Cote n° 136, pages 1–20

Cote n° 136 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l’IHÉS] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1975-1976]
Édition de démonstration

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Complexe DR à p.d. et ombres

titre inscrit de sa main sur la couverture orange (p. 1) ; la série qui suit est numérotée par l'auteur de (1) à (16), pp. 2–17.

2En tête de la page, numérotée (1) par l'auteur. au crayon, encadré dans le coin supérieur gauche : Plan conf. IHÉS en 1976 au crayon, en haut à droite : géom. diff. / — anal. / — algébr. / […] arithm. / top. alg. $\{$PL, ½simpl.

Complexe DR à p.d. et ombres des modules.

1 Historique

a) Notion de forme diff. (Poincaré) et formule de Stokes \[\int_C d\omega = \int_{\partial C} \omega\]

b) Th. de De Rham (conjecturé par E. Cartan) (dit $H^*_{\mathrm{DR}}(X) \to H^*(X,\mathbb{C})$). Mais on perd la torsion. Maintenant bien compris : th. des faisceaux, lemme Poincaré.

c) Théorie de Hodge des intégr. harmoniques (structure supplémentaire bigraduée sur $H^*_{\mathrm{DR}}(X)$ si $X$ kählérienne compacte)

d) Théorème de H. Cartan–Serre sur variétés de Stein (où lemme de Poincaré valable dans l'analytique)

e) Cas des variétés algébriques ou schémas, sur ⌜corps de⌝ base […] (général) : Dwork, Washnitzer–Monsky, plus tard le yoga « cristallin » développé par Berthelot, Illusie, Messing, ⌜Mazur⌝ […]. au crayon : aussi Hartshorne, Herrera […], Bloch(?), Ogus, Ici on trouve des théories coh. qui ne sont plus à « coeff. » de car. nulle i.e. contenant $\mathbb{Q}$ — et en principe les phénomènes de torsion ne sont pas perdus. au crayon : Du pt de vue Weil, c'était un défaut impardonnable !

f) Th. de Grothendieck sur variétés algébriques sur $\mathbb{C}$ ([…] ⌜généralisation⌝ par Deligne, Hartshorne pour des coeff. plus généraux). Ceci donne enfin (du moins en car. 0) la signific. topologique de la coh. de De Rham « algébrique » des schémas algébriques.

g) Complexe de De Rham–Sullivan pour espaces topologiques généraux : formes différentielles singulières $C^\infty$ […] […] ($\mathbb{C}$-algébriques, resp. $\mathbb{R}$-algébriques, resp. $\mathbb{Q}$-algébrique). Donne la coh. à coeff. dans $\mathbb{C}$ (resp. $\mathbb{R}$, resp. $\mathbb{Q}$) (facile). Sullivan montre mieux

En bas à gauche de la page, des inclusions : \[C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,\mathbb{R}\text{-alg}} \subset C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,C^\infty} \subset C^\bullet_{\mathrm{DRS}}, \qquad C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,C^\infty} \supset C^\bullet_{\mathrm{DR}}\] la seconde inclusion est écrite verticalement ($\cup$) sous $C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,C^\infty}$ ; à sa gauche un symbole biffé.

3Page numérotée (2) par l'auteur. que le $\mathbb{Q}$ type d'homotopie de $X$ est récupéré ⌜simplement⌝ si $X$ connexe (sauf erreur) — de façon plus précise, il y a une équivalence ⌜donnée par $C^\bullet_{\mathrm{DRS}}$⌝ de cat. […] ⌜faible⌝ entre la cat. hom. des espaces connexes et simplement connexes ([…]), et une certaine catégorie dérivée formée avec les $\mathbb{Q}$-algèbres graduées […] associatives et anticommutatives telle ⌜de⌝ degrés $\geq 0$ telles que $H^0(A) \simeq \mathbb{Q}$ […], $H^1(A) \simeq 0$. Il y a une théorie des modèles minimaux ⌜pour de telles algèbres⌝ qui sont une façon ⌜algébrique⌝ très simple de récupérer les $\pi_i \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ en termes d'un tel modèle… (On renvoie à Sullivan)

Mais à nouveau, on perd la torsion !

Dém. du th. d'isomorphisme de Sullivan \[H^q(C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,\mathbb{Q}}(X,\mathbb{Q})) \simeq H^q(X,\mathbb{Q})\] $\forall n \geq 0$, $[n]$ simplexe type de dim. $n$ ($\sum_0^n x_i = 1$, $x_i \geq 0$), $\Delta^{[n]}_{\mathbb{R}}$ sa réalisation géométrique, $E^{[n]}$ l'espace affine qu'il sous-tend (avec une $\mathbb{Q}$-structure) ($\sum_0^n x_i = 1$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$), \[\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]} = C^\bullet_{\mathbb{Q}\text{-DR}}(E^{[n]})\] son complexe de De Rham $\mathbb{Q}$-algébrique. C'est contravariant en $[n]$, d'où \[\mathrm{DRS}^{\bullet}_{*} = (\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]})_{n \geq 0}\] Algèbre différentielle graduée […] ⌜semi-⌝simpliciale (cot. = simplicial) — à degrés $\geq 0$, anticommutative.

