Fonds Grothendieck, cote n° 137, pages 81–85

Inversement, soit \mathcal{P}_1 catégorie \otimes-additive ACU, munie d'un \otimes-foncteur ACU strict de (\mathcal{P}_1, +) dans (\mathcal{P}_{1+}^{\mathrm{grad.}}, \otimes), « ACU » est écrit au-dessus de la ligne, après « additive », avec un signe d'insertion ; « ACU strict » est porté au-dessus de « foncteur », à la place d'un mot biffé, le second mot étant lui-même retouché. L'indice + sous \mathcal{P}_1^{\mathrm{grad.}} est d'une lecture douteuse. \Gamma^{*} : (\mathcal{P}_1, \oplus) \longrightarrow (\mathcal{P}_1^{\mathrm{grad.}}, \otimes) donc \Gamma^{*}(0) = \mathbf{1} \quad \text{i.e.} \quad \Gamma^{i}(0) = \begin{cases} \mathbf{1} & \text{si } i = 0 \\ 0 & \text{si } i > 0 \end{cases} sous la formule, une ligne soulignée, interlinéaire, de trois ou quatre mots, que l'on n'a pas su lire \Gamma^{*}(X \oplus Y) \simeq \Gamma^{*}(X) \otimes \Gamma^{*}(Y) (isom. gr. , fonctoriel en X, Y, compatible avec contraintes d'unité, d'ass., de comm.) avec \Gamma^{i}(M) = \begin{cases} 0 & \text{si } i < 0 \\ \mathbf{1} & \text{si } i = 0 \\ M & \text{si } i = 1 \end{cases} (isom. de foncteurs en M). Supposons de plus donnés des homs de foncteurs \Gamma^{pq} \xrightarrow{\ \alpha_{pq}\ } \Gamma^{p} \circ \Gamma^{q} (i.e. \Gamma^{pq}(X) \xrightarrow{\ \alpha^{X}_{pq}\ } \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(X))\ ) l'indice de \alpha, repassé au stylo bleu, a la forme d'un « M » ; la page 80 écrit \alpha^{X}_{p,q} et c'est ce que demande le contexte. Le but \Gamma^{p} \circ \Gamma^{q} est corrigé, sur la page, depuis \Gamma^{p}(\Gamma^{q}. satisfaisant à la condition d'associativité ci-dessus, plus ces conditions d'unité pour ~~\Gamma^{pq}~~ l'un des indices p, q égaux à 0 ou 1 : « la condition d'associativité ci-dessus » est la condition (*) de la page 80 \begin{align*} (**) \qquad & \Gamma^{q} \xrightarrow{\ \alpha_{1,q} = \mathrm{id}\ } \Gamma^{1} \circ \Gamma^{q} = \mathrm{id} \circ \Gamma^{q} = \Gamma^{q} \\ & \Gamma^{q} \xrightarrow{\ \alpha_{q,1} = \mathrm{id}\ } \Gamma^{q} \circ \Gamma^{1} = \Gamma^{q} \circ \mathrm{id} = \Gamma^{q} \\[1ex] (***) \qquad & \Gamma^{0} \xrightarrow{\ \alpha_{0,q} = \mathrm{id}\ } \Gamma^{0} \circ \Gamma^{q} = \Gamma^{0} \\ & \Gamma^{0} \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \alpha_{q,0}\ } \Gamma^{q} \circ \Gamma^{0} . \end{align*} dans chacune des deux conditions, la seconde flèche part de la même source que la première et s'en détache par une courbe. Sur la dernière, après \alpha_{q,0}, deux petits mots au-dessus de la flèche, lus un iso, et un signe \simeq souligné deux fois.

Les \alpha_{p,q} permettent de définir des l'indice p de \alpha_{p,q} est retouché au stylo bleu ; la ligne suivante, courte et soulignée, commence par un mot surchargé, peut-être « Définissons », suivi d'un « p » (ou \mathcal{P}) de lecture incertaine \mathcal{P}_p(X, Y) = \mathrm{Hom}(\Gamma^{p} X, Y) l'indice p de \mathcal{P}_p est repassé en bleu et a la forme d'un « M », comme à la page 81 donc \begin{cases} \mathcal{P}_1(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}(X, Y) \\ \mathcal{P}_0(X, Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}_1}(\mathbf{1}, Y) \end{cases} après chacune des deux égalités, un petit groupe de signes illisible, à droite ; le second est souligné d'une accolade et des applications bil. \begin{array}{ccc} \mathcal{P}_p(X, Y) \times \mathcal{P}_q(Y, Z) & \longrightarrow & \mathcal{P}_{pq}(X, Z) \\ (f, g) & \longmapsto & g \circ f \end{array} par \Gamma^{p} X \xrightarrow{\ f\ } Y \qquad \Gamma^{q} Y \xrightarrow{\ g\ } Z

\begin{tikzcd} & \Gamma^{q} Y \arrow[r, "g"] & Z \\ \Gamma^{q}(\Gamma^{p}(X)) \arrow[ur, "\Gamma^{q}(f)"] & & \\ \Gamma^{pq}(X) \arrow[u, "\alpha^{X}_{q,p}"'] & & \end{tikzcd}

g \circ f = g\, \Gamma^{q}(f)\, \alpha^{X}_{q,p} la page trace d'abord, à droite de \Gamma^{q}(\Gamma^{p}(X)), une flèche horizontale vers \Gamma^{q}(Y) suivie d'une flèche vers Z, puis la biffe au stylo bleu et la remplace par la flèche oblique \Gamma^{q}(f) ; on a dessiné le diagramme corrigé. L'exposant de \Gamma^{pq}(X) est retouché.

