Fonds Grothendieck, cote n° 137, pages 41–60

On trouve donc un foncteur pl. fid. \mathcal{C}^{\circ} \xhookrightarrow{\ \alpha^{\bullet}\ } \mathit{Ab}_k^{\bullet} l'étiquette \alpha^{\bullet} est écrite sur un premier symbole biffé ; une étoile, apparemment biffée, suit l'exposant de \mathit{Ab}_k qui associe à tout L_* le complexe de cochaînes \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(L_*, C^{\bullet}_*) 0 \to \operatorname{Hom}(L_*, C^0_*) \to \operatorname{Hom}(L_*, C^1_*) \longrightarrow \cdots , et dont la restriction à \mathcal{A} est donnée par \alpha^{\bullet}(C^i_*) = \bigl( 0 \to 0 \to \cdots 0 \to \underset{\text{degré } i}{k} \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } \underset{\text{degré } i+1}{k} \to 0 \to \cdots \bigr) = K^i_{\bullet} le membre de droite est surchargé : un premier symbole est biffé et K^i_{\bullet} récrit au-dessus ; la lecture vient de la ligne suivante et par la loi \begin{array}{ccc} \alpha^{\bullet}(C^i_*) & \xleftarrow{\ \alpha^{\bullet}(d^i)\ } & \alpha^{\bullet}(C^{i+1}_*) \\ \| & & \| \\ K^i_{\bullet} & \longrightarrow & K^{i+1}_{\bullet} \end{array} \qquad k \to 0 sous ce carré, un schéma des deux complexes en colonnes, les degrés i, i+1, i+2 notés à gauche : la colonne K^i_{\bullet} porte 0, k, k, 0, la colonne K^{i+1}_{\bullet} porte 0, 0, k, k ; les flèches horizontales vont de droite à gauche, k \leftarrow 0 en degré i, k \xleftarrow{\mathrm{id}} k en degré i+1, 0 \Leftarrow k en degré i+2. La flèche de la ligne K^i_{\bullet} \to K^{i+1}_{\bullet} pointe vers la droite, à l'inverse de celle du dessus ; le « k \to 0 » écrit à droite est isolé

L'image essentielle de \mathcal{C}^{\circ} par \alpha^{\bullet} est la catégorie des K^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathit{Ab}_k^{\bullet} qui sont libres de t. f. en toute dimension, et qui sont nulles d'un libre de t. f. sont itou. ce paragraphe est écrit à droite du schéma, séparé du reste par un trait ; « K^i » est ajouté au-dessus de la première ligne avec un signe d'insertion, et la fin, en écriture très rapide, n'est lue qu'en partie

commentaire pour Ex 2

Ex 2 Faisons \mathcal{B} = \mathit{Ab}_k^{\circ}, (qui est k-linéaire commutatif), et pour tout L_* \in \operatorname{Ob} \mathcal{C} on considère le foncteur contrav. qu'il représente, interprété comme foncteur k-lin. \mathcal{C}^{\circ} \longrightarrow \mathit{Ab}_k^{*}, \qquad M_* \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(M_*, L_*) avant \mathit{Ab}_k^{*}, un premier but est biffé et illisible on trouve ainsi un foncteur pl. fid. covariant \begin{array}{ccc} \mathcal{C} \hookrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}^{\circ}, \mathit{Ab}_k^{\bullet}) & \xrightarrow{\ \sim\ } & \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}, \mathit{Ab}_k^{\circ})^{\circ} \\ \downarrow{\scriptstyle \wr} & & \downarrow{\scriptstyle \wr} \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}^{\circ}, \mathit{Ab}_k^{\bullet}) & \xrightarrow{\ \sim\ } & \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}, \mathit{Ab}_k^{\circ})^{\circ} \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \wr} \\ \lbrace \mathit{Ab}_k^{*} \rbrace^{\circ} & & (\mathit{Ab}_k^{\circ *})^{\circ} \end{array} en bas à gauche, après \lbrace \mathit{Ab}_k^{*} \rbrace^{\circ}, une identification \simeq (\mathit{Ab}_k \ldots)^{\circ} est biffée de hachures ; les exposants de ce coin sont surchargés d'étoiles on trouve un foncteur pl. fid. \mathcal{C}^{\circ} \xhookrightarrow{\ \beta^{\bullet}\ } \mathit{Ab}_{k*} l'étiquette \beta^{\bullet} est écrite sur un premier symbole biffé

On trouve ici que \beta_{\bullet}(\mathbb{C}^i) = \bigl( \cdots 0 \to \cdots 0 \to \underset{i-1}{k} \to \underset{i}{k} \to 0 \to \cdots \to 0 \bigr) \quad \text{pour } i \geqslant 1 un premier symbole après le signe = est biffé ; les deux indices au-dessus des k sont récrits à l'encre plus foncée et se lisent mal : « i-1 », « i » ou « i+1 » \beta_{\bullet}(C^0) = \bigl( 0 \to \underset{\text{degré } 0}{k} \to 0 \bigr) la parenthèse commençait par un k, biffé ; sous ce k, « degré 0 » est lui aussi biffé et reporté sous le second et \beta_{\bullet}(d^i) : C^i_{\bullet} \xrightarrow{\ d^i_{\bullet}\ } C^{i+1}_{\bullet} est donné par (d^{i+1}_{i}) = \mathrm{id}_k \qquad i \geqslant \uncertain{0} les indices de d sont surchargés ; la condition se lit « i \geqslant 10 », sans doute « i \geqslant 0 » ; au-dessous, une ligne commençant par d et finissant par « i = 0 » est biffée

~~On donne ainsi la cat. (des ) de chaînes qui comme possibilité de construction d'un exemple de (\mathcal{C}, (\mathbb{C}^{\bullet})).~~ ce paragraphe est annulé par de longs traits obliques Ceci n'est pas bon l'irrégularité i \geqslant 0 note oblique de la marge gauche, en face du passage annulé, lue en partie ; plus bas dans la même marge, deux mots, peut-être « pour plus tard »

Passage de l'exemple 1 à l'exemple 2

Considérons le foncteur M \longmapsto \check{M}, \qquad \mathit{Ab}_k^{\circ} \longrightarrow \mathit{Ab}_k qui induit une équivalence de la catégorie des k-modules libres de t.f. avec elle-même. « k- » est ajouté au-dessus de « modules »

