Cote n° 135 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Catégories [et Gr-catégories] : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.), copies de manuscrit annoté (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1974]
Édition de démonstration

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« Tordre » une catégorie de Picard (pages 2 et 4)

2« Tordre » une catégorie de Picard

1) Multiplier une Gr-catégorie par un groupe.

Soit \(C\) une (gr)-cat, \(\Gamma\) un groupe — on définit une nouvelle (Gr)-cat. notée \(\Gamma \times C\). Le plus simple est de dire que \(\Gamma\) désigne une catégorie discrète d'ensemble sous-jacent \(\Gamma\), et la loi de composition de \(\Gamma\) définit un foncteur \(\otimes\), avec une structure contrainte d'associativité stricte évidente. [Il existe une contrainte de commutativité ssi \(\Gamma\) est commutatif. (Les deux contraintes sont alors compatibles, et \(\Gamma\) est une catégorie ACU.)] On retrouve ainsi les produits des (Gr-cat) \(\Gamma\) et \(C\). \[\pi_0(\Gamma \times C) = \pi_0(\Gamma) \times \pi_0(C) = \Gamma \times \pi_0(C) \xrightarrow{\ p\ } \pi_0(C)\] \[\pi_1(\Gamma \times C) = \pi_1(\Gamma) \times \pi_1(C) = \pi_1(C), \qquad k_{\Gamma \times C} = p^{*}(k_C).\]

2) Supposons que \(C\) soit = une Pic-cat, et \(\Gamma\) commutatif. Alors \(\Gamma \times C\) est une Pic-catégorie. le signe « = » tient lieu de « même » sous la plume de l'auteur ; l'abréviation revient tout au long du dossier

3) Si \(C\) est une Pic-catégorie, les autres contraintes de comm. qui en font (avec sa contrainte d'associativité) une Pic-catégorie […] compatibles avec la contrainte d'ass., correspondent aux applications bilinéaires antisymétriques \[\varphi : \pi_0(C) \times \pi_0(C) \longrightarrow \pi_1(C).\] L'application correspondante \(\pi_0(C) \xrightarrow{\ \Sigma_\varphi\ } \pi_1(C)\) est donnée par \(\Sigma_\varphi(x) = \varphi(x,x)\).

44) Lemme. Soient \(M\), \(N\) deux groupes commutatifs, et \(\Sigma : M \to {}_2N\) un hom. Alors il existe une application bilinéaire antisymétrique \(\varphi : M \times M \to N\) telle que \(\varphi(x,x) = \Sigma(x)\) pour tout \(x \in M\).

Remplaçant \(M\), \(N\) resp. par \(M_2\), \({}_2N\), on peut supposer \(M\), \(N\) des vectoriels sur \(\mathbf{F}_2\). la lettre qui précède \(M_2\) est indistincte ; comprendre sans doute \(M/2M\) Soit \((e_i)_{i \in I}\) une base de \(M\) ; alors \(\Sigma\) est donnée par les \(n_i = \Sigma(e_i) \in N\), tandis que \(\varphi\) sera donnée par les \(\varphi(e_i, e_j) = n_{ij}\), la condition d'antisymétrie (= symétrie) étant \(n_{ij} = n_{ji}\). On prendra \[\varphi(e_i, e_j) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j \\ n_i & \text{si } i = j \end{cases}\] OK.

Corollaire. Toute catégorie de Picard devient stricte en changeant sa seule contrainte de commutativité. En tant que Gr-catégorie, elle est de type triviale… les deux derniers membres de phrase sont des ajouts interlinéaires serrés

