la page s'ouvre au milieu d'une phrase : l'argument (revêtement galoisien engendré par f, groupe \gamma_{\alpha_0}, type \alpha, entiers p(s), q(s), r(s), \delta) vient de la page précédente, hors de ce lot.
rev. étale galoisien de \mathbb{P}^1_{\Gamma} engendré par f sont de type \alpha. Il est évidemment stable par \gamma_{\alpha_0}, et correspond à un sous-\exists G de type \alpha est engendrable par des gén. \rho, \sigma \rho_s, \rho_f \sigma satisfaisant
\rho_s\,\rho_f\,\sigma = 1, \qquad \sigma^2 = 1,
et si \exists \exists H sous-groupe de G, avec \bigcap conjugués de H = \{e\}, et C_0 déduit de la carte combinatoire orientée E = G/H \rho_s, \rho_f, \sigma …]. Mais il est important de réaliser que dans un cas qui arrivât N = \delta \mid i.e. H = \{e\}, la classe d'isom. des G munis de \rho_s, \rho_f, \sigma (i.e. le type de carte combinatoire orientée correspondante) n'est pas déterminée par la seule connaissance de X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^1_{\Gamma} \ldots]l'indice de \mathbb{P}^1, ici et dans l'ajout de la première ligne, est lu \Gamma sans certitude.
\overline{\mathbb{Q}} = clôture alg. de \mathbb{Q} dans \mathbb{C}
la note marginale est reliée par un trait à un \overline{\mathbb{Q}} écrit au-dessus de « Hom » ; on ne voit pas s'il remplace \mathbb{C} dans \mathrm{Hom}(R^{\alpha}_{C_0}, \mathbb{C}).
III) Considérations M^{\alpha}_{C_0}(\overline{\mathbb{Q}}) \simeq M^{\alpha}_{C_0}(\mathbb{C}) [= M^{\alpha}_{C_0\,\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) \simeq \mathrm{Hom}(R^{\alpha}_{C_0}, \mathbb{C}), où R^{\alpha}_{C_0} est l'algèbre finie étale sur \mathbb{Q} qui représente M^{\alpha}_{C_0\,\mathbb{Q}}]. On sait que c'est aussi l'ens. C^{\alpha}_{C_0} des classes d'iso cartes comb. orientées qui sont de type (C_0, \alpha), i.e. Donc \Gamma = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}) opère dans N^{\alpha}_{C_0} — en fait l' op. C^{\alpha}_{C_0} s'identifie (à iso. can. près) \mathbb{Q}-schéma M^{\alpha}_{C_0\,\mathbb{Q}} (ou du \mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}]-schéma (M^{\alpha}_{C_0})_{\mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}]} …). Bien entendu, \Gamma opère de façon compatible (i.e. commutant) avec les opérations de \gamma sur C^{\alpha}_{C_0}. Rien qu'en regardant l'élément \tau de \Gamma, \tau z = \bar z, on voit que l'opération de \Gamma sur C^{\alpha}_{C_0}/\gamma ne peut pas être triviale…
On va essayer de déterminer l'opération de \gamma \times \Gamma sur C^{\alpha}_{C_0} dans certains cas élémentaires ou (cartes sphériques …)
page de cas. À gauche de chaque cas, un symbole numérique (ici transcrit en tête de cas) ; à droite de chaque dessin, une colonne où il note le point \infty (« \infty / \circ / multiplicité »). Dans les dessins, \bullet marque les points au-dessus de 0, \times ceux au-dessus de 1 ; les chiffres écrits dessous sont les multiplicités. La colonne de droite porte, pour les premiers cas, des égalités G \simeq \ldots, \gamma = \ldots lourdement biffées.
(1) Carte combinatoire type [symbole : 1\;1\;1]
un segment, \bullet en 0 (mult. 1), \times en 1 (mult. 1) ; \infty de multiplicité 1.
f(z) = z G \simeq 1 \gamma = 1
(2) Carte combinatoire type [symbole : 2 \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix} 2]
un segment -1 \times — \bullet\, 0 — \times\, 1, multiplicités 1, 2, 1 ; \infty de multiplicité 2.
f(z) = z^2 C_{C_0} = C^{\alpha}_{C_0} n'a qu'un élément \gamma = \ldots \gamma = \mathbb{Z}_2
(2') Carte comb. type [symbole : \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix} 2\; 2]
un segment \bullet\,0 — \times\,\frac12 — \bullet\,1, multiplicités 1, 1 ; \infty de multiplicité 2.
