Fonds Grothendieck, cote n° 136, pages 21–40

Un lemme arithmétique sur les coefficients binomiaux

la page continue un énoncé commencé avant le lot : les hypothèses du lemme, et la définition de e, sont sur la page précédente.

~~Lemme 3~~ Alors on a x_N = x_{N+1}.

Dém. Posons y_\varepsilon = x_{N+p^\varepsilon} - x_N \qquad 0 \leq \varepsilon \leq e , d'où y_\varepsilon - y_0 = x_{N+p^\varepsilon} - x_{N+1}. L'hypothèse s'écrit donc, en distinguant le cas i = N, i = N+1 : (S) = S\bigl(N, e, (y_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e}\bigr) \quad \begin{cases} c_{N, p^\varepsilon}\, y_\varepsilon = 0 & 0 \leq \varepsilon \leq e \\ c_{N+1, p^\varepsilon - 1}\, (y_\varepsilon - y_0) = 0 & 0 \leq \varepsilon \leq e \end{cases} (le cas \varepsilon = 0 étant trivial). La conclusion s'écrit y_0 = 0. En fait, nous allons déduire cette conclusion du système plus faible (équivalent si E est annulé par p, i.e. est un \mathbb{F}_p-vectoriel) (\bar S) = \bar S\bigl(N, e, (y_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e}\bigr) \quad \begin{cases} y_\varepsilon = 0 \ \text{si}\ c_{N, p^\varepsilon} \not\equiv 0 \ (p) & 0 \leq \varepsilon \leq e \\ y_\varepsilon - y_0 = 0 \ \text{si}\ c_{N+1, p^\varepsilon - 1} \not\equiv 0 \ (p) & 1 \leq \varepsilon \leq e . \end{cases} Pour prouver que ce système implique que y_0 = 0, on procède par récurrence sur N. Comme la première égalité pour \varepsilon = 0 donne y_0 = 0 si N+1 \not\equiv 0 \ (p), la conclusion est triviale pour N = 0. On suppose N > 0 et prouvé pour les N' < N. ~~La conclusion est triviale si N+1 \not\equiv 0 \ (p).~~ Donc OPS N + 1 \equiv 0 \ (p), soit N+1 = (N'+1)p, où N' = \frac{N+1}{p} - 1 < N (car \frac{N+1}{p} < N+1). Alors le cor. précédent montre que le syst. \bar S = \bar S(N, e, (y_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e}) (compte tenu de N+1 \equiv 0 \ (p), qui nous permet d'oublier la première équation pour \varepsilon = 0) équivaut au système (où e' = e - 1, y'_\varepsilon = y_{\varepsilon+1} pour 0 \leq \varepsilon \leq e' = e - 1) : \text{\struck{$\bar S'$}} \quad \begin{cases} y'_\varepsilon = 0 \ \text{si}\ c_{N', p^\varepsilon} \not\equiv 0 \ (p) & 0 \leq \varepsilon \leq e' \\ y'_\varepsilon - y_0 = 0 \ \text{si}\ c_{N'+1, p^\varepsilon - 1} \not\equiv 0 \ (p) & 0 \leq \varepsilon \leq e' \end{cases} Pour \varepsilon = 0 cette dernière équation donne y'_0 = y_0, donc on peut se borner à 1 \leq \varepsilon \leq e' (et se rappeler y'_0 = y_0).

Mais donc ce système n'est autre que \bar S' = \bar S'(N', e', (y'_\varepsilon)_{0 \leq \varepsilon \leq e'}). Notons que p^e \geq N+1 = (N'+1)p implique que p^{e-1} \geq N'+1, i.e. p^{e'} \geq N' + 1. Donc on a les mêmes conditions que précédemment, avec cette fois-ci N' < N. Par hyp. de récurrence on a donc y'_0 = 0, donc y_0 = 0, cqfd. Ouf !

Théorème 1. Soient E un groupe abélien, N \in \mathbb{N}, (x_i)_{i \in \mathbb{N}} une famille d'éléments de E, telle que l'on ait \binom{j}{i} (x_j - x_i) = 0 \qquad \text{pour } j > i \geq N . Alors on a x_i = x_N \forall i \geq N.

