Fonds Grothendieck, cote n° 138, pages 81–100

Action de Galois sur les systèmes \Sigma(X/I/\xi/k)

La page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient d'avant le lot. des \Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(T, \pi) canoniques, i \in I. Le système \Sigma(X/I/\xi/k) = (T, I, \pi, (\Phi_{i})) la notation \Sigma(X/I/\xi/k) est ajoutée au-dessus d'une première écriture biffée et illisible, \struck{\Sigma(\ill{})} ; le troisième argument est lu \xi ici, x n'est pas exclu. satisfait aux conditions envisagées. Au lieu de prendre x, il suffisait de prendre un \xi, foncteur fibre sur la catégorie des revêtements étales de X \setminus I (\pi étant le groupe des automorphismes de \xi …).

Alors \Sigma dépend fonctoriellement de (X/I/\xi/k). Prenant X/I, k fixes, \xi variable, on voit que \Sigma est déterminé « mod automorphismes intérieurs » i.e. définit un torseur ~~sous~~ à droite non pas sous \widetilde{A}_{\nu} mais sous son quotient (\widetilde{A}_{\nu}/\pi_{\nu} =)\ \widetilde{\Gamma}_{\nu}, soit P(X/I/k) ~~( dernier torseur~~ dont le commutant est le groupe des « automorphismes ext. » de ~~(T, I, \pi~~ \Sigma(X/I/\xi/k) …

Supposons que X/I/k provienne par extension de la base k_{0} \to k ~~S_{0}~~ ~~d'une situation~~

~~X_{0}/S_{0}~~ d'une situation X_{0}/I_{0}/k_{0}, k_{0} où k_{0} est un sous-corps. [OPS dans la pratique k est la clôture alg. de k_{0} …]. Alors \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k_{0}) opère sur \Sigma^{\mathrm{ext}} par transport de structure, donc aussi une opération associée sur P(X/I/k), i.e. on a ~~donc~~ un homom. \Gamma \longrightarrow {}^{P(X/I/k)}\widetilde{\Gamma}_{\nu} \simeq \mathrm{Aut}(\Sigma^{\mathrm{ext}}) qui par changement inverse d'extension donne naissance à l'extension 1 \to \pi_{1}(X \setminus I, x) \to \pi_{1}(X_{0} \setminus I_{0}, x_{0}) \to \pi_{1}(k_{0}, \overline{k}) \to 1 \dots\qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi\ } \mathrm{Aut}(T) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} est l'homom. de Kummer-Tate …

Plus précisément supposons k_{0} = \mathbb{Q}, X_{0} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}, \overline{\mathbb{Q}} clôture alg. de \mathbb{Q} dans \mathbb{C}, I = \mu_{\nu+1}(\overline{\mathbb{Q}}) = \mu_{\nu+1}(\mathbb{C}^{*}) \subset \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{E}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}(\overline{\mathbb{Q}}) \subset \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}(\overline{\mathbb{Q}}) \mathbb{E}^{1} : lecture du symbole incertaine ; il désigne manifestement la droite affine. On trouve un isomorphisme canonique, via l'exponentielle et les lacets, \struck{I \simeq [0,1]},\qquad \Sigma(X/I/k)^{\mathrm{ext}} \simeq L_{\nu}^{\mathrm{ext}} donc P(X, I/k) = \text{torseur trivial}

d'où \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} L'homom. correspondant \Gamma \to \mathfrak{S}_{\nu+1} se factorise via \Gamma \to \mu_{\nu+1}(\mathbb{C}^{*}) \simeq \mathbb{Z}/\nu{+}1 \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathfrak{S}_{\nu+1}\ \dots