\Bigl[\, f(z) = \lambda z(z-1) \qquad
\begin{cases} f(t) = \lambda t(t-1) = 1 \\ f'(t) = \lambda(2t-1) = 0 \end{cases}
\quad \text{i.e. } t = \tfrac12,\ \lambda = -4 \,\Bigr]
f(z) = -4z(z-1)
C^{\alpha}_{C_0} = C_{C_0} n'a qu'un élément. G \simeq \mathbb{Z}_2 \gamma = \ldots
(2'') [symbole : 2\; 2 \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}]
un premier dessin (points 0 et 1 de multiplicité 2) et « f(z) = z^2 » sont biffés, ainsi que « G \simeq \mathbb{Z}_2 \simeq \ldots ».
une boucle issue de \bullet\,0 (mult. 2) et passant par \times en t = 2 (mult. 2) ; à l'intérieur, le point 1 (\circ, mult. 1) ; à l'extérieur, \infty (\circ, mult. 1).
\Bigl[\, f(z) = \lambda \frac{z^2}{z-1}, \qquad f(t) = \lambda\frac{t^2}{t-1} = 1
\Bigl[\, f'(z) = \lambda\Bigl(\frac{2z(z-1) - z^2}{(z-1)^2}\Bigr) = \lambda\frac{z^2 - 2z}{(z-1)^2} = 0 \,\Bigr]
f'(t) = 0, \quad t = 2, \quad \lambda = \frac14 \,\Bigr]
f(z) = \frac14\,\frac{z^2}{z-1}
C^{\alpha}_{C_0} a un seul él.
(3*) [symbole : 3 \begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix} 3]
une étoile à trois branches : \bullet\,0 au centre (mult. 3), trois \times au-dessus de 1 (mult. 1) aux extrémités ; \infty de multiplicité 3.
f(z) = z^3 G = \mathbb{Z}_3 \subset \gamma \simeq \mathfrak{S}_3
C^{\alpha}_{C_0} a deux éléments, \gamma y est transitif, \Gamma opère via la représentation cyclotomique dans
(3') [symbole : 3 \begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix} \begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}]
un segment de \times en t = -3 à \bullet\,0, puis une boucle issue de 0 passant par \times en s = \frac32 ; à l'intérieur de la boucle, le point 1 (biffures) ; \infty à l'extérieur.
f(z) = \frac{4}{27}\,\frac{z^3}{z-1}
G \simeq \mathfrak{S}_3 \gamma = \{1\} Card C^{\alpha}_{C_0} = 1
NB La figure barycentrique complète est la réunion de la droite y\,(= \operatorname{Im} z) = 0, et de la courbe
2x(x^2+y^2) + (-3x^2+y^2) = 0
l'axe réel, marqué \times en -3, \bullet en 0, \bullet en 1, \times en \frac32, le segment [0, \frac32] hachuré ; la courbe forme une boucle de 0 à \frac32 autour de 1, et deux branches issues de 0 qui partent vers le haut et le bas à gauche.
3'') (dual du précédent)
un segment \bullet\,0 — \times\,\frac13 — \bullet\,1 — \times\,\frac43 ; \infty à part.
f(z) = \frac{27}{4}\,z(z-1)^2
ses notes occupent le recto d'une lettre dactylographiée qu'il a biffée ; seules les notes sont transcrites.
deux arbres. (I) : c \bullet — \times u — \bullet a — \times v — \bullet b — \times y, avec une branche de a vers \times x ; à côté, une flèche courbe et « o.s. ». (II) : \bullet a, d'où partent deux branches vers \times x et \times y, puis a — \times u — \bullet b — \times v — \bullet c ; « o.s. ».