Dém. Quitte à localiser en tous les nbs premiers p, on peut supposer E un module sur \mathbb{Z}_p. Il suffit de prouver x_{N+1} = x_N (car par récurrence on aura x_{N+2} = x_{N+1} etc.). Choisissons e \in \mathbb{N} tel que p^e \geq N+1 ; on vérifie que les x_i pour i de la forme N ou N + p^\varepsilon, 0 \leq \varepsilon \leq e, . Le lemme 2 nous montre que x_{N+1} = x_N, cqfd.

Les foncteurs « ombres » \omega_N

Cor. 1. Soient k un anneau commutatif, S = k\{T\} l'alg. des polynômes à puiss. div., ~~M un k-module~~ S^{+(N)} l'idéal à p. div. ~~engendré par les T^{(i)}, i \geq N~~ défini par S^{+(N)} = \sum_{i \geq N} k\, T^{(i)}, et considérons, pour un k-module M, le S-module gradué \omega_N(M) = M \otimes_k S^{+(N)} = \sum_{i \geq N} M\, T^{(i)} . il écrit M \otimes_S S^{+(N)} ; le produit tensoriel est sur k. Alors :

a) Le foncteur \omega_N de la catégorie des k-modules vers celle des S-modules (gradués) est pleinement fidèle.

b) \forall M, ~~l'application~~ l'application M \xrightarrow{\ \varphi\ } \prod_{i \geq N} \omega_N(M)_i = \prod_{i \geq N} M\, T^{(i)} donnée par \varphi(x) = (x\, T^{(i)})_{i \geq N} induit une bijection de M avec le sous-ens. de \prod_{i \geq N} \omega_N(M)_i formé des systèmes (x_i)_{i \geq N} satisfaisant aux conditions (*) \qquad T^{(j)} x_i = c_{ij}\, x_{i+j} \qquad \forall i \geq N,\ j \geq 1 .

Dém. a) b) Si x_i = x\, T^{(i)}, on a T^{(j)} x_i = x\, T^{(i)} T^{(j)} = c_{ij}\, x\, T^{(i+j)} = c_{ij}\, x_{i+j}, donc \varphi(x) se trouve dans le sous-ens. indiqué. L'injectivité de \varphi est claire. Bijectivité ? Posons x_i = \xi_i\, T^{(i)}, \xi_i \in M. La condition (*) s'écrit \xi_i\, T^{(i)} T^{(j)} = c_{ij}\, \xi_{i+j}\, T^{(i+j)} , \qquad \xi_i\, T^{(i)} T^{(j)} = c_{ij}\, \xi_i\, T^{(i+j)} , i.e. c_{ij} (\xi_{i+j} - \xi_i) = 0 pour i \geq N, j \geq 1, et il résulte du th. que les \xi_i sont tous égaux à un même \xi \in M, cqfd.

a) Soient M, M' deux k-modules. Alors \operatorname{Hom}(\omega_N(M), \omega_N(M')) s'identifie à l'ens. des systèmes de k-hom. (i \geq N) u_i : M \to M' \qquad \bigl( M \simeq M\, T^{(i)} = \omega_N(M)_i ,\ \ M' \simeq M'\, T^{(i)} = \omega_N(M')_i \bigr)

tels que \forall j \geq 1, on ait commutativité dans

\begin{tikzcd} M\, T^{(i)} \arrow[r, "{\cdot T^{(j)}}"] \arrow[d, "{u_i \otimes T^{(i)}}"'] & M\, T^{(i+j)} \arrow[d, "{u_{i+j} \otimes T^{(i+j)}}"] \\ M'\, T^{(i)} \arrow[r, "{\cdot T^{(j)}}"'] & M'\, T^{(i+j)} \end{tikzcd}

i.e. tels qu'on ait c_{ij}(u_{i+j} - u_i) = 0 si i \geq N, j \geq 1, et le th. nous permet de conclure que les u_i sont égaux, d'où la conclusion \operatorname{Hom}_k(M, M') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{S\text{-mod.\ gr.}}\bigl(\omega_N(M), \omega_N(M')\bigr) .

