Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 101–120

la page continue une construction commencée avant le lot : les algèbres de De Rham « spéciales » A^{**}_{*}, les catégories \mathrm{DRsp}, \mathrm{DRspfl} et l'élément T sont fixés dans les pages précédentes. La lettre gothique notée ici \mathfrak{G} (dans \mathfrak{G}_{*}, \mathfrak{G}_{*k}) est d'une lecture incertaine ; la notation est tenue telle quelle dans tout le lot.

~~Considérons l'hom. induit en degré 0~~

~~k_0 = k \to A_0~~

On trouve donc un hom., donnant lieu à un diag. comm.

\begin{tikzcd} A_{*} \arrow[r] & \mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} A_0 \\ k_{*} \arrow[u] \arrow[r, hook] & \mathfrak{G}_{*k} \;(= \mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} k) \arrow[u, "{\mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} u_0}"'] \end{tikzcd}

Ainsi on trouve un diagramme canonique d'hom. dans \mathrm{DRsp}(\mathrm{Ss}, k_{*})

\begin{tikzcd} \mathrm{DR}(A^{10}_{*}, T) \arrow[r] \arrow[d] & A^{**}_{*} \\ \mathrm{DR}(A^{10}_{0} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathfrak{G}_{*}, T) & \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*k}, T) \arrow[l] \end{tikzcd}

reliant une algèbre de DR spéciale, en 3 crans, à l'algèbre de DR standard \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*k}, T) (qui semble la plus économique de toutes). Si A^{1 0}_{*} est flasque, alors il en est de même de \mathrm{DR}(A^{10}_{*}, T), et le diagramme ci-dessus se trouve dans \mathrm{DRspfl}. dans le second diagramme, une petite flèche oblique est tracée au-dessus du T de \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*k}, T).

On va introduire maintenant les catégories \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k), \mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k), ayant les mêmes objets que les catégories sans {}', mais ayant plus de morphismes : les hom différentielles à p.d., respectant T

u : \widehat{A}^{**} \to \widehat{A}'^{**}, \qquad \widehat{A}^{**} = \prod A^{ij}, \quad \widehat{A}'^{**} = \prod A'^{ij} hom. d'anneaux de \widehat{A}, \widehat{A}', appliquant \widehat{A}^{**+} dans \widehat{A}'^{**+} et compatible aux p.d., et tel que u(T) = T (cela a priori u : k\{T\} \to k\{T\}, où k\{T\} \simeq H^{*}(A^{**}), resp. \simeq H^{*}(A'^{**}), bien compatible aux p.d.). ~~À , il~~

On désigne de par \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0, \mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)_0 la cat. déduite ainsi (i.e. les groupoïdes engendrés). On a donc des diagrammes comm. de foncteurs

\begin{tikzcd} \mathrm{DRsp}(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur ob.}"] \arrow[d, "\text{surjectif sur obj.}"'] & \mathrm{DRsp}(\mathcal{X}, k)_0 \\ \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur objets}"'] & \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0 \\ \mathrm{DRspfl}(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur ob.}"] \arrow[d, "\text{surjectif sur ob.}"'] & \mathrm{DRspfl}(\mathcal{X}, k)_0 \arrow[d] \\ \mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k) \arrow[r, "\text{surj. sur ob.}"'] & \mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)_0 \end{tikzcd}

transcription simplifiée du diagramme de la page. Les objets de droite sont suivis de « \simeq pleinement » (première et troisième lignes) et d'un « \simeq » isolé (quatrième ligne) ; une flèche verticale descend aussi de \mathrm{DRsp}(\mathcal{X}, k)_0 vers \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0. Une annotation près de la flèche verticale de droite inférieure est illisible (« ( pl. ) »). De fines flèches courbes, tracées plus tard, relient chaque objet de la colonne de gauche à celui de la ligne suivante, et de même à droite ; elles aboutissent à des points marqués d'un pâté.

qui montre que les deux catégories \mathrm{DRsp}'(\mathcal{X}, k)_0 et \mathrm{DRspfl}'(\mathcal{X}, k)_0 sont des groupoïdes, en fait triviaux (réunions d'une famille d'objets avec isom. transitifs entre eux). Donc ils ~~sont~~ com

dessin de sa main au pied d'une page dactylographiée sans rapport ; le haut du diagramme passe sous une bande adhésive.

\begin{array}{ccc} \mathrm{DR}(A^{1,0}_{*}, T) & \longrightarrow & A^{**} \\ \big\downarrow & & \\ \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} A_0, T) & & \\ \big\uparrow & & \end{array}

la flèche ascendante vers \mathrm{DR}(\mathfrak{G}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} A_0, T) n'a pas de source écrite ; le \mathfrak{G}_{*} est récrit par-dessus un autre symbole.

la première ligne commence au ras du bord ; elle poursuit la phrase laissée à la fin de la p. 103.

