Cote n° 136, pages 241–260

Cote n° 136 · batch 13 · pages 241–260 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

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Modules gradués : les catégories $\mathcal{M}_N$ et leurs adjoints

243la notation de la feuille est reprise telle quelle : $\mathcal{M}$ est la catégorie des $S$-modules gradués, $\mathcal{M}_N$ la sous-catégorie pleine des modules à degrés $\geq N$, $\mathcal{N}$ celle des $k$-modules ; les foncteurs $i$, $q$, $\tau$, $\rho$ portent les indices qu'il leur donne, qui ne sont pas toujours dans le même ordre d'une page à l'autre

$S$ anneau $\mathbb{Z}$-gradué commutatif à degrés $\geq 0$ généralités sur modules gradués sur anneaux arbitraires gradués

$S^0 = k$

$\mathcal{M}$ catégorie des $S$-modules gradués

$T$ foncteur translation : $T(M)_i = M_{i+1}$ (automorphisme de $\mathcal{M}$)

$T^n$ itéré ($n \in \mathbb{Z}$) $T^n(M)_i = M_{i+n}$

$\mathcal{M}^+ \subset \mathcal{M}$ : $S$-modules gradués à degrés $\geq 0$

N.B. $T^{-1}(\mathcal{M}^+) \subset \mathcal{M}^+$

$T^{-N}(\mathcal{M}^+) = \mathcal{M}_N$ : $S$-modules gradués à degrés $\geq N$ ($\mathcal{M}_0 = \mathcal{M}^+$) l'exposant de $T$ est récrit sur une lettre biffée

$N \leq N' \Longrightarrow \mathcal{M}_N \supset \mathcal{M}_{N'}$

$\mathcal{N}$ = catégorie des $k$-modules (pas gradués)

$M_0 \longmapsto M_0 \otimes_k S$, $\mathcal{N} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{M}$ se factorise par $\mathcal{M}^+ = \mathcal{M}_0$

(1) Étude de l'inclusion (pl. fid.) \[\mathcal{M}_{N'} \overset{i_{N,N'}}{\hookrightarrow} \mathcal{M}_N \qquad N' \geq N\] Commute aux $\varinjlim$ et $\varprojlim$, donc on s'attend à trouver des adjoints à g. et à dr.

Adjoint à droite ⌜$\tau_{N';N}$⌝ de $i_{N,N'}$ : \[\tau_{N';N} : \mathcal{M}_N \longrightarrow \mathcal{M}_{N'}\] \[\tau_{N';N}(M)_i = \begin{cases} 0 & \text{si } i < N' \\ M_i & \text{si } i \geq N' \end{cases}\] c'est un sous-module de $M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_N$ (car $S$ à degrés $\geq 0$)

245$\tau_{N';N}(M) \hookrightarrow M$

Soit $M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_N$, $P \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_{N'}$, \[\begin{array}{ccc} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(i_{N,N'}(P), M) & \xleftarrow{\ \sim\ } & \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{N'}}(P, \tau_{N';N}(M)) \\ \| & & \| \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(P, M) & \xleftarrow{\ \sim\ } & \mathrm{Hom}(P, \tau_{N';N}(M)) \end{array}\]

Adjoint à gauche $q_{N';N}$ de $i_{N,N'}$ \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(M, i_{N,N'}(P)) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, P)\] \[= \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(M/\text{ss-module engendré par les } M_i,\ i<N',\ P\bigr)\] \[\begin{array}{ccccccccc} 0 & 0 & M_N & M_{N+1} & M_{N+2} & \cdots & M_{N'-1} & M_{N'} & M_{N'+1} \ \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & P_{N'} & P_{N'+1} \ \cdots \end{array}\] \[q_{N';N}(M) = M/\text{ss-module de } M \text{ engendré par les } M_i,\ i < N'\]

$q_{N';N}$, $i_{N,N'}$, $\tau_{N';N}$

NB $q_{N';N}$ et $\tau_{N';N}$ sont des « foncteurs de localisation » (càd adjoints d'un foncteur pl. fidèle), et $q_{N';N}$ est exact à droite (en fait, commute aux $\varinjlim$ quelc.) mais en général pas à gauche sans doute — on ne s'attend pas qu'il ait encore un adj. à g. Par contre $\tau_{N';N}$ commute aux $\varprojlim$ et aux $\varinjlim$ (a fortiori il est exact). Donc s'attend à en trouver un foncteur adjoint à droite.