Le diagramme commute (*) assure l'associativité de la composition, (**) signifie que si p = 1 ou q = 1 , dans le composé est celui provenant de la bifonctorialité de \mathcal{P}_p(X, Y) sur \mathcal{P}_1^{\circ} \times \mathcal{P}_1, enfin la compatibilité (***) signifie, ce dernier, que g \circ f = g \quad \text{si } g \text{ de degré } 0 le paragraphe est au crayon, d'une écriture rapide ; « p = 1 ou q = 1 » est interlinéaire, au stylo bleu, au-dessus d'un passage biffé la deuxième signifie \mathbf{1} \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \alpha_{q,0}\ } \Gamma^{q}(\mathbf{1}) la formule est entourée d'un grand ovale au crayon ; au-dessus, un indice biffé pour je l'avais oublié dans les axiomes préliminaires, il me semble, pour le renvoi en marge gauche, écrit de biais, est relié au texte par deux traits verticaux pour la des cette dernière ligne est d'une autre encre, noire, et d'un autre trait que le reste de la page

Enfin, si X = \bigoplus_{1 \leq i \leq r} X_i, la décomposition de \Gamma^{n}(X) en ~~les~~ \bigotimes \Gamma^{\nu_i}(X_i) donne ~~une~~ des décompositions de \mathcal{P}_n(\prod X_i, Y) en des \mathcal{P}_{\nu_1 \ldots \nu_r}(X_1, \ldots, X_r, Y).

On vérifie alors les axiomes a) à f), et le fait qu'~~il y a~~ les produits tensoriels de \mathcal{P}_1 sont stricts ( foncteurs), que les \Gamma^{\nu_i} existent et satisfont la condition énoncée précédemment … les axiomes a) à f) ne sont pas sur ces feuillets

Une catégorie polynomiale \mathcal{P} est dite stricte si elle satisfait aux conditions préliminaires permettant de définir \otimes et \Gamma^{*} avec toutes les propriétés envisagées. D'autre part une catégorie additive \mathcal{P}_1 munie de \otimes et \Gamma^{*} avec les structures décrites, est dite une \otimes-pd-catégorie. Les deux notions sont donc équivalentes.

On dit que \mathcal{P} est une catégorie polynomiale (resp. \otimes-pd-cat.) k-linéaire (k anneau commutatif) si on s'est donné un hom d'anneaux k \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{P}_1}) \quad (\text{ou } \mathrm{id}_{\mathcal{P}})

tel que la décomposition de \mathcal{P}_n(X_1 \times \cdots \times X_r; Y) en les \mathcal{P}_{\nu_1 \ldots \nu_r}(X_1, \ldots, X_r; Y) respecte les op. de k, i.e. f \in \mathcal{P}_{\nu_1 \ldots \nu_r} implique f \circ (\mathrm{id}_{\lambda_1} \times \cdots \times \mathrm{id}_{\lambda_r}) = \lambda_1^{\nu_1} \cdots \lambda_r^{\nu_r} f pour tout (\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \in k^{r}. \mathrm{id}_{\lambda_i} comme sur la page : l'homothétie de rapport \lambda_i

Ex. La catégorie des k-modules est une \otimes-pd-catégorie.

(D) \Rightarrow si X est un topos avec une k-Algèbre K, la cat. des K-Modules « (D) » : un D majuscule cerclé, suivi d'une double flèche ; le mot « k-Algèbre » est surchargé [(D) \Rightarrow pour prendre des K-Modules gradués, ~~par~~ ? ~~quelconques~~ , on considère des dans \Gamma^{n}(M^{i}) pour le degré ni.]

Il y a diverses questions dans le cas « abstrait ». Par exemple : quand (M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{P}_1) peut-on sur \Gamma^{*}(M) une structure « à p.d. », i.e. un hom de degré \Gamma^{p}(\Gamma^{q}(M)) \longrightarrow \Gamma^{pq}(M) satisfaisant aux axiomes des p.d. ?

Y a-t-il une telle structure canonique dans le cas de l'exemple ou abstrait : quand peut-on considérer la composition des morphismes de \mathcal{P} \mathcal{P}(X, Y) \times \mathcal{P}(Y, Z) \longrightarrow \mathcal{P}(X, Z) la ligne commence par un « \mathrm{Hom}_{\mathcal{P}} » biffé (k-linéaire en la deuxième variable) en une application linéaire \mathcal{P}(Y, Z) \longrightarrow (\text{Appl.\ } k\text{-polynomiales})(\mathcal{P}(X, Y), \mathcal{P}(X, Z)) (Ceci acquis dans l'exemple principal envisagé). La construction devrait se ramener pour l'essentiel à définir de telles structures suppl. sur les foncteurs \Gamma^{n}, i.e. pour tout X, Y f \longmapsto \Gamma^{p}(f) : \mathrm{Hom}_1(X, Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_1(\Gamma^{p} X, \Gamma^{p} Y) doit être défini comme « application polynomiale de degré p » entre les k-modules \mathrm{Hom}_1(X, Y) et \mathrm{Hom}_1(\Gamma^{p} X, \Gamma^{p} Y), et non seulement comme application ensembliste. la page s'arrête ici, au premier tiers ; c'est la dernière du dossier