Cote n° 137, pages 41–60

Cote n° 137 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Dévissage des complexes ½ simpliciaux ∂ - parfaits et structures multiplicatives… (1975 ou 1976) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1975-1976]
Édition de démonstration

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41On trouve donc un foncteur pl. fid. \[\mathcal{C}^{\circ} \xhookrightarrow{\ \alpha^{\bullet}\ } \mathit{Ab}_k^{\bullet}\] l'étiquette $\alpha^{\bullet}$ est écrite sur un premier symbole biffé ; une étoile, apparemment biffée, suit l'exposant de $\mathit{Ab}_k$ qui associe à tout […] $L_*$ le complexe de cochaînes $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(L_*, C^{\bullet}_*)$ \[0 \to \operatorname{Hom}(L_*, C^0_*) \to \operatorname{Hom}(L_*, C^1_*) \longrightarrow \cdots ,\] et dont la restriction à $\mathcal{A}$ est donnée par \[\alpha^{\bullet}(C^i_*) = \bigl( 0 \to 0 \to \cdots 0 \to \underset{\text{degré } i}{k} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \underset{\text{degré } i+1}{k} \to 0 \to \cdots \bigr) = K^i_{\bullet}\] le membre de droite est surchargé : un premier symbole est biffé et $K^i_{\bullet}$ récrit au-dessus ; la lecture vient de la ligne suivante et par la loi \[\begin{array}{ccc} \alpha^{\bullet}(C^i_*) & \xleftarrow{\ \alpha^{\bullet}(d^i)\ } & \alpha^{\bullet}(C^{i+1}_*) \\ \| & & \| \\ K^i_{\bullet} & \longrightarrow & K^{i+1}_{\bullet} \end{array} \qquad k \to 0\] sous ce carré, un schéma des deux complexes en colonnes, les degrés $i$, $i+1$, $i+2$ notés à gauche : la colonne $K^i_{\bullet}$ porte $0, k, k, 0$, la colonne $K^{i+1}_{\bullet}$ porte $0, 0, k, k$ ; les flèches horizontales vont de droite à gauche, $k \leftarrow 0$ en degré $i$, $k \xleftarrow{\mathrm{id}} k$ en degré $i+1$, $0 \Leftarrow k$ en degré $i+2$. La flèche de la ligne $K^i_{\bullet} \to K^{i+1}_{\bullet}$ pointe vers la droite, à l'inverse de celle du dessus ; le « $k \to 0$ » écrit à droite est isolé

L'image essentielle [de] $\mathcal{C}^{\circ}$ [par $\alpha^{\bullet}$] est la catégorie des $K^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathit{Ab}_k^{\bullet}$ qui sont libres de t. f. en toute dimension, et qui sont […] nulles […] […] […] […] d'un libre de t. f. sont itou. ce paragraphe est écrit à droite du schéma, séparé du reste par un trait ; « $K^i$ » est ajouté au-dessus de la première ligne avec un signe d'insertion, et la fin, en écriture très rapide, n'est lue qu'en partie

commentaire pour Ex 2

Ex 2 Faisons $\mathcal{B} = \mathit{Ab}_k^{\circ}$, (qui est […] k-linéaire […] […] […] commutatif), et pour tout $L_* \in \operatorname{Ob} \mathcal{C}$ on considère le foncteur contrav. qu'il représente, interprété comme foncteur k-lin. \[\mathcal{C}^{\circ} \longrightarrow \mathit{Ab}_k^{*}, \qquad M_* \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(M_*, L_*)\] avant $\mathit{Ab}_k^{*}$, un premier but est biffé et illisible on trouve ainsi un foncteur pl. fid. covariant \[\begin{array}{ccc} \mathcal{C} \hookrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}^{\circ}, \mathit{Ab}_k^{\bullet}) & \xrightarrow{\ \sim\ } & \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}, \mathit{Ab}_k^{\circ})^{\circ} \\ \downarrow{\scriptstyle \wr} & & \downarrow{\scriptstyle \wr} \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}^{\circ}, \mathit{Ab}_k^{\bullet}) & \xrightarrow{\ \sim\ } & \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}, \mathit{Ab}_k^{\circ})^{\circ} \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \wr} \\ \lbrace \mathit{Ab}_k^{*} \rbrace^{\circ} & & (\mathit{Ab}_k^{\circ *})^{\circ} \end{array}\] en bas à gauche, après $\lbrace \mathit{Ab}_k^{*} \rbrace^{\circ}$, une identification $\simeq (\mathit{Ab}_k \ldots)^{\circ}$ est biffée de hachures ; les exposants de ce coin sont surchargés d'étoiles on trouve un foncteur pl. fid. \[\mathcal{C}^{\circ} \xhookrightarrow{\ \beta^{\bullet}\ } \mathit{Ab}_{k*}\] l'étiquette $\beta^{\bullet}$ est écrite sur un premier symbole biffé

42On trouve ici que \[\beta_{\bullet}(\mathbb{C}^i) = \bigl( \cdots 0 \to \cdots 0 \to \underset{i-1}{k} \to \underset{i}{k} \to 0 \to \cdots \to 0 \bigr) \quad \text{pour } i \geqslant 1\] un premier symbole après le signe $=$ est biffé ; les deux indices au-dessus des $k$ sont récrits à l'encre plus foncée et se lisent mal : « $i-1$ », « $i$ » ou « $i+1$ » \[\beta_{\bullet}(C^0) = \bigl( 0 \to \underset{\text{degré } 0}{k} \to 0 \bigr)\] la parenthèse commençait par un $k$, biffé ; sous ce $k$, « degré $0$ » est lui aussi biffé et reporté sous le second et $\beta_{\bullet}(d^i) : C^i_{\bullet} \xrightarrow{\ d^i_{\bullet}\ } C^{i+1}_{\bullet}$ est donné par \[(d^{i+1}_{i}) = \mathrm{id}_k \qquad i \geqslant \uncertain{0}\] les indices de $d$ sont surchargés ; la condition se lit « $i \geqslant 10$ », sans doute « $i \geqslant 0$ » ; au-dessous, une ligne commençant par $d$ et finissant par « $i = 0$ » est biffée

On donne ainsi […] […] la cat. (des […]) […] […] de chaînes […] qui […] […] comme possibilité de construction d'un exemple de $(\mathcal{C}, (\mathbb{C}^{\bullet}))$. ce paragraphe est annulé par de longs traits obliques Ceci n'est pas bon […] […] l'irrégularité […] […] $i \geqslant 0$ note oblique de la marge gauche, en face du passage annulé, lue en partie ; plus bas dans la même marge, deux mots, peut-être « pour plus tard »

Passage de l'exemple 1 à l'exemple 2

Considérons le foncteur \[M \longmapsto \check{M}, \qquad \mathit{Ab}_k^{\circ} \longrightarrow \mathit{Ab}_k\] qui induit une équivalence de la catégorie des [$k$-]modules libres de t.f. avec elle-même. « $k$- » est ajouté au-dessus de « modules »

