Fonds Grothendieck, cote n° 138, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-30)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-30
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)138
Cartes. Etude arithmétique (1976, 77 ?) : bon de commande (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1976-1978]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/138.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
feuillet de calculs épars, sans phrase suivie ; transcrits dans l'ordre de la page, de haut en bas
\Gamma opère sur \overline{X}'_{\xi} (\xi \in \mathbb{Q}^{*})
\Gamma opère trivialement sur \overline{X}'_{-1}\bigl[\,\overline{X}'_{(-1)^{1/n}}, \overline{X}'_{\xi^{1/n}}\,\bigr]les indices des deux derniers \overline{X}' sont lus sans assurance
\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \xrightarrow{\ \lambda \mapsto \lambda^{n}\ } \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}
\qquad\qquad \mathbb{Q} \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}écrit verticalement sur la page : la flèche \lambda\mapsto\lambda^n descend de \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} à \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}, puis un trait vers \mathbb{Q}\to\overline{\mathbb{Q}}
splitté, splitting dépend du choix de \sqrt[\nu]{2} sur K_\nu.la flèche de cette note pointe vers \Gamma'_\nu ; l'indice de \Gamma' en bas est illisible, lu \Gamma' sans indice ; l'égalité verticale de gauche est tracée par un double trait
1.1 Soit n \in \mathbb{N}^{*}, et posons C_n \subset \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{Q}} équation projective
\text{(1)} \qquad x^{n} + y^{n} + z^{n} = 0 .
Le groupe \mu^{3}_{n\,\mathbb{Q}} opère sur \mathbb{E}^{3}_{\mathbb{Q}} par matrices diagonales, donc posant
\text{(2)} \qquad \Pi_{n\,\mathbb{Q}} = \mu_n^{3}/\mu_n \ (\text{diag.}) \simeq \mu_n \otimes_{\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z})NB on écrit \mu_n au lieu de \mu_{n\,\mathbb{Q}}
opère sur \mathbb{P}^{2}_{\mathbb{Q}}, en laissant C_n invariant. La courbe C_n/\Pi_{n\,\mathbb{Q}} s'identifie à la courbe C_1 qui est donnée, en coordonnées homogènes, par
\text{(3)} \qquad X + Y + Z = 0
qu'on identifie à \mathbb{P}^{1}_{X}, en envoyant les points de C_1 pour lesquels X, Y ou Z sont nuls resp. en 0, 1, \infty. Donc écrivant C_1 en coordonnées affines, faisant Z = 1 i.e. X/Z = \xi, Y/Z = \eta, sous la forme
\text{(3')} \qquad \xi + \eta + 1 = 0
i.e.
\eta = -1 - \xi ,\xi = 0 correspond à \eta = -1, \eta = 0 à \xi = -1, donc posant
\text{(3'')} \qquad t = -\xi \quad \text{d'où} \quad \xi = -t, \ \eta = t - 1, \ \zeta = 1
les valeurs de t pour lesquelles X = 0, Y = 0, Z = 0 sont resp. t = 0, 1, \infty.
C_n est étale sur C_1 = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}} sauf en 0, 1, \infty, i.e. c'est un revêtement principal C_n^{*} de C_1^{*} \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}} \setminus \{0, 1, \infty\}, de groupe \Pi_{n\,\mathbb{Q}}.
Il y a en \alpha(i) (i \in \{0, 1, \infty\}) n pts de ramification de C_n, dont degré de ramification n. Comme cette variété, elle est formée de 2n^{2} triangles, qui fois…deux notes écrites le long de la marge gauche, en remontant ; le mot « variété » et la suite sont très incertains
Passant à la limite, on trouve
\text{(5)} \qquad C_\infty = \varprojlim C_n, \qquad C_\infty^{*} = \varprojlim C_n^{*}
sur lesquels opère
\text{(6)} \qquad \Pi_\infty = \varprojlim \Pi_n \simeq \mu^{\leftarrow}_\infty \otimes_{\widehat{\mathbb{Z}}} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}) ,
où \mu^{\leftarrow}_\infty = \varprojlim \mu_n. Ainsi C_\infty^{*} devient revêtement principal de C_1^{*}, de groupe \Pi_\infty.
