Fonds Grothendieck, cote n° 137, pages 1–20

crayon très pâle sur papier mince ; les formules se lisent, une grande partie de la prose de liaison non. Aucune pagination de sa main sur les feuillets de ce lot

k anneau commutatif, k_{*} est l'anneau ½simpl.

Lemme 1. Soit L_{*} un k_{*}-module ½simplicial. Pour que L_{*} soit un k_{*}-Module projectif, il suffit qu'il soit flasque (i.e. \pi_{i}(L_{*}) = 0 \forall\, i \geqslant 0) et que les L_{n} soient des k-modules projectifs. quelques signes au crayon dans la marge de gauche, illisibles

Le complexe (au sens que le complexe de chaînes (des k-modules) associé par Dold-Puppe est acyclique et à composantes projectives. On voit alors que est isomorphe la moitié médiane du feuillet (une dizaine de lignes) est presque effacée ; on y distingue « tel » et une formule L_{q} \simeq \ldots, rien de suivi

donc on

NB Il suffit L_{*} flasque i.e. \pi_{i}(L_{*}) = 0 \forall\, i \geqslant \pi_{i}(L_{*}) = 0 pour i > 0 et \pi_{0}(L_{*}) k-projectif. (On trouve sans ) En effet, dans l'argument précédent, il faut de plus tenir compte qui est un module projectif. Le plus . Or il est qu'il un complexe de chaînes projectif.

Cor. Les \Gamma^{i}\Phi_{*k} \otimes_{k} \Lambda\Psi_{*k} et \Lambda^{i}\Phi_{*k} \otimes \Lambda^{j}\Psi_{*k} (pour i \geqslant 0 ) sont des modules ½simpliciaux projectifs. « et \Lambda^{i}\Phi_{*k} \otimes \Lambda^{j}\Psi_{*k} » est ajouté au-dessus de la ligne, à l'encre, avec un trait qui le rattache à l'énoncé

Lemme 2. Soit L_{\bullet} un k-module ½simplicial ~~flasque~~quasi-flasque, q > q' \geqslant 0, M un k-module. Alors \operatorname{Hom}_{\uncertain{\mathrm{Zab}}}\bigl(L_{\bullet} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*k},\ \Lambda^{q'}\Psi_{*k} \otimes_{k} M\bigr) = 0 (on utilise seulement que en degrés < q) l'indice sous « Hom » est peu lisible ; la parenthèse est reliée par une accolade au facteur L_{\bullet} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*k}

~~le complexe de chaînes associé à L_{\bullet} \otimes_{k} \Lambda^{q}\Psi_{*k} de la forme~~trois lignes biffées d'un trait chacune

\cdots \longrightarrow L'_{q+1} \longrightarrow L'_{q} \longrightarrow 0 \longrightarrow \cdots Sachant que \Lambda^{q'}\Psi_{*k} \otimes_{k} M M placé en degré q' i.e. M[q'], q' < q, il est évident que \operatorname{Hom}(L'_{\bullet}, M[q']) = 0 degrés

\begin{tikzcd} L'_{q+1} \arrow[r] \arrow[d] & L'_{q} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & M \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

alors \pi_{q}(L_{\bullet}) = 0 \Rightarrow L'_{q+1} \xrightarrow{\ d\ } L'_{q} est surjectif, donc L'_{q} \to M est nul, de chaînes L'_{\bullet} \to M[q], cqfd.

Théorème. Soit n \geqslant 0. Il existe un de complexes de cochaînes dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & \Gamma^{n}\Phi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{0}"] & \Gamma^{n-1}\Phi_{*} \otimes \Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{1}"] & \Gamma^{n-2}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{2}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{2}"] & \cdots \arrow[r] & \Lambda^{n}\Psi_{*} \arrow[r] \arrow[d, "u_{n}"] & 0 \arrow[d] \\ 0 \arrow[r] & \Phi_{*} \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{2}\Phi_{*} \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{3}\Phi_{*} & \cdots \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{n+1}\Phi_{*} \arrow[r, "\wedge T"'] & \Lambda^{n+2}\Phi_{*} \end{tikzcd} les exposants des \Lambda de la ligne du bas sont écrits au-dessus du signe et en partie effacés ; ceux qui sont donnés ici suivent le décalage d'une unité que portent u_{0} et u_{1}. La flèche verticale de droite n'a pas d'étiquette lisible

