Cote n° 138 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1976-1978]
Édition de démonstration

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21feuillet de calculs épars, sans phrase suivie ; transcrits dans l'ordre de la page, de haut en bas

\(\Gamma\) opère sur \(\overline{X}'_{\xi}\) (\(\xi \in \mathbb{Q}^{*}\))

\(\Gamma\) opère trivialement sur \(\overline{X}'_{-1}\) \(\bigl[\,\overline{X}'_{(-1)^{1/n}}\), \(\overline{X}'_{\xi^{1/n}}\,\bigr]\) les indices des deux derniers \(\overline{X}'\) sont lus sans assurance

\[\exp\frac{2i\pi}{2n} = \exp\frac{i\pi}{n}\]

\[\mathbb{Q}^{*} \longrightarrow Z^{1}(\Gamma, \widehat{\mathbb{Z}}^{*}) \longrightarrow H^{1}(\Gamma, \widehat{\mathbb{Z}})\] devant \(Z^{1}\), « \(\mathrm{Hom}(\) » biffé \[\mathbb{Q}^{*} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}^{(\mathbb{P})}, \qquad \varphi(\gamma\gamma') = \varphi(\gamma) + \gamma\varphi(\gamma'), \qquad \varphi(\gamma) = a - \gamma a\] \[\mathbb{Q}^{*} \longrightarrow Z^{1}(\Gamma, \widehat{\mathbb{Z}}_{\ell}), \qquad \widehat{\mathbb{Z}}^{\mathbb{P}} \longrightarrow Z^{1}, \qquad \varprojlim_{n} Z^{1}(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\] un « \(\mathbb{Z}[\) » inachevé sous \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}^{(\mathbb{P})}\), et un griffonnage biffé (\(\mathbb{Q}^{*}\), \(\mathbb{Z}^{\mathbb{P}}\), \(\mathbb{Z}_{\ell}\)) au-dessus de \(\widehat{\mathbb{Z}}^{\mathbb{P}}\)

\[\mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*n} \simeq H^{1}(\Gamma, \mu_n) \simeq Z^{1}(\Gamma, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\] \(a \in \mathbb{Q}^{*}\) \(\overline{\mathbb{Q}}\)

\((a, \ \xi) \in \overline{\mathbb{Q}}\), \(\xi^{n} \in \mathbb{Q}^{*}\), \(\mathbb{Q}^{*} \subset \overline{\mathbb{Q}}^{*}\), \({}_{n}(\overline{\mathbb{Q}}^{*}/\mathbb{Q}^{*})\)

\(\sqrt[n]{p_1}, \ldots, \sqrt[n]{p_\nu}\) \(K = K_{A,n} = \mathbb{Q}(\sqrt[n]{p_1}, \ldots, \sqrt[n]{p_\nu})\)

\(\mathrm{T}\) \(K^{*}/\mathbb{Q}^{*}\)

22feuillet de calculs épars

\[\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \xrightarrow{\ \lambda \mapsto \lambda^{n}\ } \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \qquad\qquad \mathbb{Q} \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}\] écrit verticalement sur la page : la flèche \(\lambda\mapsto\lambda^n\) descend de \(\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}\) à \(\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}\), puis un trait vers \(\mathbb{Q}\to\overline{\mathbb{Q}}\)

\[1 \longrightarrow \mu_n \longrightarrow \mathcal{E}'_n \rightleftarrows \Gamma' \longrightarrow 1\] \[\mathcal{E}'_n = \bigl[(\mathbb{Z}/6n\mathbb{Z})^{*} \cdot \mu_\nu\bigr] \cdot \mu_n \qquad \bigl[(\mathbb{Z}/6n\mathbb{Z})^{*} \cdot \mu_\nu \to \mathrm{Aff}(\mu_n)\bigr]\] \(\Gamma' \simeq (\mathbb{Z}/6n\mathbb{Z})^{*} \cdot \mu_\nu\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \mu_\nu \arrow[r] & \Gamma'_\nu \arrow[r] & (\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z})^{*} \arrow[r] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mu_\nu \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & \Gamma' \arrow[r] \arrow[u] & (\mathbb{Z}/6n\mathbb{Z})^{*} \arrow[r] \arrow[u] & 1
\end{tikzcd}

splitté, splitting dépend du choix de \(\sqrt[\nu]{2}\) sur \(K_\nu\). la flèche de cette note pointe vers \(\Gamma'_\nu\) ; l'indice de \(\Gamma'\) en bas est illisible, lu \(\Gamma'\) sans indice ; l'égalité verticale de gauche est tracée par un double trait

\[\begin{array}{cccccl} E^{+} & R' & R & S_1 & S_0 & \\ \wr & \wr & \wr & \wr & \wr & \bigr\}\ z \mapsto \tfrac{1}{z} \\ E^{-} & R'' & R & S_1 & S_2 & \end{array}\]

\[1 \longrightarrow \mu_\infty(\overline{\mathbb{Q}}) \longrightarrow \mathcal{E}_\infty \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1\] \(\Gamma \cdot \mu_\infty(\overline{\mathbb{Q}})\) [\(\mu_\infty\) (\(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}\), non can.)] \(\Gamma\) opère sur \(\widehat{\mathbb{Z}}^{*}\)

\(\mathbb{Z}\), \(R'\), \(R''\), \(1\)