Cela donne aussi une équivalence entre les cat. de complexes de chaînes et de cochaînes libres de t.f., et aussi celles où les Z^{\bullet} (et Z^i) sont libres de t.f., et ~~une cat. finie.~~ On a donc \alpha^{\bullet}_{\bullet}(\mathbb{K}) \overset{\text{dual}}{=} \alpha_{\bullet}(x)^{\vee} , un diagramme d'équivalences ce passage est surchargé de biffures horizontales ; seules les formules et quelques mots se lisent

\begin{tikzcd} \mathcal{C} \arrow[r, "\alpha_{\bullet}\ \approx"] \arrow[d, "(\alpha^{\bullet})^{\circ}\ \wr"'] & \mathbb{K}_{\bullet} \\ \mathbb{K}^{\bullet \circ} \arrow[ur, no head, "\approx\ \vee"'] & \end{tikzcd}

un \mathbb{K}_{\bullet} isolé, à l'encre foncée, est écrit à gauche de \mathcal{C} ; la diagonale entre \mathbb{K}^{\bullet\circ} et \mathbb{K}_{\bullet}, marquée \approx et \vee, n'a pas de pointe visible

~~Il de définir une~~ ~~Restriction à \mathcal{A} de qui est trivial.~~ ces deux lignes sont barrées et en partie encadrées

Explications quand

donc \alpha_n(x) \simeq \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n-1}, x) si n \geqslant 1, et les hom \alpha_n(x) \to \alpha_{n-1}(x) pour n \geqslant 2 sont donnés par transposition de \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^n. Mais \alpha_0(x) \simeq \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^0)^{\vee} et \alpha_1(x) \to \alpha_0(x) donné par \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, x) \to \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^0)^{\vee} qu'on devine. note écrite verticalement le long de la marge gauche, dans un cadre qui la sépare de « Explications » et de la Prop. 2 ; l'indice du second \alpha (« n-1 » ou « n+1 ») n'est pas sûr

Prop 2 On a une dualité parfaite fonctorielle en M \in \operatorname{Ob} \mathbb{K} (n \geqslant 0 fixé) \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n}, x) \times \operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{n+1}) & \longrightarrow & \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^{n}, \mathbb{C}^{n+1}) \simeq k \\ (u, v) & \longmapsto & vu \end{array} au-dessus, une première ligne, \alpha_n(M)_{\bullet} \times \alpha^n(M) \to k, est biffée ; les exposants des \mathbb{C} de la seconde ligne sont petits et incertains

Revenant à la prop. 1. Soit C^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet} un complexe de cochaînes de \mathcal{B}, comment reconstituer le foncteur k-lin. F_{C^{\bullet}} : \mathbb{K} \longrightarrow \mathcal{B} i.e. comment « calculer » F_{C}(x) pour x \in \operatorname{Ob} \mathbb{K} ? Il faut qu'on dise comment on « repère » x, disons par \alpha^{\bullet}(x) \in \mathit{Ab}_k^{\bullet}. Ceci dit, on trouve « \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet} » est ajouté au-dessus de « un complexe », avec une accolade. La lettre de la catégorie source, ici et page 42 (« M \in \operatorname{Ob} \mathbb{K} »), est un K à haste doublée ou bouclée, transcrit \mathbb{K} ; elle tient la place de la catégorie notée \mathcal{C} page 41

Prop. 3 On a un isom. bifonctoriel en F, x (x \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}, F \in \operatorname{Ob} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{C}, \mathcal{B})) F(x) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), F(\mathbb{C}^{\bullet})) = \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), \mathcal{C}^{\bullet}_F), dans la parenthèse, un premier \mathcal{B} est biffé avant « Ob » ; le x de « x \in » n'est pas sûr. Le second membre est écrit sous le premier, relié par un signe = vertical [où on définit, pour un K^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathit{Ab}_k^{\bullet} et \mathcal{C}^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}, l'objet \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(K^{\bullet}, \mathcal{C}^{\bullet}) de \mathcal{B} (s'il existe) par l'isom. fonctoriel en b \in \operatorname{Ob} \mathcal{B} \operatorname{Hom}(b, \operatorname{Hom}^{\bullet}(K^{\bullet}, \mathcal{C}^{\bullet})) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}^{\bullet}}(b \otimes_k K^{\bullet}; C^{\bullet}) ; si les K^i sont libres de type fini, b \otimes_k K^{\bullet} est bien défini, donc b \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}^{\bullet}}(b \otimes_k K^{\bullet}; \mathbb{C}^{\bullet}) l'est, et la question est si ce foncteur est représentable ; il se trouve qu'il l'est si K^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}^{\bullet}. sous « K^{\bullet} », un mot biffé (« ») ; dans « \in \operatorname{Ob} », un premier \mathit{Ab}_k est biffé et remplacé par \mathbb{K}^{\bullet} [Mais de façon générale, c'est le sous-foncteur de \prod_i \operatorname{Hom}_k(K^i, C^i) (\in \operatorname{Ob} \mathcal{B}) noyau de \prod_i \operatorname{Hom}_k(K^i, C^i) \xrightarrow{\ \delta\ } \prod_i \operatorname{Hom}_k(K^i, C^{i+1}) (\delta(u^i) = du^i - u^{i+1}d) qui ~~est représ.~~ si \mathcal{B} stable par Ker, si les \operatorname{Hom}_k(K^i, C^i) sont repr. (p. ex. K^i de prés. finie) et les deux la flèche \delta est doublée d'un second trait, comme un couple de flèches ; « stable par Ker » est écrit au-dessus d'un mot souligné qu'il remplace avant Prop. 3 note de la marge gauche, séparée du texte par un trait vertical, en face de « de façon générale »

produits \prod_i aussi — ce qui est automatique si les K^i sont nuls sauf un nb fini…]

~~Comme le foncteur \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(K^{\bullet}, \mathcal{C}^{\bullet}) (\mathcal{B}^{\circ} \to (\mathit{Ab})) dépend de façon additive des K^i, sa représentabilité pour K^{\bullet}~~ passage encadré et barré de traits obliques ; il s'interrompt sans conclure

Définissons un hom dans \widehat{\mathcal{B}} (1) \qquad F(x) \longrightarrow \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), C^{\bullet}_F) = \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\alpha^{\bullet}(x), F(\mathbb{C}^{\bullet})) i.e. un hom dans \mathcal{B}^{\bullet} (1') \qquad F(x) \otimes \alpha^{\bullet}(x) \longrightarrow C^{\bullet} = F(\mathbb{C}^{\bullet}) F et \alpha^{\bullet} sont récrits à l'encre foncée sur une première lettre. Une accolade sous F(x) \otimes \alpha^{\bullet}(x) renvoie à un mot écrit dessous, « repère », suivi d'un signe = vertical qui mène à la ligne suivante rep. car les \alpha^i(x) sont libres de t. f. (1'') \qquad \underset{\in \mathcal{B}}{F(x)} \otimes \underset{\in \mathit{Ab}_k^{\bullet}}{\operatorname{Hom}(x, \mathbb{C}^{\bullet})} \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } F(\mathbb{C}^{\bullet}) qui provient de l'hom fonctoriel en x, C \in \operatorname{Ob} \mathbb{K} F(x) \otimes \operatorname{Hom}(x, C) \longrightarrow F(C) Comme (1''), donc (1) est fonctoriel en x, et les deux membres sont des foncteurs additifs en x, pour prouver que (1) est un iso, \forall F, il suffit de le voir pour x de la forme \mathbb{C}^i. Or alors (2) \qquad F(\mathbb{C}^i) \longrightarrow \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, F(\mathbb{C}^{\bullet})) dans le second argument, un premier symbole est biffé devant F et on a évidemment \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, \underset{\in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet}}{\mathcal{C}^{\bullet}}) \simeq C^i et on voit de suite que est , évidemment, cqfd.

