Cote n° 136, pages 121–140

Cote n° 136 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
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Complexes duaux de De Rham à p. d.

122titre encadré en haut à droite de la page, de sa main ; le mot souligné est d'une lecture incertaine. La page ouvre une nouvelle rédaction.

Soient

$k$ anneau commutatif ⌜ass. unitaire comm.⌝

[…] $s$ une $k$-coalgèbre ⌜$[s\to s\otimes_k s]$⌝ ⌜ass. unitaire comm.⌝ [donc ⌜$V_k(s)$ :⌝ $k'\mapsto s^{k'}=\operatorname{Hom}_k(s,k')$ est un foncteur à valeurs dans les anneaux commut. ⌜ass. un. comm.⌝]

[…]

$\bar s$ une sous-$k$-coalgèbre ⌜ass. unit. comm.⌝ [donc ⌜$V_k(\bar s)$ :⌝ $k'\mapsto \bar s^{k'}=\operatorname{Hom}_k(\bar s,k)$ est une $\mathcal{O}_k$-alg. ass. un. comm. et $s^{k'}\to\bar s^{k'}$ est un hom. de $k'$-alg. ass. unit. comm., i.e. $V_k(s)\to V_k(\bar s)$ hom. de $\mathcal{O}_k$-alg.] une double flèche verticale relie $\bar s$ et $s^+$ dans la colonne de gauche.

$s^+=s/\bar s$ le $k$-module quotient [i.e. une coalgèbre ass. comm. mais […]] $[\,s^{+k'}\simeq\operatorname{Ker}(s^{k'}\to\bar s^{k'})\subset s^{k'}$ est un idéal de $s^{k'}$, donc $V_k(s^+)\overset{\mathrm{df}}{=}V_k(s)^+$ est un Idéal de $V_k(s)\,]$

$\gamma_*$ un système de copuissances divisées sur $(s,s^+)$ [donc on a sur $V_k(s^+)=V_k(s)^+$ un syst. de puiss. divisées \[\gamma_i : V_k(s^+)\longrightarrow V_k(s^+) \qquad i\geqslant 1\] défini par des homom. de $k$-mod. \[\gamma_i^{*} : \operatorname{Sym}_k(s^+)\longrightarrow \operatorname{Sym}^i_k(s^+)\] […] i.e. homom. $k$-lin. \[\gamma_i^{*} : s^+\longrightarrow \operatorname{Sym}^i_k(s^+)\] (qui, au vu des axiomes, sont en fait) \[\boxed{\gamma_i^{*} : s^+\longrightarrow \operatorname{Sym}^i_k(s^+)\quad (i\geqslant 1)}\] avec des axiomes divers

$t : s^+\to k$ un $k$-hom., i.e. $t\in V_k(s^+)(k)=V_k(s)^+(k)$.

Alors on définit un objet simplicial dans la cat. des foncteurs \[(k\text{-alg. comm.})\longrightarrow\] (algèbres graduées alternées différentielles (diff. de degré $1$) à ⌜avec idéaux⌝ puiss. divisées)

$k'\mapsto$ […] des foncteurs schémas affines en algèbres graduées alternées différentielles ⌜homogènes⌝ (diff. de degré $+1$) dans […], à puissances divisées ([…] […]), les puissances divisées étant compatibles aux graduations et à la différentielle

124\[\mathcal{A}^{*}_{*}(s,s^+,\gamma_*,t)(k') =\mathcal{A}^{*}_{*}\bigl(s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma_*^{k'},t^{k'}\bigr)\] sous $s^{k'}$ et $(s^{k'})^+$ il écrit respectivement $V_k(s)(k')$ et $V_k(s^+)(k')$ ; sous le membre de gauche, en accolade : schéma affine en alg. graduées (alternées différentielles (dif. de degré $+1$), avec idéal hom. à p. d. (comp. au reste))