Rmq. 1. Le foncteur \omega_N admet un adjoint à droite \pi_N \operatorname{Hom}_{S\text{-mod.\ gr.}}\bigl(\omega_N(M), \mathcal{M}\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_k\bigl(M, \pi_N(\mathcal{M})\bigr) en posant \pi_N(\mathcal{M}) \subset \prod_{i \geq N} \mathcal{M}_i ,\qquad \pi_N(\mathcal{M}) = \bigl\{ (x_i)_{i \geq N} \bigm| x_i\, T^{(j)} = c_{ij}\, x_{i+j} \ \ \forall i \geq N,\ j \geq 1 \bigr\} . En considération de ceci, ~~il existe~~ les parties a) et b) du corollaire 1 sont équivalentes, b) signifiant que l'hom. can. d'adjonction M \to \pi_N(\omega_N(M)) est un isomorphisme.

Rmq. 2. Considérons \omega_0(M) = M \otimes_k S = M \otimes_k k\{T\} ; alors \omega_N(M) = S^{+(N)} \cdot \omega_0(M). Si on veut aussi écrire, si N \geq N' \geq 0, \omega_N(M) \simeq \sum_{i \geq N} \omega_{N'}(M)_i \overset{\text{déf}}{=} \tau_{\geq N}\bigl(\omega_{N'}(M)\bigr) \qquad \text{(« troncation »)} . Donc on

voit donc que les foncteurs « ombres » \omega_N sont d'autant plus grossiers que N est plus grand. Néanmoins ils sont tous pleinement fidèles (NB les foncteurs \tau_N ne sont pas pl. fidèles bien sûr, pas même sur la sous-catégorie des « ombres virtuelles d'ordre N-1 », i.e. des modules gradués dont les composantes sont nulles en degrés \leq N-1.

Soit \mathrm{Omb}(k) la catégorie des « ombres virtuelles » de k-modules, i.e. des S = k\{T\}-modules gradués [à degrés \geq 0 ?]. Soit, \forall N \geq 0, \mathrm{Omb}_{N\text{-tr}}(k) la sous-catégorie pleine des modules N-négligeables, i.e. tels que \mathcal{M}_i = 0 si i \geq N. le signe entre i et N est surchargé ; la lecture \geq est celle qui s'accorde avec la phrase suivante. C'est une sous-catégorie épaisse la s.-cat. pleine de \mathrm{Omb} formée, la catégorie quotient ~~est~~ (des « N-ombres virtuelles ») est can. équivalente à celle des S-modules gradués tels que \mathcal{M}_i = 0 si i < N. Le foncteur quotient s'identifie donc au foncteur « troncature » \tau_N. On vérifie que \tau_N(\mathcal{M}) \hookrightarrow \mathcal{M} (inclusion fonctorielle) correspondant au fait que ~~le foncteur~~ le quotient admet un adjoint à droite (cf. fid. comme de part) \operatorname{Hom}_{\mathrm{Omb}}\bigl(\mathcal{N}, \tau_N(\mathcal{M})\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_{N\text{-}\mathrm{Omb}\ \text{ou}\ \mathrm{Omb}}\bigl(\tau_N(\mathcal{N}), \tau_N(\mathcal{M})\bigr) .

Appelons « négligeables » dans \mathrm{Omb} les ombres \mathcal{M} (qui sont \varinjlim filtrantes d'ombres N-négligeables (pour N variable)), i.e. telles que (\forall i \in \mathbb{Z}) \forall x \in \mathcal{M}_i, \exists N \in \mathbb{N} tel que T^{(\alpha)} \cdot x = 0 pour \alpha \geq N, i.e. S^{+(N)} \cdot x = 0. C'est encore une sous-catégorie épaisse, et la localisée est la phrase s'arrête là ; la page suivante reprend sur une autre feuille.

Le théorème sur M \otimes_k S

S = k\{T\} (polynômes à p.d.), anneau gradué à degrés \geq 0 ; M un k-module, N \geq 0, d'où M \otimes_k S et par suite M \otimes_k S \to \varphi_N \tau_N (M \otimes_k S) .

Thm. L'hom. précédent est un iso en degrés \geq 0, i.e. on a (*) \qquad M \otimes_k S \xrightarrow{\ \sim\ } \varphi^{\circ}_N \tau_N (M \otimes_k S) \qquad (\forall N \geq 0) . En somme équivalent : M \otimes_k S \in \operatorname{Im} de \varphi^{\circ}_N, M \otimes_k S \in \operatorname{Im} de \varphi^{\circ}_{\infty} ; on énonce .

NB En degrés \geq N, c'est clair que c'est un isom., il suffit donc de regarder les degrés 0 \leq i < N. Le cas i = 0 a été traité déjà par une démonstration explicite (on la retrouvera dans la dém. qui suivra).