Ex 3 La théorie de Dold-Puppe nous donne ~~équivalences de catégories~~ équivalence de catégories (pour toute catégorie additive foncteurs directs) \mathcal{B}_{\bullet} \underset{\mathrm{DP}^{*}}{\overset{\mathrm{ND}_{\bullet}}{\rightleftarrows}} \mathcal{B}_{*} \qquad \text{donc aussi (en appliquant à } \mathcal{B}^{\circ}\text{)} \qquad \mathcal{B}^{\bullet} \underset{\mathrm{DP}_{*}}{\overset{\mathrm{ND}^{\bullet}}{\rightleftarrows}} \mathcal{B}^{*} les deux paires sont écrites \approx avec une flèche \mathrm{DP} vers la droite et une flèche courbe \mathrm{ND} revenant vers la gauche ; une première écriture, \mathit{Ab}_k^{\bullet} \simeq \mathit{Ab}_k \ldots, est biffée de zigzags en tête de la ligne en particulier \mathit{Ab}_{k\bullet} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathit{Ab}_{k*}, \qquad \mathit{Ab}_k^{\bullet} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathit{Ab}_k^{*} NB le foncteur DP (additives karoubiennes) \mathrm{ND} = normalisé ; \mathrm{DP} = Dold-Puppe avec foncteurs additifs trois notes obliques dans la marge gauche, en face de ces lignes ; une ligne relie la dernière au \mathcal{B}_{\bullet} de la formule

~~Il est~~

l'image essentielle de \mathbb{K}^{\bullet} et \mathbb{K}_{\bullet} par deux foncteurs notées \mathbb{K}_{*} et \mathbb{K}^{*}. On a donc un diagramme d'équivalences canoniques \mathbb{K} K(k) \circ^{*} note oblique de la marge gauche, presque entièrement illisible. Au-dessous, un premier diagramme — \mathbb{K}_{\bullet} \rightleftarrows \mathit{Ab}_{k*} marqué \mathrm{ND}, \mathrm{DP}, au-dessus de \mathit{Ab}_k^{\bullet} \rightleftarrows \mathit{Ab}_k^{*} — est annulé par de longs traits en boucle

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathbb{K}_{\bullet} \arrow[rr, bend left=10, "\mathrm{DP}^{*}"] \arrow[dd, leftrightarrow, "\vee\ \circ"'] & & \mathbb{K}_{*} \arrow[ll, bend left=10, "\mathrm{ND}_{\bullet}"'] \arrow[dd, leftrightarrow, "\vee\ \circ"] \\ & \mathbb{K} \arrow[ul, "\alpha_{\bullet}"] \arrow[ur, "\alpha_{*}"'] \arrow[dl, "\alpha^{\bullet}\ \circ"] \arrow[dr, "\alpha^{*}\ \circ"'] & \\ \mathbb{K}^{\bullet} \arrow[rr, bend right=10, "\mathrm{DP}^{*}_{\bullet}"'] & & \mathbb{K}^{*} \arrow[ll, bend right=10, "\mathrm{ND}^{\bullet}"] \end{tikzcd}

les étiquettes \mathrm{ND} sont au-dessus des flèches vers la gauche, les \mathrm{DP} au-dessous des flèches vers la droite ; sur chaque flèche verticale, marquée \vee, le petit rond est surchargé d'un trait horizontal, et les flèches \alpha^{\bullet}, \alpha^{*} portent aussi un petit rond

où les flèches marquées d'un signe \circ sont des foncteurs contravariants.

Convention d'écriture. Pour un objet C de \mathbb{K}, on note C_{\bullet}, C_{*}, C^{\bullet}, C^{*} les objets correspondants obtenus en \alpha_{\bullet}, \alpha_{*}, \alpha^{\bullet}, \alpha^{*}, et ses composantes C_n, C_{[n]}, C^n, C^{[n]} (attention : [\ ] en \mathbb{C}^{\bullet}_{\bullet}, \mathbb{C}_{*}, \mathbb{C}^{\bullet}, \mathbb{C}^{*}, \mathbb{C}^{\bullet}) longue note de la marge gauche, à côté du diagramme, séparée du texte par un trait vertical ; la fin de la liste de symboles n'est pas sûre

On a

Proposition 4 On a compatibles

Bien compris que

\alpha_{*}(\mathbb{C}^i) \simeq \mathrm{DP}(C^{i}_{\bullet}) \simeq \overset{i+1}{\Lambda} \Phi_{*} (d'où \alpha^{*}(\mathbb{C}^i) \simeq \mathrm{DP}(C^{\bullet}_{i}) \simeq \overset{i+1}{\Lambda} \check{\Phi}_{*} \ ) la page 45 s'achève sur « Bien compris que », qui introduit ces formules ; la place des indices de C (en haut ou en bas) n'est pas sûre

~~L'iso défini entre les \alpha_{\bullet}(\mathbb{C}^i) et T_{*}\Lambda les foncteurs \mathrm{ND} : \mathbb{K}_{*} \to \mathbb{K}_{\bullet} donné de \overset{i+1}{\Lambda} \Phi_{*}~~ ~~Par suite~~ ~~Cor. 1 Les foncteurs \mathrm{DP} : \mathit{Ab}_{k\bullet} \to \mathit{Ab}_{k*}~~ ce passage, écrit en partie entre les lignes, est barré et encadré

Appliquant la théorie de Dold-Puppe à \mathcal{B} (qui est bien additive et karoubienne pourvu que ses sommes directes, du moins pour les k en particulier, k sont…, k = \mathbb{Z}), on trouve dans \mathbb{K} un complexe plusieurs mots de ces lignes sont barrés de traits obliques \struck{\ill{}} \qquad \mathbb{C}^{*} = \mathrm{DP}(\mathbb{C}^{\bullet}) ~~(qui est dans , pour~~ défini dans K(k) quel que soit k), d'où pour toute \mathcal{B} k-additive

\begin{tikzcd} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) \arrow[d, "\wr\ \mathrm{restr}"'] \arrow[ddr, bend left=20, "F \mapsto F(\mathbb{C}^{*})"] & \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{A}, \mathcal{B}) \arrow[d, "\wr\ F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet})"'] & \\ \mathcal{B}^{\bullet} \arrow[r, hook, "\mathrm{DP}"] & \mathcal{B}^{*} \end{tikzcd}

le \mathcal{A} du deuxième \underline{\operatorname{Hom}} est surchargé

donc un foncteur F \mapsto F(\mathbb{C}^{*}) qui est pl. fid.