(NB : on écrit \Phi_{*} et \Psi_{*} pour \Phi_{*k}, \Psi_{*k}, et \otimes l'omission de \otimes_{k}) tel que u_{n} soit l'isomorphisme de \Lambda^{n}\Psi_{*} sur \operatorname{Ker}\bigl(\Lambda^{n+1}\Phi_{*} \to \Lambda^{n+1}\Psi_{*}\bigr) \hookrightarrow \Lambda^{n+2}\Phi_{*} = Z(\Lambda^{n+1}\Phi_{*}) la fin de la ligne, au bas du feuillet, est très pâle : les exposants n+1, n+2 sont lus au-dessus des \Lambda avec doute

Lemme. Supposons les L_{n} et \pi_{n}(L_{\bullet}) projectifs de t.f. sur k, et supposons k connexe (i.e. \operatorname{Spec} connexe) (donc \forall\, M projectif sur k, \operatorname{rg}_{k} M \in \mathbb{N} est défini). on peut éviter cette hypothèse !écrit en oblique dans la marge de gauche, à hauteur de « connexe » ; lecture incertaine

Conditions équivalentes :

a)L^{!} à degrés bornés. b)~~Tous~~ Les M_{i}, N_{j} sont nuls sauf un nombre fini, i.e. L_{\bullet} est isomorphe à une somme finie de modules ½simpliciaux \Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes M_{i} (i \geqslant 1) et \Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes N_{j} (j \geqslant 1) (M_{i} et N_{j} proj. de t.f.)on lit bien « j \geqslant 1 » ici, là où la Prop. de la page 7 a j \geqslant 0 b')(Si k principal, plus généralement si tout module proj. de t.f. sur k est libre). L_{\bullet} est isomorphe à une somme finie de modules ½simpliciaux \Lambda^{i}\Phi_{\bullet} (i \geqslant 1), \Lambda^{j}\Psi_{*} (j \geqslant 0). c)\operatorname{rang}_{k} L_{n} est une fonction polynomiale en n pour n grand. d)\exists\, N et c > 0 ~~tel~~ que pour n assez grand, on ait \operatorname{rang}_{k} L_{n} \leqslant c\, n^{N}.

[De plus, p pour N fixé, la condition que l'on ait \operatorname{rang}_{k} L_{n} = O(n^{N}) signifie que les M_{i}, N_{j} sont nuls pour i, j > N ; ~~N possible (pour M_{N} + N_{N} \neq 0) \Leftrightarrow b) (cor. 1 et 2)~~] deux lignes et demie biffées ; « (cor. 1 et 2) » est écrit au-dessus de la fin de la ligne. Le premier mot de la ligne « la condition » est surchargé et en les rangs M_{N} = \mu_{N} + \nu_{N}note de la marge de gauche, écrite en oblique et reliée par un grand arc au crochet

Dém. ~~Équivalence de a) b)~~ (ci-dessus), b) \Leftrightarrow b') trivial, ~~a) \Rightarrow~~ c) \Rightarrow d) trivial, a) \Rightarrow c) et d) \Rightarrow a) immédiat par la formule explicite.

Prop. Soit L_{\bullet} un k-module ½simplicial. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a)Les L_{n} et \pi_{n}(L_{\bullet}) sont des k-modules projectifs. a')Les composantes de (L^{!})_{n} de L^{!} (le complexe de chaînes de Dold-Puppe associé à L_{\bullet}) et les H_{n}(L^{!}) sont des k-mod. projectifs.« a') » surcharge un « b) » b)L_{\bullet} est isomorphe à un ~~somme~~ produit ~~direct de modules~~ de la forme \Bigl(\prod_{i \geqslant 1} \Lambda^{i}\Phi_{*k} \otimes_{k} M_{i}\Bigr) \times \prod_{j \geqslant 0} \bigl(\Lambda^{j}\Psi_{*k}\bigr) \otimes_{k} N_{j} . b')L^{!} est isomorphe à un produit (de complexes de chaînes) de la forme \prod_{i \geqslant 1} \bigl(0 \to M_{i} \to M_{i} \to 0 \to \cdots\bigr) \times \prod_{j \geqslant 0} \bigl(0 \to N_{j} \to 0 \to \cdots\bigr) (le premier facteur en degrés i et i-1, le second en degré j).« b') » surcharge un « a) » ; les indications de degré sont portées sous les facteurs, avec des accolades

De plus, les M_{i} et N_{j} de b) (resp. b')) sont déterminés à isom. près par L_{\bullet}, et ce sont les mêmes (à isom. près) dans b) et b').

