Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 121–140

Complexes duaux de De Rham à p. d.

titre encadré en haut à droite de la page, de sa main ; le mot souligné est d'une lecture incertaine. La page ouvre une nouvelle rédaction.

Soient

k anneau commutatif ass. unitaire comm.

s une k-coalgèbre [s\to s\otimes_k s] ass. unitaire comm. [donc V_k(s) : k'\mapsto s^{k'}=\operatorname{Hom}_k(s,k') est un foncteur à valeurs dans les anneaux commut. ass. un. comm.]

\bar s une sous-k-coalgèbre ass. unit. comm. [donc V_k(\bar s) : k'\mapsto \bar s^{k'}=\operatorname{Hom}_k(\bar s,k) est une \mathcal{O}_k-alg. ass. un. comm. et s^{k'}\to\bar s^{k'} est un hom. de k'-alg. ass. unit. comm., i.e. V_k(s)\to V_k(\bar s) hom. de \mathcal{O}_k-alg.] une double flèche verticale relie \bar s et s^+ dans la colonne de gauche.

s^+=s/\bar s le k-module quotient [i.e. une coalgèbre ass. comm. mais ] [\,s^{+k'}\simeq\operatorname{Ker}(s^{k'}\to\bar s^{k'})\subset s^{k'} est un idéal de s^{k'}, donc V_k(s^+)\overset{\mathrm{df}}{=}V_k(s)^+ est un Idéal de V_k(s)\,]

\gamma_* un système de copuissances divisées sur (s,s^+) [donc on a sur V_k(s^+)=V_k(s)^+ un syst. de puiss. divisées \gamma_i : V_k(s^+)\longrightarrow V_k(s^+) \qquad i\geqslant 1 défini par des homom. de k-mod. \gamma_i^{*} : \operatorname{Sym}_k(s^+)\longrightarrow \operatorname{Sym}^i_k(s^+) i.e. homom. k-lin. \gamma_i^{*} : s^+\longrightarrow \operatorname{Sym}^i_k(s^+) (qui, au vu des axiomes, sont en fait) \boxed{\gamma_i^{*} : s^+\longrightarrow \operatorname{Sym}^i_k(s^+)\quad (i\geqslant 1)} avec des axiomes divers

t : s^+\to k un k-hom., i.e. t\in V_k(s^+)(k)=V_k(s)^+(k).

Alors on définit un objet simplicial dans la cat. des foncteurs (k\text{-alg. comm.})\longrightarrow (algèbres graduées alternées différentielles (diff. de degré 1) à avec idéaux ~~puiss. divisées~~)

k'\mapsto des ~~foncteurs~~ schémas affines en algèbres graduées alternées différentielles homogènes (diff. de degré +1) dans , à puissances divisées ( ), les puissances divisées étant compatibles aux graduations et à la différentielle

\mathcal{A}^{*}_{*}(s,s^+,\gamma_*,t)(k') =\mathcal{A}^{*}_{*}\bigl(s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma_*^{k'},t^{k'}\bigr) sous s^{k'} et (s^{k'})^+ il écrit respectivement V_k(s)(k') et V_k(s^+)(k') ; sous le membre de gauche, en accolade : schéma affine en alg. graduées (alternées différentielles (dif. de degré +1), avec idéal hom. à p. d. (comp. au reste))

On a \mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)(k')(I)\simeq \widehat{\Gamma}_{s^{k'}_*}\{\{k'^{I}\}\}\otimes_{k'} \Lambda^{*}(k'^{I}/k')\big/\text{idéal dif. engendré par }\textstyle\sum X_i-t

\mathcal{A}_n(s,s^+,\gamma_*,t)(k')\simeq s^{k'}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}[dX_0,\dots,dX_n]\big/ \bigl(\textstyle\sum X_i-t,\ \sum dX_i\bigr)_{\mathrm{pd}} \begin{align*} &\simeq s^{k'}\{\{X_0,\dots,X_{n-1}\}\}[dX_0,\dots,dX_{n-1}]\\ &\simeq \prod\bigl(s^{k'}\bigr)^{\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,n-1])} \qquad\text{comme foncteur en } k'\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(s,k')^{\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,\dots])} \qquad\text{comme foncteur en } k'\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(s^{(\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,\dots]))},k'\bigr)\\ &= V\bigl(s^{(\mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,\dots]))}\bigr)(k')\\ &= V\bigl(s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k {\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1})\bigr)(k') \end{align*} une flèche part de l'exposant \mathbb{N}^n\times\mathfrak{P}([0,n-1]) vers « avec des » ; le \mathfrak{P} (parties) est écrit barré d'un trait, comme il le fait d'ordinaire.