Algèbres différentielles graduées à puissances divisées

246\[A^* \qquad \bullet \qquad d \qquad J \qquad \gamma \ \text{puiss.}\] chacun des cinq symboles est relié par un trait à la liste de ses axiomes, recopiée ici dans l'ordre de la page ; deux longs traits obliques traversent la feuille sans biffer le texte

$A^*$ :

($*$)groupe gradué à degrés $\geq 0$

$\bullet$ :

($*$)multiplication associative unitaire […] sur $A^0$
($*$)alg. graduée : $x \in A^i,\ y \in A^j \Rightarrow xy \in A^{i+j}$
alg. alternée, i.e. $\left\{\begin{array}{l} xy = (-1)^{ij}\, yx \\ x^2 = 0 \text{ si } x \in A^i,\ i \text{ impair} \end{array}\right.$

$d$ :

($*$)différentielle $d^2 = 0$
($*$)$d$ de degré $+1$
($*$)$d(xy) = (dx)\,y + (-1)^{\deg x}\, x\, dy$

$J$ : Sous-groupe

($*$)contenant $A^+ = \sum_{i>0} A^i$, donc gradué de la forme $J^0 + \sum_{i>0} A^i$
($*$)idéal (i.e. $J^0$ idéal)
($*$)stable par $d$ (automatique)

$\gamma$ :

($*$)puissances divisées sur $J$ $x^{(\alpha)} = 0$
($*$)$x \in A^i \Longrightarrow x^{(\alpha)} \in A^{\alpha i}$
($*$)$d(x^{(\alpha)}) =$ $x \in \sum A^i$, $i$ impair, $i$ impair, $\alpha \geq 2$ $\Longrightarrow x^{(\alpha)} = 0$ une ligne interlinéaire, sous cette condition, se lit $x \in A^i$, $y \in A$
($*$)$d\,x^{(\alpha)} = x^{(\alpha-1)}\, dx$

$A^{\oplus}$

$A^{\mathrm{pair}} + A^{\mathrm{impair}} = A^0 + A^1$, $J^0$ … \[\Bigl(\sum_{i \text{ pair}} x_i + \sum_{j \text{ impair}} x_j\Bigr)^{\alpha}\] $A^0 + A^1$ $(\sum x_i)^2 = \sum x_i x_j + \ldots$ $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + xy + yx$

$\Lambda^2 A^1 \longrightarrow J^0 \subset A^0$ le $J^0$ est récrit sur un $A^0$ ; lecture incertaine

$A^0 \cdot A^1 \subset A^1$, $A^1 A^1 \subset A^0$

$J^0 + A^1 = J$ \[(x + y)^{(\alpha)} = x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)} y + \text{\struck{$x^{(\alpha-2)} y^{(2)}$}} \qquad (x \in J^0,\ y \in A^1)\] les appartenances $x \in J^0$, $y \in A^1$ sont marquées par des signes $\in$ verticaux sous $J^0 + A^1$ ; un $\sum$ et un « $(x+y)^{\alpha}$ » sont biffés sur la même ligne \[z^{(\alpha)} = (x + y)^{(\alpha)} = x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)} y\] \[z'^{(\alpha)} = (x' + y')^{(\alpha)} = x'^{(\alpha)} + x'^{(\alpha-1)} y'\] \[\begin{align*} (z + z')^{(\alpha)} &= \bigl((x + x') + (y + y')\bigr)^{(\alpha)} = (x + x')^{(\alpha)} + (x + x')^{(\alpha-1)} (y + y') \\ &= \sum_{i+j=\alpha} x^{(i)} x'^{(j)} + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-1} x^{(i)} x'^{(j)}\Bigr)(y + y') \end{align*}\] \[\begin{align*} \sum_{i+j=\alpha} z^{(i)} z'^{(j)} &= \sum_{i+j=\alpha} (x^{(i)} + x^{(i-1)} y)(x'^{(j)} + x'^{(j-1)} y') \\ &= \sum_{i+j=\alpha} x^{(i)} x'^{(j)} + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-1} x^{(i)} x'^{(j)}\Bigr)(y + y') \\ &\quad + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-2} x^{(i)} x'^{(j)}\Bigr) y y' \end{align*}\] \[\boxed{\text{OK si } yy' = 0}\]

Les catégories $\mathcal{M}_N$ (suite)

247D'ailleurs $\tau_{N';N}$, étant un foncteur localisation exact, commutant aux $\varinjlim$, est un foncteur de passage au quotient par une sous-catégorie abélienne épaisse stable par $\varinjlim$, savoir la sous-catégorie des $M$ […] tels que $M_i$ ($\tau_{N';N} M = 0$ i.e.) $M_i = 0$ pour $i \geq N'$