avant le dernier membre de (6), une première écriture \simeq\mathrm{T}\mu^{\leftarrow}_\infty \otimes (\mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}) ; le numéro (4) ne figure pas sur la page, qui passe de (3'') à (5)NB on laisse tomber l'indice \mathbb{Q}
1.3 Notons que \mathfrak{S}_3 opère sur C_n de façon évidente, et les C_{n'} \to C_n sont des \mathfrak{S}_3-morphismes, donc \mathfrak{S}_3 opère sur C_\infty. L'opération de \mathfrak{S}_3 sur C_1 (= \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Q}}) est celle déduite des opérations de \mathfrak{S}_3 sur \{0, 1, \infty\}. Enfin \mathfrak{S}_3 opère sur \Pi_n, de façon que \mathfrak{S}_3 opère sur (C_n, \Pi_n) … donc \mathfrak{S}_3 opère sur (C_\infty, \Pi_\infty)…
1.4 Considérons la clôture alg. \overline{\mathbb{Q}} de \mathbb{Q} dans \mathbb{C}, d'où par changement de base les schémas \overline{C}_n, \overline{C}_n^{*}, \overline{C}_\infty, \overline{C}_\infty^{*}, sur \overline{C}_1 = \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} et \overline{C}_1^{*} = \mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} \setminus \{0, 1, \infty\}. Sur les schémas \overline{C}_n\text{(7)} \qquad \Gamma = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})
opère de façon évidente, et aussi sur les groupes
\text{(8)} \qquad \overline{\Pi}_n = \Pi_n(\overline{\mathbb{Q}}) = \mu_n^{3}/\mu_n \simeq \mu_n \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z} \simeq \mu_n \otimes_{\widehat{\mathbb{Z}}} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}})au-dessus de \overline{\Pi}_n, un ajout lu « \Pi_n = ? » ; sous (8), une ligne biffée commençant par « où \overline{\mu}_n = \mu_n(\overline{\mathbb{Q}}) »
et \mathfrak{S}_3. On voit tout de suite que ces opérations s'ajustent de façon à ce qu'on trouve le groupe
\text{(9)} \qquad \mathcal{E}_n = (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \Pi_n« \cdot_{1/2} » rend sa notation « \cdot_{\frac12} » placée en indice du point : produit semi-direct ; le numéro (9) est écrit sur un (8)
où \mathfrak{S}_3 \times \Gamma opère sur \Pi_n via l'opération évidente de \mathfrak{S}_3 sur \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}, et de \Gamma sur \mu_n via le caractère fondamental
\text{(10)} \qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi_n\ } (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} .
Passant à la limite, on trouve une opération de \mathfrak{S}_3 \times \Gamma sur
\text{(11)} \qquad
\begin{cases}
\Pi_\infty = \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \mathrm{T} \otimes \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z} \simeq \mathrm{T} \otimes \widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}}, \\
\text{où } \mathrm{T} = \varprojlim \mu_n = \mu^{\leftarrow}_\infty(\overline{\mathbb{Q}})
\end{cases}
où \mathfrak{S}_3 opère via son op. sur \mathbb{Z}^{3} \to \widehat{\mathbb{Z}}^{3}, et \Gamma par le caractère fondamental
\text{(12)} \qquad \Gamma \xrightarrow{\ \chi_\infty = \chi\ } \widehat{\mathbb{Z}}^{*} .
Bien entendu,
\text{(13)} \qquad
\begin{cases}
\mathfrak{S}_3 \times \Gamma = \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}\, C_1 \\
(\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \mu_n \overset{\mathrm{df}}{=} \mathcal{E}_n \simeq \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(C_n) \\
(\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \mu_\infty \overset{\mathrm{df}}{=} \mathcal{E}_\infty \simeq \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}(C_\infty)
\end{cases}
1.5 En fait, l'hom.\pi_1(\overline{C}_1^{*}) \longrightarrow \Pi_\inftysous \pi_1(\overline{C}_1^{*}), écrit en colonne : \Vert\pi_1(\mathbb{P}^{1}_{\overline{\mathbb{Q}}} \setminus \{0,1,\infty\}) ; sous \Pi_\infty : \simeq \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \mathrm{T} \otimes \mathbb{Z}^{3}/\mathbb{Z}
définit un isom.
\text{(14)} \qquad \pi_1(\overline{C}_1^{*})^{\mathrm{ab}} \simeq \Pi_\infty \quad (\simeq H_1(\overline{C}_1^{*}))
(i.e. on est en train de faire l'étude arithmétique des rev. étales abéliens de \overline{C}_1^{*} …).
