Cote n° 138 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

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Action de Galois sur les systèmes \(\Sigma(X/I/\xi/k)\)

81La page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient d'avant le lot. des \(\Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(T, \pi)\) canoniques, \(i \in I\). Le système \[\Sigma(X/I/\xi/k) = (T, I, \pi, (\Phi_{i}))\] la notation \(\Sigma(X/I/\xi/k)\) est ajoutée au-dessus d'une première écriture biffée et illisible, \(\struck{\Sigma(\ill{})}\) ; le troisième argument est lu \(\xi\) ici, \(x\) n'est pas exclu. satisfait aux conditions envisagées. […] Au lieu […] de prendre \(x\), il suffisait de prendre un \(\xi\), foncteur fibre sur la catégorie des rev[êtements] étales de \(X \setminus I\) (\(\pi\) étant le groupe des automorphismes de \(\xi\) …).

Alors \(\Sigma\) dépend fonctoriellement de \((X/I/\xi/k)\). Prenant \(X/I\), \(k\) fixes, \(\xi\) variable, on voit que \(\Sigma\) est déterminé « mod automorphismes intérieurs » i.e. […] définit un torseur sous ⌜à droite⌝ non pas sous \(\widetilde{A}_{\nu}\) mais sous son quotient \((\widetilde{A}_{\nu}/\pi_{\nu} =)\ \widetilde{\Gamma}_{\nu}\), ⌜soit \(P(X/I/k)\)⌝ ([…] dernier torseur dont le commutant est le groupe des « automorphismes ext. » de \((T, I, \pi\) \(\Sigma(X/I/\xi/k)\) …

Supposons que \(X/I/k\) provienne par extension de la base ⌜\(k_{0} \to k\)⌝ […] \(S_{0}\) d'une situation

82\(X_{0}/S_{0}\) d'une situation \(X_{0}/I_{0}/k_{0}\), \(k_{0}\) où \(k_{0}\) est un sous-corps. [OPS dans la pratique \(k\) est la clôture alg. de \(k_{0}\) …]. Alors \(\Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k_{0})\) opère sur \(\Sigma^{\mathrm{ext}}\) par transport de structure, donc aussi une […] opération associée sur \(P(X/I/k)\), ⌜i.e. on a⌝ donc un homom. \[\Gamma \longrightarrow {}^{P(X/I/k)}\widetilde{\Gamma}_{\nu} \simeq \mathrm{Aut}(\Sigma^{\mathrm{ext}})\] qui par changement inverse ⌜d'extension⌝ donne naissance à l'extension \[1 \to \pi_{1}(X \setminus I, x) \to \pi_{1}(X_{0} \setminus I_{0}, x_{0}) \to \pi_{1}(k_{0}, \overline{k}) \to 1\] \[\dots\qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi\ } \mathrm{Aut}(T) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\] est l'homom. de Kummer-Tate …

II

Plus précisément supposons \(k_{0} = \mathbb{Q}\), \(X_{0} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}\), \(\overline{\mathbb{Q}}\) clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\), \[I = \mu_{\nu+1}(\overline{\mathbb{Q}}) = \mu_{\nu+1}(\mathbb{C}^{*}) \subset \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{E}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}(\overline{\mathbb{Q}}) \subset \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}(\overline{\mathbb{Q}})\] \(\mathbb{E}^{1}\) : lecture du symbole incertaine ; il désigne manifestement la droite affine. On trouve un isomorphisme canonique, via l'exponentielle et les lacets, \[\struck{I \simeq [0,1]},\qquad \Sigma(X/I/k)^{\mathrm{ext}} \simeq L_{\nu}^{\mathrm{ext}}\] donc \[P(X, I/k) = \text{torseur trivial}\]

83d'où \[\Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}\] L'homom. correspondant \[\Gamma \to \mathfrak{S}_{\nu+1}\] se factorise via \[\Gamma \to \mu_{\nu+1}(\mathbb{C}^{*}) \simeq \mathbb{Z}/\nu{+}1 \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathfrak{S}_{\nu+1}\ \dots\]

