Cote n° 136, pages 21–40

Cote n° 136 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

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Un lemme arithmétique sur les coefficients binomiaux

21la page continue un énoncé commencé avant le lot : les hypothèses du lemme, et la définition de $e$, sont sur la page précédente.

Lemme 3 Alors on a $x_N = x_{N+1}$.

Dém. Posons \[y_\varepsilon = x_{N+p^\varepsilon} - x_N \qquad 0 \leq \varepsilon \leq e ,\] d'où $y_\varepsilon - y_0 = x_{N+p^\varepsilon} - x_{N+1}$. L'hypothèse s'écrit donc, en distinguant le cas $i = N$, $i = N+1$ : \[(S) = S\bigl(N, e, (y_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e}\bigr) \quad \begin{cases} c_{N, p^\varepsilon}\, y_\varepsilon = 0 & 0 \leq \varepsilon \leq e \\ c_{N+1, p^\varepsilon - 1}\, (y_\varepsilon - y_0) = 0 & 0 \leq \varepsilon \leq e \end{cases}\] (le cas $\varepsilon = 0$ étant trivial). La conclusion s'écrit $y_0 = 0$. En fait, nous allons déduire cette conclusion du système plus faible (équivalent si $E$ est annulé par $p$, i.e. est un $\mathbb{F}_p$-vectoriel) \[(\bar S) = \bar S\bigl(N, e, (y_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e}\bigr) \quad \begin{cases} y_\varepsilon = 0 \ \text{si}\ c_{N, p^\varepsilon} \not\equiv 0 \ (p) & 0 \leq \varepsilon \leq e \\ y_\varepsilon - y_0 = 0 \ \text{si}\ c_{N+1, p^\varepsilon - 1} \not\equiv 0 \ (p) & 1 \leq \varepsilon \leq e . \end{cases}\] Pour prouver que ce système implique que $y_0 = 0$, on procède par récurrence sur $N$. Comme la première égalité pour $\varepsilon = 0$ donne $y_0 = 0$ si $N+1 \not\equiv 0 \ (p)$, la conclusion est triviale pour $N = 0$. […] On suppose $N > 0$ ⌜et prouvé pour les $N' < N$⌝. La conclusion est triviale si $N+1 \not\equiv 0 \ (p)$. Donc OPS $N + 1 \equiv 0 \ (p)$, soit $N+1 = (N'+1)p$, où $N' = \frac{N+1}{p} - 1 < N$ (car $\frac{N+1}{p} < N+1$). Alors le cor. précédent montre que le syst. $\bar S = \bar S(N, e, (y_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e})$ (compte tenu de $N+1 \equiv 0 \ (p)$, qui nous permet d'oublier la première équation pour $\varepsilon = 0$) équivaut au système (où $e' = e - 1$, $y'_\varepsilon = y_{\varepsilon+1}$ pour $0 \leq \varepsilon \leq e' = e - 1$) : \[\text{\struck{$\bar S'$}} \quad \begin{cases} y'_\varepsilon = 0 \ \text{si}\ c_{N', p^\varepsilon} \not\equiv 0 \ (p) & 0 \leq \varepsilon \leq e' \\ y'_\varepsilon - y_0 = 0 \ \text{si}\ c_{N'+1, p^\varepsilon - 1} \not\equiv 0 \ (p) & 0 \leq \varepsilon \leq e' \end{cases}\] Pour $\varepsilon = 0$ cette dernière équation donne […] $y'_0 = y_0$, donc on peut se borner à $1 \leq \varepsilon \leq e'$ (et se rappeler $y'_0 = y_0$).

22Mais donc ce système n'est autre que $\bar S' = \bar S'(N', e', (y'_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e'})$. Notons que $p^e \geq N+1 = (N'+1)p$ implique que $p^{e-1} \geq N'+1$, i.e. $p^{e'} \geq N' + 1$. Donc on a les mêmes conditions que précédemment, avec cette fois-ci $N' < N$. Par hyp. de récurrence on a donc $y'_0 = 0$, donc $y_0 = 0$, cqfd. Ouf !

Théorème 1. Soient $E$ un groupe abélien, $N \in \mathbb{N}$, $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une famille d'éléments de $E$, telle que l'on ait \[\binom{j}{i} (x_j - x_i) = 0 \qquad \text{pour } j > i \geq N .\] Alors on a $x_i = x_N$ $\forall i \geq N$.