Reformulation du Thm : si 0 \leq i \leq N, on a (M \otimes_k S)_i \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^i\bigl(\tau_{N-i}(S), M \otimes_k S\bigr) , \qquad (M \otimes S)_i \simeq M ,\quad \xi\, T^{(i)} \leftarrow\!\shortmid\ \xi (seul le cas 0 \leq i < N étant à établir).

Cor. \operatorname{Ext}^n\bigl(\tau_{N-i}(S)[-i], M \otimes_k S\bigr) = 0 si n > 0, \forall i \geq 0 (seul le cas i < N est non trivial). lecture du corollaire incertaine : l'indice et le décalage sont serrés.

Ce théorème équivaut à l'énoncé suivant, où k ne figure plus :

Th. Soient 0 \leq i \leq N deux entiers, M un \mathbb{Z}-module, (\xi_k)_{k \geq N} une famille d'éléments de M, telle que l'on ait (1) \qquad c_{l,k}\, \xi_k = c_{l, k-i}\, \xi_{k+l} \qquad \text{pour } k \geq N,\ l \geq 0 .

Alors il existe un unique \xi \in M tel que l'on ait (2) \qquad \xi_k = c_{i, k-i}\, \xi \quad \Bigl(= \binom{k}{i} \xi\Bigr) \qquad \text{pour tout } k \geq N . (NB c_{h,l} désigne le coefficient binomial \frac{(h+l)!}{h!\,l!}.)

Dém. (1) Réduction au cas où \exists p nb premier, tel que n \cdot \mathrm{id}_M bijectif \forall n \in \mathbb{Z} tel que (n, p) = 1, i.e. M un \mathbb{Z}_p-module (\mathbb{Z}_p \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{Z}_{(p\mathbb{Z})}). Supposons qu'on sache prouver dans ce cas (il existe alors k = k(p) tel que c_{k, k-i} \not\equiv 0 \ (p), i.e. c_{k, k-i} \in \mathbb{Z}_p^*). Prouvons le th. en général. Les c_{k, k-i} (k \geq N) ne sont pas tous divisibles par un même nb premier, donc ils sont premiers entre eux, donc \exists\, k_1, \ldots, k_r \geq N et des entiers m_1, \ldots, m_r \in \mathbb{Z} tels que \sum_{\alpha=1}^{r} m_\alpha\, c_{k_\alpha, k_\alpha - i} = 1 . Donc la relation (2) implique, en multipliant par les m_\alpha et sommant, \xi = \sum_{1}^{r} m_\alpha\, \xi_{k_\alpha} , d'où l'unicité de \xi. Prouvons qu'avec ce choix de \xi, on a bien (2), i.e. \xi_k = c_{k, k-i} \sum_{1}^{r} m_\alpha\, \xi_{k_\alpha} . Pour prouver que cette relation est vraie, il suffit de prouver qu'elle est vraie dans chaque M_p = M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_p (p \in P). Mais c'est une conséquence immédiate du fait que le th. est vrai pour M_p. ici et à la page précédente il écrit tantôt c_{k,k-i}, tantôt c_{i,k-i} ; ces deux coefficients sont égaux, transcrits tels qu'écrits.

(2) Cas où M est un \mathbb{Z}_p-module. Notons d'abord qu'il existe des k arbitrairement grands tels que c_{i, k-i} \in \mathbb{Z}_p^*, i.e. c_{i, k-i} \not\equiv 0 \ (p). Posons k - i = j ; il suffit de prendre j = p^\varepsilon, avec \varepsilon tel que p^\varepsilon > i, donc k = i + p^\varepsilon. Cela montre l'unicité de \xi, car si k_0 est tel que c_{i, k_0 - i} \in \mathbb{Z}_p^*, on aura \xi = c_{i, k_0 - i}^{-1}\, \xi_{k_0}.

Considérons donc le système des \xi'_k = c_{i, k-i}\, \xi ; on voit de suite que ~~analogue~~ (\xi'_k)_{k \geq N} satisfait les conditions (1) (où on substitue \xi'_k à \xi_k), et \xi'_{k_0} = \xi_{k_0} ; donc, posant \eta_k = \xi'_k - \xi_k, les (\eta_k)_{k \geq N} satisfont encore (1), et de plus \eta_{k_0} = 0. Il suffit de prouver tous \eta_k = 0 ~~donc~~ \forall k \geq N. Donc on est ramené au

Corollaire. Si (\xi_k)_{k \geq N} ~~est~~ satisfait (1), et si de plus il existe un k_0 \geq N tel que (1') \quad \xi_{k_0} = 0 , \qquad (3) \quad c_{i, k_0 - i} \not\equiv 0 \ (p) , alors \xi_k = 0 \forall k \geq N.