\(E^{+}, E^{-}, R, R', R'', S_1\) sont des torseurs sous \(\mu_\infty\)

\(E^{+} \simeq (E^{-})^{\vee}\), \(R' \simeq\)

\(E^{+} \wedge E^{-} = 1\), \(R' \wedge R'' = 1\), \(R^{2} = 1\)

\(E^{+\,6} = 1\)

241.1 Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), et posons \(C_n \subset \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{Q}}\) équation projective \[\text{(1)} \qquad x^{n} + y^{n} + z^{n} = 0 .\] Le groupe \(\mu^{3}_{n\,\mathbb{Q}}\) opère sur \(\mathbb{E}^{3}_{\mathbb{Q}}\) par matrices diagonales, donc posant \[\text{(2)} \qquad \Pi_{n\,\mathbb{Q}} = \mu_n^{3}/\mu_n \ (\text{diag.}) \simeq \mu_n \otimes_{\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z})\] NB on écrit \(\mu_n\) au lieu de \(\mu_{n\,\mathbb{Q}}\) opère sur \(\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{Q}}\), en laissant \(C_n\) invariant. La courbe \(C_n/\Pi_{n\,\mathbb{Q}}\) s'identifie à la courbe ⌜\(C_1\)⌝ qui est donnée, en coordonnées homogènes, par \[\text{(3)} \qquad X + Y + Z = 0\] qu'on identifie à \(\mathbb{P}^{1}_{X}\), en envoyant les points de \(C_1\) pour lesquels \(X\), \(Y\) ou \(Z\) sont nuls resp. en \(0, 1, \infty\). Donc écrivant \(C_1\) en coordonnées affines, faisant \(Z = 1\) i.e. \(X/Z = \xi\), \(Y/Z = \eta\), sous la forme \[\text{(3')} \qquad \xi + \eta + 1 = 0\] i.e. \[\eta = -1 - \xi ,\] \(\xi = 0\) correspond à \(\eta = -1\), \(\eta = 0\) à \(\xi = -1\), donc posant \[\text{(3'')} \qquad t = -\xi \quad \text{d'où} \quad \xi = -t, \ \eta = t - 1, \ \zeta = 1\] les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(X = 0\), \(Y = 0\), \(Z = 0\) sont resp. \(t = 0, 1, \infty\).

\(C_n\) est étale sur \(C_1 = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}\) sauf en \(0, 1, \infty\), i.e. c'est un revêtement principal \(C_n^{*}\) de \(C_1^{*} \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}} \setminus \{0, 1, \infty\}\), de groupe \(\Pi_{n\,\mathbb{Q}}\).

Il y a en \(\alpha(i)\) (\(i \in \{0, 1, \infty\}\)) \(n\) pts de ramification de \(C_n\), dont […] degré de ramification \(n\). Comme cette variété, elle est formée de \(2n^{2}\) triangles, qui […] […] […] […] […] […] […] fois… deux notes écrites le long de la marge gauche, en remontant ; le mot « variété » et la suite sont très incertains

25Passant à la limite, on trouve \[\text{(5)} \qquad C_\infty = \varprojlim C_n, \qquad C_\infty^{*} = \varprojlim C_n^{*}\] sur lesquels opère \[\text{(6)} \qquad \Pi_\infty = \varprojlim \Pi_n \simeq \mu^{\leftarrow}_\infty \otimes_{\widehat{\mathbb{Z}}} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}) ,\] où \(\mu^{\leftarrow}_\infty = \varprojlim \mu_n\). Ainsi \(C_\infty^{*}\) devient revêtement principal de \(C_1^{*}\), de groupe \(\Pi_\infty\). avant le dernier membre de (6), une première écriture \(\simeq\) \(\mathrm{T}\) \(\mu^{\leftarrow}_\infty \otimes (\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z})\) ; le numéro (4) ne figure pas sur la page, qui passe de (3'') à (5) NB on laisse tomber l'indice \(\mathbb{Q}\)

261.3 Notons que \(\mathfrak{S}_3\) opère sur \(C_n\) de façon évidente, et les \(C_{n'} \to C_n\) sont des \(\mathfrak{S}_3\)-morphismes, donc \(\mathfrak{S}_3\) opère sur \(C_\infty\). L'opération de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(C_1\) (\(= \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}\)) est celle déduite des opérations de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(\{0, 1, \infty\}\). Enfin \(\mathfrak{S}_3\) opère sur \(\Pi_n\), de façon que \(\mathfrak{S}_3\) opère sur \((C_n, \Pi_n)\) … ⌜donc \(\mathfrak{S}_3\) opère sur \((C_\infty, \Pi_\infty)\)…⌝

1.4 Considérons la clôture alg. \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\), d'où par changement de base les schémas \(\overline{C}_n\), \(\overline{C}_n^{*}\), \(\overline{C}_\infty\), \(\overline{C}_\infty^{*}\), sur \(\overline{C}_1 = \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}}\) et \(\overline{C}_1^{*} = \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} \setminus \{0, 1, \infty\}\). Sur les schémas \(\overline{C}_n\) […] \[\text{(7)} \qquad \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\] opère de façon évidente, et aussi sur les groupes \[\text{(8)} \qquad \overline{\Pi}_n = \Pi_n(\overline{\mathbb{Q}}) = \mu_n^{3}/\mu_n \simeq \mu_n \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z} \simeq \mu_n \otimes_{\widehat{\mathbb{Z}}} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}})\] au-dessus de \(\overline{\Pi}_n\), un ajout lu « \(\Pi_n = ?\) » ; sous (8), une ligne biffée commençant par « où \(\overline{\mu}_n = \mu_n(\overline{\mathbb{Q}})\) » et \(\mathfrak{S}_3\). On voit tout de suite que ces opérations s'ajustent de façon à ce qu'on trouve le groupe \[\text{(9)} \qquad \mathcal{E}_n = (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \Pi_n\] « \(\cdot_{1/2}\) » rend sa notation « \(\cdot_{\frac12}\) » placée en indice du point : produit semi-direct ; le numéro (9) est écrit sur un (8)