L'intérêt de prendre \(I\) comme dessus est d'avoir une opération ⌜\(\mathbb{Z}/2\)⌝ de \(\mu_{\mathbb{Q}}\) transitive sur la situation \(n = \nu + 1\) \[(X_{0}/I_{0}/\mathbb{Q})\quad \text{donc de } \overset{\mathbb{Z}/2}{\dots}\ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})\ (= D_{n})\] sur \(X/I/\mathbb{Q}\) – en fait, le produit semi-direct \((\Gamma \times \struck{\ill{}}\ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})) \rtimes \overline{\mathbb{Q}}^{*}\) opère sur \(X/I/\overline{\mathbb{Q}}\) donc j'aurais dû \[(\Gamma \times \mathbb{Z}/2) \cdot \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}\] la ligne précédente, telle qu'écrite, place \(\overline{\mathbb{Q}}^{*}\) en indice sous \(\mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})\) ; la lecture comme produit semi-direct est incertaine. où l'homom. \[\mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}\]

84se déduit de l'homom. évident \[\mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \xrightarrow{\ \rho_{\nu}\ } \widetilde{A}_{\nu}\] provenant de la permutation circulaire des gén. de \(\widehat{L}_{\nu}\) – l'opération de \(\mathbb{Z}/2\) dans \(\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}\) provenant de même de l'opération \[\mathbb{Z}/2 \longrightarrow \widetilde{A}_{\nu}\] vérifier ? par \[(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \dots, \lambda_{\nu}) \xrightarrow{\ t_{\nu}\ } \bigl(\lambda_{0},\ g_{\nu}\lambda_{\nu}g_{\nu}^{-1},\ g_{\nu-1}\lambda_{\nu-1}g_{\nu-1}^{-1}, \dots,\ g_{2}\lambda_{2}g_{2}^{-1},\ \lambda_{1}\bigr)\] au-dessous, une première écriture de l'image, biffée, en partie illisible : \(\struck{(\ill{}, \lambda_{\nu}, \lambda_{\nu-1}, \dots)}\). où \(g_{i} = \lambda_{0} \cdots \lambda_{i-1}\), qui renverse l'ordre circulaire.

Cela nous dit donc que l'homom. \[\Gamma \xrightarrow{\ i_{\nu}\ } \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} \overset{\varepsilon_{\nu}}{\dashrightarrow} \mathfrak{S}_{n} \supset (\mathbb{Z}/n)^{*}\] sous \((\mathbb{Z}/n)^{*}\), une addition biffée, lue \(\struck{\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n)}\). satisfait, en plus de \[\varepsilon_{\nu}\, i_{\nu} = \chi_{n} \bmod n\] encadré sur la page. la relation \[\begin{cases} i_{\nu}(\Gamma) \text{ commute à } t_{\nu}\\[2pt] i_{\nu}(\gamma)\, \rho_{\nu}(i)\, i_{\nu}(\gamma)^{-1} = \rho_{\nu}(\chi_{n}(\gamma)\, i) \end{cases}\]

85Soit \(\mathcal{T}_{\nu}^{!}\) le ss-groupe de \(\widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}\) formé des éléments qui satisfont aux relations précédentes. Donc on a \[1 \to \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} \to \mathcal{T}_{\nu}^{!} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{\times} \to 1\] avec \[\mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} \subset \mathcal{T}_{\nu}^{0},\qquad \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} = \Bigl\{\gamma \in \mathcal{T}_{\nu}^{0} \Bigm| \gamma \text{ commute aux } \rho_{\nu}(i) \text{ et à } t_{\nu}\Bigr\}\]

Si \(\nu = 2\) il y a un autre choix intéressant de \(I_{0} \subset \mathbb{P}^{1}(\overline{\mathbb{Q}})\), savoir \(I = \{0, 1, \infty\}\) (plutôt que \(I = \mu_{3}(\overline{\mathbb{Q}})\)) qui donne lieu à action de \(\mathfrak{S}_{3}\) sur \((X_{0}/I_{0}/k)\) – on trouve action de \(\Gamma \times \mathfrak{S}_{3}\) sur \(\Gamma_{2}^{\mathrm{ext}}\), i.e. \[\Gamma \times \mathfrak{S}_{3} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{2}\] sur la page, \(\mathfrak{S}_{3}\) porte un accent au-dessus dans « \(\Gamma \times \mathfrak{S}_{3}\) », et \(\Gamma_{2}^{\mathrm{ext}}\) est écrit sur une première lettre surchargée ; lecture de ces deux points incertaine.

