Cote n° 137, pages 1–20

Cote n° 137 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Dévissage des complexes ½ simpliciaux ∂ - parfaits et structures multiplicatives… (1975 ou 1976) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1975-1976]
Édition de démonstration

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1crayon très pâle sur papier mince ; les formules se lisent, une grande partie de la prose de liaison non. Aucune pagination de sa main sur les feuillets de ce lot

$k$ anneau commutatif, $k_{*}$ est l'anneau ½simpl. […]

Lemme 1. Soit $L_{*}$ un $k_{*}$-module ½simplicial. Pour que $L_{*}$ soit un $k_{*}$-Module projectif, il suffit qu'il soit flasque (i.e. $\pi_{i}(L_{*}) = 0$ $\forall\, i \geqslant 0$) et que les $L_{n}$ soient des $k$-modules projectifs. […]quelques signes au crayon dans la marge de gauche, illisibles

Le complexe […] (au sens […] que le complexe de chaînes (des $k$-modules) associé par Dold-Puppe […] est acyclique et à composantes projectives. On voit alors que […] est isomorphe […] la moitié médiane du feuillet (une dizaine de lignes) est presque effacée ; on y distingue « tel » et une formule $L_{q} \simeq \ldots$, rien de suivi

donc on […]

NB Il suffit […] $L_{*}$ flasque i.e. $\pi_{i}(L_{*}) = 0$ $\forall\, i \geqslant$ […] […] $\pi_{i}(L_{*}) = 0$ pour $i > 0$ et $\pi_{0}(L_{*})$ $k$-projectif. (On trouve […] sans […]) En effet, dans l'argument précédent, il faut de plus tenir compte […] […] qui est un module projectif. Le plus […]. Or il est […] qu'il […] un complexe […] de chaînes projectif.

Cor. Les $\Gamma^{i}\Phi_{*k} \otimes_{k} \Lambda\Psi_{*k}$ [et $\Lambda^{i}\Phi_{*k} \otimes \Lambda^{j}\Psi_{*k}$] (pour $i \geqslant 0$ […]) sont des modules ½simpliciaux projectifs. « et $\Lambda^{i}\Phi_{*k} \otimes \Lambda^{j}\Psi_{*k}$ » est ajouté au-dessus de la ligne, à l'encre, avec un trait qui le rattache à l'énoncé

3Lemme 2. Soit $L_{\bullet}$ un $k$-module ½simplicial […] flasque[quasi-flasque], $q > q' \geqslant 0$, $M$ un $k$-module. Alors \[\operatorname{Hom}_{\uncertain{\mathrm{Zab}}}\bigl(L_{\bullet} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*k},\ \Lambda^{q'}\Psi_{*k} \otimes_{k} M\bigr) = 0\] (on utilise seulement que […] […] en degrés $< q$) l'indice sous « Hom » est peu lisible ; la parenthèse est reliée par une accolade au facteur $L_{\bullet} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*k}$

[…] le complexe de chaînes associé à $L_{\bullet} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*k}$ […] de la formetrois lignes biffées d'un trait chacune

\[\cdots \longrightarrow L'_{q+1} \longrightarrow L'_{q} \longrightarrow 0 \longrightarrow \cdots\] Sachant que $\Lambda^{q'}\Psi_{*k} \otimes_{k} M$ […] $M$ placé en degré $q'$ [i.e. $M[q']$], […] $q' < q$, il est évident que $\operatorname{Hom}(L'_{\bullet}, M[q']) = 0$ […] […] […] degrés […]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  L'_{q+1} \arrow[r] \arrow[d] & L'_{q} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
  0 \arrow[r] & M \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

alors $\pi_{q}(L_{\bullet}) = 0 \Rightarrow L'_{q+1} \xrightarrow{\ d\ } L'_{q}$ est surjectif, donc $L'_{q} \to M$ est nul, […] […] [de chaînes] $L'_{\bullet} \to M[q]$, cqfd.