Pour $X$ espace topologique, $S_*(X)$ son complexe ½simplicial. On a \[C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X,\mathbb{Q}) \simeq \mathrm{Hom}(S_*(X), \mathrm{DRS}^\bullet_*)\]

4Page numérotée (3) par l'auteur. i.e. a) $C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X,\mathbb{Q})$ dépend de $X$ via $S_*(X)$

b) Sur $(\mathrm{Ss}$ […] $(\mathrm{Ens}))_*$, le foncteur $C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(-,\mathbb{Q})$ est représentable par $\mathrm{DRS}^\bullet_*$ (dans la cat. des gr. ½simpl.)

Or a) $\mathrm{DRS}^\bullet_*$ est une résolution de $\mathbb{Q}_*$ (lemme de Poincaré algébrique sur les $\mathbb{Q}$-espaces affines $E^{[n]}$)

b) Les composantes $\mathrm{DRS}^i_*$ ($i \geq 0$) de $\mathrm{DRS}^\bullet_*$ sont des objets acycliques du topos $\mathrm{Ss}$ (ce qui revient à dire que leurs $\pi_q(\mathrm{DRS}^i_*)$ sont nuls), ce qui se vérifie facilement. [Ce serait pareil avec des formes $C^\infty$ à coeff. dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, ou analytiques réelles, ou analytiques complexes…)

On aimerait trouver une $\mathbb{Z}$-algèbre diff. $C^\bullet_{\mathrm{DR}}(X,\mathbb{Z})$ […] ([…] de $X$, ou $S_*(X)$) dans la cat. […] […] entière […] $\mathbb{Z}$. Mais il paraît qu'il y a des […] contre ! On ne pourrait y arriver […] […] passage de deux lignes et demie biffé par deux longs traits horizontaux ; lecture très incomplète.

Si on prend $C^\bullet_{\mathbb{Z}\text{-DR}}(E^{[n]})$ (car $E^{[n]}$ a une $\mathbb{Z}$-structure affine) c'est a) qui devient faux : pour intégrer $\int x^n\,dx$, il faut un dénominateur $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ! Mais en géom. alg. on est déjà familiarisé avec une façon de sauter à pieds-joints ⌜par dessus⌝ sur le canular, consistant à utiliser les p.d. et des polynômes ⌜à séries formelles⌝ (puiss. div.). Si $E^{[n]}$ avait une origine sur $\mathbb{Z}$ (i.e. pouvait se considérer comme un $\mathbb{Z}$-module libre de t.f.) — on aurait un complexe de De Rham à p.d. Mais par malheur ça n'en a pas ! Voilà \[\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]} \simeq \text{\struck{$\mathbb{Q}[X_i, dX_i]$}}\ C^\bullet_{\mathrm{DR}/\mathbb{Q}}\bigl(\mathbb{Q}[(X_i)_{0 \leq i \leq n}]/\textstyle\sum X_i - 1\bigr)\] \[= \mathbb{Q}[X_i, dX_i]_{0 \leq i \leq n} \big/ \bigl(\textstyle\sum X_i - 1,\ \sum dX_i\bigr) \simeq \mathbb{Q}[X_0, \ldots, X_{n-1}][dX_0, \ldots, dX_{n-1}]\]

5Page numérotée (4) par l'auteur. Donc on aurait envie de prendre \[\text{\struck{$\mathbb{Q}$}}\ \mathbb{Z}\bigl(\{X_i\}[dX_i]\bigr)_{0 \leq i \leq n} \big/ \bigl(\textstyle\sum X_i - 1,\ \sum dX_i\bigr)_{\mathrm{pd}}\] où $\{\ \}$ désigne les p.d. à p.d., mais, […] […] \[\simeq \mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}[dX_0, \ldots, dX_{n-1}]\] (qui est la cat bien une résolution de $\mathbb{Z}$), car si on veut tenir de la relation $\sum_0^n X_i - 1 = 0$, \[X_n = 1 - \sum_0^{n-1} X_i\] (et $dX_n = -\sum_0^{n-1} dX_i$ qui $\sum_0^n dX_i = 0$) — on a le « bec » que $1 - \sum_0^{n-1} X_i$ n'appartient nullement à l'idéal à p.d. donné dans $\mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}$ (dans ce cas on pourrait […] envoyer $\mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}$ dans $\mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}$ avec comme […] $\sum_0^n X_i - 1$ dans le noyau…).