\mathcal{A}_n(s,s^+,\gamma_*,t)(k')\big/\mathcal{A}_n(\ )(k')^+ \simeq s^{k'}\big/(s^{k'})^+\hookrightarrow \bar s^{k'} \mathcal{A}_n(\ )(k')\longrightarrow \bar s^{k'}=V(\bar s)(k') V\bigl(s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k{\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1})\bigr)(k') \longrightarrow V(\bar s)(k') s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k{\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1}) \longleftarrow \bar s à droite, \bar s est relié par une flèche à s, et une longue flèche revient de s vers le produit tensoriel : la flèche \bar s\to s\otimes_k\cdots se factorise par \bar s\to s.

On voit donc, \mathcal{A}^{n}_{*}(s,s^+,\gamma_*,t) =s\otimes_k k[Y_0,\dots,Y_{n-1}]\otimes_k{\textstyle\Lambda^{*}}(y_0,\dots,y_{n-1})

a) Chacun des \mathcal{A}^n_*(-) est muni d'une structure de k-coalgèbre (alternée) graduée codifférentielle (codifférentielle de degré -1), avec une immersion \bar s\hookrightarrow\mathcal{A}^n_*(-) qui est compatible avec tout (provenant de \bar s, à la graduation nulle, et à la différentielle nulle), et ~~une~~ syst. de copuissances divisées, sur \mathcal{A}^n(\ )^+=\mathcal{A}^n(\ )/\bar s, compatibles aux graduations et différentielle.

b) Pour n variable, les \mathcal{A}^n(\ ) forment un objet \tfrac12cosimplicial (et = simplicial) \mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t) dans la cat. des (coalg. …) objets, munis des structures dites dans a).

c) On reconstitue \mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t) avec ses structures à l'aide de \mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t), comme \mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)=V_k\bigl(\mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t)\bigr) =k'\mapsto\mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma_*,t)(k').

d) Soit \mathcal{X} un ens. \tfrac12simplicial, considérons k'\longmapsto\operatorname{Hom}\bigl(\mathcal{X},\mathcal{A}_*(-)(k')\bigr) \overset{\mathrm{df}}{=} C^{*}_{DR}\bigl(\mathcal{X};s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma_*,t\bigr) \begin{align*} &\simeq \varprojlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \operatorname{Hom}\bigl(\sigma,\mathcal{A}_*(\ )(k')\bigr)\\ &\simeq \varprojlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}_{\dim\sigma}(\ )(k') \qquad\bigl(=\operatorname{Hom}_k(\mathcal{A}^{\dim\sigma}_*(-),k')\bigr)\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\Bigl(\varinjlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}^{\dim\sigma}(-),k'\Bigr)\\ &\simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t),k'\bigr) \end{align*} en face de \Delta/\mathcal{X} il précise : « cat. des simplexes types (\Delta_i)_{i\geqslant0}, \Delta_i=[0,i] ». Aux deux dernières lignes l'indice d'origine de \mathcal{A} est biffé et remplacé par \dim\sigma en exposant.

\boxed{C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t)\overset{\mathrm{df}}{=} \varinjlim_{\sigma\text{ dans }\Delta/\mathcal{X}} \mathcal{A}^{\dim\sigma}(s,s^+,\gamma_*,t)}

Ici C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t) est une k-coalgèbre graduée (alternée) codiff. (codiff. de degré -1), ~~à copuissances~~ avec une structure homom. \bar s\to C^{DR}_*(\mathcal{X},-) (pas nécessairement injectif : si \mathcal{X}=\varnothing, C^{DR}_*(\mathcal{X},-)=0 …) et des copuiss. divisées sur C^{DR}_*(\mathcal{X},-)_+= (\bar s\to C^{DR}_*(\mathcal{X},-)). Il en résulte des structures, sur C^*_{DR}(\mathcal{X},s^{k'},\dots) contravariantes, varie sur k, ~~varie avec \mathcal{X}~~.

