Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 281–300

Coalgèbres : noyau, intersection des P_i, produit tensoriel au-dessus de S

Page de calculs sans prose suivie ; l'argument commence avant ce lot (la ligne du haut s'ouvre sur un trait, comme la suite d'une ligne précédente). Les objets C, C', C'', S et le foncteur V ne sont pas définis sur ces pages.

\cdots \to P \longrightarrow C\otimes C' \rightrightarrows C\otimes C'\otimes S

\begin{tikzcd} V(P) & V(C\otimes C') \arrow[l] \arrow[dl] & V(C)\times V(C')\times V(S) \arrow[l, bend left=15] \arrow[l, bend right=15] \\ V(C'') & & \end{tikzcd}

dans V(C\otimes C'), le signe \otimes est écrit sur un symbole biffé illisible.

P = \operatorname{Ker}\bigl(C\otimes C' \rightrightarrows C\otimes C'\otimes S\bigr) le dernier facteur \otimes S est biffé dans cette formule.

P\otimes S = \operatorname{Ker}\bigl(C\otimes C'\otimes S \rightrightarrows C\otimes S\otimes C'\otimes S\bigr) précédé de « P ~~\otimes~~ \longrightarrow » ; des accolades soulignent C\otimes dans le premier terme et C\otimes S\otimes dans le second.

P \to C\otimes C', \qquad P\otimes S \to C\otimes C'\otimes S

\begin{tikzcd} P \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "?"'] & C\otimes C' \arrow[d, bend right=20, "\alpha"'] \arrow[d, bend left=20, "\beta"] \\ P\otimes S \arrow[r, hook, "{i\otimes\mathrm{id}_S}"] & C\otimes C'\otimes S \end{tikzcd}

la flèche du bas est tracée en inclusion, le crochet du côté de P\otimes S, sans tête nette.

\alpha i = \beta i \;\overset{?}{=}\; (i\otimes\mathrm{id}_S)\circ\Delta_P \Delta_P est entouré, avec un point d'interrogation.

x\in C\otimes C', x s\in S, \alpha(x)=\beta(x) \longrightarrow dans \operatorname{Im}(x\otimes S \to C\otimes C'\otimes S) ; x\otimes S.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & C'' \arrow[dl] \arrow[d] \arrow[dr] & \\ \cdots P_3 \arrow[r, hook] \arrow[d] & P_2 \arrow[r, hook] \arrow[d] & P_1 \arrow[r, hook] \arrow[dr] & C\otimes C' \arrow[d, bend right=20, "\alpha"'] \arrow[d, bend left=20, "\beta"] \\ P_2\otimes S \arrow[r, hook] & P_1\otimes S \arrow[rr, hook] & & C\otimes C'\otimes S \end{tikzcd}

la disposition est simplifiée : sur la page, C'' envoie trois flèches vers la chaîne \cdots\subset P_3\subset P_2\subset P_1\subset C\otimes C', et chaque P_{i+1} envoie une flèche oblique vers P_i\otimes S, P_1 vers C\otimes C'\otimes S.

P_\infty = \bigcap P_i P_\infty ~~\otimes S~~ \longrightarrow C\otimes C'\otimes C P_\infty \longrightarrow \bigcap P_i\otimes S = P_\infty\otimes S

\mathbf{P} \text{\struck{$A\otimes$}}\quad S^h\otimes_h S^h = S, \qquad u\otimes 1 - 1\otimes u la ligne u\otimes 1-1\otimes u est suivie d'une croix (biffure ou renvoi) ; la lettre h est lue sous réserve, ce pourrait être k.

C''\subset C\otimes_k C', \qquad \text{\struck{$M\otimes_k N$}} u_C\otimes\mathrm{id}_{C'} = \mathrm{id}_C\otimes u_C x\otimes 1 - 1\otimes x, \qquad x\otimes y - 1\otimes xy V(C)\boxtimes_{V(S)} V(C')

coproduits dans souligné.

C \longrightarrow C\boxtimes_S C \text{\struck{$M\otimes M'\otimes S\otimes S$}} M\otimes S \qquad M'\otimes S V(C)\times V(C'') \longrightarrow V(C'') V(S) \longrightarrow

\Longrightarrow C''\longrightarrow C\boxtimes C' hom. de coalgèbres.

\begin{tikzcd} S \arrow[r, "\Delta_S"] & S\otimes S & \\ C \arrow[u, "u"] \arrow[r, "\Delta_C"] & C\otimes C \arrow[u] \arrow[r, "{\mathrm{id}_C\otimes u}"] & C\otimes S \end{tikzcd}

les deux S du haut sont écrits sur d'autres lettres ; l'étiquette u de la flèche verticale gauche est reliée par un trait courbe.