Adjoint à droite $\rho_{N,N'}$ de $\tau_{N';N}$ \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{N'}}(\tau_{N';N}(M), P) \overset{?}{\xrightarrow{\ \sim\ }} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(M, \rho_{N,N'} P)\] \[\begin{array}{c} \| \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(\tau_{N';N}(M), P) \\ \cap \\ \prod_{i \geq N'} \mathrm{Hom}_k(M_i, P_i) \end{array}\] \[\begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & M_N & M_{N+1} & \cdots & M_{N'-1} & M_{N'} & M_{N'+1} & \cdots \\ & & & & & & \downarrow & \downarrow & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & P_{N'} & P_{N'+1} & \cdots \end{array}\] $\rho_{N,N'}(P)_i = \prod \mathrm{Hom}(\ldots)$, $\mathrm{Hom}(\ldots, \ldots)$, $\mathrm{Hom}^i(\tau_{N'-i,0}\,S, P)$ plusieurs essais pour $\rho_{N,N'}(P)_i$ sont raturés, en partie illisibles ; on y lit encore $\prod\mathrm{Hom}$, $S$, $P$, $\tau_{N'-i,0}$ et un $\mathcal{M}_0$ en indice \[\rho_{N,N'}(P)_i = \begin{cases} 0 & \text{si } i < N \\ \mathrm{Hom}^i_{\mathcal{M}}(\tau_{N'-i}\, S, P) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(T^{-i} \tau_{N'-i}\, S, P) & \text{si } i \geq N \end{cases}\]

248feuille écrite tête-bêche ; un long trait oblique la traverse de haut en bas sans biffer les calculs, qui sont transcrits \[(\lambda\cdot z)^{(\alpha)} \overset{?}{=} \lambda^{\alpha} z^{(\alpha)} \qquad \lambda \in \hat{A},\ z \in J\] \[\textstyle\Bigl(\sum_{i \in I} x_i\Bigr)\Bigl(\sum_{j \in J} y_j\Bigr) = \sum_{i,j} x_i y_j\] \[\lambda = \xi + \eta \quad (\xi \in A^0,\ \eta \in A') \qquad z = x + y\] \[\lambda z = (\xi x + \eta y) + (\xi y + x\eta) \qquad (\xi x + \eta y \in A^0)\] \[\begin{align*} (\lambda z)^{(\alpha)} &= (\xi x + \eta y)^{(\alpha)} + (\xi x + \eta y)^{(\alpha-1)}(\xi y + x\eta) \\ &= \sum_{i+j=\alpha} (\xi x)^{(i)} (\eta y)^{(j)} + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-1} (\xi x)^{(i)} (\eta y)^{(j)}\Bigr)(\xi y + x\eta) \end{align*}\] \[\begin{align*} \lambda^{\alpha} z^{(\alpha)} &= (\xi^{\alpha} + \alpha\,\xi^{\alpha-1}\eta)(x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)} y) \\ &= (\xi^{\alpha} x^{(\alpha)} + \alpha\,\xi^{\alpha-1} x^{(\alpha-1)}\,\eta y) + (\xi^{\alpha} x^{(\alpha-1)} y + \alpha\,\xi^{\alpha-1} x^{(\alpha)} \eta) \\ &= \bigl((\xi x)^{(\alpha)} + \alpha\,(\xi x)^{(\alpha-1)}(\eta y)\bigr) + \bigl(\xi (\xi x)^{(\alpha-1)} y + x\,(x\xi)^{(\alpha-1)} \eta\bigr) \end{align*}\] au-dessus de la deuxième ligne, une remarque sur le terme $\alpha\,\xi^{\alpha-1} x^{(\alpha)}$, lue $\alpha!\,\xi^{(\alpha-1)} x^{(\alpha)} = x^{\alpha}\,\xi^{(\alpha-1)}$ ; la dernière ligne est d'une lecture incertaine dans ses exposants

