Cote n° 138 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

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101la page s'ouvre au milieu d'une phrase : l'argument (revêtement galoisien engendré par \(f\), groupe \(\gamma_{\alpha_0}\), type \(\alpha\), entiers \(p(s)\), \(q(s)\), \(r(s)\), \(\delta\)) vient de la page précédente, hors de ce lot.

rev. étale galoisien ⌜de \(\mathbb{P}^1_{\Gamma}\)⌝ engendré par \(f\) sont de type \(\alpha\). Il est évidemment stable par \(\gamma_{\alpha_0}\), et correspond à un sous-[…]⌜schéma⌝ ouvert et fermé \(M^{\alpha}_{C_0}\) de \(M_{C_0}\), stable par \(\gamma_{\alpha_0}\). [Il est vide sauf si le cardinal \(N\) de \(\alpha\) est un multiple commun des \(p(s)\), \(q(s)\), \(r(s)\) et de \(\delta\) ; […] et il est non vide ssi \(\exists\) \(G\) ⌜de type \(\alpha\)⌝ est engendrable par des gén. \(\rho\), \(\sigma\) \(\rho_s\), \(\rho_f\) ⌜\(\sigma\)⌝ satisfaisant \[\rho_s\,\rho_f\,\sigma = 1, \qquad \sigma^2 = 1,\] et si \(\exists\) \(\exists\) \(H\) sous-groupe de \(G\), avec \(\bigcap\) conjugués de \(H = \{e\}\), et \(C_0\) déduit de la carte combinatoire orientée \(E = G/H\) […] \(\rho_s, \rho_f, \sigma\) […] …]. Mais il est important de réaliser que dans un cas qui arrivât \(N = \delta \mid\) i.e. \(H = \{e\}\), la classe d'isom. des \(G\) munis de \(\rho_s\), \(\rho_f\), \(\sigma\) (i.e. le type de carte combinatoire orientée correspondante) n'est pas déterminée par la seule connaissance de \(X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^1_{\Gamma} \ldots\)]l'indice de \(\mathbb{P}^1\), ici et dans l'ajout de la première ligne, est lu \(\Gamma\) sans certitude.

102\(\overline{\mathbb{Q}}\) = clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\) la note marginale est reliée par un trait à un \(\overline{\mathbb{Q}}\) écrit au-dessus de « Hom » ; on ne voit pas s'il remplace \(\mathbb{C}\) dans \(\mathrm{Hom}(R^{\alpha}_{C_0}, \mathbb{C})\).

III) Considérations ⌜\(M^{\alpha}_{C_0}(\overline{\mathbb{Q}}) \simeq\)⌝ \(M^{\alpha}_{C_0}(\mathbb{C})\) [\(= M^{\alpha}_{C_0\,\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) \simeq \mathrm{Hom}(R^{\alpha}_{C_0}, \mathbb{C})\), où \(R^{\alpha}_{C_0}\) est l'algèbre finie étale sur \(\mathbb{Q}\) qui représente \(M^{\alpha}_{C_0\,\mathbb{Q}}\)]. On sait que c'est aussi l'ens. \(C^{\alpha}_{C_0}\) des ⌜classes d'iso⌝ cartes ⌜comb.⌝ orientées qui sont de type \((C_0, \alpha)\), i.e. Donc \(\Gamma = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}})\) opère dans \(N^{\alpha}_{C_0}\) — en fait ⌜l'⌝ […] dans \(\Gamma\)-ens : op. \(C^{\alpha}_{C_0}\) s'identifie […] (à iso. can. près) […] \(\mathbb{Q}\)-schéma \(M^{\alpha}_{C_0\,\mathbb{Q}}\) (ou du \(\mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}]\)-schéma \((M^{\alpha}_{C_0})_{\mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}]}\) …). Bien entendu, \(\Gamma\) opère de façon compatible ⌜(i.e. commutant)⌝ avec les opérations de \(\gamma\) sur \(C^{\alpha}_{C_0}\). Rien qu'en regardant l'élément \(\tau\) de \(\Gamma\), \(\tau z = \bar z\), on voit que l'opération de \(\Gamma\) sur \(C^{\alpha}_{C_0}/\gamma\) ne peut pas être triviale…

On va essayer de déterminer l'opération de \(\gamma \times \Gamma\) sur \(C^{\alpha}_{C_0}\) dans certains cas élémentaires ou […] (cartes sphériques …)

103page de cas. À gauche de chaque cas, un symbole numérique (ici transcrit en tête de cas) ; à droite de chaque dessin, une colonne où il note le point \(\infty\) (« \(\infty\) / \(\circ\) / multiplicité »). Dans les dessins, \(\bullet\) marque les points au-dessus de \(0\), \(\times\) ceux au-dessus de \(1\) ; les chiffres écrits dessous sont les multiplicités. La colonne de droite porte, pour les premiers cas, des égalités \(G \simeq \ldots\), \(\gamma = \ldots\) lourdement biffées.