5) Soit \(C\) une catégorie de Picard, \(\Gamma\) un groupe commutatif, \(\varphi : \Gamma \times \Gamma \to \pi_1(C)\) une application bilinéaire antisymétrique. On désigne par \(\Gamma \times^{\varphi} C\) la catégorie de Picard déduite de \(\Gamma \times C\) (cf n°2) par l'application bilinéaire antisym. \[\overline{\varphi} : \pi_0(\Gamma \times C) \times \pi_0(\Gamma \times C) \longrightarrow \pi_1(\Gamma \times C)\] (cf n°3) donnée par \(\overline{\varphi}((\alpha,x),(\beta,y)) = \varphi(\alpha,\beta)\). Avec comparaison de \[\pi_0(\Gamma \times^{\varphi} C) \approx \pi_0(\Gamma \times C), \qquad \pi_1(\Gamma \times^{\varphi} C) \cong \pi_1(C).\] le premier membre de gauche ne laisse pas voir le \(\varphi\) ; sous ces formules, un griffonnage à demi biffé — une flèche vers « \(F \times \Gamma\) » et deux flèches marquées \(\nu\)?, \(\varphi\)? — que nous ne savons pas lire

6) le numéro reste seul : la note s'interrompt là

Représentations d'un complexe semi-simplicial et 2-gerbes sur \(B_G\) (pages 7 à 10)

7page 1 de la main de l'auteur 1. \(K\) complexe semi-simplicial, \(P\) Gr-catégorie \(\otimes\)-catégorie AU. « Représentation \(\Lambda\) de \(K\) dans \(P\) » : données

a) \(\forall\, u \in K_1\), \(\Lambda(u) \in P\) ;

b) \(\forall\, \sigma \in K_2\), posant \(u = d_1\sigma\), \(v = d_3(\sigma)\), \(w = d_2(\sigma)\) : \[\Lambda(u) \otimes \Lambda(w) \simeq \Lambda(v) ;\] les lettres \(v\) et \(w\) se confondent sur la page, et le premier et le dernier indice de face sont douteux ; avec les indices tels que lus, la composition demanderait plutôt \(\Lambda(u) \otimes \Lambda(v) \simeq \Lambda(w)\)

c) \(\forall\, \Delta \in K_3\), … « axiome des pentagones ».

La composée \(K_1 \to P \to \pi_0(P)\) définit un « homomorphisme » \(K_1 \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(P) = G\), d'où un « homomorphisme » \(K_1 \xrightarrow{\ \overline{\alpha}\ } \mathrm{Aut}(\pi_1(P))\) [\(\pi_1(P) = M\)], d'où un système local sur \(K\) de valeur \(M\), noté \((M, \overline{\alpha}) = \overline{M}\).

Pb : quand \(K\), \(P\), \(\alpha\) (donc \(\overline{M}\)) sont fixés, on veut « classer » les représentations de \(K\) dans \(P\) correspondantes.

Résultat : ces représentations forment une 2-catégorie, qui est un « 2-torseur » sous une 2-catégorie de Picard stricte d'invariants \(H^2(K, \overline{M})\), \(H^1(K, \overline{M})\), \(H^0(K, \overline{M})\). les arguments des trois \(H\) portent des résidus biffés — l'auteur a d'abord écrit \((M, \alpha)\) avant de contracter en \(\overline{M}\) Cette 2-catégorie est contravariante p.r. à \(K\) variable, covariante p.r. à \(P\) variable.

Cas particuliers utiles pour la suite : \(K\) est le nerf d'une catégorie \(\mathcal{X}\).

\(\mathrm{REP}(K ; P, \alpha)\), \(\mathrm{REP}(\mathcal{X} ; P, \alpha)\)

2. \(P\) Gr-catégorie donnée, d'invariants \(\pi_0(P) = G\), \(\pi_1(P) = M\). On va lui associer une 2-gerbe \(\widetilde{P}\) sur \(B_G\) — donc à tout \(X \in \mathrm{Ob}\,B_G\) (ensemble où \(G\) opère) on va associer une catégorie \(\widetilde{P}(X)\), ainsi : soit \(\mathcal{X}\) le nerf de la catégorie sous-jacente à \(X\)

8(\(\mathrm{Ob}\,\mathcal{X} = X\), \(\mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X\) …), avec l'application composée \(K_1 = \mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X \xrightarrow{\ \mathrm{pr}\ } G\). On pose \[\widetilde{P}(X) = \mathrm{Rep}(\mathcal{X} ; P, \alpha_X) = \mathrm{Rep}(X, P, \alpha_X)\] avec la contravariance p.r. à \(X\) évidente. On trouve que c'est un 2-champ, qui est une 2-gerbe liée par \(M_{(B_G)}\) (définie par l'opération de \(G\) sur \(M\)). un mot biffé — « construit » ? — précède la parenthèse