L'intérêt de prendre I comme dessus est d'avoir une opération \mathbb{Z}/2 de \mu_{\mathbb{Q}} ~~transitive~~ sur la situation n = \nu + 1 (X_{0}/I_{0}/\mathbb{Q})\quad \text{donc de } \overset{\mathbb{Z}/2}{\dots}\ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})\ (= D_{n}) sur X/I/\mathbb{Q} – en fait, le produit semi-direct (\Gamma \times \struck{\ill{}}\ \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})) \rtimes \overline{\mathbb{Q}}^{*} opère sur X/I/\overline{\mathbb{Q}} donc ~~j'aurais dû~~ (\Gamma \times \mathbb{Z}/2) \cdot \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} la ligne précédente, telle qu'écrite, place \overline{\mathbb{Q}}^{*} en indice sous \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) ; la lecture comme produit semi-direct est incertaine. où l'homom. \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu}

se déduit de l'homom. évident \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \xrightarrow{\ \rho_{\nu}\ } \widetilde{A}_{\nu} provenant de la permutation circulaire des gén. de \widehat{L}_{\nu} – l'opération de \mathbb{Z}/2 dans \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} provenant de même de l'opération \mathbb{Z}/2 \longrightarrow \widetilde{A}_{\nu} vérifier ? par (\lambda_{0}, \lambda_{1}, \dots, \lambda_{\nu}) \xrightarrow{\ t_{\nu}\ } \bigl(\lambda_{0},\ g_{\nu}\lambda_{\nu}g_{\nu}^{-1},\ g_{\nu-1}\lambda_{\nu-1}g_{\nu-1}^{-1}, \dots,\ g_{2}\lambda_{2}g_{2}^{-1},\ \lambda_{1}\bigr) au-dessous, une première écriture de l'image, biffée, en partie illisible : \struck{(\ill{}, \lambda_{\nu}, \lambda_{\nu-1}, \dots)}. où g_{i} = \lambda_{0} \cdots \lambda_{i-1}, qui renverse l'ordre circulaire.

Cela nous dit donc que l'homom. \Gamma \xrightarrow{\ i_{\nu}\ } \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} \overset{\varepsilon_{\nu}}{\dashrightarrow} \mathfrak{S}_{n} \supset (\mathbb{Z}/n)^{*} sous (\mathbb{Z}/n)^{*}, une addition biffée, lue \struck{\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n)}. satisfait, en plus de \varepsilon_{\nu}\, i_{\nu} = \chi_{n} \bmod n encadré sur la page. la relation \begin{cases} i_{\nu}(\Gamma) \text{ commute à } t_{\nu}\\[2pt] i_{\nu}(\gamma)\, \rho_{\nu}(i)\, i_{\nu}(\gamma)^{-1} = \rho_{\nu}(\chi_{n}(\gamma)\, i) \end{cases}

Soit \mathcal{T}_{\nu}^{!} le ss-groupe de \widetilde{\mathcal{T}}_{\nu} formé des éléments qui satisfont aux relations précédentes. Donc on a 1 \to \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} \to \mathcal{T}_{\nu}^{!} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{\times} \to 1 avec \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} \subset \mathcal{T}_{\nu}^{0},\qquad \mathcal{T}_{\nu}^{!\,0} = \Bigl\{\gamma \in \mathcal{T}_{\nu}^{0} \Bigm| \gamma \text{ commute aux } \rho_{\nu}(i) \text{ et à } t_{\nu}\Bigr\}

Si \nu = 2 il y a un autre choix intéressant de I_{0} \subset \mathbb{P}^{1}(\overline{\mathbb{Q}}), savoir I = \{0, 1, \infty\} (plutôt que I = \mu_{3}(\overline{\mathbb{Q}})) qui donne lieu à action de \mathfrak{S}_{3} sur (X_{0}/I_{0}/k) – on trouve action de \Gamma \times \mathfrak{S}_{3} sur \Gamma_{2}^{\mathrm{ext}}, i.e. \Gamma \times \mathfrak{S}_{3} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{T}}_{2} sur la page, \mathfrak{S}_{3} porte un accent au-dessus dans « \Gamma \times \mathfrak{S}_{3} », et \Gamma_{2}^{\mathrm{ext}} est écrit sur une première lettre surchargée ; lecture de ces deux points incertaine.