(1) Carte combinatoire type [symbole : \(1\;1\;1\)]

un segment, \(\bullet\) en \(0\) (mult. \(1\)), \(\times\) en \(1\) (mult. \(1\)) ; \(\infty\) de multiplicité \(1\).

\(f(z) = z\) \(G \simeq 1\) \(\gamma = 1\) […]

(2) Carte combinatoire type [symbole : \(2 \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix} 2\)]

un segment \(-1 \times\) — \(\bullet\, 0\) — \(\times\, 1\), multiplicités \(1\), \(2\), \(1\) ; \(\infty\) de multiplicité \(2\).

\(f(z) = z^2\) \(C_{C_0} = C^{\alpha}_{C_0}\) n'a qu'un élément […] \(G \simeq \mathbb{Z}_2\) \(\gamma = \ldots\) \(\gamma = \mathbb{Z}_2\)

(2') Carte comb. type [symbole : \(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix} 2\; 2\)]

un segment \(\bullet\,0\) — \(\times\,\frac12\) — \(\bullet\,1\), multiplicités \(1\), \(1\) ; \(\infty\) de multiplicité \(2\).

\[\Bigl[\, f(z) = \lambda z(z-1) \qquad \begin{cases} f(t) = \lambda t(t-1) = 1 \\ f'(t) = \lambda(2t-1) = 0 \end{cases} \quad \text{i.e. } t = \tfrac12,\ \lambda = -4 \,\Bigr]\] \[f(z) = -4z(z-1)\] \(C^{\alpha}_{C_0} = C_{C_0}\) n'a qu'un élément. \(G \simeq \mathbb{Z}_2\) \(\gamma = \ldots\)

(2'') [symbole : \(2\; 2 \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\)] un premier dessin (points \(0\) et \(1\) de multiplicité \(2\)) et « \(f(z) = z^2\) » sont biffés, ainsi que « \(G \simeq \mathbb{Z}_2 \simeq \ldots\) ».

une boucle issue de \(\bullet\,0\) (mult. \(2\)) et passant par \(\times\) en \(t = 2\) (mult. \(2\)) ; à l'intérieur, le point \(1\) (\(\circ\), mult. \(1\)) ; à l'extérieur, \(\infty\) (\(\circ\), mult. \(1\)).

\[\Bigl[\, f(z) = \lambda \frac{z^2}{z-1}, \qquad f(t) = \lambda\frac{t^2}{t-1} = 1\] \[\Bigl[\, f'(z) = \lambda\Bigl(\frac{2z(z-1) - z^2}{(z-1)^2}\Bigr) = \lambda\frac{z^2 - 2z}{(z-1)^2} = 0 \,\Bigr]\] \[f'(t) = 0, \quad t = 2, \quad \lambda = \frac14 \,\Bigr]\] \[f(z) = \frac14\,\frac{z^2}{z-1}\] \(C^{\alpha}_{C_0}\) a un seul él.

(3*) [symbole : \(3 \begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix} 3\)]

une étoile à trois branches : \(\bullet\,0\) au centre (mult. \(3\)), trois \(\times\) au-dessus de \(1\) (mult. \(1\)) aux extrémités ; \(\infty\) de multiplicité \(3\).

\(f(z) = z^3\) \(G = \mathbb{Z}_3 \subset \gamma \simeq \mathfrak{S}_3\)

\(C^{\alpha}_{C_0}\) a deux éléments, \(\gamma\) y est transitif, \(\Gamma\) opère via la représentation cyclotomique dans […]

(3') [symbole : \(3 \begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix} \begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}\)]

un segment de \(\times\) en \(t = -3\) à \(\bullet\,0\), puis une boucle issue de \(0\) passant par \(\times\) en \(s = \frac32\) ; à l'intérieur de la boucle, le point \(1\) (biffures) ; \(\infty\) à l'extérieur.

