la notation de la feuille est reprise telle quelle : \mathcal{M} est la catégorie des S-modules gradués, \mathcal{M}_N la sous-catégorie pleine des modules à degrés \geq N, \mathcal{N} celle des k-modules ; les foncteurs i, q, \tau, \rho portent les indices qu'il leur donne, qui ne sont pas toujours dans le même ordre d'une page à l'autre

S anneau \mathbb{Z}-gradué commutatif à degrés \geq 0 généralités sur modules gradués sur anneaux arbitraires gradués

S^0 = k

\mathcal{M} catégorie des S-modules gradués

T foncteur translation : T(M)_i = M_{i+1} (automorphisme de \mathcal{M})

T^n itéré (n \in \mathbb{Z}) T^n(M)_i = M_{i+n}

\mathcal{M}^+ \subset \mathcal{M} : S-modules gradués à degrés \geq 0

N.B. T^{-1}(\mathcal{M}^+) \subset \mathcal{M}^+

T^{-N}(\mathcal{M}^+) = \mathcal{M}_N : S-modules gradués à degrés \geq N (\mathcal{M}_0 = \mathcal{M}^+) l'exposant de T est récrit sur une lettre biffée

N \leq N' \Longrightarrow \mathcal{M}_N \supset \mathcal{M}_{N'}

\mathcal{N} = catégorie des k-modules (pas gradués)

M_0 \longmapsto M_0 \otimes_k S, \mathcal{N} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{M} se factorise par \mathcal{M}^+ = \mathcal{M}_0

(1) Étude de l'inclusion (pl. fid.) \mathcal{M}_{N'} \overset{i_{N,N'}}{\hookrightarrow} \mathcal{M}_N \qquad N' \geq N Commute aux \varinjlim et \varprojlim, donc on s'attend à trouver des adjoints à g. et à dr.

Adjoint à droite \tau_{N';N} de i_{N,N'} : \tau_{N';N} : \mathcal{M}_N \longrightarrow \mathcal{M}_{N'} \tau_{N';N}(M)_i = \begin{cases} 0 & \text{si } i < N' \\ M_i & \text{si } i \geq N' \end{cases} c'est un sous-module de M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_N (car S à degrés \geq 0)

A^* \qquad \bullet \qquad d \qquad J \qquad \gamma \ \text{puiss.} chacun des cinq symboles est relié par un trait à la liste de ses axiomes, recopiée ici dans l'ordre de la page ; deux longs traits obliques traversent la feuille sans biffer le texte

A^* :

\bullet :

d :

J : Sous-groupe

\gamma :

A^{\oplus}

A^{\mathrm{pair}} + A^{\mathrm{impair}} = A^0 + A^1, J^0 … \Bigl(\sum_{i \text{ pair}} x_i + \sum_{j \text{ impair}} x_j\Bigr)^{\alpha} A^0 + A^1 (\sum x_i)^2 = \sum x_i x_j + \ldots (x+y)^2 = x^2 + y^2 + xy + yx

\Lambda^2 A^1 \longrightarrow J^0 \subset A^0 le J^0 est récrit sur un A^0 ; lecture incertaine

A^0 \cdot A^1 \subset A^1, A^1 A^1 \subset A^0

J^0 + A^1 = J (x + y)^{(\alpha)} = x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)} y + \text{\struck{$x^{(\alpha-2)} y^{(2)}$}} \qquad (x \in J^0,\ y \in A^1) les appartenances x \in J^0, y \in A^1 sont marquées par des signes \in verticaux sous J^0 + A^1 ; un \sum et un « (x+y)^{\alpha} » sont biffés sur la même ligne z^{(\alpha)} = (x + y)^{(\alpha)} = x^{(\alpha)} + x^{(\alpha-1)} y z'^{(\alpha)} = (x' + y')^{(\alpha)} = x'^{(\alpha)} + x'^{(\alpha-1)} y' \begin{align*} (z + z')^{(\alpha)} &= \bigl((x + x') + (y + y')\bigr)^{(\alpha)} = (x + x')^{(\alpha)} + (x + x')^{(\alpha-1)} (y + y') \\ &= \sum_{i+j=\alpha} x^{(i)} x'^{(j)} + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-1} x^{(i)} x'^{(j)}\Bigr)(y + y') \end{align*} \begin{align*} \sum_{i+j=\alpha} z^{(i)} z'^{(j)} &= \sum_{i+j=\alpha} (x^{(i)} + x^{(i-1)} y)(x'^{(j)} + x'^{(j-1)} y') \\ &= \sum_{i+j=\alpha} x^{(i)} x'^{(j)} + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-1} x^{(i)} x'^{(j)}\Bigr)(y + y') \\ &\quad + \Bigl(\sum_{i+j=\alpha-2} x^{(i)} x'^{(j)}\Bigr) y y' \end{align*} \boxed{\text{OK si } yy' = 0}

D'ailleurs \tau_{N';N}, étant un foncteur localisation exact, commutant aux \varinjlim, est un foncteur de passage au quotient par une sous-catégorie abélienne épaisse stable par \varinjlim, savoir la sous-catégorie des M tels que M_i (\tau_{N';N} M = 0 i.e.) M_i = 0 pour i \geq N'