V(S) ~~Anneau~~ opère sur V(C)

V(C) structure d'algèbre sur V(S) ?

V(C) ~~\otimes~~ V(C') \longrightarrow V(C'') bil. p.r. à V(S)

1°) bil. p.r. à \odot d'un accouplement : C'' \longrightarrow C\otimes_k C'

\begin{tikzcd} V(C)\times V(S)\times V(C') \arrow[r, "{\mathrm{id}_{V(C)}\times\omega_{V(C')}}"] \arrow[d] & V(C)\times V(C') \arrow[d] \\ V(C'')\times V(S) \arrow[r] & V(C'') \end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche verticale gauche, ~~\omega_{V(C)}\times\mathrm{id}_{V(S)}~~, est biffée.

V(C)\times\operatorname{Spec}(A) \longrightarrow V(C'') \qquad \begin{array}{c} \text{\struck{$\uparrow$}} \\ C'' \end{array} \qquad V(C)\longrightarrow V(C'') \text{\struck{$V(C)\times V(S)\times\operatorname{Spec}(A)$}}

\begin{tikzcd} C \arrow[d] & C'' \arrow[l] \arrow[d] \\ C\otimes S & C''\otimes S \arrow[l] \end{tikzcd}

C\otimes A \longleftarrow C'' \qquad\qquad V(C)\times V(C') \longrightarrow V(C'') \operatorname{Sym}(C)\otimes\operatorname{Sym}(C') \longleftarrow C''

\begin{tikzcd} C'' \arrow[r] \arrow[d] & C\otimes A \arrow[d] \\ C''\otimes S \arrow[r] & C\otimes S\otimes A \end{tikzcd}

~~C\otimes\operatorname{Sym}(C')\cap~~ \Delta_C\otimes\mathrm{id}_{C'} \simeq \mathrm{id}_C\otimes\Delta_{C'} \simeq (\alpha\otimes\mathrm{id}_S)\circ\Delta_{C''}

\begin{tikzcd} C'' \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "\Delta_{C''}"'] & C\otimes C' \arrow[d, "{\Delta_C\otimes\mathrm{id}_{C'}}"] \\ C''\otimes S \arrow[r, "{\alpha\otimes\mathrm{id}_S}"'] & C\otimes S\otimes C' \end{tikzcd}

une flèche courbe part de la droite du carré et revient sur C\otimes S\otimes C' ; une autre relie la formule biffée C\otimes\operatorname{Sym}(C')\cap\ldots à la ligne \Delta_C\otimes\mathrm{id}_{C'}\simeq\ldots.

Modules gradués : troncatures et foncteurs adjoints

(1) S anneau \mathbb{Z}-gradué comm. à degrés \geq 0, S=\sum_{n\geq 0} S_n ~~S_0=k~~ ;

(2) k = S_0 ;

(3) \operatorname{Modgr.d}(S) = \mathcal{M} ;

(4) t foncteur translation \left\{\begin{aligned} &t : \mathcal{M}\to\mathcal{M}\\ &(4.1)\quad t(M)_i = M_{i+1} \end{aligned}\right. c'est un automorphisme de \mathcal{M} ; M[i] = t^i(M).

(4.2) ~~\mathcal{M}~~ Pour tout entier N on considère les deux sous-catégories pleines strictes \mathcal{M}_N, \mathcal{M}^N de \mathcal{M} définies par (5)\qquad \begin{aligned} \operatorname{Ob}\mathcal{M}_N &= \{P\in\operatorname{Ob}\mathcal{M} \mid P_i = 0 \ \ \forall i<N\}\\ \operatorname{Ob}\mathcal{M}^N &= \{P \mid P_i = 0 \ \ \forall i>N\} \end{aligned}

N.B. Les \mathcal{M}_N (\mathcal{M}^N) décroissant (croissant) pour N croissant. On a (6)\qquad t^i(\mathcal{M}_N) = \mathcal{M}_{N-i}, \qquad t^i(\mathcal{M}^N) = \mathcal{M}^{N-i} ~~donc~~ En particulier ~~est~~ (6.1)\qquad \mathcal{M}_N = t^{-N}\mathcal{M}_0, \qquad \mathcal{M}^N = t^{-N}\mathcal{M}^0 .

