Fonds Grothendieck, cote n° 135, pages 1–20

« Tordre » une catégorie de Picard (pages 2 et 4)

« Tordre » une catégorie de Picard

1) Multiplier une Gr-catégorie par un groupe.

Soit C une (gr)-cat, \Gamma un groupe — on définit une nouvelle (Gr)-cat. notée \Gamma \times C. Le plus simple est de dire que \Gamma désigne une catégorie discrète d'ensemble sous-jacent \Gamma, et la loi de composition de \Gamma définit un foncteur \otimes, avec une ~~structure~~ contrainte d'associativité stricte ~~évidente~~. [Il existe une contrainte de commutativité ssi \Gamma est commutatif. (Les deux contraintes sont alors compatibles, et \Gamma est une catégorie ACU.)] On retrouve ainsi les produits des (Gr-cat) \Gamma et C. \pi_0(\Gamma \times C) = \pi_0(\Gamma) \times \pi_0(C) = \Gamma \times \pi_0(C) \xrightarrow{\ p\ } \pi_0(C) \pi_1(\Gamma \times C) = \pi_1(\Gamma) \times \pi_1(C) = \pi_1(C), \qquad k_{\Gamma \times C} = p^{*}(k_C).

2) Supposons que C soit = une Pic-cat, et \Gamma commutatif. ~~Alors~~ \Gamma \times C est une Pic-catégorie. le signe « = » tient lieu de « même » sous la plume de l'auteur ; l'abréviation revient tout au long du dossier

3) Si C est une Pic-catégorie, les autres contraintes de comm. qui en font (avec sa contrainte d'associativité) une Pic-catégorie compatibles avec la contrainte d'ass., correspondent aux applications bilinéaires antisymétriques \varphi : \pi_0(C) \times \pi_0(C) \longrightarrow \pi_1(C). L'application correspondante \pi_0(C) \xrightarrow{\ \Sigma_\varphi\ } \pi_1(C) est donnée par \Sigma_\varphi(x) = \varphi(x,x).

4) Lemme. Soient M, N deux groupes commutatifs, et \Sigma : M \to {}_2N un hom. Alors il existe une application bilinéaire antisymétrique \varphi : M \times M \to N telle que \varphi(x,x) = \Sigma(x) pour tout x \in M.

Remplaçant M, N resp. par M_2, {}_2N, on peut supposer M, N des vectoriels sur \mathbf{F}_2. la lettre qui précède M_2 est indistincte ; comprendre sans doute M/2M Soit (e_i)_{i \in I} une base de M ; alors \Sigma est donnée par les n_i = \Sigma(e_i) \in N, tandis que \varphi sera donnée par les \varphi(e_i, e_j) = n_{ij}, la condition d'antisymétrie (= symétrie) étant n_{ij} = n_{ji}. On prendra \varphi(e_i, e_j) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j \\ n_i & \text{si } i = j \end{cases} OK.

Corollaire. Toute catégorie de Picard devient stricte en changeant sa seule contrainte de commutativité. En tant que Gr-catégorie, elle est de type triviale… les deux derniers membres de phrase sont des ajouts interlinéaires serrés

5) Soit C une catégorie de Picard, \Gamma un groupe commutatif, \varphi : \Gamma \times \Gamma \to \pi_1(C) une application bilinéaire antisymétrique. On désigne par \Gamma \times^{\varphi} C la catégorie de Picard déduite de \Gamma \times C (cf n°2) par l'application bilinéaire antisym. \overline{\varphi} : \pi_0(\Gamma \times C) \times \pi_0(\Gamma \times C) \longrightarrow \pi_1(\Gamma \times C) (cf n°3) donnée par \overline{\varphi}((\alpha,x),(\beta,y)) = \varphi(\alpha,\beta). Avec comparaison de \pi_0(\Gamma \times^{\varphi} C) \approx \pi_0(\Gamma \times C), \qquad \pi_1(\Gamma \times^{\varphi} C) \cong \pi_1(C). le premier membre de gauche ne laisse pas voir le \varphi ; sous ces formules, un griffonnage à demi biffé — une flèche vers « F \times \Gamma » et deux flèches marquées \nu?, \varphi? — que nous ne savons pas lire

6) le numéro reste seul : la note s'interrompt là

Représentations d'un complexe semi-simplicial et 2-gerbes sur B_G (pages 7 à 10)

page 1 de la main de l'auteur 1. K complexe semi-simplicial, P ~~Gr-catégorie~~ \otimes-catégorie AU. « Représentation \Lambda de K dans P » : données

a) \forall\, u \in K_1, \Lambda(u) \in P ;

b) \forall\, \sigma \in K_2, posant u = d_1\sigma, v = d_3(\sigma), w = d_2(\sigma) : \Lambda(u) \otimes \Lambda(w) \simeq \Lambda(v) ; les lettres v et w se confondent sur la page, et le premier et le dernier indice de face sont douteux ; avec les indices tels que lus, la composition demanderait plutôt \Lambda(u) \otimes \Lambda(v) \simeq \Lambda(w)

c) \forall\, \Delta \in K_3, … « axiome des pentagones ».

La composée K_1 \to P \to \pi_0(P) définit un « homomorphisme » K_1 \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(P) = G, d'où un « homomorphisme » K_1 \xrightarrow{\ \overline{\alpha}\ } \mathrm{Aut}(\pi_1(P)) [\pi_1(P) = M], d'où un système local sur K de valeur M, noté (M, \overline{\alpha}) = \overline{M}.

Pb : quand K, P, \alpha (donc \overline{M}) sont fixés, on veut « classer » les représentations de K dans P correspondantes.

