Complexe DR à p.d. et ombres
titre inscrit de sa main sur la couverture orange (p. 1) ; la série qui suit est numérotée par l'auteur de (1) à (16), pp. 2–17.
En tête de la page, numérotée (1) par l'auteur.
au crayon, encadré dans le coin supérieur gauche : Plan conf. IHÉS en 1976
au crayon, en haut à droite : géom. diff. / — anal. / — algébr. /
Complexe DR à p.d. et ombres des modules.
1 Historique
a) Notion de forme diff. (Poincaré) et formule de Stokes
\int_C d\omega = \int_{\partial C} \omega
b) Th. de De Rham (conjecturé par E. Cartan) (dit H^*_{\mathrm{DR}}(X) \to H^*(X,\mathbb{C})). Mais on perd la torsion. Maintenant bien compris : th. des faisceaux, lemme Poincaré.
c) Théorie de Hodge des intégr. harmoniques (structure supplémentaire bigraduée sur H^*_{\mathrm{DR}}(X) si X kählérienne compacte)
d) Théorème de H. Cartan–Serre sur variétés de Stein (où lemme de Poincaré valable dans l'analytique)
e) Cas des variétés algébriques ou schémas, sur corps de base (général) : Dwork, Washnitzer–Monsky, plus tard le yoga « cristallin » développé par Berthelot, Illusie, Messing, Mazur
f) Th. de Grothendieck sur variétés algébriques sur \mathbb{C} (Deligne, Hartshorne pour des coeff. plus généraux). Ceci donne enfin (du moins en car. 0) la signific. topologique de la coh. de De Rham « algébrique » des schémas algébriques.
g) Complexe de De Rham–Sullivan pour espaces topologiques généraux : formes différentielles singulières C^\infty
En bas à gauche de la page, des inclusions :
C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,\mathbb{R}\text{-alg}} \subset C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,C^\infty} \subset C^\bullet_{\mathrm{DRS}},
\qquad C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,C^\infty} \supset C^\bullet_{\mathrm{DR}}
la seconde inclusion est écrite verticalement (\cup) sous C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,C^\infty} ; à sa gauche un symbole biffé.
Page numérotée (2) par l'auteur.
que le \mathbb{Q} type d'homotopie de X est récupéré simplement si X connexe (sauf erreur) — de façon plus précise, il y a une équivalence donnée par C^\bullet_{\mathrm{DRS}} de cat. telle de degrés \geq 0 telles que H^0(A) \simeq \mathbb{Q}
Mais à nouveau, on perd la torsion !
Dém. du th. d'isomorphisme de Sullivan
H^q(C^\bullet_{\mathrm{DRS}\,\mathbb{Q}}(X,\mathbb{Q})) \simeq H^q(X,\mathbb{Q})
\forall n \geq 0, [n] simplexe type de dim. n (\sum_0^n x_i = 1, x_i \geq 0), \Delta^{[n]}_{\mathbb{R}} sa réalisation géométrique, E^{[n]} l'espace affine qu'il sous-tend (avec une \mathbb{Q}-structure) (\sum_0^n x_i = 1 dans \mathbb{R}^{n+1}),
\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]} = C^\bullet_{\mathbb{Q}\text{-DR}}(E^{[n]})
son complexe de De Rham \mathbb{Q}-algébrique. C'est contravariant en [n], d'où
\mathrm{DRS}^{\bullet}_{*} = (\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]})_{n \geq 0}
Algèbre différentielle graduée
Pour X espace topologique, S_*(X) son complexe ½simplicial. On a
C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X,\mathbb{Q}) \simeq \mathrm{Hom}(S_*(X), \mathrm{DRS}^\bullet_*)
Page numérotée (3) par l'auteur.