Donc (La catégorie \mathcal{M}, munie déjà de l'automorphisme t, la donnée des familles (\mathcal{M}_N) et (\mathcal{M}^N) avec leurs inclusions déjà notées (7)\qquad \mathcal{M}_N\supset\mathcal{M}_{N'} \ \text{ et }\ \mathcal{M}^N\subset\mathcal{M}^{N'} \quad\text{si } N\leq N' équivaut : à celle du couple (8)\qquad \mathcal{M}_0,\ \mathcal{M}^0 \quad\text{avec}\quad t\mathcal{M}_0\subset\mathcal{M}_0,\quad t\mathcal{M}^0\supset\mathcal{M}^0 . dans (8), le \subset est repassé sur un autre signe. On se servira d'ailleurs comme \mathcal{M}_N, \mathcal{M}^{N-1}

se déterminent mutuellement \mathcal{M}_0\simeq\mathcal{M}^0 passant tous \mathcal{M}_N, \mathcal{M}^N. ces deux dernières lignes sont écrites vite et très abrégées ; la première est en grande partie biffée.

On considère les foncteurs d'inclusion (9)\qquad i_N : \mathcal{M}_N\hookrightarrow\mathcal{M}, \qquad i^N : \mathcal{M}^N\to\mathcal{M} plus généralement, pour N\leq N' (9.1)\qquad i_{N,N'} : \mathcal{M}_{N'}\hookrightarrow\mathcal{M}_N, \qquad i^{N',N} : \mathcal{M}^N\hookrightarrow\mathcal{M}^{N'} ~~On se étudiera les~~ d'où (9.2)\qquad i_N\, i_{N,N'} = i_{N'}, \qquad i^{N'}\, i^{N',N} = i^N ~~plus~~ et si N\leq N'\leq N'', d'où (9.3)\quad \left\{\begin{aligned} &\mathcal{M}_{N''}\subset\mathcal{M}_{N'}\subset\mathcal{M}_N \qquad \mathcal{M}^N\subset\mathcal{M}^{N'}\subset\mathcal{M}^{N''}\\ &i_{N,N''} = i_{N,N'}\, i_{N',N''} \qquad i^{N'',N} = i^{N'',N'}\, i^{N',N} \end{aligned}\right.

On va étudier la suite de foncteurs adjoints aux i_N, i_{N,N'} d'une part, i^N, i^{N,N'} d'autre part.

Proposition 1. i_N : \mathcal{M}_N\hookrightarrow\mathcal{M} s'insère dans une suite de 4 foncteurs adjoints (10)\qquad q_N \quad i_N \quad \tau_N \quad \varphi_N (chaque foncteur adjoint pour i_N, \tau_N, \varphi_N adjoint à droite de celui écrit à sa gauche) définis ainsi :

a) \tau_N : \mathcal{M}\to\mathcal{M}_N (foncteur troncature à droite) \tau_N(P) \subset P \quad\text{(sous-objet de $P$)} sous le \subset, un renvoi : « hom. d'adjonction » ; sous \tau_N(P), un « = » vertical renvoie à i_N\tau_N(P). (10.1)\qquad (\tau_N(P))_i = \begin{cases} P_i & \text{si } i\geq N\\ 0 & \text{si } i<N \end{cases}

b) \varphi_N : \mathcal{M}_N\to\mathcal{M} (10.2)\quad \left|\;\begin{aligned} (\varphi_N(Q))_i &= \operatorname{Hom}^i_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}(S),\, Q) \ \bigl(\longrightarrow \operatorname{Hom}^0_{\mathcal{M}}(S,Q) = Q_i\bigr)\\ &= \operatorname{Hom}^*_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}(S)[-i],\, Q) \end{aligned}\right. au-dessus du Q de la première ligne, un « = » vertical renvoie à i_N Q.

~~Avec~~ structure de module provenant (pour k\in\mathbb{Z}, u\in S^*_k) des applications \tau_{N-i}(S) \xleftarrow{\ \deg k\ } \tau_{N-i-k}(S) multiplication par u, en transposant ; on a un hom. (dans \mathcal{M}, décrit dans (10.2)) (10.2.1)\qquad \varphi_N(Q) \longrightarrow i_N(Q) d'où en appliquant \tau_N (10.2.2)\qquad \tau_N\varphi_N Q \xrightarrow[\text{adj.}]{\ \sim\ } Q qui est un isom. (c'est un hom. d'adjonction).