Variante — \(\widetilde{P}\) est covariante en \(P\) dans un sens évident… En fait cela définit un morphisme de la 3-catégorie des […] dans la 3-catégorie des 2-gerbes sur des \(B_G\) variables. passage chargé de ratures ; un « Fixons » est biffé en cours de phrase, et la marge gauche porte deux numéros d'alinéa dont l'un est biffé

3. On a ainsi une équivalence de 3-catégories. Plus explicitement, \(G\) et le \(G\)-module \(M\) étant fixés — … une équivalence entre la 3-catégorie des Gr-catégories de Pic… épinglées par \((G,M)\), et la 3-catégorie des 2-gerbes sur \(B_G\) liées par \(M_{(B_G)}\).

Soient \(P\) Gr-catégorie épinglée par \(G\), \(M\) ; \(P'\) —— \(G'\), \(M'\) ; \(G \xrightarrow{\ u\ } G'\), \(M \xrightarrow{\ v\ } M'\) homs compatibles avec les opérations. Alors les \(\otimes\)-hom \(P \to P'\) compatibles avec \(G \to G'\), \(M \to M'\) forment une 2-catégorie… « épinglée par » corrige un « d'invariants » biffé ; la ligne de \(P'\) répète celle de \(P\) par un long tiret

9page 2 de la main de l'auteur …qui est un 2-ps-torseur sous une 2-Pic-catégorie, et ce 2-torseur est 2-équivalent à celui des hom de 2-gerbes sur \(B_G\) liées par \(M'_{B_G}\), de \(\widetilde{P} \otimes_{M_{B_G}} M'_{B_G}\) dans \(B_u^{*}(\widetilde{P}')\). Les invariants de la 2-Pic-catégorie pertinente sont \(H^2(G,M')\), \(H^1(G,M')\), \(H^0(G,M')\). L'obstruction à trouver un objet dans le 2-ps-torseur est dans \(H^3(G,M')\), et cela se calcule comme différence de deux classes, images canoniques d'éléments qui dérivent des \(H^3(G,M)\) et \(H^3(G',M')\).

\(M_{B_G} \to M'_{B_G}\) ; \(B_G \xrightarrow{\ B_u\ } B_{G'}\)

4. Généralisation aux Gr-champs sur un topos \(S\). Bien sûr, si \(G\) (groupe sur \(S\)) et \(M\) (\(G\)-Module sur \(S\)) sont donnés, on interprète tout en termes de 2-gerbes « relatives » sur \(B_G\) mod \(S\), liées par \(M_{B_G}\), i.e. 2-gerbes sur \(B_G\) trivialisées sur \(S\) (par \(S \simeq B_e \to B_G\)). Il faudrait la mettre « en scène » avec l'histoire des 1-gerbes relatives sur \(B_G\), correspondant aux extensions de \(G\) par \(M\). Il faudrait traiter en = temps le cas d'un \(M\) non commutatif…

105. Relations avec les « noyaux » de Mac Lane, ou « liens ». Soit \(G\) groupe, \(F\) groupe, \[\varphi : G \longrightarrow \mathrm{Autext}(F)\] hom (cela \(=\) se donner un lien sur \(B_G\)). On va lui associer une Gr-catégorie de Picard \(P(\varphi)\) d'invariants \(G\) et \(M = Z(F)\) (centre).

a) Description directe : on a la Gr-catégorie \(P(F)\) des bitorseurs sous \(F\), qui a comme invariants \[\pi_0(P(F)) \in \mathrm{Autext}\,F ; \qquad \pi_1(P(F)) = Z(F), \ \text{centre de } F.\] le premier signe est bien « \(\in\) » sur la page ; on attendrait « \(=\) » On définit donc \(P(\varphi)\) comme image inverse.

b) Description en termes des 2-gerbes liées par \(M\).