\begin{matrix} 3 & 2_2 & \\ 2 & 1_2 & 6 \\ 1 & & \end{matrix}
\sigma_2\sigma_1\sigma_1\sigma_0 = \qquad
\rho_s\,\rho_f = \sigma, \qquad \rho_f = \rho_s^{-1}\sigma
(I)
\begin{array}{llll}
r_1 = (a, ab) & \rho_s r_1 = r_2 & \sigma r_1 = r_4 & \rho_f r_1 = r_5 \\
r_2 = (a, axa) & \rho_s r_2 = r_3 & \sigma r_4 = r_1 & \rho_f r_5 = r_4 \\
r_3 = (a, ac) & \rho_s r_3 = r_1 & \sigma r_2 = r_2 & \rho_f r_4 = r_3 \\
r_4 = (b, ba) & \rho_s r_4 = r_5 & \sigma r_3 = r_6 & \rho_f r_3 = r_6 \\
r_5 = (b, byb) & \rho_s r_5 = r_4 & \sigma r_6 = r_3 & \rho_f r_6 = r_2 \\
r_6 = (c, ca) & \rho_s r_6 = r_6 & \sigma r_5 = r_5 & \rho_f r_2 = r_1
\end{array}
sur la ligne 1\;2\;3\;4\;5\;6 : pour \rho_s, une flèche 1 \to 2 \to 3, une double flèche 4 \leftrightarrow 5, un point gras en 6 ; pour \sigma, des crochets reliant 1 et 4, 3 et 6, des points en 2 et 5. À droite : \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.
p = 6 \quad q = 2 \quad r = 6 \qquad N =
« 6 » et « 2 » sont écrits en surcharge ; « N = » reste sans valeur.
(II)
\begin{array}{llll}
r_1 = (a, ab) & \rho_s r_1 = r_2 & \sigma r_1 = r_4 & \rho_f r_1 = r_5 \\
r_2 = (a, axa) & \rho_s r_2 = r_3 & \sigma r_4 = r_1 & \rho_f r_5 = r_6 \\
r_3 = (a, aya) & \rho_s r_3 = r_1 & \sigma r_2 = r_2 & \rho_f r_6 = r_4 \\
r_4 = (b, ba) & \rho_s r_4 = r_5 & \sigma r_3 = r_3 & \rho_f r_4 = r_3 \\
r_5 = (b, bc) & \rho_s r_5 = r_4 & \sigma r_5 = r_6 & \rho_f r_3 = r_2 \\
r_6 = (c, cb) & \rho_s r_6 = r_6 & \sigma r_6 = r_5 & \rho_f r_2 = r_1
\end{array}
même schéma sur 1\;2\;3\;4\;5\;6 : \rho_s : 1 \to 2 \to 3, 4 \leftrightarrow 5, 6 fixe ; \sigma : crochet de 1 à 4, points en 2 et 3, 5 \leftrightarrow 6.
le haut de la page est barré de longs traits diagonaux.
\tau_{14}, \tau_{43} ou \tau_{46} ? \tau_{13} — \tau_{16} 1 \leq i \leq 5 \rho_s^{i}\sigma\,\rho_s^{j}\sigma \cdots \rho_s^{h}\sigma
\rho_s^{3} = (4,5) \rho_s^{4} = (1,2,3)(4)(5)(6)
(fgh)' = (fg)'h + (fg)h' = f'gh + fg'h + fgh'
a = 0 \quad b = 1 \qquad [\ldots] = \infty
dans les formules, [\ldots] tient la place d'un signe illisible ou biffé illisible (), là où l'apparat ne peut entrer dans la formule.
restent c, x, y, u, v
f(z) = \lambda\, z^3 (z-1)^2 (z-c)
\qquad
\begin{cases}
0 \text{ zéro triple} \\
1 \text{ zéro double} \\
c \text{ zéro simple} \\
\infty \text{ pôle d'ordre } 6
\end{cases}
f'(z) = \lambda z^2(z-1)\bigl[\,\underbrace{3(z-1)(z-c) + 2z(z-c)}_{(5z-3)(z-c)} + z(z-1)\,\bigr]
= \lambda z^2 (z-1)\bigl[\,6z^2 - (5c+4)z + 3c\,\bigr]
Ses zéros distincts de 0, 1, \infty sont les zéros de
6z^2 - (5c+4)z + 3c = 0
soient u, v. Il faut donc écrire f
\begin{cases}
u, v \text{ distincts entre eux et } \neq 0, 1, c \\
f(u) = f(v) = 1
\end{cases}
(racines de cette équation ?)
