Cote n° 136, pages 101–120

Cote n° 136 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

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101la page continue une construction commencée avant le lot : les algèbres de De Rham « spéciales » $A^{**}_{*}$, les catégories $\mathrm{DRsp}$, $\mathrm{DRspfl}$ et l'élément $T$ sont fixés dans les pages précédentes. La lettre gothique notée ici $\mathfrak{G}$ (dans $\mathfrak{G}_{*}$, $\mathfrak{G}_{*k}$) est d'une lecture incertaine ; la notation est tenue telle quelle dans tout le lot.

Considérons l'hom. induit en degré $0$

$k_0 = k \to A_0$

On trouve donc un hom., donnant lieu à un diag. comm.

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\begin{tikzcd}
A_{*} \arrow[r] & \mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} A_0 \\
k_{*} \arrow[u] \arrow[r, hook] & \mathfrak{G}_{*k} \;(= \mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} k) \arrow[u, "{\mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} u_0}"']
\end{tikzcd}

Ainsi on trouve un diagramme canonique d'hom. dans $\mathrm{DRsp}(\mathrm{Ss}, k_{*})$

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\begin{tikzcd}
\mathrm{DR}(A^{10}_{*}, T) \arrow[r] \arrow[d] & A^{**}_{*} \\
\mathrm{DR}(A^{10}_{0} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathfrak{G}_{*}, T) & \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*k}, T) \arrow[l]
\end{tikzcd}

reliant une ⌜[…]⌝ algèbre de DR spéciale, en $3$ crans, à l'algèbre de DR standard $\mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*k}, T)$ (qui semble la plus économique de toutes). Si $A^{1 0}_{*}$ est ⌜[…]⌝ flasque, alors il en est de même de $\mathrm{DR}(A^{10}_{*}, T)$, et le diagramme ci-dessus se trouve dans $\mathrm{DRspfl}$. dans le second diagramme, une petite flèche oblique est tracée au-dessus du $T$ de $\mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*k}, T)$.

On va introduire maintenant les catégories $\mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)$, $\mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)$, ayant les mêmes objets que les catégories sans ${}'$, mais ayant plus de morphismes : les hom […] ⌜différentielles⌝ […] à p.d., respectant $T$

103\[u : \widehat{A}^{**} \to \widehat{A}'^{**}, \qquad \widehat{A}^{**} = \prod A^{ij}, \quad \widehat{A}'^{**} = \prod A'^{ij}\] hom. d'anneaux de $\widehat{A}$, $\widehat{A}'$, appliquant $\widehat{A}^{**+}$ dans $\widehat{A}'^{**+}$ et compatible aux p.d., et tel que $u(T) = T$ (cela a priori $u : k\{T\} \to k\{T\}$, où $k\{T\} \simeq H^{*}(A^{**})$, resp. $\simeq H^{*}(A'^{**})$, bien compatible aux p.d.). À […], il

On désigne […] […] de […] par $\mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0$, $\mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)_0$ la cat. déduite ainsi (i.e. les groupoïdes engendrés). On a donc des […] diagrammes comm. de foncteurs

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\begin{tikzcd}
\mathrm{DRsp}(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur ob.}"] \arrow[d, "\text{surjectif sur obj.}"'] & \mathrm{DRsp}(\mathcal{X}, k)_0 \\
\mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur objets}"'] & \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0 \\
\mathrm{DRspfl}(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur ob.}"] \arrow[d, "\text{surjectif sur ob.}"'] & \mathrm{DRspfl}(\mathcal{X}, k)_0 \arrow[d] \\
\mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur ob.}"'] & \mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)_0
\end{tikzcd}

transcription simplifiée du diagramme de la page. Les objets de droite sont suivis de « $\simeq$ pleinement […] » (première et troisième lignes) et d'un « $\simeq$ » isolé (quatrième ligne) ; une flèche verticale descend aussi de $\mathrm{DRsp}(\mathcal{X}, k)_0$ vers $\mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0$. Une annotation près de la flèche verticale de droite inférieure est illisible (« ([…] pl. […]) »). De fines flèches courbes, tracées plus tard, relient chaque objet de la colonne de gauche à celui de la ligne suivante, et de même à droite ; elles aboutissent à des points marqués d'un pâté.