On s'en tire en prenant un anneau de coeff. différent de $\mathbb{Z}$, soit $S$, avec un « paramètre » […] $t \in S$ fixé ⌜dont […] […]⌝ (i.e. $t \in J$, $J$ idéal à p.d. de $S$) […] […] […] et remplaçant ⌜les p.d.⌝ […] les équations $\sum X_i = 1$ de $E^{[n]}$ par l'équation \[\sum X_i = t \quad \text{dans } S^{n+1}\] et définissant \[\bigl(C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t) = \Bigl(S\{X_i\}_{0 \leq i \leq n}[dX_i]_{0 \leq i \leq n}\Bigr) \Big/ \Bigl(\textstyle\sum X_i - t,\ \sum dX_i\Bigr)_{\mathrm{pd}}\] (On divise par l'idéal à p.d. engendré par $\sum X_i - t$, $\sum_i dX_i$ ; ce qui a un sens

6Page numérotée (5) par l'auteur ; la phrase commencée p. 5 se poursuit. car dans $S\{X_i\}[dX_i]$ l'idéal formé des formes ⌜à p.d.⌝ d'augmentation $\in J$ est à p.d. \[\Bigl(S\{X_i\}_{0 \leq i \leq n} \big/ (\textstyle\sum X_i - t)_{\mathrm{pd}}\Bigr) \otimes_S \overset{*}{\Lambda}\bigl(S^{[n]}/\mathrm{diag}\,S^{[n]}\bigr)\] dans la marge gauche, tourné : $d(x^{[n]}) = x^{[n-1]}\,dx$ […] […] p.d.

C'est une $S$-algèbre diff. ⌜graduée⌝ anticommutative et de degrés $\geq 0$, augmentée, […] à p.d. sur l'idéal engendré par $\overset{+}{\Lambda}$, $S\{X_i\}^+$ et $J\{X_i\}$ — à p.d. sur l'idéal noyau de l'augmentation \[C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t) \to S/J\] et comme telle isomorphe […] : $S\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}[dX_0, \ldots, dX_{n-1}]$, qui est une résolution de $S$. […] a) […]

acquis. Mais faute […] de $S$), […] pour dire […] […] […] $H^q\,C^\bullet$. passage encadré et biffé de plusieurs traits obliques. dans la marge gauche, tourné : i.e. […]-algèbres gr. diff. $S/J$-augmentées, à p.d. sur l'idéal d'augmentation, compatibles avec la diff.

Pour $[n]$ variable, on trouve \[C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(S,J,t) = \bigl(C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t)\bigr)_{n \geq 0}\] qui est une rés. ½simpliciale (cat. = simplicial) avec aug. vers $S/J = k$, et p.d. sur l'idéal d'augm., compatible de $S$. (Elle dépend fonctoriellement de $(S,J,t)$), et elle permet de définir, pour un ensemble ½simplicial ⌜$\mathcal{X}_* \in (\mathrm{Ss})$⌝ \[C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*; S,J,t) = \mathrm{Hom}\bigl(\mathcal{X}_*, C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(S,J,t)\bigr)\] foncteur contravariant en $\mathcal{X}_*$, et si $X$ esp. top. \[C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(X; \ ) = C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(S_*(X); \ldots) \doteq \mathrm{Hom}\bigl(S_*(X), C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(\ )\bigr)\] Mais on ne peut dire ⌜(on a seulement $H^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}; S,J,t) \to H^\bullet(\mathcal{X}_*,S)$) généralement⌝ que […] cohomologie […] et […] […] […] […] ne sera pas isom. (pour $\mathcal{X}_*$ variable) à $H^\bullet(\mathcal{X}_*,S)$.

7Page numérotée (6) par l'auteur. ⌜Mais,⌝ soit $k$ un anneau commutatif (ou z. unit.) et $T$ une indéterminée, on prendra donc \[S = k\{T\}, \quad J = k\{T\}^+ = \mathrm{Ker}\bigl(k\{T\} \to k\bigr), \quad t = T\] On a \[\begin{cases} C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t) \simeq \underbrace{k\{T, X_0, \ldots, X_n\}/(\sum X_i - T)_{\mathrm{pd}}}_{\simeq\, k\{X_0, \ldots, X_n\}} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, k^{[n]}/k \\ S/J \simeq k \end{cases}\] Soit \[\Phi_{k*} = \bigl[[n] \mapsto k^{[n]}\bigr] \supset k_* = \bigl[[n] \to k\bigr]\] l'inclusion $k_* \subset \Phi_{k*}$ est légendée « sous-module diagonal ». \[\Psi_{k*} = \Phi_{k*}/k_* = \bigl([n] \to k^{[n]}/\underbrace{k}_{\mathrm{diag}}\bigr)\] On a donc \[C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}\bigl(k\{T\}, k\{T\}^+, k\bigr) \simeq \Gamma^\bullet_k \Phi_{k*} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, \Psi_{k*}\] le membre de gauche est noté, par un signe d'égalité vertical légendé « déf », $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)$ ; formule encadrée : \[C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k) \simeq \Gamma^\bullet_k \Phi_{k*} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, \Psi_{k*}\]

Structure : $k\{T\}$- […] Algèbre bigraduée (deg. complém. et deg. cohom., d'où degré total) ⌜unit.⌝ assoc. alternée (anticommutative + carré des éléments de degré impair nuls), augmentée vers $k$, à p.d. sur l'idéal d'augm., avec diff. de bidegré $-1,+1$ (donc degré total 0) compatible avec p.d. dans la marge gauche, en oblique : la bigraduation permet de […] […] gr. anticomm. […] […] (ici de degré 2)

8Page numérotée (7) par l'auteur. Ces structures sont héritées par les \[C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \overset{\mathrm{déf}}{=} C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}\bigl(\mathcal{X}_*; k\{T\}, k\{T\}^+, T\bigr) = \mathrm{Hom}\bigl(\mathcal{X}_*, C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)\bigr)\] formule encadrée. et dépendent de façon contravariante de $\mathcal{X}_*$ (covariante de $k$).