Dém. En deux étapes. Lemme 1. Si k \geq N tel que \xi_k = 0 si c_{i, k-i} \not\equiv 0 \ (p). l'énoncé du lemme 1 est écrit en abrégé entre les lignes ; c'est la conclusion énoncée à la fin de la p. 31.

Lemme 1.1. Soient ~~k_1, k~~ k' \geq k \geq N tels que, posant j = k - i, j' = k' - i, on ait (4) \qquad c_{i,j} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{et} \quad c_{i,j'} \not\equiv 0 \ (p) . Alors on a l'équivalence (5) \qquad c_{j'-j, j} \not\equiv 0 \ (p) \iff c_{j'-j, j+i} \not\equiv 0 \ (p) , et si les conditions équivalentes (5) sont satisfaites, on a l'équivalence (6) \qquad \xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0 .

Dém. de 1.1. Calculons dans \mathbb{Q} (a) \quad \frac{c_{j'-j, j+i}}{c_{j'-j, j}} = \frac{(j'+i)!}{(j'-j)!\,(j+i)!} : \frac{j'!}{(j'-j)!\, j!} , \qquad (b) \quad \frac{c_{i, j'}}{c_{i, j}} = \frac{(i+j')!}{i!\, j'!} : \frac{(i+j)!}{i!\, j!} . suivent une ligne (b') biffée, un encadré biffé (« Or dans \mathbb{Z}_p »), et une ligne (c) encadrée, \frac{j'!}{j!} : \frac{(j'+i-j)!}{i!}, dont la fin est raturée et illisible. Donc les deux quotients (a) et (b) sont égaux, et comme (b) est un quotient de deux unités ~~de \mathbb{Z}_p~~ de \mathbb{Z}_p, on voit que c_{j'-j, j+i} et c_{j'-j, j} sont également divisibles, donc l'un est une unité ssi l'autre l'est. Quand il en est ainsi, les

relations (1) avec l = k' - k = j' - j donnent c_{j'-j, j+i}\, \xi_k = c_{j'-j, j}\, \xi_{k'} , et comme les coeff. sont des unités de \mathbb{Z}_p, on en conclut que \xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0, cqfd.

Dém. du lemme 1. Considérons le développement p-adique de i : i = i_0 + i_1 p + \cdots + i_r p^r \qquad 0 \leq i_\alpha \leq p - 1 \quad (0 \leq \alpha \leq r) , où on prendra r arbitrairement grand (sans même supposer que i_r \neq 0 !). Considérons de même le développement de j = k - i : j = j_0 + j_1 p + \cdots + j_r p^r \qquad 0 \leq j_\alpha \leq p - 1 \quad (0 \leq \alpha \leq r) . L'hyp. c_{i,j} \not\equiv 0 \ (p) signifie que i_\alpha + j_\alpha \leq p - 1 \forall\, 0 \leq \alpha \leq r. Soit \delta_\alpha = (p-1) - (i_\alpha + j_\alpha) , \quad 0 \leq \delta_\alpha \leq p-1 ; \qquad j'_\alpha \overset{\text{déf}}{=} j_\alpha + \delta_\alpha = (p-1) - i_\alpha (0 \leq j'_\alpha \leq p-1) et considérons j' = \sum_0^r j'_\alpha p^\alpha, donc j' \geq j (\geq N) et j' - j = \delta \overset{\text{déf}}{=} \sum_0^r \delta_\alpha p^\alpha. On a alors ~~(en plus de c_{i,j} \not\equiv 0)~~ c_{i, j'} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{car } i_\alpha + j'_\alpha \ (= p - 1) \leq p - 1 \ \ \forall \alpha , c_{j'-j, j} = c_{\delta, j} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{car } \delta_\alpha + j_\alpha = j'_\alpha \leq p - 1 ,

