Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 41–60

Puissances divisées d'une variable : les T_r = T^{(p^r)}

la page continue un calcul commencé avant ce lot : S_k = k\{T\}, \tau_{p^r}S_k, les homomorphismes de degré -d ne sont pas définis ici.

anneau de base k une \mathbb{Z}_p-algèbre

T_r (= T^{(p^r)}) T_r^{\,p} = p!\,\bigl((T^{(p^r)})^{(p)}\bigr) = p!\,\gamma_r\, T^{(p^{r+1})} = p\,\nu'_r\, T_{r+1}, \qquad \gamma_r = \frac{p^{r+1}!}{(p^r!)^p\,p!} \in \mathbb{Z}_p^{*}, \nu'_r = (p-1)!\,\frac{p^{r+1}!}{(p^r!)^p\,p!} \in \mathbb{Z}_p^{*} . Encadré : \boxed{T_r^{\,p} = p\,\nu'_r\, T_{r+1}}, \quad \nu'_r \in \mathbb{Z}_p^{*} \qquad\qquad \boxed{S_k = k\{T\}}

\tau_{p^r} S_k a comme base les T^{\underline{i}}, \underline{i} = (i_0, i_1, \ldots, i_r, i_{r+1}, \ldots), où \sum i_\alpha p^\alpha \geq p^r i.e. \exists\, \alpha \geq r avec i_\alpha \neq 0.

Donc \tau_{p^r} S est engendré par T_r, T_{r+1}, \ldots, T_{r+\ell}, \ldots (\ell \geq 0), notés t_r, t_{r+1}, \ldots ; les relations sont \boxed{T_s^{\,p-1}\, t_s = p\,\nu'_s\, t_{s+1} \quad \text{si } s \geq r .}

Donc les homomorphismes de degré d < p^r, d = d_0 + d_1 p + \cdots + d_{r-1}p^{r-1}, u : \tau_{p^r} S_k \longrightarrow M \otimes_k S_k devant M une lettre biffée. est donné par les \boxed{u(t_s) = \eta_s \in S^{(p^s - d)} \otimes_k M} un premier second membre, p^{s}-d …, est biffé ; à gauche, un repère biffé. avec les relations (R_s) \quad \boxed{T_s^{\,p-1}\,\eta_s = p\,\nu'_s\,\eta_{s+1}}

Soit \nu = v_p(d), de sorte que d = d_\nu p^\nu + \cdots + d_{r-1}p^{r-1} = p^\nu\bigl(d_\nu + d_{\nu+1}p + \cdots + d_{r-1}p^{r-1-\nu}\bigr), \qquad d_\nu \neq 0 \text{ i.e. } d_\nu \geq 1 . \begin{align*} p^s - d &= p^\nu\Bigl(p^{s-\nu} - \frac{d}{p^\nu}\Bigr) = p^\nu\Bigl(p^{s-\nu} - 1 - \underbrace{\Bigl(\frac{d}{p^\nu} - 1\Bigr)}_{(d_\nu - 1) + d_{\nu+1}p + \cdots + d_{r-1}p^{r-1-\nu}}\Bigr) \\ &= p^\nu\bigl(\delta_\nu + \delta_{\nu+1}p + \cdots + \delta_{r-1}p^{r-\nu-1} \\ &\qquad + \underbrace{(p-1)p^{r-\nu} + (p-1)p^{r-\nu+1} + \cdots + (p-1)p^{s-\nu-1}}_{\text{si } s > r}\bigr), \end{align*} avec \delta_\nu = (p-1) - (d_\nu - 1), \quad \delta_{\nu+1} = (p-1) - d_{\nu+1}, \quad \ldots, \quad \delta_{r-1} = (p-1) - d_{r-1} .

Donc S^{(p^s-d)} a comme base T_\nu^{\delta_\nu}\, T_{\nu+1}^{\delta_{\nu+1}} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_{s-1}\bigr)^{p-1} à facteur près, s > r . devant le premier facteur, un T biffé.

On pourra donc poser \eta_s = \xi_s\, T_\nu^{\delta_\nu}\, T_{\nu+1}^{\delta_{\nu+1}} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_{s-1}\bigr)^{p-1} \qquad \text{avec } \xi_s \in M . On aura \eta_s T_s^{\,p-1} = \xi_s\, T_\nu^{\delta_\nu} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_s\bigr)^{p-1} . La relation (R_s) s'écrit donc, comme p\,\nu'_s\,\eta_{s+1} = p\,\nu'_s\,\xi_{s+1}\, T_\nu^{\delta_\nu} \cdots T_{r-1}^{\delta_{r-1}}\,\bigl(T_r \cdots T_s\bigr)^{p-1}, \boxed{\xi_s = p\,\nu'_s\,\xi_{s+1}} On aura donc \xi_s = p^h\, \nu'_s \cdots \nu'_{s+h-1}\, \xi_{s+h} \qquad \forall\, h \geq 1, donc \xi_s \in \bigcap_h \bigl(p^h M\bigr), devant \bigcap un signe biffé. i.e. les \xi_s appartiennent à la partie divisible de M.

