Cote n° 137 · batch 5 · pages 81–85 · Transcription · Dévissage des complexes ½ simpliciaux ∂ - parfaits et structures multiplicatives… (1975 ou 1976) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1975-1976]
Édition de démonstration

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81Inversement, soit \(\mathcal{P}_1\) […] catégorie \(\otimes\)-additive ACU, munie d'un \(\otimes\)-foncteur […] ACU strict de \((\mathcal{P}_1, +)\) dans \((\mathcal{P}_{1+}^{\mathrm{grad.}}, \otimes)\), […] « ACU » est écrit au-dessus de la ligne, après « additive », avec un signe d'insertion ; « ACU strict » est porté au-dessus de « foncteur », à la place d'un mot biffé, le second mot étant lui-même retouché. L'indice \(+\) sous \(\mathcal{P}_1^{\mathrm{grad.}}\) est d'une lecture douteuse. \[\Gamma^{*} : (\mathcal{P}_1, \oplus) \longrightarrow (\mathcal{P}_1^{\mathrm{grad.}}, \otimes)\] donc \[\Gamma^{*}(0) = \mathbf{1} \quad \text{i.e.} \quad \Gamma^{i}(0) = \begin{cases} \mathbf{1} & \text{si } i = 0 \\ 0 & \text{si } i > 0 \end{cases}\] […] sous la formule, une ligne soulignée, interlinéaire, de trois ou quatre mots, que l'on n'a pas su lire \[\Gamma^{*}(X \oplus Y) \simeq \Gamma^{*}(X) \otimes \Gamma^{*}(Y)\] (isom. gr. […], fonctoriel en \(X, Y\), compatible avec contraintes d'unité, d'ass., de comm.) avec \[\Gamma^{i}(M) = \begin{cases} 0 & \text{si } i < 0 \\ \mathbf{1} & \text{si } i = 0 \\ M & \text{si } i = 1 \end{cases}\] (isom. de foncteurs en \(M\)). Supposons de plus donnés des homs de foncteurs \[\Gamma^{pq} \xrightarrow{\ \alpha_{pq}\ } \Gamma^{p} \circ \Gamma^{q}\] (i.e. \[\Gamma^{pq}(X) \xrightarrow{\ \alpha^{X}_{pq}\ } \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X))\ )\] l'indice de \(\alpha\), repassé au stylo bleu, a la forme d'un « M » ; la page 80 écrit \(\alpha^{X}_{p,q}\) et c'est ce que demande le contexte. Le but \(\Gamma^{p} \circ \Gamma^{q}\) est corrigé, sur la page, depuis \(\Gamma^{p}(\Gamma^{q}\). satisfaisant à la condition d'associativité ci-dessus, plus ces conditions d'unité pour \(\Gamma^{pq}\) l'un des indices \(p, q\) égaux à \(0\) ou \(1\) : « la condition d'associativité ci-dessus » est la condition (*) de la page 80 \[\begin{align*} (**) \qquad & \Gamma^{q} \xrightarrow{\ \alpha_{1,q} = \mathrm{id}\ } \Gamma^{1} \circ \Gamma^{q} = \mathrm{id} \circ \Gamma^{q} = \Gamma^{q} \\ & \Gamma^{q} \xrightarrow{\ \alpha_{q,1} = \mathrm{id}\ } \Gamma^{q} \circ \Gamma^{1} = \Gamma^{q} \circ \mathrm{id} = \Gamma^{q} \\[1ex] (***) \qquad & \Gamma^{0} \xrightarrow{\ \alpha_{0,q} = \mathrm{id}\ } \Gamma^{0} \circ \Gamma^{q} = \Gamma^{0} \\ & \Gamma^{0} \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \alpha_{q,0}\ } \Gamma^{q} \circ \Gamma^{0} . \end{align*}\] dans chacune des deux conditions, la seconde flèche part de la même source que la première et s'en détache par une courbe. Sur la dernière, après \(\alpha_{q,0}\), deux petits mots au-dessus de la flèche, lus un iso, et un signe \(\simeq\) souligné deux fois.