86En fait on a ici, exceptionnellement \[\widetilde{\mathcal{T}}_{2} \simeq \mathfrak{S}_{3} \cdot \mathcal{T}_{2}\] (produit semi-direct pour action de \(\mathfrak{S}_{3}\) sur \(\mathcal{T}_{2}\)) \[\Gamma \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \widetilde{\mathcal{T}}_{2} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathfrak{S}_{3}\quad \text{trivial}\] i.e. \(\Gamma \to \struck{\ill{}}\ \widetilde{\mathcal{T}}_{2}\), d'où \[\boxed{\ \Gamma \longrightarrow \mathcal{T}_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}\ }\]

On aurait envie de définir un iso can. \(\mathcal{T}_{2}^{!} \simeq \mathcal{T}_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}\) ? et des iso can. \[\mathcal{T}_{2}^{!} \simeq \mathcal{T}_{\nu}^{!}\]

Pour essayer une généralisation d' la page s'arrête sur cette phrase inachevée ; la page suivante (87) est blanche.

Groupes profinis qui […]

88titre souligné sur la page ; lecture incertaine au-delà de « Groupes profinis ». \[\begin{cases} \pi \ \text{groupe profini}\\ T\ \ \widehat{\mathbb{Z}}\text{-module libre de rang } 1 \ \struck{\text{de } \widehat{\mathbb{Z}}\ (\text{isomorphisme non précisé})}\\ \Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(L, \pi)\ \struck{\ill{}} \qquad 0 \le i \le \nu \qquad (\nu \ge 2) \end{cases}\] la deuxième ligne commence par \(T\) (surchargé) ; la troisième écrit \(L\) là où l'on attend \(T\) : transcrit tel quel.

Hyp\(_{\nu}\) : \[\begin{cases} \exists\, e \in T^{*} \text{ base de } T\\ (\varphi_{i})_{0 \le i \le \nu} \in \prod_{0 \le i \le \nu} \Phi_{i} \end{cases}\] tels que, posant \(l_{i} = \varphi_{i}(e)\), l'homom. de \[\widehat{L}_{\nu} \struck{\ill{}} \longrightarrow \pi,\qquad \lambda_{i} \longmapsto l_{i}\] sous \(\widehat{L}_{\nu}\) une glose partiellement biffée : groupe profini … engendré par \(\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu}\) avec \(\lambda_{0} \cdots \lambda_{\nu} = 1\). soit un isomorphisme.

En d'autres termes soit \[\pi_{0} = \widehat{L}_{\nu} = \struck{\text{groupe profini}}\ (\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = 1)^{\wedge}\] \[T_{0} = \widehat{\mathbb{Z}},\quad e_{0} = 1\] \[\Phi_{0i} \text{ classe de } \widehat{\mathbb{Z}} \longrightarrow \pi_{\nu}, \qquad e_{0} \longmapsto \lambda_{i}\] on veut que \((\pi, T, (\Phi_{i}))\) soit isom. à \((\pi_{0}, T_{0}, (\Phi_{0i}))\). \[A_{\nu} = \mathrm{Aut}(\widehat{L}_{\nu}, T_{0}, (\Phi_{0i})) \xrightarrow{\ \chi_{\nu}\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} = \mathrm{Aut}(T_{0})\] on prouve que c'est surjectif. \[\widehat{L}_{\nu} \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{Ker}\,\chi_{\nu} \subset A_{\nu} \quad\text{injectif},\qquad g \longmapsto (\mathrm{int}(g), \mathrm{id}_{T_{0}})\] \(u\, i(g)\, u^{-1} = i(u(g))\) i.e. \(\widehat{L}_{\nu}\) invariant dans \(A_{\nu}\). \[A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \Gamma_{\nu}\] on veut élucider sa structure.