$\Phi_{k*}$ est ⌜un $k$-Module ½simplicial⌝ […] homotope à 0, donc $\Gamma^p_k(\Phi_{k*}) \otimes \overset{q}{\Lambda}\,\Psi_{k*}$ […] est homotope à 0 si $p \neq 0$. à gauche, une ligne inachevée : $\Gamma^p_k(0) \otimes \overset{q}{\Lambda}\,\Psi_{k*}$, donc

Donc $C^{p,q}_{\mathrm{DRpd}*}(k)$ est homot. à 0 (donc ⌜acycliques⌝ flasques) si $p \neq 0$. En degré total donné $n$, on a \[0 \to C^{n,0}_* \to C^{n-1,1}_* \to C^{n-2,2}_* \to \cdots \to C^{1,n-1}_* \to C^{0,n}_* \to 0, \qquad k_* \to C^{n,0}_*\] l'augmentation $k_* \to C^{n,0}_*$ est une flèche verticale montante ; à l'extrémité droite de la suite, la flèche entre $C^{1,n-1}_*$ et $C^{0,n}_*$ semble tracée vers la gauche, et quelques signes tombent dans la marge : lecture incertaine de cette extrémité.

i.e. on trouve une résolution ⌜de longueur $n$⌝ flasque de $k_*$ par des […] $k$-Modules ½simpliciaux qui sont acycliques sauf le dernier — donc ce qui précède le dernier comme un tronqué ⌜degré⌝ l'indice $n$ d'une résolution flasque de $k_*$ — d'où le calcul de la cohomologie de ses sections sur un $\mathcal{X}_*$ : c'est la coh. de $\mathcal{X}_*$ tronquée en degré $n$ : \[H^{p,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \begin{cases} H^q(\mathcal{X}_*, k) & \text{si } q \leq p+q \text{ i.e.\ } p \geq 0 \\ 0 & \text{si } p < 0 \end{cases}\] la condition « $q \leq p+q$ » est une lecture incertaine.

9Page numérotée (8) par l'auteur. Mais quelle est ⌜(pour $q$ fixé)⌝ la structure de $k\{T\}$-module de $H^{\bullet q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ ? On voit que […] pour le degré total (égal au degré cohomologique plus $q$) on trouve $H^0(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}$ tronqué en degré $\geq q$, donc \[H^{\bullet q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \tau_q\bigl(H^0(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr)[q]\] l'auteur renvoie par une flèche sur le $[q]$ : « (translation des degrés, $p \mapsto -q$) ».

Si on réindexe les bidegrés par le complexe (degré total, degré cohomique) posant \[H'^{\,n,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) = H^{\overset{p}{\overbrace{n-q}},\,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)\] (dans les conditions de degré $p, q \geq 0$ deviennent $n \geq q \geq 0$), l'op. diff. est de bidegré $(0,1)$ donc c'est un homomorphisme (homogène) de $S$-modules gradués), on trouve \[H'^{\,\bullet,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \tau_q\bigl(H^q(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr)\] Ces isom. sont compatibles avec les structures multiplicatives (c'est bien évidemment […], voir $\mathcal{X}_*$, $k$…). Donc ⌜a priori⌝ on récupère ⌜(via $H'^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$)⌝ par les $k$-modules $H^q(\mathcal{X}_*, k)$ et leurs ⌜cup-⌝accouplements, mais les $k$-modules ⌜gradués⌝ $\tau_q\bigl(H^q(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr)$ et leurs accouplements déduits des cup dans $H^\bullet(\mathcal{X}_*, k)$.

10Page numérotée (9) par l'auteur. Ce qui donne une espérance que le complexe de DR à p.d. de $\mathcal{X}_*$ ⌜à coeff. dans $k = \mathbb{Z}$ disons⌝ (comme dans le cas $k = \mathbb{Q}$) qu'il contient) donne bien une information homotopique précise sur $\mathcal{X}_*$, c'est l'observation que si on fait, pour un module ⌜gradué⌝ $k$-module $M$ quelconque, on récupère $M$ à isom. près connaissant pris par le connaissance d'un quelconque des tronqués $\tau_q(M \otimes_k S)$ (quelque ⌜fixe⌝ soit $q$ ⌜tels que […] au-dessus de $M$⌝) passant par ses $\rho$…) (et de même l'accouplement $M \otimes N \to P$ $\to$ connaissant, pour $q$ assez grand, l'accouplement correspondant $\tau_q(M_S) \otimes \tau_q(N_S) \to \tau_q(P_S)$.