Cela donne aussi une équivalence entre les cat. de complexes de chaînes et de cochaînes […] […] libres de t.f., et aussi celles où les $Z^{\bullet}$ (et $Z^i$) sont libres de t.f., et […] […] […] […] une cat. finie. […] […] […] […] […] On a donc […] $\alpha^{\bullet}_{\bullet}(\mathbb{K}) \overset{\text{dual}}{=} \alpha_{\bullet}(x)^{\vee}$ […] […], un diagramme d'équivalences ce passage est surchargé de biffures horizontales ; seules les formules et quelques mots se lisent

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\begin{tikzcd}
\mathcal{C} \arrow[r, "\alpha_{\bullet}\ \approx"] \arrow[d, "(\alpha^{\bullet})^{\circ}\ \wr"'] & \mathbb{K}_{\bullet} \\
\mathbb{K}^{\bullet \circ} \arrow[ur, no head, "\approx\ \vee"'] &
\end{tikzcd}

un $\mathbb{K}_{\bullet}$ isolé, à l'encre foncée, est écrit à gauche de $\mathcal{C}$ ; la diagonale entre $\mathbb{K}^{\bullet\circ}$ et $\mathbb{K}_{\bullet}$, marquée $\approx$ et $\vee$, n'a pas de pointe visible

Il […] de définir une […] […] […] Restriction à $\mathcal{A}$ de […] qui est trivial. ces deux lignes sont barrées et en partie encadrées

Explications quand […]

donc $\alpha_n(x) \simeq \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n-1}, x)$ si $n \geqslant 1$, et les hom $\alpha_n(x) \to \alpha_{n-1}(x)$ pour $n \geqslant 2$ sont donnés par transposition […] de $\mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^n$. Mais $\alpha_0(x) \simeq \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^0)^{\vee}$ et $\alpha_1(x) \to \alpha_0(x)$ donné par $\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, x) \to \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^0)^{\vee}$ qu'on devine. note écrite verticalement le long de la marge gauche, dans un cadre qui la sépare de « Explications » et de la Prop. 2 ; l'indice du second $\alpha$ (« $n-1$ » ou « $n+1$ ») n'est pas sûr

Prop 2 On a une dualité parfaite fonctorielle en $M \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}$ ($n \geqslant 0$ fixé) \[\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n}, x) \times \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{n+1}) & \longrightarrow & \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n}, \mathbb{C}^{n+1}) \simeq k \\ (u, v) & \longmapsto & vu \end{array}\] au-dessus, une première ligne, $\alpha_n(M)_{\bullet} \times \alpha^n(M) \to k$, est biffée ; les exposants des $\mathbb{C}$ de la seconde ligne sont petits et incertains

43Revenant à la prop. 1. Soit $C^{\bullet}$ [$\in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}$] un complexe de cochaînes de $\mathcal{B}$, comment reconstituer le foncteur $k$-lin. \[F_{C^{\bullet}} : \mathbb{K} \longrightarrow \mathcal{B}\] i.e. comment « calculer » $F_{C}(x)$ pour $x \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}$ ? Il faut qu'on dise comment on « repère » $x$, disons par $\alpha^{\bullet}(x) \in \mathit{Ab}_k^{\bullet}$. Ceci dit, on trouve « $\in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}$ » est ajouté au-dessus de « un complexe », avec une accolade. La lettre de la catégorie source, ici et page 42 (« $M \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}$ »), est un K à haste doublée ou bouclée, transcrit $\mathbb{K}$ ; elle tient la place de la catégorie notée $\mathcal{C}$ page 41

Prop. 3 On a un isom. bifonctoriel en $F, x$ ($x \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}$, $F \in \operatorname{Ob} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}, \mathcal{B})$) \[F(x) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), F(\mathbb{C}^{\bullet})) = \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), \mathcal{C}^{\bullet}_F),\] dans la parenthèse, un premier $\mathcal{B}$ est biffé avant « Ob » ; le $x$ de « $x \in$ » n'est pas sûr. Le second membre est écrit sous le premier, relié par un signe $=$ vertical [où on définit, pour un $K^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathit{Ab}_k^{\bullet}$ et $\mathcal{C}^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}$, l'objet $\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(K^{\bullet}, \mathcal{C}^{\bullet})$ de $\mathcal{B}$ (s'il existe) par l'isom. fonctoriel en $b \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}$ \[\operatorname{Hom}(b, \operatorname{Hom}^{\bullet}(K^{\bullet}, \mathcal{C}^{\bullet})) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}^{\bullet}}(b \otimes_k K^{\bullet}; C^{\bullet}) ;\] si les $K^i$ sont libres de type fini, $b \otimes_k K^{\bullet}$ est bien défini, donc $b \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}^{\bullet}}(b \otimes_k K^{\bullet}; \mathbb{C}^{\bullet})$ l'est, et la question est si ce foncteur est représentable ; il se trouve qu'il l'est si $K^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}^{\bullet}$. sous « $K^{\bullet}$ », un mot biffé (« […] ») ; dans « $\in \operatorname{Ob}$ », un premier $\mathit{Ab}_k$ est biffé et remplacé par $\mathbb{K}^{\bullet}$ [Mais de façon générale, c'est le sous-foncteur de $\prod_i \operatorname{Hom}_k(K^i, C^i)$ ($\in \operatorname{Ob} \mathcal{B}$) noyau de \[\prod_i \operatorname{Hom}_k(K^i, C^i) \xrightarrow{\ \delta\ } \prod_i \operatorname{Hom}_k(K^i, C^{i+1})\] ($\delta(u^i) = du^i - u^{i+1}d$) […] qui est représ. […] si $\mathcal{B}$ [stable par Ker], si les $\operatorname{Hom}_k(K^i, C^i)$ sont repr. (p. ex. […] $K^i$ de prés. finie) et les deux la flèche $\delta$ est doublée d'un second trait, comme un couple de flèches ; « stable par Ker » est écrit au-dessus d'un mot souligné qu'il remplace […] avant […] Prop. 3 note de la marge gauche, séparée du texte par un trait vertical, en face de « de façon générale »

44produits $\prod_i$ aussi — ce qui est […] automatique si les $K^i$ sont nuls sauf un nb fini…]

Comme le foncteur $\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(K^{\bullet}, \mathcal{C}^{\bullet})$ ($\mathcal{B}^{\circ} \to (\mathit{Ab})$) dépend de façon additive des $K^i$, sa représentabilité pour $K^{\bullet}$ passage encadré et barré de traits obliques ; il s'interrompt sans conclure

Définissons un hom dans $\widehat{\mathcal{B}}$ \[(1) \qquad F(x) \longrightarrow \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), C^{\bullet}_F) = \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), F(\mathbb{C}^{\bullet}))\] i.e. un hom dans $\mathcal{B}^{\bullet}$ \[(1') \qquad F(x) \otimes \alpha^{\bullet}(x) \longrightarrow C^{\bullet} = F(\mathbb{C}^{\bullet})\] $F$ et $\alpha^{\bullet}$ sont récrits à l'encre foncée sur une première lettre. Une accolade sous $F(x) \otimes \alpha^{\bullet}(x)$ renvoie à un mot écrit dessous, « repère », suivi d'un signe $=$ vertical qui mène à la ligne suivante rep. car les $\alpha^i(x)$ sont libres de t. f. \[(1'') \qquad \underset{\in \mathcal{B}}{F(x)} \otimes \underset{\in \mathit{Ab}_k^{\bullet}}{\operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{\bullet})} \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } F(\mathbb{C}^{\bullet})\] qui provient de l'hom fonctoriel en $x, C \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}$ \[F(x) \otimes \operatorname{Hom}(x, C) \longrightarrow F(C)\] Comme (1''), donc (1) est fonctoriel en $x$, et les deux membres sont des foncteurs additifs en $x$, pour prouver que […] (1) est un iso, $\forall F$, il suffit de le voir pour $x$ de la forme $\mathbb{C}^i$. Or alors \[(2) \qquad F(\mathbb{C}^i) \longrightarrow \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, F(\mathbb{C}^{\bullet}))\] dans le second argument, un premier symbole est biffé devant $F$ et on a évidemment \[\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, \underset{\in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}}{\mathcal{C}^{\bullet}}) \simeq C^i\] et on voit de suite que […] […] est […], […] évidemment, cqfd.