qui montre que les deux catégories ⌜[…]⌝ $\mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0$ et $\mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)_0$ sont des groupoïdes⌜, en⌝ fait triviaux (réunions d'une famille d'objets avec isom. transitifs entre eux). Donc ils sont com[…]

104dessin de sa main au pied d'une page dactylographiée sans rapport ; le haut du diagramme passe sous une bande adhésive.

\[\begin{array}{ccc} \mathrm{DR}(A^{1,0}_{*}, T) & \longrightarrow & A^{**} \\ \big\downarrow & & \\ \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} A_0, T) & & \\ \big\uparrow & & \end{array}\]

la flèche ascendante vers $\mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} A_0, T)$ n'a pas de source écrite ; le $\mathfrak{G}_{*}$ est récrit par-dessus un autre symbole.

105la première ligne commence au ras du bord ; elle poursuit la phrase laissée à la fin de la p. 103.

[…] équivalent au groupoïde connexe défini par deux groupes, que nous nous proposons de déterminer [dans le cas $\mathcal{X} = (\mathrm{Ss})$].

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\begin{tikzcd}
\widehat{A}^{**}_{*} \arrow[r, "u"] & \widehat{A}'^{**}_{*} \\
\widehat{\mathrm{DR}}(A^{10}_{*}, T) \arrow[u] \arrow[ur, dashed]
\end{tikzcd}

la flèche oblique, en pointillé, porte une marque qui ressemble à un « $5$ », peut-être un « $\exists$ ». Sous $\widehat{\mathrm{DR}}(A^{10}_{*}, T)$ : « $= (A_{*})$ », et un double trait oblique renvoie à la formule suivante.

\[\Gamma^{*}(A_{**}) \mathbin{\widehat{\otimes}_k} \widehat{\Lambda}^{*}(B_{**}), \qquad B_{**} = A_{*}/k_{*}\]

\[A_{*} \xrightarrow{\;u\;} A'^{**+}, \qquad T \longmapsto T\]

\[v(p,q) : A_{*} \to A'^{pq} \qquad (p, q \geqslant 0,\ p + q > 0)\] \[v(1,0)(T) = T, \qquad v(p,q)(T) = 0 \ \text{si}\ (p,q) \neq (1,0)\] \[\bar{v}(p,q) : \mathfrak{B} \to A'^{pq} \qquad (\text{si}\ (p,q) \neq (1,0))\]

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\begin{tikzcd}
k \arrow[r, hook] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & A \arrow[d, "{v(1,0)}"] \\
k \arrow[r, hook] & A'^{1,0}
\end{tikzcd}

$k \subset$ $A$

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\begin{tikzcd}
 & & \mathfrak{G}_{*} \otimes A \\
k \arrow[r, hook] & A \arrow[r] \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \mathfrak{B} \arrow[d] \\
 & & A'^{pq}
\end{tikzcd}

sous la ligne $k \subset A$, un trait relie aussi $k$ à $A'^{pq}$ ; à droite de $A'^{pq}$ un signe « $=$ » sans suite.

107page au crayon, très pâle ; seuls des fragments se lisent, et l'ordre des lignes est celui de la page. Le texte est compressé.

Détermination des hom. dans $\mathrm{DRsp}$ de $\mathrm{DR}^{**}_{*k} = \Gamma_k(\mathfrak{G}_{*k}) \mathbin{\widehat{\otimes}} \widehat{\Lambda}_k(\mathfrak{G}_{*k}/k)$ dans une algèbre de De Rham […] […] […] augmentées, […] […] […] différentielle, et […] $T$. […] […] $\mathfrak{G}_{*k} \to \widehat{A}^{**+}_{*}$ […] […] […] $(T) = T$) […] On […] $\varphi$ […] $\widehat{A}^{**+}$ […] […] […] […] $\varphi : \mathfrak{G}_{*k} : k \ast k \to \widehat{A}^{**+}_{*}$ […] […]

