets noircis et aux milieux d'arêtes marqués d'un trait.

\bigl(z - \tfrac12\bigr)^{2} \in [0,1], z = \tfrac{z}{2} z \in [0,1] ; z\bigl(z - \tfrac12\bigr) \in [\ldots 2z - 1 \in [-1, +1], \qquad (2z-1)^{2} \in [0, 1] .

cette page continue la phrase interrompue au bas de la page 123 (« car \varphi^{-1}\{0,1,\infty\} \supset \{0,1,\infty\} et »), non la page 126. = \varphi^{-1}\{0, \infty\} \supset \{0, 1, \infty\}), avec indice de ramification 2 au-dessus de 1 pour \varphi f.

Que se passe-t-il dans le cas exceptionnel ?

Soit Soit X une surface holomorphe, C = (K, S) une carte sur X. On dit que C est compatible avec la structure holomorphe, ou encore que (X, K, S) est une carte holomorphe, s'il existe une application holomorphe \varphi : X \longrightarrow \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} = S, telle que

\varphi est étale au-dessus de S - \{0, 1, \infty\}, et a le degré de ramification 2 en tous les pts au-dessus de 1. (K, S) = \varphi^{-1}([0,1], 0) un premier K est biffé et récrit.

Question Unicité d'un tel \varphi ? Soient \varphi' ayant les mêmes propriétés. Par le th. de classification il existe un unique isomorphisme de cartes, isotope à l'identité holomorphe rendant commutatif

\begin{tikzcd} X \arrow[rr, "f"', "\simeq"] \arrow[dr, "\varphi"'] & & X \arrow[dl, "\varphi'"] \\ & S & \end{tikzcd}

La question est donc si f (qui est unique holomorphe…) est l'identité, sachant que c'est un automorphisme de la carte C qui est isotope à id, i.e. fixant sommets, arêtes, faces. Or c'est faux déjà pour la sphère X = S = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}, partagée en deux en marge gauche, deux petites sphères esquissées, numérotées I) et II) (les cas exceptionnels de la page suivante).

hémisphères par un équateur, avec 1 ou deux sommets dessus (dans chacun des cas, 1 sommet et une arête, ou 2 sommets et 2 arêtes). Le groupe des automorphismes holomorphes qui fixe la carte et ses él. de structure (donc induit un automorphisme isotope à 1) est le groupe des z \mapsto \dfrac{az+b}{cz+d} (a, b, c, d \in \mathbb{R}, ad - bc = 1) qui fixent \infty (donc c = 0 i.e. le groupe \mathrm{Aff}(1, \mathbb{R}) ), soit 0 et \infty (groupe \mathbb{C}^{*} de dim 1). « \mathrm{Aff}(1, \mathbb{R}) » : le second argument est surchargé ; nous lisons \mathbb{R} d'après la condition a, b, c, d \in \mathbb{R}, mais la page porte peut-être \mathbb{C} repassé. Autre exemple :

un disque (sphère) traversé d'un arc joignant deux points, numéroté III).

(1 arête, 2 sommets, dual de 1 arête 1 sommet) qui a le = groupe \mathrm{Aff}(1, \mathbb{C}). // Si on exige que les de chaque comp. connexe de X ait une (chaque face deux sommets soit au moins trois, va-t-on gagner ? J'ai l'impression que oui, grâce à la théorie de la représentation conforme. au moins pour les cartes finies… La condition envisagée signifie que les composantes connexes des Uhelecture incertaine ; peut-être une abréviation pour les faces sont distinctes de la sphère munie soit de la carte du type (2, 1) (cas I)

soit les cartes d'oranges d'ordre n \geqslant 1 — mais si n \geqslant 2, il n'y a pas d'automorphismes hol. \neq \mathrm{id}.

une sphère découpée en fuseaux par des méridiens joignant deux pôles (« orange »).

Donc il semble que les seuls cas où \varphi ne soit pas unique sont les cas (isomorphes :) I), II), III) = I^{*}) (NB II) = II^{*})

Il faut cependant tirer au clair entièrement l'argument de représentation conforme, et voir s'il s'applique aux cartes infinies.

Si on se donne en plus les l'ens. \varphi^{-1}(\{\infty\}) (centres des faces), alors les cas I) II) III) sont éliminés. [Si on se donnait \varphi^{-1}(\{1\}), cela éliminerait les cas II et III, mais non le cas I…]

un cercle (la sphère S) portant le point \infty et le segment de 0 à 1.

Opération \Omega orientée, définie par une complexe carte (K', S') sur S, ayant éventuellement un bout arrondi en le pt 1 \in S défin. à une isotopie constante sur [0,1] \cup \{\infty\} près. Considérons les conditions

Pour toute carte holomorphe C = (X, K, S), il existe K'_X une représentante (K'_C, S'_C) de \Omega(C) qui est compatible avec la structure complexe. Pour toute dessus carte (X, K, S), les réalisations complexes holomorphes canoniques de celle-ci et de (X, K'_C, S'_C) le X est surchargé. sont sont des surfaces b') comme b), holomorphes isomorphes. b) Pour toute carte C = (X, K, S) et choix de K'_X, il existe une structure complexe sur X qui est compatible avec (K, S), (K'_X, S'_X) et avec \bigl((K,S), (K'_X, S'_X)\bigr).

a') b') c') comme a) b) c) mais avec groupe d'autom. hol.

Il existe une application holomorphe \varphi : S \to S, définissant « spéciale » [i.e. ramifiée étale au-dessus de S - \{0, 1, \infty\}, ayant ramification \leqslant 2 en les pts au-dessus de 1 1, ou 1, envoyant \{0, \infty\} dans \{0, \infty\} et 1 en \{0, \infty, 1\}, et telle que \varphi(1) = 1 impliqué par que \varphi est étale en 1)] telle que (K', S') \underset{\text{isotope}}{\approx} \bigl[\varphi^{-1}([0,1]), \{0\}\bigr] rel. à [0,1] \cup \{\infty\}.

la page s'arrête sur cette condition ; la suite éventuelle n'est pas dans le lot.

en marge gauche, au niveau de d) : une parabole coupée par une droite en deux points, un segment à bout marqué ; en dessous, une barre en « T » renversé et une équerre.