L'autre hom. d'adjonction ~~\varphi_N\tau_N…~~ P \longrightarrow \varphi_N\tau_N P est déduit des (10.2.3)\quad \left|\;\begin{aligned} &\text{\struck{$\tau_N P \longrightarrow P$}} \quad \operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S,\, P)\\ &P_i \longrightarrow (\varphi_N\tau_N P)_i \simeq \operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S,\, \tau_N P) \end{aligned}\right. sur la page, P_i envoie aussi une flèche oblique, marquée \simeq, vers \operatorname{Hom}^i(S,P), d'où une flèche remonte vers \operatorname{Hom}^i(\tau_{N-i}S,\tau_N P) ; dans \tau_{N-i}S de la ligne du haut, l'indice est surchargé. tout hom. de degré i ~~de S dans P~~ de \tau_{N-i}S dans P est à valeurs dans \tau_N P\subset P l'indice de \tau_N P dans cette note est écrit sur un autre, biffé.

c) (N.B. On n'utilisera pas q_N, on le met par conscience) : q_N(P) = P/\text{sous-module engendré par les } P_i \text{ pour } i<N

Cor.) Les foncteurs i_N, \tau_N commutent à toutes les sortes de limites inductives et projectives, q_N commute aux \varinjlim, \varphi_N aux \varprojlim. Les foncteurs i_N, \varphi_N sont pl. fid., les foncteurs q_N, \tau_N sont des foncteurs localisation. Pour \tau_N comme il est exact, et commute aux \varinjlim et \varprojlim) c'est la localisation par une sous-cat. abélienne épaisse, stable par \varinjlim et \varprojlim ; en fait c'est précisément la sous-cat. \mathcal{M}^{N-1} (qui est ainsi décrite en termes de \mathcal{M}_N). tout le paragraphe est marqué d'un trait vertical en marge gauche ; dans « q_N, \tau_N sont des foncteurs localisation », les deux symboles sont repassés sur d'autres.

C catégorie abélienne

S anneau \mathbb{Z}-gradué comm. à degrés \geq 0

\mathcal{M} =\mathcal{M}(C,S) (catégorie des C-S-modules gradués).

\mathcal{M}_N, \mathcal{M}^N définis comme plus haut \mathcal{M}_N \xrightarrow{\ i_N\ } \mathcal{M} admet foncteur adjoint à droite \mathcal{M} \xrightarrow{\ \tau_N\ } \mathcal{M}_N, \qquad i_N\tau_N(P)\hookrightarrow P . ~~qui admet~~ Construisons adjoint à droite \varphi_N de \tau_N : \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}_N}(\tau_N P,\, Q) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{M}}(P,\, \varphi_N Q)\ ? \qquad (Q\in\mathcal{M}_N) Il faut bien prouver que pour Q fixé, le premier membre, comme foncteur en P, soit représentable. Or il est clair que \tau_N commute aux \varinjlim quelconques, donc le foncteur envisagé transforme les \varinjlim en \varprojlim. Cela implique déjà ce qu'on veut lorsque C ou C^\circ est une « cat. de Groth. »…

Comment alors décrire les (\varphi_N Q)_i\in\operatorname{Ob}C ? On a pour tout M\in\operatorname{Ob}\mathcal{M} M_i \simeq \mathbf{Hom}^*(S,\, M)_i ici et dans la suite, \mathbf{Hom} rend un Hom souligné. donc \begin{aligned} (\varphi_N Q)_i &\simeq \mathbf{Hom}^*(S,\, \varphi_N Q)_i \simeq \mathbf{Hom}^*(S[-i],\, \varphi_N Q)_0\\ &\overset{\text{justifier}}{=} \mathbf{Hom}^*(\tau_N(S[-i]),\, Q)_0\\ &= \bigl(\mathbf{Hom}^*((\tau_{N-i}(S))[-i],\, Q)\bigr)_0 \end{aligned}

\begin{aligned} &\text{\struck{$=\bigl(\mathbf{Hom}^*((\tau_N S)[-i],\, Q)\bigr)_0$}}\\ &\text{\struck{$=\mathbf{Hom}^*(\tau_{N-i}S$}}\\ &\simeq \bigl(\mathbf{Hom}^*(\tau_{N-i}(S),\, Q)\bigr)_i\\ &\simeq \mathbf{Hom}^i(\tau_{N-i}(S),\, Q) \end{aligned} les deux premières lignes sont barrées de traits obliques.

Enfin si dans C les \varprojlim existent, alors i_N admet un adjoint à gauche q_N.