écrit en oblique dans la marge gauche : \mathcal{X}\mapsto C^{DR}_*(\mathcal{X};\dots) dépend de \mathcal{X} en commute aux \varinjlim quelconques (vu sa défin. )

e) Si (s,s^+,\gamma_*,t) varie sur k, (s^{k'},s^{+k'},\gamma_*^{k'},t^{k'}) en dépend de façon contravariante, donc C^*_{DR}\bigl(\mathcal{X};s^{k'},s^{+k'},\gamma_*,t^{k'}\bigr) =\operatorname{Hom}\bigl(C^{DR}_*(\mathcal{X},-),k'\bigr) aussi, et C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t) dépend de façon covariante de (s,s^+,\gamma_*,t), ce qui est aussi évident sur l'écriture plus haut C^{DR}_*(\mathcal{X},-)=\varinjlim\dots, compte tenu que \mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma_*,t) est covariant en (s,s^+,\gamma_*,t). De plus, il comme fonction en (s,s^+,\gamma_*,t), il commute aux \varinjlim filtrantes. Commutation à l'extension de l'anneau de base.

f) Supposons que la coalgèbre s soit graduée (structure de coalgèbre et graduation compatibles), que \bar s, sous-alg. itou, \bar s\to s compatible avec les gradu., les \gamma_* préd. sur s^+ compatibles avec les graduations et t : s^+\to k homom. de degré \delta. Alors ~~les~~ \forall k' \bigl(s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma_*^{k'},t^{k'}\bigr)

est une alg. ~~à p. div.~~ graduée, avec idéal (s^{k'})^+ homog. à p. div. compatibles aux graduations, et t^{k'} est un élément de degré \delta dedans.

Alors les \mathcal{A}_n(\ )(k')=s^{k'}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}[dX_0,\dots,dX_n] \big/\bigl(\textstyle\sum X_i-t,\ \sum dX_i\bigr)_{\mathrm{pd}} est une alg. bigraduée, (induite par s^{k'}) (2ème degré) et le degré total défini par \left\{ \begin{aligned} &\deg\mathrm{tot}\,X_r=\deg\mathrm{tot}\,dX_r=\delta \quad\text{\struck{degré}}\\ &\deg\mathrm{tot}\,X_r^{(n)}=\delta,\ \ \deg\mathrm{tot}_{\mathcal{A}_n}\lambda =\deg\mathrm{tot}_{s^{k'}}\lambda \qquad \lambda\in s^{k'} \end{aligned}\right. La diff. respecte le degré total, une graduée comme on l'a dit ; les puiss. divisées sont compatibles aux deux degrés.

Cette structure s'explicite fonctorielle en k' ; donc (deg tot), et dans : \mathcal{A}^*(s,s^+,\gamma^*,t).

Elle passe ainsi aux C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma^*,t), et on retrouve la structure sur C^*_{DR}\bigl(\mathcal{X};s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma^{*k'},t^{k'}\bigr) en prenant le \operatorname{Hom}_k de C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma^*,t) dans k'.

g) On prend maintenant, pour \begin{align*} s&=s_k=k[u] &&\text{donc } s^{k'}=k'\{\{T\}\}\\ \bar s&=\bar s_k=k &&\text{donc } \bar s^{k'}=k' \end{align*} avec structure de coalg. évidente, donnant sur s^{k'} la structure connue, \bar s\longrightarrow s \ \text{l'inclusion}\ k\to k[u] \qquad\text{donc } s^{k'}\to\bar s^{k'}\ \text{l'augm. ordinaire}\ k'\{\{T\}\}\to k' s^+=k[u]/k\simeq k[u]^+

On prend syst. de copuiss. divisées sur k[u]^+=s^+ comme correspondant à celles sur k'\{\{T\}\}^+.