\[f(z) = \frac{4}{27}\,\frac{z^3}{z-1}\] \(G \simeq \mathfrak{S}_3\) \(\gamma = \{1\}\) Card \(C^{\alpha}_{C_0} = 1\)

104NB La figure barycentrique complète est la réunion de la droite \(y\,(= \operatorname{Im} z) = 0\), et de la courbe \[2x(x^2+y^2) + (-3x^2+y^2) = 0\] l'axe réel, marqué \(\times\) en \(-3\), \(\bullet\) en \(0\), \(\bullet\) en \(1\), \(\times\) en \(\frac32\), le segment \([0, \frac32]\) hachuré ; la courbe forme une boucle de \(0\) à \(\frac32\) autour de \(1\), et deux branches issues de \(0\) qui partent vers le haut et le bas à gauche.

3'') (dual du précédent)

un segment \(\bullet\,0\) — \(\times\,\frac13\) — \(\bullet\,1\) — \(\times\,\frac43\) ; \(\infty\) à part.

\[f(z) = \frac{27}{4}\,z(z-1)^2\] […] \(G = \mathfrak{S}_3\), \(\gamma = \{1\}\) Card \(C^{\alpha}_{C_0} = 1\)

105ses notes occupent le recto d'une lettre dactylographiée qu'il a biffée ; seules les notes sont transcrites.

deux arbres. (I) : \(c \bullet\) — \(\times u\) — \(\bullet a\) — \(\times v\) — \(\bullet b\) — \(\times y\), avec une branche de \(a\) vers \(\times x\) ; à côté, une flèche courbe et « o.s. ». (II) : \(\bullet a\), d'où partent deux branches vers \(\times x\) et \(\times y\), puis \(a\) — \(\times u\) — \(\bullet b\) — \(\times v\) — \(\bullet c\) ; « o.s. ».

\[\begin{matrix} 3 & 2_2 & \\ 2 & 1_2 & 6 \\ 1 & & \end{matrix}\] \[\sigma_2\sigma_1\sigma_1\sigma_0 = \qquad \rho_s\,\rho_f = \sigma, \qquad \rho_f = \rho_s^{-1}\sigma\]

(I) \[\begin{array}{llll} r_1 = (a, ab) & \rho_s r_1 = r_2 & \sigma r_1 = r_4 & \rho_f r_1 = r_5 \\ r_2 = (a, axa) & \rho_s r_2 = r_3 & \sigma r_4 = r_1 & \rho_f r_5 = r_4 \\ r_3 = (a, ac) & \rho_s r_3 = r_1 & \sigma r_2 = r_2 & \rho_f r_4 = r_3 \\ r_4 = (b, ba) & \rho_s r_4 = r_5 & \sigma r_3 = r_6 & \rho_f r_3 = r_6 \\ r_5 = (b, byb) & \rho_s r_5 = r_4 & \sigma r_6 = r_3 & \rho_f r_6 = r_2 \\ r_6 = (c, ca) & \rho_s r_6 = r_6 & \sigma r_5 = r_5 & \rho_f r_2 = r_1 \end{array}\] sur la ligne \(1\;2\;3\;4\;5\;6\) : pour \(\rho_s\), une flèche \(1 \to 2 \to 3\), une double flèche \(4 \leftrightarrow 5\), un point gras en \(6\) ; pour \(\sigma\), des crochets reliant \(1\) et \(4\), \(3\) et \(6\), des points en \(2\) et \(5\). À droite : \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\).

\[p = 6 \quad q = 2 \quad r = 6 \qquad N =\] « \(6\) » et « \(2\) » sont écrits en surcharge ; « \(N =\) » reste sans valeur.

(II) \[\begin{array}{llll} r_1 = (a, ab) & \rho_s r_1 = r_2 & \sigma r_1 = r_4 & \rho_f r_1 = r_5 \\ r_2 = (a, axa) & \rho_s r_2 = r_3 & \sigma r_4 = r_1 & \rho_f r_5 = r_6 \\ r_3 = (a, aya) & \rho_s r_3 = r_1 & \sigma r_2 = r_2 & \rho_f r_6 = r_4 \\ r_4 = (b, ba) & \rho_s r_4 = r_5 & \sigma r_3 = r_3 & \rho_f r_4 = r_3 \\ r_5 = (b, bc) & \rho_s r_5 = r_4 & \sigma r_5 = r_6 & \rho_f r_3 = r_2 \\ r_6 = (c, cb) & \rho_s r_6 = r_6 & \sigma r_6 = r_5 & \rho_f r_2 = r_1 \end{array}\] même schéma sur \(1\;2\;3\;4\;5\;6\) : \(\rho_s\) : \(1 \to 2 \to 3\), \(4 \leftrightarrow 5\), \(6\) fixe ; \(\sigma\) : crochet de \(1\) à \(4\), points en \(2\) et \(3\), \(5 \leftrightarrow 6\).