Théorème. Soit $n \geqslant 0$. Il existe un […] de complexes de cochaînes dans […]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
  0 \arrow[r] & \Gamma^{n}\Phi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{0}"] & \Gamma^{n-1}\Phi_{*} \otimes \Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{1}"] & \Gamma^{n-2}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{2}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{2}"] & \cdots \arrow[r] & \Lambda^{n}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{n}"] & 0 \arrow[d] \\
  0 \arrow[r] & \Phi_{*} \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{2}\Phi_{*} \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{3}\Phi_{*} & \cdots \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{n+1}\Phi_{*} \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{n+2}\Phi_{*}
\end{tikzcd}

les exposants des $\Lambda$ de la ligne du bas sont écrits au-dessus du signe et en partie effacés ; ceux qui sont donnés ici suivent le décalage d'une unité que portent $u_{0}$ et $u_{1}$. La flèche verticale de droite n'a pas d'étiquette lisible

(NB : on écrit $\Phi_{*}$ et $\Psi_{*}$ pour $\Phi_{*k}$, $\Psi_{*k}$, et $\otimes$ l'omission de $\otimes_{k}$) tel que $u_{n}$ soit l'isomorphisme de $\Lambda^{n}\Psi_{*}$ sur $\operatorname{Ker}\bigl(\Lambda^{n+1}\Phi_{*} \to \Lambda^{n+1}\Psi_{*}\bigr) \hookrightarrow \Lambda^{n+2}\Phi_{*}$ $= Z(\Lambda^{n+1}\Phi_{*})$ la fin de la ligne, au bas du feuillet, est très pâle : les exposants $n+1$, $n+2$ sont lus au-dessus des $\Lambda$ avec doute

6Lemme. Supposons les $L_{n}$ et $\pi_{n}(L_{\bullet})$ projectifs de t.f. sur $k$, et supposons $k$ connexe (i.e. $\operatorname{Spec}$ connexe) (donc $\forall\, M$ projectif sur $k$, $\operatorname{rg}_{k} M \in \mathbb{N}$ est défini). on peut éviter cette hypothèse !écrit en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « connexe » ; lecture incertaine

Conditions équivalentes :

a)$L^{!}$ à degrés bornés.
b)Tous Les $M_{i}$, $N_{j}$ sont nuls sauf un nombre fini, i.e. $L_{\bullet}$ est isomorphe [à une] somme finie de modules ½simpliciaux $\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes M_{i}$ ($i \geqslant 1$) et $\Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes N_{j}$ ($j \geqslant 1$) ($M_{i}$ et $N_{j}$ proj. de t.f.)on lit bien « $j \geqslant 1$ » ici, là où la Prop. de la page 7 a $j \geqslant 0$
b')(Si $k$ principal, plus généralement si tout module proj. de t.f. sur $k$ est libre). $L_{\bullet}$ est isomorphe [à une] somme finie de modules ½simpliciaux $\Lambda^{i}\Phi_{\bullet}$ ($i \geqslant 1$), $\Lambda^{j}\Psi_{*}$ ($j \geqslant 0$).
c)$\operatorname{rang}_{k} L_{n}$ est une fonction polynomiale en $n$ pour $n$ grand.
d)$\exists\, N$ [et $c > 0$] tel que pour $n$ assez grand, on ait $\operatorname{rang}_{k} L_{n} \leqslant c\, n^{N}$.

[De plus, p pour $N$ fixé, la condition que l'on ait $\operatorname{rang}_{k} L_{n} = O(n^{N})$ […] signifie que les $M_{i}$, $N_{j}$ sont nuls pour $i, j > N$ ; […] $N$ […] possible […] […] (pour $M_{N} + N_{N} \neq 0$) $\Leftrightarrow$ b) […] (cor. 1 et 2)] deux lignes et demie biffées ; « (cor. 1 et 2) » est écrit au-dessus de la fin de la ligne. Le premier mot de la ligne « la condition » est surchargé et en […] les rangs […] $M_{N}$ […] $= \mu_{N} + \nu_{N}$note de la marge de gauche, écrite en oblique et reliée par un grand arc au crochet

Dém. Équivalence de a) b) (ci-dessus), b) $\Leftrightarrow$ b') trivial, a) $\Rightarrow$ c) $\Rightarrow$ d) trivial, a) $\Rightarrow$ c) et d) $\Rightarrow$ a) immédiat par la formule explicite.

7Prop. Soit $L_{\bullet}$ un $k$-module ½simplicial. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a)Les $L_{n}$ et $\pi_{n}(L_{\bullet})$ sont des $k$-modules projectifs.
a')Les composantes de $(L^{!})_{n}$ de $L^{!}$ (le complexe de chaînes de Dold-Puppe associé à $L_{\bullet}$) et les $H_{n}(L^{!})$ sont des $k$-mod. projectifs.« a') » surcharge un « b) »
b)$L_{\bullet}$ est isomorphe à un somme [produit] direct de modules de la forme \[\Bigl(\prod_{i \geqslant 1} \Lambda^{i}\Phi_{*k} \otimes_{k} M_{i}\Bigr) \times \prod_{j \geqslant 0} \bigl(\Lambda^{j}\Psi_{*k}\bigr) \otimes_{k} N_{j} .\]
b')$L^{!}$ est isomorphe à un produit (de complexes de chaînes) de la forme \[\prod_{i \geqslant 1} \bigl(0 \to M_{i} \to M_{i} \to 0 \to \cdots\bigr) \times \prod_{j \geqslant 0} \bigl(0 \to N_{j} \to 0 \to \cdots\bigr)\] (le premier facteur en degrés $i$ et $i-1$, le second en degré $j$).« b') » surcharge un « a) » ; les indications de degré sont portées sous les facteurs, avec des accolades