NB. Les trivialisations de \(P(\varphi)\) correspondent aux réalisations de \(\varphi\) par une extension de \(G\) par \(F\) subordonnée à \(\varphi\). Il faudrait encore préciser ce point en termes d'une équivalence de 2-catégories (2-torseurs sous une 2-catégorie de Picard). On retrouve ainsi le cas de Mac Lane dans \(H^3(G,M)\), obstruction à la réalisabilité du « noyau » \(\varphi\) par une extension (cas analogue du lien \(\varphi\) par une 1-gerbe). Mais le fait que tous les éléments des \(H^3(G,M)\) (i.e. les catégories de Picard épinglées par \((G,M)\)) puissent ainsi s'obtenir à l'aide de « noyaux » ne fait pas (pour l'instant) l'objet d'une logique générale.

Catégories et champs de Picard épinglés (pages 11 à 17)

11page 3 de la main de l'auteur c) Soient \(P\), \(P'\) deux catégories de Picard, épinglées par \(M\), \(N\). Pour qu'elles soient équivalentes (avec leurs épinglages) il f. et s. que les applications \(\sigma_P\), \(\sigma_{P'}\) \(: M \to {}_2N\) soient les =s. La catégorie des équivalences est alors un 1-torseur sous la catégorie de Picard stricte d'invariants \(\mathrm{Ext}^1(M,N)\) et \(\mathrm{Hom}(M,N)\) (obtenus par \(\mathrm{RHom}(M,N)\) tronqué)

d) La classification… des cat. de Picard épinglées par \(M\), \(N\), à équivalence près, est (comme groupe) \(\simeq \mathrm{Hom}(M, {}_2N)\).

e) Revenant à la situation de c) et utilisant la multiplication de Baer des Pic-cat. épinglées par \((M,N)\) — trouver que celles qui correspondent à un \(\sigma : M \to {}_2N\) donné forment une 2-catégorie qui est un 2-torseur sous la 2-catégorie de Picard stricte formée des cat. de Pic. strictes épinglées par \(M\), \(N\) [qui est un 2-groupoïde connexe : tous les objets sont 2-équivalents…]

f) Les Pic-catégories forment une 2-catégorie AUC de façon évidente (et sur les objets et flèches) … la fin de la page, très raturée, s'interrompt sur « \(D\), » ; la page suivante reprend le sujet sous un nouveau numéro

126. Pic-catégories. On peut définir les Pic-catégories comme les objets d'une 3-catégorie, qui sera une sous-3-catégorie (pleine au niveau des 2-objets et 3-objets) de celle des Gr-catégories. suit un passage biffé : « Soient \(P\), \(P'\) deux Pic-catégories, et \(\Lambda, \Lambda' : P \rightrightarrows P'\) deux \(\otimes\)-foncteurs … »

Mais on peut aussi penser à la 2-catégorie associée en gardant les =s 0 et 1 objets, mais en prenant les 2-objets à isom. près (c'est en fait la solution […]) et oubliant les 3-objets. Si on se restreint aux cat. de Picard strictes, retrouve-t-on alors la 2-catégorie de Deligne (où les catégories Hom sont elles-mêmes des catégories de Picard, déduites des \(\mathrm{RHom}(L_{.}, L'_{.})\) par troncature).

Si on s'intéresse surtout aux Pic-cat. strictes, on peut dire ceci :

a) Soit \(P\) une Gr-catégorie. Elle admet une structure de Pic-catégorie (une contrainte de comm. compatible avec […]) ssi elle est splittable, i.e. \(k(P) \in H^3(\pi_0, \pi_1)\) est nul. Alors \(P\) admet = une structure de Picard stricte.

b) Les structures de Picard strictes sur \(P\) forment un torseur sous \(\mathrm{Bilant}\)\((\pi_0, \pi_0, \pi_1)\). Les structures de Picard strictes forment un sous-torseur sous \(\mathrm{Bilalt}(\pi_0, \pi_0 ; \pi_1)\). le premier mot, surchargé d'une correction, se lit « Bilant » ou « Bilalt » ; le second est nettement « Bilalt »