OK si $\eta y = 0$

\[(z^{(\alpha)})^{(\beta)} \overset{?}{=} z^{(\alpha\beta)}\, \frac{(\alpha\beta)!}{\beta!\,(\alpha!)^{\beta}} \qquad \Bigl(\frac{(\alpha\beta)!}{\beta!\,(\alpha!)^{\beta}} = c_{\alpha,\beta}\Bigr)\] \[\frac{1}{\beta!}\Bigl(\frac{z^{\alpha}}{\alpha!}\Bigr)^{\beta} = \frac{z^{\alpha\beta}}{\beta!\,(\alpha!)^{\beta}}\] \[= x^{(\alpha\beta)} c_{\alpha\beta} + x^{(\alpha\beta-1)} y\, c_{\alpha\beta}\] \[\begin{align*} (z^{(\alpha)})^{(\beta)} &= (x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)} y)^{(\beta)} \\ &= (x^{(\alpha)})^{(\beta)} + (x^{(\alpha)})^{(\beta-1)} x^{(\alpha-1)} y \\ &= \frac{(\alpha\beta)!}{\beta!\,(\alpha!)^{\beta}}\, x^{(\alpha\beta)} + \frac{(\alpha(\beta-1))!}{(\beta-1)!\,(\alpha!)^{\beta-1}}\, x^{(\alpha(\beta-1))} x^{(\alpha-1)} y \end{align*}\] \[x^{(\alpha(\beta-1))} x^{(\alpha-1)} = x^{(\alpha\beta-1)}\, \frac{(\alpha\beta-1)!}{(\alpha(\beta-1))!\,(\alpha-1)!}\] $\frac{(\alpha\beta)!}{\beta!\,(\alpha!)^{\beta}}\bigl[x^{(\alpha\beta)} + \beta(\alpha!)(\alpha(\beta-1))!\ \ldots\bigr]$ essai biffé, incomplet \[= \ldots + \frac{(\alpha\beta-1)!}{(\alpha-1)!\,(\beta-1)!\,(\alpha!)^{\beta-1}}\, x^{(\alpha\beta-1)} y\] \[\frac{(\alpha\beta)!}{\alpha!\,\beta!\,(\alpha!)^{\beta-1}} = \frac{(\alpha\beta)!}{\beta!\,(\alpha!)^{\beta}} \qquad \text{OK}\]

\[x^{(p)} x^{(q)} = \frac{(p+q)!}{p!\,q!}\, x^{(p+q)}\] \[\begin{align*} z^{(p)} z^{(q)} &\overset{?}{=} \frac{(p+q)!}{p!\,q!}\, z^{(p+q)} \\ z^{(p)} z^{(q)} &= (x^{(p)} + x^{(p-1)} y)(x^{(q)} + x^{(q-1)} y) \\ &= x^{(p)} x^{(q)} + (x^{(p)} x^{(q-1)} + x^{(p-1)} x^{(q)})\, y \\ &= \frac{(p+q)!}{p!\,q!}\, x^{(p+q)} + \Bigl(\frac{(p+q-1)!}{p!\,(q-1)!} + \frac{(p+q-1)!}{(p-1)!\,q!}\Bigr) x^{(p+q-1)} y \end{align*}\] \[(p+q-1)!\,\frac{p+q}{p!\,q!} = \frac{(p+q)!}{p!\,q!} \qquad \text{OK}\]

249\[\mathcal{M}_{N'} \overset{i_{N'}}{\hookrightarrow} \mathcal{M}\] \[q_{N'} \quad i_{N'} \quad \tau_{N'} \quad \rho_{N'}\] une accolade réunit $i_{N'}$ et $\rho_{N'}$, marquée « pl. fid. » ; une autre, sous $q_{N'}$ et $i_{N'}$, marquée « loc. » ; sous $\tau_{N'}$, une colonne de mots lus loc. […] sous-catégorie abélienne épaisse

\[\left\{ \begin{array}{l} \tau_{N'}(M) \hookrightarrow M \\ \tau_{N'}(M)_i = \begin{cases} 0 & \text{si } i < N' \\ M_i & \text{si } i \geq N' \end{cases} \end{array} \right.\] \[q_{N'}(M) = M/\text{ss-module engendré par les } M_i,\ i < N'\] \[\rho_{N'}(M)_i = \mathrm{Hom}^i(\tau_{N'-i}S, M) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{N'}}(T^{-i}\tau_{N'-i}S, M)\]

\[\mathcal{M}_{N'} \overset{i_{N,N'}}{\hookrightarrow} \mathcal{M}_N \hookrightarrow \mathcal{M}\] \[q_{N';N},\ i_{N,N'},\ \tau_{N';N},\ \rho_{N,N'}\] \[\left\{ \begin{array}{l} q_{N';N} = q_{N'} | \mathcal{M}_N \\ \tau_{N';N} = \tau_{N'} | \mathcal{M}_N \end{array} \right.\] \[\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{N'}}(\tau_{N';N} M, P) &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(M, \rho_{N,N'} P) \\ \| \qquad & \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{N'}}(\tau_{N'} M, P) & \\ \wr \qquad & \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \rho_{N'} P) &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(i_N M, \rho_{N'} P) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(M, \tau_N \rho_{N'} P) \end{align*}\] donc $\boxed{\rho_{N,N'} = \tau_N \rho_{N'}}$