En dualisant C, en appliquant ce qui précède à C^\circ, en utilisant l'isom. \begin{array}{ccc} \mathcal{M}(C,S)^\circ & \simeq & \mathcal{M}(C^\circ,S)\\ \cup & & \cup\\ \mathcal{M}^N(C,S)^\circ & \simeq & \mathcal{M}_{-N}(C^\circ,S) \end{array} l'exposant N de \mathcal{M}^N(C,S)^\circ est écrit sur un indice biffé ; l'indice du membre de droite porte un petit trait devant le N, lu comme un signe moins sous réserve. on voit que (si C ou C^\circ est une cat. de Groth. par ex.) les foncteurs i^N : \mathcal{M}^N\longrightarrow\mathcal{M} s'insère dans ~~admet~~ une suite de 4 ~~d'adjoints~~ foncteurs adjoints \varphi^N \quad \tau^N \quad i^N \quad q^N qui se déduisent de façon évidente la phrase s'arrête là ; le bas de la page est vide.

Feuillet de calculs isolé, sans prose ; il reprend les troncatures dans un cadre où interviennent S_k et un anneau de polynômes k[T]. Les notations n'y sont pas définies.

~~\delta\geq~~ , ~~\beta\geq 0,~~ \alpha,\beta\geq 0, d\geq\beta-\alpha le 0 de \alpha,\beta\geq 0 est repassé sur une autre lettre, et le d est écrit sur un autre symbole.

\operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_{\alpha}M_{S_k},\, \tau_\beta N_{S_k}\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_{\alpha'}M_{S_k},\, \tau_{\beta'}N_{S_k}\bigr) \left(\begin{aligned} &\alpha'\geq\alpha\\ &\beta'\geq\beta\\ &\text{(biffé)}\\ &\beta'-\alpha'\geq d \end{aligned}\right) les indices de troncature de M sont surchargés dans les deux membres ; la lecture \alpha, \alpha' est tirée de la condition entre parenthèses et reste douteuse. Dans la parenthèse, une ligne biffée est illisible ; dans \gamma\geq -d, un symbole biffé précède -d ; le « sinon » de la ligne suivante est une lecture douteuse. \Big\downarrow{\scriptstyle 2}\qquad \gamma\geq{-d}\quad(\text{si } d\leq 0) \operatorname{Hom}^d(\tau_\gamma M,\, N) \quad (\text{sinon}\ \operatorname{Hom}^d(M,\, \tau_\gamma N),\ \text{si } 0\leq\gamma\leq d, \simeq\ \operatorname{Hom}^d\bigl(M_{S_k},\, \varphi_\beta\tau_\beta N_{S_k}\bigr) \quad (\text{si } d\leq 0) \simeq\ \operatorname{Hom}^d\bigl(S_k,\, \varphi_0(\mathbf{Hom}_k(M,N)_{S_k})\bigr) \simeq\ \bigl(\varphi_0(\mathbf{Hom}_k(M,N)_{S_k})\bigr)_d dans l'avant-dernière ligne, \mathbf{Hom}_k est écrit sur un premier Hom à indice biffé.

M_k k-module

M_{S_k} = M\otimes_k k[T] (\varphi_0 M_{S_k})_d = \operatorname{Hom}^{-d}(\tau_d S_k,\, M_{S_k}) \begin{array}{c} \cup \\ u \end{array} \qquad u(T^{(i)}) = \xi_i\, T^{(i-d)} \quad (i\geq d), \qquad \xi_i\in M u(T^{(i)}T^{\ell}) = c_{i\ell}\,\xi_{i+\ell}\,T^{(i+\ell-d)} sous T^{(i)}T^{\ell}, une accolade renvoie à c_{i\ell}T^{(i+\ell)}. u(T^{(i)})\,T^{\ell} = \xi_i\, T^{(i-d)}\,T^{\ell} = c_{i-d,\ell}\,\xi_i\, T^{(i+\ell-d)} i\geq d,\ \ell\geq 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{\,c_{i,\ell}\,\xi_{i+\ell} = c_{i-d,\ell}\,\xi_i\,} c_{d,\ell}\,\xi_{d+\ell} = \xi_d la page s'arrête sur cette relation ; la suite du calcul n'est pas dans ce lot.

Notations ½ simpliciales. Constructions universelles

Ces deux lignes sont de sa main, seules sur un feuillet (p. 300) qui sert de couverture à la série suivante, hors de ce lot ; « ½ simpliciales » se lit « semi-simpliciales ».