27où \(\mathfrak{S}_3 \times \Gamma\) opère sur \(\Pi_n\) via l'opération évidente de \(\mathfrak{S}_3\) sur \(\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}\), et de \(\Gamma\) sur \(\mu_n\) via le caractère fondamental \[\text{(10)} \qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi_n\ } (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} .\] Passant à la limite, on trouve une opération de \(\mathfrak{S}_3 \times \Gamma\) sur \[\text{(11)} \qquad \begin{cases} \Pi_\infty = \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \mathrm{T} \otimes \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z} \simeq \mathrm{T} \otimes \widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}, \\ \text{où } \mathrm{T} = \varprojlim \mu_n = \mu^{\leftarrow}_\infty(\overline{\mathbb{Q}}) \end{cases}\] où \(\mathfrak{S}_3\) opère via son op. sur \(\mathbb{Z}^{3} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{3}\), et \(\Gamma\) par le caractère fondamental \[\text{(12)} \qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi_\infty = \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} .\] Bien entendu, \[\text{(13)} \qquad \begin{cases} \mathfrak{S}_3 \times \Gamma = \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}\, C_1 \\ (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \mu_n \overset{\mathrm{df}}{=} \mathcal{E}_n \simeq \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(C_n) \\ (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \mu_\infty \overset{\mathrm{df}}{=} \mathcal{E}_\infty \simeq \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(C_\infty) \end{cases}\]

1.5 En fait, l'hom. […] \[\pi_1(\overline{C}_1^{*}) \longrightarrow \Pi_\infty\] sous \(\pi_1(\overline{C}_1^{*})\), écrit en colonne : \(\Vert\) \(\pi_1(\mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} \setminus \{0,1,\infty\})\) ; sous \(\Pi_\infty\) : \(\simeq \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \mathrm{T} \otimes \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}\) définit un isom.

28\[\text{(14)} \qquad \pi_1(\overline{C}_1^{*})^{\mathrm{ab}} \simeq \Pi_\infty \quad (\simeq H_1(\overline{C}_1^{*}))\] (i.e. on est en train de faire l'étude arithmétique des rev. ⌜étales⌝ abéliens de \(\overline{C}_1^{*}\) …).

1.6 Considérons les fibres \((\overline{C}_\infty)_\zeta\), \(\zeta = 0, 1, \infty\), disons \(E_0\), \(E_1\), \(E_\infty\). Ainsi \(E_0 = \varprojlim E_0(n)\), \[\begin{aligned} E_0(n) &= \{(x, y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{3} \mid x = 0,\ y^{n} + z^{n} = 0\}/\mu_n \\ &\simeq \{(y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{2} \mid (y/z)^{n} = -1\}/\mu_n \\ &\simeq \{\lambda \in \overline{\mathbb{Q}} \mid \lambda^{n} = -1\} \end{aligned}\] \(\simeq\) \(\overline{\mathbb{Q}}\) image inverse de \(-1 \in \mu_2\) par \(\mu_{2n} \to \mu_2\), donc \[\text{(15)} \qquad E_0 \overset{\varphi_0}{\simeq} \text{image inverse de } -1 \in \mu_2 \text{ par } \mu^{\leftarrow}_{\infty} \to \mu_2 .\] C'est pareil pour \(\zeta = 0, 1, \infty\) (par \(\mathfrak{S}_3\)) et compatible de façon plus intrinsèque avec l'action de […] \(\Gamma\), Pour formuler […] de \(\Pi_\infty\) opérant sur les deuxièmes […] via l'action de \(\mathrm{T}^{3}/\mathrm{pr}_\zeta + \mathrm{diag}(\mathrm{T})\) de façon simple les compatibilités avec les actions de \(\mathfrak{S}_3\) et \(\Pi_\infty\), on va présenter la fin de la page est un bloc biffé de traits obliques, lisible par endroits seulement ; l'exposant de \(\mu^{\leftarrow}\) dans (15) est incertain

29les choses de façon plus intrinsèque. Considérons l'homomorphisme canonique \[\text{(16)} \qquad \Pi_\infty \longrightarrow \Pi_2\] et soit \[\text{(17)} \qquad \Pi_2^{*} = \Pi_2 \setminus \{1\} \simeq (\mathbb{F}_2^{3}/\mathbb{F}_2) \setminus \{0\} .\] C'est isom. à l'ens. \(I = \{0, 1, \infty\}\) de façon compatible avec l'action de \(\mathfrak{S}_3\) [NB \(\Gamma\) opère trivialement sur \(\Pi_2^{*}\) comme sur \(I = \{0, 1, \infty\}\)]. Ceci dit pour […], considérons

