Cote n° 136, pages 281–300

Cote n° 136 · batch 15 · pages 281–300 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

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Coalgèbres : noyau, intersection des $P_i$, produit tensoriel au-dessus de $S$

282Page de calculs sans prose suivie ; l'argument commence avant ce lot (la ligne du haut s'ouvre sur un trait, comme la suite d'une ligne précédente). Les objets $C$, $C'$, $C''$, $S$ et le foncteur $V$ ne sont pas définis sur ces pages.

\[\cdots \to P \longrightarrow C\otimes C' \rightrightarrows C\otimes C'\otimes S\]

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\begin{tikzcd}
V(P) & V(C\otimes C') \arrow[l] \arrow[dl] & V(C)\times V(C')\times V(S) \arrow[l, bend left=15] \arrow[l, bend right=15] \\
V(C'') & &
\end{tikzcd}

dans $V(C\otimes C')$, le signe $\otimes$ est écrit sur un symbole biffé illisible.

\[P = \operatorname{Ker}\bigl(C\otimes C' \rightrightarrows C\otimes C'\otimes S\bigr)\] le dernier facteur $\otimes S$ est biffé dans cette formule.

\[P\otimes S = \operatorname{Ker}\bigl(C\otimes C'\otimes S \rightrightarrows C\otimes S\otimes C'\otimes S\bigr)\] précédé de « $P$ $\otimes$ $\longrightarrow$ » ; des accolades soulignent $C\otimes$ dans le premier terme et $C\otimes S\otimes$ dans le second.

\[P \to C\otimes C', \qquad P\otimes S \to C\otimes C'\otimes S\]

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\begin{tikzcd}
P \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "?"'] & C\otimes C' \arrow[d, bend right=20, "\alpha"'] \arrow[d, bend left=20, "\beta"] \\
P\otimes S \arrow[r, hook, "{i\otimes\mathrm{id}_S}"] & C\otimes C'\otimes S
\end{tikzcd}

la flèche du bas est tracée en inclusion, le crochet du côté de $P\otimes S$, sans tête nette.

\[\alpha i = \beta i \;\overset{?}{=}\; (i\otimes\mathrm{id}_S)\circ\Delta_P\] $\Delta_P$ est entouré, avec un point d'interrogation.

$x\in C\otimes C'$, $x$ $s\in S$, $\alpha(x)=\beta(x)$ $\longrightarrow$ dans $\operatorname{Im}(x\otimes S \to C\otimes C'\otimes S)$ ; $x\otimes S$.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & C'' \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\
\cdots P_3 \arrow[r, hook] \arrow[d] & P_2 \arrow[r, hook] \arrow[d] & P_1 \arrow[r, hook] \arrow[dr] & C\otimes C' \arrow[d, bend right=20, "\alpha"'] \arrow[d, bend left=20, "\beta"] \\
P_2\otimes S \arrow[r, hook] & P_1\otimes S \arrow[rr, hook] & & C\otimes C'\otimes S
\end{tikzcd}

la disposition est simplifiée : sur la page, $C''$ envoie trois flèches vers la chaîne $\cdots\subset P_3\subset P_2\subset P_1\subset C\otimes C'$, et chaque $P_{i+1}$ envoie une flèche oblique vers $P_i\otimes S$, $P_1$ vers $C\otimes C'\otimes S$.

\[P_\infty = \bigcap P_i\] $P_\infty$ $\otimes S$ $\longrightarrow C\otimes C'\otimes$ $C$ \[P_\infty \longrightarrow \bigcap P_i\otimes S = P_\infty\otimes S\]

\[\mathbf{P}\] \[\text{\struck{$A\otimes$}}\quad S^h\otimes_h S^h = S, \qquad u\otimes 1 - 1\otimes u\] la ligne $u\otimes 1-1\otimes u$ est suivie d'une croix (biffure ou renvoi) ; la lettre $h$ est lue sous réserve, ce pourrait être $k$.