13page 4 de la main de l'auteur […] Pour l'addition ordinaire ils forment des triples \((M, N, \sigma : M \to {}_2N)\). Si \(P\), \(P'\) sont associés à \((M,N,\sigma)\), \((M',N',\sigma')\), alors deux foncteurs \(\Lambda, \Lambda' : P \to P'\) \(\otimes\)-AUC — ils définissent le = hom \((M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma')\) (dans la catégorie déduite de (Pic) en passant au quotient par les 2-flèches). Mais bien sûr, la catégorie des \(\otimes\)-foncteurs AUC \(P \to P'\) qui sont subordonnés à un hom donné \((M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma')\) forment un groupoïde qui est un torseur sous la Pic-catégorie définie par troncation à partir de \(\mathrm{RHom}(M,N')\) (d'invariants \(\mathrm{Ext}^1(M,N')\), \(\mathrm{Hom}(M,N')\)).

NB : \(\mathrm{Hom}_{\otimes \mathrm{AUC}}(P, P')\) est un groupoïde

7) Traductions Extension aux champs de Picard sur un topos. Ils forment une 2-\(\otimes\)-catégorie AUC, et définissent un 2-\(\otimes\)-champ AUC. Il s'envoie dans la 1-\(\otimes\)-cat. AUC (ou 1-\(\otimes\)-champ AUC) des \((M, N, \sigma : M \to {}_2N)\), mais si \(\Lambda, \Lambda' : P \to P'\) définissent le = \((M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma')\), p.ex. l'identité, on…

14page très raturée ; plusieurs raccords restent conjecturaux …ne peut plus affirmer que \(\Lambda\) et \(\Lambda'\) sont isomorphes (ni = loc. isom.), c'est tjrs vrai […] \(\Lambda : P \to P'\) fixés si \(\mathrm{Ext}^1(S; M, N') = 0\) (resp. \(\mathrm{Ext}^1(M,N') = 0\)). On ne peut affirmer non plus qu'un hom \(\Lambda\) de \((M,N,\sigma)\) en \((M',N',\sigma')\) … [c'est OK si \(\mathrm{Ext}^2(S; M, N') = 0\), resp. \(\mathrm{Ext}^2\)\((M,N') = 0\)] … ni que tout \((M,N,\sigma)\) provienne (i.e. d'un \(P\) — cf. plus bas —) ; mais pour \(P\), \(P'\) \(\Lambda\) fixés, le champ des cat. des foncteurs AUC \(P \to P'\) correspondants est un 1-torseur sous le champ de Picard strict d'invariants \(\mathrm{Ext}^1(M,N')\), \(\mathrm{Hom}(M,N')\) obtenu par troncage de \(\mathrm{RHom}(M,N')\) ; l'obstruction à trouver un tel \(\widehat{\Lambda}\) est dans \(\mathrm{Ext}^2(S, M, N')\) [et il devient nul loc., et donc est dans \(H^0(S, \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N'))\)]. Tout ceci provient des jeux habituels : le Baer, et du fait qui en résulte, que pour \(M\), \(N\), \(\sigma\) fixés, les champs de Picard d'invariants…

On peut prendre pour \(\Lambda\) l'identité […]

15page 5 de la main de l'auteur \(M\), \(N\), \(\sigma\) forment une 2-catégorie 2-équivalente qui est un 2-ps-torseur sous la catégorie des champs de Picard stricts d'inv. \(M\), \(N\) (et \(\sigma\) donné…) — la « différence » de deux \(P\) et \(P'\) (épinglés par \(M\), \(N\), \(\sigma\)) est donc une cat. de Picard stricte d'inv. \(M\), \(N\) — d'invariant \(\in \mathrm{Ext}^2(S; M, N)\).

Il reste encore à voir à quelles conditions un triple \((M,N,\sigma)\) provient d'un \(P\). (L'obstruction serait-elle dans \(\mathrm{Ext}^3(S;M,N)\) ?)