(18') \(I = \{0,1,\infty\}\), \(E(I) ={}\) \(\overline{C}_\infty(\overline{\mathbb{Q}})\,|\,I\) \(= \coprod_{\zeta \in I} \overline{C}_{\infty,\zeta}\) \(= E_0 \sqcup E_1 \sqcup E_\infty\) ; posant \(\widehat{\mu}_\infty ={}\) \(\mu_\infty \cup \{0\}\) : (19) \(E(I) ={}\) \(\{(\zeta_0, \zeta_1, \zeta_\infty) \in{}\) \(\widehat{\mu}_\infty^{3} \mid\) un des \(\zeta_i\) est nul\(\}\) les deux lignes précédentes sont encadrées et biffées ensemble

considérons la suite exacte cx. et \(\mu_\infty\) de \((\mathfrak{S}_3 \times \Gamma)\)-modules \[\text{(18)} \qquad 0 \longrightarrow \Pi_\infty \xrightarrow{\ 2\ } \Pi_\infty \xrightarrow{\ p\ } \Pi_2 \longrightarrow 0, \qquad \Pi_2 \supset I = \{0, 1, \infty\},\] et pour \(i \in I\) soit \[\text{(19)} \qquad Z_i \subset \Pi_\infty \ (\simeq \mathrm{T})\] le sous-groupe de ramification correspondant, image dans \(\Pi_\infty \simeq \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T}\) du \(i\)-ème facteur \(\mathrm{T}\) d'indice \(i\) dans \(\mathrm{T}^{3}\). Soit enfin On a donc \[\text{(20)} \qquad E_i \simeq p^{-1}(\{i\})/Z_i .\] Autre façon : on utilise les trois points rat. sur \(\mathbb{Q}\), (19) des \(\overline{C}_\infty\), d'ailleurs […] des \(E_i\) (\(i = 0, 1, \infty\)), d'où \(E_i \simeq \Pi_\infty/Z_i \simeq \mathrm{T}_{A}(\pm 1)(I \setminus \{i\})\) (20) note écrite en oblique dans le coin inférieur gauche ; lecture d’ensemble incertaine, en particulier l’indice \(A\) de \(\mathrm{T}_{A}\)

301.7 Soient \[\text{(21)} \qquad \alpha = -j, \qquad \overline{\alpha} = -\overline{j}\] NB \(j = -\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\), \(-\overline{j} = \tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\) ; posons \(\alpha_{*} = \{\alpha, \overline{\alpha}\}\), \(E(\alpha_{*}) = E(\{\alpha, \overline{\alpha}\})\) les deux pts de \(\overline{C}_1\) invariants par \(\mathfrak{S}_3^{+}\), i.e. deux éléments ⌜en⌝ fixes sous \(\mathfrak{S}_3\) de card. 2. Une […] d'ensembles \[\text{(22)} \qquad E(\alpha) \sqcup E(\overline{\alpha})\] image inverse de \(\{\alpha, \overline{\alpha}\}\) en tant que \(\mathcal{E}\)-ensemble — i.e. avec les op. de \(\Gamma\), \(\mathfrak{S}_3\), \(\Pi_\infty\). On trouve, par calcul en coordonnées affines, \[\text{(23)} \qquad \begin{cases} E(\alpha)_n = \{(\xi, \eta) \in \overline{\mathbb{Q}}^{2} \mid \xi^{n} = \overline{j},\ \eta^{n} = j\} \\ E(\overline{\alpha})_n = \{(\xi, \eta) \mid \xi^{n} = j,\ \eta^{n} = \overline{j}\} \end{cases}\] dans (23), un « \(-1\) » biffé devant \(j\) Notons qu'alors les conditions […] \(\xi^{3n} = \eta^{3n} = 1\) ; donc \(E(\alpha) = \varprojlim E(\alpha)_n\) \(\leftarrow \varprojlim \mu_{3n} \times \mu_{3n}\) \(\simeq \mu_\infty \times \mu_\infty\) ; \((\xi_n, \eta_n) \mapsto (\xi^{3}, \eta^{3})\)

Pour avoir une description intrinsèque des opérations de \(\mathfrak{S}_3\) et de \(\Pi_n\) (celles de \(\Gamma\) sont données) on va écrire plutôt […] prendre nos courbes affines projetantes de \(C_n\), \(C_1\), et prendre les points au-dessus de pt de \(E_i(\alpha, \overline{\alpha}) \to\) \(E_n(\{\alpha, \overline{\alpha}\})\), \(E_1(\{\alpha, \overline{\alpha}\})\), […] \(\widetilde{E}_n(\{\alpha, \overline{\alpha}\})\), \(\widetilde{E}_1(\{\alpha, \overline{\alpha}\})\) — puis […] passer au quotient pour avoir \(E_n\), \(E_1\) … la seconde moitié de la page porte plusieurs lignes biffées en oblique, dont seules les formules ci-dessus se lisent

31\(\widetilde{E}_1\{\alpha, \alpha\}\)

Soit \(\widetilde{C}_1 = \{(\zeta_1, \zeta_2, \zeta_\infty) \in \mu_3^{3}\) \[\text{(24)} \qquad \widetilde{C}_1 = \mathrm{Isom}(\underbrace{\{1, 2, \infty\}}_{I}, \mu_3) \simeq \{(\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3) \in \mu_3^{3} \mid \zeta_1 \neq \zeta_2 \neq \zeta_3 \neq \zeta_1\}\] \(\subset\) […] cône projetant de \(\overline{C}_1 \subset \overline{\mathbb{Q}}^{3}\). le numéro de (24) est lu d'après la suite (25), (26) ; l'écriture est effacée