1.6 Considérons les fibres (\overline{C}_\infty)_\zeta, \zeta = 0, 1, \infty, disons E_0, E_1, E_\infty. Ainsi E_0 = \varprojlim E_0(n),
\begin{aligned}
E_0(n) &= \{(x, y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{3} \mid x = 0,\ y^{n} + z^{n} = 0\}/\mu_n \\
&\simeq \{(y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{2} \mid (y/z)^{n} = -1\}/\mu_n \\
&\simeq \{\lambda \in \overline{\mathbb{Q}} \mid \lambda^{n} = -1\}
\end{aligned}\simeq\overline{\mathbb{Q}} image inverse de -1 \in \mu_2 par \mu_{2n} \to \mu_2, donc
\text{(15)} \qquad E_0 \overset{\varphi_0}{\simeq} \text{image inverse de } -1 \in \mu_2 \text{ par } \mu^{\leftarrow}_{\infty} \to \mu_2 .
C'est pareil pour \zeta = 0, 1, \infty (par \mathfrak{S}_3) et compatible de façon plus intrinsèque avec l'action de \Gamma, Pour formuler de \Pi_\infty opérant sur les deuxièmes via l'action de \mathrm{T}^{3}/\mathrm{pr}_\zeta + \mathrm{diag}(\mathrm{T})
de façon simple les compatibilités avec les actions de \mathfrak{S}_3 et \Pi_\infty, on va présenter
la fin de la page est un bloc biffé de traits obliques, lisible par endroits seulement ; l'exposant de \mu^{\leftarrow} dans (15) est incertain
les choses de façon plus intrinsèque. Considérons l'homomorphisme canonique
\text{(16)} \qquad \Pi_\infty \longrightarrow \Pi_2
et soit
\text{(17)} \qquad \Pi_2^{*} = \Pi_2 \setminus \{1\} \simeq (\mathbb{F}_2^{3}/\mathbb{F}_2) \setminus \{0\} .
C'est isom. à l'ens. I = \{0, 1, \infty\} de façon compatible avec l'action de \mathfrak{S}_3 [NB \Gamma opère trivialement sur \Pi_2^{*} comme sur I = \{0, 1, \infty\}]. Ceci dit pour , considérons
(18') I = \{0,1,\infty\}, E(I) ={}\overline{C}_\infty(\overline{\mathbb{Q}})\,|\,I= \coprod_{\zeta \in I} \overline{C}_{\infty,\zeta}= E_0 \sqcup E_1 \sqcup E_\infty ; posant \widehat{\mu}_\infty ={}\mu_\infty \cup \{0\} :(19) E(I) ={}\{(\zeta_0, \zeta_1, \zeta_\infty) \in{}\widehat{\mu}_\infty^{3} \mid un des \zeta_i est nul\}les deux lignes précédentes sont encadrées et biffées ensemble
considérons la suite exactecx. et \mu_\infty de (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma)-modules
\text{(18)} \qquad 0 \longrightarrow \Pi_\infty \xrightarrow{\ 2\ } \Pi_\infty \xrightarrow{\ p\ } \Pi_2 \longrightarrow 0, \qquad \Pi_2 \supset I = \{0, 1, \infty\},
et pour i \in I soit
\text{(19)} \qquad Z_i \subset \Pi_\infty \ (\simeq \mathrm{T})
le sous-groupe de ramification correspondant, image dans \Pi_\infty \simeq \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} du i-ème facteur \mathrm{T} d'indice i dans \mathrm{T}^{3}. Soit enfin On a donc
\text{(20)} \qquad E_i \simeq p^{-1}(\{i\})/Z_i .Autre façon : on utilise les trois points rat. sur \mathbb{Q}, (19) des \overline{C}_\infty, d'ailleurs des E_i (i = 0, 1, \infty), d'où E_i \simeq \Pi_\infty/Z_i \simeq \mathrm{T}_{A}(\pm 1)(I \setminus \{i\}) (20)note écrite en oblique dans le coin inférieur gauche ; lecture d’ensemble incertaine, en particulier l’indice A de \mathrm{T}_{A}
1.7 Soient