équivalent au groupoïde connexe défini par deux groupes, que nous nous proposons de déterminer [dans le cas \mathcal{X} = (\mathrm{Ss})].

\begin{tikzcd} \widehat{A}^{**}_{*} \arrow[r, "u"] & \widehat{A}'^{**}_{*} \\ \widehat{\mathrm{DR}}(A^{10}_{*}, T) \arrow[u] \arrow[ur, dashed] \end{tikzcd}

la flèche oblique, en pointillé, porte une marque qui ressemble à un « 5 », peut-être un « \exists ». Sous \widehat{\mathrm{DR}}(A^{10}_{*}, T) : « = (A_{*}) », et un double trait oblique renvoie à la formule suivante.

\Gamma^{*}(A_{**}) \mathbin{\widehat{\otimes}_k} \widehat{\Lambda}^{*}(B_{**}), \qquad B_{**} = A_{*}/k_{*}

A_{*} \xrightarrow{\;u\;} A'^{**+}, \qquad T \longmapsto T

v(p,q) : A_{*} \to A'^{pq} \qquad (p, q \geqslant 0,\ p + q > 0) v(1,0)(T) = T, \qquad v(p,q)(T) = 0 \ \text{si}\ (p,q) \neq (1,0) \bar{v}(p,q) : \mathfrak{B} \to A'^{pq} \qquad (\text{si}\ (p,q) \neq (1,0))

\begin{tikzcd} k \arrow[r, hook] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & A \arrow[d, "{v(1,0)}"] \\ k \arrow[r, hook] & A'^{1,0} \end{tikzcd}

k \subset A

\begin{tikzcd} & & \mathfrak{G}_{*} \otimes A \\ k \arrow[r, hook] & A \arrow[r] \arrow[ur, no head] \arrow[dr] & \mathfrak{B} \arrow[d] \\ & & A'^{pq} \end{tikzcd}

sous la ligne k \subset A, un trait relie aussi k à A'^{pq} ; à droite de A'^{pq} un signe « = » sans suite.

page au crayon, très pâle ; seuls des fragments se lisent, et l'ordre des lignes est celui de la page. Le texte est compressé.

Détermination des hom. ~~dans~~ \mathrm{DRsp} de \mathrm{DR}^{**}_{*k} = \Gamma_k(\mathfrak{G}_{*k}) \mathbin{\widehat{\otimes}} \widehat{\Lambda}_k(\mathfrak{G}_{*k}/k) dans une algèbre de De Rham augmentées, différentielle, et T. \mathfrak{G}_{*k} \to \widehat{A}^{**+}_{*} (T) = T) On \varphi \widehat{A}^{**+} \varphi : \mathfrak{G}_{*k} : k \ast k \to \widehat{A}^{**+}_{*}

\xi_0 = \beta_1(\ldots), \qquad \xi_0 \in \widehat{A}^{**+}_{1} il compatible avec les deux augmentations \alpha^{*}, \beta^{*} : \widehat{A}^{**+}_{1} \to \widehat{A}^{**+}_{0} \boxed{\alpha^{*}(\xi_0) = 1, \quad \beta^{*}(\xi_0) = 1} \qquad (\alpha, \beta : \Delta_0 \to \Delta_1) les conditions s'expliquent \boxed{\xi_0 \, d\xi_0 = d\xi_0 \cdot \xi_0} \qquad \boxed{d\xi_0 \cdot \xi_0 \ \ldots} \Delta_2 \to \Delta_1, et si q_0, q_1 les (q_0(0) = 0,\ q_0(1) = q_1(0) = 1,\ q_1(\ldots) \ldots), puis q_0^{*}(\xi_0)\, q_1^{*}(\xi_0) = q_1^{*}(\xi_0)\, q_0^{*}(\xi_0) q_0^{*}(\xi_0)\, q_1^{*}(d\xi_0) \ldots = \ldots\, q_0^{*}(d\xi_0)\, q_1^{*}(\xi_0) q_1^{*}(\xi_0)\, q_0^{*}(d\xi_0) \ldots = \ldots\, q_0^{*}(\xi_0)\, q_1^{*}(d\xi_0) q_0^{*}(d\xi_0)\, q_1^{*}(d\xi_0) = - q_1^{*}(d\xi_0)\, q_0^{*}(d\xi_0) les quatre relations sont encadrées ensemble ; dans les deux du milieu des coefficients écrits en surcharge sont illisibles, d'où les « \ldots ».