De plus, les $M_{i}$ et $N_{j}$ de b) (resp. b')) sont déterminés à isom. près par $L_{\bullet}$, et ce sont les mêmes (à isom. près) dans b) et b').

Dém. a') $\Leftrightarrow$ b') est trivial et bien connu, ainsi que l'unicité à isom. [can.] près des $M_{i}$, $N_{j}$ dans b') (NB on a $N_{j} \simeq H_{j}(L_{\bullet})$ et $M_{i} \simeq L_{i}/Z_{i}$ ($\simeq B_{i-1}$)). On a a) $\Leftrightarrow$ a') et b) $\Rightarrow$ b') [par le] […] de Dold-Puppe. D'où l'équivalence des 4 conditions, et la dernière assertion est connue.

8Cor 1. Dans ces conditions On obtient […] des conditions équivalentes en exigeant [de plus] dans a) que les $L_{n}$ $\pi_{n}(L_{\bullet})$ soient de type fini, dans a') que les $L^{!}_{n}$ $H_{n}(L^{!})$ sont de type fini, dans b) et b') que les $M_{i}$ et $N_{j}$ soient de type fini.

On a alors, dans les conditions de Prop 1, \[L_{n} = \prod_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \Lambda^{i}\Phi_{n} \otimes_{k} M_{i} \times \prod_{0 \leqslant j \leqslant n} \Lambda^{j}\Psi_{n} \otimes N_{j}\] dans un […]

Cor 2. Sous les conditions équivalentes de […] […]un bloc de deux lignes est en partie biffé et surchargé ; on n'en lit que la fin […] degrés bornés, et finis), qu'il n'y ait qu'un nombre fini d'indices $i$ et $j$ tels que $M_{i} \neq 0$, $N_{j} \neq 0$.

Sous les conditions On dit que $L_{\bullet}$ est parfait [spécial] si $L^{!}$ est à degrés bornés et composantes […] à $H$ projectifs de t.f. — i.e. si $L_{\bullet}$ est isomorphe à somme finie de modules de la forme $\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes_{k} M_{i}$ ($i \geqslant 1$) et $\Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes M_{j}$ ($j \geqslant 0$), avec les $M_{i}$ et $N_{j}$ proj. de t.f., strictement spécial si de plus les $M_{i}$, $N_{j}$ sont libres. Je reviens au cas de le mot écrit au-dessus de « parfait » biffé est peu lisible ; la page suivante emploie « spéciaux » et « strict. spéciaux », ce qui fait lire « spécial »

9dire que $L_{\bullet} \simeq L^{\circ}_{\bullet} \otimes_{\mathbb{Z}} k$, où $L^{\circ}_{\bullet}$ est un complexe de $\mathbb{Z}$-modules ½simpliciaux spécial.

Proposition 2. Les $k$-modules [½simpliciaux] spéciaux (resp. strict. spéciaux) sont stables par produits tensoriels [et par les op. tensorielles $\Lambda^{i}$, $\Gamma^{i}$, $\mathrm{Sym}^{i}$].[…]

Le cas strictement spécial se ramène au cas spécial, en se plaçant sur $\mathbb{Z}$ […]

1°) Produits tensoriels. On est réduit à prouver que les modules $\Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{j}\Phi_{*}$ ($i, j \geqslant 1$), $\Lambda^{i}\Psi \otimes \Lambda^{j}\Psi$ ($i, j \geqslant 0$), $\Lambda^{i}\Phi \otimes \Lambda^{j}\Psi$ ($i \geqslant 1$, $j \geqslant 0$) sont spéciaux. Or ils sont à composantes libres de t.f., donc par Künneth-Eilenberg-Zilber leurs $\pi_{i}$ sont itou, il reste à montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de facteurs $M_{i}$, $N_{j} \neq 0$. On a Cela résulte […] aussitôt du

