Cote n° 136 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

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Puissances divisées d'une variable : les \(T_r = T^{(p^r)}\)

42la page continue un calcul commencé avant ce lot : \(S_k = k\{T\}\), \(\tau_{p^r}S_k\), les homomorphismes de degré \(-d\) ne sont pas définis ici.

anneau de base \(k\) une \(\mathbb{Z}_p\)-algèbre

\(T_r\) \((= T^{(p^r)})\) \[T_r^{\,p} = p!\,\bigl((T^{(p^r)})^{(p)}\bigr) = p!\,\gamma_r\, T^{(p^{r+1})} = p\,\nu'_r\, T_{r+1}, \qquad \gamma_r = \frac{p^{r+1}!}{(p^r!)^p\,p!} \in \mathbb{Z}_p^{*},\] \[\nu'_r = (p-1)!\,\frac{p^{r+1}!}{(p^r!)^p\,p!} \in \mathbb{Z}_p^{*} .\] Encadré : \[\boxed{T_r^{\,p} = p\,\nu'_r\, T_{r+1}}, \quad \nu'_r \in \mathbb{Z}_p^{*} \qquad\qquad \boxed{S_k = k\{T\}}\]

\(\tau_{p^r} S_k\) a comme base les \(T^{\underline{i}}\), \(\underline{i} = (i_0, i_1, \ldots, i_r, i_{r+1}, \ldots)\), où \(\sum i_\alpha p^\alpha \geq p^r\) i.e. \(\exists\, \alpha \geq r\) avec \(i_\alpha \neq 0\).

Donc \(\tau_{p^r} S\) est engendré par \(T_r, T_{r+1}, \ldots, T_{r+\ell}, \ldots\) (\(\ell \geq 0\)), notés \(t_r, t_{r+1}, \ldots\) ; les relations sont \[\boxed{T_s^{\,p-1}\, t_s = p\,\nu'_s\, t_{s+1} \quad \text{si } s \geq r .}\]

Donc les homomorphismes de degré \(d < p^r\), \(d = d_0 + d_1 p + \cdots + d_{r-1}p^{r-1}\), \[u : \tau_{p^r} S_k \longrightarrow M \otimes_k S_k\] devant \(M\) une lettre biffée. est donné par les \[\boxed{u(t_s) = \eta_s \in S^{(p^s - d)} \otimes_k M}\] un premier second membre, \(p^{s}-d\) …, est biffé ; à gauche, un repère biffé. avec les relations \[(R_s) \quad \boxed{T_s^{\,p-1}\,\eta_s = p\,\nu'_s\,\eta_{s+1}}\]

Soit \(\nu = v_p(d)\), de sorte que \[d = d_\nu p^\nu + \cdots + d_{r-1}p^{r-1} = p^\nu\bigl(d_\nu + d_{\nu+1}p + \cdots + d_{r-1}p^{r-1-\nu}\bigr), \qquad d_\nu \neq 0 \text{ i.e. } d_\nu \geq 1 .\] \[\begin{align*} p^s - d &= p^\nu\Bigl(p^{s-\nu} - \frac{d}{p^\nu}\Bigr) = p^\nu\Bigl(p^{s-\nu} - 1 - \underbrace{\Bigl(\frac{d}{p^\nu} - 1\Bigr)}_{(d_\nu - 1) + d_{\nu+1}p + \cdots + d_{r-1}p^{r-1-\nu}}\Bigr) \\ &= p^\nu\bigl(\delta_\nu + \delta_{\nu+1}p + \cdots + \delta_{r-1}p^{r-\nu-1} \\ &\qquad + \underbrace{(p-1)p^{r-\nu} + (p-1)p^{r-\nu+1} + \cdots + (p-1)p^{s-\nu-1}}_{\text{si } s > r}\bigr), \end{align*}\] avec \[\delta_\nu = (p-1) - (d_\nu - 1), \quad \delta_{\nu+1} = (p-1) - d_{\nu+1}, \quad \ldots, \quad \delta_{r-1} = (p-1) - d_{r-1} .\]

Donc \(S^{(p^s-d)}\) a comme base \[T_\nu^{\delta_\nu}\, T_{\nu+1}^{\delta_{\nu+1}} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_{s-1}\bigr)^{p-1}\] à facteur près, \(s > r\) […]. devant le premier facteur, un \(T\) biffé.