Dém. Quitte à localiser en tous les nbs premiers $p$, on peut supposer $E$ un module sur $\mathbb{Z}_p$. Il suffit de prouver $x_{N+1} = x_N$ (car par récurrence on aura $x_{N+2} = x_{N+1}$ etc.). Choisissons $e$ ⌜$\in \mathbb{N}$⌝ tel que $p^e \geq N+1$ ; on vérifie que les $x_i$ pour $i$ de la forme $N$ ou $N + p^\varepsilon$, $0 \leq \varepsilon \leq e$, […]. Le lemme 2 nous montre que $x_{N+1} = x_N$, cqfd.

Les foncteurs « ombres » $\omega_N$

Cor. 1. Soient $k$ un anneau commutatif, $S = k\{T\}$ l'alg. des polynômes à puiss. div., $M$ un $k$-module $S^{+(N)}$ l'idéal à p. div. engendré par les $T^{(i)}$, $i \geq N$ défini par $S^{+(N)} = \sum_{i \geq N} k\, T^{(i)}$, et considérons, pour un $k$-module $M$, le $S$-module gradué \[\omega_N(M) = M \otimes_k S^{+(N)} = \sum_{i \geq N} M\, T^{(i)} .\] il écrit $M \otimes_S S^{+(N)}$ ; le produit tensoriel est sur $k$. Alors :

23a) Le foncteur $\omega_N$ de la catégorie des $k$-modules vers celle des $S$-modules (gradués) est pleinement fidèle.

b) $\forall M$, l'application l'application \[M \xrightarrow{\ \varphi\ } \prod_{i \geq N} \omega_N(M)_i = \prod_{i \geq N} M\, T^{(i)}\] donnée par $\varphi(x) = (x\, T^{(i)})_{i \geq N}$ induit une bijection de $M$ avec le sous-ens. de $\prod_{i \geq N} \omega_N(M)_i$ formé des systèmes $(x_i)_{i \geq N}$ satisfaisant aux conditions \[(*) \qquad T^{(j)} x_i = c_{ij}\, x_{i+j} \qquad \forall i \geq N,\ j \geq 1 .\]

Dém. a) ⌜b)⌝ Si $x_i = x\, T^{(i)}$, on a $T^{(j)} x_i = x\, T^{(i)} T^{(j)} = c_{ij}\, x\, T^{(i+j)} = c_{ij}\, x_{i+j}$, donc $\varphi(x)$ se trouve dans le sous-ens. indiqué. L'injectivité de $\varphi$ est claire. Bijectivité ? Posons $x_i = \xi_i\, T^{(i)}$, $\xi_i \in M$. La condition $(*)$ s'écrit \[\xi_i\, T^{(i)} T^{(j)} = c_{ij}\, \xi_{i+j}\, T^{(i+j)} , \qquad \xi_i\, T^{(i)} T^{(j)} = c_{ij}\, \xi_i\, T^{(i+j)} ,\] i.e. $c_{ij} (\xi_{i+j} - \xi_i) = 0$ pour $i \geq N$, $j \geq 1$, et il résulte du th. que les $\xi_i$ sont tous égaux à un même $\xi \in M$, cqfd.

a) Soient $M$, $M'$ deux $k$-modules. Alors $\operatorname{Hom}(\omega_N(M), \omega_N(M'))$ s'identifie à l'ens. des systèmes de $k$-hom. ($i \geq N$) \[u_i : M \to M' \qquad \bigl( M \simeq M\, T^{(i)} = \omega_N(M)_i ,\ \ M' \simeq M'\, T^{(i)} = \omega_N(M')_i \bigr)\]

24tels que $\forall j \geq 1$, on ait commutativité dans

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\begin{tikzcd}
M\, T^{(i)} \arrow[r, "{\cdot T^{(j)}}"] \arrow[d, "{u_i \otimes T^{(i)}}"'] & M\, T^{(i+j)} \arrow[d, "{u_{i+j} \otimes T^{(i+j)}}"] \\
M'\, T^{(i)} \arrow[r, "{\cdot T^{(j)}}"'] & M'\, T^{(i+j)}
\end{tikzcd}

i.e. tels qu'on ait $c_{ij}(u_{i+j} - u_i) = 0$ si $i \geq N$, $j \geq 1$, et le th. nous permet de conclure que les $u_i$ sont égaux, d'où la conclusion \[\operatorname{Hom}_k(M, M') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{S\text{-mod.\ gr.}}\bigl(\omega_N(M), \omega_N(M')\bigr) .\]

Rmq. 1. Le foncteur $\omega_N$ admet un adjoint à droite $\pi_N$ \[\operatorname{Hom}_{S\text{-mod.\ gr.}}\bigl(\omega_N(M), \mathcal{M}\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(M, \pi_N(\mathcal{M})\bigr)\] en posant \[\pi_N(\mathcal{M}) \subset \prod_{i \geq N} \mathcal{M}_i ,\qquad \pi_N(\mathcal{M}) = \bigl\{ (x_i)_{i \geq N} \bigm| x_i\, T^{(j)} = c_{ij}\, x_{i+j} \ \ \forall i \geq N,\ j \geq 1 \bigr\} .\] En considération de ceci, il existe les parties a) et b) du corollaire 1 sont équivalentes, b) signifiant que l'hom. can. d'adjonction $M \to \pi_N(\omega_N(M))$ est […] un isomorphisme.