Dém. a') \Leftrightarrow b') est trivial et bien connu, ainsi que l'unicité à isom. can. près des M_{i}, N_{j} dans b') (NB on a N_{j} \simeq H_{j}(L_{\bullet}) et M_{i} \simeq L_{i}/Z_{i} (\simeq B_{i-1})). On a a) \Leftrightarrow a') et b) \Rightarrow b') par le de Dold-Puppe. D'où l'équivalence des 4 conditions, et la dernière assertion est connue.

Cor 1. ~~Dans ces conditions~~ On obtient des conditions équivalentes en exigeant de plus dans a) que les L_{n} ~~\pi_{n}(L_{\bullet})~~ soient de type fini, dans a') que les L^{!}_{n} ~~H_{n}(L^{!})~~ sont de type fini, dans b) et b') que les M_{i} et N_{j} soient de type fini.

On a alors, dans les conditions de Prop 1, L_{n} = \prod_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \Lambda^{i}\Phi_{n} \otimes_{k} M_{i} \times \prod_{0 \leqslant j \leqslant n} \Lambda^{j}\Psi_{n} \otimes N_{j} ~~dans un~~

Cor 2. Sous les conditions équivalentes de un bloc de deux lignes est en partie biffé et surchargé ; on n'en lit que la fin degrés bornés, et finis), qu'il n'y ait qu'un nombre fini d'indices i et j tels que M_{i} \neq 0, N_{j} \neq 0.

~~Sous les conditions~~ On dit que L_{\bullet} est ~~parfait~~ spécial si L^{!} est à degrés bornés et composantes à H projectifs de t.f. — i.e. si L_{\bullet} est isomorphe à somme finie de modules de la forme \Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes_{k} M_{i} (i \geqslant 1) et \Lambda^{j}\Psi_{*} \otimes M_{j} (j \geqslant 0), avec les M_{i} et N_{j} proj. de t.f., strictement spécial si de plus les M_{i}, N_{j} sont libres. Je reviens au cas de le mot écrit au-dessus de « parfait » biffé est peu lisible ; la page suivante emploie « spéciaux » et « strict. spéciaux », ce qui fait lire « spécial »

dire que L_{\bullet} \simeq L^{\circ}_{\bullet} \otimes_{\mathbb{Z}} k, où L^{\circ}_{\bullet} est un complexe de \mathbb{Z}-modules ½simpliciaux spécial.

Proposition 2. Les k-modules ½simpliciaux spéciaux (resp. strict. spéciaux) sont stables par produits tensoriels et par les op. tensorielles \Lambda^{i}, \Gamma^{i}, \mathrm{Sym}^{i}.

Le cas strictement spécial se ramène au cas spécial, en se plaçant sur \mathbb{Z}

1°) Produits tensoriels. On est réduit à prouver que les modules \Lambda^{i}\Phi_{*} \otimes \Lambda^{j}\Phi_{*} (i, j \geqslant 1), \Lambda^{i}\Psi \otimes \Lambda^{j}\Psi (i, j \geqslant 0), \Lambda^{i}\Phi \otimes \Lambda^{j}\Psi (i \geqslant 1, j \geqslant 0) sont spéciaux. Or ils sont à composantes libres de t.f., donc par Künneth-Eilenberg-Zilber leurs \pi_{i} sont itou, il reste à montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de facteurs M_{i}, N_{j} \neq 0. ~~On a~~ Cela résulte aussitôt du

Lemme. ~~Soit~~ Les conditions du Cor 2 et Prop 1 sont aussi équivalentes à la suivante (en supposant que k est connexe, i.e. \operatorname{Spec} k connexe) : Soit \mu_{i} = \operatorname{rg} M_{i} et \nu_{j} = \operatorname{rg} N_{j} défini) a) \operatorname{rg}_{k} L_{n} est un polynôme en n pour n grand b) \existsle Lemme est barré de traits en diagonale