On a \[\mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)(k')(I)\simeq \widehat{\Gamma}_{s^{k'}_*}\{\{k'^{I}\}\}\otimes_{k'} \Lambda^{*}(k'^{I}/k')\big/\text{idéal dif. engendré par }\textstyle\sum X_i-t\]

\[\mathcal{A}_n(s,s^+,\gamma_*,t)(k')\simeq s^{k'}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}[dX_0,\dots,dX_n]\big/ \bigl(\textstyle\sum X_i-t,\ \sum dX_i\bigr)_{\mathrm{pd}}\] \[\begin{align*} &\simeq s^{k'}\{\{X_0,\dots,X_{n-1}\}\}[dX_0,\dots,dX_{n-1}]\\ &\simeq \prod\bigl(s^{k'}\bigr)^{\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,n-1])} \qquad\text{comme foncteur en } k'\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(s,k')^{\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,\dots])} \qquad\text{comme foncteur en } k'\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(s^{(\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,\dots]))},k'\bigr)\\ &= V\bigl(s^{(\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,\dots]))}\bigr)(k')\\ &= V\bigl(s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k {\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1})\bigr)(k') \end{align*}\] une flèche part de l'exposant $\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,n-1])$ vers « avec des […] » ; le $\mathfrak{P}$ (parties) est écrit barré d'un trait, comme il le fait d'ordinaire.

\[\mathcal{A}_n(s,s^+,\gamma_*,t)(k')\big/\mathcal{A}_n(\ )(k')^+ \simeq s^{k'}\big/(s^{k'})^+\hookrightarrow \bar s^{k'}\] \[\mathcal{A}_n(\ )(k')\longrightarrow \bar s^{k'}=V(\bar s)(k')\] \[V\bigl(s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k{\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1})\bigr)(k') \longrightarrow V(\bar s)(k')\] \[s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k{\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1}) \longleftarrow \bar s\] à droite, $\bar s$ est relié par une flèche à $s$, et une longue flèche revient de $s$ vers le produit tensoriel : la flèche $\bar s\to s\otimes_k\cdots$ se factorise par $\bar s\to s$.

On voit donc, […] […] \[\mathcal{A}^{n}_{*}(s,s^+,\gamma_*,t) =s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k{\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1})\]

126a) Chacun des $\mathcal{A}^n_*(-)$ est muni d'une structure de $k$-coalgèbre ⌜(alternée)⌝ graduée codifférentielle (codifférentielle de degré $-1$), avec une immersion $\bar s\hookrightarrow\mathcal{A}^n_*(-)$ qui est compatible avec tout (provenant de $\bar s$, à la graduation nulle, et à la différentielle nulle), et une syst. de copuissances divisées, sur $\mathcal{A}^n(\ )^+=\mathcal{A}^n(\ )/\bar s$, compatibles aux graduations et différentielle.

b) Pour $n$ variable, les $\mathcal{A}^n(\ )$ forment un objet $\tfrac12$⌜co⌝simplicial (et $=$ simplicial) $\mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t)$ dans la cat. des (coalg. […] …) ⌜objets, munis des structures⌝ dites dans a).

c) On reconstitue $\mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)$ ⌜avec ses⌝ structures à l'aide de $\mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t)$, comme \[\mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)=V_k\bigl(\mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t)\bigr)\] ⌜$=k'\mapsto\mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)(k')$⌝.

d) Soit $\mathcal{X}$ un ens. $\tfrac12$simplicial, considérons \[k'\longmapsto\operatorname{Hom}\bigl(\mathcal{X},\mathcal{A}_*(-)(k')\bigr) \overset{\mathrm{df}}{=} C^{*}_{DR}\bigl(\mathcal{X};s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma_*,t\bigr)\] \[\begin{align*} &\simeq \varprojlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \operatorname{Hom}\bigl(\sigma,\mathcal{A}_*(\ )(k')\bigr)\\ &\simeq \varprojlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}_{\dim\sigma}(\ )(k') \qquad\bigl(=\operatorname{Hom}_k(\mathcal{A}^{\dim\sigma}_*(-),k')\bigr)\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\Bigl(\varinjlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}^{\dim\sigma}(-),k'\Bigr)\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t),k'\bigr) \end{align*}\] en face de $\Delta/\mathcal{X}$ il précise : « cat. des simplexes types $(\Delta_i)_{i\geqslant0}$, $\Delta_i=[0,i]$ ». Aux deux dernières lignes l'indice d'origine de $\mathcal{A}$ est biffé et remplacé par $\dim\sigma$ en exposant.