f(z) - 1 = [\ldots]\ \lambda (z-u)^2 (z-v)^2 (z-x)(z-y)
\frac{1}{\lambda} f(u) = u(\alpha u + \beta)\bigl((\alpha-2)u + (\beta+1)\bigr)(u-c)
u^2 = \alpha u + \beta, \qquad \alpha = \frac{5c}{6} + \frac23, \quad \beta = -\frac{c}{2}
la première ligne est écrite en surcharge sur une version antérieure (des u biffés) ; deux accolades renvoient aux développements qui suivent.
u(\alpha u + \beta) = (\alpha^2+\beta)u + \alpha\beta
\bigl((\alpha-2)u + (\beta+1)\bigr)(u-c) = (\alpha-2)u^2 + \bigl[(\beta+1) - c(\alpha-2)\bigr]u - (\beta+1)c
= \bigl(\underbrace{(\alpha-2)\alpha + \beta+1 - c(\alpha-2)}_{(\alpha-2)(\alpha-c) + (\beta+1)}\bigr)u + \bigl((\alpha-2)\beta - (\beta+1)c\bigr)
\alpha(\alpha^2+\beta)\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]\ \struck{\ill{}}
+ \beta(\alpha^2+\beta)\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]
+ \alpha\beta\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]u
+ (\alpha^2+\beta)\bigl[(\alpha-2)\beta - (\beta+1)c\bigr]u
+ \alpha\beta\bigl[(\alpha-2)\beta - (\beta+1)c\bigr]
la ligne suivante est traversée d'un trait, sans doute une rature.
\bigl[(\alpha-2)(\alpha-c)+\beta+1\bigr]\bigl[(\alpha^2+\beta)(\alpha+1) + \alpha\beta\bigr]
\alpha - 2 = \frac{5c}{6} - \frac43, \qquad \alpha - c = -\frac{c}{6} + \frac23
(\alpha-2)(\alpha-c) = -\frac{5}{36}c^2 + \frac79 c - \frac89
\beta + 1 = -\frac{c}{2} + 1 = -\frac{9c}{18} + \frac99
le dernier membre est lu sans certitude ; le numérateur 9c est surchargé.
(\alpha-2)(\alpha-c) + \beta+1 = -\frac{5}{36}c^2 + \frac{5}{18}c + \frac19
= -\frac{1}{36}(5c^2 - 10c - 4)
les signes de la dernière parenthèse sont écrits en surcharge.
\alpha^3 + 2\alpha\beta = \frac{(5c+4)^3}{6^3} - \frac{c(5c+4)}{6} = \frac{1}{6^3}\bigl[(5c+4)^3 - 36c(5c+4)\bigr]
la ligne précédente est barrée de deux traits ; en dessous, biffé, « -165c^2 ».
= \alpha(\alpha^2 + 2\beta) = \frac{1}{6^3}(5c+4)\bigl((5c+4)^2 - 36c\bigr)
= \frac{1}{6^3}(5c+4)(25c^2 + 4c + 16)
(5c+4)(-29c+4) \qquad\qquad -\frac16\Bigl(\frac56\Bigr)^4 c^5
ces deux dernières expressions sont isolées à droite, sans lien écrit avec le calcul.
page au crayon.
\lambda\bigl(P(c)u + Q(c)\bigr) = 1, \qquad \lambda\bigl(P(c)v + Q(c)\bigr) = 1
P(c)(u-v) = 0 \qquad \boxed{P(c) = 0} \qquad \lambda = \frac{1}{Q(c)} \qquad Q(c) \neq 0
un hexagone, sommets marqués 0 et 1, avec des traits qui en partent ; à côté, « \widetilde{X} » et « \underline{a} ».
P
\boxed{c \neq 0, 1 \quad Q(c) \neq 0 \quad P(c) = 0 \quad (5c+4)^2 - 72c \neq 0}
f(z) = \frac{1}{Q(c)}\, z^3 (z-1)^2 (z-c)
u, v sont les racines de
z^2 - \frac{5c+4}{6}z + \frac{c}{2} = 0
x, y sont les racines de
\frac{f(z)-1}{(z-u)^2(z-v)^2} = \frac{f(z)-1}{\bigl(z^2 - \frac{5c+4}{6}z + \frac{c}{2}\bigr)^2}
au crayon : une sphère (ellipse) portant un segment de 0 à 1 et un point \infty ; un polygone à sept ou huit côtés découpé en secteurs par des rayons issus du centre.
notes et dessins tracés sur un avis de soutenance dactylographié ; seuls les siens sont transcrits.