\rho(n) \overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{rg}_{k} L_{n} = \sum_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \mu_{i} \binom{n+1}{i} + \sum_{0 \leqslant j \leqslant n} \nu_{j} \binom{n}{j} sous les deux termes, des flèches renvoient à « pol. de degré i en n » et « pol. de degré j en n » d'où \mu_{i} = \operatorname{rg}_{k} M_{i}, \nu_{j} = \operatorname{rg}_{k} N_{j}, donc si ~~\mu_{i} (\nu_{j})~~ un \mu_{i} ou un \nu_{j} est \neq 0, cela montre que \rho(n) pour n grand est minoré par un polynôme de degré i resp. j.

2°) Cas de \Lambda^{k}. Utilisons la formule du \Lambda^{k} d'une somme directe, et 1°), on est ramené à prouver que le \Lambda^{k} d'un k-module ½simplicial L_{\bullet} de la forme \Lambda^{i}\Phi \otimes M ou \Lambda^{j}\Psi \otimes N . Comme M, N sont facteurs directs d'un libre P, L_{\bullet} est facteur direct de L'_{\bullet} = \Lambda^{i}\Phi \otimes P ou \Lambda^{j}\Psi \otimes P, cela, grâce à Cor. 1 et 2 du Cor 2 est stable par facteurs directs, et \Lambda^{k} d'une somme directe montre que \Lambda^{k}(L_{\bullet}) est facteur direct de \Lambda^{k}L'_{\bullet}, on est ramené à prouver \Lambda^{k}L'_{\bullet} spécial, donc on peut supposer M, N libres — donc (par la formule de la somme) M = k, N = k. Dans ce cas on est ramené à prouver les ajouts interlinéaires de ce paragraphe se chevauchent et sont reliés par des boucles ; leur ordre ici est une reconstitution

\Lambda^{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*k}) et \Lambda^{k}(\Lambda^{j}\Psi_{*k}) sont spéciaux (bien sûr, ils seront même très spéciaux !). Leurs composantes sont évidemment libres. De plus, comme \Lambda^{i}\Phi_{*k} est homotope à 0, de même \Lambda^{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*k}), donc les \pi_{n} sont des modules projectifs de t.f.]

Remarque. Soit L_{\bullet} un k-module ½simplicial spécial, alors L_{\bullet} est connu à isom. près, i.e. les \mu_{i} = \operatorname{rg} M_{i} (i \geqslant 1) et \nu_{j} = \operatorname{rg} N_{j} (j \geqslant 0) ~~sont~~ connus, quand on connaît la fonction n \mapsto \operatorname{rg}_{k} L_{n} = f_{L_{\bullet}}(n) et les \operatorname{rg}_{k} \pi_{j}(L_{\bullet}) (= \operatorname{rg}_{k} N_{j} = \nu_{j}). En effet, on aura \sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} \binom{n+1}{i} = f_{L_{\bullet}}(n) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \binom{n}{j} \qquad (n \geqslant -1) au-dessus de \binom{n+1}{i} est écrit « = P_{i}(n+1) » ~~On en sait~~ i.e. f_{L_{\bullet}}(n-1) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} P_{j}(n-1) = \sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} P_{i}(n) et on sait que les P_{i}(n) sont linéairement indépendants — et forment une base du \mathbb{Z}-module des polynômes à valeurs entières sur les entiers. Donc la connaissance de \sum_{i \geqslant 1} \mu_{i} P_{i} pour n grand implique

la connaissance des \mu_{i}. Si on se donne des \nu_{j} \geqslant 0 entiers ~~({}= \operatorname{rg} \pi_{j}(L_{\bullet}))~~ (j \geqslant 0) et une fonction polynomiale f(n) à valeurs entières ~~définie pour n grand~~ sur les entiers , condition nécess. et suff. pour qu'il existe L_{\bullet} très spécial avec \nu_{j} = \operatorname{rg} \pi_{j}(L_{\bullet}) (j \geqslant 0), et f(n) = f_{L_{\bullet}}(n) pour n grand ? Notons que g = f - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} P_{j} est encore une fonction ~~entière~~ polynomiale (à valeurs entières), donc de la forme \sum_{i \geqslant 0} \mu_{i} \binom{n+1}{i} où (\mu_{i}) \in \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})} est uniquement déterminé. Alors la condition cherchée est \mu_{0} = 0, \mu_{i} \geqslant 0 si i \geqslant 1. Notons que ~~\mu_{0}~~ \mu_{0} = g(-1) = f(-1) - \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \frac{(-1)(-2)\cdots(-j)}{j!}, donc on a (\mu_{0} = 0) \iff \Bigl(f(-1) = \sum (-1)^{j}\nu_{j}\Bigr) \quad \bigl[= \chi((\nu_{j}))\bigr].