45Ex 3 La théorie de Dold-Puppe nous donne équivalences de catégories équivalence de catégories (pour toute catégorie additive […] […] foncteurs directs) \[\mathcal{B}_{\bullet} \underset{\mathrm{DP}^{*}}{\overset{\mathrm{ND}_{\bullet}}{\rightleftarrows}} \mathcal{B}_{*} \qquad \text{donc aussi (en appliquant à } \mathcal{B}^{\circ}\text{)} \qquad \mathcal{B}^{\bullet} \underset{\mathrm{DP}_{*}}{\overset{\mathrm{ND}^{\bullet}}{\rightleftarrows}} \mathcal{B}^{*}\] les deux paires sont écrites $\approx$ avec une flèche $\mathrm{DP}$ vers la droite et une flèche courbe $\mathrm{ND}$ revenant vers la gauche ; une première écriture, $\mathit{Ab}_k^{\bullet} \simeq \mathit{Ab}_k \ldots$, est biffée de zigzags en tête de la ligne en particulier \[\mathit{Ab}_{k\bullet} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathit{Ab}_{k*}, \qquad \mathit{Ab}_k^{\bullet} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathit{Ab}_k^{*}\] NB le foncteur DP […] […] […] […] (additives karoubiennes) $\mathrm{ND} =$ normalisé […] ; $\mathrm{DP} =$ Dold-Puppe […] […] […] avec foncteurs additifs trois notes obliques dans la marge gauche, en face de ces lignes ; une ligne relie la dernière au $\mathcal{B}_{\bullet}$ de la formule

Il est […] […]

[…] l'image essentielle de $\mathbb{K}^{\bullet}$ et $\mathbb{K}_{\bullet}$ par […] deux foncteurs […] notées $\mathbb{K}_{*}$ et $\mathbb{K}^{*}$. On a donc un diagramme d'équivalences canoniques $\mathbb{K}$ […] […] […] […] […] […] $K(k)$ […] […] […] $\circ^{*}$ note oblique de la marge gauche, presque entièrement illisible. Au-dessous, un premier diagramme — $\mathbb{K}_{\bullet} \rightleftarrows \mathit{Ab}_{k*}$ marqué $\mathrm{ND}$, $\mathrm{DP}$, au-dessus de $\mathit{Ab}_k^{\bullet} \rightleftarrows \mathit{Ab}_k^{*}$ — est annulé par de longs traits en boucle

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathbb{K}_{\bullet} \arrow[rr, bend left=10, "\mathrm{DP}^{*}"] \arrow[dd, leftrightarrow, "\vee\ \circ"'] & & \mathbb{K}_{*} \arrow[ll, bend left=10, "\mathrm{ND}_{\bullet}"'] \arrow[dd, leftrightarrow, "\vee\ \circ"] \\
& \mathbb{K} \arrow[ul, "\alpha_{\bullet}"] \arrow[ur, "\alpha_{*}"'] \arrow[dl, "\alpha^{\bullet}\ \circ"] \arrow[dr, "\alpha^{*}\ \circ"'] & \\
\mathbb{K}^{\bullet} \arrow[rr, bend right=10, "\mathrm{DP}^{*}_{\bullet}"'] & & \mathbb{K}^{*} \arrow[ll, bend right=10, "\mathrm{ND}^{\bullet}"]
\end{tikzcd}

les étiquettes $\mathrm{ND}$ sont au-dessus des flèches vers la gauche, les $\mathrm{DP}$ au-dessous des flèches vers la droite ; sur chaque flèche verticale, marquée $\vee$, le petit rond est surchargé d'un trait horizontal, et les flèches $\alpha^{\bullet}$, $\alpha^{*}$ portent aussi un petit rond

où les flèches […] marquées d'un signe $\circ$ sont des foncteurs contravariants.

Convention d'écriture. Pour un objet $C$ de $\mathbb{K}$, on note $C_{\bullet}$, $C_{*}$, $C^{\bullet}$, $C^{*}$ les objets correspondants obtenus en […] $\alpha_{\bullet}$, $\alpha_{*}$, $\alpha^{\bullet}$, $\alpha^{*}$, et ses composantes […] $C_n$, $C_{[n]}$, $C^n$, $C^{[n]}$ (attention : […] […] […] […] $[\ ]$ en $\mathbb{C}^{\bullet}_{\bullet}$, $\mathbb{C}_{*}$, $\mathbb{C}^{\bullet}$, $\mathbb{C}^{*}$, $\mathbb{C}^{\bullet}$) longue note de la marge gauche, à côté du diagramme, séparée du texte par un trait vertical ; la fin de la liste de symboles n'est pas sûre

On a

Proposition 4 […] On a […] […] […] […] […] […] compatibles […]

Bien compris que

46\[\alpha_{*}(\mathbb{C}^i) \simeq \mathrm{DP}(C^{i}_{\bullet}) \simeq \overset{i+1}{\Lambda} \Phi_{*}\] (d'où \[\alpha^{*}(\mathbb{C}^i) \simeq \mathrm{DP}(C^{\bullet}_{i}) \simeq \overset{i+1}{\Lambda} \check{\Phi}_{*} \ )\] la page 45 s'achève sur « Bien compris que », qui introduit ces formules ; la place des indices de $C$ (en haut ou en bas) n'est pas sûre

L'iso défini entre les $\alpha_{\bullet}(\mathbb{C}^i)$ et […] […] $T_{*}\Lambda$ […] les foncteurs $\mathrm{ND} : \mathbb{K}_{*} \to \mathbb{K}_{\bullet}$ […] […] donné […] […] de $\overset{i+1}{\Lambda} \Phi_{*}$ […] Par suite Cor. 1 Les foncteurs […] […] $\mathrm{DP} : \mathit{Ab}_{k\bullet} \to \mathit{Ab}_{k*}$ […] ce passage, écrit en partie entre les lignes, est barré et encadré

Appliquant la théorie de Dold-Puppe à $\mathcal{B}$ (qui est bien additive et […] karoubienne pourvu que ses sommes directes, […] du moins pour les $k$ […] […] […] en particulier, $k$ […] […] sont…, $k = \mathbb{Z}$), on trouve dans $\mathbb{K}$ un complexe plusieurs mots de ces lignes sont barrés de traits obliques \[\struck{\ill{}} \qquad \mathbb{C}^{*} = \mathrm{DP}(\mathbb{C}^{\bullet})\] (qui est dans […], pour […] défini dans […] $K(k)$ quel que soit [$k$]), d'où pour toute $\mathcal{B}$ [$k$]-additive

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\begin{tikzcd}
\underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) \arrow[d, "\wr\ \mathrm{restr}"'] \arrow[ddr, bend left=20, "F \mapsto F(\mathbb{C}^{*})"] & \\
\underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) \arrow[d, "\wr\ F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})"'] & \\
\mathcal{B}^{\bullet} \arrow[r, hook, "\mathrm{DP}"] & \mathcal{B}^{*}
\end{tikzcd}

le $\mathcal{A}$ du deuxième $\underline{\operatorname{Hom}}$ est surchargé

donc un foncteur $F \mapsto F(\mathbb{C}^{*})$ qui est pl. fid.