On prend t\in k[\{T\}] donné par t=T, i.e. t(u^n)=\begin{cases}1 & \text{si } n=1\\ 0 & \text{si } n\neq1\end{cases}

On a donc ici \begin{align*} \mathcal{A}_*(s,s^+,\gamma^*,t)(k') &\simeq\mathcal{A}_*\bigl(s^{k'},s^{+k'},\gamma^{*k'},t^{k'}\bigr) \simeq\mathcal{A}_*\bigl(k'\{\{T\}\},k'\{\{T\}\}^+,\gamma^{k'},T\bigr)\\ &\simeq\mathcal{A}_*(k')^{\wedge} \end{align*}

On pose simplement \text{\struck{$\mathcal{A}_k^{*}$}}\ \mathcal{A}^{*}_{k*} =\mathcal{A}^{*}_{*}(s_k,\bar s_k,\gamma_k^{*},t_k) de sorte que \mathcal{A}_*(k')^{\wedge}\simeq\operatorname{Hom}_k(\mathcal{A}^{*}_{k},k') avec toutes les structures. Notons qu'ici on a s, \bar s et \bar s\to s gradués ( de k[u]), et dans le cas les graduations sur les k'\{\{T\}\}), et t=T de degré 1, donc ~~on a~~ \mathcal{A}^{*}_{k} admet une bigraduation. Cela ~~\mathcal{A}^*_k~~ donne lieu aussi à \text{\struck{$C^{DR}_*(\mathcal{X};k)$}}\quad C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)\overset{\mathrm{df}}{\simeq} C^{DR}_*\bigl(\mathcal{X},k[u],k[u]^+,\gamma^{*}_k,t_k\bigr) (avec les autres structures) et on retrouve par \operatorname{Hom}_k\bigl(C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k),k'\bigr) les structures connues (y compris la bigraduation) sur le complexe de cochaînes de De Rham C^*_{DR,\mathrm{pd}}(\mathcal{X},k').

En fait tous les C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k) se déduisent

se déduisent de C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})\overset{\mathrm{df}}{=} C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X};\mathbb{Z}) par la formule C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)\simeq C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})\otimes_{\mathbb{Z}}k , d'où C^{*}_{DR,\mathrm{pd}}(\mathcal{X},k)\simeq \operatorname{Hom}\bigl(C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X}),k\bigr)

On définit de même, pour tout groupe abélien M et fonctoriellement en M \begin{align*} C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X};M)&\overset{\mathrm{df}}{=} C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X})\otimes_{\mathbb{Z}}M\\ C^{*}_{DR,\mathrm{pd}}(\mathcal{X};M)&\overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{Hom}\bigl(C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X}),M\bigr) \end{align*} et les structures sur C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X}) impliquent une partie des structures multiplicatives pour ces foncteurs en M …

le haut de la page, jusqu'à « Dualisation… », est biffé de longs traits obliques ; il ne prolonge pas visiblement la p. 134 et semble appartenir à un autre fil (faisceaux sur un ensemble simplicial). ~~ce qui se voit directement,~~ \text{\struck{$\tau^{\alpha}(F)=|\alpha|^{*}(\sigma^{\alpha}(F))\ \dots$}} ~~Comme les \sigma^{\alpha} commutent aux \varinjlim finies et aux \varprojlim quelconques~~ \text{\struck{$\mathcal{X}'=\varprojlim\mathcal{X}_{\mathcal{U}}\to X,\quad \mathcal{X}_{\mathcal{U}}\to\mathcal{X},\quad \varinjlim F/X_i,\quad \Delta/\mathcal{X}_i,\ \Delta/\mathcal{X}_j,\quad \mathcal{X}_i\hookrightarrow\mathcal{X}_j,\quad \mathcal{F}_i\leftarrow\mathcal{F}_j$}} ces formules sont disposées en schéma sous les traits de biffure ; on n'en donne que les termes.