Si \mathcal{B} est karoubienne, \mathrm{DP}_{\mathcal{B}} est une équivalence, donc aussi F \mapsto F(\mathbb{C}^{*}). Donc

un objet simplicial universel \mathbb{C}^{*} covariant dans cat. k-additive karoubienne

Prop 5 Si \mathcal{B} est k-additive karoubienne, alors F \mapsto F(\mathbb{C}^{*}) est une équivalence \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) \longrightarrow \mathcal{B}^{*} On a un isom. canonique bifonctoriel en F \in \operatorname{Ob} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B}) et x \in \operatorname{Ob} \mathbb{K} « bifonctoriel » est écrit au-dessus d'un mot biffé

Il y a une construction universelle \mathcal{C}, \mathcal{C}^{\bullet}, \mathcal{C} « \mathcal{C}^{*} » \mathbb{K} note oblique, en plusieurs lignes, dans l'angle supérieur gauche ; un point d'exclamation dans la marge en face de la fin du premier paragraphe Soit \mathcal{P}_{\bullet} la catégorie des complexes de ch-chaînes L_{\bullet} de \mathcal{C} qui sont libres de t.f. en chaque dim., et qui n'ont qu'un nb fini de composantes non nulles. Une suite 0 \to L'_{\bullet} \to L_{\bullet} \to L''_{\bullet} \to 0 d'homs dans \mathcal{P}_{\bullet} est dit exact spécial, si \forall n \geqslant 0, la suite 0 \to L'_n \to L_n \to L''_n \to 0 \longrightarrow est exacte. Soit \Sigma_{\bullet} la classe de ces suites. Ainsi \mathcal{P}_{\bullet} est muni de \mathbb{C}^{\bullet} (complexe de cochaînes) et de \Sigma_{\bullet}. On va voir que \mathcal{P}_{\bullet}, muni de ces données, il est sol. d'un pb universel.

~~Soit~~ Soit \mathcal{B} une cat. additive. Un ens. \Sigma de suites (*) \qquad 0 \to A' \xrightarrow{\ q\ } A \xrightarrow{\ p\ } A'' \to 0 dans \mathcal{B} est dit « une classe de suites exactes » si elle satisfait aux conditions

Sex 1) Si (*) \in \Sigma, alors A' \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker} p, \operatorname{Coker} q \xrightarrow{\ \sim\ } A'', i.e. les suites 0 \to A' \to A \to A'' et A' \to A \to A'' \to 0 sont exactes (i.e. \forall B \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}, les suites de groupes \left\lbrace \begin{array}{l} 0 \to \operatorname{Hom}(B, A') \to \operatorname{Hom}(B, A) \to \operatorname{Hom}(B, A'') \\ 0 \to \operatorname{Hom}(A'', B) \to \operatorname{Hom}(A, B) \to \operatorname{Hom}(A', B) \end{array} \right. sont exactes).

Sex 2) \Sigma est stable par isos, par sommes finies, et contient les suites de la forme 0 \to A \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } A \to 0 \to 0, \qquad 0 \to 0 \to A \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } A \to 0 (donc aussi les suites de la forme 0 \to A \xrightarrow{\ i_1\ } A \oplus B \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_2\ } B \to 0). les étiquettes i_1 et \mathrm{pr}_2 se lisent « i_1 », « \mathrm{pr}. »

Un \Sigma-monomorphisme (resp. ) A \to B de \mathcal{B} est un morphisme qui s'insère dans une suite \in \Sigma 0 \to A \to B \to K \to 0 \qquad (\text{resp.\ } 0 \to P \to A \to B \to 0) Un morphisme A \to B est dit \Sigma-~~strict~~strict, s'il a un objet Image \xrightarrow{\ \sim\ } , noyau P et un conoyau Q, et si P \to A est un \Sigma-mono (\Sigma-épi), il revient au de dire qu'il y a la définition est surchargée : « strict » est biffé et « \Sigma- » ajouté au-dessus ; une ligne interlinéaire, en partie biffée, porte « objet Image \xrightarrow{\sim} » ; l'objet au-dessus de « A \to B » est ajouté des suites \in \Sigma 0 \to P \to A \to R \to 0, \qquad 0 \to R \to B \to Q \to 0 telles que A \to B soit le composé A \to R \to B. (Il faut peut-être exiger qu'un composé de \Sigma-monos (resp. \Sigma-épis) en soit itou.) définir \Sigma deux notes obliques de la marge gauche, en face du début de la page, presque illisibles

On définit de façon évidente les \Sigma-projectifs objets et \Sigma-injectifs. Un ~~suite dit complexe de cochaînes ()~~ ~~C^{i-1} \to C^i \to C^{i+1} est dit spécial~~ A \xrightarrow{\ u\ } B \xrightarrow{\ v\ } C est dite \Sigma-spéciale si elle ~~des suites (de \Sigma) vu = 0,~~ suites exactes \in \Sigma \begin{array}{l} 0 \to \operatorname{Ker} u \to A \to \operatorname{Coim} u \to 0 \\ \qquad\qquad \operatorname{Coim} u \simeq \operatorname{Im} u \\ \qquad 0 \to \operatorname{Im} u \to \operatorname{Ker} v \to H \to 0 \\ \qquad\qquad\qquad 0 \to \operatorname{Ker} v \to B \to \operatorname{Coim} v \to 0 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \operatorname{Coim} v \simeq \operatorname{Im} v \\ \qquad\qquad\qquad 0 \to \operatorname{Im} v \to C \to \operatorname{Coker} v \to 0 \end{array} les quatre suites sont disposées en escalier, reliées par des signes \simeq verticaux (\operatorname{Coim} u \simeq \operatorname{Im} u, \operatorname{Ker} v de la deuxième et de la troisième, \operatorname{Coim} v \simeq \operatorname{Im} v) ; la dernière suite, en bout de ligne, est surchargée et en partie coupée par le bord