\text{(21)} \qquad \alpha = -j, \qquad \overline{\alpha} = -\overline{j}NB j = -\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}, -\overline{j} = \tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2} ; posons \alpha_{*} = \{\alpha, \overline{\alpha}\}, E(\alpha_{*}) = E(\{\alpha, \overline{\alpha}\})
les deux pts de \overline{C}_1 invariants par \mathfrak{S}_3^{+}, i.e. deux éléments en fixes sous \mathfrak{S}_3de card. 2. Une d'ensembles
\text{(22)} \qquad E(\alpha) \sqcup E(\overline{\alpha})
image inverse de \{\alpha, \overline{\alpha}\} en tant que \mathcal{E}-ensemble — i.e. avec les op. de \Gamma, \mathfrak{S}_3, \Pi_\infty. On trouve, par calcul en coordonnées affines,
\text{(23)} \qquad
\begin{cases}
E(\alpha)_n = \{(\xi, \eta) \in \overline{\mathbb{Q}}^{2} \mid \xi^{n} = \overline{j},\ \eta^{n} = j\} \\
E(\overline{\alpha})_n = \{(\xi, \eta) \mid \xi^{n} = j,\ \eta^{n} = \overline{j}\}
\end{cases}dans (23), un « -1 » biffé devant jNotons qu'alors les conditions \xi^{3n} = \eta^{3n} = 1 ; donc E(\alpha) = \varprojlim E(\alpha)_n\leftarrow \varprojlim \mu_{3n} \times \mu_{3n}\simeq \mu_\infty \times \mu_\infty ; (\xi_n, \eta_n) \mapsto (\xi^{3}, \eta^{3})
Pour avoir une description intrinsèque des opérations de \mathfrak{S}_3 et de \Pi_n (celles de \Gamma sont données) on va écrire plutôt prendre nos courbes affines projetantes de C_n, C_1, et prendre les points au-dessus de pt de E_i(\alpha, \overline{\alpha}) \toE_n(\{\alpha, \overline{\alpha}\}), E_1(\{\alpha, \overline{\alpha}\}), \widetilde{E}_n(\{\alpha, \overline{\alpha}\}), \widetilde{E}_1(\{\alpha, \overline{\alpha}\}) — puis passer au quotient pour avoir E_n, E_1 …
la seconde moitié de la page porte plusieurs lignes biffées en oblique, dont seules les formules ci-dessus se lisent
\widetilde{E}_1\{\alpha, \alpha\}
Soit \widetilde{C}_1 = \{(\zeta_1, \zeta_2, \zeta_\infty) \in \mu_3^{3}\text{(24)} \qquad \widetilde{C}_1 = \mathrm{Isom}(\underbrace{\{1, 2, \infty\}}_{I}, \mu_3) \simeq \{(\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3) \in \mu_3^{3} \mid \zeta_1 \neq \zeta_2 \neq \zeta_3 \neq \zeta_1\}\subset cône projetant de \overline{C}_1 \subset \overline{\mathbb{Q}}^{3}.
le numéro de (24) est lu d'après la suite (25), (26) ; l'écriture est effacée
\widetilde{C}_1 a 3! = 6 éléments, et \mu_3 y opère diagonalement (multiplications scalaires), sans points fixes librement — le quotient \widetilde{C}_1/\mu_3 a donc deux éléments. L'application
\widetilde{C}_1/\mu_3 \longrightarrow \overline{C}_1NB \widetilde{C}_1/\mu_3 \subset \Pi_3 est formé des
devient une bijection
\text{(25)} \qquad \widetilde{C}_1/\mu_3 \xrightarrow{\ \sim\ } \overline{C}_1^{\,\mathfrak{S}_3^{+}} = \{\alpha, \overline{\alpha}\}
mettant en évidence l'opération de \mathcal{E} sur (\alpha, \overline{\alpha}), via ses opérations sur \widetilde{C}_1 \subset \mu_3^{3} = \mu_3^{I}. [NB \mathcal{E} opère via \mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\}, via \Gamma \xrightarrow{\chi_3} \{\pm 1\}).