Prop. Soient k un anneau commutatif, S_k = k\{T\}, M, N deux k-modules, ~~avec~~ d > 0, N_0^{\natural} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}^{*}} nN le ~~partie~~ plus grand sous-module divisible de N, \alpha \geq d. Alors si u \in \mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{S_k}) ( lequel modulo est indépendant modulo restrictions du choix de \alpha), u se factorise par N_{0\,S_k}, i.e. \mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{0\,S_k}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{0\,S_k}) . les deux membres sont écrits identiques sur la page ; le contexte demande N_{S_k} au second.

Cor. Si N_0 = 0, p. ex. k de torsion, alors \mathrm{Hom}^{-d}(\tau_\alpha M_{S_k}, N_{S_k}) = 0.

Cohomologie des ensembles semi-simpliciaux

page au crayon, très pâle ; seules les formules et quelques mots se lisent.

Cohomologie des ens. semi-simpliciaux et résolutions canon. semi-simpliciales

Soit k un ~~groupe abélien~~ anneau, M un k-module, C^{*} : \widehat{\Delta}^{\circ} \longrightarrow \ldots (complexes de k-modules) un foncteur tel que

a)\forall\, X_\bullet \in \mathrm{Ob}\,\widehat{\Delta}, H^{*}(X_\bullet, M) \simeq H^{*}(C^{*}(X_\bullet)) (isom. fonctoriel en M ) ; b)\forall\, n \geq 0, X_\bullet \mapsto C^{n}(X_\bullet) transforme en .

Alors b) signifie que les C^{n} sont représentables : C^{n}(X_\bullet) = \mathrm{Hom}(X_\bullet, C^{n}_\bullet) . les C^{*}_\bullet sont des résolutions de M, M_\bullet = \underline{k} \otimes M \ldots H^{*}(C^{*}(X_\bullet)) \to H^{*}(X_\bullet, M)

suit une dizaine de lignes illisibles, un petit diagramme C^{0}_\bullet \to Z^{1}_\bullet, X_\bullet \to Z^{1}_\bullet, et un passage biffé par des diagonales ; puis : On aura H^{0}(X_\bullet, C^{0}_\bullet) \to H^{0}(X_\bullet, Z^{1}_\bullet) \to H^{1}(X_\bullet, M) \to H^{1}(X_\bullet, C^{0}_\bullet) \to H^{1}(X_\bullet, Z^{1}_\bullet) Mais

NB C^{*}_\bullet M_\bullet, les Z^{n}(C^{*}_\bullet) K(M, n) …

page au crayon, très pâle.

Ex. 1. M \mapsto C^{*}(K_\bullet, M) \overset{\text{déf}}{=} \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}}(K_\bullet, M) = \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^{(K_\bullet)}, M) \simeq \mathrm{Hom}_{\widehat{\Delta}}(K_\bullet, \ldots) est représentable . \widehat{\Delta}

C^{*}_{\bullet M}. C^{*}(K_\bullet, M) \simeq \mathrm{Hom}(K_\bullet, C^{*}_{\bullet M}) k-modules (K_\bullet) M_\bullet, C^{*}_{\bullet M} C^{n}_{\bullet M} = \ldots \simeq k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n, \Delta_m)} \otimes_k M

Ex. 2. Considérons le sous-complexe des cochaînes des C^{*}_{\bullet M} formé des cochaînes C^{n}_{\bullet M} = \bigcap \mathrm{Ker}\bigl(C^{n}_{\bullet M} \to \ldots\bigr) = \ldots trois intersections de noyaux, indexées par des conditions illisibles.

On sait que C^{*}(X_\bullet)

page au crayon, très pâle ; suite de l'Ex. 2.

C^{*!}(X_\bullet) = \mathrm{Hom}(X_\bullet, C^{*!}_{\bullet M}) explicitement \begin{align*} (C^{n!}_{\bullet M})_m &\simeq M^{\mathrm{Hom\,mono}(\Delta_n, \Delta_m)} \simeq k^{\mathrm{Hom}(\Delta_n, \Delta_m)} \otimes_k M \\ &\simeq \Bigl(\bigwedge^{n+1} k^{\Delta_m}\Bigr) \otimes_k M \end{align*} C^{n!}_{\bullet M} \simeq \bigwedge^{n+1} \ldots \otimes_k M le reste de la page (une quinzaine de lignes, où reviennent \bigwedge, \otimes_k M et C^{n!}_{\bullet M}) ne se lit pas.