44On pourra donc poser \[\eta_s = \xi_s\, T_\nu^{\delta_\nu}\, T_{\nu+1}^{\delta_{\nu+1}} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_{s-1}\bigr)^{p-1} \qquad \text{avec } \xi_s \in M .\] On aura \[\eta_s T_s^{\,p-1} = \xi_s\, T_\nu^{\delta_\nu} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_s\bigr)^{p-1} .\] La relation \((R_s)\) s'écrit donc, comme \[p\,\nu'_s\,\eta_{s+1} = p\,\nu'_s\,\xi_{s+1}\, T_\nu^{\delta_\nu} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_s\bigr)^{p-1},\] \[\boxed{\xi_s = p\,\nu'_s\,\xi_{s+1}}\] On aura donc \[\xi_s = p^h\, \nu'_s \cdots \nu'_{s+h-1}\, \xi_{s+h} \qquad \forall\, h \geq 1,\] donc \[\xi_s \in \bigcap_h \bigl(p^h M\bigr),\] devant \(\bigcap\) un signe biffé. i.e. les \(\xi_s\) appartiennent à la partie divisible de \(M\).

Prop. Soient \(k\) un anneau commutatif, \(S_k = k\{T\}\), \(M\), \(N\) deux \(k\)-modules, avec \(d > 0\), \(N_0^{\natural} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}^{*}} nN\) le partie ⌜plus grand sous-module⌝ divisible de \(N\), \(\alpha \geq d\). Alors si \(u \in \mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{S_k})\) ([…] ⌜lequel modulo⌝ est indépendant modulo restrictions du choix de \(\alpha\)), \(u\) se factorise par \(N_{0\,S_k}\), i.e. \[\mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{0\,S_k}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{0\,S_k}) .\] les deux membres sont écrits identiques sur la page ; le contexte demande \(N_{S_k}\) au second.

Cor. Si \(N_0 = 0\), p. ex. \(k\) de torsion, alors \(\mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{S_k}) = 0\).

Cohomologie des ensembles semi-simpliciaux

47page au crayon, très pâle ; seules les formules et quelques mots se lisent.

Cohomologie des ens. semi-simpliciaux et résolutions canon. semi-simpliciales

Soit \(k\) un groupe abélien ⌜anneau⌝, \(M\) un \(k\)-module, \[C^{*} : \widehat{\Delta}^{\circ} \longrightarrow \ldots\] (complexes […] de \(k\)-modules) un foncteur […] tel que

Alors b) signifie que les \(C^{n}\) sont représentables : \[C^{n}(X_\bullet) = \mathrm{Hom}(X_\bullet, C^{n}_\bullet) .\] […] les \(C^{*}_\bullet\) sont des résolutions de \(M\), […] \[M_\bullet = \underline{k} \otimes M \ldots\] […] \(H^{*}(C^{*}(X_\bullet)) \to H^{*}(X_\bullet, M)\) […]

suit une dizaine de lignes illisibles, un petit diagramme \(C^{0}_\bullet \to Z^{1}_\bullet\), \(X_\bullet \to Z^{1}_\bullet\), et un passage biffé par des diagonales ; puis : […] On aura \[H^{0}(X_\bullet, C^{0}_\bullet) \to H^{0}(X_\bullet, Z^{1}_\bullet) \to H^{1}(X_\bullet, M) \to H^{1}(X_\bullet, C^{0}_\bullet) \to H^{1}(X_\bullet, Z^{1}_\bullet)\] Mais […] […]

NB […] \(C^{*}_\bullet\) […] \(M_\bullet\), les \(Z^{n}(C^{*}_\bullet)\) […] \(K(M, n)\) …

49page au crayon, très pâle.