Si $\mathcal{B}$ est karoubienne, $\mathrm{DP}_{\mathcal{B}}$ est une équivalence, donc aussi $F \mapsto F(\mathbb{C}^{*})$. Donc

[…] […] un objet simplicial universel $\mathbb{C}^{*}$ covariant […] dans cat. $k$-additive karoubienne

Prop 5 Si $\mathcal{B}$ est $k$-additive karoubienne, alors $F \mapsto F(\mathbb{C}^{*})$ est une équivalence \[\underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) \longrightarrow \mathcal{B}^{*}\] On a un isom. canonique [bifonctoriel] en $F \in \operatorname{Ob} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B})$ et $x \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}$ « bifonctoriel » est écrit au-dessus d'un mot biffé

48Il y a une construction universelle […] […] $\mathcal{C}$, […] […] $\mathcal{C}^{\bullet}$, $\mathcal{C}$ « $\mathcal{C}^{*}$ » […] $\mathbb{K}$ […] […] note oblique, en plusieurs lignes, dans l'angle supérieur gauche ; un point d'exclamation dans la marge en face de la fin du premier paragraphe Soit $\mathcal{P}_{\bullet}$ la catégorie des complexes de ch-chaînes $L_{\bullet}$ de $\mathcal{C}$ qui sont libres de t.f. en chaque dim., et qui n'ont qu'un nb fini de composantes non nulles. Une suite \[0 \to L'_{\bullet} \to L_{\bullet} \to L''_{\bullet} \to 0\] d'homs dans $\mathcal{P}_{\bullet}$ est dit exact spécial, si $\forall n \geqslant 0$, la suite \[0 \to L'_n \to L_n \to L''_n \to 0 \longrightarrow\] est exacte. Soit $\Sigma_{\bullet}$ la classe de ces suites. Ainsi $\mathcal{P}_{\bullet}$ est muni de $\mathbb{C}^{\bullet}$ (complexe de cochaînes) et de $\Sigma_{\bullet}$. On va voir que $\mathcal{P}_{\bullet}$, muni de ces données, il est sol. d'un pb universel.

Soit Soit $\mathcal{B}$ une cat. additive. Un ens. $\Sigma$ de suites \[(*) \qquad 0 \to A' \xrightarrow{\ q\ } A \xrightarrow{\ p\ } A'' \to 0\] dans $\mathcal{B}$ est dit « une classe de suites exactes » si elle satisfait aux conditions

Sex 1) Si $(*) \in \Sigma$, alors $A' \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker} p$, $\operatorname{Coker} q \xrightarrow{\ \sim\ } A''$, i.e. les suites $0 \to A' \to A \to A''$ et $A' \to A \to A'' \to 0$ sont exactes (i.e. $\forall B \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}$, les suites de groupes \[\left\lbrace \begin{array}{l} 0 \to \operatorname{Hom}(B, A') \to \operatorname{Hom}(B, A) \to \operatorname{Hom}(B, A'') \\ 0 \to \operatorname{Hom}(A'', B) \to \operatorname{Hom}(A, B) \to \operatorname{Hom}(A', B) \end{array} \right.\] sont exactes).

Sex 2) $\Sigma$ est stable par isos, par sommes finies, et contient les suites de la forme \[0 \to A \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } A \to 0 \to 0, \qquad 0 \to 0 \to A \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } A \to 0\] (donc aussi les suites de la forme $0 \to A \xrightarrow{\ i_1\ } A \oplus B \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_2\ } B \to 0$). les étiquettes $i_1$ et $\mathrm{pr}_2$ se lisent « $i_1$ », « $\mathrm{pr}.$ »

49Un […] $\Sigma$-monomorphisme (resp. […]) […] $A \to B$ de $\mathcal{B}$ est un morphisme qui s'insère dans une suite $\in \Sigma$ \[0 \to A \to B \to K \to 0 \qquad (\text{resp.\ } 0 \to P \to A \to B \to 0)\] Un morphisme [$A \to B$] est dit [$\Sigma$-]strict[strict], s'il a un […] [objet Image $\xrightarrow{\ \sim\ }$ […]], noyau $P$ et un conoyau $Q$, et si $P \to A$ […] est un $\Sigma$-mono ($\Sigma$-épi), il revient au […] de dire qu'il y a la définition est surchargée : « strict » est biffé et « $\Sigma$- » ajouté au-dessus ; une ligne interlinéaire, en partie biffée, porte « objet Image $\xrightarrow{\sim}$ » ; l'objet au-dessus de « $A \to B$ » est ajouté des suites $\in \Sigma$ \[0 \to P \to A \to R \to 0, \qquad 0 \to R \to B \to Q \to 0\] telles que $A \to B$ soit le composé $A \to R \to B$. (Il faut peut-être exiger qu'un composé de $\Sigma$-monos (resp. $\Sigma$-épis) en soit itou.) […] […] […] […] définir $\Sigma$ deux notes obliques de la marge gauche, en face du début de la page, presque illisibles

On définit de façon évidente les $\Sigma$-projectifs [objets] et $\Sigma$-injectifs. Un […] suite dit […] complexe de cochaînes ([…]) […] $C^{i-1} \to C^i \to C^{i+1}$ […] […] […] […] est dit spécial \[A \xrightarrow{\ u\ } B \xrightarrow{\ v\ } C\] est dite $\Sigma$-spéciale […] si elle […] […] […] […] […] […] des suites (de $\Sigma$) […] […] $vu = 0$, […] […] […] […] […] […] suites exactes $\in \Sigma$ \[\begin{array}{l} 0 \to \operatorname{Ker} u \to A \to \operatorname{Coim} u \to 0 \\ \qquad\qquad \operatorname{Coim} u \simeq \operatorname{Im} u \\ \qquad 0 \to \operatorname{Im} u \to \operatorname{Ker} v \to H \to 0 \\ \qquad\qquad\qquad 0 \to \operatorname{Ker} v \to B \to \operatorname{Coim} v \to 0 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \operatorname{Coim} v \simeq \operatorname{Im} v \\ \qquad\qquad\qquad 0 \to \operatorname{Im} v \to C \to \operatorname{Coker} v \to 0 \end{array}\] les quatre suites sont disposées en escalier, reliées par des signes $\simeq$ verticaux ($\operatorname{Coim} u \simeq \operatorname{Im} u$, $\operatorname{Ker} v$ de la deuxième et de la troisième, $\operatorname{Coim} v \simeq \operatorname{Im} v$) ; la dernière suite, en bout de ligne, est surchargée et en partie coupée par le bord