106le haut de la page est barré de longs traits diagonaux.

\(\tau_{14}\), \(\tau_{43}\) ou \(\tau_{46}\) ? \(\tau_{13}\) — \(\tau_{16}\) \(1 \leq i \leq 5\) \(\rho_s^{i}\sigma\,\rho_s^{j}\sigma \cdots \rho_s^{h}\sigma\)

\(\rho_s^{3} = (4,5)\) \(\rho_s^{4} = (1,2,3)(4)(5)(6)\)

\((fgh)' = (fg)'h + (fg)h' = f'gh + fg'h + fgh'\)

\[a = 0 \quad b = 1 \qquad [\ldots] = \infty\] dans les formules, \([\ldots]\) tient la place d'un signe illisible ou biffé illisible ([…]), là où l'apparat ne peut entrer dans la formule. restent \(c, x, y, u, v\) \[f(z) = \lambda\, z^3 (z-1)^2 (z-c) \qquad \begin{cases} 0 \text{ zéro triple} \\ 1 \text{ zéro double} \\ c \text{ zéro simple} \\ \infty \text{ pôle d'ordre } 6 \end{cases}\] \[f'(z) = \lambda z^2(z-1)\bigl[\,\underbrace{3(z-1)(z-c) + 2z(z-c)}_{(5z-3)(z-c)} + z(z-1)\,\bigr]\] \[= \lambda z^2 (z-1)\bigl[\,6z^2 - (5c+4)z + 3c\,\bigr]\] Ses zéros distincts de \(0, 1, \infty\) sont les zéros de \[6z^2 - (5c+4)z + 3c = 0\] soient \(u\), \(v\). Il faut donc écrire \(f\) \[\begin{cases} u, v \text{ distincts entre eux et } \neq 0, 1, c \\ f(u) = f(v) = 1 \end{cases}\] (racines […] de cette équation ?) \[f(z) - 1 = [\ldots]\ \lambda (z-u)^2 (z-v)^2 (z-x)(z-y)\]

107\[\frac{1}{\lambda} f(u) = u(\alpha u + \beta)\bigl((\alpha-2)u + (\beta+1)\bigr)(u-c)\] \[u^2 = \alpha u + \beta, \qquad \alpha = \frac{5c}{6} + \frac23, \quad \beta = -\frac{c}{2}\] la première ligne est écrite en surcharge sur une version antérieure (des \(u\) biffés) ; deux accolades renvoient aux développements qui suivent. \[u(\alpha u + \beta) = (\alpha^2+\beta)u + \alpha\beta\] \[\bigl((\alpha-2)u + (\beta+1)\bigr)(u-c) = (\alpha-2)u^2 + \bigl[(\beta+1) - c(\alpha-2)\bigr]u - (\beta+1)c\] \[= \bigl(\underbrace{(\alpha-2)\alpha + \beta+1 - c(\alpha-2)}_{(\alpha-2)(\alpha-c) + (\beta+1)}\bigr)u + \bigl((\alpha-2)\beta - (\beta+1)c\bigr)\] \[\alpha(\alpha^2+\beta)\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]\ \struck{\ill{}} + \beta(\alpha^2+\beta)\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]\] \[+ \alpha\beta\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]u + (\alpha^2+\beta)\bigl[(\alpha-2)\beta - (\beta+1)c\bigr]u\] \[+ \alpha\beta\bigl[(\alpha-2)\beta - (\beta+1)c\bigr]\] la ligne suivante est traversée d'un trait, sans doute une rature.