~~Déf.~~ ~~Complexes~~ ~~Modules ½simpliciaux~~ ~~L_{\bullet}~~ str. ~~« chain-parfait »~~ (strictly chain-perfect) ~~= tels que~~ ~~L^{!} soit~~ ~~un complexe~~ ~~de chaînes~~ ~~de k-modules~~ ~~str.~~ ~~parfait~~ ~~(str. parfait) =~~ce début de définition, qui s'interrompt, est barré de quatre traits en diagonale

ici commence, sur un papier réglé ordinaire, une nouvelle rédaction, qui reprend la numérotation : Déf 1, Prop 1 k anneau (comm. unit.)

Déf 1. Un k-module ½simplicial L_{\bullet} est dit \partial-pseudo-cohérent (resp. strictement \partial-pseudocohérent, resp. \partial-parfait, resp. strictement \partial-parfait) si L^{!} (le complexe de chaînes associé par Dold-Puppe) est pseudo-cohérent (resp. str. ps. cohérent, resp. parfait, resp. strictement parfait). Donc on a par déf. a) ci-dessous.

Prop 1.

a)L_{\bullet} est str. \partial-pseudocohérent (resp. str. \partial-parfait) si et seulement si les L^{!}_{n} sont projectifs de t.f. (resp. et nuls sauf un nb fini). b)L_{\bullet} est str. \partial-ps. coh. ssi les L_{n} sont projectifs de t.f. c)L_{\bullet} est str. \partial-parfait ssi L_{\bullet} est extension successive finie de Modules de la forme \Lambda^{i}\Psi_{\bullet} \otimes_{\mathbb{Z}} M_{i} (i \geqslant 0), où les M_{i} sont k-modules pr. de t.f. (l'ordre des facteurs dans une telle filtration pouvant d'ailleurs être choisi par ordre de i croissant), ou encore ~~ssi~~ (si on veut k noeth. ou simplement ) ssi les L_{n} sont proj. de t.f. et f_{L_{\bullet}}(n) = \operatorname{rg}_{k} L_{n} est une fonction polynomiale pour n grand (i.e. telles fonctions)la marge de gauche porte ce complément, écrit en oblique vers le bas et relié à « ou encore » d)Si k est noeth., L_{\bullet} est \partial-pseudo-cohérent (ssi les L^{!}_{n} sont de type fini sur k, ou encore) ssi les L_{n} le sont. e)Si k est noeth. régulier, L_{\bullet} est \partial-parfait ssi les L_{n} sont de t.f. et évident, la fonction

n \mapsto \operatorname{rg}_{K} L_{n} \otimes_{k} K est polynomiale ~~pour~~ en n grand (supposé non nul, i.e. L_{\bullet} \neq 0), de degré du polynôme (est alors le plus grand entier N tel que L^{!}_{N} \neq 0), et les coefficients du polynôme exprimé comme combinaison linéaire des P_{i}(n) = \binom{n}{i} (i \geqslant 0) sont les \operatorname{rg}_{K} L^{!}_{i} \otimes_{k} K, les coeffs dudit polynôme ( avec l'exception habituelle ) sont des fonctions constructibles sur le (K corps résiduel en un point de \operatorname{Spec} k).

NB Si dans e) on suppose k noeth. mais non régulier, la condition énoncée de \partial-perfection est néc., mais pas suffisante — il faut une condition néc. et suff. plus subtile, savoir l'existence d'un L'_{\bullet} \to L_{\bullet}, avec L'_{\bullet} str. \partial-parfait (cf. c)) et qui soit un quis, i.e. induise un isom. sur les \pi_{i}. (De plus, alors L'_{\bullet} \to L_{\bullet} épi.)