En fait on a ici, exceptionnellement \widetilde{\mathcal{T}}_{2} \simeq \mathfrak{S}_{3} \cdot \mathcal{T}_{2} (produit semi-direct pour action de \mathfrak{S}_{3} sur \mathcal{T}_{2}) \Gamma \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \widetilde{\mathcal{T}}_{2} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathfrak{S}_{3}\quad \text{trivial} i.e. \Gamma \to \struck{\ill{}}\ \widetilde{\mathcal{T}}_{2}, d'où \boxed{\ \Gamma \longrightarrow \mathcal{T}_{2}^{\mathfrak{S}_{3}}\ }

On aurait envie de définir un iso can. \mathcal{T}_{2}^{!} \simeq \mathcal{T}_{2}^{\mathfrak{S}_{3}} ? et des iso can. \mathcal{T}_{2}^{!} \simeq \mathcal{T}_{\nu}^{!}

Pour essayer une généralisation d' la page s'arrête sur cette phrase inachevée ; la page suivante (87) est blanche.

Groupes profinis qui

titre souligné sur la page ; lecture incertaine au-delà de « Groupes profinis ». \begin{cases} \pi \ \text{groupe profini}\\ T\ \ \widehat{\mathbb{Z}}\text{-module libre de rang } 1 \ \struck{\text{de } \widehat{\mathbb{Z}}\ (\text{isomorphisme non précisé})}\\ \Phi_{i} \in \mathrm{Homext}(L, \pi)\ \struck{\ill{}} \qquad 0 \le i \le \nu \qquad (\nu \ge 2) \end{cases} la deuxième ligne commence par T (surchargé) ; la troisième écrit L là où l'on attend T : transcrit tel quel.

Hyp_{\nu} : \begin{cases} \exists\, e \in T^{*} \text{ base de } T\\ (\varphi_{i})_{0 \le i \le \nu} \in \prod_{0 \le i \le \nu} \Phi_{i} \end{cases} tels que, posant l_{i} = \varphi_{i}(e), l'homom. de \widehat{L}_{\nu} \struck{\ill{}} \longrightarrow \pi,\qquad \lambda_{i} \longmapsto l_{i} sous \widehat{L}_{\nu} une glose partiellement biffée : ~~groupe profini … engendré par \lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} avec \lambda_{0} \cdots \lambda_{\nu} = 1~~. soit un isomorphisme.

En d'autres termes soit \pi_{0} = \widehat{L}_{\nu} = \struck{\text{groupe profini}}\ (\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = 1)^{\wedge} T_{0} = \widehat{\mathbb{Z}},\quad e_{0} = 1 \Phi_{0i} \text{ classe de } \widehat{\mathbb{Z}} \longrightarrow \pi_{\nu}, \qquad e_{0} \longmapsto \lambda_{i} on veut que (\pi, T, (\Phi_{i})) soit isom. à (\pi_{0}, T_{0}, (\Phi_{0i})). A_{\nu} = \mathrm{Aut}(\widehat{L}_{\nu}, T_{0}, (\Phi_{0i})) \xrightarrow{\ \chi_{\nu}\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} = \mathrm{Aut}(T_{0}) on prouve que c'est surjectif. \widehat{L}_{\nu} \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{Ker}\,\chi_{\nu} \subset A_{\nu} \quad\text{injectif},\qquad g \longmapsto (\mathrm{int}(g), \mathrm{id}_{T_{0}}) u\, i(g)\, u^{-1} = i(u(g)) i.e. \widehat{L}_{\nu} invariant dans A_{\nu}. A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \Gamma_{\nu} on veut élucider sa structure.