\(\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]\bigl[(\alpha^2+\beta)(\alpha+1) + \alpha\beta\bigr]\) \[\alpha - 2 = \frac{5c}{6} - \frac43, \qquad \alpha - c = -\frac{c}{6} + \frac23\] \[(\alpha-2)(\alpha-c) = -\frac{5}{36}c^2 + \frac79 c - \frac89\] \[\beta + 1 = -\frac{c}{2} + 1 = -\frac{9c}{18} + \frac99\] le dernier membre est lu sans certitude ; le numérateur \(9c\) est surchargé. \[(\alpha-2)(\alpha-c) + \beta+1 = -\frac{5}{36}c^2 + \frac{5}{18}c + \frac19\] \[= -\frac{1}{36}(5c^2 - 10c - 4)\] les signes de la dernière parenthèse sont écrits en surcharge. \(\alpha^3 + 2\alpha\beta = \frac{(5c+4)^3}{6^3} - \frac{c(5c+4)}{6} = \frac{1}{6^3}\bigl[(5c+4)^3 - 36c(5c+4)\bigr]\) la ligne précédente est barrée de deux traits ; en dessous, biffé, « \(-165c^2\) ». \[= \alpha(\alpha^2 + 2\beta) = \frac{1}{6^3}(5c+4)\bigl((5c+4)^2 - 36c\bigr)\] \[= \frac{1}{6^3}(5c+4)(25c^2 + 4c + 16)\] \[(5c+4)(-29c+4) \qquad\qquad -\frac16\Bigl(\frac56\Bigr)^4 c^5\] ces deux dernières expressions sont isolées à droite, sans lien écrit avec le calcul.

108page au crayon. \[\lambda\bigl(P(c)u + Q(c)\bigr) = 1, \qquad \lambda\bigl(P(c)v + Q(c)\bigr) = 1\] \[P(c)(u-v) = 0 \qquad \boxed{P(c) = 0} \qquad \lambda = \frac{1}{Q(c)} \qquad Q(c) \neq 0\] un hexagone, sommets marqués \(0\) et \(1\), avec des traits qui en partent ; à côté, « \(\widetilde{X}\) » et « \(\underline{a}\) ».

P \(\boxed{c \neq 0, 1 \quad Q(c) \neq 0 \quad P(c) = 0 \quad (5c+4)^2 - 72c \neq 0}\) \[f(z) = \frac{1}{Q(c)}\, z^3 (z-1)^2 (z-c)\] \(u, v\) sont les racines de \[z^2 - \frac{5c+4}{6}z + \frac{c}{2} = 0\] \(x, y\) sont les racines de \[\frac{f(z)-1}{(z-u)^2(z-v)^2} = \frac{f(z)-1}{\bigl(z^2 - \frac{5c+4}{6}z + \frac{c}{2}\bigr)^2}\] au crayon : une sphère (ellipse) portant un segment de \(0\) à \(1\) et un point \(\infty\) ; un polygone à sept ou huit côtés découpé en secteurs par des rayons issus du centre.

109notes et dessins tracés sur un avis de soutenance dactylographié ; seuls les siens sont transcrits. \[2\Bigl(\sum p + \sum q + \sum r\Bigr) = 6N\] à l'encre, un petit arbre inscrit dans une lentille, avec des arêtes vers l'extérieur. Au crayon, sur la moitié inférieure : une carte à faces hachurées, sommets marqués \(2\), \(4\), \(8\), \(2\), \(4\), \(8\), \(2\), un segment pointillé ; des courbes emboîtées qui se referment vers un sommet marqué \(8\) ; plus bas, un axe allant vers \(\infty\) et une figure de cercles concentriques traversée par un segment.

110\[f(z) - 1 = \lambda z^3 (z-1)^2 (z-c) - 1 \ \text{divisible par}\ (z^2 - \alpha z - \beta)^2\] \[\lambda z^3 (z-1)^2 (z-c) - 1 = \lambda (z^2 - \alpha z - \beta)^2 (z^2 + \ell z + m)\]

\(c = 0\) \(z^2 - \frac23 z = 0\) d'où \(u = 0\), \(v = \frac23\) \[\frac{1}{\lambda} f = \frac{z^4 (z-1)^2}{z^3 (z-1)^3}\] lecture incertaine de cette fraction, dont l'exposant \(4\) est en surcharge ; à côté, biffé : « \(f = \lambda z^4(z-1)\) ». \[z^2 - \frac32 z + \frac12 = 0, \qquad (z-1)\Bigl(z - \frac12\Bigr)\] un « \(6\) » biffé précède \(z^2\). \(u\,P(c) + Q(c) = 0\) \(v\,P(c) + Q(c) \neq 0\) \[P(c) = 0 \Longrightarrow c \neq 0, 1\] \[P(c) = 0 \qquad \underbrace{25c^2 - 32c + 16}_{\delta(c)}\] \[32(32 - 50) = -32 \cdot 18 = -(8 \cdot 3)^2 \qquad c = \frac{16}{25} \pm \frac{24}{25}\,i\] le calcul du discriminant est écrit en surcharge ; la lecture « \(32(32-50)\) » est incertaine. \[\mathbb{Q}[c]_{\delta(c)\,c(c-1)} / P(c)Q(c) \qquad \mathbb{Q}[c]_{\delta(c)Q(c)}\] \[P(c) = Q(c) = 0 \Longrightarrow f(u) = f(v) = 0\]