Rmq. 2. Considérons $\omega_0(M) = M \otimes_k S = M \otimes_k k\{T\}$ ; alors $\omega_N(M) = S^{+(N)} \cdot \omega_0(M)$. […] Si on veut aussi écrire, si $N \geq N' \geq 0$, \[\omega_N(M) \simeq \sum_{i \geq N} \omega_{N'}(M)_i \overset{\text{déf}}{=} \tau_{\geq N}\bigl(\omega_{N'}(M)\bigr) \qquad \text{(« troncation »)} .\] Donc on

25voit donc que les foncteurs « ombres » $\omega_N$ sont d'autant plus grossiers que $N$ est plus grand. Néanmoins ils sont tous pleinement fidèles (NB les foncteurs $\tau_N$ ne sont pas pl. fidèles bien sûr, pas même sur la sous-catégorie des « ombres virtuelles d'ordre $N-1$ », i.e. des modules gradués dont les composantes sont nulles en degrés $\leq N-1$.

Soit $\mathrm{Omb}(k)$ la catégorie des « ombres virtuelles » de $k$-modules, i.e. des $S = k\{T\}$-modules gradués [à degrés $\geq 0$ ?]. Soit, $\forall N \geq 0$, $\mathrm{Omb}_{N\text{-tr}}(k)$ la sous-catégorie pleine des modules $N$-négligeables, i.e. tels que $\mathcal{M}_i = 0$ si $i \geq N$. le signe entre $i$ et $N$ est surchargé ; la lecture $\geq$ est celle qui s'accorde avec la phrase suivante. C'est une sous-catégorie épaisse ⌜la s.-cat. pleine de $\mathrm{Omb}$ formée⌝, la catégorie quotient est ⌜(des « $N$-ombres virtuelles »)⌝ est can. équivalente à celle des $S$-modules gradués tels que $\mathcal{M}_i = 0$ si $i < N$. Le foncteur quotient s'identifie donc au foncteur « troncature » $\tau_N$. On vérifie que \[\tau_N(\mathcal{M}) \hookrightarrow \mathcal{M}\] (inclusion fonctorielle) ⌜correspondant au fait que⌝ le foncteur […] le quotient admet un adjoint à droite (cf. fid. comme de part) \[\operatorname{Hom}_{\mathrm{Omb}}\bigl(\mathcal{N}, \tau_N(\mathcal{M})\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_{N\text{-}\mathrm{Omb}\ \text{ou}\ \mathrm{Omb}}\bigl(\tau_N(\mathcal{N}), \tau_N(\mathcal{M})\bigr) .\]

Appelons « négligeables » dans $\mathrm{Omb}$ les ombres $\mathcal{M}$ (qui sont $\varinjlim$ ⌜filtrantes⌝ d'ombres $N$-négligeables (pour $N$ variable)), i.e. telles que ($\forall i \in \mathbb{Z}$) $\forall x \in \mathcal{M}_i$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tel que $T^{(\alpha)} \cdot x = 0$ pour $\alpha \geq N$, i.e. $S^{+(N)} \cdot x = 0$. C'est encore une sous-catégorie épaisse, et la localisée est la phrase s'arrête là ; la page suivante reprend sur une autre feuille.

Le théorème sur $M \otimes_k S$

26$S = k\{T\}$ (polynômes à p.d.), anneau gradué à degrés $\geq 0$ ; $M$ un $k$-module, $N \geq 0$, d'où $M \otimes_k S$ et par suite \[M \otimes_k S \to \varphi_N \tau_N (M \otimes_k S) .\]

Thm. L'hom. précédent est un iso en degrés $\geq 0$, i.e. on a \[(*) \qquad M \otimes_k S \xrightarrow{\ \sim\ } \varphi^{\circ}_N \tau_N (M \otimes_k S) \qquad (\forall N \geq 0) .\] En somme équivalent : $M \otimes_k S \in \operatorname{Im}$ de $\varphi^{\circ}_N$, $M \otimes_k S \in \operatorname{Im}$ de $\varphi^{\circ}_{\infty}$ ; on énonce […].

NB En degrés $\geq N$, c'est clair que c'est un isom., il suffit donc de regarder les degrés $0 \leq i < N$. Le cas $i = 0$ a été traité déjà par une démonstration explicite (on la retrouvera dans la dém. qui suivra).