(c'est une notion auto-duale) On dit qu'un complexe C^{\bullet} de \mathcal{B} est \Sigma-spécial si , \Sigma-acyclique si les H^i(C^{\bullet}) sont nuls ; une \Sigma-résolution d' est un complexe de cochaînes (C^i = 0 si i < 0) et H^i = 0 pour i \geqslant 0 la fin de la page est d'écriture très pâle ; le dernier « i \geqslant 0 » est surchargé d'une tache

un grand « 1 », au crayon, dans la marge gauche en haut du feuillet ; il n'est pas clair qu'il numérote une suite Il faudrait prouver le

Th Soit \mathcal{B} une cat. ~~additive~~ k-additive où tout projecteur a un noyau, \Sigma une famille \Sigma de suites exactes, soit i.e. \mathcal{B} cat. exacte \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) la k-catégorie des foncteurs « \Sigma-exacts » \Sigma les suites exactes la parenthèse « où tout projecteur a un noyau » et « i.e. \mathcal{B} cat. exacte » sont écrits au-dessus de la ligne ; la note, reliée par un trait, est à droite \underline{\operatorname{Hom}}_k(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) formée des i.e. transformant suites de \Sigma_{\bullet} en suites de \Sigma, ~~Considérons le foncteur restriction~~ ~~Soit \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) la sous-catégorie pleine~~ \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) la sous-catégorie pleine de celle formée des foncteurs qui ~~transforment en \Sigma-~~ commutent aux \Sigma-noyaux.

a) Le foncteur restriction F \longmapsto F(\mathbb{C}^{\bullet}) \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \hookrightarrow \mathcal{B}^{\bullet} après la flèche, un premier but, \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathbb{K}, \mathcal{B}), est biffé de hachures ; \mathcal{B}^{\bullet} est écrit à sa suite ~~est une équivalence de catégories~~ est pleinement fidèle, ~~foncteurs~~ ( son image essentielle est formée des C^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet} tels que les dd^i : C^i \to C^{i+1} admettent des \Sigma-noyaux, qui [ un prend les noyaux impliquent les foncteurs \Sigma-exacts \mathcal{G}.] la parenthèse et le crochet sont d'écriture très pâle ; une accolade verticale à gauche les relie à une note oblique de la marge, illisible

b) Le foncteur restriction F \longmapsto F(\mathbb{C}^{\bullet}) \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-}\Sigma\text{ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \hookrightarrow \mathcal{B}^{\bullet} (qui est pl. fid. par a)) a comme image essentielle la catégorie des C^{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{B}^{\bullet} qui sont des \Sigma-résolutions (i.e. \Sigma-spéciaux de cochaînes avec H^i(C^{\bullet}) = 0 si i > 0). [donc le triple (\mathcal{P}_{\bullet}, \mathbb{C}^{\bullet}, \Sigma_{\bullet}) pouvait comme universel parmi les (\mathcal{B}, C^{\bullet}, \Sigma) tels que C^{\bullet} soit construite une \Sigma-résolution, — les le crochet final, entouré d'un trait, est barré de deux longs traits obliques ; il se poursuit en bas de la page, d'écriture pâle

toute la page est barrée d'un long trait oblique au crayon, qui descend du haut vers le bas en s'incurvant foncteurs admissibles itou maintenant les foncteurs \Sigma-exacts…)

Indications sur dém.

Dans \mathcal{P}_{\bullet}, il est évident que \mathbb{C}^{\bullet} est une \Sigma_{\bullet}-~~spéciale~~ résolution. De façon précise, si \to \Psi^{i}_{\bullet} = \struck{H^i(C^{\bullet})} \ k[i] \quad \text{placé en degré } i, on voit que \to 0 des suites \in \Sigma. 0 \to \Psi^0_{\bullet} \to C^0_{\bullet} \to \Psi^1_{\bullet} \to 0 0 \to \Psi^1_{\bullet} \to C^1_{\bullet} \to \Psi^2_{\bullet} \to 0 0 \to \Psi^2_{\bullet} \to C^2_{\bullet} \to \Psi^3_{\bullet} \to \cdots après le signe =, une première écriture, H^i(C^{\bullet}), est biffée de hachures ; la lecture « k[i] » de ce qui suit n'est pas sûre

De plus, on voit que pour L_{\bullet} \in \operatorname{Ob} \mathcal{P}_{\bullet}, L_{\bullet} peut s'écrire comme extension successive d'objets de la forme (\Psi^i_{\bullet})^{f_i} pour la filtration canonique \operatorname{Fil}_i(L_{\bullet})_j = \left\lbrace \begin{array}{ll} L_j & \text{si } j \leqslant i \\ 0 & \text{si } j > i \end{array} \right. l'exposant f_i est surmonté d'un trait : sans doute le rang de L_i on a un isom. canon. \struck{\operatorname{Fil}} \operatorname{Gr}_i(L_{\bullet}) \simeq L_i \ \text{placé en degré } i \ \underset{\mathrm{can}}{\simeq} \ \Psi^i_{\bullet} \otimes L_i \ \underset{\text{non can}}{\simeq} \ (\Psi^i_{\bullet})^{f_i}

Enfin, les C^i_{\bullet} sont \Sigma-projectifs.

Soit \mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-sex}} (resp. \mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-ex}}) la sous-catégorie pleine de \mathcal{B}^{\bullet} décrite dans a) (resp. b)). On va définir des foncteurs \begin{array}{ccc} \mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-sex}} & \longrightarrow & \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \\ \cup & & \cup \\ \mathcal{B}^{\bullet}_{\Sigma\text{-ex}} & \longrightarrow & \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \end{array} (le premier induisant le deuxième) l'indice « \Sigma-sex » est surchargé aux deux premières occurrences ; les inclusions verticales sont écrites comme des \cup couchés

~~Soit \mathcal{B} \supset \mathbb{K} une sous-catégorie k-additive.~~ \begin{array}{ccc} \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) & \underset{\sigma}{\overset{\rho}{\rightleftarrows}} & \mathcal{B}^{\bullet} \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \widehat{\mathcal{B}}) & & \\ \downarrow & \nwarrow{\scriptstyle \sigma} & \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) & \xrightarrow{\ \rho\ } & \mathcal{B}^{\bullet} \end{array} \qquad \text{$\mathcal{B}$ cat.\ additive avec $\Sigma$ classe de suites exactes et $\Sigma$-noyaux} ce premier diagramme est barré de trois longs traits obliques ; la flèche \sigma oblique part de \mathcal{B}^{\bullet} en bas à droite vers le \underline{\operatorname{Hom}} du milieu. Dans la marge gauche, en face, un signe biffé