Donc une $k$-algèbre gr. $H^\bullet$ à degrés $\geq 0$ […] est connue à isom. canonique près quand on connaît la $S$-algèbre bigraduée ⌜de degré $q$⌝ des « extinctions » ⌜$\tau_q$⌝ sur les $\tau_q(H^q \otimes_k S)$…. Ainsi Cette « théorie des ombres » étant ⌜admise⌝ acquise, on voit que la connaissance de $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ (implique ⌜comme les plus $S$-algèbre diff. bigraduée⌝) implique celle de l'algèbre graduée $H^\bullet(\mathcal{X}_*, k)$ — et en affinant un peu, on ⌜voit que⌝ […] pour $\mathrm{R}\Gamma^\bullet(\mathcal{X}_*, k)$ comme objet de la cat. dérivée $D(k)$, […] l'accouplement

11Page numérotée (10) par l'auteur ; la phrase de la p. 10 se poursuit. venant de cup-produits \[\mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}_*, k) \overset{L}{\otimes} \mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}_*, k) \to \mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}_*, k)\]

Remarques et Pbs

a) Si $k$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre, il se trouve que $C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(\mathcal{X}_*, k)$ est défini, et se reconstruit à partir de $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ […] par la formule \[C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)/(T-1)\] Plus généralement, quel que soit $k$, on a \[C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(\mathcal{X}_*, \underbrace{k \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}}_{k_{\mathbb{Q}}}) \simeq C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)/(T-1)\] [et plus généralement, si $(S,J,t)$ comme ci-dessus \[C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*; S,J,t)/(t-1) \simeq C^\bullet_{\mathrm{DRS}}\bigl(\mathcal{X}_*, S_{\mathbb{Q}}/(t-1)\bigr)\] le membre de droite est en partie surchargé ; un « ? » en marge gauche. ]

b) J'ai négligé jusqu'ici la structure à p.d. sur l'idéal d'augmentation de \[C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \to H^0(\mathcal{X}_*, k) = \mathrm{Hom}(\mathcal{X}_*, k_*)\] qui est importante. Je crois que […] par L'idée de la question, pour $\mathcal{X}_*$ simplement connexe, si la connaissance de $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ avec toutes ses structures (y compris celles des p.d.) implique par la connaissance du type d'homotopie de $\mathcal{X}_*$. On peut dans la marge gauche, en oblique : avec conditions de finitude sur $\mathcal{X}_*$ et sur les $\pi_i(\mathcal{X}_*)$ […] la phrase se poursuit au-delà de la p. 11.

12Page numérotée (11) par l'auteur ; la phrase de la p. 11 se poursuit. plus précisément appelons complexe de De Rham à p.d. virtuel ⌜sur $k$⌝ un complexe de $k$-bialgèbre diff. […] augmentée, ass. unit. alternée, à diff. de bidegré $-1,+1$ (ou $0,+1$ au choix) à bidegrés $\geq 0$, avec p.d. sur l'idéal d'augm., compatibles avec la diff. ($d(x^{[n]}) = x^{[n-1]}\,dx$), et telle que les $H^{\bullet q}(C^{\bullet\bullet})[-q]$ […] soient des $q$-ombres (auquel cas on peut récupérer à partir de $C^{\bullet\bullet}$ un élément de $D(k)$ avec structure multiplicative ass. unit. commutative….), posons : une « catégorie dérivée » des ces complexes en inversant les flèches qui sont des q-isom., d'où par $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ un foncteur \[(\mathrm{Hot}) \to (\mathrm{DRpd})\] sous $(\mathrm{Hot})$ : « type d'hom. » ; sous $(\mathrm{DRpd})$ : « cat. dérivée des complexes DR pd ». et on peut se demander si sa restriction aux espaces connexes et simplement connexes avec des $H^i(X,\mathbb{Z})$ de t.f. (pour $k = \mathbb{Z}$) […] ⌜induit⌝ une équivalence avec les complexes de DRpd sur $\mathbb{Z}$ tels que $H^0(C^{\bullet\bullet}) \simeq k$, $H^1(C^{\bullet\bullet}) = 0$, les $H^i(C^{\bullet\bullet})$ de t.f. sur $\mathbb{Z}$… !

13Page numérotée (12) par l'auteur. c) J'ai un peu réfléchi […] si on peut reconstruire les op. coh. […] (type Steenrod ou Whitney) dans la coh. de $\mathcal{X}_*$ par la connaissance de $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, -)$, et n'ai que des résultats ⌜partiels⌝ négatifs qui montrent qu'avec des autres […] multiplicatifs de $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)$ on ne trouve rien d'intéressant.

d) Il faudrait donc avant étudier des modèles minimaux à la Sullivan, pour essayer entre autres d'exprimer les invariants du type d'homotopie de $\mathcal{X}_*$ en termes de $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})$ (au moins si $\mathcal{X}_*$ simpl. connexe avec cond. de finitude…) Je n'ai rien fait dans cette direction, je n'ai même pas développé une formule de Künneth pour $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}$ d'un produit $\mathcal{X}_* \times \mathcal{Y}_*$ — il y a des difficultés techniques dues au fait qu'on ne peut sans doute supposer $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_* \text{ ou } \mathcal{Y}_*, k)$ plats […] sur $k\{T\}$.