i.e. a) C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(X,\mathbb{Q}) dépend de X via S_*(X)
b) Sur (\mathrm{Ss}
Or a) \mathrm{DRS}^\bullet_* est une résolution de \mathbb{Q}_* (lemme de Poincaré algébrique sur les \mathbb{Q}-espaces affines E^{[n]})
b) Les composantes \mathrm{DRS}^i_* (i \geq 0) de \mathrm{DRS}^\bullet_* sont des objets acycliques du topos \mathrm{Ss} (ce qui revient à dire que leurs \pi_q(\mathrm{DRS}^i_*) sont nuls), ce qui se vérifie facilement. [Ce serait pareil avec des formes C^\infty à coeff. dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}, ou analytiques réelles, ou analytiques complexes…)
On aimerait trouver une \mathbb{Z}-algèbre diff. C^\bullet_{\mathrm{DR}}(X,\mathbb{Z}) ( de X, ou S_*(X)) dans la cat. entière \mathbb{Z}. Mais il paraît qu'il y a des contre ! On ne pourrait y arriver
passage de deux lignes et demie biffé par deux longs traits horizontaux ; lecture très incomplète.
Si on prend C^\bullet_{\mathbb{Z}\text{-DR}}(E^{[n]}) (car E^{[n]} a une \mathbb{Z}-structure affine) c'est a) qui devient faux : pour intégrer \int x^n\,dx, il faut un dénominateur \dfrac{x^{n+1}}{n+1} ! Mais en géom. alg. on est déjà familiarisé avec une façon de sauter à pieds-joints par dessus sur le canular, consistant à utiliser les p.d. et des polynômes à séries formelles (puiss. div.). Si E^{[n]} avait une origine sur \mathbb{Z} (i.e. pouvait se considérer comme un \mathbb{Z}-module libre de t.f.) — on aurait un complexe de De Rham à p.d. Mais par malheur ça n'en a pas ! Voilà
\mathrm{DRS}^\bullet_{[n]} \simeq \text{\struck{$\mathbb{Q}[X_i, dX_i]$}}\ C^\bullet_{\mathrm{DR}/\mathbb{Q}}\bigl(\mathbb{Q}[(X_i)_{0 \leq i \leq n}]/\textstyle\sum X_i - 1\bigr)
= \mathbb{Q}[X_i, dX_i]_{0 \leq i \leq n} \big/ \bigl(\textstyle\sum X_i - 1,\ \sum dX_i\bigr) \simeq \mathbb{Q}[X_0, \ldots, X_{n-1}][dX_0, \ldots, dX_{n-1}]
Page numérotée (4) par l'auteur.
Donc on aurait envie de prendre
\text{\struck{$\mathbb{Q}$}}\ \mathbb{Z}\bigl(\{X_i\}[dX_i]\bigr)_{0 \leq i \leq n} \big/ \bigl(\textstyle\sum X_i - 1,\ \sum dX_i\bigr)_{\mathrm{pd}}
où \{\ \} désigne les p.d. à p.d., mais,
\simeq \mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}[dX_0, \ldots, dX_{n-1}]
(qui est la cat bien une résolution de \mathbb{Z}), car si on veut tenir de la relation \sum_0^n X_i - 1 = 0,
X_n = 1 - \sum_0^{n-1} X_i
(et dX_n = -\sum_0^{n-1} dX_i qui \sum_0^n dX_i = 0)
— on a le « bec » que 1 - \sum_0^{n-1} X_i n'appartient nullement à l'idéal à p.d. donné dans \mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\} (dans ce cas on pourrait envoyer \mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\} dans \mathbb{Z}\{X_0, \ldots, X_{n-1}\} avec comme
On s'en tire en prenant un anneau de coeff. différent de \mathbb{Z}, soit S, avec un « paramètre » et remplaçant les p.d.
Page numérotée (5) par l'auteur ; la phrase commencée p. 5 se poursuit.
car dans S\{X_i\}[dX_i] l'idéal formé des formes à p.d. d'augmentation \in J est à p.d.
\Bigl(S\{X_i\}_{0 \leq i \leq n} \big/ (\textstyle\sum X_i - t)_{\mathrm{pd}}\Bigr) \otimes_S \overset{*}{\Lambda}\bigl(S^{[n]}/\mathrm{diag}\,S^{[n]}\bigr)
dans la marge gauche, tourné : d(x^{[n]}) = x^{[n-1]}\,dx p.d.