Présentation plus simple : soit r \geq 0 tel que p^r > i + j, soit \delta = p^r - 1 - (i+j), d'où i + j + \delta = p^r - 1 [= i + (j + \delta)]. Alors on a c_{i, j+\delta} \not\equiv 0 \ (p), c_{i+j, \delta} \not\equiv 0 \ (p) (compte tenu de c_{ij} \not\equiv 0 \ (p)), donc \xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0, où k' = j' + i = j + \delta + i = p^r - 1, i.e. note marginale écrite le long du bord gauche, la feuille tournée ; deux mots biffés illisibles y sont omis.

donc en vertu de (1.1), on a \xi_k = 0 \iff \xi_{k'} = 0, où k' = i + j' = \sum_0^r (p-1) p^\alpha = p^{r+1} - 1 ; donc on trouve que \xi_k = 0 \iff \xi_{p^{r+1} - 1} = 0 . Pour un \tilde k voisin, on trouve, si \tilde k satisfait la même condition que k, savoir c_{i, \tilde k - i} \not\equiv 0, \xi_{\tilde k} = 0 \iff \xi_{p^{r+1}-1} = 0, où on choisit r tel que p^{r+1} \geq j, \tilde j (\geq i). En comparant, on trouve \xi_k = 0 \iff \xi_{\tilde k} = 0, i.e. si un \xi_k avec k \geq N, c_{k, k-i} \not\equiv 0 \ (p), est nul, tous le sont, cqfd.

Fin de la démonstration. Il ~~suffit de~~ faut prouver \xi_k = 0 \forall k \geq N. On a c_{l,k}\, \xi_k = c_{l, k-i}\, \xi_{k+l} \qquad \forall l \geq 0 , et il suffit de prouver qu'il existe l \geq 0 tel que c_{l,k} \not\equiv 0 \ (p), et de plus \xi_{k+l} = 0, ce qui est le cas si en vertu de 1.1. si c_{i, (k+l) - i} \not\equiv 0 \ (p). Posons k - i = j, i.e. k = i + j ; on veut

donc c_{l, i+j} et c_{l+j, i} \not\equiv 0 \ (p). C'est le contenu du

Lemme 2. Soient i, j \geq 0. Alors il existe l \geq 0 tel que c_{i+j, l} et c_{i, j+l} soient \not\equiv 0 \ (p).

la démonstration qui suit est barrée de longs traits obliques jusqu'au haut de la p. 33 ; elle est transcrite en entier. ~~Dém.~~ Considérons les développements p-adiques de i et j : i = i_0 + i_1 p + \cdots + i_r p^r , \qquad j = j_0 + j_1 p + \cdots + j_r p^r ; alors le développement p-adique de \sigma = i + j \sigma = \sigma_0 + \sigma_1 p + \cdots + \sigma_{r+1} p^{r+1} est donné par le procédé usuel bien connu, i.e. on détermine par récurrence les couples d'entiers \sigma_\alpha (0 \leq \alpha \leq r+1) et \rho_\alpha (-1 \leq \alpha \leq r) — les \rho_\alpha sont les « retenues », égales soit à 0 ou 1 — en posant (a) \quad \rho_{-1} = 0 , puis par récurrence par (0 \leq \alpha \leq r) (b) \quad i_\alpha + j_\alpha + \rho_{\alpha - 1} = \sigma_\alpha + p\, \rho_\alpha , \qquad 0 \leq \sigma_\alpha, \rho_\alpha \leq p - 1 (cela détermine \sigma_\alpha et \rho_\alpha), enfin (c) \quad \sigma_{r+1} = \rho_r . Posons l_\alpha = (p-1) - \sigma_\alpha \quad (0 \leq \alpha \leq r+1) , \qquad l = \sum_0^{r+1} l_\alpha p^\alpha , d'où \sigma + l = \sum_0^{r+1} (p-1) p^\alpha = p^{r+2} - 1 , \quad \text{i.e.} \quad l = p^{r+2} - 1 - \sigma . On a alors, grâce à (b), (a') \quad \rho_{-1} = 0 , (b') \quad (i_\alpha + j_\alpha + l_\alpha) + \rho_{\alpha-1} = (p-1) + p\, \rho_\alpha \quad \text{si } 0 \leq \alpha \leq r (où \sigma_\alpha et \rho_\alpha sont \geq 0, \leq p-1), (b')^{\text{bis}} \quad i_{r+1} + j_{r+1} + l_{r+1} + \rho_r = (p-1) + p \cdot 0 \qquad (i_{r+1} = 0,\ j_{r+1} = 0) ; ~~(c')~~ ce qui montre que l'addition des