(c'est une notion auto-duale) On dit qu'un complexe $C^{\bullet}$ de $\mathcal{B}$ est $\Sigma$-spécial si […], […] $\Sigma$-acyclique si […] […] […] les $H^i(C^{\bullet})$ sont nuls ; une $\Sigma$-résolution d'[…] est un complexe de cochaînes ($C^i = 0$ si $i < 0$) et $H^i = 0$ pour $i \geqslant 0$ la fin de la page est d'écriture très pâle ; le dernier « $i \geqslant 0$ » est surchargé d'une tache

50un grand « 1 », au crayon, dans la marge gauche en haut du feuillet ; il n'est pas clair qu'il numérote une suite Il faudrait prouver le

Th Soit $\mathcal{B}$ une cat. additive $k$-additive [où tout projecteur a un noyau], […] $\Sigma$ une famille $\Sigma$ de suites exactes, soit [i.e. $\mathcal{B}$ cat. exacte] $\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B})$ la [$k$-]catégorie […] des foncteurs « $\Sigma$-exacts » $\Sigma$ […] les suites exactes la parenthèse « où tout projecteur a un noyau » et « i.e. $\mathcal{B}$ cat. exacte » sont écrits au-dessus de la ligne ; la note, reliée par un trait, est à droite $\underline{\operatorname{Hom}}_k(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B})$ formée des i.e. transformant suites de $\Sigma_{\bullet}$ en suites de $\Sigma$, Considérons le foncteur restriction Soit $\underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B})$ la sous-catégorie pleine $\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B})$ la sous-catégorie pleine de celle [formée des foncteurs] qui transforment […] en $\Sigma$-[…] [commutent aux $\Sigma$-noyaux].

a) Le foncteur restriction $F \longmapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})$ \[\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \hookrightarrow \mathcal{B}^{\bullet}\] après la flèche, un premier but, $\underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B})$, est biffé de hachures ; $\mathcal{B}^{\bullet}$ est écrit à sa suite est une équivalence de catégories est pleinement fidèle, […] […] foncteurs ([…] […] son image essentielle est [formée des] $C^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}$ tels que les d[$d^i$] : $C^i \to C^{i+1}$ admettent des $\Sigma$-noyaux, qui […] […] […] […] [[…] […] […] un prend les noyaux […] impliquent les foncteurs […] $\Sigma$-exacts $\mathcal{G}$.] la parenthèse et le crochet sont d'écriture très pâle ; une accolade verticale à gauche les relie à une note oblique de la marge, illisible

b) Le foncteur restriction $F \longmapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})$ \[\underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-}\Sigma\text{ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \hookrightarrow \mathcal{B}^{\bullet}\] (qui est pl. fid. par a)) a comme image essentielle la catégorie des $C^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}$ qui sont des $\Sigma$-résolutions (i.e. $\Sigma$-spéciaux de cochaînes avec $H^i(C^{\bullet}) = 0$ si $i > 0$). [donc le triple $(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathbb{C}^{\bullet}, \Sigma_{\bullet})$ pouvait comme universel parmi les $(\mathcal{B}, C^{\bullet}, \Sigma)$ tels que $C^{\bullet}$ soit construite une $\Sigma$-résolution, — les le crochet final, entouré d'un trait, est barré de deux longs traits obliques ; il se poursuit en bas de la page, d'écriture pâle

51toute la page est barrée d'un long trait oblique au crayon, qui descend du haut vers le bas en s'incurvant foncteurs admissibles itou maintenant les foncteurs $\Sigma$-exacts…)

Indications sur dém.

Dans $\mathcal{P}_{\bullet}$, il est évident que $\mathbb{C}^{\bullet}$ est une $\Sigma_{\bullet}$-spéciale résolution. De façon précise, si \[\to \Psi^{i}_{\bullet} = \struck{H^i(C^{\bullet})} \ k[i] \quad \text{placé en degré } i,\] on voit que […] $\to 0$ des suites $\in \Sigma$. \[0 \to \Psi^0_{\bullet} \to C^0_{\bullet} \to \Psi^1_{\bullet} \to 0\] \[0 \to \Psi^1_{\bullet} \to C^1_{\bullet} \to \Psi^2_{\bullet} \to 0\] \[0 \to \Psi^2_{\bullet} \to C^2_{\bullet} \to \Psi^3_{\bullet} \to \cdots\] après le signe $=$, une première écriture, $H^i(C^{\bullet})$, est biffée de hachures ; la lecture « $k[i]$ » de ce qui suit n'est pas sûre

De plus, on voit que pour $L_{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{P}_{\bullet}$, $L_{\bullet}$ peut s'écrire comme extension successive d'objets de la forme $(\Psi^i_{\bullet})^{f_i}$ pour la filtration canonique \[\operatorname{Fil}_i(L_{\bullet})_j = \left\lbrace \begin{array}{ll} L_j & \text{si } j \leqslant i \\ 0 & \text{si } j > i \end{array} \right.\] l'exposant $f_i$ est surmonté d'un trait : sans doute le rang de $L_i$ on a un isom. canon. \[\struck{\operatorname{Fil}} \operatorname{Gr}_i(L_{\bullet}) \simeq L_i \ \text{placé en degré } i \ \underset{\mathrm{can}}{\simeq} \ \Psi^i_{\bullet} \otimes L_i \ \underset{\text{non can}}{\simeq} \ (\Psi^i_{\bullet})^{f_i}\]

Enfin, les $C^i_{\bullet}$ sont $\Sigma$-projectifs.

Soit $\mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-sex}}$ (resp. $\mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-ex}}$) la sous-catégorie pleine de $\mathcal{B}^{\bullet}$ décrite dans a) (resp. b)). On va définir des foncteurs \[\begin{array}{ccc} \mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-sex}} & \longrightarrow & \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \\ \cup & & \cup \\ \mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-ex}} & \longrightarrow & \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \end{array}\] (le premier induisant le deuxième) l'indice « $\Sigma$-sex » est surchargé aux deux premières occurrences ; les inclusions verticales sont écrites comme des $\cup$ couchés

52Soit $\mathcal{B} \supset \mathbb{K}$ une sous-catégorie $k$-additive. \[\begin{array}{ccc} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) & \underset{\sigma}{\overset{\rho}{\rightleftarrows}} & \mathcal{B}^{\bullet} \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \widehat{\mathcal{B}}) & & \\ \downarrow & \nwarrow{\scriptstyle \sigma} & \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) & \xrightarrow{\ \rho\ } & \mathcal{B}^{\bullet} \end{array} \qquad \text{$\mathcal{B}$ cat.\ additive avec $\Sigma$ classe de suites exactes et $\Sigma$-noyaux}\] ce premier diagramme est barré de trois longs traits obliques ; la flèche $\sigma$ oblique part de $\mathcal{B}^{\bullet}$ en bas à droite vers le $\underline{\operatorname{Hom}}$ du milieu. Dans la marge gauche, en face, un signe biffé