Le complexe $C^*(X, (A, \pi, \gamma))$

250feuille écrite tête-bêche, traversée de haut en bas par un trait qui ne biffe pas les formules \[\hat{\Gamma}^*\Bigl(\frac{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^I}{\mathbb{Z}}\Bigr) \otimes_{\mathbb{Z}} \overset{*}{\Lambda}\, \mathbb{Z}^I/\mathbb{Z}\] \[0 \longrightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\ (-\mathrm{id},\, \mathrm{diag})\ } \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^I\] \[\mathbb{Z}\{(X_i)_{i \in I}\}[(dX_i)_{i \in I}]\big/\Bigl(\textstyle\sum dX_i = 0\Bigr)\] un mot biffé, illisible, suit $(dX_i)_{i \in I}$ dans les crochets \[\Gamma^*(\mathbb{Z}^I) \otimes_{\mathbb{Z}} \overset{*}{\Lambda}(\mathbb{Z}^I/\mathbb{Z})\] \[\mathrm{Sym}^*(\mathbb{Z}^{(I)}) \otimes_{\mathbb{Z}} \overset{*}{\Lambda}\, \mathbb{Z}^{(I)},\]

$C^*(X, (A, \pi, \gamma))$ alg. ⌜différentielle alternée⌝ à idéal à puiss. div. sur $(A, \pi, \gamma)$

dépend de façon contravariante de $X$, — covariante de $(A, \pi, \gamma)$ \[\begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ \varphi\ } & A' \\ \pi & & \pi' \end{array} \qquad (\varphi, \lambda) \quad \begin{array}{l} \varphi(\pi) = \lambda \pi' \\ \varphi(\pi^{(\alpha)}) = \lambda^{\alpha} \pi'^{(\alpha)} \end{array}\] $A\{(X_i)\}/\sum X_i$ \[\begin{array}{rl} X_i,\ dX_i & A\{(X_i, dX_i)\}\big/\bigl\{\textstyle\sum X_i - \pi,\ \sum dX_i\bigr\} \\ \downarrow \quad \downarrow & \\ \lambda X_i,\ \lambda dX_i & A'\{(X_i, dX_i)\}\big/\bigl(\textstyle\sum X_i - \pi',\ \sum dX_i\bigr) \end{array}\] \[\Bigl(\sum \lambda_{ijk}\, dX_i\, dX_j\, dX_k\Bigr)^2 = \sum_{\substack{i,j,k \\ i',j',k'}} \lambda_{ijk} \lambda_{i'j'k'}\, dX_i\, dX_j\, dX_k\, dX_{i'}\, dX_{j'}\, dX_{k'}\] \[\Bigl(\sum \lambda_{\alpha} \xi_{\alpha}\Bigr)\Bigl(\sum \lambda_{\beta} \xi_{\beta}\Bigr) = \sum_{\alpha,\beta} \lambda_{\alpha} \lambda_{\beta}\, \xi_{\alpha} \xi_{\beta}\] \[\frac{x^n}{n!}\] $(A, J,$ \[(A^*, \bullet, d, J, \gamma)\] $(A^*, \bullet)$ : algèbre graduée associative unitaire à degrés positifs alternée ($x^2 = 0$ si $\deg x$ impair, $x^i x^j = (-1)^{ij} x^j x^i$, $xy = (-1)^{\deg x \deg y}\, yx$)

$d$ : différentielle (degré $+1$) ($d^2 = 0$, $d(xy) = (dx)\,y + (-1)^{\deg x}\, x\, dy$)

251\[\mathcal{N} = \mathrm{Mod}(k) \overset{i}{\longrightarrow} \mathcal{M}_0 = \mathcal{M}^+\] $\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{M}_N$ […] $(i, p, \rho)$ une flèche de retour $\mathcal{M}_0 \to \mathcal{N}$ est tracée sous la première ; la ligne suivante est biffée, sauf le triplet entouré $(i, p, \rho)$

$i(N) = N \otimes_k S$, $k(M_\bullet) = M_0$ le foncteur « degré $0$ » est noté par une lettre $k$ surchargée, qu'on garde

$\tau_{N,0} \circ i : \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{M}_N$

a comme adjoint à droite \[k \circ \rho_{0N} = k \circ \tau_0 \circ \rho_N = k \circ \rho_N\] […] adjoint à gauche