C'est une S-algèbre diff. graduée anticommutative et de degrés \geq 0, augmentée, à p.d. sur l'idéal engendré par \overset{+}{\Lambda}, S\{X_i\}^+ et J\{X_i\} — à p.d. sur l'idéal noyau de l'augmentation
C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t) \to S/J
et comme telle isomorphe : S\{X_0, \ldots, X_{n-1}\}[dX_0, \ldots, dX_{n-1}], qui est une résolution de S. a)
acquis. Mais faute de S), pour dire H^q\,C^\bullet.
passage encadré et biffé de plusieurs traits obliques.
dans la marge gauche, tourné : i.e. -algèbres gr. diff. S/J-augmentées, à p.d. sur l'idéal d'augmentation, compatibles avec la diff.
Pour [n] variable, on trouve
C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(S,J,t) = \bigl(C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t)\bigr)_{n \geq 0}
qui est une rés. ½simpliciale (cat. = simplicial) avec aug. vers S/J = k, et p.d. sur l'idéal d'augm., compatible de S. (Elle dépend fonctoriellement de (S,J,t)), et elle permet de définir, pour un ensemble ½simplicial \mathcal{X}_* \in (\mathrm{Ss})
C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*; S,J,t) = \mathrm{Hom}\bigl(\mathcal{X}_*, C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(S,J,t)\bigr)
foncteur contravariant en \mathcal{X}_*, et si X esp. top.
C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(X; \ ) = C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(S_*(X); \ldots) \doteq \mathrm{Hom}\bigl(S_*(X), C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}(\ )\bigr)
Mais on ne peut dire (on a seulement H^\bullet_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}; S,J,t) \to H^\bullet(\mathcal{X}_*,S)) généralement que cohomologie et ne sera pas isom. (pour \mathcal{X}_* variable) à H^\bullet(\mathcal{X}_*,S).
Page numérotée (6) par l'auteur.
Mais, soit k un anneau commutatif (ou z. unit.) et T une indéterminée, on prendra donc
S = k\{T\}, \quad J = k\{T\}^+ = \mathrm{Ker}\bigl(k\{T\} \to k\bigr), \quad t = T
On a
\begin{cases} C^\bullet_{\mathrm{DRpd}[n]}(S,J,t) \simeq \underbrace{k\{T, X_0, \ldots, X_n\}/(\sum X_i - T)_{\mathrm{pd}}}_{\simeq\, k\{X_0, \ldots, X_n\}} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, k^{[n]}/k \\ S/J \simeq k \end{cases}
Soit
\Phi_{k*} = \bigl[[n] \mapsto k^{[n]}\bigr] \supset k_* = \bigl[[n] \to k\bigr]
l'inclusion k_* \subset \Phi_{k*} est légendée « sous-module diagonal ».
\Psi_{k*} = \Phi_{k*}/k_* = \bigl([n] \to k^{[n]}/\underbrace{k}_{\mathrm{diag}}\bigr)
On a donc
C^\bullet_{\mathrm{DRpd}*}\bigl(k\{T\}, k\{T\}^+, k\bigr) \simeq \Gamma^\bullet_k \Phi_{k*} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, \Psi_{k*}
le membre de gauche est noté, par un signe d'égalité vertical légendé « déf », C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k) ; formule encadrée :
C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k) \simeq \Gamma^\bullet_k \Phi_{k*} \otimes_k \overset{\bullet}{\Lambda}\, \Psi_{k*}
Structure : k\{T\}- bigraduée (deg. complém. et deg. cohom., d'où degré total) unit. assoc. alternée (anticommutative + carré des éléments de degré impair nuls), augmentée vers k, à p.d. sur l'idéal d'augm., avec diff. de bidegré -1,+1 (donc degré total 0) compatible avec p.d.
dans la marge gauche, en oblique : la bigraduation permet de gr. anticomm. (ici de degré 2)
Page numérotée (7) par l'auteur.
Ces structures sont héritées par les
C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \overset{\mathrm{déf}}{=} C^\bullet_{\mathrm{DRpd}}\bigl(\mathcal{X}_*; k\{T\}, k\{T\}^+, T\bigr) = \mathrm{Hom}\bigl(\mathcal{X}_*, C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(k)\bigr)
formule encadrée.
et dépendent de façon contravariante de \mathcal{X}_* (covariante de k).