Ex. 1. […] \[M \mapsto C^{*}(K_\bullet, M) \overset{\text{déf}}{=} \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}}(K_\bullet, M) = \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^{(K_\bullet)}, M) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}}(K_\bullet, \ldots)\] est représentable […]. […] \(\widehat{\Delta}\) […]

[…] \(C^{*}_{\bullet M}\). […] \[C^{*}(K_\bullet, M) \simeq \mathrm{Hom}(K_\bullet, C^{*}_{\bullet M})\] […] \(k\)-modules […] \((K_\bullet)\) […] \(M_\bullet\), […] \(C^{*}_{\bullet M}\) […] […] \[C^{n}_{\bullet M} = \ldots \simeq k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n, \Delta_m)} \otimes_k M\]

Ex. 2. Considérons le sous-complexe […] des cochaînes […] des \(C^{*}_{\bullet M}\) formé des cochaînes […] \[C^{n}_{\bullet M} = \bigcap \mathrm{Ker}\bigl(C^{n}_{\bullet M} \to \ldots\bigr) = \ldots\] trois intersections de noyaux, indexées par des conditions illisibles.

On sait que […] \(C^{*}(X_\bullet)\) […]

51page au crayon, très pâle ; suite de l'Ex. 2.

[…] \[C^{*!}(X_\bullet) = \mathrm{Hom}(X_\bullet, C^{*!}_{\bullet M})\] […] explicitement \[\begin{align*} (C^{n!}_{\bullet M})_m &\simeq M^{\mathrm{Hom\,mono}(\Delta_n, \Delta_m)} \simeq k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n, \Delta_m)} \otimes_k M \\ &\simeq \Bigl(\bigwedge^{n+1} k^{\Delta_m}\Bigr) \otimes_k M \end{align*}\] […] \[C^{n!}_{\bullet M} \simeq \bigwedge^{n+1} \ldots \otimes_k M\] le reste de la page (une quinzaine de lignes, où reviennent \(\bigwedge\), \(\otimes_k M\) et \(C^{n!}_{\bullet M}\)) ne se lit pas.

Intégration des algèbres semi-simpliciales

53Intégration de algèbres semi-simpliciales

Soit \(A_{*}\) un groupe gradué différentiel semi-simplicial, i.e. un objet semi-simplicial dans la catégorie des groupes gradués différentiels (à opérateur de dérivation de degré \(+1\)). […] Donc \(\forall\, n \geq 0\), \(A_n = A_n^{*} = \sum_{p \in \mathbb{Z}} A_n^{p}\), avec opér. différentielle \(d_n : A_n^{i} \to A_n^{i+1}\), \(A_n^{p} \to A_n^{p+1}\). On suppose

Rappelons qu'il y a sur le système des \(A_n\) un op. différentiel (de degré \(-1\)) \[\partial : A_n^{*} \to A_{n-1}^{*}, \qquad \partial(\omega) = \sum_{0 \leq i \leq n} \partial_{n,i}^{*}(\omega)(-1)^{i}\] (où les \(\partial_{n,i}\) (\(0 \leq i \leq n\)) sont les n applications strictement croissantes \(\Delta_{n-1} \to \Delta_n\)). On sait que \(\partial(\partial\omega) = 0\).