Reformulation du Thm : si $0 \leq i \leq N$, on a \[(M \otimes_k S)_i \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^i\bigl(\tau_{N-i}(S), M \otimes_k S\bigr) , \qquad (M \otimes S)_i \simeq M ,\quad \xi\, T^{(i)} \leftarrow\!\shortmid\ \xi\] (seul le cas $0 \leq i < N$ étant à établir).

Cor. $\operatorname{Ext}^n\bigl(\tau_{N-i}(S)[-i], M \otimes_k S\bigr) = 0$ si $n > 0$, $\forall i \geq 0$ (seul le cas $i < N$ est non trivial). lecture du corollaire incertaine : l'indice et le décalage sont serrés.

Ce théorème équivaut à l'énoncé suivant, où $k$ ne figure plus :

Th. Soient $0 \leq i \leq N$ deux entiers, $M$ un $\mathbb{Z}$-module, $(\xi_k)_{k \geq N}$ une famille d'éléments de $M$, telle que l'on ait \[(1) \qquad c_{l,k}\, \xi_k = c_{l, k-i}\, \xi_{k+l} \qquad \text{pour } k \geq N,\ l \geq 0 .\]

27Alors il existe un unique $\xi \in M$ tel que l'on ait \[(2) \qquad \xi_k = c_{i, k-i}\, \xi \quad \Bigl(= \binom{k}{i} \xi\Bigr) \qquad \text{pour tout } k \geq N .\] (NB $c_{h,l}$ désigne le coefficient binomial $\frac{(h+l)!}{h!\,l!}$.)

Dém. (1) Réduction au cas où $\exists p$ nb premier, tel que $n \cdot \mathrm{id}_M$ bijectif $\forall n \in \mathbb{Z}$ tel que $(n, p) = 1$, i.e. $M$ un $\mathbb{Z}_p$-module ($\mathbb{Z}_p \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{Z}_{(p\mathbb{Z})}$). Supposons qu'on sache prouver dans ce cas […] (il existe alors $k = k(p)$ tel que $c_{k, k-i} \not\equiv 0 \ (p)$, i.e. $c_{k, k-i} \in \mathbb{Z}_p^*$). Prouvons le th. en général. Les $c_{k, k-i}$ ($k \geq N$) ne sont pas tous divisibles par un même nb premier, donc ils sont premiers entre eux, donc $\exists\, k_1, \ldots, k_r \geq N$ et des entiers $m_1, \ldots, m_r \in \mathbb{Z}$ tels que \[\sum_{\alpha=1}^{r} m_\alpha\, c_{k_\alpha, k_\alpha - i} = 1 .\] Donc la relation (2) implique, en multipliant par les $m_\alpha$ et sommant, \[\xi = \sum_{1}^{r} m_\alpha\, \xi_{k_\alpha} ,\] d'où l'unicité de $\xi$. Prouvons qu'avec ce choix de $\xi$, on a bien (2), i.e. \[\xi_k = c_{k, k-i} \sum_{1}^{r} m_\alpha\, \xi_{k_\alpha} .\] Pour prouver que cette relation est vraie, […] il suffit de prouver qu'elle est vraie dans chaque $M_p = M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_p$ ($p \in P$). Mais c'est une conséquence immédiate du fait que le th. est vrai pour $M_p$. ici et à la page précédente il écrit tantôt $c_{k,k-i}$, tantôt $c_{i,k-i}$ ; ces deux coefficients sont égaux, transcrits tels qu'écrits.

28(2) Cas où $M$ est un $\mathbb{Z}_p$-module. Notons d'abord qu'il existe des $k$ arbitrairement grands tels que $c_{i, k-i} \in \mathbb{Z}_p^*$, i.e. $c_{i, k-i} \not\equiv 0 \ (p)$. Posons $k - i = j$ ; il suffit de prendre $j = p^\varepsilon$, avec $\varepsilon$ tel que $p^\varepsilon > i$, donc $k = i + p^\varepsilon$. Cela montre l'unicité de $\xi$, car si $k_0$ est tel que $c_{i, k_0 - i} \in \mathbb{Z}_p^*$, on aura […] $\xi = c_{i, k_0 - i}^{-1}\, \xi_{k_0}$.