128\[\boxed{C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t)\overset{\mathrm{df}}{=} \varinjlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}^{\dim\sigma}(s,s^+,\gamma_*,t)}\]

Ici $C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t)$ est une $k$-coalgèbre graduée (alternée) codiff. (codiff. de degré $-1$), à copuissances ⌜avec une structure⌝ homom. $\bar s\to C^{DR}_*(\mathcal{X},-)$ (pas nécessairement injectif : si $\mathcal{X}=\varnothing$, $C^{DR}_*(\mathcal{X},-)=0$ …) et des copuiss. divisées sur $C^{DR}_*(\mathcal{X},-)_+=$ […] $(\bar s\to C^{DR}_*(\mathcal{X},-))$. Il en résulte des structures, sur $C^*_{DR}(\mathcal{X},s^{k'},\dots)$ contravariantes, […] varie sur $k$, […] varie avec $\mathcal{X}$.

écrit en oblique dans la marge gauche : $\mathcal{X}\mapsto C^{DR}_*(\mathcal{X};\dots)$ dépend de $\mathcal{X}$ en commute aux $\varinjlim$ quelconques (vu sa défin. […])

e) Si $(s,s^+,\gamma_*,t)$ varie sur $k$, $(s^{k'},s^{+k'},\gamma_*^{k'},t^{k'})$ en dépend de façon contravariante, donc \[C^*_{DR}\bigl(\mathcal{X};s^{k'},s^{+k'},\gamma_*,t^{k'}\bigr) =\operatorname{Hom}\bigl(C^{DR}_*(\mathcal{X},-),k'\bigr)\] aussi, et $C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t)$ dépend de façon covariante de $(s,s^+,\gamma_*,t)$, ce qui est aussi évident sur l'écriture plus haut $C^{DR}_*(\mathcal{X},-)=\varinjlim\dots$, compte tenu que $\mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t)$ est covariant en $(s,s^+,\gamma_*,t)$. De plus, il comme fonction en $(s,s^+,\gamma_*,t)$, il commute aux $\varinjlim$ filtrantes. ⌜Commutation à l'extension de l'anneau de base.⌝

f) Supposons que la coalgèbre $s$ soit graduée (structure de coalgèbre et graduation compatibles), que $\bar s$, sous-alg. itou, $\bar s\to s$ compatible avec les gradu., les $\gamma_*$ préd. sur $s^+$ compatibles ⌜avec⌝ les graduations et $t : s^+\to k$ ⌜homom.⌝ de degré $\delta$. Alors les ⌜$\forall k'$⌝ $\bigl(s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma_*^{k'},t^{k'}\bigr)$

130est une ⌜alg.⌝ à p. div. graduée, avec idéal $(s^{k'})^+$ homog. à p. div. compatibles aux graduations, et $t^{k'}$ est un élément de degré $\delta$ dedans.

Alors les \[\mathcal{A}_n(\ )(k')=s^{k'}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}[dX_0,\dots,dX_n] \big/\bigl(\textstyle\sum X_i-t,\ \sum dX_i\bigr)_{\mathrm{pd}}\] est ⌜une alg.⌝ bigraduée, ⌜(induite par $s^{k'}$)⌝ (2ème degré) et le degré total défini par \[\left\{ \begin{aligned} &\deg\mathrm{tot}\,X_r=\deg\mathrm{tot}\,dX_r=\delta \quad\text{\struck{degré}}\\ &\deg\mathrm{tot}\,X_r^{(n)}=\delta,\ \ \deg\mathrm{tot}_{\mathcal{A}_n}\lambda =\deg\mathrm{tot}_{s^{k'}}\lambda \qquad \lambda\in s^{k'} \end{aligned}\right.\] La diff. […] respecte le degré total, […] une […] graduée […] comme on l'a dit ; les puiss. divisées sont compatibles aux deux degrés.

Cette structure s'explicite […] fonctorielle en $k'$ ; donc […] (deg tot), et dans […] : $\mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma^*,t)$.