Considérons L_{\nu} = \{\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \mid \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = 1\} \quad \text{groupe discret} \Psi_{i} \in \mathrm{Homext}(\mathbb{Z}, L_{\nu})\ \text{classe de}\ \psi_{i} : \mathbb{Z} \to L_{\nu},\quad \psi_{i}(1) = \lambda_{i} (donc \Phi_{i} = \widehat{\Psi}_{i})

Considérons B_{\nu} = \mathrm{Aut}(L_{\nu}, \mathbb{Z}, (\Psi_{i})) On a B_{\nu} \xrightarrow{\ \chi_{\nu}^{0}\ } \mathbb{Z}^{*} = \{\pm 1\} \quad\text{surjectif} L_{\nu} \hookrightarrow \mathrm{Ker}(\chi_{\nu}^{0}),\qquad g \longmapsto (\mathrm{int}(g), \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}) Soit \mathcal{T}_{\nu} = B_{\nu}/L_{\nu} (groupe de Teichmüller (discret) associé pour la sphère à \nu + 1 trous) 1 \to \mathcal{T}_{\nu}^{0} \to \mathcal{T}_{\nu} \to \mathbb{Z}/2 \to 1 On sait que \mathcal{T}_{2}^{0} = 1, \mathcal{T}_{\nu}^{0} = groupe des tresses sphériques colorées à (\nu+1) brins, groupe non trivial si \nu \ge 3 [\simeq \pi_{1}(\widetilde{D}_{\nu+1})\ ?].

On a

\begin{tikzcd} \widehat{L}_{\nu} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \widehat{B}_{\nu} \arrow[r, "\widehat{\chi}_{\nu}^{0}"] \arrow[d] & (\mathbb{Z}^{*})^{\wedge} = \pm 1 \arrow[d] \\ \widehat{L}_{\nu} \arrow[r] & A_{\nu} \arrow[r, "\chi_{\nu}"] & \mathbb{Z}^{*} \end{tikzcd}

la flèche verticale de gauche est tracée double ; les deux autres sont des flèches d'inclusion. La dernière entrée de la ligne du bas est écrite \mathbb{Z}^{*} (et non \widehat{\mathbb{Z}}^{*}) : transcrit tel quel. \widehat{B}_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} \subset A_{\nu}/\widehat{L}_{\nu} = \Gamma_{\nu}

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/2 \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \Gamma_{\nu}^{0} \arrow[r] & \Gamma_{\nu} \arrow[r] & \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

Questions : \widehat{\mathcal{T}}_{\nu} invariant dans \Gamma_{\nu} ? \widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} dist. dans \Gamma_{\nu}^{0} ? Quand a-t-on \widehat{\mathcal{T}}_{\nu}^{0} = \Gamma_{\nu}^{0} (c'est faux pour \nu = 2).

Variante. Donnons-nous \varepsilon = (\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{\nu}) \in (\overline{\mathbb{N}^{*}})^{\nu+1} sous \overline{\mathbb{N}^{*}} une flèche renvoie à [1, \infty]. Soit L_{\nu}^{\varepsilon} = \bigl\{\lambda_{0}, \dots, \lambda_{\nu} \bigm| \lambda_{0}\lambda_{1}\cdots\lambda_{\nu} = \lambda_{0}^{\varepsilon_{0}} = \lambda_{1}^{\varepsilon_{1}} = \dots = \lambda_{\nu}^{\varepsilon_{\nu}} = 1\bigr\} la page s'arrête là ; la page 91 est blanche.

Le \Gamma-torseur \mathcal{C}

Pages 92–95 : autre encre (brune), autre feuillet.