82Les \(\alpha_{p,q}\) permettent de définir des […] l'indice \(p\) de \(\alpha_{p,q}\) est retouché au stylo bleu ; la ligne suivante, courte et soulignée, commence par un mot surchargé, peut-être « Définissons », suivi d'un « p » (ou \(\mathcal{P}\)) de lecture incertaine \[\mathcal{P}_p(X, Y) = \mathrm{Hom}(\Gamma^{p} X, Y)\] l'indice \(p\) de \(\mathcal{P}_p\) est repassé en bleu et a la forme d'un « M », comme à la page 81 donc \[\begin{cases} \mathcal{P}_1(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}(X, Y) \\ \mathcal{P}_0(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}(\mathbf{1}, Y) \end{cases}\] après chacune des deux égalités, un petit groupe de signes illisible, à droite ; le second est souligné d'une accolade et des applications bil. \[\begin{array}{ccc} \mathcal{P}_p(X, Y) \times \mathcal{P}_q(Y, Z) & \longrightarrow & \mathcal{P}_{pq}(X, Z) \\ (f, g) & \longmapsto & g \circ f \end{array}\] par \[\Gamma^{p} X \xrightarrow{\ f\ } Y \qquad \Gamma^{q} Y \xrightarrow{\ g\ } Z\]

\begin{tikzcd}
 & \Gamma^{q} Y \arrow[r, "g"] & Z \\
\Gamma^{q}(\Gamma^{p}(X)) \arrow[ur, "\Gamma^{q}(f)"] & & \\
\Gamma^{pq}(X) \arrow[u, "\alpha^{X}_{q,p}"'] & &
\end{tikzcd}

\[g \circ f = g\, \Gamma^{q}(f)\, \alpha^{X}_{q,p}\] la page trace d'abord, à droite de \(\Gamma^{q}(\Gamma^{p}(X))\), une flèche horizontale vers \(\Gamma^{q}(Y)\) suivie d'une flèche vers \(Z\), puis la biffe au stylo bleu et la remplace par la flèche oblique \(\Gamma^{q}(f)\) ; on a dessiné le diagramme corrigé. L'exposant de \(\Gamma^{pq}(X)\) est retouché.

Le diagramme commute (*) assure l'associativité de la composition, (**) signifie […] que si \(p = 1\) ou \(q = 1\) […] […], dans le composé est celui provenant de la bifonctorialité de \(\mathcal{P}_p(X, Y)\) sur \(\mathcal{P}_1^{\circ} \times \mathcal{P}_1\), enfin la compatibilité (***) signifie, […] ce dernier, que \[g \circ f = g \quad \text{si } g \text{ de degré } 0\] le paragraphe est au crayon, d'une écriture rapide ; « \(p = 1\) ou \(q = 1\) » est interlinéaire, au stylo bleu, au-dessus d'un passage biffé la deuxième signifie \[\mathbf{1} \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \alpha_{q,0}\ } \Gamma^{q}(\mathbf{1})\] la formule est entourée d'un grand ovale au crayon ; au-dessus, un indice biffé pour […] je l'avais oublié dans les axiomes préliminaires, il me semble, pour […] le renvoi en marge gauche, écrit de biais, est relié au texte par deux traits verticaux pour la […] des […] cette dernière ligne est d'une autre encre, noire, et d'un autre trait que le reste de la page

83Enfin, si \(X = \bigoplus_{1 \leq i \leq r} X_i\), la décomposition de \(\Gamma^{n}(X)\) en les \(\bigotimes \Gamma^{\nu_i}(X_i)\) donne une des décompositions de \(\mathcal{P}_n(\prod X_i, Y)\) en des \(\mathcal{P}_{\nu_1 \ldots \nu_r}(X_1, \ldots, X_r, Y)\).