14Page numérotée (13) par l'auteur. e) Le complexe de chaînes $C_\bullet(\mathcal{X}_*,$ $k$ $\mathbb{Z})$ permet de reconstruire tous les complexes de cochaînes $C^\bullet(\mathcal{X}_*, k')$, pour $k'$ […] ⌜$k$-alg.⌝ quelconque, par \[C^\bullet(\mathcal{X}_*, k) \simeq \mathrm{Hom}^\bullet_{\mathbb{Z}}\bigl(C_\bullet(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z}), k\bigr)\] (L'objet « le plus fin » est $C_\bullet(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})$, on a $C_\bullet(\mathcal{X}_*, k) \simeq C_\bullet(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} k$.) Il est possible de […] de définir une cobigèbre ⌜diff.⌝ $C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*,$ $k$ $k)$ (à comultipl. div., ⌜$k$-coaugmentation⌝), telle que l'on ait, pour toute $k$-alg. $k'$ \[C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k') \simeq \mathrm{Hom}_k\bigl(C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k), k'\bigr)\] (compatible avec toutes les structures). On aura d'ailleurs \[C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k') \simeq C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k'\] L'objet le plus fin est $C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})$. C'est lui qu'il conviendrait de considérer (au lieu de son « dual » $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})$) si on veut aborder b) c) d) sans conditions de finitude.

Notons que [tout comme $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$, pour $\mathcal{X}_*$ variable transforme $\varinjlim$ quelconques en $\varprojlim$] $C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})$ transforme ⌜commute⌝ aux $\varinjlim$ quelconques (pas seulement filtrantes).

15Page numérotée 14 par l'auteur. en oblique, en haut à gauche, reliée par un trait à la lettre de l'alinéa : voir (f) ci-dessous f) g) Faisceautisation. Il y a une définition évidente de complexes de De Rham à p.d. sur $k$ si $k$ est un Anneau comm. d'un topos. On aimerait, p. ex. en comparant un tel complexe à un autre q.-isom. dont les composantes soient flasques (mais y en a-t-il toujours ?) définir des opér. $\mathrm{R}f_*$ dans des cat. dérivées convenables pour de tels complexes, quand $f \colon \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ est un morphisme de topos ⌜(supposés peut-être de dim. coh. finie…)⌝ si $k$ est une $\mathbb{Q}$-Algèbre, le même Pb se rencontre d'ailleurs déjà pour les complexes du type De Rham–Sullivan, c'est le Pb ouvert — et posé par Deligne — quand $\mathcal{X} = (\mathrm{Ens})^\Delta =$ topos des ens. ½simpliciaux, $\mathcal{Y} =$ topos ponctuel. Mais sauf erreur (si souvenirs sont exacts) il y a un topos qui marche, pour les espaces ⌜topologiques⌝ paracompacts….

16Page numérotée (15) par l'auteur. g) h) On peut associer à un espace topologique $X$ ⌜ou à⌝ un ens. ½simplicial $\mathcal{X}_*$ […] ⌜des invariants⌝ alg. « linéaires » plus fins que ceux fournis par le $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}$ (ou mieux par $C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}$, en dualisant…). [P. ex. on peut observer que \[C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k) \simeq \Gamma^\bullet \Phi_{*k} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, \Psi_{*k}\] se déduit de $\mathcal{D}^{\bullet\bullet}_{*(k)} \overset{\mathrm{déf}}{=} \Gamma^\bullet \Phi_{*k} \otimes \overset{\bullet}{\Lambda}\, \Phi_{*k}$ (qui est une ⌜$k$-augm.⌝ alg. diff. à p.d. qui est une résolution de $k$) et de $T \in \Gamma(\mathcal{D}^{10}_{*k})$ comme noyau de la multiplication par $dT$ (i.e. on divise par l'idéal engendré ⌜annulateur⌝ par $dT$), en chaque bidegré […] $(p,q)$ ⌜donné⌝ \[\mathcal{C}^{p,q}_{*k} \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\mathcal{D}^{p,q+1}_* \to \mathcal{D}^{p,q+2}_*\bigr)\] sous la flèche : « produit par $dT$ » ; les exposants $q+1$, $q+2$ sont en partie surchargés. d'où \[C^{p,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\mathcal{D}^{p,q+1}(\mathcal{X}_*, k) \to \mathcal{D}^{p,q+2}(\mathcal{X}_*, k)\bigr)\] et on peut considérer les structures ⌜diverses⌝ sur $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ comme déduites de certaines structures (compliquées…) sur $\mathcal{D}^{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k)$. On peut aussi définir « La structure multiplicative à p.d. ⌜cohomologique⌝ du type d'homotopie $\mathcal{X}_*$ », en un sens convenable, qui permettra de reconstituer […] ⌜aussi bien⌝ $C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)$ que $\mathcal{D}^{\bullet\bullet}_k(\mathcal{X}_*, k)$ (ou les complexes de De Rham–Sullivan). J'ignore si la la phrase se poursuit au-delà de la p. 16 ; le crochet ouvert « [P. ex. » n'est pas refermé sur la page.