2\Bigl(\sum p + \sum q + \sum r\Bigr) = 6N
à l'encre, un petit arbre inscrit dans une lentille, avec des arêtes vers l'extérieur. Au crayon, sur la moitié inférieure : une carte à faces hachurées, sommets marqués 2, 4, 8, 2, 4, 8, 2, un segment pointillé ; des courbes emboîtées qui se referment vers un sommet marqué 8 ; plus bas, un axe allant vers \infty et une figure de cercles concentriques traversée par un segment.
f(z) - 1 = \lambda z^3 (z-1)^2 (z-c) - 1 \ \text{divisible par}\ (z^2 - \alpha z - \beta)^2
\lambda z^3 (z-1)^2 (z-c) - 1 = \lambda (z^2 - \alpha z - \beta)^2 (z^2 + \ell z + m)
c = 0 z^2 - \frac23 z = 0 d'où u = 0, v = \frac23
\frac{1}{\lambda} f = \frac{z^4 (z-1)^2}{z^3 (z-1)^3}
lecture incertaine de cette fraction, dont l'exposant 4 est en surcharge ; à côté, biffé : « f = \lambda z^4(z-1) ».
z^2 - \frac32 z + \frac12 = 0, \qquad (z-1)\Bigl(z - \frac12\Bigr)
un « 6 » biffé précède z^2.
u\,P(c) + Q(c) = 0 v\,P(c) + Q(c) \neq 0
P(c) = 0 \Longrightarrow c \neq 0, 1
P(c) = 0 \qquad \underbrace{25c^2 - 32c + 16}_{\delta(c)}
32(32 - 50) = -32 \cdot 18 = -(8 \cdot 3)^2 \qquad c = \frac{16}{25} \pm \frac{24}{25}\,i
le calcul du discriminant est écrit en surcharge ; la lecture « 32(32-50) » est incertaine.
\mathbb{Q}[c]_{\delta(c)\,c(c-1)} / P(c)Q(c)
\qquad
\mathbb{Q}[c]_{\delta(c)Q(c)}
P(c) = Q(c) = 0 \Longrightarrow f(u) = f(v) = 0
- a) u = 0 \Longrightarrow c = 0 absurde (u, v font partie des autres que 0, 1, c)
- b) u = 1 \Longrightarrow 6 - (5c+4) + 3c = 0, i.e. 2 - 2c = 0, i.e. c = 1 absurde
- c) u = c 6c^2 - (5c+4)c + 3c = 0, c^2 - c = 0, c(1-c) = 0, c = 0 ou c = 1 absurde
Donc on sait que les zéros de P(c) sont distincts de 0, 1 et ne sont pas des zéros de Q. Mais pourraient-ils être zéros de \delta(c) = 25c^2 - 32c + 16 ?
à gauche, le symbole \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, puis une colonne entourée en surcharge et « 6 » ; en dessous, « ou » suivi d'un second symbole entouré, biffé.
f'(z) = 0 \Longrightarrow f(z) = 0
le dernier signe, un ovale noirci, est lu 0 sans certitude.
f(z) = \lambda\frac{\varphi}{\psi}
\varphi, \psi unitaires premiers entre eux, à zéros indéterminés de multiplicités données, \deg\varphi > \deg\psi.
\frac{f'(z)}{f(z)} = [\ldots]\ \Bigl(\frac{\varphi'}{\varphi} - \frac{\psi'}{\psi}\Bigr)
\sum \frac{p_i}{z - \alpha_i} - \sum \frac{q_j}{z - \beta_j}
= \frac{1}{\prod (z-\alpha_i) \prod (z-\beta_j)} \bigl(\qquad\bigr)
la parenthèse reste vide.