C'est OK si \(\sigma\) est la restriction d'une application bilin. (antisymétrique) \(M \times M \to N\), \(\varphi(x,y) = -\varphi(y,x)\) — c'est le cas si \(M_2\) suit une demi-ligne biffée, illisible est un faisceau « libre », p.ex. si \(M\) est « libre » sur \(\mathbf{Z}\). Cela montre déjà que si \(M\) est quotient d'un \(L\) tel que le composé \(L \xrightarrow{\ p\ } M \xrightarrow{\ \sigma\ } {}_2N\) est réalisable par une cat. de Picard (disons \(P\), munie d'un élément de \(\mathrm{Ext}^2(S;L,N)\)), la « restriction » de cette \(P\) : \((R,N)\) (\(R = \mathrm{Ker}\,p\)) définit une classe dans \(\mathrm{Ext}^2(S;R,N)\) déterminée mod. images d'éléments des \(\mathrm{Ext}^2(S;L,N)\), donc son image \(\omega(\sigma)\) dans \(\mathrm{Ext}^3(S;M,N)\) est can. déterminée, et elle est nulle ssi l'on peut

cette condition s'interprète : \(P\) (d'invariants \((M,N,\sigma)\)) admet une […] contrainte de comm. qui en fasse un champ de Picard strict

16choisir \(P\) (Pic. d'invariants \(L\), \(N\)) telle que \(P|_R\) soit splittée — ou, ce qui revient au =, telle que \(P\) provienne d'une cat. de Pic. d'inv. \(M\), \(N\). le \(N\) des invariants corrige un \(M\) […] On vérifie immédiatement que \(\omega(\sigma)\) ne dépend pas des choix particuliers de \(L \to M \to 0\), et que sa formation est fonctorielle en \(M\), \(N\) et compatible avec […] les images inverses par morphismes de topos. On se place dans la situation universelle de \(M \to {}_2N\), soit \(M \xrightarrow{\ \sigma\ } {}_2N\) sur \(B\) — aurions \(\mathrm{Ext}^i(B; M,N) = 0\) pour \(i > 0\), en particulier \(\omega(\sigma) \in \mathrm{Ext}^3(B; M,N) = 0\) est nulle, donc \(\omega(\sigma)\) est nulle dans tous les cas !

17page 6 de la main de l'auteur \(M\), \(N\) faisceaux abéliens sur le topos \(X\). \(\mathcal{P}\) 2-catégorie des chps de Picard sur \(X\) épinglés par \(P\). comprendre sans doute « épinglés par \((M,N)\) » ; la page ne porte qu'une lettre \(\mathcal{P}\) est munie de la composition de Baer.

\(\pi_0(\mathcal{P})\) = groupe des objets de \(\mathcal{P}\) à équivalence près : \[0 \longrightarrow \mathrm{Ext}^2(M,N) \longrightarrow \pi_0(\mathcal{P}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(M, {}_2N) \longrightarrow 0\] le premier argument du \(\mathrm{Ext}^2\) se lit aussi bien \(N\) ; la suite exacte impose \(M\)

\(\pi_1(\mathcal{P})\) = groupe des classes d'isomorphie d'auto-équivalences d'un objet de \(\mathcal{P}\) \(= \mathrm{Ext}^1(M,N)\).

\(\pi_0(\mathcal{P})\) = groupe des automorphismes du foncteur identique d'un objet \(P\) de \(\mathcal{P}\) \(= \mathrm{Hom}(M,N)\). la page répète \(\pi_0\) ; il s'agit du groupe suivant, le \(\pi_2\)

\(\mathcal{P}\) 2-catégorie de Picard stricte ?

\(P \otimes P\) = catégorie dont les objets sont \((L, L')\) avec \(\partial L \simeq L'\) […] \[\mathrm{Hom}\bigl((L,L'), (U,U')\bigr) = \bigl[\mathrm{Hom}(L,U) \times \mathrm{Hom}(L',U')\bigr] / N \quad \text{(diagonale)}\]

Splittages et la 2-gerbe associée à une Gr-catégorie (pages 18 et 19)

18page 7 de la main de l'auteur. La page ouvre sur un tableau de correspondances : deux blocs face à face reliés par une double flèche, un bloc médian, et une flèche montant d'un quatrième bloc vers celui de droite ; les lignes du haut du bloc de droite et du bloc médian sont en partie biffées

« La 3-catégorie des Gr-catégories \(C\) avec \(\pi_0(C) = G\), \(\pi_1(C) = M\) une lettre biffée précède le \(M\), et 2-catégories des splittages des Gr-catégories » — « "noyaux" et représentations des noyaux par extensions » — « La 3-catégorie des 2-gerbes sur \(B_G\) de faisceaux de liens […] de liens commutatifs donnés (avec \(G\) opérant dessus) » — « Liens sur \(B_G\) et 2-gerbes des représentations des liens ».