\(\widetilde{C}_1\) a \(3! = 6\) éléments, et \(\mu_3\) y opère diagonalement (multiplications scalaires), sans points fixes librement — le quotient \(\widetilde{C}_1/\mu_3\) a donc deux éléments. L'application \[\widetilde{C}_1/\mu_3 \longrightarrow \overline{C}_1\] NB \(\widetilde{C}_1/\mu_3 \subset \Pi_3\) est formé des […] devient une bijection \[\text{(25)} \qquad \widetilde{C}_1/\mu_3 \xrightarrow{\ \sim\ } \overline{C}_1^{\,\mathfrak{S}_3^{+}} = \{\alpha, \overline{\alpha}\}\] mettant en évidence l'opération de \(\mathcal{E}\) sur \((\alpha, \overline{\alpha})\), via ses opérations sur \(\widetilde{C}_1 \subset \mu_3^{3} = \mu_3^{I}\). [NB \(\mathcal{E}\) opère via \(\mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\}\), via \(\Gamma \xrightarrow{\chi_3} \{\pm 1\}\)).

Soit alors \(\widetilde{C}_n\) l'image inverse de \(\widetilde{C}_1\) par l'application naturelle des cônes projetants de \(\overline{C}_n\), sur le cône projetant de \(\overline{C}_1\), donc l'ensemble des \((x, y, z)\) […] \(\overline{C}_\infty\) \[\text{(26)} \qquad \begin{aligned} \widetilde{C}_n &= \{(x, y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{3} \mid (x^{n}, y^{n}, z^{n}) \in \widetilde{C}_1\} \\ &= \{(x, y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{3} \mid x^{3n} = y^{3n} = z^{3n} = 1,\ x^{n} \neq y^{n} \neq z^{n} \neq x^{n}\} \end{aligned}\] dans la première ligne de (26), « \(x^n + y^n + z^n = 1\), \(x\) » biffé avant la condition Notons que \(\mu_{3n}\) opère diagonalement sur \(\overline{C}_n\),

32L'application \[\widetilde{C}_n \longrightarrow \widetilde{C}_1\] est compatible avec \[\mu_{3n} \xrightarrow{\ \zeta \mapsto \zeta^{n}\ } \mu_n\] et induit donc par passage au quotient \[\widetilde{C}_n/\mu_{3n} \longrightarrow \widetilde{C}_1/\mu_n .\] ici et dans (27) il écrit \(\mu_n\) là où \(\widetilde{C}_1/\mu_3\) était défini, et où \(\zeta\mapsto\zeta^n\) envoie \(\mu_{3n}\) sur \(\mu_3\) ; transcrit tel quel Ceci dit, on a un diagramme commutatif (27) ; flèche horizontale du bas : « projection canonique induite par \(\overline{C}_n \to \overline{C}_1\) » ; sous chaque \(\{\alpha,\overline{\alpha}\}\) une accolade marquée \(\alpha_{*}\)

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\widetilde{C}_n/\mu_{3n} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"'] & \widetilde{C}_1/\mu_n \arrow[d, "\wr"] \\
E_n(\{\alpha, \overline{\alpha}\}) \arrow[r] & E_1(\{\alpha, \overline{\alpha}\})
\end{tikzcd}

Passant à la limite, on pose \[\text{(28)} \qquad \widetilde{C}_\infty = \{(x, y, z) \in \mathrm{T}^{3} \ (= \mu_\infty^{3}) \mid x_3 \neq y_3 \neq z_3 \neq x_3\}\] où pour \(\xi \in \mathrm{T}\), \(\xi_3\) désigne son image par \(\mathrm{T} \to \mathrm{T}/3\mathrm{T} \simeq \mu_3\). Donc \[\widetilde{C}_\infty \subset \mathrm{T}^{3} \quad \text{stable par } \mathrm{T}\] et on trouve un […] \[\text{(29)} \qquad \widetilde{C}_\infty/\mathrm{T} \hookrightarrow \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \Pi_\infty ,\] en pied de page, coupé : \(E^{21}(\alpha_{*})\) […]

33de façon précise \[\text{(30)} \qquad \widetilde{C}_\infty/\mu_\infty \simeq \text{image inverse de } \overbrace{\widetilde{C}_1/\mu_3}^{\omega} \subset \mu_3^{3}/\mu_3 = \Pi_3 \ \text{par } \Pi_\infty \to \Pi_3 .\] En termes de la suite exacte \[\text{(31)} \qquad 0 \longrightarrow \Pi_\infty \xrightarrow{\ 3\ } \Pi_\infty \xrightarrow{\ p_3\ } \Pi_3 \longrightarrow 0, \qquad \omega \subset \Pi_3,\] \(\Pi_\infty\) opère librement sur cette partie de \(\Pi_\infty\), image inverse de \(\omega\) par \(\Pi_\infty \to \Pi_3\). Ceci donne les opérations de \(\Pi_\infty\) sur \(E(\alpha_{*}) \simeq p_3^{-1}(\omega)\), celles de \(\Gamma\) et \(\mathfrak{S}_3\) étant induites par leurs opérations sur \(\Pi_\infty\)…