Cartes sphériques en bas degrés
titre écrit de sa main sur une feuille de couverture (p. 112), qui ne porte rien d'autre.
dans les tables qui suivent il note le type d'une carte par un triplet ; chaque entrée est une liste d'entiers, écrite en colonne, un indice marquant la répétition (1_3 : trois fois 1). Les colonnes sont rendues ici par \begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}. Une accolade reliant deux cartes est transcrite « (accolade) ».
haut de page : une douzaine de petites cartes dessinées à l'encre, certaines entourées d'une courbe fermée portant un nombre (8, 9, 6) ; des faces marquées 1, 3, 4, 5 ; des chiffres 3, 4, 5 écrits à côté, en partie surchargés ; un arbre, deux croix à quatre et trois branches ; des esquisses biffées.
un segment à un sommet gras degré 1
n = \sum_s q_s = \sum_f p_f
degré 1 \varphi(\struck{\ill{}}1) = 2 un segment.degré 2 a) 1 seul sommet d'ordre 2 ; b) 2 sommets d'ordre 1.
pour a) : un segment à sommet au milieu ; une boucle ; (biffé) ; pour b) : un segment à deux sommets.degré 3 a) 1 sommet d'ordre 3 ; b) 2 sommets, d'ordre 1 et 2.
un tripode ; une boucle avec une queue ; une esquisse biffée ; un segment à deux sommets prolongé.degré 4 a) 1 sommet d'ordre 4 ; b) 1 sommet d'ordre 3, 1 d'ordre 1.
pour a) : une croix ; une boucle traversée d'un segment ; deux boucles accolées ; une boucle avec un segment intérieur (ces deux dernières séparées par un trait courbe). Pour b) : un segment suivi d'une fourche ; des esquisses biffées ; « rigide ».
recensement par degré ; sous chaque carte, son groupe d'automorphismes (souligné deux fois quand il l'a souligné), puis son type.
(1) un segment. \mathbb{Z}_2 (1, 1, 1)
(2) un segment à sommet au milieu ; un segment à deux sommets ; une boucle. \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 (les deux dernières sous une accolade)
\bigl(2, \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}, 2\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}, 2, 2\bigr) \quad
\bigl(2, 2, \begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\bigr)
(3) un tripode ; une boucle avec une queue ; un segment à deux sommets prolongé. \mathfrak{S}_3, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 (les deux dernières sous une accolade)
\bigl(3, \begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}, 3\bigr) \quad
\bigl(3, \begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\end{smallmatrix}, 3\bigr)
(4)
un segment suivi d'une fourche ; une boucle avec deux arêtes pendantes au même sommet (accolade). \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, 4\bigr) \quad
\bigl(4, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}\bigr)
un segment à deux sommets intérieurs ; une boucle traversée d'un segment (accolade). \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2
\bigl(\begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, 4\bigr) \quad
\bigl(4, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}\bigr)
une croix. \underline{\underline{\mathbb{D}_4}} (4, \begin{smallmatrix}1\\1\\1\\1\end{smallmatrix}, 4)
un segment à trois sommets ; deux boucles accolées en un sommet (accolade). \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2
\bigl(\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, 4\bigr) \quad
\bigl(4, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}\bigr)
un cercle portant deux sommets. \underline{\underline{\mathbb{D}_4}} \bigl(\begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}\bigr)
plus pâle : un cercle avec une queue terminée par un sommet. \mathbb{Z}_2 \bigl(\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}1\\3\end{smallmatrix}\bigr)
les chiffres de ce dernier type sont peu sûrs.
(5)
une étoile à cinq branches. \underline{\underline{\mathbb{D}_5}}
une croix avec un sommet à l'extrémité d'une branche ; une boucle avec trois arêtes pendantes au même sommet (accolade). \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, 5\bigr) \quad
\bigl(5, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}\bigr)
une boucle traversée par un segment, avec deux arêtes pendantes ; un segment suivi d'une fourche (accolade). \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2
\bigl(5, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_3\end{smallmatrix}, 5\bigr)
deux boucles accolées avec une arête intérieure ; un segment à trois sommets prolongé (accolade). \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2
\bigl(5, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, 5\bigr)
suite du degré 5.
deux boucles accolées avec une arête pendante vers le haut ; un tripode à deux sommets terminaux (accolade). \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2
\bigl(5, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, 5\bigr)
une boucle traversée par un segment terminé par un sommet ; une boucle avec une queue à deux sommets (accolade). \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}\bigr)
un cercle portant deux sommets, dont l'un a une arête vers l'extérieur. \mathbb{Z}_2 ! \bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\end{smallmatrix}\bigr)
un cercle avec, au même sommet, une queue terminée par un sommet et une arête libre. 1 \bigl(\begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1\end{smallmatrix}\bigr)
types en degré 6, sans dessins. Les doubles barres obliques et les biffures sont les siennes ; plusieurs chiffres sont écrits en surcharge.