Proposition 1. Il existe un et un seul système d'homomorphismes de groupes \[{}^{*}A_n^{*} \xrightarrow{\ K_n\ } A_0\] satisfaisant aux conditions suivantes :

NB le système des \(K_n\) est […] unique […] de degré […]

En vertu de b), la condition c) signifiant […] […] condition, avec \(\omega \in A_n^{n-1}\). On montre construction et unicité ⌜degré \(\in \mathbb{N}\) par⌝ […] récurrence sur \(N\), en notant que pour \(N = 0\) elle est triviale. Si \(N > 0\), […] \(\in A\) il revient à démontrer existence et unicité de \(K_N\) […]. Ceci donnera \(K_N(\varpi^{N})\) pour \(\varpi^{N} \in A_N^{N}\). Or \(d\varpi^{N} = 0\) […], puisque \(A_N^{N+1} = 0\) ⌜par (1)⌝, donc \[\varpi^{N} = d\omega^{N-1} \quad (1)\] [En fait, il suffit ici que \(H^{N}(A_N^{*}) = 0\) pour \(N \geq 1\)] on la ⌜ier⌝ définit par c) par \[K_N(d\omega^{N-1}) = K_{N-1}(\partial\omega) .\] « ier » est ajouté sous « on la » ; lecture incertaine.

55il faut simplement voir que celui-ci ne dépend pas du choix de \(\omega^{N-1}\), i.e. que \(d\omega^{N-1} = 0\) \[d\omega^{N-1} = 0 \;\Longrightarrow\; K_{N-1}(\partial\omega^{N-1}) = 0 .\] Distinguons deux cas :

a) \(N \geq 2\) i.e. \(N - 1 \geq 1\), alors \(H^{N-1}(A_N^{*}) = 0\) par (1), donc \(d\omega^{N-1} = 0 \Rightarrow \omega^{N-1} = d\alpha^{N-2}\), et on aura \[K_{N-1}(\partial\omega^{N-1}) = K_{N-1}(\partial d\alpha^{N-2})\ldots\] Or \(\partial\alpha^{N-}\) \(\partial d\alpha^{N-2} = d\partial\alpha^{N-2}\) donc […] \[K_{N-1}(\partial\omega^{N-1}) = K_{N-1}(d\partial\alpha^{N-2}) \overset{\text{Stokes}}{=} K_{N-2}\bigl(\underbrace{\partial\partial\alpha^{N-2}}_{0}\bigr) = 0\] l'indice de la dernière \(K\) est mal formé ; \(N-2\) est ce que demande Stokes. cqfd

b) \(N = 1\) i.e. \(N - 1 = 0\). Alors en vertu de (1) on a : \(d\omega^{0} = 0\) implique \(\omega^{0} = \varepsilon_1(\alpha)\) (\(\alpha \in A_0\)), donc \[K_{N-1}(\partial\omega^{0}) = K_{N-1}\bigl(\underbrace{\partial\varepsilon_1(\alpha)}_{=0}\bigr) = 0\] or \(\partial\varepsilon_1(\alpha)\) o.k. les exposants de \(\omega\) sont surchargés par des taches d'encre ; « 0 » est lu d'après la suite.

Remarques. 1) Dans (1) ⌜libellé⌝ on peut se passer de la condition des degrés, on n'utilise […] \[\begin{cases} H^{N}(A_N^{*}) = 0 & \text{si } N \geq 1 \\[2pt] H^{N-1}(A_N^{*}) = \begin{cases} 0 & \text{si } N \geq 2 \\ \varepsilon_1(A_0) & \text{si } N = 1 \end{cases} \end{cases}\]

2) On peut donner une version « abstraite » en termes d'un bicomplexe augmenté avec des conditions de degré finies (\(d\partial = \partial d\) […]) […]) dans une cat. abélienne \(\mathcal{A}\) [celle pour être \((\mathrm{Ab})^{\circ}\) !]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & & & 0 & \\
 & & & 0 & A_3^{3} \arrow[u] \arrow[l] & \cdots \arrow[l] \\
 & & 0 & A_2^{2} \arrow[u] \arrow[l] & A_3^{2} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & \cdots \arrow[l] \\
 & 0 & A_1^{1} \arrow[u] \arrow[l] & A_2^{1} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & A_3^{1} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & \cdots \arrow[l] \\
0 & A_0 \arrow[l] & A_1^{0} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & A_2^{0} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & A_3^{0} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & \cdots \arrow[l] \\
0 \arrow[r] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_0"] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_1"] \arrow[l, "0"'] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_2"] \arrow[l, "\mathrm{id}"'] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_3"] \arrow[l, "0"'] & \cdots \arrow[l, "\mathrm{id}"']
\end{tikzcd}