Dualisation des homom. de Stokes

\pi_n : \mathcal{A}^n_n(s,s^+,\gamma^*,t)(k') =\mathcal{A}^{\wedge}_n\bigl(s^{k'},(s^{k'})^+,\gamma^{k'},t^{k'}\bigr)^n \longrightarrow s^{k'} sous le membre de gauche, relié par = : V\bigl(s[Y_0,\dots,Y_n][y_0,\dots,y_n]^{n}\bigr)(k'), le crochet extérieur surchargé ; le but s^{k'} est glosé V(s)(k'). En face de la flèche verticale : « \pi_n s-homom. ».

(\mathcal{A}^{*}_{*})_n\qquad s\xrightarrow{\ \kappa_n\ } s[Y_0,\dots,Y_n][y_0,\dots,y_n]^{(n)}

1) c'est l'identité si n=0

2) Stokes : commutativité dans

\begin{tikzcd} s \arrow[r, "\kappa_n"] \arrow[d, "\pi_{n-1}"'] & (\mathcal{A}^{*})_n \arrow[d, "d_{\mathcal{A}^*}"] \\ (\mathcal{A}^{*})_{n-1} \arrow[r, "\partial_{ss}"'] & (\mathcal{A}^{*})_{n-1} \end{tikzcd}

dans le diagramme, la flèche verticale de gauche est notée \pi_{n-1} (lecture incertaine : \kappa_{n-1} attendu), et la source en bas à gauche porte un exposant surchargé.

K^n_{\ill{}}(d\omega)=K^{n-1}_{\ill{}}(\partial\omega) \quad\Longleftrightarrow\quad d_{\mathcal{A}^*}\,\kappa_n=\partial_{ss}\,\kappa_{n-1} sous d_{\mathcal{A}^*} : « degré cot. +1 » ; sous \partial_{ss} : « deg ss +1 ». À gauche, un premier essai de la même formule est biffé : ~~d\kappa_n=\partial\kappa_{n+1}\partial_{ss}, degré +1~~.

~~s\otimes k'~~ C^{\mathrm{sing}}_*(\mathcal{X},s)\longrightarrow C^{DR}_*(\mathcal{X};s,s^+,\gamma_*,t) C^{\mathrm{sing}}_*(\mathcal{X},k[u])\longrightarrow C^{DR,\mathrm{pd}}_*(\mathcal{X},k)

\mathcal{A}^{0}_n\simeq k\{\{T\}\}\{\{X_0,\dots,X_n\}\}\big/ \bigl(\textstyle\sum X_i-T\bigr)_{\mathrm{pd}} \xleftarrow{\ \text{épi}\ } k\{\{T\}\}\{\{X_0,\dots,X_n\}\} \simeq k\{\{X_0,\dots,X_n\}\} \longleftarrow k\{\{T,X_0,\dots,X_n\}\} \qquad X_i\mapsto X_i,\ \ \textstyle\sum_{0\leqslant i\leqslant n}X_i\leftarrow T l'exposant 0 de \mathcal{A} est glosé « deg cot ».

dualisant

(\mathcal{A}^n)_0\simeq k[U+Y_0,U+Y_1,\dots,U+Y_n] \xrightarrow{\ \text{mono}\ } k[U][Y_0,\dots,Y_n]\simeq k[U,Y_0,\dots,Y_n] k[Z_0,Z_1,\dots,Z_n]\longrightarrow k[U,Y_0,\dots,Y_n],\qquad Z_i\mapsto U+Y_i [l'image est l'intersection des noyaux des op. diff. \bigl(\tfrac{\partial}{\partial Y_0}+\dots+\tfrac{\partial}{\partial Y_n} -\tfrac{\partial}{\partial U}\bigr)^{(i)}]