\Phi_{k*} est un k-Module ½simplicial
Donc C^{p,q}_{\mathrm{DRpd}*}(k) est homot. à 0 (donc acycliques flasques) si p \neq 0. En degré total donné n, on a
0 \to C^{n,0}_* \to C^{n-1,1}_* \to C^{n-2,2}_* \to \cdots \to C^{1,n-1}_* \to C^{0,n}_* \to 0, \qquad k_* \to C^{n,0}_*
l'augmentation k_* \to C^{n,0}_* est une flèche verticale montante ; à l'extrémité droite de la suite, la flèche entre C^{1,n-1}_* et C^{0,n}_* semble tracée vers la gauche, et quelques signes tombent dans la marge : lecture incertaine de cette extrémité.
i.e. on trouve une résolution de longueur n flasque de k_* par des l'indice n d'une résolution flasque de k_* — d'où le calcul de la cohomologie de ses sections sur un \mathcal{X}_* : c'est la coh. de \mathcal{X}_* tronquée en degré n :
H^{p,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \begin{cases} H^q(\mathcal{X}_*, k) & \text{si } q \leq p+q \text{ i.e.\ } p \geq 0 \\ 0 & \text{si } p < 0 \end{cases}
la condition « q \leq p+q » est une lecture incertaine.
Page numérotée (8) par l'auteur.
Mais quelle est (pour q fixé) la structure de k\{T\}-module de H^{\bullet q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) ? On voit que plus q) on trouve H^0(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\} tronqué en degré \geq q, donc
H^{\bullet q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \tau_q\bigl(H^0(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr)[q]
l'auteur renvoie par une flèche sur le [q] : « (translation des degrés, p \mapsto -q) ».
Si on réindexe les bidegrés par le complexe (degré total, degré cohomique) posant
H'^{\,n,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) = H^{\overset{p}{\overbrace{n-q}},\,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)
(dans les conditions de degré p, q \geq 0 deviennent n \geq q \geq 0), l'op. diff. est de bidegré (0,1) donc c'est un homomorphisme (homogène) de S-modules gradués), on trouve
H'^{\,\bullet,q}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \simeq \tau_q\bigl(H^q(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr)
Ces isom. sont compatibles avec les structures multiplicatives (c'est bien évidemment , voir \mathcal{X}_*, k…). Donc a priori on récupère (via H'^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)) par les k-modules H^q(\mathcal{X}_*, k) et leurs cup-accouplements, mais les k-modules gradués \tau_q\bigl(H^q(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k\{T\}\bigr) et leurs accouplements déduits des cup dans H^\bullet(\mathcal{X}_*, k).
Page numérotée (9) par l'auteur.
Ce qui donne une espérance que le complexe de DR à p.d. de \mathcal{X}_* à coeff. dans k = \mathbb{Z} disons (comme dans le cas k = \mathbb{Q}) qu'il contient) donne bien une information homotopique précise sur \mathcal{X}_*, c'est l'observation que si on fait, pour un module gradué k-module M quelconque, on récupère M à isom. près connaissant pris par le connaissance d'un quelconque des tronqués \tau_q(M \otimes_k S) (quelque fixe soit q tels que au-dessus de M) passant par ses \rho…) (et de même l'accouplement M \otimes N \to P \to connaissant, pour q assez grand, l'accouplement correspondant \tau_q(M_S) \otimes \tau_q(N_S) \to \tau_q(P_S).
Donc une k-algèbre gr. H^\bullet à degrés \geq 0 Ainsi Cette « théorie des ombres » étant admise acquise, on voit que la connaissance de C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) (implique comme les plus S-algèbre diff. bigraduée) implique celle de l'algèbre graduée H^\bullet(\mathcal{X}_*, k) — et en affinant un peu, on voit que
Page numérotée (10) par l'auteur ; la phrase de la p. 10 se poursuit.