\left\{ \begin{array}{l} \Gamma \text{ groupe},\ \mathcal{C}\ \Gamma\text{-torseur à droite}\\ \pi,\ \Gamma\text{-groupe}\quad \struck{\ill{}}\\ T_{i}\ (i \in I)\ (\pi, \Gamma)\text{-tors.}\\ \pi_{i}\ \text{commutant}\\ I_{i} \hookrightarrow \pi_{i}\ \text{sous-}\Gamma\text{-groupe} \end{array} \right. \qquad\Bigg|\qquad \begin{array}{l} \widetilde{\pi}\ \text{groupe}\\ \widetilde{T}_{i}\ (i \in I)\ \widetilde{\pi}\text{-torseur}\\ \widetilde{\pi}_{i}\ \text{son commutant}\\ \widetilde{I}_{i} \subset \widetilde{\pi}_{i} \end{array} \mathcal{C} \xrightarrow{\ \rho\ } \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}) \qquad \Gamma\text{-homomorphisme} deux lignes barrées d'un zigzag au crayon : \struck{\ill{}\ \rho(\varphi) : \pi \to \widetilde{\pi}} et \struck{\ill{}\ T_{i} \wedge_{\pi} (\widetilde{\pi}, \varphi)}. \pi \xrightarrow{\ \rho(\varphi)\ } \widetilde{\pi} \quad\text{donc}\quad \widetilde{\pi} \simeq \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} \pi, \qquad T_{i} \xrightarrow{\ \rho_{i}(\varphi)\ } \widetilde{T}_{i} \begin{cases} \widetilde{\pi} = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} \pi\\ (\widetilde{\pi}_{i}, \widetilde{T}_{i}, \widetilde{\pi}) = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} (\pi_{i}, T_{i}, \pi)\\ \struck{\ill{}}\ \widetilde{I}_{i} \subset \widetilde{\pi}_{i} \qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\Gamma} I_{i} \end{cases} à la fin de la troisième ligne : « donc I_{i} = \dots », suivi d'une formule surchargée et illisible, . \widetilde{I}_{i} \simeq \widehat{\mathbb{Z}} \quad\text{d'où}\quad \chi_{i} : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \simeq \mathrm{Aut}(I_{i}) indépendant de i

\Gamma\ (= \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}))\ \text{groupe},\quad \mathcal{C}\ \Gamma\text{-tors.\ à droite} \quad (= \mathrm{Isom}(\overline{\mathbb{Q}}, \ill{})) \pi\ \bigl(= \pi_{1}(\mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} - I_{\overline{\mathbb{Q}}})\bigr) \ \Gamma\text{-groupe}\quad (I \subset \mathbb{P}^{1}(\mathbb{Q})\ \text{fini}) \forall i \in I\quad T_{i}\ \text{un}\ (\pi, \Gamma)\text{-torseur à droite} \quad (= \mathrm{Isom}(F_{\overline{\xi}}, F_{\overline{\xi}_{i}})) \forall\ r_{i} : \mathcal{C} \to T_{i}\ \text{satisfaisant}\quad r_{i}(\varphi\gamma) = \gamma^{-1} \cdot r_{i}(\varphi) \qquad \Big/\ r_{\cdot} : \mathcal{C} \to \textstyle\prod T_{i} \pi_{i} = \mathrm{Aut}_{\pi}(T_{i})\ \ \text{commutant de } \pi \text{ dans } T_{i} \ \ \text{ou}\ \ T_{i} \wedge_{\pi} (\pi\ \mathrm{int}) I_{i} = T_{\cdot}(\overline{\mathbb{Q}}) = \varprojlim_{n} \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}}) \hookrightarrow \pi_{i} homom. de \Gamma-groupes avec I_{i} \simeq \widehat{\mathbb{Z}} (pro-cyclique).

\mathcal{C}_{2}(\pi\text{-ens}) \xrightarrow{\ f\ } (\mathrm{ens}) \quad\text{\uncertain{ou} \ill{} de $\pi$} \begin{array}{l} \downarrow\ \overline{F}_{i}(E) = T_{i} \wedge_{\pi} E\\ \pi_{i}\text{-}(\mathrm{Ens})\\ \downarrow\ E_{i} \longmapsto E_{i}/I_{i} = \widehat{E}_{i}\\ \mathrm{Ens} \end{array} Une flèche courbe marquée f_{i} va directement de \mathcal{C}_{2}(\pi\text{-ens}) à \mathrm{Ens} le long de la colonne ; un trait fermé entoure le diagramme. \mathcal{C} \longrightarrow \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}).

\begin{tikzcd} \pi_{i} \arrow[r] & \pi \\ I_{i} \arrow[u] \arrow[ur, "\alpha_{i}(\varphi)"'] & \end{tikzcd}