\[\xi_0 = \beta_1(\ldots), \qquad \xi_0 \in \widehat{A}^{**+}_{1}\] il compatible avec les deux augmentations $\alpha^{*}, \beta^{*} : \widehat{A}^{**+}_{1} \to \widehat{A}^{**+}_{0}$ \[\boxed{\alpha^{*}(\xi_0) = 1, \quad \beta^{*}(\xi_0) = 1} \qquad (\alpha, \beta : \Delta_0 \to \Delta_1)\] les conditions […] […] s'expliquent […] \[\boxed{\xi_0 \, d\xi_0 = d\xi_0 \cdot \xi_0} \qquad \boxed{d\xi_0 \cdot \xi_0 \ \ldots}\] […] […] $\Delta_2 \to \Delta_1$, et si $q_0$, $q_1$ […] les […] $(q_0(0) = 0,\ q_0(1) = q_1(0) = 1,\ q_1(\ldots) \ldots)$, puis \[q_0^{*}(\xi_0)\, q_1^{*}(\xi_0) = q_1^{*}(\xi_0)\, q_0^{*}(\xi_0)\] \[q_0^{*}(\xi_0)\, q_1^{*}(d\xi_0) \ldots = \ldots\, q_0^{*}(d\xi_0)\, q_1^{*}(\xi_0)\] \[q_1^{*}(\xi_0)\, q_0^{*}(d\xi_0) \ldots = \ldots\, q_0^{*}(\xi_0)\, q_1^{*}(d\xi_0)\] \[q_0^{*}(d\xi_0)\, q_1^{*}(d\xi_0) = - q_1^{*}(d\xi_0)\, q_0^{*}(d\xi_0)\] les quatre relations sont encadrées ensemble ; dans les deux du milieu des coefficients écrits en surcharge sont illisibles, d'où les « $\ldots$ ».

Foncteurs de De Rham simpliciaux

titre de sa main, ajouté en tête de la p. 110 ; « simpliciaux » est une lecture douteuse.

110On s'intéresse aux foncteurs \[C^{**} : (\mathrm{Ss})^{\circ} \longrightarrow \mathfrak{D}\] où $\mathfrak{D}$ est la catégorie des $S_k$-algèbres bigraduées ⌜alternées⌝ différentielles augmentées, à p.d. (bidegrés positifs, diff. de degré $+1$, …).

et on s'intéresse à ceux qui transforment lim quelconques de $(\mathrm{Ss})$ en lim, donc qui sont représentables. Ils donnent ⌜peuvent⌝ s'interpréter ⌜(fantasmes)⌝ comme des $S_k$-algèbres bigraduées alternées … ${}^{1\!}/_{2}$ simpliciales, i.e. des foncteurs \[\Delta^{\circ} \longrightarrow \mathfrak{D}\] et on interprète dans les notations les deux sortes d'objets, écrivant \[C^{**} = C^{**}_{*} = (C^{**}_{n})_{n \geqslant 0} \ \ldots\] et de même pour les morphismes entre foncteurs, correspondant aux morphismes entre ensembles ${}^{1\!}/_{2}$ simpliciaux, respectant toutes les structures.

À $C^{**}_{*}$ est associé un foncteur « cohomologique de De Rham associé à $C^{**}_{*}$ » \[\mathcal{H}^{**}_{C}(\mathcal{X}) = H^{**}(C^{**}(\mathcal{X}))\] à valeurs dans les $S_k$-algèbres bigraduées alternées. On s'intéresse aux $C^{**}$ $(\mathcal{X})$ (dits admissibles) pour lesquels pour tout $\mathcal{X}$, le $H^{**}$ du second membre porte un indice récrit, peut-être $\varepsilon$.