Adjoint à droite \rho_{N,N'} de \tau_{N';N} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_{N'}}(\tau_{N';N}(M), P) \overset{?}{\xrightarrow{\ \sim\ }} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(M, \rho_{N,N'} P) \begin{array}{c} \| \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(\tau_{N';N}(M), P) \\ \cap \\ \prod_{i \geq N'} \mathrm{Hom}_k(M_i, P_i) \end{array} \begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & M_N & M_{N+1} & \cdots & M_{N'-1} & M_{N'} & M_{N'+1} & \cdots \\ & & & & & & \downarrow & \downarrow & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & P_{N'} & P_{N'+1} & \cdots \end{array} \rho_{N,N'}(P)_i = \prod \mathrm{Hom}(\ldots), \mathrm{Hom}(\ldots, \ldots), \mathrm{Hom}^i(\tau_{N'-i,0}\,S, P) plusieurs essais pour \rho_{N,N'}(P)_i sont raturés, en partie illisibles ; on y lit encore \prod\mathrm{Hom}, S, P, \tau_{N'-i,0} et un \mathcal{M}_0 en indice \rho_{N,N'}(P)_i = \begin{cases} 0 & \text{si } i < N \\ \mathrm{Hom}^i_{\mathcal{M}}(\tau_{N'-i}\, S, P) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_N}(T^{-i} \tau_{N'-i}\, S, P) & \text{si } i \geq N \end{cases}

feuille écrite tête-bêche, traversée de haut en bas par un trait qui ne biffe pas les formules \hat{\Gamma}^*\Bigl(\frac{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^I}{\mathbb{Z}}\Bigr) \otimes_{\mathbb{Z}} \overset{*}{\Lambda}\, \mathbb{Z}^I/\mathbb{Z} 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\ (-\mathrm{id},\, \mathrm{diag})\ } \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^I \mathbb{Z}\{(X_i)_{i \in I}\}[(dX_i)_{i \in I}]\big/\Bigl(\textstyle\sum dX_i = 0\Bigr) un mot biffé, illisible, suit (dX_i)_{i \in I} dans les crochets \Gamma^*(\mathbb{Z}^I) \otimes_{\mathbb{Z}} \overset{*}{\Lambda}(\mathbb{Z}^I/\mathbb{Z}) \mathrm{Sym}^*(\mathbb{Z}^{(I)}) \otimes_{\mathbb{Z}} \overset{*}{\Lambda}\, \mathbb{Z}^{(I)},

C^*(X, (A, \pi, \gamma)) alg. différentielle alternée à idéal à puiss. div. sur (A, \pi, \gamma)

dépend de façon contravariante de X, — covariante de (A, \pi, \gamma) \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ \varphi\ } & A' \\ \pi & & \pi' \end{array} \qquad (\varphi, \lambda) \quad \begin{array}{l} \varphi(\pi) = \lambda \pi' \\ \varphi(\pi^{(\alpha)}) = \lambda^{\alpha} \pi'^{(\alpha)} \end{array} A\{(X_i)\}/\sum X_i \begin{array}{rl} X_i,\ dX_i & A\{(X_i, dX_i)\}\big/\bigl\{\textstyle\sum X_i - \pi,\ \sum dX_i\bigr\} \\ \downarrow \quad \downarrow & \\ \lambda X_i,\ \lambda dX_i & A'\{(X_i, dX_i)\}\big/\bigl(\textstyle\sum X_i - \pi',\ \sum dX_i\bigr) \end{array} \Bigl(\sum \lambda_{ijk}\, dX_i\, dX_j\, dX_k\Bigr)^2 = \sum_{\substack{i,j,k \\ i',j',k'}} \lambda_{ijk} \lambda_{i'j'k'}\, dX_i\, dX_j\, dX_k\, dX_{i'}\, dX_{j'}\, dX_{k'} \Bigl(\sum \lambda_{\alpha} \xi_{\alpha}\Bigr)\Bigl(\sum \lambda_{\beta} \xi_{\beta}\Bigr) = \sum_{\alpha,\beta} \lambda_{\alpha} \lambda_{\beta}\, \xi_{\alpha} \xi_{\beta} \frac{x^n}{n!} (A, J, (A^*, \bullet, d, J, \gamma) (A^*, \bullet) : algèbre graduée associative unitaire à degrés positifs alternée (x^2 = 0 si \deg x impair, x^i x^j = (-1)^{ij} x^j x^i, xy = (-1)^{\deg x \deg y}\, yx)

d : différentielle (degré +1) (d^2 = 0, d(xy) = (dx)\,y + (-1)^{\deg x}\, x\, dy)

\mathcal{M}/\mathrm{Nég}_{\infty} \simeq \varinjlim \mathcal{M}_N n'est pas une catégorie à \varinjlim filtrantes exactes. ces deux lignes sont seules en tête d'une feuille dont le reste n'est pas de sa main