(6, 1_6, 6) \;/\!/\; \bigl(6, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(6, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(6, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\3\end{smallmatrix}\bigr) \;/\!/\; [\ldots]
\bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 2_3\bigr) \quad
\bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr)
une accolade relie le deuxième et le dernier type de cette ligne, qui sont identiques, avec un point d'exclamation.
\bigl(6, 2_3, \begin{smallmatrix}3\\1_3\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(6, 2_3, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}\bigr)
\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\3\end{smallmatrix}\bigr)
\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr)
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr)
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr)
dans les deux lignes suivantes, la première entrée est écrite 3_2 en surcharge sur une colonne antérieure (sans doute \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}).
\bigl(3_2, 2_3, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2\\1_4\end{smallmatrix}, 6\bigr)
\bigl(3_2, 2_3, 2_3\bigr) \quad
\bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(3_2, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\3\end{smallmatrix}\bigr)
d'une autre encre, plus claire, cinq types numérotés, qui renvoient aux cartes marquées des mêmes lettres p. 118.
(\alpha)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\2_1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3_2\\3\end{smallmatrix}\bigr) \qquad
(\beta)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}[\ldots]\\2_3\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\bigr) \qquad
(\gamma)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\2_1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr)
(\delta)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2_1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\2_1\end{smallmatrix}, 6\bigr) \qquad
(\eta)\ \bigl(\begin{smallmatrix}4\\2_1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}3_2\\ {[\ldots]}\end{smallmatrix}\bigr)
les indices « 2_1 » sont lus tels qu'écrits ; plusieurs sont en surcharge.
suite du recensement de la p. 113 (degré 4, puis degré 5), avec les dessins à droite.
c) 2 sommets d'ordre 2 un cercle portant deux sommets ; un segment à deux sommets prolongé des deux côtés.
d) 3 sommets, dont deux d'ordre 1, 1 d'ordre 2 un segment à trois sommets ; séparé par un trait courbe, un tripode dans une boucle, marqué \times.
degré 5
- a) 1 sommet d'ordre 5 une étoile à cinq branches ; une boucle à trois arêtes pendantes ; des boucles accolées ; plusieurs sont marquées \times.
- b) 2 sommets, d'ordre 4 et 1 un segment suivi d'un tripode ; un segment suivi d'une boucle avec arête, encadré « rigide » ; une boucle avec une arête intérieure et une queue, marquée \times.
- c) 2 sommets, d'ordre 3 et 2 un segment suivi d'une fourche, marqué \times ; un segment suivi d'une boucle, marqué \times ; un cercle portant deux sommets avec une arête vers l'extérieur.
- d) 3 sommets, dont 1 d'ordre 3, deux d'ordre 1 un tripode à deux sommets terminaux.
- e) 3 sommets, dont 2 d'ordre 2, 1 d'ordre 1 une esquisse biffée ; un segment à trois sommets prolongé, marqué \times.
- f) 4 sommets, dont trois d'ordre 1, 1 d'ordre 2 impossible …
degré 6. Sous chaque carte, son groupe d'automorphismes ; un chiffre entouré (1) marque une carte sans automorphisme non trivial. Des traits courbes au crayon regroupent certaines cartes ; les petites cartes marquées (\alpha), (\beta), (\gamma), (\delta), (\eta) renvoient aux types de la p. 116.
degré 6 a) 1 sommet d'ordre 6
une étoile à six branches, \underline{\underline{\mathbb{D}_6}} ; séparée par une double barre, une étoile à quatre branches avec une boucle, \mathbb{Z}_2 ; un tripode avec une boucle, \mathbb{Z}_2 ; une boucle traversée à trois arêtes pendantes, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ; deux boucles accolées à deux arêtes, \mathbb{Z}_2 ; une boucle contenant un point, avec deux arêtes intérieures, \mathbb{Z}_2 ; deux boucles accolées traversées d'un segment, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ; deux boucles et une arête, 1 ; trois boucles, \mathfrak{S}_3 ; une boucle dans une boucle, \mathbb{Z}_2 ; au crayon, dans un enclos, deux boucles traversées d'un segment, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, avec le type (d'une autre encre) \bigl(6, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}4\\1_2\end{smallmatrix}\bigr).