Lemme. Soit Les conditions du Cor 2 et Prop 1 sont aussi équivalentes à la [suivante] (en supposant [que $k$ est connexe], i.e. $\operatorname{Spec} k$ connexe) : Soit $\mu_{i} = \operatorname{rg} M_{i}$ et $\nu_{j} = \operatorname{rg} N_{j}$ […] défini) a) $\operatorname{rg}_{k} L_{n}$ est un polynôme en $n$ pour $n$ grand b) $\exists$le Lemme est barré de traits en diagonale

10\[\rho(n) \overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{rg}_{k} L_{n} = \sum_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \mu_{i} \binom{n+1}{i} + \sum_{0 \leqslant j \leqslant n} \nu_{j} \binom{n}{j}\] sous les deux termes, des flèches renvoient à « pol. de degré $i$ en $n$ » et « pol. de degré $j$ en $n$ » d'où $\mu_{i} = \operatorname{rg}_{k} M_{i}$, $\nu_{j} = \operatorname{rg}_{k} N_{j}$, donc si $\mu_{i}$ ($\nu_{j}$) un $\mu_{i}$ ou un $\nu_{j}$ est $\neq 0$, cela montre que $\rho(n)$ pour $n$ grand est minoré par un polynôme de degré $i$ resp. $j$.

2°) Cas de $\Lambda^{k}$. Utilisons la formule du $\Lambda^{k}$ d'une somme directe, et 1°), on est ramené à prouver que le $\Lambda^{k}$ d'un $k$-module ½simplicial $L_{\bullet}$ de la forme $\Lambda^{i}\Phi \otimes M$ ou $\Lambda^{j}\Psi \otimes N$ […]. Comme $M$, $N$ sont facteurs directs d'un libre [$P$], [$L_{\bullet}$ est facteur direct de $L'_{\bullet} = \Lambda^{i}\Phi \otimes P$ ou $\Lambda^{j}\Psi \otimes P$,] […] [cela, grâce à Cor. 1 et 2 [du Cor 2 […] est stable par facteurs directs], et […]] $\Lambda^{k}$ d'une somme directe […] montre que $\Lambda^{k}(L_{\bullet})$ est facteur direct de $\Lambda^{k}L'_{\bullet}$, on est ramené à prouver $\Lambda^{k}L'_{\bullet}$ spécial, donc […] on peut supposer $M$, $N$ libres — donc (par la formule de la somme) $M = k$, $N = k$. Dans ce cas on est ramené à prouver les ajouts interlinéaires de ce paragraphe se chevauchent et sont reliés par des boucles ; leur ordre ici est une reconstitution

11$\Lambda^{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*k})$ et $\Lambda^{k}(\Lambda^{j}\Psi_{*k})$ sont spéciaux (bien sûr, ils seront même très spéciaux !). Leurs composantes sont évidemment libres. De plus, comme $\Lambda^{i}\Phi_{*k}$ est homotope à $0$, de même $\Lambda^{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*k})$, donc […] les $\pi_{n}$ sont des modules […] projectifs de t.f.]

Remarque. Soit $L_{\bullet}$ un $k$-module ½simplicial spécial, alors $L_{\bullet}$ est connu à isom. près, i.e. les $\mu_{i} = \operatorname{rg} M_{i}$ ($i \geqslant 1$) et $\nu_{j} = \operatorname{rg} N_{j}$ [($j \geqslant 0$)] sont connus, quand on connaît la […] fonction $n \mapsto \operatorname{rg}_{k} L_{n} = f_{L_{\bullet}}(n)$ […] et les $\operatorname{rg}_{k} \pi_{j}(L_{\bullet})$ ($= \operatorname{rg}_{k} N_{j} = \nu_{j}$). En effet, on aura \[\sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} \binom{n+1}{i} = f_{L_{\bullet}}(n) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \binom{n}{j} \qquad (n \geqslant -1)\] au-dessus de $\binom{n+1}{i}$ est écrit « $= P_{i}(n+1)$ » On en sait i.e. \[f_{L_{\bullet}}(n-1) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} P_{j}(n-1) = \sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} P_{i}(n)\] et on sait que les $P_{i}(n)$ […] sont linéairement indépendants — et forment une base du $\mathbb{Z}$-module des polynômes […] à valeurs entières sur les entiers. Donc la connaissance de $\sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} P_{i}$ pour $n$ grand implique