17Page numérotée (16) par l'auteur ; la phrase de la p. 16 se poursuit et s'achève ici, sur la dernière page de la série numérotée. complexe de De Rham à p.d. ⌜(ou même $\mathcal{D}^{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})$)⌝ suffit déjà pour récupérer toute la structure multipl. à p.d. coh. de $\mathcal{X}_*$ ⌜(sous réserve de conditions de finitude bien sûr)⌝. Dans le cas contraire, ce serait cette dernière ⌜alg. « linéaire »⌝ qui serait le candidat naturel pour exprimer le type d'homotopie $\mathcal{X}_*$ (du moins si $\mathcal{X}_*$ simplement ⌜connexe⌝ connexe, et en passant à une cat. dérivée convenable bien sûr).

Lemmes sur les coeff. binomiaux

titre encadré, en haut à droite de la p. 19, de la main de l'auteur. Les pp. 19–20 ne portent pas de numéro de l'auteur ; la p. 18 est une feuille de couleur vierge.

19Lemme 1. Soient $p$ un premier, $i, j \in \mathbb{N}$, avec des développements $p$-adiques \[i = \sum_{0 \leq \varepsilon \leq e} u_\varepsilon p^\varepsilon, \qquad j = \sum_{0 \leq \varepsilon \leq e} v_\varepsilon p^\varepsilon, \qquad 0 \leq u_\varepsilon, v_\varepsilon \leq p-1,\] soit \[c_{ij} = \frac{(i+j)!}{i!\,j!} \in \mathbb{Z} \qquad \text{(coeff.\ binomial)}\] alors on a \[c_{ij} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{ssi} \quad u_\varepsilon + v_\varepsilon \leq p-1 \quad \forall \varepsilon \ (0 \leq \varepsilon \leq \nu)\] et […] on a en tous cas \[c_{ij} \equiv \prod_{0 \leq \varepsilon \leq \nu} c_{u_\varepsilon, v_\varepsilon} \quad (p)\] les bornes sont écrites $e$ dans les sommes, $\nu$ dans la condition et le produit.

en marge gauche de l'alinéa suivant : Cor 1 On écrit d'abord $i = u + pr$, $j = v + ps$, $0 \leq u, v \leq p-1$, $r, s \geq 0$, et on montre que \[(*) \quad \begin{cases} c_{ij} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{ssi} \quad u + v \leq p-1 \text{ et } c_{r,s} \not\equiv 0 \ (p) \\ c_{ij} \equiv c_{u,v}\, c_{r,s} \ (p) \end{cases}\] en étudiant le développement, dans $\mathbb{F}_p[V, Y]$, de $(X+Y)^{i+j}$. […] On a \[i + j = p\underbrace{(r+s)}_{t} + \underbrace{u+v}_{w}\] l'anneau est écrit $\mathbb{F}_p[V, Y]$ alors que le calcul porte sur $X$, $Y$ ; lecture du « $V$ » incertaine. Si $w \leq p-1$ on écrit \[(X+Y)^{i+j} = \bigl((X+Y)^p\bigr)^t (X+Y)^w = (X^p + Y^p)^t (X+Y)^w\] \[= \sum_{\substack{0 \leq \alpha \leq w \\ 0 \leq \beta \leq t}} \binom{w}{\alpha} \binom{t}{\beta} X^{\alpha + p\beta}\, Y^{(w-\alpha) + p(t-\beta)},\] où tous les monômes écrits dans la somme ont des exposants distincts. On a donc comme coeff. de $X^i Y^j$ celui correspondant au terme $i = \alpha + p\beta$ i.e. $\alpha = u$, $\beta = r$ i.e. \[c_{i,j} \equiv \binom{w}{u} \binom{t}{r} = c_{u,v}\, c_{r,s} \quad (p)\] et il est immédiat que $c_{u,v} \not\equiv 0$ $(p)$, car $c_{u,v} = \dfrac{(u+v)!}{u!\,v!}$, $0 \leq u, v, u+v \leq p-1$. Donc $c_{ij} \not\equiv 0$ $(p)$ $\Leftrightarrow$ $c_{v,s} \not\equiv 0$ $(p)$. l'indice est lu $c_{v,s}$ ; on attendrait $c_{r,s}$.

Il reste à voir que si $w \geq p$, ⌜alors⌝ $c_{ij} \equiv 0$ $(p)$. Soit $w = p + w$ Soit $w = p + w'$, $0 \leq w' \leq p-2$, donc $i + j = (r+s+1)p + w' = \underbrace{(t+1)}_{t'}p + w'$, \[(X+Y)^{i+j} = (X^p + Y^p)^{t'} (X+Y)^{w'} = \sum_{\substack{0 \leq \alpha \leq w' \\ 0 \leq \beta \leq t'}} \binom{w'}{\alpha} \binom{t'}{\beta} X^{\alpha + p\beta}\, Y^{(w'-\alpha) + p(t'-\beta)} .\] Terme en $X^i Y^j$ correspond[ant] à $\alpha = u$, $\beta = r$, il faudrait $u = \alpha \leq w' = u + v - p$ donc $v \geq p$, ce que n'est pas, donc il n'y a pas de

20tels termes. Donc $c_{ij} \equiv 0$ $(p)$ dans ce cas, ce qui prouve (remplaçant $i, j$ par $u, v$) que $c_{u,v} \equiv 0$ $(p)$ donc encore $c_{ij} \equiv c_{u,v}\, c_{r,s}$ $(p)$.