89Considérons \[L_{\nu} = \{\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = 1\} \quad \text{groupe discret}\] \[\Psi_{i} \in \mathrm{Homext}(\mathbb{Z}, L_{\nu})\ \text{classe de}\ \psi_{i} : \mathbb{Z} \to L_{\nu},\quad \psi_{i}(1) = \lambda_{i}\] (donc \(\Phi_{i} = \widehat{\Psi}_{i}\)) […]

Considérons \[B_{\nu} = \mathrm{Aut}(L_{\nu}, \mathbb{Z}, (\Psi_{i}))\] On a \[B_{\nu} \xrightarrow{\ \chi_{\nu}^{0}\ } \mathbb{Z}^{*} = \{\pm 1\} \quad\text{surjectif}\] \[L_{\nu} \hookrightarrow \mathrm{Ker}(\chi_{\nu}^{0}),\qquad g \longmapsto (\mathrm{int}(g), \mathrm{id}_{\mathbb{Z}})\] Soit \[\mathcal{T}_{\nu} = B_{\nu}/L_{\nu}\] (groupe de Teichmüller (discret) associé pour la sphère à \(\nu + 1\) trous) \[1 \to \mathcal{T}_{\nu}^{0} \to \mathcal{T}_{\nu} \to \mathbb{Z}/2 \to 1\] On sait que \(\mathcal{T}_{2}^{0} = 1\), \(\mathcal{T}_{\nu}^{0}\) = groupe des tresses sphériques colorées à \((\nu+1)\) brins, groupe non trivial si \(\nu \ge 3\) \([\simeq \pi_{1}(\widetilde{D}_{\nu+1})\ ?]\).

On a

\begin{tikzcd}
  \widehat{L}_{\nu} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \widehat{B}_{\nu} \arrow[r, "\widehat{\chi}_{\nu}^{0}"] \arrow[d] & (\mathbb{Z}^{*})^{\wedge} = \pm 1 \arrow[d] \\
  \widehat{L}_{\nu} \arrow[r] & A_{\nu} \arrow[r, "\chi_{\nu}"] & \mathbb{Z}^{*}
\end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est tracée double ; les deux autres sont des flèches d'inclusion. La dernière entrée de la ligne du bas est écrite \(\mathbb{Z}^{*}\) (et non \(\widehat{\mathbb{Z}}^{*}\)) : transcrit tel quel. \[\widehat{B}_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} \subset A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \Gamma_{\nu}\]

\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/2 \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
  1 \arrow[r] & \Gamma_{\nu}^{0} \arrow[r] & \Gamma_{\nu} \arrow[r] & \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

Questions : \(\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}\) invariant dans \(\Gamma_{\nu}\) ? \(\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0}\) dist. dans \(\Gamma_{\nu}^{0}\) ? Quand a-t-on […] \(\widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} = \Gamma_{\nu}^{0}\) (c'est faux pour \(\nu = 2\)).

90Variante. Donnons-nous […] \[\varepsilon = (\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{\nu}) \in (\overline{\mathbb{N}^{*}})^{\nu+1}\] sous \(\overline{\mathbb{N}^{*}}\) une flèche renvoie à \([1, \infty]\). Soit \[L_{\nu}^{\varepsilon} = \bigl\{\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \bigm| \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = \lambda_{0}^{\varepsilon_{0}} = \lambda_{1}^{\varepsilon_{1}} = \dots = \lambda_{\nu}^{\varepsilon_{\nu}} = 1\bigr\}\] la page s'arrête là ; la page 91 est blanche.

Le \(\Gamma\)-torseur \(\mathcal{C}\)

Pages 92–95 : autre encre (brune), autre feuillet.