111Donc on sait que les zéros de \(P(c)\) sont distincts de \(0, 1\) et ne sont pas des zéros de \(Q\). Mais pourraient-ils être zéros de \(\delta(c) = 25c^2 - 32c + 16\) ?

à gauche, le symbole \(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\), puis une colonne entourée en surcharge et « \(6\) » ; en dessous, « ou » suivi d'un second symbole entouré, biffé. \[f'(z) = 0 \Longrightarrow f(z) = 0\] le dernier signe, un ovale noirci, est lu \(0\) sans certitude. \[f(z) = \lambda\frac{\varphi}{\psi}\] \(\varphi\), \(\psi\) ⌜unitaires⌝ premiers entre eux, à zéros indéterminés de multiplicités données, \(\deg\varphi > \deg\psi\). \[\frac{f'(z)}{f(z)} = [\ldots]\ \Bigl(\frac{\varphi'}{\varphi} - \frac{\psi'}{\psi}\Bigr)\] \[\sum \frac{p_i}{z - \alpha_i} - \sum \frac{q_j}{z - \beta_j} = \frac{1}{\prod (z-\alpha_i) \prod (z-\beta_j)} \bigl(\qquad\bigr)\] la parenthèse reste vide.

Cartes sphériques en bas degrés

titre écrit de sa main sur une feuille de couverture (p. 112), qui ne porte rien d'autre.

113dans les tables qui suivent il note le type d'une carte par un triplet ; chaque entrée est une liste d'entiers, écrite en colonne, un indice marquant la répétition (\(1_3\) : trois fois \(1\)). Les colonnes sont rendues ici par \(\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\). Une accolade reliant deux cartes est transcrite « (accolade) ».

haut de page : une douzaine de petites cartes dessinées à l'encre, certaines entourées d'une courbe fermée portant un nombre (\(8\), \(9\), \(6\)) ; des faces marquées \(1\), \(3\), \(4\), \(5\) ; des chiffres \(3\), \(4\), \(5\) écrits à côté, en partie surchargés ; un arbre, deux croix à quatre et trois branches ; des esquisses biffées.

un segment à un sommet gras degré 1 \[n = \sum_s q_s = \sum_f p_f\]

114recensement par degré ; sous chaque carte, son groupe d'automorphismes (souligné deux fois quand il l'a souligné), puis son type.

(1) un segment. \(\mathbb{Z}_2\) \((1, 1, 1)\)

(2) un segment à sommet au milieu ; un segment à deux sommets ; une boucle. \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) (les deux dernières sous une accolade) \[\bigl(2, \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}, 2\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}, 2, 2\bigr) \quad \bigl(2, 2, \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\bigr)\]

(3) un tripode ; une boucle avec une queue ; un segment à deux sommets prolongé. \(\mathfrak{S}_3\), \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) (les deux dernières sous une accolade) \[\bigl(3, \begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}, 3\bigr) \quad \bigl(3, \begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}, 3\bigr)\]

(4) un segment suivi d'une fourche ; une boucle avec deux arêtes pendantes au même sommet (accolade). \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) \[\bigl(\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, 4\bigr) \quad \bigl(4, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] un segment à deux sommets intérieurs ; une boucle traversée d'un segment (accolade). \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) \[\bigl(\begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, 4\bigr) \quad \bigl(4, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}\bigr)\] une croix. \(\underline{\underline{\mathbb{D}_4}}\) \((4, \begin{smallmatrix}1\\1\\1\\1\end{smallmatrix}, 4)\)

un segment à trois sommets ; deux boucles accolées en un sommet (accolade). \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) \[\bigl(\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, 4\bigr) \quad \bigl(4, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] un cercle portant deux sommets. \(\underline{\underline{\mathbb{D}_4}}\) \(\bigl(\begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}\bigr)\)

plus pâle : un cercle avec une queue terminée par un sommet. \(\mathbb{Z}_2\) \(\bigl(\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}1\\3\end{smallmatrix}\bigr)\) les chiffres de ce dernier type sont peu sûrs.