\mathcal{B} catégorie additive, ~~avec classe \Sigma de suites exactes noyaux de flèches~~, où les admettent des \Sigma-noyaux Non, il faut condition de platitude ? note au crayon, d'une autre main ou d'un autre moment, écrite en travers à droite du diagramme suivant \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \underset{\sigma}{\overset{\rho}{\rightleftarrows}} \mathcal{B}^{\bullet} l'indice de \underline{\operatorname{Hom}} est surchargé ; sous la flèche \sigma, un mot vertical, peut-être « adj » cat. des foncteurs k-lin. F : \mathcal{P}_{\bullet} \to \mathcal{B} qui transforment suites \in \Sigma_{\bullet} en suites exactes à g \left\lbrace \begin{array}{l} \rho(F) = F(\mathbb{C}^{\bullet}) \\ \sigma(C^{\bullet})(L_{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\check{L}_{\bullet}, C^{\bullet}) \end{array} \right. à la suite de la seconde ligne, reliée par une flèche, une variante \operatorname{Hom}_k(\operatorname{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{C}^{\bullet}), C^{\bullet}) ; sous la ligne, reliée par une accolade : « définie grâce à l'existence des \Sigma-noyaux »

Formule d'adjonction \operatorname{Hom}(\rho(F), C^{\bullet}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(F, \sigma(C^{\bullet})) \operatorname{Hom}(\rho(F), C^{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}(F(\mathbb{C}^{\bullet}), C^{\bullet}) le second isomorphisme est écrit sous le premier membre, relié par un \simeq vertical

Le deuxième membre est formé des homs fonctoriels en L_{\bullet} F(L_{\bullet}) \longrightarrow \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\check{L}_{\bullet}, C^{\bullet}) i.e. des homs « fonctoriels en L_{\bullet} » \check{L}^{\bullet} \otimes_k F(L_{\bullet}) \longrightarrow C^{\bullet} au-dessus de \check{L}_{\bullet} dans le texte, un « L^{\bullet} » ajouté en encre foncée ; dans la formule, le signe \otimes_k est surchargé d'un trait courbe Or on a L^i \simeq \operatorname{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{C}^i) F(L) \otimes L^i \simeq \operatorname{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{C}^i) \otimes F(L_{\bullet}) \longrightarrow F(\mathbb{C}^i) après L^i, un premier « \otimes F(L_{\bullet}) » est biffé de hachures ; au-dessus de la flèche finale, le mot « tout » et on trouve que ainsi « ~~fonctorielle~~ » compatible composé effectivement en L^{\bullet} et C^{\bullet}, et « fonctoriel »

en L_{\bullet} », ce qui donne si on veut F \xrightarrow{\ u\ } \sigma\rho F hom fonctoriel en F, i.e. un hom l'adjonction pour elle \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\rho F, C^{\bullet}) & \longrightarrow & \operatorname{Hom}(F, \sigma C^{\bullet}) \\ & \searrow & \nearrow{\scriptstyle \alpha \mapsto \alpha \circ u} \\ & & \operatorname{Hom}(\sigma\rho F, \sigma C^{\bullet}) \end{array} la flèche descendante est en pointillé à prouver que c'est un iso — vérification facile.

L'hom dans \rho\sigma C^{\bullet} \longrightarrow C^{\bullet} est un iso, i.e. \sigma est pl. fid. En effet, \rho(\sigma(C^{\bullet})) = \sigma(C^{\bullet})(\mathbb{C}^{\bullet}) = \bigl(\underbrace{\sigma(C^{\bullet})(\mathbb{C}^i)}_{\operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i,\, C^{\bullet}) \,=\, C^i}\bigr)_i \simeq (C^i)_i \quad \text{ok.} sous l'accolade, \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, C^{\bullet}) est écrit au-dessus d'un \| vertical qui mène à C^i

Ainsi on a un pl. fidèle \mathcal{B}^{\bullet} \xhookrightarrow{\ \sigma\ } \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}} \subset \underline{\operatorname{Hom}}_{k\text{-lin}} où \Sigma-sex désigne les foncteurs qui transforment suites de \Sigma en suites exactes à g.

Quelle est l'image essentielle de \mathcal{B}^{\bullet} ? (On donnera des exemples tantôt de foncteurs dans l'image ou non) est-ce tout \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}} ? Elle sont formée des F tels que F \xrightarrow{\ u\ } \sigma\rho(F) soit un iso. Or on a

F(\mathbb{C}^i_{\bullet}) \to \sigma(\rho(F))(\mathbb{C}^i_{\bullet}) = \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\mathbb{C}^{\bullet}_i, \underset{= F(\mathbb{C}^{\bullet})}{\rho(F)}) \simeq F(\mathbb{C}^i_{\bullet}) \begin{aligned} F(\Psi^i_{\bullet}) \to \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(\Psi^{\bullet}_i, F(\mathbb{C}^{\bullet})) &\simeq Z^i(F(\mathbb{C}^{\bullet})) \\ &\simeq \operatorname{Ker}(F(\mathbb{C}^i_{\bullet}) \to F(\mathbb{C}^{i+1}_{\bullet})) \\ &\simeq F(\underbrace{\operatorname{Ker}(\mathbb{C}^i \to \mathbb{C}^{i+1})}_{\Sigma\text{-Ker}\,!}) \simeq F(\Psi^i_{\bullet}) \end{aligned} le dernier signe, devant F(\Psi^i_{\bullet}), est un \doteq ; l'exposant de \Psi dans \operatorname{Hom}^{\bullet}_k est surchargé

Donc on voit que u(L_{\bullet}) : F(L_{\bullet}) \to \sigma\rho(F)(L_{\bullet}) est un iso, non seulement pour les \mathbb{C}^i et les \Psi^i_{\bullet} de , mais pour la la cat. additive \mathcal{P}_{\bullet} \supset \mathbb{K} des sommes ensemble (i.e. dans les sommes à l'intervalle [p, q] de tels.) \mathcal{P}_{\bullet} engendrée par les L_{\bullet}, par la longueur d'un L_{\bullet}, tel que L_i = 0 si i \notin [p, q]. (L_{\bullet} somme \simeq (\Psi^i_{\bullet})^{n_i}), on fait récurrence sur n si n = 0, n > 0 et soit que fait pour n - 1. ce paragraphe est d'une écriture rapide et interlinéaire ; « \simeq (\Psi^i_{\bullet})^{n_i} » est souligné et surchargé ; seules les formules sont sûres \left. \begin{array}{c} \cdots \to 0 \to L_p \xrightarrow{\ \mathrm{id}\ } L_p \to 0 \\ \uparrow{\scriptstyle d_{p+1}} \qquad \uparrow{\scriptstyle d_p} \\ \cdots \to L_{p+n} \to L_{p+n-1} \to \cdots \to L_{p+1} \to L_p \to 0 \to 0 \end{array} \right\rbrace \qquad \begin{array}{c} (\mathbb{C}^{p}_{\bullet})^{r} \\ \uparrow \\ L_{\bullet} \end{array} sous la ligne du bas, une accolade embrasse L_{p+n}, \ldots, L_{p+1}, marquée « tronqué L' ! » ; l'exposant de (\mathbb{C}^p_{\bullet}) est surchargé. Dans la ligne du bas, la flèche vers L_{p+1} est tracée en pointillé dans de suites exactes (où L_p \simeq k^r) \begin{array}{ccccccccc} 0 \to & (\Psi^p_{\bullet})^r & \to & L_{\bullet} & \longrightarrow & L'_{\bullet} & \to 0 \\ & \| & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 \to & (\Psi^p_{\bullet})^r & \to & (\mathbb{C}^p_{\bullet})^r & \longrightarrow & (\Psi^{p+1}_{\bullet})^r & \to 0 \end{array} qui exprime L_{\bullet} comme produit fibré de L'_{\bullet} et (\mathbb{C}^p_{\bullet})^r sur (\Psi^{p+1}_{\bullet})^r (i.e. comme noyau d'un hom \Sigma-épi (\mathbb{C}^p_{\bullet})^r \times L'_{\bullet} \to (\Psi^{p+1}_{\bullet})^r). Donc on conclut par le premier terme de la ligne du haut s'écrit « (\Psi^p_{\bullet})^r » ; la dernière flèche du diagramme part d'un L'_{\bullet} surchargé