\bigl\langle X_0^{(i_0)}\cdots X_n^{(i_n)},\,Z_0^{j_0}\cdots Z_n^{j_n}\bigr\rangle =\prod_{0\leqslant\alpha\leqslant n}\delta_{i_\alpha,j_\alpha} =\begin{cases}0 & \text{si } (i_\alpha)\neq(j_\alpha)\\ 1 & \text{si } (i_\alpha)=(j_\alpha)\end{cases} \bigl\langle T^{(\lambda)}X_0^{(i_0)}\cdots X_n^{(i_n)},\, U^{\mu}Y_0^{j_0}\cdots Y_n^{j_n}\bigr\rangle =\delta_{\lambda,\mu}\prod_\alpha\delta_{i_\alpha,j_\alpha} =\begin{cases}0 & \text{si } (\lambda,(i_\alpha))\neq(\mu,(j_\alpha))\\ 1 & \text{si } \dots=\dots\end{cases}

\mathcal{A}_n^{*=*}\simeq {\textstyle\Lambda}^{*}_k[dX_0,\dots,dX_n]\big/\bigl(\textstyle\sum dX_i\bigr) \xleftarrow{\ \text{épi}\ }{\textstyle\Lambda}^{*}_k[dX_0,\dots,dX_n] l'indice *=* est glosé « degré tot. = deg cot, i.e. deg compl. =0 ».

dualisant (\mathcal{A}^n)_{*=*}\simeq \bigl({\textstyle\Lambda}^{*}_k[y_0,\dots,y_n]\bigr)^{!} \simeq{\textstyle\Lambda}^{*}_k\bigl([y_0,\dots,y_n]^{!}\bigr) \longrightarrow{\textstyle\Lambda}^{*}_k[y_0,\dots,y_n] où [y_0,\dots,y_n]^{!} est le ss-esp. de ky_0\oplus\dots\oplus ky_n formé des vect. dont la somme des coord. =0 ; l'image est le noyau de i_X, où X est la forme sur ky_0\oplus\dots\oplus ky_n « somme des coordonnées » et où i_X est le produit intérieur.

NB On a un iso can. {\textstyle\Lambda}^{n}_k\bigl([y_0,\dots,y_n]'\bigr)\simeq {\textstyle\Lambda}^{n+1}_k\bigl([y_0,\dots,y_n]\bigr)\simeq k déduit de la suite exacte 0\longrightarrow[y_0,\dots,y_n]'\longrightarrow[y_0,\dots,y_n] \longrightarrow k\longrightarrow0 les exposants des deux \Lambda sont surchargés ; on lit n puis n+1, ce qu'exige la suite exacte.

Donc (\mathcal{A}^n)_n\overset{\text{iso can}}{\simeq}(\mathcal{A}^n)_0 \simeq k[Z_0,\dots,Z_n] (l'indice étant le deg cot), donc \kappa_n : k[U]\longrightarrow k[Z_0,\dots,Z_n]

s,\ s^+,\ \gamma^*,\ t (\mathcal{A}^{*}_{n})^{n}\simeq S\{\{X_0,\dots,X_n\}\}\big/\bigl(\textstyle\sum X_i-t\bigr)_{\mathrm{pd}} \otimes_S S[dX_0,\dots,dX_n]\big/\bigl(\textstyle\sum dX_i\bigr) \simeq S\{X_0,\dots,X_{n-1}\}[dX_0,\dots,dX_{n-1}] \xrightarrow{\ \kappa^n\ (S\text{-linéaire})\ } S sous le second facteur : « en degré n, c'est \simeq S avec la base dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1} ».

\kappa^n\bigl(X_0^{(i_0)}\cdots X_{n-1}^{(i_{n-1})}\,dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1}\bigr) =\text{\struck{\ill{}}}\ t^{(n+\sum i_\alpha)}\,\gamma_{i_0,\dots,i_{n-1}} au-dessus de l'exposant n+\sum i_\alpha il écrit \sum(i_\alpha+1).

où \gamma_{i_0\dots i_{n-1}} est un entier canonique \gamma_{i_0\dots i_{n-1}}=\frac{(n+\sum i_\alpha)!}{\prod_\alpha(i_\alpha!)} \int\!\!\cdots\!\!\int_{\sigma_n}X_0^{i_0}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}\, dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1} \sigma_n=\{X_0,\dots,X_{n-1}\geqslant0,\ X_0+\dots+X_{n-1}\leqslant1\} sous l'intégrale, en accolade : 0\leqslant\ \cdot\ \leqslant\frac{1}{n!}\gamma_{0,0,\dots,0}\overset{?}{=}\frac{1}{n!}.