112\[\tau_{\omega}(H^{**}(\mathcal{X}))\] [qui est une algèbre graduée […] alternée, entre autres, de $M_{\omega}$] provient d'un est dans l'image essentielle de $\mathrm{Mod}(k)$, i.e. peut s'écrire (de façon […] […] […] unique […]) \[\mathcal{H}^{**}_{C}(\mathcal{X}) = H^{*}_{c}(X) \otimes_k S_k\] [Rappel. — on sait que $H^{*}_{c}(X)$ hérite dans la structure de l'algèbre graduée de $\tau_{\omega}(H^{**}(\mathcal{X}))$. Cela implique que pour les $\mathcal{C}^{**}_{n}$ […] la propriété (faire $\mathcal{X} = \Delta_n$). dans la formule centrale, le $H^{*}_{c}$ du second membre est écrit par-dessus un autre $H$.

plus que ⌜$\forall \mathcal{X}$,⌝ l'augmentation $S_k \to C^{**}(\mathcal{X})$ définie On veut de On va préciser cette exigence.

On peut considérer $\mathcal{C}^{**}_{n}$ comme un faisceau (à structures de type $\mathfrak{D}$) sur le topos $(\mathrm{SS})$, et on a l'augmentation par le faisceau constant $S_k$ \[S_k \to C^{**}_{n} .\] […] NB, on regarde ici la catégorie des […] comme un […] principal] de sorte que […] ⌜$\mathcal{D}(S_k)$⌝ […] (des […] cat. dérivées […]) ⌜« $\mathcal{D}$($S_k$-mod gradués) »⌝ : \[\begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, S_k) & \longrightarrow & \mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \\ (1) & & C^{**}(\mathcal{X}) = \Gamma(\mathcal{X}, C^{**}) \end{array}\]

114En fait, en demandant que […] appliquant $\tau_{\omega}$ à $\mathbb{R}^{*}\tau_{\omega}$, on trouve \[\begin{array}{ccc} \tau_{\omega}(\mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, S_k)) & \longrightarrow & \tau_{\omega}\mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \\ (2) & & \tau_{\omega} C^{**}(\mathcal{X}) \end{array}\] deux symboles sont biffés avant les deux membres de la flèche horizontale.

On demande ⌜voudrait⌝ que ces deux flèches soient des isomorphismes ⌜dans la cat. dérivée⌝, ce qui signifie aussi que les homomorphismes déduits de (1) en passant à la coh. \[\begin{array}{ccc} H^{**}(\mathcal{X}, S_k) & \longrightarrow & H^{**}(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \\ (1') & & H^{**}_{C}(X) \end{array}\] soient à noyau et conoyau négligeables, ce qui signifie ⌜implique⌝ précisément, pour la flèche horizontale, que \[(2') \quad \begin{array}{ccc} \tau_{\omega}(H^{*}(\mathcal{X}, k) \otimes_k S_k) & \xrightarrow{\ \sim\ } & \tau_{\omega} H^{**}(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \wr \\ & & \tau_{\omega}(H^{**}_{c}(X)) \end{array}\] une accolade embrasse la formule (2') ; une ligne pointillée descend en diagonale de la flèche horizontale vers $\tau_{\omega}(H^{**}_{c}(X))$. Le premier $H^{*}$ est récrit par-dessus un autre symbole.

116Prenons $\mathcal{X} = \Delta_n$, alors le ⌜la⌝ diagramme (1) devient \[\begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{*}\Gamma(\Delta_n, S_k) \simeq S_k & \longrightarrow & \mathbb{R}^{*}\Gamma(\Delta_n, C^{**}) = \mathcal{C}^{**}_{n} \\ & & \big\uparrow \ \mathrm{id}_{C^{**}_{n}} \\ & & C^{**}(\Delta_n) = C^{**}_{n} \end{array}\] et la condition énoncée se réduit à celle concernant la flèche horizontale, qui signifie aussi \[(3) \qquad H^{**}_{C}(\Delta_n) = H^{**}(C^{**}_{n}) \quad \text{\struck{est isom.}}\] \[\uparrow \varepsilon \ \text{augmentation} \qquad S_k\] l'augmentation est un quasi-isom., i.e. \[\text{3a)} \qquad \text{\struck{$\ldots$}}\ S^{i}_{k} \to H^{i0}(C^{**}_{n}) = \mathrm{Ker}(C^{i,0}_{n} \to C^{i1}_{n})\] […] […], iso pour $i$ grand ($i \geqslant \lambda(n)$ disons) \[\text{3b)} \qquad \forall p > 0, \quad H^{ip}(C^{**}_{n}) = 0 \ \text{pour}\ i\ \text{grand (dépendant de}\ p\text{)}\] soit \[H^{ip}(C^{**}_{n}) = 0 \quad \text{si} \quad i \geqslant \lambda(p)\] $\lambda(p)$ est récrit sur une autre lettre biffée. où on peut supposer $\lambda : \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ strictement croissante.