Le lemme 1 résulte du corollaire par une récurrence immédiate sur la longueur $e$ des développements $p$-adiques écrits de $u$ et de $v$.

Cor. 2. Soit $N$ un entier $\geq 0$ tel que $N + 1 \equiv 0$ $(p)$, posons $N + 1 = (N'+1)p$ donc $N = (N'+1)p - 1 = N'p + (p-1)$ (de sorte qu'à décalage de 1 près, les dév. de $N+1$ et $N'+1$ sont $=$, diff. du développement $p$-adique, ainsi que $N$ et $N'$ (quand on fait abstraction du premier coeff. $p-1$ de $N$)). Soit alors $\varepsilon \geq 1$, on a \[c_{N+1,\, p^\varepsilon - 1} \equiv c_{N'+1,\, p^{\varepsilon-1} - 1} \quad \begin{cases} \equiv 1 \ (p) & \text{si } N'+1 \equiv 0 \ (p^{\varepsilon-1}) \\ \equiv 0 \ (p) & \text{si } N'+1 \not\equiv 0 \ (p^{\varepsilon-1}) \end{cases}\] \[c_{N,\, p^\varepsilon} \equiv c_{N',\, p^{\varepsilon-1}} \quad \Bigl\{ \equiv v_{\varepsilon-1} + 1 \ (p) \quad \Bigl(\text{si } N' = \sum v_\alpha p^\alpha\Bigr)\] dans les deux lignes, des signes intermédiaires sont biffés de hachures serrées (on devine des « $(p)$ » et « $\not\equiv 0$ ») ; non transcrits.

Dém. Le développement $p$-adique de $p^\varepsilon - 1$ est \[p^\varepsilon - 1 = (p-1) + (p-1)p + \cdots + (p-1)p^{\varepsilon-1}\] de même \[p^{\varepsilon-1} - 1 = (p-1) + \cdots + (p-1)p^{\varepsilon-2} \quad \text{si } \varepsilon \geq 2 \qquad (= 0 \text{ si } \varepsilon = 1)\] Posant \[\left.\begin{aligned} N'+1 &= u_0 + u_1 p + \cdots + u_\nu p^\nu \\ N' &= v_0 + v_1 p + \cdots + v_\nu p^\nu \end{aligned}\right\} \quad (\nu \geq \varepsilon - 1)\] d'où \[\begin{aligned} N+1 &= 0 + u_0 p + u_1 p^2 + \cdots + u_\nu p^{\nu+1} \\ N &= (p-1) + v_0 p + v_1 p^2 + \cdots + v_\nu p^{\nu+1} \end{aligned}\] on trouve \[\begin{cases} c_{N+1,\, p^\varepsilon - 1} \equiv c_{u_0, p-1}\, c_{u_1, p-1} \cdots c_{u_{\varepsilon-2}, p-1} \ (p) & (\equiv 1 \ (p) \text{ si } \varepsilon = 1) \\ c_{N'+1,\, p^{\varepsilon-1} - 1} \equiv c_{u_0, p-1}\, c_{u_1, p-1} \cdots c_{u_{\varepsilon-2}, p-1} \ (p) & (\equiv 1 \ (p) \text{ si } \varepsilon = 1) \end{cases}\] \[\begin{cases} c_{N,\, p^\varepsilon} \equiv c_{v_{\varepsilon-1}, 1} \equiv v_{\varepsilon-1} + 1 \\ c_{N',\, p^{\varepsilon-1}} \equiv c_{v_{\varepsilon-1}, 1} \equiv v_{\varepsilon-1} + 1 \end{cases}\] dans la première accolade, le produit est écrit jusqu'à $u_{\varepsilon-2}$ dans les deux lignes.

Lemme 2 […]. Soit $\mathbb{Z}_p$ le localisé de $\mathbb{Z}$ en $p$, $E$ un $\mathbb{Z}_p$-module, $N \in \mathbb{N}$, $e \geq 0$ tel que $p^e \geq N + 1$ […], $I$ l'ens. des entiers de la forme $N$ et $N + p^\varepsilon$, $0 \leq \varepsilon \leq e$, $(x_i)_{i \in I}$ une famille d'éléments de $E$, tel qu'on ait \[\binom{j}{i}(x_j - x_i) = 0 \qquad i = N, N+1,\ i < j \in I \quad \Bigl(\text{donc } j = N + p^\varepsilon,\ 0 \leq \varepsilon \leq e\Bigr)\] dans la marge gauche, tourné : Rmq si $E$ est un $\mathbb{F}_p$-module, on ne peut conclure que $x_i = x_N$ $\forall i \in I$ (ex. $p = 2$, $N = 2$, $e = 2$, donc on a $x_2, x_3, x_4, x_6$ on a $x_2 = x_3 = x_6$ mais […]) l'énoncé du lemme 2 se poursuit au-delà de la p. 20 ; le batch s'arrête ici.