Stabilité des notions par extensions, produits écrit verticalement le long de la marge de gauche, au bas de la page

On veut une théorie des L_{\bullet} (str. \partial-ps. coh.) — cela n'est possible bien sûr que ~~stabilité de \partial-ps. coh.~~

si on dispose d'une théorie analogue pour les complexes de chaînes ps. coh., ce qui n'est guère le cas que si k principal (ou Dedekind à la rigueur...). Supposons donc k principal (le cas k un corps est déjà traité avec les des L_{\bullet} très spéciaux et str. spéciaux), soit \operatorname{Max}(k) l'ens. des idéaux ~~premiers~~ maximaux de k, \mathfrak{B} = \mathbb{N}^{(\operatorname{Max} k)} - (0) d'un projectif de t.f. est insertion entourée, au-dessus de la ligne, peu lisible

Th. Tout L_{\bullet} str. \partial-ps. coh. est isomorphe à un produit de modules de la forme suivante

a)(\Lambda^{i}\Phi_{\bullet})^{\mu_{i}} (i \geqslant 1) \mu_{i} \in \mathbb{N} ~~M_{i} k-module libre de t.f.~~ b)(\Lambda^{j}\Psi_{*})^{\nu_{j}} (j \geqslant 0) (\nu_{j} \in \mathbb{N}) c) \Phi(i, \ell)^{\rho_{i,\ell}} (i \geqslant 1) \rho_{i,\ell} \in \mathbb{N} ~~où \Phi(i,\ell)~~ \ell un ~~idéal~~ diviseur de k (cf. plus bas la définition de \Phi(i,\ell)_{*}),

de façon précise L_{\bullet} \simeq \prod_{i \geqslant 1} M_{i} \otimes_{k} \Lambda^{i}\Phi_{\bullet} \times \prod_{j \geqslant 0} N_{j} \otimes_{k} \Lambda^{j}\Psi_{*} \times \prod_{\substack{i \geqslant 1\\ \ell \in \mathfrak{B}}} \Phi_{i,\ell}^{\rho_{i,\ell}} où pour tout i \geqslant 1, les \rho_{i,\ell} sauf un nb fini sont nuls. (NB de tels produits sont bien str. \partial-ps. coh.) On peut supposer de plus que pour tout i donné, l'ens. des \ell \in \mathfrak{B} tels que \rho_{i,\ell} \neq 0 soit totalement ordonné, moyennant

ces conditions, les entiers \mu_{i} (i \geqslant 1), \nu_{j} (j \geqslant 0), \rho_{i,\ell} (i \geqslant 1, \ell \in \mathfrak{B}) sont uniquement déterminés par les conditions suivantes

a)Pour tout i \geqslant 1, les \rho_{i,\ell} \neq 0 sont les multiplicités des diviseurs élémentaires de ~~Tors~~ \pi_{i-1}(L_{\bullet}) (= H_{i-1}(L^{!})) b) \nu_{i} = \operatorname{rg} \pi_{i}(L_{\bullet}) (= \operatorname{rg} H_{i}(L^{!})) c)On a ~~rang~~ \mu_{i} = \operatorname{rg} B_{i-1}(L^{!}) - \rho_{i} (où \rho_{i} = \sum_{\ell} \rho_{i,\ell}) d)On a de plus \begin{cases} \operatorname{rg} Z_{i}(L^{!}) = \mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i} \\ \operatorname{rg} L^{!}_{i} = \mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \rho_{i} + \nu_{i} \end{cases} la seconde ligne devrait contenir aussi \mu_{i}, par c) ; le manuscrit ne l'écrit pas, ou il est effacé sous une surcharge

Enfin L_{\bullet} est (str.) \partial-parfait ssi le nb de facteurs non nuls qui interviennent est fini.ajouté entre les lignes

Dém. On se ramène en vertu de Dold-Puppe, à une question tout à fait évidente sur les complexes de chaînes. Un sous-module d'un k-module projectif de t.f. est itou, on conclut que tout tel complexe, s'il est ~~pseudo~~ str. ps. coh. à comp. proj. de t.f., est produit de complexes (définis à isom. non unique près, ~~par le choix des~~ ) de la forme L^{!} \simeq \prod_{i} K_{i}, \qquad K_{i} : \quad \cdots \to 0 \to P_{i} \hookrightarrow Q_{i} \to 0 \to \cdots \quad \text{(en degrés $i$ et $i-1$)} avec P_{i} = B_{i-1} \hookrightarrow Z_{i-1} \simeq Q_{i}. les indications « degré i », « degré i-1 » sont portées au-dessus des deux termes