à côté de \(\varepsilon_0\) est écrit « id » ; les flèches \(\partial\) des lignes supérieures ne portent pas toutes leur étiquette sur la page.

conditions : \(A_N^{*} = 0\) si … ; \(H^{N}(A_N^{*}) = 0\) si \(N \geq 1\) \[\begin{cases} A_N^{i} = 0 & \text{si } i \notin [0, N] \\[2pt] H^{N}(A_N^{*}) = 0 & \text{si } N \geq 1 \\[2pt] H^{N-1}(A_N^{*}) \begin{cases} = 0 & \text{si } N \geq 2 \\ = \mathrm{Ker}\,\delta & \text{si } N = 1 \end{cases} \end{cases}\]

3) À cause de l'unicité, on voit grâce à la version « intégrale » […] on voit que les […] « intégrales » \(A_n^{n} \to A_0^{0} = A_0\) commutent […] […] les […] des \(A_*^{*}\), […] […] […].

Topos induit par un ensemble semi-simplicial

57Soit \((SS)\) la catégorie des ensembles semi-simpliciaux \[(SS) = \widehat{\Delta} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, (\mathrm{Ens})) .\] C'est un topos, et si \(X \in \mathrm{Ob}(SS)\) est un ens. semi-simplicial, i.e. un objet de ce topos, i.e. induit \[(SS)/X \simeq \widehat{\Delta/X} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((\Delta/X)^{\circ}, \mathrm{Ens}\bigr) .\] Pour nous, l'étude cohomologique de \(X\) est celle de ce topos induit. Les faisceaux ⌜(d'ens.)⌝ […] sur « \(X\) » sont les […] faisceaux semi-simpliciaux sur \(F \to X\) sur \(X\), ou ce qui revient au même les foncteurs \((\Delta/X)^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) ; les faisceaux abéliens sur \(X\) sont les objets groupes abéliens \(F \to X\) sur \(X\), ou ce qui revient au même les foncteurs \((\Delta/X)^{\circ} \to (\mathrm{Ab})\), etc. Il en est de même f pour faisceaux d'algèbres graduées différentielles etc. Si \(A_\bullet\) est un ens. s.s., on peut regarder \[A \times X \longrightarrow X\] comme un faisceau sur \(X\) (c'est aussi le faisceau induit par \(A_\bullet\) sur le topos induit \((SS/X)\)) ; c'est aussi le faisceau correspondant \[(\Delta/X)^{\circ} \longrightarrow (\Delta)^{\circ} \xrightarrow{\ A\ } (\mathrm{Ens}) .\]

59Itou pour \(A_\bullet\) muni d'une structure supplémentaire, p. ex. de groupe abélien, éventuellement d'alg. graduée. Dans ce dernier cas, si les degrés sont bornés inférieurement […], on peut donc parler de l'hypercohomologie \[\mathbb{R}\Gamma(X, A_\bullet^{*}) \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{R}^{*}\Gamma_X(\underline{A_X})\] complexe induit par \(A_\bullet^{*}\) sur \(X\), ou \(A^{*} \times X / X\).

Soit \(A : (\Delta/X)^{\circ} \to (\mathrm{Ab})\) un groupe sur \(X\), considérons le complexe des cochaînes sur \(X\) à coeff. dans \(A\) : \[C^{n}(X, A) \overset{\text{déf}}{=} \prod_{\sigma \in \mathrm{Ob}\,\Delta_n/X} A(\sigma), \qquad \mathrm{Ob}\,\Delta_n/X = X_n .\] Les \(C^{n}\) forment un groupe cosimplicial. la page s'arrête ici ; la construction se poursuit au-delà de ce lot.