NB Sur \(\Pi_3\), \(\mathcal{E} \times\) \(\mathfrak{S}_3 \times \Gamma\) opère via \(\mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\}\) ⌜(opérations non fidèles sur \(\Pi_3\))⌝, (\(\Gamma \xrightarrow{\chi_3} \{\pm 1\}\)). Considérons \(\mathfrak{S}_3^{+}\) (\(\simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)) opérant sur \(\Pi_3\) (\(\simeq \mathbb{F}_3^{2}\)), alors on sait qu'il doit y avoir une droite invariante — et les […] en fait elle est unique — et \(\omega\) est formé des deux éléments non nuls de cette droite…

34(1.8) Considérons enfin les pts fixes \[\text{(32)} \qquad \alpha'(0) = 2, \quad \alpha'(1) = -1, \quad \alpha'(\infty) = \tfrac12\] qui sont les pts fixes, autres que \(0, 1, \infty\) resp., des transpositions \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty \in \mathfrak{S}_3\). dans (32), les \(\alpha'(i)\) sont écrits au-dessus de lettres biffées (\(\beta_0\), \(\beta_1\), \(\beta_\infty\)) ; même correction de \(\beta\) en \(\alpha'\) dans (33) et dans le dessin un cercle (la droite projective réelle) portant, dans l'ordre, les points \(\infty\), \(\alpha'(0)\), \(1\), \(\alpha'(\infty)\), \(0\), \(\alpha'(1)\) ; chaque \(\alpha'(i)\) est sur l'arc opposé au point \(i\) Soit \[\text{(33)} \qquad \alpha'_{*} = \{\alpha'(0), \alpha'(1), \alpha'(2)\} .\] « \(\alpha'(2)\) » sic, pour \(\alpha'(\infty)\) On va déterminer \(E(\alpha'_{*})\) ⌜\(= \coprod_{i \in I} E(\alpha'(i))\), comme un⌝ \(\mathcal{E}\)-ensemble.

On trouve \[\text{(34)} \qquad \begin{cases} E_n(\alpha'(i)) \simeq \{(\xi_j) \in \overline{\mathbb{Q}}^{I \setminus \{i\}} \mid \xi_j^{n} = -\tfrac12 \ \ \forall j \in I \setminus \{i\}\} \simeq K_n(-\tfrac12)^{I \setminus \{i\}} \\ E(\alpha'(i)) \simeq K(-\tfrac12)^{I \setminus \{i\}} \end{cases}\] où \(\forall g \in \mathbb{Q}\), on pose \[\text{(35)} \qquad \begin{cases} K_n(g) = \{\xi \in \overline{\mathbb{Q}} \mid \xi^{n} = g\} \\ K_\infty(g) = K(g) = \varprojlim_{n} K_n(g) \end{cases}\] \(K_\infty(g)\) étant un torseur sous \(\mathrm{T} = \mu_\infty\), sur lequel \(\Gamma\) opère donc (un \(\mathrm{Ext}\)\((\mu_\infty, \Gamma)\)-torseur…)

Ceci en ayant, on voit les iso. can. \[K(gg') \simeq K(g) \wedge_{\mathrm{T}} K(g')\] \[\text{(36)} \qquad K(-\tfrac12) \simeq K(-1) \wedge_{\mathrm{T}} K(\tfrac12) \simeq K(-1) \wedge_{\mathrm{T}} K(2)^{-1}\] \[\text{(37)} \qquad K(-1) \hookrightarrow \mathrm{T}, \qquad (1 \to \mathrm{T} \xrightarrow{\ 2\ } \mathrm{T} \xrightarrow{\ p_2\ } \mu_2 \to 1)\] sous la flèche de (37) : « \(\simeq p_2^{-1}(-1)\) » ; un symbole biffé devant \(\mathrm{T}\)

35Soit \[\text{(38)} \qquad A = \mathrm{Aff}(\mathrm{T}, K(\tfrac12))\] à la suite de (38), « \(\simeq \mathrm{Aff}\) » biffé donc \[\text{(39)} \qquad 1 \longrightarrow \mathrm{T} \longrightarrow A \longrightarrow \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \longrightarrow 1 \qquad (\widehat{\mathbb{Z}}^{*} \simeq \mathrm{Aut}(\mathrm{T})) .\] Les ensembles (\(\Pi_n\), \(\Pi_\infty\), et les ensembles \(E(I)\), \(E(I)\) ⌜groupes \(\mu_n\), \(\mu_\infty = \mathrm{T}\),⌝ […] […] ⌜\(E(\alpha_{*})\), \(E(\alpha_{*})\)⌝ \(A\) opère sur \(\Pi_n\), \(\Pi_\infty\) ⌜\(= \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T}\)⌝ par l'intermédiaire de \(\widehat{\mathbb{Z}}^{*}\), \(\Pi \to A\) (par homothéties …) et le groupe \[\widetilde{\mathcal{E}} = (\mathfrak{S}_3 \times A) \cdot_{1/2} \Pi_\infty\] opère ⌜de façon évidente⌝ sur les ensembles \(E(\alpha_{*})\) […] \(E(\alpha_{*})\), \(E(\alpha_{*})\), \(E(\alpha'_{*})\), \(E(\alpha'_{*})\) — en fait les deux premiers opèrent via le quotient \(\widetilde{\mathcal{E}}/\mathrm{T} \simeq\) \[\widetilde{\mathcal{E}}/\mathrm{T} \simeq (\mathfrak{S}_3 \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*}) \cdot_{1/2} \Pi_\infty .\] \(\alpha(0) = 0\), \(\alpha(1) = 1\), \(\alpha(\infty) = \infty\), \(\alpha(*) = \{\alpha(0), \alpha(1), \alpha(\infty)\}\) la liste des ensembles répète \(E(\alpha_{*})\) et \(E(\alpha'_{*})\) : sans doute une fois soulignés (ensembles sur \(\overline{\mathbb{Q}}\)), une fois non ; la note de marge ajoute \(\alpha_{*} = \{0,1,\infty\}\) à côté du \(\{\alpha,\overline{\alpha}\}\) de 1.7