A priori, on $\lambda = \lambda_n$ dépend du choix de $n$. On suspecte qu'il faut pouvoir prendre $\lambda$ indépendant de $n$ …

118dans ce cas la flèche horizontale sera bien un isomorphisme donc après application de $\tau_{\omega}$… En effet, chaque $C^{i*}_{*}$ est une résolution de $(S^{i}_{k})_{*}$ (dans $(\mathrm{SS})$), jusqu'au degré $p$ si $i$ est assez grand par rapport à $p$, donc ….

On Regardons la condition d'isomorphie (application de 2) pour la flèche verticale, elle est […] est conséquence de la condition suivante (et sans doute équivalente)

(4) Pour tout $i \geqslant 0$ considérons les $C^{ip}_{*}$ ⌜gradués […]⌝ $(p \geqslant 0)$ et soit $\pi(i)$ le plus petit entier (s'il existe) tel que $C^{ip}_{*}$ soit flasque pour $p \geqslant \pi(i)$ ($\pi(i) = +\infty$ sinon), […] ⌜(pour $\partial$)⌝ i.e. que ses faisceaux […] simpliciaux ⌜soient⌝ […]. On veut que $\pi(i) \to +\infty$ quand $i \to +\infty$.

(en oblique dans la marge gauche) On veut […] affaiblir (4) en (4)', en remplaçant « flasque » par « […] générateurs […] » ([…] $\mathrm{SS}$)

On aimerait prouver un th. d'unicité ([…] déjà l'existence …) Les $C^{**}_{*}$ ayant les structures précisées (au besoin […] et dont la structure p.d.) et satisfaisant

120aux conditions supplémentaires techniques que énoncées (être une « quasi » résolution de $S_k$, et être « quasi-flasque » …)

On note que les hom dans […] ⌜la⌝ catégorie des objets ⌜$C^{**}$⌝ admissibles, sont déjà des « quasi-isom. » (p.r. à $\tau_{\omega}$) — il y a lieu de passer à la cat. des fractions en les rendant inversibles tous ces hom., i.e. le groupoïde engendré par la catégorie envisagée. On aimerait donc prouver que ce groupoïde est connexe et simplement connexe ? [NB rappelons […] ⌜[…]⌝ $S_k = k\{T\}$ […] […] […] plus précis qu'il y ait […] […] graduées.] le crochet ouvert par « [NB » se ferme après une ligne et demie d'insertions serrées, dont l'ordre est incertain.

Cela signifie donc

Connexité : si $C^{**}_{*}$ et $C'^{**}_{*}$ sont des théories admissibles, $\exists$ théorie admissible $C''^{**}_{*}$ et hom \[C''^{**}_{*} \to C^{**}_{*}, \qquad C''^{**}_{*} \to C'^{**}_{*} .\]

b) Si on a deux hom \[C'^{**}_{*} \rightrightarrows C^{**}_{*}\] $\exists$ hom \[C''^{**}_{*} \to C'^{**}_{*}\] qui « égalise ».

(un grand « ? » à gauche, en regard des deux conditions ; à droite, séparé par un trait oblique) il y aurait plus de chances avec catégorie de fractions à droite ???

la page s'arrête sur ces deux conditions ; l'argument se poursuit au-delà du lot.