Considérons donc le système des […] $\xi'_k = c_{i, k-i}\, \xi$ ; on voit de suite que analogue $(\xi'_k)_{k \geq N}$ satisfait les conditions (1) (où on substitue $\xi'_k$ à $\xi_k$), et $\xi'_{k_0} = \xi_{k_0}$ ; donc, posant $\eta_k = \xi'_k - \xi_k$, les $(\eta_k)_{k \geq N}$ satisfont encore (1), et de plus $\eta_{k_0} = 0$. Il suffit de prouver tous $\eta_k = 0$ donc $\forall k \geq N$. Donc on est ramené au

Corollaire. Si $(\xi_k)_{k \geq N}$ est satisfait (1), et si de plus […] il existe un $k_0 \geq N$ tel que \[(1') \quad \xi_{k_0} = 0 , \qquad (3) \quad c_{i, k_0 - i} \not\equiv 0 \ (p) ,\] alors $\xi_k = 0$ $\forall k \geq N$.

29Dém. En deux étapes. Lemme 1. ⌜Si $k \geq N$ tel que⌝ $\xi_k = 0$ si $c_{i, k-i} \not\equiv 0 \ (p)$. l'énoncé du lemme 1 est écrit en abrégé entre les lignes ; c'est la conclusion énoncée à la fin de la p. 31.

Lemme 1.1. Soient $k_1, k$ $k' \geq k \geq N$ tels que, posant $j = k - i$, $j' = k' - i$, on ait \[(4) \qquad c_{i,j} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{et} \quad c_{i,j'} \not\equiv 0 \ (p) .\] Alors on a l'équivalence \[(5) \qquad c_{j'-j, j} \not\equiv 0 \ (p) \iff c_{j'-j, j+i} \not\equiv 0 \ (p) ,\] et si les conditions équivalentes (5) sont satisfaites, on a l'équivalence \[(6) \qquad \xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0 .\]

Dém. de 1.1. Calculons dans $\mathbb{Q}$ \[(a) \quad \frac{c_{j'-j, j+i}}{c_{j'-j, j}} = \frac{(j'+i)!}{(j'-j)!\,(j+i)!} : \frac{j'!}{(j'-j)!\, j!} , \qquad (b) \quad \frac{c_{i, j'}}{c_{i, j}} = \frac{(i+j')!}{i!\, j'!} : \frac{(i+j)!}{i!\, j!} .\] suivent une ligne (b') biffée, un encadré biffé (« Or dans $\mathbb{Z}_p$ […] »), et une ligne (c) encadrée, $\frac{j'!}{j!} : \frac{(j'+i-j)!}{i!}$, dont la fin est raturée et illisible. Donc les deux quotients (a) et (b) sont égaux, et comme (b) est un quotient de deux unités de $\mathbb{Z}_p$ ⌜de $\mathbb{Z}_p$⌝, on voit que $c_{j'-j, j+i}$ et $c_{j'-j, j}$ sont également divisibles, donc l'un est une unité ssi l'autre l'est. Quand il en est ainsi, les

30relations (1) avec $l = k' - k = j' - j$ donnent \[c_{j'-j, j+i}\, \xi_k = c_{j'-j, j}\, \xi_{k'} ,\] et comme les coeff. sont des unités de $\mathbb{Z}_p$, on en conclut que $\xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0$, cqfd.

Dém. du lemme 1. Considérons le développement $p$-adique de $i$ : \[i = i_0 + i_1 p + \cdots + i_r p^r \qquad 0 \leq i_\alpha \leq p - 1 \quad (0 \leq \alpha \leq r) ,\] où on prendra $r$ arbitrairement grand (sans même supposer que $i_r \neq 0$ !). Considérons de même le développement de $j = k - i$ : \[j = j_0 + j_1 p + \cdots + j_r p^r \qquad 0 \leq j_\alpha \leq p - 1 \quad (0 \leq \alpha \leq r) .\] L'hyp. $c_{i,j} \not\equiv 0 \ (p)$ signifie que $i_\alpha + j_\alpha \leq p - 1$ $\forall\, 0 \leq \alpha \leq r$. Soit […] \[\delta_\alpha = (p-1) - (i_\alpha + j_\alpha) , \quad 0 \leq \delta_\alpha \leq p-1 ; \qquad j'_\alpha \overset{\text{déf}}{=} j_\alpha + \delta_\alpha = (p-1) - i_\alpha\] ($0 \leq j'_\alpha \leq p-1$) et considérons $j' = \sum_0^r j'_\alpha p^\alpha$, donc $j' \geq j$ ($\geq N$) et $j' - j = \delta \overset{\text{déf}}{=} \sum_0^r \delta_\alpha p^\alpha$. On a alors (en plus de $c_{i,j} \not\equiv 0$) \[c_{i, j'} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{car } i_\alpha + j'_\alpha \ (= p - 1) \leq p - 1 \ \ \forall \alpha ,\] \[c_{j'-j, j} = c_{\delta, j} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{car } \delta_\alpha + j_\alpha = j'_\alpha \leq p - 1 ,\]

Présentation plus simple : soit $r \geq 0$ tel que $p^r > i + j$, soit $\delta = p^r - 1 - (i+j)$, d'où $i + j + \delta = p^r - 1$ $[= i + (j + \delta)]$. Alors on a $c_{i, j+\delta} \not\equiv 0 \ (p)$, $c_{i+j, \delta} \not\equiv 0 \ (p)$ (compte tenu de $c_{ij} \not\equiv 0 \ (p)$), donc $\xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0$, où $k' = j' + i = j + \delta + i = p^r - 1$, i.e. […] note marginale écrite le long du bord gauche, la feuille tournée ; deux mots biffés illisibles y sont omis.