I_{i} = I

\alpha(\varphi\gamma)(\lambda) = \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha(\varphi)\bigl(\gamma_{I}(\lambda)\bigr), \qquad \gamma_{I}(\lambda) = \lambda^{\gamma} \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi_{0})(\lambda_{i}) = l_{i} l_{1}, \dots, l_{n}\qquad \bigl(\gamma_{\pi}^{-1}(l_{1}^{\gamma}), \dots, \gamma_{\pi}^{-1}(l_{n}^{\gamma})\bigr) l_{1} l_{2} \cdots l_{n} = 1 \gamma_{\pi}^{-1}(l_{1}) la page est coupée ici par un trait horizontal. \mathcal{C} \xrightarrow{\ \rho_{i}\ } \mathrm{Isom}(\widehat{\mathbb{Z}}, I_{i}) \qquad \rho_{i}(\varphi)(1) = \lambda_{i}(\varphi) \pi \xrightarrow[\text{indépendant de } i]{\ \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \qquad \lambda_{i}(\varphi\gamma) = \chi(\gamma)\,\lambda_{i}(\varphi) \rho_{i}(\varphi\gamma)(n) = \rho_{i}(\varphi)\bigl(\struck{n^{\chi(\gamma)}}\ \chi(\gamma) \cdot n\bigr) = \chi(\gamma)\,\rho_{i}(\varphi)(n) \lambda_{i}(\varphi) \in I_{i} \xrightarrow{\ \widetilde{r}_{i}(\varphi)\ } \pi la flèche du haut du premier diagramme est lue de \pi_{i} vers \pi ; à la fin de la dernière formule du bas, le \rho_{i}(\varphi)(n) final est surchargé.

(\varphi \in \mathcal{C}) \longmapsto \pi \overset{\alpha_{i}(\varphi)}{\rightleftarrows} \pi_{i} \qquad \text{d'où}\quad I_{i} \hookrightarrow \pi_{i} sous la double flèche une accolade : « bien compatible avec \Gamma ». \alpha_{i}(\varphi\gamma) = \gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} \mathcal{C} \xrightarrow{\ \beta\ } \mathrm{Isom}(\pi, \widetilde{\pi}) \qquad \beta(\varphi\gamma) = \beta(\varphi) \circ \gamma_{\pi}

\begin{tikzcd} \pi \arrow[r, "\beta(\varphi)"] & \widetilde{\pi} \\ I_{i} \arrow[u, "\alpha_{i}(\varphi)"] \arrow[ur, "\alpha'_{i}(\varphi)"'] & \end{tikzcd}

\begin{aligned} \alpha'_{i}(\varphi\gamma) &= \beta(\varphi\gamma)\,\alpha_{i}(\varphi\gamma) = \beta(\varphi)\,\gamma_{\pi}\,\gamma_{\pi}^{-1}\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}}\\ &= \beta(\varphi)\,\alpha_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} = \alpha'_{i}(\varphi)\,\gamma_{\pi_{i}} \end{aligned} donc \widetilde{I}_{i} = \alpha'_{i}(\varphi)(I_{i})\quad \text{indépendant de } i \struck{\mathrm{Isom}(I_{i}, \widetilde{I}_{i}) =}\qquad \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i} \text{Si}\quad \struck{\pi' = \pi/\ill{} \dots\ \ill{}}\quad \pi' = \pi/U_{i},\quad U_{i} = \text{sous-groupe de } \pi \text{ opérant trivialement sur } I_{i} « (indépendant de i) » est ajouté sous cette ligne. \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i} I_{i} \simeq T_{\cdot}(\overline{\mathbb{Q}})\qquad \pi' \simeq \mathrm{Aut}(I_{i}) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \mathcal{C} \simeq \varprojlim \mu_{n}(\overline{\mathbb{Q}})^{*} l'indice « \wedge_{\pi} » des lignes \widetilde{I}_{i} = \mathcal{C} \wedge_{\pi} I_{i} est écrit \pi sur la page (et non \Gamma comme en p. 92) : transcrit tel quel.