Soit \(C\) une Gr-catégorie d'invariants \(G\), \(M\). On va lui associer une 2-gerbe \(\widetilde{C}\) sur \(B_G\), donc : à tout objet \(X\) de \(B_G\) (aux \(G\)-ens) on associe une 2-catégorie. Si \(X\) est l'objet final de \(B_G\), ce sera la 2-catégorie des splittages de \(C\).

Fixons pour tout \(x \in G\) un représentant \(L(x) \in \mathrm{Ob}\,C\), et pour tout couple \((x,y)\), d'un isom \(\varphi_{x,y} : L(x) \otimes L(y) \simeq L(xy)\) ; […] \((L, \varphi)\) (\(L : G \to \mathrm{Ob}\,C\), \(\varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}\,C\)) […] d'une 2-cochaîne […] \(\lambda : G \times G \to M\) […] \(\psi_{x,y} = \varphi_{x,y}\,\lambda(x,y)\), la donnée d'associativité […] soit nulle. L'ens. des \(L\) splitt. forme un espace principal homogène sous \(Z^2(G,M)\). Soient \((L,\varphi)\), \((L,\varphi')\) deux splittages épinglés de type \(G\), \(M\) tout ce passage est barré de grands traits obliques ; en marge et en interligne, un renvoi : « En termes de \(L\), \(\varphi\) — \(L : G \to \mathrm{Ob}\,C\), \(\varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}(C)\) »

Soit \(C_0\) la (Gr-)catégorie ci-décrite, splittée (i.e. […] l'identité) : \[\mathrm{Ob}\,C = G, \qquad \mathrm{Fl}\,C = G \times M \rightrightarrows G, \qquad s = b = \mathrm{pr}_1,\] \[(g,m) \cdot (g,m') = (g, m+m'), \qquad g \otimes g' = gg',\] devant \(g \otimes g' = gg'\), un premier départ « \((g,m) \otimes (g',m')\) » est biffé \[(g,m) \otimes (g',m') = (gg', m+m'), \qquad a_{g,g',g''} = \mathrm{id}_{gg'g''}.\] lire \(C_0\) — la page écrit \(C\) Or les splittages de \(C\) sont les équivalences des Gr-catégories (épinglées) \(S : C_0 \to C\), ([…] le \(S\) porte un exposant — \((L,\varphi)\) ? — surchargé

19[…] En tout cas, les splittages de \(C\) forment une catégorie, qui est un 1-torseur sous la Gr-catégorie des auto-équivalences de la Gr-catégorie \(C_0\) avec elle-=. Quels sont les invariants de cette dernière Gr-catégorie ?

Objets : les applications \(\varphi : G \times G \to M\) (2-cochaînes) qui sont des cobords.

Morphismes : \(\varphi \to \psi\) est l'ens. des 1-cochaînes dont le cobord est \(\psi - \varphi\).

Objets à isom. près : \(H^2(G,M)\) ; endomorphismes d'un objet : \(Z^1(G,M)\). la page porte bien « qui sont des cobords » quelques lignes avant « à isom. près : \(H^2(G,M)\) »

\begin{tikzcd}[column sep=normal]
C_0 \arrow[r, bend left=30, "S"] \arrow[r, bend right=30, "S'"'] & C
\end{tikzcd}

entre les deux flèches, une 2-flèche \(\alpha\) ; la flèche \(S\) porte les données \(L_x\), \(\varphi_{x,y}\), la flèche \(S'\) les données \(L'_{x'}\), \(\varphi'_{x',y'}\) \[\alpha'(x) = \alpha(x)\,\varphi(x),\] d'où \(\delta\varphi = 0\) ; \[\mathrm{Hom}(\alpha, \alpha') = \{\, m \in M \mid \alpha'(x) = \alpha(x)(gm - m) \,\}\] entre les deux membres, plusieurs essais biffés — on y lit « \(\alpha' = \alpha(\delta g)\) » ; la fin du second est rognée par la marge

un trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit

Soit \(C\) une catégorie […] d'invariants \(G\), \(M\) ; \(X\) un ens. où \(G\) opère. On va construire une 2-catégorie \(S(C,X)\) :