31donc en vertu de (1.1), on a $\xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0$, où \[k' = i + j' = \sum_0^r (p-1) p^\alpha = p^{r+1} - 1 ;\] donc on trouve que \[\xi_k = 0 \iff \xi_{p^{r+1} - 1} = 0 .\] Pour un $\tilde k$ voisin, on trouve, si $\tilde k$ satisfait la même condition que $k$, savoir $c_{i, \tilde k - i} \not\equiv 0$, $\xi_{\tilde k} = 0 \iff \xi_{p^{r+1}-1} = 0$, où on choisit $r$ tel que $p^{r+1} \geq$ […] $j, \tilde j$ ($\geq i$). En comparant, on trouve $\xi_k = 0 \iff \xi_{\tilde k} = 0$, i.e. si un $\xi_k$ avec $k \geq N$, $c_{k, k-i} \not\equiv 0 \ (p)$, est nul, tous le sont, cqfd.

Fin de la démonstration. Il suffit de faut prouver $\xi_k = 0$ $\forall k \geq N$. On a \[c_{l,k}\, \xi_k = c_{l, k-i}\, \xi_{k+l} \qquad \forall l \geq 0 ,\] et il suffit de prouver qu'il existe $l \geq 0$ tel que $c_{l,k} \not\equiv 0 \ (p)$, et de plus $\xi_{k+l} = 0$, ce qui est le cas si en vertu de 1.1. si $c_{i, (k+l) - i} \not\equiv 0 \ (p)$. Posons $k - i = j$, i.e. $k = i + j$ ; on veut

32donc $c_{l, i+j}$ et $c_{l+j, i} \not\equiv 0 \ (p)$. C'est le contenu du

Lemme 2. Soient $i, j \geq 0$. Alors il existe $l \geq 0$ tel que […] $c_{i+j, l}$ et $c_{i, j+l}$ soient $\not\equiv 0 \ (p)$.

la démonstration qui suit est barrée de longs traits obliques jusqu'au haut de la p. 33 ; elle est transcrite en entier. Dém. Considérons les développements $p$-adiques de $i$ et $j$ : \[i = i_0 + i_1 p + \cdots + i_r p^r , \qquad j = j_0 + j_1 p + \cdots + j_r p^r ;\] alors le développement $p$-adique de […] ⌜$\sigma = i + j$⌝ \[\sigma = \sigma_0 + \sigma_1 p + \cdots + \sigma_{r+1} p^{r+1}\] est donné par le procédé usuel bien connu, i.e. on détermine par récurrence les couples d'entiers […] $\sigma_\alpha$ ($0 \leq \alpha \leq r+1$) et $\rho_\alpha$ ($-1 \leq \alpha \leq r$) — les $\rho_\alpha$ sont les « retenues », égales soit à 0 ou 1 — en posant \[(a) \quad \rho_{-1} = 0 ,\] puis par récurrence par ($0 \leq \alpha \leq r$) \[(b) \quad i_\alpha + j_\alpha + \rho_{\alpha - 1} = \sigma_\alpha + p\, \rho_\alpha , \qquad 0 \leq \sigma_\alpha, \rho_\alpha \leq p - 1\] (cela détermine $\sigma_\alpha$ et $\rho_\alpha$), enfin \[(c) \quad \sigma_{r+1} = \rho_r .\] Posons \[l_\alpha = (p-1) - \sigma_\alpha \quad (0 \leq \alpha \leq r+1) , \qquad l = \sum_0^{r+1} l_\alpha p^\alpha ,\] d'où \[\sigma + l = \sum_0^{r+1} (p-1) p^\alpha = p^{r+2} - 1 , \quad \text{i.e.} \quad l = p^{r+2} - 1 - \sigma .\] On a alors, grâce à (b), \[(a') \quad \rho_{-1} = 0 ,\] \[(b') \quad (i_\alpha + j_\alpha + l_\alpha) + \rho_{\alpha-1} = (p-1) + p\, \rho_\alpha \quad \text{si } 0 \leq \alpha \leq r\] (où $\sigma_\alpha$ et $\rho_\alpha$ sont $\geq 0$, $\leq p-1$), \[(b')^{\text{bis}} \quad i_{r+1} + j_{r+1} + l_{r+1} + \rho_r = (p-1) + p \cdot 0 \qquad (i_{r+1} = 0,\ j_{r+1} = 0) ;\] (c') […] ce qui montre que […] l'addition des