On désigne par \overline{P}_{i} \subset Q_{i} le le sous-gpe de torsion de Q_{i}/B_{i} \simeq H_{i-1} ; N_{i-1} = Q_{i}/\overline{P}_{i} est de t.f. sans torsion, donc ~~H_{i}/torsion~~ projectif de t.f., donc Q_{i} \simeq \overline{P}_{i} \oplus N_{i-1} et le complexe K_{i} est isom. à la somme directe des complexes \overline{K}_{i} : \ \cdots \to 0 \to P_{i} \hookrightarrow \overline{P}_{i} \to 0 \to 0, \qquad \cdots \to 0 \to N_{i-1} \to 0 les degrés i, i-1 sont notés au-dessus des termes, comme à la page précédente Enfin, P_{i} \hookrightarrow \overline{P}_{i} est une inclusion de modules projectifs de t.f. tels que \overline{P}_{i}/P_{i} (\simeq \operatorname{Tors} H_{i-1}) soit de torsion, d'où justiciable de la théorie des diviseurs élémentaires si k principal : le complexe est une somme directe ~~K_{i} \simeq~~ de complexes de la forme \cdots \to k \xrightarrow{\ m_{i,\alpha}\ } k \to 0 \qquad (1 \leqslant \alpha \leqslant N_{i},\ N_{i} = \operatorname{rg} P_{i} = \operatorname{rg} \overline{P}_{i}) avec les m_{i,\alpha} \in k - (0) (m_{i,\alpha} définis à une unité près) ; le nombre des m_{i,\alpha} qui sont des unités est \mu_{i} (cela leur correspond (\Lambda^{i}\Phi)^{\mu_{i}}), et si on prend les m_{i,\alpha} tels qu'ils soient croissants pour la divisibilité, on trouve une suite unique ; les multiplicités d'occurrences des diviseurs

dans la suite des \operatorname{div}(m_{\alpha}) est \rho_{i,\ell}, et \Phi(i,\ell)_{*} est le ~~complexe~~ module ½simplicial associé à \cdots \to 0 \to k \xrightarrow{\ n\ } k \to 0 \to \cdots \qquad \text{(en degrés $i$ et $i-1$)} où \operatorname{div}(n) = \ell. On a donc une extension 0 \to \Lambda^{i-1}\Psi \to \Phi(i,n) \to \Lambda^{i}\Psi \to 0 où l'homom. assoc. à cette extension k \to k (cf. ) est n \cdot \mathrm{id}, où \operatorname{div}(n) = \ell, donc \pi_{j}(\Phi(i,n)) = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i-1 \\ k/\operatorname{div} n & \text{si } j = i-1 . \end{cases}

Remarques. 1) La fonction de Hilbert de \Phi(i,n)_{*} est donc la même que celle de \Lambda^{i}\Phi_{\bullet}, savoir \binom{n+1}{i}. Donc si L_{\bullet} est str. \partial-parfait, il est donné par la de la page : \operatorname{rg} L_{n} = \sum_{i \leqslant n+1} (\mu_{i} + \rho_{i}) \binom{n+1}{i} + \sum_{0 \leqslant j \leqslant n} \nu_{j} \binom{n}{j} . 2) Donc L_{\bullet} est connu à isom. non unique près quand on connaît a) \operatorname{rg} \pi_{i}(L_{\bullet}) = \nu_{i} et le nombre \rho_{i+1} de ses diviseurs de torsion, pour tout i \geqslant 0, et b) la fonction f_{L_{\bullet}} pour n grand (qui s'écrit ~~alors~~ pour n grand comme le polynôme \sum_{i \geqslant 1} (\mu_{i} + \rho_{i}) \binom{n}{i} + \sum_{j \geqslant 0} \nu_{j} \binom{n}{j}ici \binom{n}{i}, là où la formule de 1) porte \binom{n+1}{i} ; la parenthèse n'est pas refermée