venant de cup-produits
\mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}_*, k) \overset{L}{\otimes} \mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}_*, k) \to \mathbb{R}\Gamma(\mathcal{X}_*, k)
Remarques et Pbs
a) Si k est une \mathbb{Q}-algèbre, il se trouve que C^\bullet_{\mathrm{DRS}}(\mathcal{X}_*, k) est défini, et se reconstruit à partir de C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k)
b) J'ai négligé jusqu'ici la structure à p.d. sur l'idéal d'augmentation de
C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) \to H^0(\mathcal{X}_*, k) = \mathrm{Hom}(\mathcal{X}_*, k_*)
qui est importante. Je crois que par L'idée de la question, pour \mathcal{X}_* simplement connexe, si la connaissance de C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k) avec toutes ses structures (y compris celles des p.d.) implique par la connaissance du type d'homotopie de \mathcal{X}_*. On peut
dans la marge gauche, en oblique : avec conditions de finitude sur \mathcal{X}_* et sur les \pi_i(\mathcal{X}_*)
la phrase se poursuit au-delà de la p. 11.
Page numérotée (11) par l'auteur ; la phrase de la p. 11 se poursuit.
plus précisément appelons complexe de De Rham à p.d. virtuel sur k un complexe de k-bialgèbre diff. (ou 0,+1 au choix) à bidegrés \geq 0, avec p.d. sur l'idéal d'augm., compatibles avec la diff. (d(x^{[n]}) = x^{[n-1]}\,dx), et telle que les H^{\bullet q}(C^{\bullet\bullet})[-q]
Page numérotée (12) par l'auteur.
c) J'ai un peu réfléchi
d) Il faudrait donc avant étudier des modèles minimaux à la Sullivan, pour essayer entre autres d'exprimer les invariants du type d'homotopie de \mathcal{X}_* en termes de C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}*}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z}) (au moins si \mathcal{X}_* simpl. connexe avec cond. de finitude…) Je n'ai rien fait dans cette direction, je n'ai même pas développé une formule de Künneth pour C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}} d'un produit \mathcal{X}_* \times \mathcal{Y}_* — il y a des difficultés techniques dues au fait qu'on ne peut sans doute supposer C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_* \text{ ou } \mathcal{Y}_*, k) plats
Page numérotée (13) par l'auteur.
e) Le complexe de chaînes C_\bullet(\mathcal{X}_*, k \mathbb{Z}) permet de reconstruire tous les complexes de cochaînes C^\bullet(\mathcal{X}_*, k'), pour k' k k) (à comultipl. div., k-coaugmentation), telle que l'on ait, pour toute k-alg. k'
C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k') \simeq \mathrm{Hom}_k\bigl(C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k), k'\bigr)
(compatible avec toutes les structures). On aura d'ailleurs
C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k') \simeq C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, k) \otimes_k k'
L'objet le plus fin est C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z}). C'est lui qu'il conviendrait de considérer (au lieu de son « dual » C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})) si on veut aborder b) c) d) sans conditions de finitude.
Notons que [tout comme C^{\bullet\bullet}_{\mathrm{DRpd}}(\mathcal{X}_*, k), pour \mathcal{X}_* variable transforme \varinjlim quelconques en \varprojlim] C^{\mathrm{DRpd}}_{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z}) transforme commute aux \varinjlim quelconques (pas seulement filtrantes).
Page numérotée 14 par l'auteur.
en oblique, en haut à gauche, reliée par un trait à la lettre de l'alinéa : voir (f) ci-dessous
f) g) Faisceautisation. Il y a une définition évidente de complexes de De Rham à p.d. sur k si k est un Anneau comm. d'un topos. On aimerait, p. ex. en comparant un tel complexe à un autre q.-isom. dont les composantes soient flasques (mais y en a-t-il toujours ?) définir des opér. \mathrm{R}f_* dans des cat. dérivées convenables pour de tels complexes, quand f \colon \mathcal{X} \to \mathcal{Y} est un morphisme de topos (supposés peut-être de dim. coh. finie…) si k est une \mathbb{Q}-Algèbre, le même Pb se rencontre d'ailleurs déjà pour les complexes du type De Rham–Sullivan, c'est le Pb ouvert — et posé par Deligne — quand \mathcal{X} = (\mathrm{Ens})^\Delta = topos des ens. ½simpliciaux, \mathcal{Y} = topos ponctuel. Mais sauf erreur (si souvenirs sont exacts) il y a un topos qui marche, pour les espaces topologiques paracompacts….