le haut de la page, encore sous les traits obliques, achève la phrase (« entiers i, j, l, donnés par leurs développements p-adiques … ») ; le reste est illisible. Soit r \geq 0 tel que p^r > i + j, soit l = p^r - 1 - (i+j). ~~Je dis que~~ i + j + l = p^r - 1 = \sum_{\alpha=0}^{r-1} (p-1) p^\alpha \qquad [\,(i+j) + l = i + (j+l)\,] . On sait alors, par le critère habituel, que l'on a c_{i+j, l} \not\equiv 0 \ (p), et pour la même raison c_{i, j+l} \not\equiv 0 \ (p), cqfd.

NB Le lemme commun qui a servi dans les lemmes 1 et 2 est le suivant : si \mu, \nu \geq 0 sont tels que \mu + \nu = p^r - 1 (r \geq 0 convenable), alors c_{\mu, \nu} \not\equiv 0 \ (p). ~~(plus précisément, c_{\mu,\nu} )~~

calculs isolés sur un petit feuillet, sans texte. \boxed{\ v_p(n!) = \frac{n - \mathrm{chif}_p\, n}{p-1}\ } \qquad n = \sum_{\alpha \geq 0} n_\alpha p^\alpha , \quad \mathrm{chif}_p\, n = \sum n_\alpha n - \mathrm{chif}_p\, n = \sum n_\alpha (p^\alpha - 1) , \qquad \frac{n - \mathrm{chif}_p\, n}{p-1} = \sum_\alpha n_\alpha (1 + \cdots + p^{\alpha-1}) \text{\struck{$v_p(n!)$}}\ \ v_p\Bigl(\frac{p^n}{n!}\Bigr) = n - \frac{n - \mathrm{chif}_p\, n}{p-1} = \frac{\mathrm{chif}_p(n) + n(p-2)}{p-1} v_p\bigl((n+1)!\bigr) = la ligne reste inachevée ; un trait la sépare de la suite. v_p\Bigl(\frac{p^{r+1}!}{(p^r!)^p\, p!}\Bigr) = \underbrace{v_p(p^{r+1}!)}_{\frac{p^{r+1}-1}{p-1}} - p\, \underbrace{v_p(p^r!)}_{\frac{p^r - 1}{p-1}} - \underbrace{v_p(p!)}_{1} = 0

Hom homogènes et troncatures

\begin{aligned} \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N N^*) &= \operatorname{Hom}(M^*[-d], \varphi_N N^*) \\ &\simeq \operatorname{Hom}\bigl(\tau_N(M^*[-d]), N^*\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}\bigl((\tau_{N-d} M^*)[-d], N^*\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M^*, N^*) \end{aligned} N^* \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}_N \qquad \boxed{\ \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N N^*) \simeq \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M^*, N^*)\ }

Supposons M^* \in \mathcal{M}^*\ [\text{i.e. } M^j = 0 \text{ si } j < -d] , N^* = \tau_N N \otimes_k S_k \simeq \tau_N N_{S_k} \quad (N \text{ un } k\text{-module}) , \qquad N \geq 0 . il emploie la même lettre N pour l'entier de troncature et pour le k-module. Alors \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_N \tau_N N_{S_k}) = \operatorname{Hom}^d(M^*, \underbrace{\varphi_N \tau_N N_{S_k}}_{= \tau_N \varphi_N \tau_N N_{S_k}}) = \operatorname{Hom}^d(M^*, \tau_N \ldots la ligne s'interrompt sur un début de fraction. La moitié inférieure de la feuille, écrite tête-bêche et barrée de deux longs traits obliques, porte un autre calcul sans rapport apparent : une boucle et quelques points, avec des flèches à double pointe partant d'un sommet, étiquetées x et xg ; au-dessous « Diagramme de Cayley » et un encadré « g, g', gh » ; une seconde boucle et deux flèches horizontales vers la gauche.

d'où \boxed{\ \operatorname{Hom}^d(M^*, N \otimes_k S_k) \simeq \operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_{N-d} M, \tau_N (N \otimes_k S_k)\bigr)\ } \qquad \text{si } \begin{cases} M^* \in \mathcal{M}_{-d} \\ N \geq 0 \end{cases} dans le premier encadré, un symbole raturé illisible précède N \otimes_k S_k. p. ex. \boxed{ \begin{aligned} \operatorname{Hom}^d(M \otimes_k S_k, N \otimes_k S_k) &\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d(\tau_{N-d} M_{S_k}, \tau_N N_{S_k}) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_k(M, N) \qquad \text{si } d \geq 0,\ N \geq 0 \end{aligned}} sous \operatorname{Hom}_k, l'indice k est écrit sur un symbole raturé.