12la connaissance des $\mu_{i}$. Si on se donne des $\nu_{j} \geqslant 0$ [entiers] (${}= \operatorname{rg} \pi_{j}(L_{\bullet})$) ($j \geqslant 0$) et une fonction [polynomiale] $f(n)$ à valeurs entières définie pour $n$ grand [sur les entiers […]], condition nécess. et suff. pour qu'il existe $L_{\bullet}$ très spécial avec $\nu_{j} = \operatorname{rg} \pi_{j}(L_{\bullet})$ ($j \geqslant 0$), et $f(n) = f_{L_{\bullet}}(n)$ pour $n$ grand ? Notons que $g = f - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} P_{j}$ est encore une fonction entière polynomiale (à valeurs entières), donc de la forme $\sum_{i \geqslant 0} \mu_{i} \binom{n+1}{i}$ où $(\mu_{i}) \in \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$ est uniquement déterminé. Alors la condition cherchée est $\mu_{0} = 0$, $\mu_{i} \geqslant 0$ si $i \geqslant 1$. Notons que $\mu_{0}$ $\mu_{0} = g(-1) = f(-1) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \frac{(-1)(-2)\cdots(-j)}{j!}$, donc on a \[(\mu_{0} = 0) \iff \Bigl(f(-1) = \sum (-1)^{j}\nu_{j}\Bigr) \quad \bigl[= \chi((\nu_{j}))\bigr].\]

Déf. Complexes […] Modules ½simpliciaux $L_{\bullet}$ […] [str.] « chain-parfait » [(strictly chain-perfect)] $=$ tels que $L^{!}$ soit un complexe de chaînes de $k$-modules str. parfait (str. parfait) $=$ce début de définition, qui s'interrompt, est barré de quatre traits en diagonale

13ici commence, sur un papier réglé ordinaire, une nouvelle rédaction, qui reprend la numérotation : Déf 1, Prop 1 $k$ anneau (comm. unit.)

Déf 1. Un $k$-module ½simplicial $L_{\bullet}$ est dit $\partial$-pseudo-cohérent (resp. strictement $\partial$-pseudocohérent, resp. $\partial$-parfait, resp. strictement $\partial$-parfait) si $L^{!}$ (le complexe de chaînes associé par Dold-Puppe) est pseudo-cohérent (resp. str. ps. cohérent, resp. parfait, resp. strictement parfait). Donc on a par déf. a) ci-dessous.

Prop 1.

a)$L_{\bullet}$ est str. $\partial$-pseudocohérent (resp. str. $\partial$-parfait) si et seulement si les $L^{!}_{n}$ sont projectifs de t.f. (resp. et nuls sauf un nb fini).
b)$L_{\bullet}$ est str. $\partial$-ps. coh. ssi les $L_{n}$ sont projectifs de t.f.
c)$L_{\bullet}$ est str. $\partial$-parfait ssi $L_{\bullet}$ est extension successive [finie] de Modules de la forme $\Lambda^{i}\Psi_{\bullet} \otimes_{\mathbb{Z}} M_{i}$ ($i \geqslant 0$), où les $M_{i}$ sont $k$-modules pr. de t.f. (l'ordre des facteurs dans une telle filtration pouvant d'ailleurs être choisi par ordre de $i$ croissant), ou encore ssi (si on veut $k$ noeth. ou simplement […]) ssi les $L_{n}$ sont proj. de t.f. et $f_{L_{\bullet}}(n) = \operatorname{rg}_{k} L_{n}$ est une fonction polynomiale pour $n$ grand (i.e. […] telles fonctions)la marge de gauche porte ce complément, écrit en oblique vers le bas et relié à « ou encore »
d)Si $k$ est noeth., $L_{\bullet}$ est $\partial$-pseudo-cohérent (ssi les $L^{!}_{n}$ sont de type fini sur $k$, ou encore) ssi les $L_{n}$ le sont.
e)Si $k$ est noeth. régulier, $L_{\bullet}$ est $\partial$-parfait ssi les $L_{n}$ sont de t.f. et […] […] évident, la fonction

14$n \mapsto \operatorname{rg}_{K} L_{n} \otimes_{k} K$ est polynomiale pour en $n$ grand [(supposé non nul, i.e. $L_{\bullet} \neq 0$)], de degré du polynôme (est alors le plus grand entier $N$ tel que $L^{!}_{N} \neq 0$), et les coefficients du polynôme exprimé comme combinaison linéaire des $P_{i}(n) = \binom{n}{i}$ ($i \geqslant 0$) sont les $\operatorname{rg}_{K} L^{!}_{i} \otimes_{k} K$, les coeffs dudit polynôme ([…] avec l'exception habituelle […] […]) sont des fonctions constructibles sur le […] ($K$ corps résiduel en un point de $\operatorname{Spec} k$).