Page numérotée (15) par l'auteur.
g) h) On peut associer à un espace topologique X ou à un ens. ½simplicial \mathcal{X}_* résolution de k) et de T \in \Gamma(\mathcal{D}^{10}_{*k}) comme noyau de la multiplication par dT (i.e. on divise par l'idéal engendré annulateur par dT), en chaque bidegré La structure multiplicative à p.d. cohomologique du type d'homotopie \mathcal{X}_* », en un sens convenable, qui permettra de reconstituer
Page numérotée (16) par l'auteur ; la phrase de la p. 16 se poursuit et s'achève ici, sur la dernière page de la série numérotée.
complexe de De Rham à p.d. (ou même \mathcal{D}^{\bullet\bullet}(\mathcal{X}_*, \mathbb{Z})) suffit déjà pour récupérer toute la structure multipl. à p.d. coh. de \mathcal{X}_* (sous réserve de conditions de finitude bien sûr). Dans le cas contraire, ce serait cette dernière alg. « linéaire » qui serait le candidat naturel pour exprimer le type d'homotopie \mathcal{X}_* (du moins si \mathcal{X}_* simplement connexe connexe, et en passant à une cat. dérivée convenable bien sûr).
Lemmes sur les coeff. binomiaux
titre encadré, en haut à droite de la p. 19, de la main de l'auteur. Les pp. 19–20 ne portent pas de numéro de l'auteur ; la p. 18 est une feuille de couleur vierge.
Lemme 1. Soient p un premier, i, j \in \mathbb{N}, avec des développements p-adiques
i = \sum_{0 \leq \varepsilon \leq e} u_\varepsilon p^\varepsilon, \qquad j = \sum_{0 \leq \varepsilon \leq e} v_\varepsilon p^\varepsilon, \qquad 0 \leq u_\varepsilon, v_\varepsilon \leq p-1,
soit
c_{ij} = \frac{(i+j)!}{i!\,j!} \in \mathbb{Z} \qquad \text{(coeff.\ binomial)}
alors on a
c_{ij} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{ssi} \quad u_\varepsilon + v_\varepsilon \leq p-1 \quad \forall \varepsilon \ (0 \leq \varepsilon \leq \nu)
et
les bornes sont écrites e dans les sommes, \nu dans la condition et le produit.
en marge gauche de l'alinéa suivant : Cor 1
On écrit d'abord i = u + pr, j = v + ps, 0 \leq u, v \leq p-1, r, s \geq 0, et on montre que
(*) \quad \begin{cases} c_{ij} \not\equiv 0 \ (p) \quad \text{ssi} \quad u + v \leq p-1 \text{ et } c_{r,s} \not\equiv 0 \ (p) \\ c_{ij} \equiv c_{u,v}\, c_{r,s} \ (p) \end{cases}
en étudiant le développement, dans \mathbb{F}_p[V, Y], de (X+Y)^{i+j}.
Il reste à voir que si w \geq p, alors c_{ij} \equiv 0 (p). Soit w = p + w Soit w = p + w', 0 \leq w' \leq p-2, donc i + j = (r+s+1)p + w' = \underbrace{(t+1)}_{t'}p + w',
(X+Y)^{i+j} = (X^p + Y^p)^{t'} (X+Y)^{w'} = \sum_{\substack{0 \leq \alpha \leq w' \\ 0 \leq \beta \leq t'}} \binom{w'}{\alpha} \binom{t'}{\beta} X^{\alpha + p\beta}\, Y^{(w'-\alpha) + p(t'-\beta)} .
Terme en X^i Y^j correspondant à \alpha = u, \beta = r, il faudrait u = \alpha \leq w' = u + v - p donc v \geq p, ce que n'est pas, donc il n'y a pas de
tels termes. Donc c_{ij} \equiv 0 (p) dans ce cas, ce qui prouve (remplaçant i, j par u, v) que c_{u,v} \equiv 0 (p) donc encore c_{ij} \equiv c_{u,v}\, c_{r,s} (p).