$\mathcal{B}$ catégorie additive, avec classe $\Sigma$ de suites exactes […] noyaux de flèches, où les […] […] admettent des $\Sigma$-noyaux Non, il faut condition de platitude ? note au crayon, d'une autre main ou d'un autre moment, écrite en travers à droite du diagramme suivant \[\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \underset{\sigma}{\overset{\rho}{\rightleftarrows}} \mathcal{B}^{\bullet}\] l'indice de $\underline{\operatorname{Hom}}$ est surchargé ; sous la flèche $\sigma$, un mot vertical, peut-être « adj » cat. des foncteurs $k$-lin. $F : \mathcal{P}_{\bullet} \to \mathcal{B}$ qui transforment suites $\in \Sigma_{\bullet}$ en suites exactes à $g$ \[\left\lbrace \begin{array}{l} \rho(F) = F(\mathbb{C}^{\bullet}) \\ \sigma(C^{\bullet})(L_{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\check{L}_{\bullet}, C^{\bullet}) \end{array} \right.\] à la suite de la seconde ligne, reliée par une flèche, une variante $\operatorname{Hom}_k(\operatorname{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{C}^{\bullet}), C^{\bullet})$ ; sous la ligne, reliée par une accolade : « définie grâce à l'existence des $\Sigma$-noyaux »

Formule d'adjonction \[\operatorname{Hom}(\rho(F), C^{\bullet}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(F, \sigma(C^{\bullet}))\] \[\operatorname{Hom}(\rho(F), C^{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}(F(\mathbb{C}^{\bullet}), C^{\bullet})\] le second isomorphisme est écrit sous le premier membre, relié par un $\simeq$ vertical

Le deuxième membre est formé des homs fonctoriels en $L_{\bullet}$ \[F(L_{\bullet}) \longrightarrow \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\check{L}_{\bullet}, C^{\bullet})\] i.e. des homs « fonctoriels en $L_{\bullet}$ » \[\check{L}^{\bullet} \otimes_k F(L_{\bullet}) \longrightarrow C^{\bullet}\] au-dessus de $\check{L}_{\bullet}$ dans le texte, un « $L^{\bullet}$ » ajouté en encre foncée ; dans la formule, le signe $\otimes_k$ est surchargé d'un trait courbe Or on a $L^i \simeq \operatorname{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{C}^i)$ \[F(L) \otimes L^i \simeq \operatorname{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{C}^i) \otimes F(L_{\bullet}) \longrightarrow F(\mathbb{C}^i)\] après $L^i$, un premier « $\otimes F(L_{\bullet})$ » est biffé de hachures ; au-dessus de la flèche finale, le mot « tout » et on trouve que […] […] ainsi […] « fonctorielle » compatible […] composé effectivement en $L^{\bullet}$ et $C^{\bullet}$, et « fonctoriel »

53en $L_{\bullet}$ », ce qui donne si on veut \[F \xrightarrow{\ u\ } \sigma\rho F\] hom fonctoriel en $F$, […] [i.e. un] […] hom […] l'adjonction pour elle \[\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\rho F, C^{\bullet}) & \longrightarrow & \operatorname{Hom}(F, \sigma C^{\bullet}) \\ & \searrow & \nearrow{\scriptstyle \alpha \mapsto \alpha \circ u} \\ & & \operatorname{Hom}(\sigma\rho F, \sigma C^{\bullet}) \end{array}\] la flèche descendante est en pointillé à prouver que c'est un iso — vérification facile.

L'hom dans \[\rho\sigma C^{\bullet} \longrightarrow C^{\bullet}\] est un iso, i.e. $\sigma$ est pl. fid. En effet, \[\rho(\sigma(C^{\bullet})) = \sigma(C^{\bullet})(\mathbb{C}^{\bullet}) = \bigl(\underbrace{\sigma(C^{\bullet})(\mathbb{C}^i)}_{\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i,\, C^{\bullet}) \,=\, C^i}\bigr)_i \simeq (C^i)_i \quad \text{ok.}\] sous l'accolade, $\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, C^{\bullet})$ est écrit au-dessus d'un $\|$ vertical qui mène à $C^i$

Ainsi on a un […] […] pl. fidèle \[\mathcal{B}^{\bullet} \xhookrightarrow{\ \sigma\ } \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}} \subset \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}\] où $\Sigma$-sex désigne les foncteurs qui transforment suites de $\Sigma$ en suites exactes à g.

Quelle est l'image essentielle de $\mathcal{B}^{\bullet}$ ? (On donnera des exemples tantôt de foncteurs dans l'image ou non) est-ce tout $\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}$ ? Elle sont formée des $F$ tels que \[F \xrightarrow{\ u\ } \sigma\rho(F)\] soit un iso. Or on a

54\[F(\mathbb{C}^i_{\bullet}) \to \sigma(\rho(F))(\mathbb{C}^i_{\bullet}) = \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, \underset{= F(\mathbb{C}^{\bullet})}{\rho(F)}) \simeq F(\mathbb{C}^i_{\bullet})\] \[\begin{aligned} F(\Psi^i_{\bullet}) \to \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\Psi^{\bullet}_i, F(\mathbb{C}^{\bullet})) &\simeq Z^i(F(\mathbb{C}^{\bullet})) \\ &\simeq \operatorname{Ker}(F(\mathbb{C}^i_{\bullet}) \to F(\mathbb{C}^{i+1}_{\bullet})) \\ &\simeq F(\underbrace{\operatorname{Ker}(\mathbb{C}^i \to \mathbb{C}^{i+1})}_{\Sigma\text{-Ker}\,!}) \simeq F(\Psi^i_{\bullet}) \end{aligned}\] le dernier signe, devant $F(\Psi^i_{\bullet})$, est un $\doteq$ ; l'exposant de $\Psi$ dans $\operatorname{Hom}^{\bullet}_k$ est surchargé