0-objets : systèmes \(L\), \(\varphi\) ainsi :

1. à tout couple \((x,g)\) (\(x \in X\), \(g \in G\)) un \(L(x,g) \in \mathrm{Ob}\,C\) ;
2. à tout triple \((x,g,g')\) (\(x \in X\), \(g \in G\), \(g' \in G\) l'appartenance du \(g'\) est surchargée) un isom \[L(x,g) \otimes L(gx, g') \simeq L(x, g'g).\] le premier argument du second facteur est surchargé — un \(gx\) récrit sur autre chose

\(X \times G \rightrightarrows X\) (\(\mathrm{pr}_1\) et l'opération) ; \(x \xrightarrow{\ g\ } gx \xrightarrow{\ g'\ } g'gx\)

Extensions d'une catégorie par un groupe (page 20)

20la page ouvre une nouvelle numérotation — page 1 de la main de l'auteur ; la note se poursuit au lot 2 \(\Gamma\) catégorie, \(M\) groupe […].

Une extension de \(\Gamma\) par \(M\) est la donnée :

a) pour toute flèche \(u \in \mathrm{Fl}\,\Gamma\), d'un \(M\)-bitorseur \(P_u\) ;

b) pour deux flèches composables \((u,v)\) de \(\Gamma\), d'un isom \(\varphi_{u,v} : P_u \otimes P_v \simeq P_{uv}\), avec axiome de commutativité du diagramme suivant, si \((u,v,w)\) composables (axiome pentagonal) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(P_u \otimes P_v) \otimes P_w \arrow[r, "\varphi_{u,v} \otimes \mathrm{id}"]
\arrow[d, "\mathrm{can}"'] & P_{uv} \otimes P_w \arrow[dd, "\varphi_{uv,w}"] \\
P_u \otimes (P_v \otimes P_w) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \varphi_{v,w}"'] & \\
P_u \otimes P_{vw} \arrow[r, "\varphi_{u,vw}"'] & P_{uvw}
\end{tikzcd}

\(\mathrm{Fl}_3(\Gamma)\), \(\mathrm{Fl}_2(\Gamma)\), \(\mathrm{Fl}_1\Gamma\), \(\mathrm{Fl}_0\Gamma\), chaque étage envoyé sur le précédent par ses flèches de faces — quatre, trois, deux

[NB — au lieu de se donner \(M\), il suffit de se donner une catégorie de P[…] \(\widetilde{P}\) — ici la catégorie des \(M\)-bitorseurs.]

[Invariants : 1) \(\mathrm{Fl}(\Gamma) \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(\widetilde{P})\) (\(=\) \(\mathrm{Autext}(M)\)) ; 2) \(c \in H^2(\Gamma ; \widetilde{P})\) — (c'est un \(H^2\) non commutatif, en général sans élément neutre […] [commutatif]).] les deux numéros sont cerclés sur la page ; l'intérieur du \(H^2\) est griffonné puis récrit, un \(\alpha\) y est biffé, et le \(\widetilde{P}\) des deux formules reste une lecture incertaine \(= \mathrm{Aut}(M)\) si \(M\) commutatif

Une 2-extension de \(\Gamma\) par \(M\) est la donnée :

a) pour toute flèche \(u \in \mathrm{Fl}\,\Gamma\), d'une \(M\)-gerbe \(P_u\) ;

b) pour deux flèches composables \(u\), \(v\), d'une équivalence \(\varphi_{u,v} : P_u \otimes P_v \simeq P_{uv}\) ;

c) pour trois flèches composables, d'un isom rendant commutatif le diagramme pentagonal