D'autre part, on a \[\text{(40)} \qquad \Gamma \longrightarrow A\] homom. dont l'image \(\Gamma'\) est d'indice fini (est-ce \(=\) surjectif ?) ? \(\Gamma'\) est le groupe de Galois de la sous-extension de \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) engendrée par les racines \(n\)-ièmes de \(\tfrac12\),

36pour \(n\) variable. Ceci dit, on a un homom. évident \[\text{(41)} \qquad \mathcal{E} = (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \Pi_\infty \longrightarrow \widetilde{\mathcal{E}} = (\mathfrak{S}_3 \times A) \cdot_{1/2} \Pi_\infty\] déduit de (40), et les opérations de \(\mathcal{E}\), sur les ens. précédents se font à travers \(\widetilde{\mathcal{E}}\)…

(1.9) Les développements précédents n'utilisaient pas que \(\mathbb{Q}\) la clôture alg. \(\overline{\mathbb{Q}}\) ⌜envisagée⌝ de \(\overline{\mathbb{Q}}\) était plongée dans \(\mathbb{C}\) — ils resteraient valables en remplaçant \(\mathbb{Q}\) par n'importe quel corps premier, à condition de […] […] […] premiers à la car. (\(\overline{C}_\infty\) est alors le revêtement universel abélien modéré de \((\overline{C}_1, I)\)…). Il faut l'utiliser, pour faire le lien avec les cartes 3-gradiées finies abéliennes, et le point cartographique. On va d'abord trivialiser \(\overline{C}_\infty\) au-dessus de \(\alpha = -j \in \omega = \{\alpha, \overline{\alpha}\}\), pour pouvoir l'identifier au rev. universel profini pointé en \(\alpha\).

37Rappelons \[\text{(42)} \qquad E(\alpha) \subset \Pi_\infty \xrightarrow{\ p_3\ } \Pi_3, \qquad E(\alpha) = p_3^{-1}(\alpha)\] \[\alpha = (\overline{j}, j, 1) \bmod \mu_3 = \{(\overline{j}, j, 1), (j, 1, \overline{j}), (1, \overline{j}, j)\} \in \Pi_3\] les deuxièmes et troisièmes coordonnées portent des surcharges ; sous la ligne, un mot biffé Posons. Nous prendrons utilisons \[\Bigl( \quad j = \exp\frac{2i\pi}{3}, \qquad \overline{j} = \exp -\frac{2i\pi}{3}\] et posons \[\text{(43)} \qquad \zeta_n = \exp\frac{2i\pi}{3n}\] et \[\begin{cases} \alpha_n = (\overline{\zeta}_n, \zeta_n, 1) \\ \alpha_\infty = (\overline{\zeta}_\infty, \zeta_\infty, 1) \end{cases}\] les deux lignes sont précédées et surchargées de ratures ; dans \(\alpha_n\), la deuxième coordonnée porte un « \(j\) » biffé ; \(\alpha_\infty\) est réécrit sous une première forme entièrement raturée [pour \(\alpha_n\)] considérés sur comme un élément de \(\overline{C}_n\) au-dessus de \(\alpha = -j\) mod \(\mu_n\) dans sont comme élément de \(\mu_{3n}^{3}/\mu_{3n}\) […] \(= \Pi_{3n}\) ; [pour \(\alpha_\infty\)] considérés sur comme pts de \(\overline{C}_\infty\) au-dessus de \(\alpha = -j\) sont comme él. de \(\mu_\infty^{3}/\mu_\infty = \Pi_\infty\) où \[\text{(44)} \qquad \zeta_\infty = (\zeta_n) \in \mathrm{T}\] est le générateur canonique de \(\mathrm{T}\), donné par l'exponentielle complexe, permettant donc de définir un iso. can. \[\text{(45)} \qquad \widehat{\mathbb{Z}} \overset{\varphi}{\simeq} \mathrm{T} .\]