Elle passe […] […] ainsi aux $C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma^*,t)$, et on retrouve la structure […] sur $C^*_{DR}\bigl(\mathcal{X};s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma^{*k'},t^{k'}\bigr)$ en prenant le $\operatorname{Hom}_k$ […] de $C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma^*,t)$ dans $k'$.

g) On prend maintenant, pour \[\begin{align*} s&=s_k=k[u] &&\text{donc } s^{k'}=k'\{\{T\}\}\\ \bar s&=\bar s_k=k &&\text{donc } \bar s^{k'}=k' \end{align*}\] avec structure de coalg. évidente, ⌜donnant sur $s^{k'}$ la structure connue⌝, \[\bar s\longrightarrow s \ \text{l'inclusion}\ k\to k[u] \qquad\text{donc } s^{k'}\to\bar s^{k'}\ \text{l'augm. ordinaire}\ k'\{\{T\}\}\to k'\] \[s^+=k[u]/k\simeq k[u]^+\]

132On prend syst. de copuiss. divisées sur $k[u]^+=s^+$ ⌜comme⌝ correspondant à celles […] sur $k'\{\{T\}\}^+$.

On prend $t\in k[\{T\}]$ donné par $t=T$, i.e. \[t(u^n)=\begin{cases}1 & \text{si } n=1\\ 0 & \text{si } n\neq1\end{cases}\]

On a donc ici \[\begin{align*} \mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma^*,t)(k') &\simeq\mathcal{A}_*\bigl(s^{k'},s^{+k'},\gamma^{*k'},t^{k'}\bigr) \simeq\mathcal{A}_*\bigl(k'\{\{T\}\},k'\{\{T\}\}^+,\gamma^{k'},T\bigr)\\ &\simeq\mathcal{A}_*(k')^{\wedge} \end{align*}\]

On pose simplement \[\text{\struck{$\mathcal{A}_k^{*}$}}\ \mathcal{A}^{*}_{k*} =\mathcal{A}^{*}_{*}(s_k,\bar s_k,\gamma_k^{*},t_k)\] de sorte que \[\mathcal{A}_*(k')^{\wedge}\simeq\operatorname{Hom}_k(\mathcal{A}^{*}_{k},k')\] avec toutes les structures. Notons qu'ici on a $s$, $\bar s$ et $\bar s\to s$ ⌜gradués⌝ ([…] […] de $k[u]$), et dans le cas […] les graduations […] sur les $k'\{\{T\}\}$), et $t=T$ de degré $1$, donc on a $\mathcal{A}^{*}_{k}$ admet une bigraduation. ⌜Cela⌝ $\mathcal{A}^*_k$ donne lieu aussi à \[\text{\struck{$C^{DR}_*(\mathcal{X};k)$}}\quad C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)\overset{\mathrm{df}}{\simeq} C^{DR}_*\bigl(\mathcal{X},k[u],k[u]^+,\gamma^{*}_k,t_k\bigr)\] (avec les autres structures) et on retrouve par $\operatorname{Hom}_k\bigl(C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k),k'\bigr)$ les structures connues (y compris ⌜la⌝ bigraduation) sur le complexe de cochaînes de De Rham $C^*_{DR,\mathrm{pd}}(\mathcal{X},k')$.

En fait tous les $C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)$ se déduisent

134se déduisent de \[C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})\overset{\mathrm{df}}{=} C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X};\mathbb{Z})\] par la formule \[C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)\simeq C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})\otimes_{\mathbb{Z}}k ,\] d'où […] \[C^{*}_{DR,\mathrm{pd}}(\mathcal{X},k)\simeq \operatorname{Hom}\bigl(C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X}),k\bigr)\]

On définit de même, pour tout groupe abélien $M$ et fonctoriellement en $M$ \[\begin{align*} C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X};M)&\overset{\mathrm{df}}{=} C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})\otimes_{\mathbb{Z}}M\\ C^{*}_{DR,\mathrm{pd}}(\mathcal{X};M)&\overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{Hom}\bigl(C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X}),M\bigr) \end{align*}\] et les structures sur $C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})$ impliquent une partie des structures multiplicatives pour ces foncteurs en $M$ …

136le haut de la page, jusqu'à « Dualisation… », est biffé de longs traits obliques ; il ne prolonge pas visiblement la p. 134 et semble appartenir à un autre fil (faisceaux sur un ensemble simplicial). ce qui se voit directement, […] \[\text{\struck{$\tau^{\alpha}(F)=|\alpha|^{*}(\sigma^{\alpha}(F))\ \dots$}}\] Comme les $\sigma^{\alpha}$ commutent aux $\varinjlim$ finies et aux $\varprojlim$ quelconques \[\text{\struck{$\mathcal{X}'=\varprojlim\mathcal{X}_{\mathcal{U}}\to X,\quad \mathcal{X}_{\mathcal{U}}\to\mathcal{X},\quad \varinjlim F/X_i,\quad \Delta/\mathcal{X}_i,\ \Delta/\mathcal{X}_j,\quad \mathcal{X}_i\hookrightarrow\mathcal{X}_j,\quad \mathcal{F}_i\leftarrow\mathcal{F}_j$}}\] ces formules sont disposées en schéma sous les traits de biffure ; on n'en donne que les termes.