l'hyp. de récurrence. Ceci donne donc \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathcal{B}^{\bullet} (si \mathcal{B} ~~catégorie~~ classe \Sigma de suites exactes telles que tout morphisme de \mathcal{B} admette un \Sigma-noyau)

NB Si on suppose ~~seulement que \mathcal{B} admette~~ ~~\Sigma de suites exactes,~~ pour dire que tout morphisme de \mathcal{B}^{\bullet} admette un noyau, l'argument donne encore tout seulement que le foncteur évident F \mapsto F(\mathbb{C}^{\bullet}) \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \mathcal{B}) \xrightarrow[\rho]{\ \approx\ } \mathcal{B}^{\bullet} est pl. fid. (ayant adjoint \sigma comme dessus, mais à valeurs dans \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}(\mathcal{P}_{\bullet}, \widehat{\mathcal{B}}) ; on a néanmoins \sigma\rho \simeq \mathrm{id} i.e. « seulement que \mathcal{B} admette » et la ligne suivante sont barrés ; l'indice du dernier \underline{\operatorname{Hom}} est surchargé F(L_{\bullet}) \simeq \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(L^{\bullet}, \underbrace{F(\mathbb{C}^{\bullet})}_{= C^{\bullet}}) pour F \in \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}.un premier « F(L_{\bullet}) \simeq » est biffé en tête de la formule

Re NB On vérifie facilement, sous les conditions de NB, que si F \mapsto C^{\bullet} = F(\mathbb{C}^{\bullet}) se correspondent (F \in \operatorname{Ob} \underline{\operatorname{Hom}}_{k, \Sigma\text{-sex}}), alors F est \Sigma-exact ssi C^{\bullet} est une \Sigma-résolution. (des noyaux si \mathcal{B} est cat. abélienne avec \Sigma les suites exactes…)

Ex Soit \lambda_{\bullet} \in \mathit{Ab}_{k\bullet}, considérons \mathcal{P}_{\bullet} \to \mathit{Ab}_k, foncteur L_{\bullet} \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathit{Ab}_{k\bullet}}(\lambda_{\bullet}, L_{\bullet}), (il est \Sigma-exact à g (et même exact à g)) — on fait le \mathcal{P}_{\bullet} est récrit sur un premier symbole ; le « exact à g » final est souligné. Sous la dernière ligne, à droite, quatre lettres majuscules, peut-être « TSVP », dans un cadre ouvert

la vérification de la formule \operatorname{Hom}_{\bullet}(\lambda_{\bullet}, L_{\bullet}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(L^{\bullet}, \check{\lambda}_{\bullet}) est évidente — ces trois lignes, en haut du feuillet, achèvent la page 55 (dont la dernière ligne portait « TSVP ») ; le reste du feuillet est blanc

Construction canonique de \mathcal{P} (k-lin.) le titre n'est pas souligné sur la page ; il est mis en relief ici parce qu'il ouvre une nouvelle suite

\mathcal{P} \supset \mathbb{K}, et satisfait les conditions

a) Le foncteur covariant L \longmapsto \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^0)^{\vee} est représentable par un objet \Psi^0. Considérons l'hom \Psi^0 \to \mathbb{C}^0 transposé de \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\Psi^0, L) & \longleftarrow & \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L) \quad \bigl[\longleftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^1, L)\bigr] \\ \wr & & \\ \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^0)^{\vee} & & \end{array} sous \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L), un point d'interrogation déduit de l'accouplement \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L) \times \operatorname{Hom}(L, \mathbb{C}^0) \longrightarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, \mathbb{C}^0) \simeq k, \qquad (u, v) \longmapsto vu dans le second facteur, un premier symbole est biffé devant \mathbb{C}^0

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathbb{C}^0 \arrow[dl, "d"'] \arrow[dr, "u"] & & \\ \mathbb{C}^1 \arrow[rr, "u'"'] & & L \arrow[dr, "v"] & \\ & & & \mathbb{C}^0 \end{tikzcd}

On a u' : \mathbb{C}^1 \to L, considérons u = u' \circ d^0, et v \circ u = v \circ (u' \circ d) = (v \circ u') \circ d, comme v \circ u' = 0, il vient donc v \circ u = 0, donc \mathbb{C}^0 le composé est \operatorname{Hom}(\Psi^0, L) \longleftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^0, L) \longleftarrow \operatorname{Hom}(\mathbb{C}^1, L) le premier v \circ u est récrit sur un autre symbole ; « = (v \circ u') \circ d » est ajouté au-dessus de la ligne fonction \operatorname{Hom}(\mathcal{P}, L) pour L note oblique dans la marge gauche, reliée par une flèche (ce qui signifie aussi que \Psi^0 \longrightarrow \mathbb{C}^0 \longrightarrow \mathbb{C}^1 est nul, donc que \mathbb{C}^{\bullet} est \Psi^0-augmenté. ~~Nb)~~ Soit \Phi^{\bullet} le complexe de cochaînes qu'il forme. Soit \mathcal{P}_0 la sous-catégorie ~~b) La famille des \mathbb{C}^i et \Psi^0 est génératrice stricte~~ ~~c) \Phi^{\bullet} est une résolution de~~ k-lin. ~~engendrée~~ formée des sommes finies d'objets ce passage est remanié : « Soit \mathcal{P}_0 la sous-catégorie » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par un trait ; b) et c) sont barrés, et récrits plus bas dans la forme \mathbb{C}^i, \Psi^0_0, i.e. les expressions de la forme L + (\Psi^0)^r, \qquad r \in \mathbb{N},\ L \in \operatorname{Ob} \mathbb{K}