Soit alors \widetilde{C}_n l'image inverse de \widetilde{C}_1 par l'application naturelle des cônes projetants de \overline{C}_n, sur le cône projetant de \overline{C}_1, donc l'ensemble des (x, y, z)\overline{C}_\infty\text{(26)} \qquad
\begin{aligned}
\widetilde{C}_n &= \{(x, y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{3} \mid (x^{n}, y^{n}, z^{n}) \in \widetilde{C}_1\} \\
&= \{(x, y, z) \in \overline{\mathbb{Q}}^{3} \mid x^{3n} = y^{3n} = z^{3n} = 1,\ x^{n} \neq y^{n} \neq z^{n} \neq x^{n}\}
\end{aligned}dans la première ligne de (26), « x^n + y^n + z^n = 1, x » biffé avant la condition
Notons que \mu_{3n} opère diagonalement sur \overline{C}_n,
L'application
\widetilde{C}_n \longrightarrow \widetilde{C}_1
est compatible avec
\mu_{3n} \xrightarrow{\ \zeta \mapsto \zeta^{n}\ } \mu_n
et induit donc par passage au quotient
\widetilde{C}_n/\mu_{3n} \longrightarrow \widetilde{C}_1/\mu_n .ici et dans (27) il écrit \mu_n là où \widetilde{C}_1/\mu_3 était défini, et où \zeta\mapsto\zeta^n envoie \mu_{3n} sur \mu_3 ; transcrit tel quel
Ceci dit, on a un diagramme commutatif
(27) ; flèche horizontale du bas : « projection canonique induite par \overline{C}_n \to \overline{C}_1 » ; sous chaque \{\alpha,\overline{\alpha}\} une accolade marquée \alpha_{*}
Passant à la limite, on pose
\text{(28)} \qquad \widetilde{C}_\infty = \{(x, y, z) \in \mathrm{T}^{3} \ (= \mu_\infty^{3}) \mid x_3 \neq y_3 \neq z_3 \neq x_3\}
où pour \xi \in \mathrm{T}, \xi_3 désigne son image par \mathrm{T} \to \mathrm{T}/3\mathrm{T} \simeq \mu_3. Donc
\widetilde{C}_\infty \subset \mathrm{T}^{3} \quad \text{stable par } \mathrm{T}
et on trouve un \text{(29)} \qquad \widetilde{C}_\infty/\mathrm{T} \hookrightarrow \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} \simeq \Pi_\infty ,en pied de page, coupé : E^{21}(\alpha_{*})
de façon précise
\text{(30)} \qquad \widetilde{C}_\infty/\mu_\infty \simeq \text{image inverse de } \overbrace{\widetilde{C}_1/\mu_3}^{\omega} \subset \mu_3^{3}/\mu_3 = \Pi_3 \ \text{par } \Pi_\infty \to \Pi_3 .
En termes de la suite exacte
\text{(31)} \qquad 0 \longrightarrow \Pi_\infty \xrightarrow{\ 3\ } \Pi_\infty \xrightarrow{\ p_3\ } \Pi_3 \longrightarrow 0, \qquad \omega \subset \Pi_3,\Pi_\infty opère librement sur cette partie de \Pi_\infty, image inverse de \omega par \Pi_\infty \to \Pi_3. Ceci donne les opérations de \Pi_\infty sur E(\alpha_{*}) \simeq p_3^{-1}(\omega), celles de \Gamma et \mathfrak{S}_3 étant induites par leurs opérations sur \Pi_\infty…
NB Sur \Pi_3, \mathcal{E} \times\mathfrak{S}_3 \times \Gamma opère via \mathfrak{S}_3 \times \{\pm 1\}(opérations non fidèles sur \Pi_3), (\Gamma \xrightarrow{\chi_3} \{\pm 1\}). Considérons \mathfrak{S}_3^{+} (\simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) opérant sur \Pi_3 (\simeq \mathbb{F}_3^{2}), alors on sait qu'il doit y avoir une droite invariante — et les en fait elle est unique — et \omega est formé des deux éléments non nuls de cette droite…
(1.8) Considérons enfin les pts fixes
\text{(32)} \qquad \alpha'(0) = 2, \quad \alpha'(1) = -1, \quad \alpha'(\infty) = \tfrac12
qui sont les pts fixes, autres que 0, 1, \infty resp., des transpositions \tau_0, \tau_1, \tau_\infty \in \mathfrak{S}_3.
dans (32), les \alpha'(i) sont écrits au-dessus de lettres biffées (\beta_0, \beta_1, \beta_\infty) ; même correction de \beta en \alpha' dans (33) et dans le dessinun cercle (la droite projective réelle) portant, dans l'ordre, les points \infty, \alpha'(0), 1, \alpha'(\infty), 0, \alpha'(1) ; chaque \alpha'(i) est sur l'arc opposé au point i
Soit
\text{(33)} \qquad \alpha'_{*} = \{\alpha'(0), \alpha'(1), \alpha'(2)\} .« \alpha'(2) » sic, pour \alpha'(\infty)
On va déterminer E(\alpha'_{*})= \coprod_{i \in I} E(\alpha'(i)), comme un\mathcal{E}-ensemble.