Dualisation des homom. de Stokes

\[\pi_n : \mathcal{A}^n_n(s,s^+,\gamma^*,t)(k') =\mathcal{A}^{\wedge}_n\bigl(s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma^{k'},t^{k'}\bigr)^n \longrightarrow s^{k'}\] sous le membre de gauche, relié par $=$ : $V\bigl(s[Y_0,\dots,Y_n][y_0,\dots,y_n]^{n}\bigr)(k')$, le crochet extérieur surchargé ; le but $s^{k'}$ est glosé $V(s)(k')$. En face de la flèche verticale : « $\pi_n$ s-homom. ».

\[(\mathcal{A}^{*}_{*})_n\qquad s\xrightarrow{\ \kappa_n\ } s[Y_0,\dots,Y_n][y_0,\dots,y_n]^{(n)}\]

1) c'est l'identité si $n=0$

2) Stokes : commutativité dans

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  s \arrow[r, "\kappa_n"] \arrow[d, "\pi_{n-1}"'] & (\mathcal{A}^{*})_n \arrow[d, "d_{\mathcal{A}^*}"] \\
  (\mathcal{A}^{*})_{n-1} \arrow[r, "\partial_{ss}"'] & (\mathcal{A}^{*})_{n-1}
\end{tikzcd}

dans le diagramme, la flèche verticale de gauche est notée $\pi_{n-1}$ (lecture incertaine : $\kappa_{n-1}$ attendu), et la source en bas à gauche porte un exposant surchargé.

\[K^n_{\ill{}}(d\omega)=K^{n-1}_{\ill{}}(\partial\omega) \quad\Longleftrightarrow\quad d_{\mathcal{A}^*}\,\kappa_n=\partial_{ss}\,\kappa_{n-1}\] sous $d_{\mathcal{A}^*}$ : « degré cot. $+1$ » ; sous $\partial_{ss}$ : « deg ss $+1$ ». À gauche, un premier essai de la même formule est biffé : $d\kappa_n=\partial\kappa_{n+1}\partial_{ss}$, degré $+1$.

$s\otimes k'$ \[C^{\mathrm{sing}}_*(\mathcal{X},s)\longrightarrow C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t)\] \[C^{\mathrm{sing}}_*(\mathcal{X},k[u])\longrightarrow C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)\]

138\[\mathcal{A}^{0}_n\simeq k\{\{T\}\}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}\big/ \bigl(\textstyle\sum X_i-T\bigr)_{\mathrm{pd}} \xleftarrow{\ \text{épi}\ } k\{\{T\}\}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}\] \[\simeq k\{\{X_0,\dots,X_n\}\} \longleftarrow k\{\{T,X_0,\dots,X_n\}\} \qquad X_i\mapsto X_i,\ \ \textstyle\sum_{0\leqslant i\leqslant n}X_i\leftarrow T\] l'exposant $0$ de $\mathcal{A}$ est glosé « deg cot ».

dualisant

\[(\mathcal{A}^n)_0\simeq k[U+Y_0,U+Y_1,\dots,U+Y_n] \xrightarrow{\ \text{mono}\ } k[U][Y_0,\dots,Y_n]\simeq k[U,Y_0,\dots,Y_n]\] \[k[Z_0,Z_1,\dots,Z_n]\longrightarrow k[U,Y_0,\dots,Y_n],\qquad Z_i\mapsto U+Y_i\] [l'image est l'intersection des noyaux des op. diff. $\bigl(\tfrac{\partial}{\partial Y_0}+\dots+\tfrac{\partial}{\partial Y_n} -\tfrac{\partial}{\partial U}\bigr)^{(i)}$]