Précartes et cartes toutes épinglées par précartes …

Titre repris des trois lignes de sa main, seules sur le feuillet page 96 ; « épinglées » lu d'après « épi-glées » abrégé.

Cartes totalement épinglées etc.

Appelons pré-carte un système (S, A, F\,;\ p, q, r) où S, A, F sont des ensembles, p, q, r des applications \struck{\ill{}\ S, A,}\qquad S \xrightarrow{\ p\ } \mathbb{N}^{*}\qquad A \xrightarrow{\ q\ } \mathbb{N}^{*}\qquad F \xrightarrow{\ r\ } \mathbb{N}^{*} et q ne prenant que les valeurs 1 et 2.

Ils forment une catégorie pour simplement ~~iso~~ \varphi de (S, A, F\,;\ p, q, r) \to{} (S', A', F', p', q', r') ~~( … )~~ … À toute carte combinatoire (\mathcal{C}, \dots) ~~applications pré-cartes~~ la ligne est entourée d'une accolade qui l'associe à la ligne précédente ; lecture de l'ensemble incertaine. \struck{\varphi_{S} : S' \to S} \varphi_{s} : S' \to S,\qquad \varphi_{a} : A' \to A,\qquad \varphi_{f} : F' \to F satisfaisant \left\{ \begin{array}{l} p(s') = \nu(\varphi, s)\, p(s)\quad \struck{p(\varphi_{s}(s'))\ |\ p(\ill{})}\\ q(a') = \nu(\varphi, a)\, q(a)\quad \struck{q(\varphi_{a}(a'))\ |\ q(\ill{})}\\ r(f') = \nu(\varphi, f)\, r(f)\quad \struck{r(\varphi_{f}(f'))\ |\ r(\ill{})} \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \forall s' \in S',\ s = \varphi_{s}(s')\\ \forall a' \in A',\ a = \varphi_{a}(a')\\ \forall f' \in F',\ f = \varphi_{f}(f') \end{array} il a d'abord écrit des conditions de divisibilité, barrées, puis les égalités au-dessus des lignes barrées. où \nu(\varphi, s) = \mathrm{Card}(\varphi_{s}^{-1}(s)), \nu(\varphi, a) = \dots, \nu(\varphi, f) = \dots

On a un foncteur évident de la catégorie des cartes comb. (Cat Comb) connexes finies cartes ordinaires dans celle des précartes, (Précart), \mathcal{C} \longmapsto \mathrm{Fac}(\mathcal{C}) ~~Appelons épinglage d'~~ C'est le foncteur est conservatif (\mathrm{Fac}(u) iso \Rightarrow u iso) D'où variété un foncteur fidèle sur les iso Soit \mathcal{C}_{0} = (S, A, F, p, q, r)\ \text{une précarte} (connexe). On appelle carte co-épinglée par \mathcal{C}_{0} la donnée d'une carte \mathcal{C} et d'un iso. \struck{\mathrm{Fac}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}}\qquad \mathcal{C}_{0} \xrightarrow[\sim]{\ u\ } \mathrm{Fac}(\mathcal{C}) ~~C'est~~ Les morphismes sont les morphismes de cartes compatibles avec l'épinglage u, (ce sont) bien des isom. de cartes, et il a

trouve que la catégorie des cartes orientées co-épinglées est rigide – donc équivalente à une catégorie discrète. D Dans le cas où \mathcal{C}_{0} est fini, cette catégorie est elle-même finie. Elle est vide sauf si \sum_{s} p(s) = \sum_{a} q(a) = \sum_{f} r(f)\ \ (= \delta), et si cette condition est vérifiée, alors la cardinalité commune des trois – donc le cardinal de l' ~~nombre des~~ classes d'isomorphie de co-cartes est égal à celui des classes d'iso. de \mathfrak{S}_{2}^{0}-ens de type « admissible » de ordre \delta, ayant les invariants de ramification que \mathcal{C}_{0}, multiplié par le cardinal du groupe des automorphismes de \mathcal{C}_{0}, qui est égal à \prod_{n \in \mathbb{N}^{*}} \bigl(a_{n}!\, b_{n}!\, c_{n}!\bigr) où a_{n}, b_{n}, c_{n} sont les nb. de sommets (arêtes, faces) de degré n. la parenthèse « (arêtes, faces) » est écrite telle ; il faut entendre que a_{n}, b_{n}, c_{n} comptent respectivement sommets, arêtes, faces.