33le haut de la page, encore sous les traits obliques, achève la phrase (« entiers $i$, $j$, $l$, donnés par leurs développements $p$-adiques … ») ; le reste est illisible. Soit $r \geq 0$ tel que $p^r > i + j$, soit […] $l = p^r - 1 - (i+j)$. Je dis que […] \[i + j + l = p^r - 1 = \sum_{\alpha=0}^{r-1} (p-1) p^\alpha \qquad [\,(i+j) + l = i + (j+l)\,] .\] On sait alors, par le critère habituel, que l'on a $c_{i+j, l} \not\equiv 0 \ (p)$, et pour la même raison $c_{i, j+l} \not\equiv 0 \ (p)$, cqfd.

NB Le lemme commun qui a servi dans les lemmes 1 et 2 est le suivant : si $\mu, \nu \geq 0$ sont tels que $\mu + \nu = p^r - 1$ ($r \geq 0$ convenable), alors $c_{\mu, \nu} \not\equiv 0 \ (p)$. (plus précisément, $c_{\mu,\nu}$ […])

34calculs isolés sur un petit feuillet, sans texte. \[\boxed{\ v_p(n!) = \frac{n - \mathrm{chif}_p\, n}{p-1}\ } \qquad n = \sum_{\alpha \geq 0} n_\alpha p^\alpha , \quad \mathrm{chif}_p\, n = \sum n_\alpha\] \[n - \mathrm{chif}_p\, n = \sum n_\alpha (p^\alpha - 1) , \qquad \frac{n - \mathrm{chif}_p\, n}{p-1} = \sum_\alpha n_\alpha (1 + \cdots + p^{\alpha-1})\] \[\text{\struck{$v_p(n!)$}}\ \ v_p\Bigl(\frac{p^n}{n!}\Bigr) = n - \frac{n - \mathrm{chif}_p\, n}{p-1} = \frac{\mathrm{chif}_p(n) + n(p-2)}{p-1}\] \[v_p\bigl((n+1)!\bigr) =\] la ligne reste inachevée ; un trait la sépare de la suite. \[v_p\Bigl(\frac{p^{r+1}!}{(p^r!)^p\, p!}\Bigr) = \underbrace{v_p(p^{r+1}!)}_{\frac{p^{r+1}-1}{p-1}} - p\, \underbrace{v_p(p^r!)}_{\frac{p^r - 1}{p-1}} - \underbrace{v_p(p!)}_{1} = 0\]

Hom homogènes et troncatures

36\[\begin{aligned} \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N N^*) &= \operatorname{Hom}(M^*[-d], \varphi_N N^*) \\ &\simeq \operatorname{Hom}\bigl(\tau_N(M^*[-d]), N^*\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}\bigl((\tau_{N-d} M^*)[-d], N^*\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M^*, N^*) \end{aligned}\] \[N^* \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}_N \qquad \boxed{\ \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N N^*) \simeq \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M^*, N^*)\ }\]

Supposons \[M^* \in \mathcal{M}^*\ [\text{i.e. } M^j = 0 \text{ si } j < -d] ,\] \[N^* = \tau_N N \otimes_k S_k \simeq \tau_N N_{S_k} \quad (N \text{ un } k\text{-module}) , \qquad N \geq 0 .\] il emploie la même lettre $N$ pour l'entier de troncature et pour le $k$-module. Alors \[\operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N \tau_N N_{S_k}) = \operatorname{Hom}^d(M^*, \underbrace{\varphi_N \tau_N N_{S_k}}_{= \tau_N \varphi_N \tau_N N_{S_k}}) = \operatorname{Hom}^d(M^*, \tau_N \ldots\] la ligne s'interrompt sur un début de fraction. La moitié inférieure de la feuille, écrite tête-bêche et barrée de deux longs traits obliques, porte un autre calcul sans rapport apparent : une boucle et quelques points, avec des flèches à double pointe partant d'un sommet, étiquetées $x$ et $xg$ ; au-dessous « Diagramme de Cayley » et un encadré « $g$, $g'$, $gh$ » ; une seconde boucle et deux flèches horizontales vers la gauche.