Conditions équivalentes

a)$i_N = \tau_{N,0} \circ i$ est pl. fidèle
b)$\forall P \in \mathrm{Mod}\,k$, $P \xrightarrow{\sim} (\rho_N i_N(P))_0$ \[\Bigl[\, = (\rho_N \tau_N(P \otimes_k S))_0 = (\rho_N(P \otimes_k \tau_N S))_0 \,\Bigr]\]
c)$k \circ \rho_N$ est un foncteur localisation.

une longue flèche, dans la marge de gauche, renvoie de la seconde liste à la première ; elle part d'une ligne biffée illisible

Conditions équivalentes

a')[…] $\mathrm{Im\,ess}\ i \subset \mathrm{Im\,ess}\ \rho_{0,N}$ « Im ess » est une lecture incertaine
b')$\forall P \in \mathrm{Mod}\,k$, $i(P) \xrightarrow{\sim} \rho_{0N} \tau_{N,0}\, i(P) = \rho_{0N}\, i_N(P)$
b' bis)$\forall P \in \mathrm{Mod}\,k$, $i(P) \longrightarrow \rho_{0N}\, i_N(P)$ est un iso en degrés $0 \leq \alpha \leq N-1$
c')⌜$\forall P \in \mathrm{Mod}\,k$,⌝ $\forall\, 0 \leq \alpha \leq N-1$, $\tau_{N-\alpha,0}S$ […] : \[P \otimes S_{\alpha} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^{\alpha}(\tau_{N-\alpha} S, P \otimes_k S)\] \[\Bigl[\ \mathrm{Hom}^{\alpha}(S, P \otimes_k S) \ \Bigr]\] sous la flèche, un « $\uparrow\wr$ » relie $P \otimes S_\alpha$ à $\mathrm{Hom}^{\alpha}(S, P \otimes_k S)$, et une flèche marquée « restriction » va de celui-ci vers $\mathrm{Hom}^{\alpha}(\tau_{N-\alpha} S, P \otimes_k S)$ \[\mathrm{Hom}^{\alpha}(S/\tau_{N-\alpha} S, P \otimes_k S) = 0\]

[…]

252feuille écrite tête-bêche, traversée de haut en bas par un trait qui ne biffe pas les formules

$J \subset A$, $H^*(X, J)^{*}$ : p.d.

petit croquis d'un triangle (ou tétraèdre) traversé de segments

\[A\{(X_i)_{i \in I}, (Y_i)_{i \in I}\} \big/ \Bigl(\textstyle\sum X_i - \pi,\ \sum Y_i - \omega,\ \sum dX_i,\ \sum dY_i\Bigr)\] \[A \longrightarrow A^{(I)}\] \[\Gamma^*_{(A,\pi)}(A^I \otimes_A J)\] \[X_1 \otimes \pi,\ X_2 \otimes \pi,\ \ldots,\ X_n \otimes \pi\] \[\textstyle\sum X_i \otimes \pi - \pi\] \[J^I/J\] \[\Gamma^*_{(A,\pi)}(J^I)/\delta J\] \[\delta\pi = -\pi + \pi \qquad dX_i\] la ligne $\delta\pi = \ldots$ porte un mot biffé avant $-\pi + \pi$ \[\Gamma^*_A \qquad A\{(X_i)_{i \in I}\} \big/ \Bigl(\textstyle\sum \pi X_i - \pi,\ \pi \sum dX_i\Bigr)\] \[\Gamma^{*+}_A J \longrightarrow J\] \[H^*(X, \Gamma^{*+} J) \longrightarrow H^*(X, J)\] \[H^{2i}(X, M) \xrightarrow{\ \gamma^{\alpha}\ } H^{2i\alpha}(X, \Gamma^{\alpha} M) \longrightarrow H^{2i\alpha}(X, \mathrm{Sym}^{\alpha} M)\] \[H^{2i}(X, J) \longrightarrow H^{2i\alpha}(X, \Gamma^{\alpha} J) \longrightarrow H^{2i\alpha}(X, J)\] \[A \xrightarrow{\ 2i\ } M, \qquad A \xrightarrow{\ 2i\alpha\ } \Gamma^{\alpha} M\] \[\Gamma^i M \rightleftarrows \mathrm{Sym}^i(M) \qquad x^{(i)} \mapsto x^i, \quad i!\,x^{(i)} = x^i\]

Modules négligeables et limites

253\[\mathcal{M}/\mathrm{Nég}_{\infty} \simeq \varinjlim \mathcal{M}_N\] n'est pas une catégorie à $\varinjlim$ filtrantes exactes. ces deux lignes sont seules en tête d'une feuille dont le reste n'est pas de sa main