Foncteurs de De Rham simpliciaux

titre de sa main, ajouté en tête de la p. 110 ; « simpliciaux » est une lecture douteuse.

On s'intéresse aux foncteurs C^{**} : (\mathrm{Ss})^{\circ} \longrightarrow \mathfrak{D} où \mathfrak{D} est la catégorie des S_k-algèbres bigraduées alternées différentielles augmentées, à p.d. (bidegrés positifs, diff. de degré +1, …).

et on s'intéresse à ceux qui transforment lim quelconques de (\mathrm{Ss}) en lim, donc qui sont représentables. Ils ~~donnent~~ peuvent s'interpréter (fantasmes) ~~comme~~ des S_k-algèbres bigraduées alternées … {}^{1\!}/_{2} simpliciales, i.e. des foncteurs \Delta^{\circ} \longrightarrow \mathfrak{D} et on interprète dans les notations les deux sortes d'objets, écrivant C^{**} = C^{**}_{*} = (C^{**}_{n})_{n \geqslant 0} \ \ldots et de même pour les morphismes entre foncteurs, correspondant aux morphismes entre ensembles {}^{1\!}/_{2} simpliciaux, respectant toutes les structures.

À C^{**}_{*} est associé un foncteur « cohomologique de De Rham associé à C^{**}_{*} » \mathcal{H}^{**}_{C}(\mathcal{X}) = H^{**}(C^{**}(\mathcal{X})) à valeurs dans les S_k-algèbres bigraduées alternées. On s'intéresse aux C^{**} ~~(\mathcal{X})~~ (dits admissibles) pour lesquels pour tout \mathcal{X}, le H^{**} du second membre porte un indice récrit, peut-être \varepsilon.

\tau_{\omega}(H^{**}(\mathcal{X})) [qui est une algèbre graduée alternée, entre autres, de M_{\omega}] ~~provient d'un~~ est dans l'image essentielle de \mathrm{Mod}(k), i.e. peut s'écrire (de façon unique ) \mathcal{H}^{**}_{C}(\mathcal{X}) = H^{*}_{c}(X) \otimes_k S_k [Rappel. — on sait que H^{*}_{c}(X) hérite dans la structure de l'algèbre graduée de \tau_{\omega}(H^{**}(\mathcal{X})). Cela implique que pour les \mathcal{C}^{**}_{n} la propriété (faire \mathcal{X} = \Delta_n). dans la formule centrale, le H^{*}_{c} du second membre est écrit par-dessus un autre H.

~~plus que \forall \mathcal{X}, l'augmentation S_k \to C^{**}(\mathcal{X}) définie~~ ~~On veut de~~ On va préciser cette exigence.

On peut considérer \mathcal{C}^{**}_{n} comme un faisceau (à structures de type \mathfrak{D}) sur le topos (\mathrm{SS}), et on a l'augmentation par le faisceau constant S_k S_k \to C^{**}_{n} . NB, on regarde ici la catégorie des comme un principal] de sorte que \mathcal{D}(S_k) (des cat. dérivées ) « \mathcal{D}(S_k-mod gradués) » : \begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, S_k) & \longrightarrow & \mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \\ (1) & & C^{**}(\mathcal{X}) = \Gamma(\mathcal{X}, C^{**}) \end{array}

En fait, ~~en demandant que~~ appliquant \tau_{\omega} à \mathbb{R}^{*}\tau_{\omega}, on trouve \begin{array}{ccc} \tau_{\omega}(\mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, S_k)) & \longrightarrow & \tau_{\omega}\mathbb{R}^{*}\Gamma(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \\ (2) & & \tau_{\omega} C^{**}(\mathcal{X}) \end{array} deux symboles sont biffés avant les deux membres de la flèche horizontale.

On ~~demande~~ voudrait que ces deux flèches ~~soient des isomorphismes~~ dans la cat. dérivée, ce qui signifie aussi que les homomorphismes déduits de (1) en passant à la coh. \begin{array}{ccc} H^{**}(\mathcal{X}, S_k) & \longrightarrow & H^{**}(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \\ (1') & & H^{**}_{C}(X) \end{array} soient à noyau et conoyau négligeables, ce qui ~~signifie~~ implique précisément, pour la flèche horizontale, que (2') \quad \begin{array}{ccc} \tau_{\omega}(H^{*}(\mathcal{X}, k) \otimes_k S_k) & \xrightarrow{\ \sim\ } & \tau_{\omega} H^{**}(\mathcal{X}, C^{**}) \\ & & \big\uparrow \wr \\ & & \tau_{\omega}(H^{**}_{c}(X)) \end{array} une accolade embrasse la formule (2') ; une ligne pointillée descend en diagonale de la flèche horizontale vers \tau_{\omega}(H^{**}_{c}(X)). Le premier H^{*} est récrit par-dessus un autre symbole.