Intégration des algèbres semi-simpliciales

Intégration de algèbres semi-simpliciales

Soit A_{*} un groupe gradué différentiel semi-simplicial, i.e. un objet semi-simplicial dans la catégorie des groupes gradués différentiels (à opérateur de dérivation de degré +1). Donc \forall\, n \geq 0, A_n = A_n^{*} = \sum_{p \in \mathbb{Z}} A_n^{p}, avec opér. différentielle d_n : A_n^{i} \to A_n^{i+1}, A_n^{p} \to A_n^{p+1}. On suppose

(1)\forall\, n, on a A_n^{p} = 0 si p \notin [0, n], et k A_n^{*} — muni de l'augmentation \varepsilon_n : A_0 \to A_n^{*} [NB définie : l'unique \sigma : \Delta_n \to \Delta_0 ; A_0 est considéré comme groupe gradué de graduation nulle et d'op. diff. triviale] est une résolution de A_0.

Rappelons qu'il y a sur le système des A_n un op. différentiel (de degré -1) \partial : A_n^{*} \to A_{n-1}^{*}, \qquad \partial(\omega) = \sum_{0 \leq i \leq n} \partial_{n,i}^{*}(\omega)(-1)^{i} (où les \partial_{n,i} (0 \leq i \leq n) sont les n applications strictement croissantes \Delta_{n-1} \to \Delta_n). On sait que \partial(\partial\omega) = 0.

Proposition 1. Il existe un et un seul système d'homomorphismes de groupes {}^{*}A_n^{*} \xrightarrow{\ K_n\ } A_0 satisfaisant aux conditions suivantes :

a)(normalisation) K_0 = \mathrm{id}_{A_0} ; b)(condition de degré) K_n(A_n^{p}) = 0 si p \neq n ; c)(Stokes) K_n(d\omega) = K_{n-1}(\partial\omega) \forall\, \omega \in A_n^{*}.

NB le système des K_n est unique de degré

En vertu de b), la condition c) signifiant condition, avec \omega \in A_n^{n-1}. On montre construction et unicité degré \in \mathbb{N} par récurrence sur N, en notant que pour N = 0 elle est triviale. Si N > 0, ~~\in A~~ il revient à démontrer existence et unicité de K_N . Ceci donnera K_N(\varpi^{N}) pour \varpi^{N} \in A_N^{N}. Or d\varpi^{N} = 0 , puisque A_N^{N+1} = 0 par (1), donc \varpi^{N} = d\omega^{N-1} \quad (1) [En fait, il suffit ici que H^{N}(A_N^{*}) = 0 pour N \geq 1] on la ier définit par c) par K_N(d\omega^{N-1}) = K_{N-1}(\partial\omega) . « ier » est ajouté sous « on la » ; lecture incertaine.

il faut simplement voir que celui-ci ne dépend pas du choix de \omega^{N-1}, i.e. que ~~d\omega^{N-1} = 0~~ d\omega^{N-1} = 0 \;\Longrightarrow\; K_{N-1}(\partial\omega^{N-1}) = 0 . Distinguons deux cas :

a) N \geq 2 i.e. N - 1 \geq 1, alors H^{N-1}(A_N^{*}) = 0 par (1), donc d\omega^{N-1} = 0 \Rightarrow \omega^{N-1} = d\alpha^{N-2}, et on aura K_{N-1}(\partial\omega^{N-1}) = K_{N-1}(\partial d\alpha^{N-2})\ldots Or ~~\partial\alpha^{N-}~~ \partial d\alpha^{N-2} = d\partial\alpha^{N-2} donc K_{N-1}(\partial\omega^{N-1}) = K_{N-1}(d\partial\alpha^{N-2}) \overset{\text{Stokes}}{=} K_{N-2}\bigl(\underbrace{\partial\partial\alpha^{N-2}}_{0}\bigr) = 0 l'indice de la dernière K est mal formé ; N-2 est ce que demande Stokes. cqfd

b) N = 1 i.e. N - 1 = 0. Alors en vertu de (1) on a : d\omega^{0} = 0 implique \omega^{0} = \varepsilon_1(\alpha) (\alpha \in A_0), donc K_{N-1}(\partial\omega^{0}) = K_{N-1}\bigl(\underbrace{\partial\varepsilon_1(\alpha)}_{=0}\bigr) = 0 ~~or \partial\varepsilon_1(\alpha)~~ o.k. les exposants de \omega sont surchargés par des taches d'encre ; « 0 » est lu d'après la suite.