38d'où \[\boxed{\ \operatorname{Hom}^d(M^*, N \otimes_k S_k) \simeq \operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_{N-d} M, \tau_N (N \otimes_k S_k)\bigr)\ } \qquad \text{si } \begin{cases} M^* \in \mathcal{M}_{-d} \\ N \geq 0 \end{cases}\] dans le premier encadré, un symbole raturé illisible précède $N \otimes_k S_k$. p. ex. \[\boxed{ \begin{aligned} \operatorname{Hom}^d(M \otimes_k S_k, N \otimes_k S_k) &\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M_{S_k}, \tau_N N_{S_k}) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(M, N) \qquad \text{si } d \geq 0,\ N \geq 0 \end{aligned}}\] sous $\operatorname{Hom}_k$, l'indice $k$ est écrit sur un symbole raturé.

Hom. homogènes de degré $d \in \mathbb{Z}$ \[\tau_\alpha M_{S_k} \to \tau_\beta N_{S_k} \qquad (\beta \geq \alpha) .\]

a) $d \geq 0$. Supposons d'abord $\boxed{d \geq \beta - \alpha}$, i.e. $\alpha + d \geq \beta$. On a $\operatorname{Hom}^i(M$ […] \[\begin{aligned} \operatorname{Hom}^d(\tau_\alpha M_{S_k}, \tau_\beta N_{S_k}) &\xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_\alpha M_{S_k}, \underbrace{\tau_{\alpha+d} \tau_\beta N_{S_k}}_{= \tau_{\alpha+d} N_{S_k}}\bigr) \\ &\xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d(M_{S_k}, N_{S_k}) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N) \end{aligned}\] (si $u : M \to N$, il lui correspond l'hom. \[m\, T^{(j)} \longmapsto u(m)\, T^{(d)} T^{(j)} = c_{d,j}\, u(m)\, T^{(d+j)} , \qquad j \geq \alpha \ ) .\]

b) Supposons $0 \leq d < \beta - \alpha$ ⌜i.e. $\beta \geq \beta - d > \alpha$⌝ ; on a alors \[\text{\struck{$\operatorname{Hom}^d(\tau_\alpha M_{S_k}, \tau_\beta N_{S_k}) \to \operatorname{Hom}^d(\tau_{\beta-d} M_{S_k}, \tau_\beta N_{S_k}) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N)$}}\] la flèche biffée porte en dessous l'abréviation « inj. ».

40\[\operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_\alpha M_{S_k}, \underbrace{\tau_\beta N_{S_k}}_{\cap\ \tau_{\alpha+d} N_{S_k}}\bigr) \hookrightarrow \operatorname{Hom}^d(\tau_\alpha M_{S_k}, \tau_{\alpha+d} N_{S_k}) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N)\] (sous-mod. des hom. de degré $d$ de $\tau_\alpha M_{S_k}$ dans $\tau_{\alpha+d} N_{S_k}$ qui envoient $\tau_\alpha M_{S_k}$ dans $\tau_\beta N_{S_k} \subset \tau_{\alpha+d} N_{S_k}$).

Il faut donc prendre les $u : M \to N$ tels que l'hom. correspondant $\tau_\alpha M_{S_k} \to \tau_{\alpha+d} N_{S_k}$ \[\bigl( m\, T^{(j)} \longmapsto c_{d,j}\, u(m)\, T^{(d+j)} \bigr)\] vérifie que […] $M_S$ envoie […] dans $\tau_\beta N_{S_k}$, i.e. tels que \[\begin{cases} c_{d, \alpha}\, u = 0 \\ c_{d, \alpha+1}\, u = 0 \\ \cdots \\ c_{d, \beta-d}\, u = 0 \end{cases}\] (ce qui s'écrit $c_{d,j}\, u = 0$ si $\alpha \leq j < \beta - d$ […]).

c) $d < 0$. Notons que \[N \otimes S_k = \varphi_{0 \beta} \tau_\beta N_{S_k} = \tau_0 \varphi_{\beta} \tau_\beta N_{S_k} \subset \varphi_\beta N_{S_k} ,\] donc ⌜si $M^* \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^*$,⌝ \[\operatorname{Hom}^d(M^*, N_{S_k}) \subset \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_\beta \tau_\beta N_{S_k}) = \operatorname{Hom}(M^*[-d], \varphi_\beta N_{S_k}) = \operatorname{Hom}(\tau_\beta M^*[-d], N_{S_k}\] le calcul s'arrête là, au bas de la page ; la suite, si elle existe, est au-delà du lot. La dernière borne du système, $c_{d,\beta-d}$, et la condition $j < \beta - d$ sont transcrites telles qu'écrites, sans les accorder.

Un lemme arithmétique sur les coefficients binomiaux

Les foncteurs « ombres » \(\omega_N\)

Le théorème sur \(M \otimes_k S\)

Hom homogènes et troncatures