Prenons \mathcal{X} = \Delta_n, alors le la diagramme (1) devient \begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{*}\Gamma(\Delta_n, S_k) \simeq S_k & \longrightarrow & \mathbb{R}^{*}\Gamma(\Delta_n, C^{**}) = \mathcal{C}^{**}_{n} \\ & & \big\uparrow \ \mathrm{id}_{C^{**}_{n}} \\ & & C^{**}(\Delta_n) = C^{**}_{n} \end{array} et la condition énoncée se réduit à celle concernant la flèche horizontale, qui signifie aussi (3) \qquad H^{**}_{C}(\Delta_n) = H^{**}(C^{**}_{n}) \quad \text{\struck{est isom.}} \uparrow \varepsilon \ \text{augmentation} \qquad S_k l'augmentation est un quasi-isom., i.e. \text{3a)} \qquad \text{\struck{$\ldots$}}\ S^{i}_{k} \to H^{i0}(C^{**}_{n}) = \mathrm{Ker}(C^{i,0}_{n} \to C^{i1}_{n}) , iso pour i grand (i \geqslant \lambda(n) disons) \text{3b)} \qquad \forall p > 0, \quad H^{ip}(C^{**}_{n}) = 0 \ \text{pour}\ i\ \text{grand (dépendant de}\ p\text{)} soit H^{ip}(C^{**}_{n}) = 0 \quad \text{si} \quad i \geqslant \lambda(p) \lambda(p) est récrit sur une autre lettre biffée. où on peut supposer \lambda : \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*} strictement croissante.

A priori, on \lambda = \lambda_n dépend du choix de n. On suspecte qu'il faut pouvoir prendre \lambda indépendant de n …

dans ce cas la flèche horizontale sera bien un isomorphisme ~~donc~~ après application de \tau_{\omega}… En effet, chaque C^{i*}_{*} est une résolution de (S^{i}_{k})_{*} (dans (\mathrm{SS})), jusqu'au degré p si i est assez grand par rapport à p, donc ….

On Regardons la condition d'isomorphie (application de 2) pour la flèche verticale, elle ~~est~~ est conséquence de la condition suivante (et sans doute équivalente)

(4) Pour tout i \geqslant 0 considérons les C^{ip}_{*} gradués (p \geqslant 0) et soit \pi(i) le plus petit entier (s'il existe) tel que C^{ip}_{*} soit flasque pour p \geqslant \pi(i) (\pi(i) = +\infty sinon), (pour \partial) i.e. que ses faisceaux simpliciaux soient . On veut que \pi(i) \to +\infty quand i \to +\infty.

(en oblique dans la marge gauche) On veut affaiblir (4) en (4)', en remplaçant « flasque » par « générateurs » ( \mathrm{SS})

On aimerait prouver un th. d'unicité ( déjà l'existence …) Les C^{**}_{*} ayant les structures précisées (au besoin et dont la structure p.d.) et satisfaisant

aux conditions supplémentaires techniques que énoncées (être une « quasi » résolution de S_k, et être « quasi-flasque » …)

On note que les hom dans la catégorie des objets C^{**} admissibles, sont déjà des « quasi-isom. » (p.r. à \tau_{\omega}) — il y a lieu de passer à la cat. des fractions en ~~les~~ rendant inversibles tous ces hom., i.e. le groupoïde engendré par la catégorie envisagée. On aimerait donc prouver que ce groupoïde est connexe et simplement connexe ? [NB rappelons S_k = k\{T\} plus précis qu'il y ait graduées.] le crochet ouvert par « [NB » se ferme après une ligne et demie d'insertions serrées, dont l'ordre est incertain.

Cela signifie donc

Connexité : si C^{**}_{*} et C'^{**}_{*} sont des théories admissibles, \exists théorie admissible C''^{**}_{*} et hom C''^{**}_{*} \to C^{**}_{*}, \qquad C''^{**}_{*} \to C'^{**}_{*} .

b) Si on a deux hom C'^{**}_{*} \rightrightarrows C^{**}_{*} \exists hom C''^{**}_{*} \to C'^{**}_{*} qui « égalise ».

(un grand « ? » à gauche, en regard des deux conditions ; à droite, séparé par un trait oblique) il y aurait plus de chances avec catégorie de fractions à droite ???

la page s'arrête sur ces deux conditions ; l'argument se poursuit au-delà du lot.