92\[\left\{ \begin{array}{l} \Gamma \text{ groupe},\ \mathcal{C}\ \Gamma\text{-torseur à droite}\\ \pi,\ \Gamma\text{-groupe}\quad \struck{\ill{}}\\ T_{i}\ (i \in I)\ (\pi, \Gamma)\text{-tors.}\\ \pi_{i}\ \text{commutant}\\ I_{i} \hookrightarrow \pi_{i}\ \text{sous-}\Gamma\text{-groupe} \end{array} \right. \qquad\Bigg|\qquad \begin{array}{l} \widetilde{\pi}\ \text{groupe}\\ \widetilde{T}_{i}\ (i \in I)\ \widetilde{\pi}\text{-torseur}\\ \widetilde{\pi}_{i}\ \text{son commutant}\\ \widetilde{I}_{i} \subset \widetilde{\pi}_{i} \end{array}\] \[\mathcal{C} \xrightarrow{\ \rho\ } \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}) \qquad \Gamma\text{-homomorphisme}\] deux lignes barrées d'un zigzag au crayon : \(\struck{\ill{}\ \rho(\varphi) : \pi \to \widetilde{\pi}}\) et \(\struck{\ill{}\ T_{i} \wedge_{\pi} (\widetilde{\pi}, \varphi)}\). \[\pi \xrightarrow{\ \rho(\varphi)\ } \widetilde{\pi} \quad\text{donc}\quad \widetilde{\pi} \simeq \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} \pi, \qquad T_{i} \xrightarrow{\ \rho_{i}(\varphi)\ } \widetilde{T}_{i}\] \[\begin{cases} \widetilde{\pi} = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} \pi\\ (\widetilde{\pi}_{i}, \widetilde{T}_{i}, \widetilde{\pi}) = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} (\pi_{i}, T_{i}, \pi)\\ \struck{\ill{}}\ \widetilde{I}_{i} \subset \widetilde{\pi}_{i} \qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} I_{i} \end{cases}\] à la fin de la troisième ligne : « donc \(I_{i} = \dots\) », suivi d'une formule surchargée et illisible, […]. \[\widetilde{I}_{i} \simeq \widehat{\mathbb{Z}} \quad\text{d'où}\quad \chi_{i} : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \simeq \mathrm{Aut}(I_{i})\] indépendant de \(i\)

93\[\Gamma\ (= \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}))\ \text{groupe},\quad \mathcal{C}\ \Gamma\text{-tors.\ à droite} \quad (= \mathrm{Isom}(\overline{\mathbb{Q}}, \ill{}))\] \[\pi\ \bigl(= \pi_{1}(\mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} - I_{\overline{\mathbb{Q}}})\bigr) \ \Gamma\text{-groupe}\quad (I \subset \mathbb{P}^{1}(\mathbb{Q})\ \text{fini})\] \[\forall i \in I\quad T_{i}\ \text{un}\ (\pi, \Gamma)\text{-torseur à droite} \quad (= \mathrm{Isom}(F_{\overline{\xi}}, F_{\overline{\xi}_{i}}))\] \[\forall\ r_{i} : \mathcal{C} \to T_{i}\ \text{satisfaisant}\quad r_{i}(\varphi\gamma) = \gamma^{-1} \cdot r_{i}(\varphi) \qquad \Big/\ r_{\cdot} : \mathcal{C} \to \textstyle\prod T_{i}\] \[\pi_{i} = \mathrm{Aut}_{\pi}(T_{i})\ \ \text{commutant de } \pi \text{ dans } T_{i} \ \ \text{ou}\ \ T_{i} \wedge_{\pi} (\pi\ \mathrm{int})\] \[I_{i} = T_{\cdot}(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim_{n} \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \hookrightarrow \pi_{i}\] homom. de \(\Gamma\)-groupes avec \(I_{i} \simeq \widehat{\mathbb{Z}}\) (pro-cyclique).

\[\mathcal{C}_{2}(\pi\text{-ens}) \xrightarrow{\ f\ } (\mathrm{ens}) \quad\text{\uncertain{ou} \ill{} de $\pi$}\] \[\begin{array}{l} \downarrow\ \overline{F}_{i}(E) = T_{i} \wedge_{\pi} E\\ \pi_{i}\text{-}(\mathrm{Ens})\\ \downarrow\ E_{i} \longmapsto E_{i}/I_{i} = \widehat{E}_{i}\\ \mathrm{Ens} \end{array}\] Une flèche courbe marquée \(f_{i}\) va directement de \(\mathcal{C}_{2}(\pi\text{-ens})\) à \(\mathrm{Ens}\) le long de la colonne ; un trait fermé entoure le diagramme. \[\mathcal{C} \longrightarrow \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}).\]

94

\begin{tikzcd}
  \pi_{i} \arrow[r] & \pi \\
  I_{i} \arrow[u] \arrow[ur, "\alpha_{i}(\varphi)"'] &
\end{tikzcd}