Hom. homogènes de degré d \in \mathbb{Z} \tau_\alpha M_{S_k} \to \tau_\beta N_{S_k} \qquad (\beta \geq \alpha) .

a) ~~d \geq 0~~. Supposons d'abord \boxed{d \geq \beta - \alpha}, i.e. \alpha + d \geq \beta. On a ~~\operatorname{Hom}^i(M~~ \begin{aligned} \operatorname{Hom}^d(\tau_\alpha M_{S_k}, \tau_\beta N_{S_k}) &\xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_\alpha M_{S_k}, \underbrace{\tau_{\alpha+d} \tau_\beta N_{S_k}}_{= \tau_{\alpha+d} N_{S_k}}\bigr) \\ &\xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}^d(M_{S_k}, N_{S_k}) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N) \end{aligned} (si u : M \to N, il lui correspond l'hom. m\, T^{(j)} \longmapsto u(m)\, T^{(d)} T^{(j)} = c_{d,j}\, u(m)\, T^{(d+j)} , \qquad j \geq \alpha \ ) .

b) Supposons 0 \leq d < \beta - \alpha i.e. \beta \geq \beta - d > \alpha ; on a alors \text{\struck{$\operatorname{Hom}^d(\tau_\alpha M_{S_k}, \tau_\beta N_{S_k}) \to \operatorname{Hom}^d(\tau_{\beta-d} M_{S_k}, \tau_\beta N_{S_k}) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N)$}} la flèche biffée porte en dessous l'abréviation « inj. ».

\operatorname{Hom}^d\bigl(\tau_\alpha M_{S_k}, \underbrace{\tau_\beta N_{S_k}}_{\cap\ \tau_{\alpha+d} N_{S_k}}\bigr) \hookrightarrow \operatorname{Hom}^d(\tau_\alpha M_{S_k}, \tau_{\alpha+d} N_{S_k}) \simeq \operatorname{Hom}_k(M, N) (sous-mod. des hom. de degré d de \tau_\alpha M_{S_k} dans \tau_{\alpha+d} N_{S_k} qui envoient \tau_\alpha M_{S_k} dans \tau_\beta N_{S_k} \subset \tau_{\alpha+d} N_{S_k}).

Il faut donc prendre les u : M \to N tels que l'hom. correspondant \tau_\alpha M_{S_k} \to \tau_{\alpha+d} N_{S_k} \bigl( m\, T^{(j)} \longmapsto c_{d,j}\, u(m)\, T^{(d+j)} \bigr) ~~vérifie que M_S~~ envoie dans \tau_\beta N_{S_k}, i.e. tels que \begin{cases} c_{d, \alpha}\, u = 0 \\ c_{d, \alpha+1}\, u = 0 \\ \cdots \\ c_{d, \beta-d}\, u = 0 \end{cases} (ce qui s'écrit c_{d,j}\, u = 0 si \alpha \leq j < \beta - d ).

c) d < 0. Notons que N \otimes S_k = \varphi_{0 \beta} \tau_\beta N_{S_k} = \tau_0 \varphi_{\beta} \tau_\beta N_{S_k} \subset \varphi_\beta N_{S_k} , donc si M^* \in \operatorname{Ob} \mathcal{M}^*, \operatorname{Hom}^d(M^*, N_{S_k}) \subset \operatorname{Hom}^d(M^*, \varphi_\beta \tau_\beta N_{S_k}) = \operatorname{Hom}(M^*[-d], \varphi_\beta N_{S_k}) = \operatorname{Hom}(\tau_\beta M^*[-d], N_{S_k} le calcul s'arrête là, au bas de la page ; la suite, si elle existe, est au-delà du lot. La dernière borne du système, c_{d,\beta-d}, et la condition j < \beta - d sont transcrites telles qu'écrites, sans les accorder.