On peut aussi calculer par récurrence sur n, en utilisant Stokes \kappa^{n}\bigl(\underbrace{X_0^{(i_0)}\cdots X_{n-1}^{(i_{n-1})}\, dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-1}}_{d\left(X_{n-1}^{(i_{n-1}+1)}\, dX_0^{(i_0+1)}\wedge\dots\wedge dX_{n-2}^{(i_{n-2}+1)}\right)}\bigr) =\kappa^{n-1}\bigl(\partial_{ss}\,X_{n-1}^{(i_{n-1}+1)}\, dX_0^{(i_0+1)}\cdots\bigr) sous le second membre, en accolade : X_{n-1}^{(i_{n-1}+1)}\,dX_0^{(i_0+1)}\cdots d\bigl(X_{n-2}^{(i_{n-2}+1)}\bigr).

i.e. ~~\gamma_{i_0,\dots,i_{n-1}}~~ = \kappa_{n-1}\Bigl(\bigl(t-(X_0+\dots+X_{n-2})\bigr)^{(i_{n-1}+1)} X_0^{(i_0)}\cdots X_{n-2}^{(i_{n-2})}\,dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-2}\Bigr) où \bigl(t-(X_0+\dots+X_{n-2})\bigr)^{(i_{n-1}+1)} =\sum_{\lambda+l_0+\dots+l_{n-2}=i_{n-1}+1} (-1)^{\sum l_\alpha}X_0^{(l_0)}\cdots X_{n-2}^{(l_{n-2})}\,t^{(\lambda)} \begin{align*} &=\kappa_{n-1}\Bigl(\sum_{\lambda+\sum_0^{n-2}l_\alpha=i_{n-1}+1} (-1)^{\sum l_\alpha}c_{i_0,l_0}c_{i_1,l_1}\cdots c_{i_{n-2},l_{n-2}}\\ &\qquad\qquad t^{(\lambda)}X_0^{(i_0+l_0)}\cdots X_{n-2}^{(i_{n-2}+l_{n-2})}\, dX_0\wedge\dots\wedge dX_{n-2}\Bigr)\\ &=t^{(n+\sum i_\alpha)}\Bigl[(-1)^{i_{n-1}+1} \sum_{\lambda+\sum l_\alpha=i_{n-1}+1}(-1)^{\sum l_\alpha} c_{i_0,l_0}\cdots c_{i_{n-2},l_{n-2}}\\ &\qquad\qquad c_{\lambda,\,n-1+\sum_0^{n-2}(l_\alpha+i_\alpha)}\, \gamma_{i_0+l_0,\dots,i_{n-2}+l_{n-2}}\Bigr] \end{align*} les c_{i,l} sont les coefficients du produit de puissances divisées, X^{(i)}X^{(l)}=c_{i,l}X^{(i+l)}, ce que la page ne dit pas ; le facteur c_{\lambda,\dots} est ajouté en accolade au-dessus de t^{(\lambda)}, avec l'indice \sum_0^{n-2}i_\alpha+l_\alpha+1. Plusieurs exposants sont surchargés ou biffés : (-1)^{i_{n-1}+1} remplace un premier essai.

Donc \begin{aligned} \gamma_{i_0,\dots,i_{n-1}}&=\text{\struck{$(-1)^{i_{n-1}+1}$}} \sum_{\lambda+\sum_0^{n-2}l_\alpha=i_{n-1}+1} (-1)^{\sum_0^{n-2}l_\alpha}c_{i_0,l_0}\cdots c_{i_{n-2},l_{n-2}}\\ &\qquad c_{\lambda,\,n-1+\sum_0^{n-2}(l_\alpha+i_\alpha)}\, \gamma_{i_0+l_0,\,i_1+l_1,\dots,\,i_{n-2}+l_{n-2}} \end{aligned} la formule de récurrence s'arrête au bas de la page ; la suite, si elle existe, est hors du lot.