\[C''\subset C\otimes_k C', \qquad \text{\struck{$M\otimes_k N$}}\] \[u_C\otimes\mathrm{id}_{C'} = \mathrm{id}_C\otimes u_C\] \[x\otimes 1 - 1\otimes x, \qquad x\otimes y - 1\otimes xy\] \[V(C)\boxtimes_{V(S)} V(C')\]

coproduits dans […] souligné.

\[C \longrightarrow C\boxtimes_S C\] \[\text{\struck{$M\otimes M'\otimes S\otimes S$}}\] \[M\otimes S \qquad M'\otimes S\] \[V(C)\times V(C'') \longrightarrow V(C'')\] $V(S) \longrightarrow$ […]

$\Longrightarrow$ $C''\longrightarrow C\boxtimes C'$ hom. de coalgèbres.

284

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\begin{tikzcd}
S \arrow[r, "\Delta_S"] & S\otimes S & \\
C \arrow[u, "u"] \arrow[r, "\Delta_C"] & C\otimes C \arrow[u] \arrow[r, "{\mathrm{id}_C\otimes u}"] & C\otimes S
\end{tikzcd}

les deux $S$ du haut sont écrits sur d'autres lettres ; l'étiquette $u$ de la flèche verticale gauche est reliée par un trait courbe.

$V(S)$ Anneau opère sur $V(C)$

$V(C)$ structure d'algèbre sur $V(S)$ ?

$V(C)$ $\otimes$ […] $V(C') \longrightarrow V(C'')$ bil. p.r. à $V(S)$

1°) bil. p.r. à […] $\odot$ d'un accouplement : \[C'' \longrightarrow C\otimes_k C'\]

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\begin{tikzcd}
V(C)\times V(S)\times V(C') \arrow[r, "{\mathrm{id}_{V(C)}\times\omega_{V(C')}}"] \arrow[d] & V(C)\times V(C') \arrow[d] \\
V(C'')\times V(S) \arrow[r] & V(C'')
\end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche verticale gauche, $\omega_{V(C)}\times\mathrm{id}_{V(S)}$, est biffée.

\[V(C)\times\operatorname{Spec}(A) \longrightarrow V(C'') \qquad \begin{array}{c} \text{\struck{$\uparrow$}} \\ C'' \end{array} \qquad V(C)\longrightarrow V(C'')\] \[\text{\struck{$V(C)\times V(S)\times\operatorname{Spec}(A)$}}\]

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\begin{tikzcd}
C \arrow[d] & C'' \arrow[l] \arrow[d] \\
C\otimes S & C''\otimes S \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[C\otimes A \longleftarrow C'' \qquad\qquad V(C)\times V(C') \longrightarrow V(C'')\] \[\operatorname{Sym}(C)\otimes\operatorname{Sym}(C') \longleftarrow C''\]

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\begin{tikzcd}
C'' \arrow[r] \arrow[d] & C\otimes A \arrow[d] \\
C''\otimes S \arrow[r] & C\otimes S\otimes A
\end{tikzcd}

$C\otimes\operatorname{Sym}(C')\cap$ […] \[\Delta_C\otimes\mathrm{id}_{C'} \simeq \mathrm{id}_C\otimes\Delta_{C'}\] \[\simeq (\alpha\otimes\mathrm{id}_S)\circ\Delta_{C''}\]

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\begin{tikzcd}
C'' \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "\Delta_{C''}"'] & C\otimes C' \arrow[d, "{\Delta_C\otimes\mathrm{id}_{C'}}"] \\
C''\otimes S \arrow[r, "{\alpha\otimes\mathrm{id}_S}"'] & C\otimes S\otimes C'
\end{tikzcd}

une flèche courbe part de la droite du carré et revient sur $C\otimes S\otimes C'$ ; une autre relie la formule biffée $C\otimes\operatorname{Sym}(C')\cap\ldots$ à la ligne $\Delta_C\otimes\mathrm{id}_{C'}\simeq\ldots$.