Donc on voit que $u(L_{\bullet}) : F(L_{\bullet}) \to \sigma\rho(F)(L_{\bullet})$ est un iso, non seulement pour les $\mathbb{C}^i$ et les $\Psi^i_{\bullet}$ de […], mais pour la la cat. additive $\mathcal{P}_{\bullet} \supset \mathbb{K}$ des sommes ensemble (i.e. dans les sommes à l'intervalle […] $[p, q]$ de tels.) $\mathcal{P}_{\bullet}$ engendrée par les $L_{\bullet}$, par la longueur d'un $L_{\bullet}$, tel que $L_i = 0$ si $i \notin [p, q]$. ($L_{\bullet}$ somme $\simeq (\Psi^i_{\bullet})^{n_i}$), on fait récurrence sur $n$ si $n = 0$, […] […] $n > 0$ et soit […] que […] fait pour $n - 1$. ce paragraphe est d'une écriture rapide et interlinéaire ; « $\simeq (\Psi^i_{\bullet})^{n_i}$ » est souligné et surchargé ; seules les formules sont sûres \[\left. \begin{array}{c} \cdots \to 0 \to L_p \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } L_p \to 0 \\ \uparrow{\scriptstyle d_{p+1}} \qquad \uparrow{\scriptstyle d_p} \\ \cdots \to L_{p+n} \to L_{p+n-1} \to \cdots \to L_{p+1} \to L_p \to 0 \to 0 \end{array} \right\rbrace \qquad \begin{array}{c} (\mathbb{C}^{p}_{\bullet})^{r} \\ \uparrow \\ L_{\bullet} \end{array}\] sous la ligne du bas, une accolade embrasse $L_{p+n}, \ldots, L_{p+1}$, marquée « tronqué $L'$ ! » ; l'exposant de $(\mathbb{C}^p_{\bullet})$ est surchargé. Dans la ligne du bas, la flèche vers $L_{p+1}$ est tracée en pointillé […] dans […] […] de suites exactes (où $L_p \simeq k^r$) \[\begin{array}{ccccccccc} 0 \to & (\Psi^p_{\bullet})^r & \to & L_{\bullet} & \longrightarrow & L'_{\bullet} & \to 0 \\ & \| & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 \to & (\Psi^p_{\bullet})^r & \to & (\mathbb{C}^p_{\bullet})^r & \longrightarrow & (\Psi^{p+1}_{\bullet})^r & \to 0 \end{array}\] qui exprime $L_{\bullet}$ comme produit fibré de $L'_{\bullet}$ et $(\mathbb{C}^p_{\bullet})^r$ sur $(\Psi^{p+1}_{\bullet})^r$ (i.e. comme noyau d'un hom […] $\Sigma$-épi $(\mathbb{C}^p_{\bullet})^r \times L'_{\bullet} \to (\Psi^{p+1}_{\bullet})^r$). Donc on conclut par le premier terme de la ligne du haut s'écrit « $(\Psi^p_{\bullet})^r$ » ; la dernière flèche du diagramme part d'un $L'_{\bullet}$ surchargé

55l'hyp. de récurrence. Ceci donne donc \[\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{B}^{\bullet}\] (si $\mathcal{B}$ […] catégorie [classe $\Sigma$] de suites exactes telles que tout morphisme de $\mathcal{B}$ admette un $\Sigma$-noyau)

NB Si on suppose seulement que $\mathcal{B}$ admette […] […] $\Sigma$ de suites exactes, […] […] [[…]] pour dire que tout morphisme de $\mathcal{B}^{\bullet}$ admette un noyau, l'argument donne encore tout seulement que le foncteur évident $F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})$ \[\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \xrightarrow[\rho]{\ \approx\ } \mathcal{B}^{\bullet}\] est pl. fid. (ayant adjoint $\sigma$ comme dessus, mais à valeurs dans $\underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \widehat{\mathcal{B}})$ ; on a néanmoins $\sigma\rho \simeq \mathrm{id}$ i.e. « seulement que $\mathcal{B}$ admette » et la ligne suivante sont barrés ; l'indice du dernier $\underline{\operatorname{Hom}}$ est surchargé \[F(L_{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(L^{\bullet}, \underbrace{F(\mathbb{C}^{\bullet})}_{= C^{\bullet}})\] pour $F \in \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}$.un premier « $F(L_{\bullet}) \simeq$ » est biffé en tête de la formule

Re NB On […] vérifie facilement, sous les conditions de NB, que si $F \mapsto C^{\bullet} = F(\mathbb{C}^{\bullet})$ se correspondent ($F \in \operatorname{Ob} \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}$), alors $F$ est $\Sigma$-exact ssi $C^{\bullet}$ est une $\Sigma$-résolution. (des noyaux si $\mathcal{B}$ est cat. abélienne avec $\Sigma$ les suites exactes…)

Ex Soit $\lambda_{\bullet} \in \mathit{Ab}_{k\bullet}$, considérons $\mathcal{P}_{\bullet} \to \mathit{Ab}_k$, foncteur $L_{\bullet} \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathit{Ab}_{k\bullet}}(\lambda_{\bullet}, L_{\bullet})$, (il est $\Sigma$-exact à g (et même exact à g)) — on fait le $\mathcal{P}_{\bullet}$ est récrit sur un premier symbole ; le « exact à g » final est souligné. Sous la dernière ligne, à droite, quatre lettres majuscules, peut-être « TSVP », dans un cadre ouvert

56la vérification de la formule \[\operatorname{Hom}_{\bullet}(\lambda_{\bullet}, L_{\bullet}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(L^{\bullet}, \check{\lambda}_{\bullet})\] est évidente — ces trois lignes, en haut du feuillet, achèvent la page 55 (dont la dernière ligne portait « TSVP ») ; le reste du feuillet est blanc

57Construction canonique de $\mathcal{P}$ ($k$-lin.) le titre n'est pas souligné sur la page ; il est mis en relief ici parce qu'il ouvre une nouvelle suite

$\mathcal{P} \supset \mathbb{K}$, et satisfait les conditions

a) Le foncteur covariant \[L \longmapsto \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^0)^{\vee}\] est représentable par un objet $\Psi^0$. Considérons l'hom $\Psi^0 \to \mathbb{C}^0$ transposé de \[\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\Psi^0, L) & \longleftarrow & \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L) \quad \bigl[\longleftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^1, L)\bigr] \\ \wr & & \\ \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^0)^{\vee} & & \end{array}\] sous $\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L)$, un point d'interrogation déduit de l'accouplement \[\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L) \times \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^0) \longrightarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, \mathbb{C}^0) \simeq k, \qquad (u, v) \longmapsto vu\] dans le second facteur, un premier symbole est biffé devant $\mathbb{C}^0$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \mathbb{C}^0 \arrow[dl, "d"'] \arrow[dr, "u"] & & \\
\mathbb{C}^1 \arrow[rr, "u'"'] & & L \arrow[dr, "v"] & \\
& & & \mathbb{C}^0
\end{tikzcd}

On a […] $u' : \mathbb{C}^1 \to L$, considérons $u = u' \circ d^0$, et $v \circ u = v \circ (u' \circ d) = (v \circ u') \circ d$, comme $v \circ u' = 0$, il vient donc $v \circ u = 0$, donc $\mathbb{C}^0$ le composé est […] \[\operatorname{Hom}(\Psi^0, L) \longleftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L) \longleftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^1, L)\] le premier $v \circ u$ est récrit sur un autre symbole ; « $= (v \circ u') \circ d$ » est ajouté au-dessus de la ligne fonction […] $\operatorname{Hom}(\mathcal{P}, L)$ pour $L$ note oblique dans la marge gauche, reliée par une flèche (ce qui signifie aussi que \[\Psi^0 \longrightarrow \mathbb{C}^0 \longrightarrow \mathbb{C}^1\] est nul, donc que $\mathbb{C}^{\bullet}$ est $\Psi^0$-augmenté. Nb) […] […] Soit $\Phi^{\bullet}$ le complexe de cochaînes qu'il forme. Soit $\mathcal{P}_0$ la sous-catégorie b) La famille des $\mathbb{C}^i$ et $\Psi^0$ est génératrice stricte c) $\Phi^{\bullet}$ est une résolution de $k$-lin. engendrée formée des sommes finies d'objets ce passage est remanié : « Soit $\mathcal{P}_0$ la sous-catégorie » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par un trait ; b) et c) sont barrés, et récrits plus bas dans la forme $\mathbb{C}^i$, $\Psi^0_0$, i.e. les expressions de la forme \[L + (\Psi^0)^r, \qquad r \in \mathbb{N},\ L \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}\]

On a b) Les suites \[0 \to L' \to L \to L'' \qquad \bigl(\ldots L' \to L \to L''\bigr)\] une deuxième écriture, en partie biffée, « $\to L'' \to 0$, $L' \to L \to L'' \to 0$ », est écrite dessous telles que les $\ldots$ $\rho \in \mathcal{P}_0$ sont exactes […] fournit […] i.e. telles que $0 \to L' \to L \to L'' \to 0$ soit exactes […] soit exactes, soit $\Sigma$[$\Sigma$] la classe de ces suites plus bas […] […] […] note oblique de la marge gauche, reliée par un trait courbe à « On a » ; deux traits verticaux dans la marge, en bas

c) Le complexe augmenté $(\Phi^{\bullet}, \Psi^0, \varepsilon)$ est une $\Sigma$-résolution, i.e. $\Phi^{\bullet}$ est $\Sigma$-acyclique.