On vérifie alors les axiomes a) à f), et le fait qu'il y a les produits tensoriels de \(\mathcal{P}_1\) sont stricts […] ([…] foncteurs), que les \(\Gamma^{\nu_i}\) existent et satisfont la condition énoncée précédemment … les axiomes a) à f) ne sont pas sur ces feuillets

Une catégorie polynomiale \(\mathcal{P}\) est dite stricte si elle satisfait aux conditions préliminaires permettant de définir \(\otimes\) et \(\Gamma^{*}\) avec toutes les propriétés envisagées. D'autre part une catégorie additive \(\mathcal{P}_1\) munie de \(\otimes\) et \(\Gamma^{*}\) avec les structures décrites, est dite une \(\otimes\)-pd-catégorie. Les deux notions sont donc équivalentes.

On dit que \(\mathcal{P}\) est […] une catégorie polynomiale (resp. \(\otimes\)-pd-cat.) \(k\)-linéaire (\(k\) anneau commutatif) si on s'est donné un hom d'anneaux \[k \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{P}_1}) \quad (\text{ou } \mathrm{id}_{\mathcal{P}})\]

84tel que la décomposition de \(\mathcal{P}_n(X_1 \times \cdots \times X_r; Y)\) en les \(\mathcal{P}_{\nu_1 \ldots \nu_r}(X_1, \ldots, X_r; Y)\) respecte les op. de \(k\), i.e. \(f \in \mathcal{P}_{\nu_1 \ldots \nu_r}\) implique \[f \circ (\mathrm{id}_{\lambda_1} \times \cdots \times \mathrm{id}_{\lambda_r}) = \lambda_1^{\nu_1} \cdots \lambda_r^{\nu_r} f\] pour tout \((\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \in k^{r}\). \(\mathrm{id}_{\lambda_i}\) comme sur la page : l'homothétie de rapport \(\lambda_i\)

Ex. La catégorie des \(k\)-modules est une \(\otimes\)-pd-catégorie.

(D) \(\Rightarrow\) si \(X\) est un topos avec une \(k\)-Algèbre \(K\), la cat. des \(K\)-Modules « (D) » : un D majuscule cerclé, suivi d'une double flèche ; le mot « \(k\)-Algèbre » est surchargé […] [(D) \(\Rightarrow\) pour prendre des \(K\)-Modules gradués, par […] ? quelconques […], on considère des […] dans \(\Gamma^{n}(M^{i})\) pour le degré \(ni\).]

Il y a diverses questions dans le cas « abstrait ». Par exemple : quand \((M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1)\) peut-on […] sur \(\Gamma^{*}(M)\) une structure « à p.d. », i.e. un hom de degré […] \[\Gamma^{p}(\Gamma^{q}(M)) \longrightarrow \Gamma^{pq}(M)\] satisfaisant aux axiomes des p.d. ?

85Y a-t-il une telle structure canonique dans le cas de l'exemple ou abstrait : quand peut-on considérer la composition des morphismes de \(\mathcal{P}\) \[\mathcal{P}(X, Y) \times \mathcal{P}(Y, Z) \longrightarrow \mathcal{P}(X, Z)\] la ligne commence par un « \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{P}}\) » biffé (\(k\)-linéaire en la deuxième variable) en une application linéaire \[\mathcal{P}(Y, Z) \longrightarrow (\text{Appl.\ } k\text{-polynomiales})(\mathcal{P}(X, Y), \mathcal{P}(X, Z))\] (Ceci […] acquis dans l'exemple principal envisagé). La construction devrait se ramener pour l'essentiel à définir de telles structures suppl. sur les foncteurs \(\Gamma^{n}\), i.e. pour tout \(X, Y\) \[f \longmapsto \Gamma^{p}(f) : \mathrm{Hom}_1(X, Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_1(\Gamma^{p} X, \Gamma^{p} Y)\] doit être défini comme « application polynomiale de degré \(p\) » entre les \(k\)-modules \(\mathrm{Hom}_1(X, Y)\) et \(\mathrm{Hom}_1(\Gamma^{p} X, \Gamma^{p} Y)\), et non seulement comme application ensembliste. la page s'arrête ici, au premier tiers ; c'est la dernière du dossier