Modules gradués : troncatures et foncteurs adjoints

286(1) $S$ anneau $\mathbb{Z}$-gradué ⌜comm.⌝ à degrés $\geq 0$, $S=\sum_{n\geq 0} S_n$ $S_0=k$ ;

(2) $k = S_0$ ;

(3) $\operatorname{Modgr.d}(S) = \mathcal{M}$ ;

(4) $t$ foncteur translation \[\left\{\begin{aligned} &t : \mathcal{M}\to\mathcal{M}\\ &(4.1)\quad t(M)_i = M_{i+1} \end{aligned}\right.\] c'est un automorphisme de $\mathcal{M}$ ; $M[i] = t^i(M)$.

(4.2) $\mathcal{M}$ Pour tout entier $N$ on considère les deux sous-catégories pleines ⌜strictes⌝ $\mathcal{M}_N$, $\mathcal{M}^N$ de $\mathcal{M}$ définies par \[(5)\qquad \begin{aligned} \operatorname{Ob}\mathcal{M}_N &= \{P\in\operatorname{Ob}\mathcal{M} \mid P_i = 0 \ \ \forall i<N\}\\ \operatorname{Ob}\mathcal{M}^N &= \{P \mid P_i = 0 \ \ \forall i>N\} \end{aligned}\]

N.B. Les $\mathcal{M}_N$ ($\mathcal{M}^N$) décroissant (croissant) pour $N$ croissant. On a \[(6)\qquad t^i(\mathcal{M}_N) = \mathcal{M}_{N-i}, \qquad t^i(\mathcal{M}^N) = \mathcal{M}^{N-i}\] donc En particulier est \[(6.1)\qquad \mathcal{M}_N = t^{-N}\mathcal{M}_0, \qquad \mathcal{M}^N = t^{-N}\mathcal{M}^0 .\]

⌜Donc⌝ (La catégorie $\mathcal{M}$, munie déjà de l'automorphisme $t$, la donnée des familles $(\mathcal{M}_N)$ et $(\mathcal{M}^N)$ avec leurs inclusions déjà notées \[(7)\qquad \mathcal{M}_N\supset\mathcal{M}_{N'} \ \text{ et }\ \mathcal{M}^N\subset\mathcal{M}^{N'} \quad\text{si } N\leq N'\] équivaut : à celle du couple \[(8)\qquad \mathcal{M}_0,\ \mathcal{M}^0 \quad\text{avec}\quad t\mathcal{M}_0\subset\mathcal{M}_0,\quad t\mathcal{M}^0\supset\mathcal{M}^0 .\] dans (8), le $\subset$ est repassé sur un autre signe. On se servira d'ailleurs comme $\mathcal{M}_N$, $\mathcal{M}^{N-1}$ […]

[…] se déterminent mutuellement […] $\mathcal{M}_0\simeq\mathcal{M}^0$ passant […] tous […] $\mathcal{M}_N$, $\mathcal{M}^N$. ces deux dernières lignes sont écrites vite et très abrégées ; la première est en grande partie biffée.

288On considère les foncteurs d'inclusion \[(9)\qquad i_N : \mathcal{M}_N\hookrightarrow\mathcal{M}, \qquad i^N : \mathcal{M}^N\to\mathcal{M}\] plus généralement, pour $N\leq N'$ \[(9.1)\qquad i_{N,N'} : \mathcal{M}_{N'}\hookrightarrow\mathcal{M}_N, \qquad i^{N',N} : \mathcal{M}^N\hookrightarrow\mathcal{M}^{N'}\] On se étudiera les d'où \[(9.2)\qquad i_N\, i_{N,N'} = i_{N'}, \qquad i^{N'}\, i^{N',N} = i^N\] plus et si $N\leq N'\leq N''$, d'où \[(9.3)\quad \left\{\begin{aligned} &\mathcal{M}_{N''}\subset\mathcal{M}_{N'}\subset\mathcal{M}_N \qquad \mathcal{M}^N\subset\mathcal{M}^{N'}\subset\mathcal{M}^{N''}\\ &i_{N,N''} = i_{N,N'}\, i_{N',N''} \qquad i^{N'',N} = i^{N'',N'}\, i^{N',N} \end{aligned}\right.\]

On va étudier la suite de foncteurs adjoints aux $i_N$, $i_{N,N'}$ d'une part, $i^N$, $i^{N,N'}$ d'autre part.