255$S$-module $N$-négligeable $M$ ($N \in \mathbb{Z}$) \[\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \tau_N M = 0 \Longleftrightarrow M_i = 0 \text{ si } i \geq N\] module $\infty$-négligeable $M$ \[\Longleftrightarrow \exists N \in \mathbb{Z} \text{ tel que } M\ N\text{-négligeable} \Longleftrightarrow M_i = 0 \text{ si } i \text{ assez grand}\] Rem. Si $M$ de type fini, $M$ est $\infty$-négligeable ssi $\exists N \geq 0$ tel que $\tau_N S$ annule $M$.

$M$ négligeable $\Longleftrightarrow$ $M$ limite inductive de modules $\infty$-négligeables $\Longleftrightarrow$ tt sous-module de t.f. de $M$ est $\infty$-négligeable $\Longleftrightarrow$ $\forall x \in M$, $\exists N \geq 0$ tel que $\tau_N S$ annule $x$ \[\mathrm{Nég}_N \subset \mathrm{Nég}_{N'} \subset \mathrm{Nég}_{\infty} \subset \mathrm{Nég} \qquad N \leq N'\] $\mathrm{Nég}_N$, $\mathrm{Nég}_{\infty}$ sous-catégories épaisses de $\mathcal{M}$, \[\begin{array}{ccc} \mathcal{M}/\mathrm{Nég}_N & \simeq & \mathcal{M}_N \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \tau_{N';N}} \\ \mathcal{M}/\mathrm{Nég}_{N'} & \longrightarrow & \mathcal{M}_{N'} \end{array}\]

256\[\varinjlim \varphi_N \tau_N P \longrightarrow \varphi_\omega \tau_\omega P\] Hom bijectif ? \[\Updownarrow\] $\forall M$ de prés. finie (il suffit $M = S[i]$) \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varinjlim \varphi_N \tau_N P) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varphi_\omega \tau_\omega P) \quad \text{bij.}\] \[\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varinjlim \varphi_N \tau_N P) &\simeq \varinjlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varphi_N \tau_N P) \\ &\simeq \varinjlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(\tau_N M, \tau_N P) \\ &\simeq \varinjlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(\tau_N M, P) \end{align*}\] \[\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varphi_\omega \tau_\omega P) &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_\omega}(\tau_\omega M, \tau_\omega P) \\ &\simeq \varinjlim_{\substack{M' \subset M \\ M/M' \text{ négl.}}} \mathrm{Hom}(M', P) \end{align*}\] les deux colonnes de la page sont séparées par un trait vertical ; une flèche va de la dernière ligne de gauche à la dernière ligne de droite

dire que ça ($M$ fixé) c'est un isom pour tt $P$, signifie que les sous-prolongements de $M$ formés, soit des $\tau_N M$, soit des $M' \subset M$ tels que $M/M'$ est négligeable, soit donnent pas l'iso cons. — ou encore que ces deux sous-objets sont cofinaux, i.e. que tout $M'$ contient un $\tau_N M$, i.e. que $M/M'$ soit $\infty$-négligeable. Mais c'est le cas si $M$ de t.f. […] la phrase suivante est biffée de plusieurs traits obliques : (l'idéal) gradué $J$ de $S$, tel que $S/J$ est négligeable […] Donc \[\varinjlim \varphi_N \tau_N P \xrightarrow{\ \sim\ } \varphi_\omega \tau_\omega P\]

258au verso d'une feuille dactylographiée qui n'est pas de lui ; seuls ses calculs sont transcrits. L'indice $\omega$ est celui qu'il écrit pour la limite $N \to \infty$ \[\begin{align*} (\varphi_\omega \tau_\omega P)_i &\simeq \mathrm{Hom}^i(S, \varphi_\omega \tau_\omega P) \\ &\simeq \mathrm{Hom}(S[-i], \varphi_\omega \tau_\omega P) \\ &\simeq \mathrm{Hom}(\tau_\omega S[-i], \tau_\omega P) \\ &\simeq \varinjlim_{\substack{M' \subset S[-i] \\ \text{t.q. } S[-i]/M' \text{ négl.}}} \mathrm{Hom}(M', P) \\ &\simeq \varinjlim_{\substack{M' \subset S \\ \text{t.q. } S/M' \text{ négl.}}} \mathrm{Hom}^i(M', P) \\ &\simeq \varinjlim_N \mathrm{Hom}^i(\tau_N S, P) \\ &\simeq \varinjlim_N \mathrm{Hom}(\tau_N(S[-i]), \tau_N P) \end{align*}\] sous $\mathrm{Hom}^i(\tau_N S, P)$, une accolade renvoie à « $\simeq \mathrm{Hom}^i(\tau_N S, \tau_{N+i} P)$ » ; dans la ligne $\simeq \varinjlim\, \mathrm{Hom}(M', P)$ un premier « Hom » est biffé ; l'indice « $S[i]$ » de la troisième ligne est écrit $S[i]$ dans le premier membre, sans le signe