\[\bigl\langle X_0^{(i_0)}\cdots X_n^{(i_n)},\,Z_0^{j_0}\cdots Z_n^{j_n}\bigr\rangle =\prod_{0\leqslant\alpha\leqslant n}\delta_{i_\alpha,j_\alpha} =\begin{cases}0 & \text{si } (i_\alpha)\neq(j_\alpha)\\ 1 & \text{si } (i_\alpha)=(j_\alpha)\end{cases}\] \[\bigl\langle T^{(\lambda)}X_0^{(i_0)}\cdots X_n^{(i_n)},\, U^{\mu}Y_0^{j_0}\cdots Y_n^{j_n}\bigr\rangle =\delta_{\lambda,\mu}\prod_\alpha\delta_{i_\alpha,j_\alpha} =\begin{cases}0 & \text{si } (\lambda,(i_\alpha))\neq(\mu,(j_\alpha))\\ 1 & \text{si } \dots=\dots\end{cases}\]

\[\mathcal{A}_n^{*=*}\simeq {\textstyle\Lambda}^{*}_k[dX_0,\dots,dX_n]\big/\bigl(\textstyle\sum dX_i\bigr) \xleftarrow{\ \text{épi}\ }{\textstyle\Lambda}^{*}_k[dX_0,\dots,dX_n]\] l'indice $*=*$ est glosé « degré tot. $=$ deg cot, i.e. deg compl. $=0$ ».

dualisant \[(\mathcal{A}^n)_{*=*}\simeq \bigl({\textstyle\Lambda}^{*}_k[y_0,\dots,y_n]\bigr)^{!} \simeq{\textstyle\Lambda}^{*}_k\bigl([y_0,\dots,y_n]^{!}\bigr) \longrightarrow{\textstyle\Lambda}^{*}_k[y_0,\dots,y_n]\] où $[y_0,\dots,y_n]^{!}$ est le ss-esp. de $ky_0\oplus\dots\oplus ky_n$ formé des vect. dont la somme des coord. $=0$ ; l'image est le noyau de $i_X$, où $X$ est la forme sur $ky_0\oplus\dots\oplus ky_n$ « somme des coordonnées » et où $i_X$ est le produit int[érieur].

NB On a un iso can. \[{\textstyle\Lambda}^{n}_k\bigl([y_0,\dots,y_n]'\bigr)\simeq {\textstyle\Lambda}^{n+1}_k\bigl([y_0,\dots,y_n]\bigr)\simeq k\] déduit de la suite exacte \[0\longrightarrow[y_0,\dots,y_n]'\longrightarrow[y_0,\dots,y_n] \longrightarrow k\longrightarrow0\] les exposants des deux $\Lambda$ sont surchargés ; on lit $n$ puis $n+1$, ce qu'exige la suite exacte.

Donc \[(\mathcal{A}^n)_n\overset{\text{iso can}}{\simeq}(\mathcal{A}^n)_0 \simeq k[Z_0,\dots,Z_n]\] (l'indice étant le deg cot), donc \[\kappa_n : k[U]\longrightarrow k[Z_0,\dots,Z_n]\]

140\[s,\ s^+,\ \gamma^*,\ t\] \[(\mathcal{A}^{*}_{n})^{n}\simeq S\{\{X_0,\dots,X_n\}\}\big/\bigl(\textstyle\sum X_i-t\bigr)_{\mathrm{pd}} \otimes_S S[dX_0,\dots,dX_n]\big/\bigl(\textstyle\sum dX_i\bigr)\] \[\simeq S\{X_0,\dots,X_{n-1}\}[dX_0,\dots,dX_{n-1}] \xrightarrow{\ \kappa^n\ (S\text{-linéaire})\ } S\] sous le second facteur : « en degré $n$, c'est $\simeq S$ avec la base $dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1}$ ».

\[\kappa^n\bigl(X_0^{(i_0)}\cdots X_{n-1}^{(i_{n-1})}\,dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1}\bigr) =\text{\struck{\ill{}}}\ t^{(n+\sum i_\alpha)}\,\gamma_{i_0,\dots,i_{n-1}}\] au-dessus de l'exposant $n+\sum i_\alpha$ il écrit $\sum(i_\alpha+1)$.

où $\gamma_{i_0\dots i_{n-1}}$ est un entier canonique \[\gamma_{i_0\dots i_{n-1}}=\frac{(n+\sum i_\alpha)!}{\prod_\alpha(i_\alpha!)} \int\!\!\cdots\!\!\int_{\sigma_n}X_0^{i_0}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}\, dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1}\] \[\sigma_n=\{X_0,\dots,X_{n-1}\geqslant0,\ X_0+\dots+X_{n-1}\leqslant1\}\] sous l'intégrale, en accolade : $0\leqslant\ \cdot\ \leqslant\frac{1}{n!}\gamma_{0,0,\dots,0}\overset{?}{=}\frac{1}{n!}$.