b) 1 sommet d'ordre 5, 1 d'ordre 1
un segment suivi d'une étoile à quatre branches, \mathbb{Z}_2 ; un segment suivi d'une étoile avec boucle, 1 (un \mathbb{Z}_2 biffé) ; un segment suivi d'une boucle avec arêtes, 1 ; un segment suivi d'une boucle à deux arêtes intérieures, \mathbb{Z}_2 ; un segment suivi de deux boucles, \mathbb{Z}_2 ; deux boucles et une arête terminée par un sommet, 1 ; au crayon, dans un enclos, une boucle avec segment, \mathbb{Z}_2.
c) 1 sommet d'ordre 4, 1 d'ordre 2
à gauche, petites cartes d'une autre encre : (\alpha) une boucle traversée d'un segment, \mathbb{Z}_2 ; (\gamma) une petite croix dans un cercle, \mathbb{Z}_2 ; (\beta) deux boucles accolées, \mathbb{Z}_2. Puis : un segment à deux sommets suivi d'une fourche, \mathbb{Z}_2 ; un segment suivi d'une boucle avec arête, 1 ; un segment suivi d'une boucle, \mathbb{Z}_2.
d) 1 sommet d'ordre 4, deux d'ordre 1
une croix à deux sommets terminaux, \mathbb{Z}_2 ; une boucle avec deux arêtes à sommets terminaux, \mathbb{Z}_2 ; (\delta) une croix à deux sommets opposés, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ; (\eta) un cercle avec un rayon prolongé, \mathbb{Z}_2.
e) 2 sommets d'ordre 3
une esquisse biffée (\mathbb{Z}) ; deux cercles reliés par un segment, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ; un cercle avec une queue terminée par une fourche, \mathbb{Z}_2 ; deux fourches reliées par un segment, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2. En bas de page : une ellipse partagée par un diamètre, \mathbb{Z}_2 \cdot \mathfrak{S}_3 ; une esquisse biffée ; deux ellipses traversées d'arêtes, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 et \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.
f) 1 sommet d'ordre 3, 1 d'ordre 2, 1 d'ordre 1
un tripode avec un sommet sur une branche, 1 ; une boucle avec une queue, marquée d'une croix ; des esquisses encadrées de traits et en partie biffées, 1, \mathbb{Z}_2 ; un tripode suivi d'un segment à sommet, marqué *, \mathbb{Z}_2 ; un cercle avec une queue à deux sommets, \mathbb{Z}_2.
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 6\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, [\ldots]\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}5\\1\end{smallmatrix}\bigr) \quad
\bigl(\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}, 2_3, \begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\bigr)
ces quatre types sont écrits en colonne à droite, en partie sous une grosse tache d'encre ; une accolade regroupe les deux derniers.
g g) 1 sommet d'ordre 3, trois d'ordre 1
un tripode à trois sommets terminaux, \underline{\underline{\mathbb{D}_3}} ; une esquisse biffée. \bigl(\begin{smallmatrix}3\\1_3\end{smallmatrix}, 2_3, 6\bigr)
h) 3 sommets d'ordre 2
un cercle portant trois sommets, \underline{\mathbb{Z}_2 \cdot \mathbb{D}_3} (un premier symbole biffé) ; un segment à trois sommets prolongé des deux côtés, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.
(2_3, 2_3, 3_2) \qquad \bigl(2_3, \begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 6\bigr)
la première entrée du second type est écrite en surcharge.
i) 2 sommets d'ordre 2, 2 d'ordre 1
un segment à quatre sommets, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2. \bigl(\begin{smallmatrix}2_2\\1_2\end{smallmatrix}, 2_3, 6\bigr)
j) 1 sommet d'ordre 2, 4 d'ordre 1 impossible
« Opérations » sphériques sur les cartes (axiomatique provisoire)
titre écrit de sa main sur une feuille de couverture (p. 120), qui ne porte rien d'autre ; la suite qu'il annonce commence après ce lot.