\(I_{i} = I\)

\[\alpha(\varphi\gamma)(\lambda) = \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha(\varphi)\bigl(\gamma_{I}(\lambda)\bigr), \qquad \gamma_{I}(\lambda) = \lambda^{\gamma}\] \[\gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi_{0})(\lambda_{i}) = l_{i}\] \[l_{1}, \dots, l_{n}\qquad \bigl(\gamma_{\pi}^{-1}(l_{1}^{\gamma}), \dots, \gamma_{\pi}^{-1}(l_{n}^{\gamma})\bigr)\] \[l_{1} l_{2} \cdots l_{n} = 1\] \[\gamma_{\pi}^{-1}(l_{1})\] la page est coupée ici par un trait horizontal. \[\mathcal{C} \xrightarrow{\ \rho_{i}\ } \mathrm{Isom}(\widehat{\mathbb{Z}}, I_{i}) \qquad \rho_{i}(\varphi)(1) = \lambda_{i}(\varphi)\] \[\pi \xrightarrow[\text{indépendant de } i]{\ \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \qquad \lambda_{i}(\varphi\gamma) = \chi(\gamma)\,\lambda_{i}(\varphi)\] \[\rho_{i}(\varphi\gamma)(n) = \rho_{i}(\varphi)\bigl(\struck{n^{\chi(\gamma)}}\ \chi(\gamma) \cdot n\bigr) = \chi(\gamma)\,\rho_{i}(\varphi)(n)\] \[\lambda_{i}(\varphi) \in I_{i} \xrightarrow{\ \widetilde{r}_{i}(\varphi)\ } \pi\] la flèche du haut du premier diagramme est lue de \(\pi_{i}\) vers \(\pi\) ; à la fin de la dernière formule du bas, le \(\rho_{i}(\varphi)(n)\) final est surchargé.

95\[(\varphi \in \mathcal{C}) \longmapsto \pi \overset{\alpha_{i}(\varphi)}{\rightleftarrows} \pi_{i} \qquad \text{d'où}\quad I_{i} \hookrightarrow \pi_{i}\] sous la double flèche une accolade : « bien compatible […] avec \(\Gamma\) ». \[\alpha_{i}(\varphi\gamma) = \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}}\] \[\mathcal{C} \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}) \qquad \beta(\varphi\gamma) = \beta(\varphi) \circ \gamma_{\pi}\]

\begin{tikzcd}
  \pi \arrow[r, "\beta(\varphi)"] & \widetilde{\pi} \\
  I_{i} \arrow[u, "\alpha_{i}(\varphi)"] \arrow[ur, "\alpha'_{i}(\varphi)"'] &
\end{tikzcd}

\[\begin{aligned} \alpha'_{i}(\varphi\gamma) &= \beta(\varphi\gamma)\,\alpha_{i}(\varphi\gamma) = \beta(\varphi)\,\gamma_{\pi}\,\gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}}\\ &= \beta(\varphi)\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} = \alpha'_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} \end{aligned}\] donc \[\widetilde{I}_{i} = \alpha'_{i}(\varphi)(I_{i})\quad \text{indépendant de } i\] \[\struck{\mathrm{Isom}(I_{i}, \widetilde{I}_{i}) =}\qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i}\] \[\text{Si}\quad \struck{\pi' = \pi/\ill{} \dots\ \ill{}}\quad \pi' = \pi/U_{i},\quad U_{i} = \text{sous-groupe de } \pi \text{ opérant trivialement sur } I_{i}\] « (indépendant de \(i\)) » est ajouté sous cette ligne. \[\widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i}\] \[I_{i} \simeq T_{\cdot}(\overline{\mathbb{Q}})\qquad \pi' \simeq \mathrm{Aut}(I_{i}) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\] \[\mathcal{C} \simeq \varprojlim \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})^{*}\] l'indice « \(\wedge_{\pi}\) » des lignes \(\widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i}\) est écrit \(\pi\) sur la page (et non \(\Gamma\) comme en p. 92) : transcrit tel quel.

Précartes et cartes toutes épinglées par précartes …

Titre repris des trois lignes de sa main, seules sur le feuillet page 96 ; « épinglées » lu d'après « épi-glées » abrégé.

97Cartes ⌜totalement⌝ épinglées etc.