Proposition 1. $i_N$ ⌜$: \mathcal{M}_N\hookrightarrow\mathcal{M}$⌝ s'insère dans une suite de 4 foncteurs adjoints \[(10)\qquad q_N \quad i_N \quad \tau_N \quad \varphi_N\] (chaque foncteur adjoint pour $i_N$, $\tau_N$, $\varphi_N$ adjoint à droite de celui écrit à sa gauche) définis ainsi :

a) $\tau_N : \mathcal{M}\to\mathcal{M}_N$ (foncteur troncature à droite) \[\tau_N(P) \subset P \quad\text{(sous-objet de $P$)}\] sous le $\subset$, un renvoi : « hom. d'adjonction » ; sous $\tau_N(P)$, un « $=$ » vertical renvoie à $i_N\tau_N(P)$. \[(10.1)\qquad (\tau_N(P))_i = \begin{cases} P_i & \text{si } i\geq N\\ 0 & \text{si } i<N \end{cases}\]

290b) $\varphi_N : \mathcal{M}_N\to\mathcal{M}$ \[(10.2)\quad \left|\;\begin{aligned} (\varphi_N(Q))_i &= \operatorname{Hom}^i_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}(S),\, Q) \ \bigl(\longrightarrow \operatorname{Hom}^0_{\mathcal{M}}(S,Q) = Q_i\bigr)\\ &= \operatorname{Hom}^*_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}(S)[-i],\, Q) \end{aligned}\right.\] au-dessus du $Q$ de la première ligne, un « $=$ » vertical renvoie à $i_N Q$.

Avec […] structure de module provenant (pour $k\in\mathbb{Z}$, $u\in S^*_k$) des applications \[\tau_{N-i}(S) \xleftarrow{\ \deg k\ } \tau_{N-i-k}(S)\] multiplication par $u$, en transposant ; on a un hom. (dans […] $\mathcal{M}$, décrit dans (10.2)) \[(10.2.1)\qquad \varphi_N(Q) \longrightarrow i_N(Q)\] d'où en appliquant $\tau_N$ \[(10.2.2)\qquad \tau_N\varphi_N Q \xrightarrow[\text{adj.}]{\ \sim\ } Q\] qui est un isom. (c'est un hom. d'adjonction).

L'autre hom. d'adjonction $\varphi_N\tau_N$… $P \longrightarrow \varphi_N\tau_N P$ est déduit des […] \[(10.2.3)\quad \left|\;\begin{aligned} &\text{\struck{$\tau_N P \longrightarrow P$}} \quad \operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S,\, P)\\ &P_i \longrightarrow (\varphi_N\tau_N P)_i \simeq \operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S,\, \tau_N P) \end{aligned}\right.\] sur la page, $P_i$ envoie aussi une flèche oblique, marquée $\simeq$, vers $\operatorname{Hom}^i(S,P)$, d'où une flèche remonte vers $\operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S,\tau_N P)$ ; dans $\tau_{N-i}S$ de la ligne du haut, l'indice est surchargé. tout hom. de degré $i$ de $S$ dans $P$ de $\tau_{N-i}S$ dans $P$ est à valeurs dans $\tau_N P\subset P$ l'indice de $\tau_N P$ dans cette note est écrit sur un autre, biffé.

c) (N.B. On n'utilisera pas $q_N$, on le met par conscience) : \[q_N(P) = P/\text{sous-module engendré par les } P_i \text{ pour } i<N\]

292Cor.) Les foncteurs $i_N$, $\tau_N$ commutent à toutes les sortes de limites inductives et projectives, $q_N$ commute aux $\varinjlim$, $\varphi_N$ aux $\varprojlim$. Les foncteurs $i_N$, $\varphi_N$ sont pl. fid., les foncteurs $q_N$, $\tau_N$ sont des foncteurs localisation. […] Pour $\tau_N$ comme il est exact, et commute aux $\varinjlim$ et $\varprojlim$) c'est la localisation par une sous-cat. abélienne épaisse, stable par $\varinjlim$ et $\varprojlim$ ; en fait c'est précisément la sous-cat. $\mathcal{M}^{N-1}$ (qui est ainsi décrite […] en termes de $\mathcal{M}_N$). tout le paragraphe est marqué d'un trait vertical en marge gauche ; dans « $q_N$, $\tau_N$ sont des foncteurs localisation », les deux symboles sont repassés sur d'autres.