// Définir ici \mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}} et \mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}, et l'opération de \Gamma \ni \gamma = \mathrm{Aut}(\mathcal{C}_{0}) dessus. – NB \mathcal{C}_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha}/\gamma est l'ens. des classes d'iso. de cartes du type (\mathcal{C}_{0}, \alpha) … « \Gamma \ni \gamma » : lecture incertaine ; on lit peut-être \Gamma_{\mathcal{C}_{0}}.

II)

Supposons \mathcal{C}_{0} fini. Soit un schéma de base T,

~~(Appelons (revêtement~~ ~~spécial~~ co-épinglé de \mathbb{P}^{1}_{T}, un rev. fini de \mathbb{P}^{1}_{T}, étale sur U_{T} = \mathbb{P}^{1}_{T} - \{0, 1, \infty\}, avec ~~isomorphisme~~ ramification modérée fibre par fibre, et des isomorphismes ~~des~~ . ce paragraphe est barré de deux longues diagonales ; au-dessus de « spécial » est ajouté X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{T}. \struck{f^{-1}(0_{T})_{\ill{}} \simeq} f^{-1}(0_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq \struck{\ill{}}\ S_{T\,\mathrm{réd}} f^{-1}(1_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq A_{T\,\mathrm{réd}} f^{-1}(\infty_{T})_{\mathrm{réd}} \simeq F_{T\,\mathrm{réd}} après chaque T un mot biffé, illisible, précède « réd ». ~~fibre par fibre sont~~ « compatibles avec les degrés de ramification » (partout, ) fibre par fibre, ou partie On voit que cette catégorie est rigide. ~~Pour \mathcal{C}_{0} fixé, soit~~ vérifier F_{\mathcal{C}_{0}}(S) l'ens. des classes d'iso. de cette catégorie. On voit que pour S variable, on a un foncteur contravariant en S, qui est représentable. On trouve que le schéma M_{\mathcal{C}_{0}} qui le représente est quasi-fini, et étale et séparé sur \mathbb{Z} ; il est de plus fini au-dessus de \mathbb{Z}[\frac{1}{\delta!}] – i.e. aux voisinages des p > \delta (\delta = complexité de \mathcal{C}_{0}).

On s'intéresse surtout au schéma (M_{\mathcal{C}_{0}})_{\mathbb{Q}} – qui est donc fini étale sur \mathbb{Q}, non ramifié en les p > \delta. ~~ce schéma~~

Sur le schéma M_{\mathcal{C}_{0}}, le groupe \gamma_{\mathcal{C}_{0}} = \mathrm{Aut}(\mathcal{C}_{0}) opère de façon évidente – il opère sur F_{\mathcal{C}_{0}}. Le stabilisateur d'une section de M_{\mathcal{C}_{0}} sur un T, (i.e. d'une classe d'iso. de) X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{S} … co- épinglage, (si S est connexe), correspond ~~aux~~ automorphismes du rev. X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{S} indépendamment de l'épinglage. P. ex. si \varphi est galoisien, il est can. iso. au groupe de Galois de f.

Prenons Un classe d'iso. \alpha de ~~cartes~~ ~~(co-épinglées)~~ finis soit ~~orientés (du type \mathcal{C}_{0})~~, F_{\mathcal{C}_{0}}^{\alpha} le sous-foncteur co-épinglé F_{\mathcal{C}_{0}} qui correspond aux X \xrightarrow{f} \mathbb{P}^{1}_{T} tels que les ad fibres géom., le groupe de Galois des la page s'arrête au milieu de la phrase : l'argument se poursuit au-delà du lot.