I)

Appelons pré-carte un système \((S, A, F\,;\ p, q, r)\) où \(S, A, F\) sont des ensembles, \(p, q, r\) des applications \[\struck{\ill{}\ S, A,}\qquad S \xrightarrow{\ p\ } \mathbb{N}^{*}\qquad A \xrightarrow{\ q\ } \mathbb{N}^{*}\qquad F \xrightarrow{\ r\ } \mathbb{N}^{*}\] et \(q\) ne prenant que les valeurs 1 et 2.

Ils forment une catégorie pour ⌜simplement⌝ iso ⌜\(\varphi\)⌝ de \((S, A, F\,;\ p, q, r) \to{}\) \((S', A', F',\) \(p', q', r')\) ([…] … […]) … À toute carte combinatoire \((\mathcal{C}, \dots)\) […] applications pré-cartes la ligne est entourée d'une accolade qui l'associe à la ligne précédente ; lecture de l'ensemble incertaine. \[\struck{\varphi_{S} : S' \to S}\] \[\varphi_{s} : S' \to S,\qquad \varphi_{a} : A' \to A,\qquad \varphi_{f} : F' \to F\] satisfaisant \[\left\{ \begin{array}{l} p(s') = \nu(\varphi, s)\, p(s)\quad \struck{p(\varphi_{s}(s'))\ |\ p(\ill{})}\\ q(a') = \nu(\varphi, a)\, q(a)\quad \struck{q(\varphi_{a}(a'))\ |\ q(\ill{})}\\ r(f') = \nu(\varphi, f)\, r(f)\quad \struck{r(\varphi_{f}(f'))\ |\ r(\ill{})} \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \forall s' \in S',\ s = \varphi_{s}(s')\\ \forall a' \in A',\ a = \varphi_{a}(a')\\ \forall f' \in F',\ f = \varphi_{f}(f') \end{array}\] il a d'abord écrit des conditions de divisibilité, barrées, puis les égalités au-dessus des lignes barrées. où \(\nu(\varphi, s) = \mathrm{Card}(\varphi_{s}^{-1}(s))\), \(\nu(\varphi, a) = \dots\), \(\nu(\varphi, f) = \dots\)

On a un foncteur évident de la catégorie des cartes comb. ⌜(Cat Comb)⌝ connexes finies ⌜cartes ordinaires⌝ dans celle des précartes, ⌜(Précart)⌝, \[\mathcal{C} \longmapsto \mathrm{Fac}(\mathcal{C})\] Appelons épinglage d' ⌜C'est […]⌝ […] le foncteur est conservatif ⌜(\(\mathrm{Fac}(u)\) iso \(\Rightarrow u\) iso)⌝ D'où variété un foncteur fidèle sur les iso Soit \[\mathcal{C}_{0} = (S, A, F, p, q, r)\ \text{une précarte}\] ⌜(connexe)⌝. On appelle carte co-épinglée ⌜par \(\mathcal{C}_{0}\)⌝ la donnée d'une carte \(\mathcal{C}\) et d'un iso. \[\struck{\mathrm{Fac}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}}\qquad \mathcal{C}_{0} \xrightarrow[\sim]{\ u\ } \mathrm{Fac}(\mathcal{C})\] C'est […] Les morphismes sont les morphismes de cartes compatibles avec l'épinglage \(u\), (ce sont) bien des isom. de cartes, et il a

98trouve que la catégorie des cartes ⌜orientées⌝ co-épinglées est rigide – donc équivalente à une catégorie discrète. D Dans le cas où \(\mathcal{C}_{0}\) est fini, cette catégorie est elle-même finie. Elle est vide sauf si \[\sum_{s} p(s) = \sum_{a} q(a) = \sum_{f} r(f)\ \ (= \delta),\] et si cette condition est vérifiée, alors […] la ⌜cardinalité⌝ […] commune des […] trois – donc le ⌜cardinal de l'⌝ nombre des classes d'isomorphie de co-cartes est égal à celui des classes d'iso. de \(\mathfrak{S}_{2}^{0}\)-ens de type « admissible » de ordre \(\delta\), ayant les […] […] invariants de ramification que \(\mathcal{C}_{0}\), multiplié par le cardinal du groupe des automorphismes de \(\mathcal{C}_{0}\), qui est égal à \[\prod_{n \in \mathbb{N}^{*}} \bigl(a_{n}!\, b_{n}!\, c_{n}!\bigr)\] où \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) sont les nb. de sommets (arêtes, faces) de degré \(n\). la parenthèse « (arêtes, faces) » est écrite telle ; il faut entendre que \(a_{n}\), \(b_{n}\), \(c_{n}\) comptent respectivement sommets, arêtes, faces.