On a b) Les suites 0 \to L' \to L \to L'' \qquad \bigl(\ldots L' \to L \to L''\bigr) une deuxième écriture, en partie biffée, « \to L'' \to 0, L' \to L \to L'' \to 0 », est écrite dessous telles que les \ldots \rho \in \mathcal{P}_0 sont exactes fournit i.e. telles que 0 \to L' \to L \to L'' \to 0 soit exactes soit exactes, soit ~~\Sigma~~\Sigma la classe de ces suites plus bas note oblique de la marge gauche, reliée par un trait courbe à « On a » ; deux traits verticaux dans la marge, en bas

c) Le complexe augmenté (\Phi^{\bullet}, \Psi^0, \varepsilon) est une \Sigma-résolution, i.e. \Phi^{\bullet} est \Sigma-acyclique.

notes éparses, sans suite continue, sur la moitié du feuillet ; la première ligne et la formule qui la suit sont barrées de traits obliques, et un long trait au crayon traverse la page ~~Il faut prouver que l'hom \operatorname{Hom}^{\bullet}_k(L^{\bullet}, C) \to Z^n(C^{\bullet}) \ldots (C^n)^f~~ admet un \Sigma-noyau \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-sex}} \longrightarrow \mathcal{B}^{\bullet} \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}} \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}} (\mathcal{B} cat. abélienne, \Sigma suites exactes ordinaires) schéma de flèches incurvées, partant de \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-sex}} vers \mathcal{B}^{\bullet}, puis de \mathcal{B}^{\bullet} vers deux \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}} dont les premiers arguments sont surchargés et biffés ; à gauche, une flèche courbe mène de \mathcal{B}^{\bullet} à la ligne suivante, et une autre à « \mathcal{B}^{\bullet}_{\mathrm{rés}} » (lecture incertaine) en bas ; l'accolade de droite relie la parenthèse sur \mathcal{B} au dernier \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{sex}} \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}} \simeq \mathcal{B}^{\mathrm{rés}} \operatorname{Ext}^1(L^{\bullet}, M) \Longleftarrow 0 \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}, \mathcal{B}) \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\operatorname{Hom}}_{\Sigma\text{-ex}}(\mathcal{P}_0, \mathcal{B}) si \mathcal{B} admet \Sigma-noyaux.

Cela signifie que l'on a une kyrielle de suites \Sigma-exactes (dans \mathcal{P}) \begin{array}{l} 0 \to \Psi^0 \to \mathbb{C}^0 \to \Psi^1 \to 0 \\ \qquad 0 \to \Psi^1 \to \mathbb{C}^1 \to \Psi^2 \to 0 \\ \qquad\qquad 0 \to \Psi^2 \to \mathbb{C}^2 \to \Psi^3 \to 0 \\ \qquad\qquad\qquad \cdots \end{array} Par hyp. on sait que \Psi^i_{\bullet} = k placé en dim. i.

On trouve ainsi maintenant les ( homs \Phi les \Psi^j, \Phi^i, et les \Phi^i \to \Psi^j, \qquad \Psi^i \to \Phi^j, \qquad \Psi^i \to \Psi^j \qquad (\Phi^i \to \Phi^j \text{ déjà connus}) doit être mis avant a) note oblique de la marge gauche. Les lettres \Phi de cette ligne sont récrites à l'encre foncée sur des \mathbb{C}, conformément à la notation \Phi^{\bullet} de la page 57 ; la lecture de chaque indice n'est pas sûre on peut résumer ces situations en disant que si \mathcal{C} la sous-cat. pleine \mathcal{P}_1 \subset \mathcal{P} formée des objets isomorphes à des sommes de \Phi^i et de \Psi^j, le foncteur L \mapsto L_{\bullet} = \operatorname{Hom}(\Phi^{\bullet}, L) est pl. fidèle. Son image essentielle est formée des complexes de chaînes L_{\bullet} L_i libres \Sigma_i et les composantes L_i libres de t.f. la fin de la phrase est surchargée d'ajouts interlinéaires, en partie soulignés ; la lecture de l'ensemble est incertaine ~~\operatorname{Hom}(\ill{})~~ soient le (\mathcal{P}_1, \mathbb{C}^{\bullet}, \Psi^0, \varepsilon, \Sigma_{\mathcal{P}_1}) (On peut dire que cat. k-additive est universelle pour classe \Sigma de suites ex. et munie d'une d'une \Sigma-résolution d'un objet \Psi^0 \to Z^0 \ldots).

On va maintenant supposer de plus

d) Pour toute suite \Sigma-exacte de \mathcal{P} 0 \to L^0 \to M \to N \to 0 et tout hom L \to L' (resp. N' \to N) la suite déduite par somme amalgamée (resp. par produit fibré) existe dans \mathcal{P} il suffit d' l' des premiers p. ex. note oblique de la marge gauche, en bas ; « \Sigma- » est ajouté au-dessus de « exacte » ; l'exposant de L^0 n'est pas sûr

et est \Sigma-exacte.

(Variante : si L \xrightarrow{\ u\ } M est un \Sigma-épi, ~~il a un~~ i.e. \operatorname{Hom}(\Phi^i, u) surjectif épi \forall i (i.e. u : L_{\bullet} \to M_{\bullet} épi) alors u admet un noyau (donc on a une suite \Sigma-exacte 0 \to R \to L \to M \to 0\ ) « un » est ajouté au-dessus de « \Sigma-épi », qui remplace un mot biffé ; dans la marge gauche, en face de ces lignes, un double trait vertical

Utilisant ceci, on construit des objets de \mathcal{P} par ext. successive d'objets (\Psi^i_{\bullet})^{h_i} — et on voit que L \mapsto L_{\bullet} = \operatorname{Hom}(\Phi^{\bullet}, L) est ess. surjectif.

e) Tout objet de \mathcal{P} est extension successive d'objets de la forme \Psi^i [qui ne peut s'écrire de façon canonique, dans une filtration croissante universelle de \mathcal{P} — laquelle sera alors canonique.] « b/ » est écrit au-dessus de « objets de » ; « universelle » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un trait d'insertion

Je dis y cela avec maintenant pour conclure que le foncteur L \longmapsto L_{\bullet} = \operatorname{Hom}(\Phi^{\bullet}, L) est pl. fid. et a l'image essentielle les L_{\bullet} tels que les L_i, Z_i, B_i, H_i soient libres. Il suffit que le soient fini. la dernière ligne est surchargée ; le reste du feuillet est blanc