294$C$ catégorie abélienne

$S$ anneau $\mathbb{Z}$-gradué comm. à degrés $\geq 0$

$\mathcal{M}$ ⌜$=\mathcal{M}(C,S)$⌝ (catégorie des $C$-$S$-modules gradués).

$\mathcal{M}_N$, $\mathcal{M}^N$ définis comme plus haut \[\mathcal{M}_N \xrightarrow{\ i_N\ } \mathcal{M}\] admet foncteur adjoint à droite \[\mathcal{M} \xrightarrow{\ \tau_N\ } \mathcal{M}_N, \qquad i_N\tau_N(P)\hookrightarrow P .\] qui admet Construisons adjoint à droite $\varphi_N$ de $\tau_N$ : \[\operatorname{Hom}_{\mathcal{M}_N}(\tau_N P,\, Q) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(P,\, \varphi_N Q)\ ? \qquad (Q\in\mathcal{M}_N)\] Il faut bien prouver que pour $Q$ fixé, le premier membre, comme foncteur en $P$, soit représentable. Or il est clair que $\tau_N$ commute aux $\varinjlim$ quelconques, donc le foncteur envisagé transforme les $\varinjlim$ en $\varprojlim$. Cela implique déjà ce qu'on veut lorsque $C$ ou $C^\circ$ est une « cat. de Groth. »…

Comment ⌜alors⌝ décrire les $(\varphi_N Q)_i\in\operatorname{Ob}C$ ? On a […] pour tout $M\in\operatorname{Ob}\mathcal{M}$ \[M_i \simeq \mathbf{Hom}^*(S,\, M)_i\] ici et dans la suite, $\mathbf{Hom}$ rend un Hom souligné. donc \[\begin{aligned} (\varphi_N Q)_i &\simeq \mathbf{Hom}^*(S,\, \varphi_N Q)_i \simeq \mathbf{Hom}^*(S[-i],\, \varphi_N Q)_0\\ &\overset{\text{justifier}}{=} \mathbf{Hom}^*(\tau_N(S[-i]),\, Q)_0\\ &= \bigl(\mathbf{Hom}^*((\tau_{N-i}(S))[-i],\, Q)\bigr)_0 \end{aligned}\]

296\[\begin{aligned} &\text{\struck{$=\bigl(\mathbf{Hom}^*((\tau_N S)[-i],\, Q)\bigr)_0$}}\\ &\text{\struck{$=\mathbf{Hom}^*(\tau_{N-i}S$}}\\ &\simeq \bigl(\mathbf{Hom}^*(\tau_{N-i}(S),\, Q)\bigr)_i\\ &\simeq \mathbf{Hom}^i(\tau_{N-i}(S),\, Q) \end{aligned}\] les deux premières lignes sont barrées de traits obliques.

Enfin si dans $C$ les $\varprojlim$ existent, alors $i_N$ admet un adjoint à gauche $q_N$.

En dualisant $C$, en appliquant ce qui précède à $C^\circ$, en utilisant l'isom. \[\begin{array}{ccc} \mathcal{M}(C,S)^\circ & \simeq & \mathcal{M}(C^\circ,S)\\ \cup & & \cup\\ \mathcal{M}^N(C,S)^\circ & \simeq & \mathcal{M}_{-N}(C^\circ,S) \end{array}\] l'exposant $N$ de $\mathcal{M}^N(C,S)^\circ$ est écrit sur un indice biffé ; l'indice du membre de droite porte un petit trait devant le $N$, lu comme un signe moins sous réserve. on voit que (si $C$ ou $C^\circ$ est une cat. de Groth. par ex.) les foncteurs \[i^N : \mathcal{M}^N\longrightarrow\mathcal{M}\] s'insère dans admet une suite de 4 d'adjoints foncteurs adjoints \[\varphi^N \quad \tau^N \quad i^N \quad q^N\] qui se déduisent de façon évidente […] la phrase s'arrête là ; le bas de la page est vide.