On trouve
\text{(34)} \qquad
\begin{cases}
E_n(\alpha'(i)) \simeq \{(\xi_j) \in \overline{\mathbb{Q}}^{I \setminus \{i\}} \mid \xi_j^{n} = -\tfrac12 \ \ \forall j \in I \setminus \{i\}\} \simeq K_n(-\tfrac12)^{I \setminus \{i\}} \\
E(\alpha'(i)) \simeq K(-\tfrac12)^{I \setminus \{i\}}
\end{cases}
où \forall g \in \mathbb{Q}, on pose
\text{(35)} \qquad
\begin{cases}
K_n(g) = \{\xi \in \overline{\mathbb{Q}} \mid \xi^{n} = g\} \\
K_\infty(g) = K(g) = \varprojlim_{n} K_n(g)
\end{cases}K_\infty(g) étant un torseur sous \mathrm{T} = \mu_\infty, sur lequel \Gamma opère donc (un\mathrm{Ext}(\mu_\infty, \Gamma)-torseur…)
Ceci en ayant, on voit les iso. can.K(gg') \simeq K(g) \wedge_{\mathrm{T}} K(g')\text{(36)} \qquad K(-\tfrac12) \simeq K(-1) \wedge_{\mathrm{T}} K(\tfrac12) \simeq K(-1) \wedge_{\mathrm{T}} K(2)^{-1}\text{(37)} \qquad K(-1) \hookrightarrow \mathrm{T}, \qquad (1 \to \mathrm{T} \xrightarrow{\ 2\ } \mathrm{T} \xrightarrow{\ p_2\ } \mu_2 \to 1)sous la flèche de (37) : « \simeq p_2^{-1}(-1) » ; un symbole biffé devant \mathrm{T}
Soit
\text{(38)} \qquad A = \mathrm{Aff}(\mathrm{T}, K(\tfrac12))à la suite de (38), « \simeq \mathrm{Aff} » biffé
donc
\text{(39)} \qquad 1 \longrightarrow \mathrm{T} \longrightarrow A \longrightarrow \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \longrightarrow 1 \qquad (\widehat{\mathbb{Z}}^{*} \simeq \mathrm{Aut}(\mathrm{T})) .Les ensembles (\Pi_n, \Pi_\infty, et les ensembles E(I), E(I)groupes \mu_n, \mu_\infty = \mathrm{T},E(\alpha_{*}), E(\alpha_{*})A opère sur \Pi_n, \Pi_\infty= \mathrm{T}^{3}/\mathrm{T} par l'intermédiaire de \widehat{\mathbb{Z}}^{*}, \Pi \to A (par homothéties …) et le groupe
\widetilde{\mathcal{E}} = (\mathfrak{S}_3 \times A) \cdot_{1/2} \Pi_\infty
opère de façon évidente sur les ensembles E(\alpha_{*})E(\alpha_{*}), E(\alpha_{*}), E(\alpha'_{*}), E(\alpha'_{*}) — en fait les deux premiers opèrent via le quotient \widetilde{\mathcal{E}}/\mathrm{T} \simeq\widetilde{\mathcal{E}}/\mathrm{T} \simeq (\mathfrak{S}_3 \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*}) \cdot_{1/2} \Pi_\infty .\alpha(0) = 0, \alpha(1) = 1, \alpha(\infty) = \infty, \alpha(*) = \{\alpha(0), \alpha(1), \alpha(\infty)\}la liste des ensembles répète E(\alpha_{*}) et E(\alpha'_{*}) : sans doute une fois soulignés (ensembles sur \overline{\mathbb{Q}}), une fois non ; la note de marge ajoute \alpha_{*} = \{0,1,\infty\} à côté du \{\alpha,\overline{\alpha}\} de 1.7
D'autre part, on a
\text{(40)} \qquad \Gamma \longrightarrow Ahomom. dont l'image \Gamma'est d'indice fini (est-ce= surjectif ?) ?\Gamma' est le groupe de Galois de la sous-extension de \overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q} engendrée par les racines n-ièmes de \tfrac12,
pour n variable. Ceci dit, on a un homom. évident
\text{(41)} \qquad \mathcal{E} = (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} \Pi_\infty \longrightarrow \widetilde{\mathcal{E}} = (\mathfrak{S}_3 \times A) \cdot_{1/2} \Pi_\infty
déduit de (40), et les opérations de \mathcal{E}, sur les ens. précédents se font à travers\widetilde{\mathcal{E}}…
(1.9) Les développements précédents n'utilisaient pas que \mathbb{Q} la clôture alg. \overline{\mathbb{Q}}envisagée de \overline{\mathbb{Q}} était plongée dans \mathbb{C} — ils resteraient valables en remplaçant \mathbb{Q} par n'importe quel corps premier, à condition de premiers à la car. (\overline{C}_\infty est alors le revêtement universel abélien modéré de (\overline{C}_1, I)…). Il faut l'utiliser, pour faire le lien avec les cartes 3-gradiées finies abéliennes, et le pointcartographique. On va d'abord trivialiser \overline{C}_\infty au-dessus de \alpha = -j \in \omega = \{\alpha, \overline{\alpha}\}, pour pouvoir l'identifier au rev. universel profini pointéen \alpha.