38Maintenant on déduit de là des isom. \[\text{(46)} \qquad \begin{cases} \Pi_\infty \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}} \\ \mathcal{E} \simeq (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}) \end{cases}\] entre les deux lignes de (46), une ligne biffée, lue « \(\mathcal{E}\) \((\mathfrak{S}_3 \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*})/\widehat{\mathbb{Z}}\) » ; sous \(\mathfrak{S}_3 \times \Gamma\) : « opère via permutation des facteurs et via homothétie par \(\chi : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*}\) » \[\Pi_n \simeq (\mathbb{Z}/n)^{3}/(\mathbb{Z}/n)\] cette formule est entourée, et une flèche la renvoie à la première ligne de (46) \[\text{(47)} \qquad \alpha_\infty \simeq (-1, +1, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}}\] d'où \[\text{(47')} \qquad \alpha'_\infty = \overline{\alpha}_\infty = (1, -1, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} .\] Considérons les éléments \[\text{(48)} \qquad \begin{cases} \rho_0, \rho_1, \rho_\infty \in \Pi_\infty \\ \rho_0 = (1, 0, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} \\ \rho_1 = (0, 1, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} \\ \rho_\infty = (0, 0, 1) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} \end{cases}\] on sait que \[\text{(49)} \qquad \rho_0 \rho_1 \rho_\infty = 1 .\] Ce sont ces éléments qui donnent l'isom. de \(\widehat{\Gamma}^{+}_{12}\) avec \(\Pi_\infty\). la dernière phrase est marquée d'un double trait vertical dans la marge gauche ; l'indice de \(\widehat{\Gamma}^{+}\) est lu « 12 » sans assurance

39Il reste à définir \(b\)

Il faut expliciter \(K(2)\), […] en choisissant une origine \[\text{(50)} \qquad \theta_\infty = (\underbrace{\sqrt[n]{2}}_{\theta_n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}\] donc \(K(2)\) est identifié à \(\mathrm{T}\) donc à \(\widehat{\mathbb{Z}}\), et \[\text{(51)} \qquad A \simeq \mathrm{Aff}(1, \widehat{\mathbb{Z}}) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \cdot_{1/2} \widehat{\mathbb{Z}}\] opérant sur \(K(2) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}\) de façon tautologique \[\text{(52)} \qquad (a, b)(x) = ax + b \qquad (a \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*},\ b \in \widehat{\mathbb{Z}},\ x \in K(2)) .\] On a donc \[\text{(53)} \qquad K(\tfrac12) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}\] mais opérations \[\text{(54)} \qquad (a, b)(x) = ax - b \qquad (a \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*},\ b \in \widehat{\mathbb{Z}},\ x \in K(\tfrac12)) .\] Ceci permet d'expliciter entièrement \(E(\beta_{*})\) en plus de \(E(\omega)\)… « \(\beta_{*}\) » : il n'a pas partout remplacé l'ancienne lettre \(\beta\) par \(\alpha'\) (cf. p. 34)

Il reste ⌜enfin⌝ : expliciter les bijections de transport parallèle \[E(\alpha) \longrightarrow E_0,\ E_1,\ E_\infty \qquad \text{et} \qquad E(\alpha) \xrightarrow{\ \sim\ } E'_0 = E_2,\ \ E'_1 = E_{-1},\ \ E'_\infty \simeq E_{1/2}\] deux faisceaux de trois flèches partant de \(E(\alpha)\) ; ceux de droite marqués \(\sim\) [et \(E'_0 \rightrightarrows E_1, E_\infty\) ; \(E'_1 \rightrightarrows E_\infty, E_0\) […] ; \(E'_\infty \rightrightarrows E_0, E_1\)] d'où on déduit les bijections correspondantes ? de \(E(\overline{\alpha})\) en conjuguant par la conjugaison complexe. Comme on sait a priori des bijections

40compatibles avec l'action de \(\Pi_\infty\) et de \(\mathfrak{S}_3\) […] \(\times \{1, \tau\}\) (\(\tau\) étant la conjugaison complexe) il suffit pour déterminer ces 18 flèches, de déterminer deux d'entre elles, telles que ⌜p. ex.⌝ \[E(\alpha) \longrightarrow E'_\infty \longrightarrow E_0\] sous \(E(\alpha)\) : « \(\Vert\ \alpha_1\) » ; sous \(E'_\infty\) : « \(\Vert\ E_{1/2}\) » [NB \(E(\alpha) \to E_0\) est le composé] et \(=\) de connaître ⌜les⌝ images dans \(E_0\), \(E_1\) de l'élément marqué \(\alpha_\infty\) de \(E(\alpha)\), [d'où élément marqué \(\alpha'_\infty(i) \in E'_i = E(\alpha'(i))\), et \(\alpha_\infty(i) \in E_i = E(\alpha(i))\), \(\forall i \in \{0, 1, \infty\}\)].

On trouve \[\begin{aligned} \alpha'_n(\infty) &= \Bigl(\sqrt[n]{\tfrac12}\, \exp\frac{-\pi i}{n},\ \sqrt[n]{\tfrac12}\, \exp\frac{\pi i}{n},\ 1\Bigr) \\ &= (\theta_n^{-1} \overline{\zeta}_n,\ \theta_n^{-1} \zeta_n,\ 1) \\ \alpha'_\infty(\infty) &= (\theta_\infty \wedge \overline{\zeta}_\infty,\ \theta_\infty \wedge \zeta_\infty,\ 1) \end{aligned}\] devant le second « \(=\) », une écriture raturée ; dans la dernière ligne, le signe entre \(\theta_\infty\) et \(\zeta\) est lu \(\wedge\) sans assurance, et l'exposant \(-1\) de la ligne précédente n'y figure pas. Avec \(\zeta_n = \exp\frac{2i\pi}{3n}\) de (43), \(\exp\frac{\pi i}{n}\) n'est pas \(\zeta_n\) : transcrit tel quel la page s'arrête ici, au milieu de la détermination des flèches ; l'argument continue au-delà du lot