NB Si dans e) on suppose $k$ noeth. mais non régulier, la condition [énoncée] de $\partial$-perfection est néc., mais pas suffisante — il faut une condition néc. et suff. plus subtile, savoir l'existence d'un $L'_{\bullet} \to L_{\bullet}$, avec $L'_{\bullet}$ str. $\partial$-parfait (cf. c)) et qui soit un quis, i.e. induise un isom. sur les $\pi_{i}$. (De plus, alors $L'_{\bullet} \to L_{\bullet}$ épi.)

Stabilité des notions par extensions, produits […]écrit verticalement le long de la marge de gauche, au bas de la page

On veut une théorie […] des $L_{\bullet}$ (str. $\partial$-ps. coh.) […] — cela n'est possible bien sûr que […] stabilité de […] $\partial$-ps. coh.

15[…] si on dispose d'une théorie analogue pour les complexes de chaînes […] ps. coh., ce qui n'est guère le cas que si […] $k$ principal (ou Dedekind à la rigueur...). Supposons donc $k$ principal […] (le cas $k$ un corps est déjà traité avec les […] des $L_{\bullet}$ très spéciaux […] et str. spéciaux), soit $\operatorname{Max}(k)$ l'ens. des idéaux premiers maximaux de $k$, $\mathfrak{B} = \mathbb{N}^{(\operatorname{Max} k)} - (0)$ [[…] d'un projectif de t.f. est […]]insertion entourée, au-dessus de la ligne, peu lisible

Th. Tout $L_{\bullet}$ [str.] $\partial$-ps. coh. est isomorphe à un produit de modules de la forme suivante

a)$(\Lambda^{i}\Phi_{\bullet})^{\mu_{i}}$ ($i \geqslant 1$) [$\mu_{i} \in \mathbb{N}$] $M_{i}$ $k$-module libre de t.f.
b)$(\Lambda^{j}\Psi_{*})^{\nu_{j}}$ ($j \geqslant 0$) ($\nu_{j} \in \mathbb{N}$)
c)[…] $\Phi(i, \ell)^{\rho_{i,\ell}}$ ($i \geqslant 1$) $\rho_{i,\ell} \in \mathbb{N}$ où $\Phi(i,\ell)$ […] $\ell$ un idéal diviseur de $k$ (cf. plus bas la définition de $\Phi(i,\ell)_{*}$),

de façon précise \[L_{\bullet} \simeq \prod_{i \geqslant 1} M_{i} \otimes_{k} \Lambda^{i}\Phi_{\bullet} \times \prod_{j \geqslant 0} N_{j} \otimes_{k} \Lambda^{j}\Psi_{*} \times \prod_{\substack{i \geqslant 1\\ \ell \in \mathfrak{B}}} \Phi_{i,\ell}^{\rho_{i,\ell}}\] où pour tout […] $i \geqslant 1$, les $\rho_{i,\ell}$ sauf un nb fini sont nuls. (NB de tels produits sont bien str. $\partial$-ps. coh.) On peut supposer de plus que pour tout $i$ donné, l'ens. des $\ell \in \mathfrak{B}$ […] tels que $\rho_{i,\ell} \neq 0$ soit totalement ordonné, moyennant

16ces conditions, les entiers $\mu_{i}$ ($i \geqslant 1$), $\nu_{j}$ ($j \geqslant 0$), $\rho_{i,\ell}$ ($i \geqslant 1$, $\ell \in \mathfrak{B}$) sont unique[ment] déterminés par les conditions suivantes

a)Pour tout $i \geqslant 1$, les $\rho_{i,\ell} \neq 0$ sont les [multiplicités des] diviseurs élémentaires de Tors $\pi_{i-1}(L_{\bullet})$ ($= H_{i-1}(L^{!})$)
b)[…] $\nu_{i} = \operatorname{rg} \pi_{i}(L_{\bullet})$ ($= \operatorname{rg} H_{i}(L^{!})$)
c)On a rang $\mu_{i} = \operatorname{rg} B_{i-1}(L^{!})$ […] $- \rho_{i}$ (où $\rho_{i} = \sum_{\ell} \rho_{i,\ell}$)
d)On a de plus \[\begin{cases} \operatorname{rg} Z_{i}(L^{!}) = \mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i} \\ \operatorname{rg} L^{!}_{i} = \mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \rho_{i} + \nu_{i} \end{cases}\] la seconde ligne devrait contenir aussi $\mu_{i}$, par c) ; le manuscrit ne l'écrit pas, ou il est effacé sous une surcharge

[Enfin $L_{\bullet}$ est (str.) $\partial$-parfait ssi le nb de facteurs non nuls qui interviennent est fini.]ajouté entre les lignes