Rappelons
\text{(42)} \qquad E(\alpha) \subset \Pi_\infty \xrightarrow{\ p_3\ } \Pi_3, \qquad E(\alpha) = p_3^{-1}(\alpha)\alpha = (\overline{j}, j, 1) \bmod \mu_3 = \{(\overline{j}, j, 1), (j, 1, \overline{j}), (1, \overline{j}, j)\} \in \Pi_3les deuxièmes et troisièmes coordonnées portent des surcharges ; sous la ligne, un mot bifféPosons. Nous prendrons utilisons
\Bigl( \quad j = \exp\frac{2i\pi}{3}, \qquad \overline{j} = \exp -\frac{2i\pi}{3}
et posons
\text{(43)} \qquad \zeta_n = \exp\frac{2i\pi}{3n}
et
\begin{cases}
\alpha_n = (\overline{\zeta}_n, \zeta_n, 1) \\
\alpha_\infty = (\overline{\zeta}_\infty, \zeta_\infty, 1)
\end{cases}les deux lignes sont précédées et surchargées de ratures ; dans \alpha_n, la deuxième coordonnée porte un « j » biffé ; \alpha_\infty est réécrit sous une première forme entièrement raturée[pour \alpha_n] considérés sur comme un élément de \overline{C}_n au-dessus de \alpha = -jmod \mu_n dans sont comme élément de \mu_{3n}^{3}/\mu_{3n}= \Pi_{3n} ; [pour \alpha_\infty] considérés sur comme pts de \overline{C}_\infty au-dessus de \alpha = -j sont comme él. de \mu_\infty^{3}/\mu_\infty = \Pi_\infty
où
\text{(44)} \qquad \zeta_\infty = (\zeta_n) \in \mathrm{T}
est le générateur canonique de \mathrm{T}, donné par l'exponentielle complexe, permettant donc de définir un iso. can.
\text{(45)} \qquad \widehat{\mathbb{Z}} \overset{\varphi}{\simeq} \mathrm{T} .
Maintenant on déduit de là des isom.
\text{(46)} \qquad
\begin{cases}
\Pi_\infty \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}} \\
\mathcal{E} \simeq (\mathfrak{S}_3 \times \Gamma) \cdot_{1/2} (\widehat{\mathbb{Z}}^{3}/\widehat{\mathbb{Z}})
\end{cases}entre les deux lignes de (46), une ligne biffée, lue « \mathcal{E}(\mathfrak{S}_3 \times \widehat{\mathbb{Z}}^{*})/\widehat{\mathbb{Z}} » ; sous \mathfrak{S}_3 \times \Gamma : « opère via permutation des facteurs et via homothétie par \chi : \Gamma \to \widehat{\mathbb{Z}}^{*} »\Pi_n \simeq (\mathbb{Z}/n)^{3}/(\mathbb{Z}/n)cette formule est entourée, et une flèche la renvoie à la première ligne de (46)\text{(47)} \qquad \alpha_\infty \simeq (-1, +1, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}}
d'où
\text{(47')} \qquad \alpha'_\infty = \overline{\alpha}_\infty = (1, -1, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} .