On peut aussi calculer par récurrence sur $n$, en utilisant Stokes \[\kappa^{n}\bigl(\underbrace{X_0^{(i_0)}\cdots X_{n-1}^{(i_{n-1})}\, dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1}}_{d\left(X_{n-1}^{(i_{n-1}+1)}\, dX_0^{(i_0+1)}\wedge\dots\wedge dX_{n-2}^{(i_{n-2}+1)}\right)}\bigr) =\kappa^{n-1}\bigl(\partial_{ss}\,X_{n-1}^{(i_{n-1}+1)}\, dX_0^{(i_0+1)}\cdots\bigr)\] sous le second membre, en accolade : $X_{n-1}^{(i_{n-1}+1)}\,dX_0^{(i_0+1)}\cdots d\bigl(X_{n-2}^{(i_{n-2}+1)}\bigr)$.

i.e. $\gamma_{i_0,\dots,i_{n-1}}$ $=$ \[\kappa_{n-1}\Bigl(\bigl(t-(X_0+\dots+X_{n-2})\bigr)^{(i_{n-1}+1)} X_0^{(i_0)}\cdots X_{n-2}^{(i_{n-2})}\,dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-2}\Bigr)\] où \[\bigl(t-(X_0+\dots+X_{n-2})\bigr)^{(i_{n-1}+1)} =\sum_{\lambda+l_0+\dots+l_{n-2}=i_{n-1}+1} (-1)^{\sum l_\alpha}X_0^{(l_0)}\cdots X_{n-2}^{(l_{n-2})}\,t^{(\lambda)}\] \[\begin{align*} &=\kappa_{n-1}\Bigl(\sum_{\lambda+\sum_0^{n-2}l_\alpha=i_{n-1}+1} (-1)^{\sum l_\alpha}c_{i_0,l_0}c_{i_1,l_1}\cdots c_{i_{n-2},l_{n-2}}\\ &\qquad\qquad t^{(\lambda)}X_0^{(i_0+l_0)}\cdots X_{n-2}^{(i_{n-2}+l_{n-2})}\, dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-2}\Bigr)\\ &=t^{(n+\sum i_\alpha)}\Bigl[(-1)^{i_{n-1}+1} \sum_{\lambda+\sum l_\alpha=i_{n-1}+1}(-1)^{\sum l_\alpha} c_{i_0,l_0}\cdots c_{i_{n-2},l_{n-2}}\\ &\qquad\qquad c_{\lambda,\,n-1+\sum_0^{n-2}(l_\alpha+i_\alpha)}\, \gamma_{i_0+l_0,\dots,i_{n-2}+l_{n-2}}\Bigr] \end{align*}\] les $c_{i,l}$ sont les coefficients du produit de puissances divisées, $X^{(i)}X^{(l)}=c_{i,l}X^{(i+l)}$, ce que la page ne dit pas ; le facteur $c_{\lambda,\dots}$ est ajouté en accolade au-dessus de $t^{(\lambda)}$, avec l'indice $\sum_0^{n-2}i_\alpha+l_\alpha+1$. Plusieurs exposants sont surchargés ou biffés : $(-1)^{i_{n-1}+1}$ remplace un premier essai.

Donc \[\begin{aligned} \gamma_{i_0,\dots,i_{n-1}}&=\text{\struck{$(-1)^{i_{n-1}+1}$}} \sum_{\lambda+\sum_0^{n-2}l_\alpha=i_{n-1}+1} (-1)^{\sum_0^{n-2}l_\alpha}c_{i_0,l_0}\cdots c_{i_{n-2},l_{n-2}}\\ &\qquad c_{\lambda,\,n-1+\sum_0^{n-2}(l_\alpha+i_\alpha)}\, \gamma_{i_0+l_0,\,i_1+l_1,\dots,\,i_{n-2}+l_{n-2}} \end{aligned}\] la formule de récurrence s'arrête au bas de la page ; la suite, si elle existe, est hors du lot.