58notes éparses, sans suite continue, sur la moitié du feuillet ; la première ligne et la formule qui la suit sont barrées de traits obliques, et un long trait au crayon traverse la page Il faut prouver que […] l'hom $\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(L^{\bullet}, C) \to Z^n(C^{\bullet}) \ldots (C^n)^f$ admet un $\Sigma$-noyau \[\underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-sex}} \longrightarrow \mathcal{B}^{\bullet} \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}} \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}}\] ($\mathcal{B}$ cat. abélienne, $\Sigma$ suites exactes ordinaires) schéma de flèches incurvées, partant de $\underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-sex}}$ vers $\mathcal{B}^{\bullet}$, puis de $\mathcal{B}^{\bullet}$ vers deux $\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}}$ dont les premiers arguments sont surchargés et biffés ; à gauche, une flèche courbe mène de $\mathcal{B}^{\bullet}$ à la ligne suivante, et une autre à « $\mathcal{B}^{\bullet}_{\mathrm{rés}}$ » (lecture incertaine) en bas ; l'accolade de droite relie la parenthèse sur $\mathcal{B}$ au dernier $\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}}$ \[\underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}} \simeq \mathcal{B}^{\mathrm{rés}}\] \[\operatorname{Ext}^1(L^{\bullet}, M) \Longleftarrow 0\] \[\underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_0, \mathcal{B})\] si $\mathcal{B}$ […] admet [$\Sigma$-]noyaux.

59Cela signifie que l'on a une kyrielle de suites $\Sigma$-exactes (dans $\mathcal{P}$) \[\begin{array}{l} 0 \to \Psi^0 \to \mathbb{C}^0 \to \Psi^1 \to 0 \\ \qquad 0 \to \Psi^1 \to \mathbb{C}^1 \to \Psi^2 \to 0 \\ \qquad\qquad 0 \to \Psi^2 \to \mathbb{C}^2 \to \Psi^3 \to 0 \\ \qquad\qquad\qquad \cdots \end{array}\] Par hyp. on sait que $\Psi^i_{\bullet} = k$ placé en dim. $i$.

On trouve ainsi maintenant les […] ([…] [homs] $\Phi$ […] les $\Psi^j$, $\Phi^i$, et les […] \[\Phi^i \to \Psi^j, \qquad \Psi^i \to \Phi^j, \qquad \Psi^i \to \Psi^j \qquad (\Phi^i \to \Phi^j \text{ déjà connus})\] doit être […] mis avant a) note oblique de la marge gauche. Les lettres $\Phi$ de cette ligne sont récrites à l'encre foncée sur des $\mathbb{C}$, conformément à la notation $\Phi^{\bullet}$ de la page 57 ; la lecture de chaque indice n'est pas sûre on peut résumer ces situations en disant que si $\mathcal{C}$ la sous-cat. pleine $\mathcal{P}_1 \subset \mathcal{P}$ formée des objets isomorphes à des sommes de $\Phi^i$ et de $\Psi^j$, le foncteur $L \mapsto L_{\bullet} =$ $\operatorname{Hom}(\Phi^{\bullet}, L)$ est pl. fidèle. Son image essentielle est formée des complexes de chaînes $L_{\bullet}$ […] [$L_i$ libres] $\Sigma_i$ et les composantes [$L_i$] libres de t.f. la fin de la phrase est surchargée d'ajouts interlinéaires, en partie soulignés ; la lecture de l'ensemble est incertaine […] $\operatorname{Hom}(\ill{})$ […] soient […] le […] $(\mathcal{P}_1, \mathbb{C}^{\bullet}, \Psi^0, \varepsilon, \Sigma_{\mathcal{P}_1})$ (On peut dire que […] […] cat. $k$-additive est universelle pour classe $\Sigma$ de suites ex. et munie d'une […] […] d'une $\Sigma$-résolution d'un objet $\Psi^0 \to Z^0 \ldots$).

On va maintenant supposer de plus

d) Pour toute suite $\Sigma$-exacte de $\mathcal{P}$ \[0 \to L^0 \to M \to N \to 0\] et tout hom $L \to L'$ (resp. $N' \to N$) la suite […] déduite par somme amalgamée (resp. par produit fibré) existe dans $\mathcal{P}$ il suffit d'[…] l'[…] des premiers p. ex. note oblique de la marge gauche, en bas ; « $\Sigma$- » est ajouté au-dessus de « exacte » ; l'exposant de $L^0$ n'est pas sûr

60et est $\Sigma$-exacte.

(Variante : si $L \xrightarrow{\ u\ } M$ est […] [un] $\Sigma$-épi, […] il […] a un i.e. $\operatorname{Hom}(\Phi^i, u)$ surjectif épi $\forall i$ (i.e. $u : L_{\bullet} \to M_{\bullet}$ épi) alors $u$ […] admet un noyau (donc on a une suite $\Sigma$-exacte \[0 \to R \to L \to M \to 0\ )\] « un » est ajouté au-dessus de « $\Sigma$-épi », qui remplace un mot biffé ; dans la marge gauche, en face de ces lignes, un double trait vertical

Utilisant ceci, on construit des objets de $\mathcal{P}$ par ext. successive d'objets $(\Psi^i_{\bullet})^{h_i}$ — et on voit que $L \mapsto L_{\bullet} =$ $\operatorname{Hom}(\Phi^{\bullet}, L)$ est ess. surjectif.

e) Tout objet de $\mathcal{P}$ est extension successive d'objets de la forme $\Psi^i$ [qui ne peut s'écrire de façon canonique, dans une filtration croissante [universelle] de $\mathcal{P}$ — laquelle sera alors canonique.] « b/ » est écrit au-dessus de « objets de » ; « universelle » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un trait d'insertion

Je dis y cela avec maintenant pour conclure que le foncteur \[L \longmapsto L_{\bullet} = \operatorname{Hom}(\Phi^{\bullet}, L)\] est pl. fid. et a l'image essentielle les $L_{\bullet}$ tels que les $L_i$, $Z_i$, $B_i$, $H_i$ soient libres. Il [suffit] que […] le soient […] […] fini. la dernière ligne est surchargée ; le reste du feuillet est blanc