(5) une étoile à cinq branches. \(\underline{\underline{\mathbb{D}_5}}\) […], \((5, 1_5, 5)\)

une croix avec un sommet à l'extrémité d'une branche ; une boucle avec trois arêtes pendantes au même sommet (accolade). \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) \[\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, 5\bigr) \quad \bigl(5, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] une boucle traversée par un segment, avec deux arêtes pendantes ; un segment suivi d'une fourche (accolade). \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) \[\bigl(5, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, 5\bigr)\] deux boucles accolées avec une arête intérieure ; un segment à trois sommets prolongé (accolade). \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) \[\bigl(5, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, 5\bigr)\]

115suite du degré 5.

deux boucles accolées avec une arête pendante vers le haut ; un tripode à deux sommets terminaux (accolade). \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) \[\bigl(5, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}3\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, 5\bigr)\] une boucle traversée par un segment terminé par un sommet ; une boucle avec une queue à deux sommets (accolade). \(\mathbb{Z}_2\), \(\mathbb{Z}_2\) \[\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] un cercle portant deux sommets, dont l'un a une arête vers l'extérieur. \(\mathbb{Z}_2\) ! \(\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}\bigr)\)

un cercle avec, au même sommet, une queue terminée par un sommet et une arête libre. \(1\) \(\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}\bigr)\)

116types en degré 6, sans dessins. Les doubles barres obliques et les biffures sont les siennes ; plusieurs chiffres sont écrits en surcharge. \[(6, 1_6, 6) \;/\!/\; \bigl(6, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(6, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(6, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\3\end{smallmatrix}\bigr) \;/\!/\; [\ldots]\] \[\bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 2_3\bigr) \quad \bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] une accolade relie le deuxième et le dernier type de cette ligne, qui sont identiques, avec un point d'exclamation. \[\bigl(6, 2_3, \begin{smallmatrix}3\\1_3\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(6, 2_3, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}\bigr)\] \[\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\3\end{smallmatrix}\bigr)\] \[\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] \[\bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr)\] \[\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr)\] dans les deux lignes suivantes, la première entrée est écrite \(3_2\) en surcharge sur une colonne antérieure (sans doute \(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\)). \[\bigl(3_2, 2_3, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, 6\bigr)\] \[\bigl(3_2, 2_3, 2_3\bigr) \quad \bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\3\end{smallmatrix}\bigr)\] d'une autre encre, plus claire, cinq types numérotés, qui renvoient aux cartes marquées des mêmes lettres p. 118. \[(\alpha)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\2_1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3_2\\3\end{smallmatrix}\bigr) \qquad (\beta)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}[\ldots]\\2_3\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \qquad (\gamma)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\2_1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr)\] \[(\delta)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2_1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\2_1\end{smallmatrix}, 6\bigr) \qquad (\eta)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2_1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}3_2\\ {[\ldots]}\end{smallmatrix}\bigr)\] les indices « \(2_1\) » sont lus tels qu'écrits ; plusieurs sont en surcharge.

117suite du recensement de la p. 113 (degré 4, puis degré 5), avec les dessins à droite.

c) 2 sommets d'ordre 2 un cercle portant deux sommets ; un segment à deux sommets prolongé des deux côtés.

d) 3 sommets, dont deux d'ordre 1, 1 d'ordre 2 un segment à trois sommets ; séparé par un trait courbe, un tripode dans une boucle, marqué \(\times\).

degré 5 […]

118degré 6. Sous chaque carte, son groupe d'automorphismes ; un chiffre entouré (\(1\)) marque une carte sans automorphisme non trivial. Des traits courbes au crayon regroupent certaines cartes ; les petites cartes marquées \((\alpha)\), \((\beta)\), \((\gamma)\), \((\delta)\), \((\eta)\) renvoient aux types de la p. 116.

degré 6 a) 1 sommet d'ordre 6 une étoile à six branches, \(\underline{\underline{\mathbb{D}_6}}\) ; séparée par une double barre, une étoile à quatre branches avec une boucle, \(\mathbb{Z}_2\) ; un tripode avec une boucle, \(\mathbb{Z}_2\) ; une boucle traversée à trois arêtes pendantes, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) ; deux boucles accolées à deux arêtes, \(\mathbb{Z}_2\) ; une boucle contenant un point, avec deux arêtes intérieures, \(\mathbb{Z}_2\) ; deux boucles accolées traversées d'un segment, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) ; deux boucles et une arête, \(1\) ; trois boucles, \(\mathfrak{S}_3\) ; une boucle dans une boucle, \(\mathbb{Z}_2\) ; au crayon, dans un enclos, deux boucles traversées d'un segment, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), avec le type (d'une autre encre) \(\bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr)\).