Dém. […] On se ramène en vertu de Dold-Puppe, à une question [tout à fait] évidente sur les complexes de chaînes. […] […] Un sous-module d'un $k$-module projectif de t.f. […] est itou, on conclut que tout tel complexe, s'il est pseudo str. ps. coh. […] à comp. proj. de t.f., est […] […] produit de complexes (définis à isom. [non] unique près, par le choix des […]) de la forme \[L^{!} \simeq \prod_{i} K_{i}, \qquad K_{i} : \quad \cdots \to 0 \to P_{i} \hookrightarrow Q_{i} \to 0 \to \cdots \quad \text{(en degrés $i$ et $i-1$)}\] avec $P_{i} = B_{i-1} \hookrightarrow Z_{i-1} \simeq Q_{i}$. les indications « degré $i$ », « degré $i-1$ » sont portées au-dessus des deux termes

17On désigne par $\overline{P}_{i} \subset Q_{i}$ le […] […] le sous-gpe […] de torsion de $Q_{i}/B_{i} \simeq H_{i-1}$ ; $N_{i-1} = Q_{i}/\overline{P}_{i}$ est de t.f. sans torsion, donc $H_{i}$/torsion projectif de t.f., donc $Q_{i} \simeq \overline{P}_{i} \oplus N_{i-1}$ et le complexe $K_{i}$ est isom. à la somme directe des complexes \[\overline{K}_{i} : \ \cdots \to 0 \to P_{i} \hookrightarrow \overline{P}_{i} \to 0 \to 0, \qquad \cdots \to 0 \to N_{i-1} \to 0\] les degrés $i$, $i-1$ sont notés au-dessus des termes, comme à la page précédente Enfin, $P_{i} \hookrightarrow \overline{P}_{i}$ est une inclusion de modules projectifs de t.f. tels que $\overline{P}_{i}/P_{i}$ ($\simeq \operatorname{Tors} H_{i-1}$) soit de torsion, d'où justiciable de la théorie des diviseurs élémentaires [si $k$ principal] : […] le complexe est une somme directe $K_{i} \simeq$ de complexes de la forme \[\cdots \to k \xrightarrow{\ m_{i,\alpha}\ } k \to 0 \qquad (1 \leqslant \alpha \leqslant N_{i},\ N_{i} = \operatorname{rg} P_{i} = \operatorname{rg} \overline{P}_{i})\] avec les $m_{i,\alpha} \in k - (0)$ ($m_{i,\alpha}$ […] [définis à] une unité […] près) ; le nombre des $m_{i,\alpha}$ qui sont des unités est $\mu_{i}$ (cela leur correspond $(\Lambda^{i}\Phi)^{\mu_{i}}$), et si on prend les $m_{i,\alpha}$ tels qu'ils soient croissants pour la divisibilité, on trouve une suite unique ; les multiplicités d'occurrences des diviseurs […]

18dans la suite des $\operatorname{div}(m_{\alpha})$ est $\rho_{i,\ell}$, et $\Phi(i,\ell)_{*}$ est le complexe [module ½simplicial] associé à \[\cdots \to 0 \to k \xrightarrow{\ n\ } k \to 0 \to \cdots \qquad \text{(en degrés $i$ et $i-1$)}\] où $\operatorname{div}(n) = \ell$. On a donc une extension \[0 \to \Lambda^{i-1}\Psi \to \Phi(i,n) \to \Lambda^{i}\Psi \to 0\] où l'homom. assoc. à cette extension $k \to k$ (cf. […]) est $n \cdot \mathrm{id}$, où $\operatorname{div}(n) = \ell$, donc […] \[\pi_{j}(\Phi(i,n)) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i-1 \\ k/\operatorname{div} n & \text{si } j = i-1 . \end{cases}\]

Remarques. 1) La fonction de Hilbert de $\Phi(i,n)_{*}$ est donc la même que celle de $\Lambda^{i}\Phi_{\bullet}$, savoir $\binom{n+1}{i}$. Donc si $L_{\bullet}$ est [str.] $\partial$-parfait, il […] est donné par la […] de la page […] : \[\operatorname{rg} L_{n} = \sum_{i \leqslant n+1} (\mu_{i} + \rho_{i}) \binom{n+1}{i} + \sum_{0 \leqslant j \leqslant n} \nu_{j} \binom{n}{j} .\] 2) […] Donc $L_{\bullet}$ est connu à isom. [non unique] près quand on connaît a) $\operatorname{rg} \pi_{i}(L_{\bullet}) = \nu_{i}$ et le nombre $\rho_{i+1}$ de ses diviseurs de torsion, pour tout $i \geqslant 0$, et b) la fonction $f_{L_{\bullet}}$ pour $n$ grand (qui s'écrit alors [pour $n$ grand] comme le polynôme $\sum_{i \geqslant 1} (\mu_{i} + \rho_{i}) \binom{n}{i} + \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \binom{n}{j}$ici $\binom{n}{i}$, là où la formule de 1) porte $\binom{n+1}{i}$ ; la parenthèse n'est pas refermée