Le lemme 1 résulte du corollaire par une récurrence immédiate sur la longueur e des développements p-adiques écrits de u et de v.
Cor. 2. Soit N un entier \geq 0 tel que N + 1 \equiv 0 (p), posons N + 1 = (N'+1)p donc N = (N'+1)p - 1 = N'p + (p-1) (de sorte qu'à décalage de 1 près, les dév. de N+1 et N'+1 sont =, diff. du développement p-adique, ainsi que N et N' (quand on fait abstraction du premier coeff. p-1 de N)). Soit alors \varepsilon \geq 1, on a
c_{N+1,\, p^\varepsilon - 1} \equiv c_{N'+1,\, p^{\varepsilon-1} - 1} \quad \begin{cases} \equiv 1 \ (p) & \text{si } N'+1 \equiv 0 \ (p^{\varepsilon-1}) \\ \equiv 0 \ (p) & \text{si } N'+1 \not\equiv 0 \ (p^{\varepsilon-1}) \end{cases}
c_{N,\, p^\varepsilon} \equiv c_{N',\, p^{\varepsilon-1}} \quad \Bigl\{ \equiv v_{\varepsilon-1} + 1 \ (p) \quad \Bigl(\text{si } N' = \sum v_\alpha p^\alpha\Bigr)
dans les deux lignes, des signes intermédiaires sont biffés de hachures serrées (on devine des « (p) » et « \not\equiv 0 ») ; non transcrits.
Dém. Le développement p-adique de p^\varepsilon - 1 est
p^\varepsilon - 1 = (p-1) + (p-1)p + \cdots + (p-1)p^{\varepsilon-1}
de même
p^{\varepsilon-1} - 1 = (p-1) + \cdots + (p-1)p^{\varepsilon-2} \quad \text{si } \varepsilon \geq 2 \qquad (= 0 \text{ si } \varepsilon = 1)
Posant
\left.\begin{aligned} N'+1 &= u_0 + u_1 p + \cdots + u_\nu p^\nu \\ N' &= v_0 + v_1 p + \cdots + v_\nu p^\nu \end{aligned}\right\} \quad (\nu \geq \varepsilon - 1)
d'où
\begin{aligned} N+1 &= 0 + u_0 p + u_1 p^2 + \cdots + u_\nu p^{\nu+1} \\ N &= (p-1) + v_0 p + v_1 p^2 + \cdots + v_\nu p^{\nu+1} \end{aligned}
on trouve
\begin{cases} c_{N+1,\, p^\varepsilon - 1} \equiv c_{u_0, p-1}\, c_{u_1, p-1} \cdots c_{u_{\varepsilon-2}, p-1} \ (p) & (\equiv 1 \ (p) \text{ si } \varepsilon = 1) \\ c_{N'+1,\, p^{\varepsilon-1} - 1} \equiv c_{u_0, p-1}\, c_{u_1, p-1} \cdots c_{u_{\varepsilon-2}, p-1} \ (p) & (\equiv 1 \ (p) \text{ si } \varepsilon = 1) \end{cases}
\begin{cases} c_{N,\, p^\varepsilon} \equiv c_{v_{\varepsilon-1}, 1} \equiv v_{\varepsilon-1} + 1 \\ c_{N',\, p^{\varepsilon-1}} \equiv c_{v_{\varepsilon-1}, 1} \equiv v_{\varepsilon-1} + 1 \end{cases}
dans la première accolade, le produit est écrit jusqu'à u_{\varepsilon-2} dans les deux lignes.
Lemme 2 Soit \mathbb{Z}_p le localisé de \mathbb{Z} en p, E un \mathbb{Z}_p-module, N \in \mathbb{N}, e \geq 0 tel que p^e \geq N + 1
dans la marge gauche, tourné : Rmq si E est un \mathbb{F}_p-module, on ne peut conclure que x_i = x_N \forall i \in I (ex. p = 2, N = 2, e = 2, donc on a x_2, x_3, x_4, x_6 on a x_2 = x_3 = x_6 mais )
l'énoncé du lemme 2 se poursuit au-delà de la p. 20 ; le batch s'arrête ici.