b) 1 sommet d'ordre 5, 1 d'ordre 1 un segment suivi d'une étoile à quatre branches, \(\mathbb{Z}_2\) ; un segment suivi d'une étoile avec boucle, \(1\) (un \(\mathbb{Z}_2\) biffé) ; un segment suivi d'une boucle avec arêtes, \(1\) ; un segment suivi d'une boucle à deux arêtes intérieures, \(\mathbb{Z}_2\) ; un segment suivi de deux boucles, \(\mathbb{Z}_2\) ; deux boucles et une arête terminée par un sommet, \(1\) ; au crayon, dans un enclos, une boucle avec segment, \(\mathbb{Z}_2\).

c) 1 sommet d'ordre 4, 1 d'ordre 2 à gauche, petites cartes d'une autre encre : \((\alpha)\) une boucle traversée d'un segment, \(\mathbb{Z}_2\) ; \((\gamma)\) une petite croix dans un cercle, \(\mathbb{Z}_2\) ; \((\beta)\) deux boucles accolées, \(\mathbb{Z}_2\). Puis : un segment à deux sommets suivi d'une fourche, \(\mathbb{Z}_2\) ; un segment suivi d'une boucle avec arête, \(1\) ; un segment suivi d'une boucle, \(\mathbb{Z}_2\).

d) 1 sommet d'ordre 4, deux d'ordre 1 une croix à deux sommets terminaux, \(\mathbb{Z}_2\) ; une boucle avec deux arêtes à sommets terminaux, \(\mathbb{Z}_2\) ; \((\delta)\) une croix à deux sommets opposés, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) ; \((\eta)\) un cercle avec un rayon prolongé, \(\mathbb{Z}_2\).

e) 2 sommets d'ordre 3 une esquisse biffée (\(\mathbb{Z}\)) ; deux cercles reliés par un segment, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) ; un cercle avec une queue terminée par une fourche, \(\mathbb{Z}_2\) ; deux fourches reliées par un segment, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\). En bas de page : une ellipse partagée par un diamètre, \(\mathbb{Z}_2 \cdot \mathfrak{S}_3\) ; une esquisse biffée ; deux ellipses traversées d'arêtes, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) et \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\).

119f) 1 sommet d'ordre 3, 1 d'ordre 2, 1 d'ordre 1 un tripode avec un sommet sur une branche, \(1\) ; une boucle avec une queue, marquée d'une croix ; des esquisses encadrées de traits et en partie biffées, \(1\), \(\mathbb{Z}_2\) ; un tripode suivi d'un segment à sommet, marqué \(*\), \(\mathbb{Z}_2\) ; un cercle avec une queue à deux sommets, \(\mathbb{Z}_2\). \[\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, [\ldots]\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad \bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr)\] ces quatre types sont écrits en colonne à droite, en partie sous une grosse tache d'encre ; une accolade regroupe les deux derniers.

g g) 1 sommet d'ordre 3, trois d'ordre 1 un tripode à trois sommets terminaux, \(\underline{\underline{\mathbb{D}_3}}\) ; une esquisse biffée. \(\bigl(\begin{smallmatrix}3\\1_3\end{smallmatrix}, 2_3, 6\bigr)\)

h) 3 sommets d'ordre 2 un cercle portant trois sommets, \(\underline{\mathbb{Z}_2 \cdot \mathbb{D}_3}\) (un premier symbole biffé) ; un segment à trois sommets prolongé des deux côtés, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\). \[(2_3, 2_3, 3_2) \qquad \bigl(2_3, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 6\bigr)\] la première entrée du second type est écrite en surcharge.

i) 2 sommets d'ordre 2, 2 d'ordre 1 un segment à quatre sommets, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\). \(\bigl(\begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 2_3, 6\bigr)\)

j) 1 sommet d'ordre 2, 4 d'ordre 1 impossible

« Opérations » sphériques sur les cartes (axiomatique provisoire)

titre écrit de sa main sur une feuille de couverture (p. 120), qui ne porte rien d'autre ; la suite qu'il annonce commence après ce lot.