Remarques. 1) Dans (1) libellé on peut se passer de la condition des degrés, on n'utilise \begin{cases} H^{N}(A_N^{*}) = 0 & \text{si } N \geq 1 \\[2pt] H^{N-1}(A_N^{*}) = \begin{cases} 0 & \text{si } N \geq 2 \\ \varepsilon_1(A_0) & \text{si } N = 1 \end{cases} \end{cases}

2) On peut donner une version « abstraite » en termes d'un bicomplexe augmenté avec des conditions de degré finies (d\partial = \partial d ) ~~) dans~~ une cat. abélienne \mathcal{A} [celle pour être (\mathrm{Ab})^{\circ} !]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & & 0 & \\ & & & 0 & A_3^{3} \arrow[u] \arrow[l] & \cdots \arrow[l] \\ & & 0 & A_2^{2} \arrow[u] \arrow[l] & A_3^{2} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & \cdots \arrow[l] \\ & 0 & A_1^{1} \arrow[u] \arrow[l] & A_2^{1} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & A_3^{1} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & \cdots \arrow[l] \\ 0 & A_0 \arrow[l] & A_1^{0} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & A_2^{0} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & A_3^{0} \arrow[u, "d"] \arrow[l, "\partial"'] & \cdots \arrow[l] \\ 0 \arrow[r] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_0"] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_1"] \arrow[l, "0"'] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_2"] \arrow[l, "\mathrm{id}"'] & A_0 \arrow[u, "\varepsilon_3"] \arrow[l, "0"'] & \cdots \arrow[l, "\mathrm{id}"'] \end{tikzcd}

à côté de \varepsilon_0 est écrit « id » ; les flèches \partial des lignes supérieures ne portent pas toutes leur étiquette sur la page.

conditions : ~~A_N^{*} = 0 si … ; H^{N}(A_N^{*}) = 0 si N \geq 1~~ \begin{cases} A_N^{i} = 0 & \text{si } i \notin [0, N] \\[2pt] H^{N}(A_N^{*}) = 0 & \text{si } N \geq 1 \\[2pt] H^{N-1}(A_N^{*}) \begin{cases} = 0 & \text{si } N \geq 2 \\ = \mathrm{Ker}\,\delta & \text{si } N = 1 \end{cases} \end{cases}

3) À cause de l'unicité, on voit grâce à la version « intégrale » on voit que les « intégrales » A_n^{n} \to A_0^{0} = A_0 commutent les des A_*^{*}, .

Topos induit par un ensemble semi-simplicial

Soit (SS) la catégorie des ensembles semi-simpliciaux (SS) = \widehat{\Delta} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Delta^{\circ}, (\mathrm{Ens})) . C'est un topos, et si X \in \mathrm{Ob}(SS) est un ens. semi-simplicial, i.e. un objet de ce topos, i.e. induit (SS)/X \simeq \widehat{\Delta/X} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\bigl((\Delta/X)^{\circ}, \mathrm{Ens}\bigr) . Pour nous, l'étude cohomologique de X est celle de ce topos induit. Les faisceaux (d'ens.) sur « X » sont les faisceaux semi-simpliciaux sur F \to X sur X, ou ce qui revient au même les foncteurs (\Delta/X)^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) ; les faisceaux abéliens sur X sont les objets groupes abéliens F \to X sur X, ou ce qui revient au même les foncteurs (\Delta/X)^{\circ} \to (\mathrm{Ab}), etc. Il en est de même f pour faisceaux d'algèbres graduées différentielles etc. Si A_\bullet est un ens. s.s., on peut regarder A \times X \longrightarrow X comme un faisceau sur X (c'est aussi le faisceau induit par A_\bullet sur le topos induit (SS/X)) ; c'est aussi le faisceau correspondant (\Delta/X)^{\circ} \longrightarrow (\Delta)^{\circ} \xrightarrow{\ A\ } (\mathrm{Ens}) .

Itou pour A_\bullet muni d'une structure supplémentaire, p. ex. de groupe abélien, éventuellement d'alg. graduée. Dans ce dernier cas, si les degrés sont bornés inférieurement , on peut donc parler de l'hypercohomologie \mathbb{R}\Gamma(X, A_\bullet^{*}) \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{R}^{*}\Gamma_X(\underline{A_X}) complexe induit par A_\bullet^{*} sur X, ou A^{*} \times X / X.

Soit A : (\Delta/X)^{\circ} \to (\mathrm{Ab}) un groupe sur X, considérons le complexe des cochaînes sur X à coeff. dans A : C^{n}(X, A) \overset{\text{déf}}{=} \prod_{\sigma \in \mathrm{Ob}\,\Delta_n/X} A(\sigma), \qquad \mathrm{Ob}\,\Delta_n/X = X_n . Les C^{n} forment un groupe cosimplicial. la page s'arrête ici ; la construction se poursuit au-delà de ce lot.