// Définir ici \(\mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}\) et \(\mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}\), et l'opération de \(\Gamma \ni \gamma = \mathrm{Aut}(\mathcal{C}_{0})\) dessus. – NB \(\mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}/\gamma\) est l'ens. des classes d'iso. de cartes du type \((\mathcal{C}_{0}, \alpha)\) … « \(\Gamma \ni \gamma\) » : lecture incertaine ; on lit peut-être \(\Gamma_{\mathcal{C}_{0}}\).

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II)

⌜Supposons \(\mathcal{C}_{0}\) fini. Soit un schéma de base \(T\),⌝

(Appelons (revêtement spécial co-épinglé de \(\mathbb{P}^{1}_{T}\), un rev. fini de \(\mathbb{P}^{1}_{T}\), étale sur \(U_{T} = \mathbb{P}^{1}_{T} - \{0, 1, \infty\}\), avec […] isomorphisme ⌜ramification⌝ modérée fibre par fibre, et ⌜des isomorphismes⌝ des […]. ce paragraphe est barré de deux longues diagonales ; au-dessus de « spécial » est ajouté \(X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{T}\). \[\struck{f^{-1}(0_{T})_{\ill{}} \simeq}\] \[f^{-1}(0_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq \struck{\ill{}}\ S_{T\,\mathrm{réd}}\] \[f^{-1}(1_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq A_{T\,\mathrm{réd}}\] \[f^{-1}(\infty_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq F_{T\,\mathrm{réd}}\] après chaque \(T\) un mot biffé, illisible, précède « réd ». […] fibre par fibre sont […] « compatibles avec les degrés de ramification » […] ⌜(partout, […])⌝ fibre par fibre, […] ou partie […] On voit que cette catégorie est rigide. Pour \(\mathcal{C}_{0}\) fixé, soit vérifier […] \(F_{\mathcal{C}_{0}}(S)\) l'ens. des classes d'iso. de cette catégorie. On voit que pour \(S\) variable, on a un foncteur contravariant en \(S\), qui est représentable. On trouve que le schéma \(M_{\mathcal{C}_{0}}\) qui le représente est quasi-fini, et étale et séparé sur \(\mathbb{Z}\) ; il est de plus fini au-dessus de \(\mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}]\) – i.e. aux voisinages des \(p > \delta\) (\(\delta\) = complexité de \(\mathcal{C}_{0}\)).

100On s'intéresse surtout au schéma \((M_{\mathcal{C}_{0}})_{\mathbb{Q}}\) – qui est donc fini étale sur \(\mathbb{Q}\), non ramifié en les \(p > \delta\). […] ce schéma […]

Sur le schéma \(M_{\mathcal{C}_{0}}\), le groupe \(\gamma_{\mathcal{C}_{0}} = \mathrm{Aut}(\mathcal{C}_{0})\) opère de façon évidente – il opère sur \(F_{\mathcal{C}_{0}}\). Le stabilisateur d'une section de \(M_{\mathcal{C}_{0}}\) sur un \(T\), (i.e. d'une classe d'iso. de) \(X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{S}\) … […] […] co-[…] épinglage, (si \(S\) est connexe), correspond aux automorphismes du […] rev. \(X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{S}\) indépendamment de l'épinglage. P. ex. si \(\varphi\) est galoisien, il est can. iso. au groupe de Galois de \(f\).

Prenons Un classe d'iso. \(\alpha\) de cartes (co-épinglées) finis ⌜soit⌝ orientés (du type \(\mathcal{C}_{0}\)), \(F_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}\) le sous-foncteur ⌜co-épinglé⌝ […] \(F_{\mathcal{C}_{0}}\) qui correspond aux \(X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{T}\) tels que les ⌜ad⌝ fibres géom., le groupe de Galois des la page s'arrête au milieu de la phrase : l'argument se poursuit au-delà du lot.