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  \tau_N S \arrow[r, "d^\circ 0"] \arrow[d, "T^{(\ell)}"'] & P \\
  \tau_{N+\ell}(S) \arrow[ur, "d^\circ \ell"']
\end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche oblique est récrite sur une surcharge ; « $d^\circ$ » se lit « de degré » \[\textstyle\sum T^{(i)} \overset{T^{(\ell)}}{\longmapsto} \sum c_{i,\ell}\, T^{(i+\ell)}\]

$P \in \mathrm{Im\,ess}\ \varphi_\omega$ \[\Updownarrow\] \[P \xrightarrow{\ \sim\ } \varphi_\omega \tau_\omega P\] \[\Updownarrow\] \[\mathrm{Hom}^i(S, P) \xrightarrow{\ \sim\ } \varinjlim_N \mathrm{Hom}^i(\tau_N S, P)\]

a)injectivité : $P$ n'a pas d'éléments négligeables non nuls
b)surjectivité : tout homom. (choisi) d'un […] $\tau_N S$ dans $P$ se prolonge à $S$, en d'autres termes : toute ext. de $[S/\tau_N S](-i)$ par $P$ est triviale …

un long trait relie le bas du calcul de gauche à cette équivalence ; la page s'arrête sur des points de suspension

260\[\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varphi_N \text{\struck{\ill{}}} P) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(\tau_N M, \text{\struck{\ill{}}} P) \qquad (P \in \mathcal{M}_N)\] le symbole biffé devant $P$, ici et dans les lignes suivantes, est vraisemblablement un $\tau_N$ donc \[\begin{align*} (\varphi_N \tau_N P)_i &= \mathrm{Hom}^i_{\mathcal{M}}(S, \varphi_N \tau_N P) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(S[-i], \varphi_N P) \\ &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(\tau_N(S[-i]), P) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}((\tau_{N-i}(S))(-i), P) \\ &\simeq \mathrm{Hom}^i_{\mathcal{M}}(\tau_{N-i}(S), P) \end{align*}\]

$h_M = \mathrm{Hom}(M, -)$, donc $h_M \circ \varphi_N \simeq h_{\tau_N M} \circ{}$ $\tau_N$

donc $h_M \circ \varphi_N \circ \tau_N \simeq h_{\tau_N M} \circ \tau_N$

$R^*(h_M \circ \varphi_N \tau_N) \simeq R^* h_{\tau}$

Composons avec $\tau_N$, on a \[\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(M, \varphi_N \tau_N P) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(\tau_N M, \tau_N P) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(i_N \tau_N M, P) \end{align*}\] \[h_M \varphi_N \tau_N = h_{i_N \tau_N}\] D'où \[R^*(h_M \varphi_N \tau_N) \simeq R^* h_{i_N \tau_N} = \mathbb{R}\mathrm{Hom}(i_N \tau_N M, -)\] \[\| \qquad\qquad\] \[\mathbb{R}^*(h_M \varphi_N)\, \tau_N \qquad (R^* \tau_N = \tau_N \text{ car } \tau_N \text{ exact})\] Si $M$ projectif donc $h_M$ exact, on a \[h_M (R^* \varphi_N) \circ \tau_N \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}(\tau_N M, -)\] i.e. \[\boxed{\mathrm{Hom}(M, R^* \varphi_N(\tau_N P)) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}(\tau_N M, P)}\] en particulier : \[\mathrm{Hom}(M, (R^n \varphi_N)(\tau_N P)) \simeq \mathrm{Ext}^n(\tau_N M, P) \quad \text{si } M \text{ projectif} \in \mathcal{M}\] un « Ext » est biffé dans la marge de gauche de cette dernière formule ; l'argument se poursuit vraisemblablement au-delà du lot

Modules gradués : les catégories \(\mathcal{M}_N\) et leurs adjoints

Algèbres différentielles graduées à puissances divisées

Les catégories \(\mathcal{M}_N\) (suite)

Le complexe \(C^*(X, (A, \pi, \gamma))\)

Modules négligeables et limites