Considérons les éléments
\text{(48)} \qquad
\begin{cases}
\rho_0, \rho_1, \rho_\infty \in \Pi_\infty \\
\rho_0 = (1, 0, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} \\
\rho_1 = (0, 1, 0) \bmod \widehat{\mathbb{Z}} \\
\rho_\infty = (0, 0, 1) \bmod \widehat{\mathbb{Z}}
\end{cases}
on sait que
\text{(49)} \qquad \rho_0 \rho_1 \rho_\infty = 1 .Ce sont ces éléments qui donnent l'isom. de \widehat{\Gamma}^{+}_{12} avec \Pi_\infty.la dernière phrase est marquée d'un double trait vertical dans la marge gauche ; l'indice de \widehat{\Gamma}^{+} est lu « 12 » sans assurance
Il reste à définir b
Il faut expliciter K(2), en choisissant une origine
\text{(50)} \qquad \theta_\infty = (\underbrace{\sqrt[n]{2}}_{\theta_n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}
donc K(2) est identifié à \mathrm{T} donc à \widehat{\mathbb{Z}}, et
\text{(51)} \qquad A \simeq \mathrm{Aff}(1, \widehat{\mathbb{Z}}) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}^{*} \cdot_{1/2} \widehat{\mathbb{Z}}
opérant sur K(2) \simeq \widehat{\mathbb{Z}} de façon tautologique
\text{(52)} \qquad (a, b)(x) = ax + b \qquad (a \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*},\ b \in \widehat{\mathbb{Z}},\ x \in K(2)) .
On a donc
\text{(53)} \qquad K(\tfrac12) \simeq \widehat{\mathbb{Z}}
mais opérations
\text{(54)} \qquad (a, b)(x) = ax - b \qquad (a \in \widehat{\mathbb{Z}}^{*},\ b \in \widehat{\mathbb{Z}},\ x \in K(\tfrac12)) .
Ceci permet d'expliciter entièrement E(\beta_{*}) en plus de E(\omega)…
« \beta_{*} » : il n'a pas partout remplacé l'ancienne lettre \beta par \alpha' (cf. p. 34)
Il reste enfin : expliciter les bijections de transport parallèleE(\alpha) \longrightarrow E_0,\ E_1,\ E_\infty
\qquad \text{et} \qquad
E(\alpha) \xrightarrow{\ \sim\ } E'_0 = E_2,\ \ E'_1 = E_{-1},\ \ E'_\infty \simeq E_{1/2}deux faisceaux de trois flèches partant de E(\alpha) ; ceux de droite marqués \sim
[et E'_0 \rightrightarrows E_1, E_\infty ; E'_1 \rightrightarrows E_\infty, E_0 ; E'_\infty \rightrightarrows E_0, E_1]
d'où on déduit les bijections correspondantes ?
de E(\overline{\alpha}) en conjuguant par la conjugaison complexe. Comme on saita priori des bijections
compatibles avec l'action de \Pi_\infty et de \mathfrak{S}_3\times \{1, \tau\} (\tau étant la conjugaison complexe) il suffit pour déterminer ces 18 flèches, de déterminer deux d'entre elles, telles quep. ex.E(\alpha) \longrightarrow E'_\infty \longrightarrow E_0sous E(\alpha) : « \Vert\ \alpha_1 » ; sous E'_\infty : « \Vert\ E_{1/2} »
[NB E(\alpha) \to E_0 est le composé] et = de connaître les images dans E_0, E_1 de l'élément marqué \alpha_\infty de E(\alpha), [d'où élément marqué \alpha'_\infty(i) \in E'_i = E(\alpha'(i)), et \alpha_\infty(i) \in E_i = E(\alpha(i)), \forall i \in \{0, 1, \infty\}].
On trouve
\begin{aligned}
\alpha'_n(\infty) &= \Bigl(\sqrt[n]{\tfrac12}\, \exp\frac{-\pi i}{n},\ \sqrt[n]{\tfrac12}\, \exp\frac{\pi i}{n},\ 1\Bigr) \\
&= (\theta_n^{-1} \overline{\zeta}_n,\ \theta_n^{-1} \zeta_n,\ 1) \\
\alpha'_\infty(\infty) &= (\theta_\infty \wedge \overline{\zeta}_\infty,\ \theta_\infty \wedge \zeta_\infty,\ 1)
\end{aligned}devant le second « = », une écriture raturée ; dans la dernière ligne, le signe entre \theta_\infty et \zeta est lu \wedge sans assurance, et l'exposant -1 de la ligne précédente n'y figure pas. Avec \zeta_n = \exp\frac{2i\pi}{3n} de (43), \exp\frac{\pi i}{n} n'est pas \zeta_n : transcrit tel quella page s'arrête ici, au milieu de la détermination des flèches ; l'argument continue au-delà du lot