192) Pour que $L_{\bullet}$ soit projectif [plat (projectif)], il f. et s. qu'il n'y ait que des facteurs $(\Lambda^{i}\Phi_{*})^{\mu_{i}}$ (i.e. […] $(\Lambda^{0}\Psi_{*})^{\nu_{0}} = k^{\nu_{0}}$). [Pour que $L_{\bullet} \otimes_{k} K$ ($K$ corps des fractions) soit […] il f. et suffit qu'il n'y ait que des $(\Lambda^{i}\Phi_{\bullet})^{\mu_{i}}$, $\Phi_{*}(i,n)^{\rho_{i,\ell}}$ ($i \geqslant 1$) à l'exclusion des $(\Lambda^{j}\Psi_{*})^{\nu_{j}}$ ($j \geqslant 0$).]ajout entouré, entre les lignes. Il numérote 2) deux fois : à la fin de la page 18 et ici

Pour 3) Pour déterminer […] la catégorie additive des $k$-modules ½simpliciaux str. $\partial$ ps. coh. (resp. str. $\partial$ parfaits), il suffit en principe de déterminer les homom. entre les objets indécomposables $\Lambda^{i}\Phi$, $\Phi(i,n)$ [$n$ pas unité, défini à […] près, défini par $\operatorname{div}(n) = \ell$], $\Lambda^{j}\Psi_{*}$ ($i \geqslant 1$, $j \geqslant 0$) — qu'on peut réduire à deux types si on admet aussi le cas $n$ unité : $\Phi(i,n)$, $\Lambda^{j}\Psi_{*}$ ($i \geqslant 1$, $j \geqslant 0$). On trouve, en repassant aux complexes de chaînes associés

20On a […] \[\operatorname{Hom}_{k}(\Phi(i,n), L_{\bullet}) \simeq d_{L_{\bullet},i}^{-1}(n L_{i-1}) \subset L_{i}\]

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\begin{tikzcd}
  \cdots \arrow[r] & k \arrow[r, "n"] \arrow[d, "u_{i}"] & k \arrow[r] \arrow[d, "u_{i-1}"] & \cdots \\
  \cdots \arrow[r] & L_{i} \arrow[r, "d_{i}"] & L_{i-1} \arrow[r] & \cdots
\end{tikzcd}

($\xi_{i} \mapsto n\,\xi_{i-1}$), donc $\operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi_{j}(m)) = \{0$ si $j \neq i, i+1$ \[\operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(j,m)_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i,\ i+1 \\ \{\xi \in k \mid m\xi \in nk\} = n'k \simeq k & \text{si } j = i \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases}\] « (où $n' = n/(m,n)$) » est ajouté à droite du cas $j = i$ ; lecture incertaine [engendré par le composé $\Phi(i,n) \xrightarrow{\mathrm{can}} \Lambda^{i}\Psi_{*} \xrightarrow{\mathrm{can}} \Phi(i+1,m)_{*}$] [p. ex. on trouve $\operatorname{Hom}_{k}(\Phi(i,n)_{*}, \Phi(i,n)_{*}) \simeq k \cdot \mathrm{id}_{\Phi(i,n)} \simeq k$ (isom. […] de $k$-algèbres) […] $\forall\, i \geqslant 0$, $n \in k - \lbrace 0 \rbrace$. $\operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Phi, \Lambda^{i+1}\Phi) \ldots$ En particulier $\operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{i}\Phi_{*}) \simeq k\, \mathrm{id} \simeq k$, $\operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{i+1}\Phi_{*}) \simeq k \cdot \lambda \simeq k$, où $\lambda = \uncertain{T_{\wedge}} : \Lambda^{i}\Phi_{*} \to \Lambda^{i+1}\Phi_{*}$] \[\operatorname{Hom}_{k}(\Phi(i,n), \Lambda^{j}\Psi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases}\] [en particulier \[\operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{j}\Psi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases}\] et le générateur dans le cas $j = i$ est l'homom. can. $\Lambda^{i}\Phi_{*} \xrightarrow{\mathrm{can}} \Lambda^{i}\Psi_{*}$] \[\operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, L_{\bullet}) \simeq Z_{i}(L_{*}) \simeq k^{\mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i}}\] en particulier