298Feuillet de calculs isolé, sans prose ; il reprend les troncatures dans un cadre où interviennent $S_k$ et un anneau de polynômes $k[T]$. Les notations n'y sont pas définies.

$\delta\geq$ […], $\beta\geq 0$, $\alpha,\beta\geq 0$, $d\geq\beta-\alpha$ le $0$ de $\alpha,\beta\geq 0$ est repassé sur une autre lettre, et le $d$ est écrit sur un autre symbole.

\[\operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_{\alpha}M_{S_k},\, \tau_\beta N_{S_k}\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_{\alpha'}M_{S_k},\, \tau_{\beta'}N_{S_k}\bigr)\] \[\left(\begin{aligned} &\alpha'\geq\alpha\\ &\beta'\geq\beta\\ &\text{(biffé)}\\ &\beta'-\alpha'\geq d \end{aligned}\right)\] les indices de troncature de $M$ sont surchargés dans les deux membres ; la lecture $\alpha$, $\alpha'$ est tirée de la condition entre parenthèses et reste douteuse. Dans la parenthèse, une ligne biffée est illisible ; dans $\gamma\geq -d$, un symbole biffé précède $-d$ ; le « sinon » de la ligne suivante est une lecture douteuse. \[\Big\downarrow{\scriptstyle 2}\qquad \gamma\geq{-d}\quad(\text{si } d\leq 0)\] \[\operatorname{Hom}^d(\tau_\gamma M,\, N) \quad (\text{sinon}\ \operatorname{Hom}^d(M,\, \tau_\gamma N),\ \text{si } 0\leq\gamma\leq d,\] \[\simeq\ \operatorname{Hom}^d\bigl(M_{S_k},\, \varphi_\beta\tau_\beta N_{S_k}\bigr) \quad (\text{si } d\leq 0)\] \[\simeq\ \operatorname{Hom}^d\bigl(S_k,\, \varphi_0(\mathbf{Hom}_k(M,N)_{S_k})\bigr)\] \[\simeq\ \bigl(\varphi_0(\mathbf{Hom}_k(M,N)_{S_k})\bigr)_d\] dans l'avant-dernière ligne, $\mathbf{Hom}_k$ est écrit sur un premier Hom à indice biffé.

$M_k$ $k$-module

$M_{S_k} = M\otimes_k k[T]$ \[(\varphi_0 M_{S_k})_d = \operatorname{Hom}^{-d}(\tau_d S_k,\, M_{S_k})\] \[\begin{array}{c} \cup \\ u \end{array} \qquad u(T^{(i)}) = \xi_i\, T^{(i-d)} \quad (i\geq d), \qquad \xi_i\in M\] \[u(T^{(i)}T^{\ell}) = c_{i\ell}\,\xi_{i+\ell}\,T^{(i+\ell-d)}\] sous $T^{(i)}T^{\ell}$, une accolade renvoie à $c_{i\ell}T^{(i+\ell)}$. \[u(T^{(i)})\,T^{\ell} = \xi_i\, T^{(i-d)}\,T^{\ell} = c_{i-d,\ell}\,\xi_i\, T^{(i+\ell-d)}\] \[i\geq d,\ \ell\geq 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{\,c_{i,\ell}\,\xi_{i+\ell} = c_{i-d,\ell}\,\xi_i\,}\] \[c_{d,\ell}\,\xi_{d+\ell} = \xi_d\] la page s'arrête sur cette relation ; la suite du calcul n'est pas dans ce lot.

Notations ½ simpliciales. Constructions universelles

Ces deux lignes sont de sa main, seules sur un feuillet (p. 300) qui sert de couverture à la série suivante, hors de ce lot ; « ½ simpliciales » se lit « semi-simpliciales ».

Coalgèbres : noyau, intersection des \(P_i\), produit tensoriel au-dessus de \(S\)

Modules gradués : troncatures et foncteurs adjoints

Notations ½ simpliciales. Constructions universelles