2) Pour que L_{\bullet} soit ~~projectif~~ plat (projectif), il f. et s. qu'il n'y ait que des facteurs (\Lambda^{i}\Phi_{*})^{\mu_{i}} (i.e. (\Lambda^{0}\Psi_{*})^{\nu_{0}} = k^{\nu_{0}}). Pour que L_{\bullet} \otimes_{k} K (K corps des fractions) soit il f. et suffit qu'il n'y ait que des (\Lambda^{i}\Phi_{\bullet})^{\mu_{i}}, \Phi_{*}(i,n)^{\rho_{i,\ell}} (i \geqslant 1) à l'exclusion des (\Lambda^{j}\Psi_{*})^{\nu_{j}} (j \geqslant 0).ajout entouré, entre les lignes. Il numérote 2) deux fois : à la fin de la page 18 et ici

~~Pour~~ 3) Pour déterminer la catégorie additive des k-modules ½simpliciaux str. \partial ps. coh. (resp. str. \partial parfaits), il suffit en principe de déterminer les homom. entre les objets indécomposables \Lambda^{i}\Phi, \Phi(i,n) n pas unité, défini à près, défini par \operatorname{div}(n) = \ell, \Lambda^{j}\Psi_{*} (i \geqslant 1, j \geqslant 0) — qu'on peut réduire à deux types si on admet aussi le cas n unité : \Phi(i,n), \Lambda^{j}\Psi_{*} (i \geqslant 1, j \geqslant 0). On trouve, en repassant aux complexes de chaînes associés

On a \operatorname{Hom}_{k}(\Phi(i,n), L_{\bullet}) \simeq d_{L_{\bullet},i}^{-1}(n L_{i-1}) \subset L_{i}

\begin{tikzcd} \cdots \arrow[r] & k \arrow[r, "n"] \arrow[d, "u_{i}"] & k \arrow[r] \arrow[d, "u_{i-1}"] & \cdots \\ \cdots \arrow[r] & L_{i} \arrow[r, "d_{i}"] & L_{i-1} \arrow[r] & \cdots \end{tikzcd}

(\xi_{i} \mapsto n\,\xi_{i-1}), donc ~~\operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi_{j}(m)) = \{0 si j \neq i, i+1~~ \operatorname{Hom}(\Phi(i,n), \Phi(j,m)_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i,\ i+1 \\ \{\xi \in k \mid m\xi \in nk\} = n'k \simeq k & \text{si } j = i \\ k & \text{si } j = i+1 \end{cases} « (où n' = n/(m,n)) » est ajouté à droite du cas j = i ; lecture incertaine engendré par le composé \Phi(i,n) \xrightarrow{\mathrm{can}} \Lambda^{i}\Psi_{*} \xrightarrow{\mathrm{can}} \Phi(i+1,m)_{*} [p. ex. on trouve \operatorname{Hom}_{k}(\Phi(i,n)_{*}, \Phi(i,n)_{*}) \simeq k \cdot \mathrm{id}_{\Phi(i,n)} \simeq k (isom. de k-algèbres) \forall\, i \geqslant 0, n \in k - \lbrace 0 \rbrace. ~~\operatorname{Hom}(\Lambda^{i}\Phi, \Lambda^{i+1}\Phi) \ldots~~ En particulier \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{i}\Phi_{*}) \simeq k\, \mathrm{id} \simeq k, \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{i+1}\Phi_{*}) \simeq k \cdot \lambda \simeq k, où \lambda = \uncertain{T_{\wedge}} : \Lambda^{i}\Phi_{*} \to \Lambda^{i+1}\Phi_{*}] \operatorname{Hom}_{k}(\Phi(i,n), \Lambda^{j}\Psi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases} [en particulier \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Phi_{*}, \Lambda^{j}\Psi_{*}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i \\ k & \text{si } j = i \end{cases} et le générateur dans le cas j = i est l'homom. can. \Lambda^{i}\Phi_{*} \xrightarrow{\mathrm{can}} \Lambda^{i}\Psi_{*}] \operatorname{Hom}_{k}(\Lambda^{i}\Psi_{*}, L_{\bullet}) \simeq Z_{i}(L_{*}) \simeq k^{\mu_{i+1} + \rho_{i+1} + \nu_{i}} en particulier