Résultat : ces représentations forment une 2-catégorie, qui est un « 2-torseur » sous une 2-catégorie de Picard stricte d'invariants H^2(K, \overline{M}), H^1(K, \overline{M}), H^0(K, \overline{M}). les arguments des trois H portent des résidus biffés — l'auteur a d'abord écrit (M, \alpha) avant de contracter en \overline{M} Cette 2-catégorie est contravariante p.r. à K variable, covariante p.r. à P variable.

Cas particuliers utiles pour la suite : K est le nerf d'une catégorie \mathcal{X}.

\mathrm{REP}(K ; P, \alpha), \mathrm{REP}(\mathcal{X} ; P, \alpha)

2. P Gr-catégorie donnée, d'invariants \pi_0(P) = G, \pi_1(P) = M. On va lui associer une 2-gerbe \widetilde{P} sur B_G — donc à tout X \in \mathrm{Ob}\,B_G (ensemble où G opère) on va associer une catégorie \widetilde{P}(X), ainsi : soit \mathcal{X} le nerf de la catégorie sous-jacente à X

(\mathrm{Ob}\,\mathcal{X} = X, \mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X …), avec l'application composée K_1 = \mathrm{Fl}\,\mathcal{X} = G \times X \xrightarrow{\ \mathrm{pr}\ } G. On pose \widetilde{P}(X) = \mathrm{Rep}(\mathcal{X} ; P, \alpha_X) = \mathrm{Rep}(X, P, \alpha_X) avec la contravariance p.r. à X évidente. On trouve que c'est un 2-champ, qui est une 2-gerbe liée par M_{(B_G)} (définie par l'opération de G sur M). un mot biffé — « construit » ? — précède la parenthèse

Variante — \widetilde{P} est covariante en P dans un sens évident… En fait cela définit un morphisme de la 3-catégorie des dans la 3-catégorie des 2-gerbes sur des B_G variables. passage chargé de ratures ; un « Fixons » est biffé en cours de phrase, et la marge gauche porte deux numéros d'alinéa dont l'un est biffé

3. On a ainsi une équivalence de 3-catégories. Plus explicitement, G et le G-module M étant fixés — … une équivalence entre la 3-catégorie des Gr-catégories ~~de Pic…~~ épinglées par (G,M), et la 3-catégorie des 2-gerbes sur B_G liées par M_{(B_G)}.

Soient P Gr-catégorie épinglée par G, M ; P' —— G', M' ; G \xrightarrow{\ u\ } G', M \xrightarrow{\ v\ } M' homs compatibles avec les opérations. Alors les \otimes-hom P \to P' compatibles avec G \to G', M \to M' forment une 2-catégorie… « épinglée par » corrige un « d'invariants » biffé ; la ligne de P' répète celle de P par un long tiret

page 2 de la main de l'auteur …qui est un 2-ps-torseur sous une 2-Pic-catégorie, et ce 2-torseur est 2-équivalent à celui des hom de 2-gerbes sur B_G liées par M'_{B_G}, de \widetilde{P} \otimes_{M_{B_G}} M'_{B_G} dans B_u^{*}(\widetilde{P}'). Les invariants de la 2-Pic-catégorie pertinente sont H^2(G,M'), H^1(G,M'), H^0(G,M'). L'obstruction à trouver un objet dans le 2-ps-torseur est dans H^3(G,M'), et cela se calcule comme différence de deux classes, images canoniques d'éléments qui dérivent des H^3(G,M) et H^3(G',M').

M_{B_G} \to M'_{B_G} ; B_G \xrightarrow{\ B_u\ } B_{G'}

4. Généralisation aux Gr-champs sur un topos S. ~~Bien sûr,~~ si G (groupe sur S) et M (G-Module sur S) sont donnés, on interprète tout en termes de 2-gerbes « relatives » sur B_G mod S, liées par M_{B_G}, i.e. 2-gerbes sur B_G trivialisées sur S (par S \simeq B_e \to B_G). Il faudrait la mettre « en scène » avec l'histoire des 1-gerbes relatives sur B_G, correspondant aux extensions de G par M. Il faudrait traiter en = temps le cas d'un M non commutatif…

5. Relations avec les « noyaux » de Mac Lane, ou « liens ». Soit G groupe, F groupe, \varphi : G \longrightarrow \mathrm{Autext}(F) hom (cela = se donner un lien sur B_G). On va lui associer une Gr-catégorie ~~de Picard~~ P(\varphi) d'invariants G et M = Z(F) (centre).

a) Description directe : on a la Gr-catégorie P(F) des bitorseurs sous F, qui a comme invariants \pi_0(P(F)) \in \mathrm{Autext}\,F ; \qquad \pi_1(P(F)) = Z(F), \ \text{centre de } F. le premier signe est bien « \in » sur la page ; on attendrait « = » On définit donc P(\varphi) comme image inverse.

~~b) Description en termes des 2-gerbes liées par M.~~

NB. Les trivialisations de P(\varphi) correspondent aux réalisations de \varphi par une extension de G par F subordonnée à \varphi. Il faudrait encore préciser ce point en termes d'une équivalence de 2-catégories (2-torseurs sous une 2-catégorie de Picard). On retrouve ainsi le cas de Mac Lane dans H^3(G,M), obstruction à la réalisabilité du « noyau » \varphi par une extension (cas analogue du lien \varphi par une 1-gerbe). ~~Mais~~ le fait que tous les éléments des H^3(G,M) (i.e. les catégories de Picard épinglées par (G,M)) puissent ainsi s'obtenir à l'aide de « noyaux » ne fait pas (pour l'instant) l'objet d'une logique générale.

Catégories et champs de Picard épinglés (pages 11 à 17)

page 3 de la main de l'auteur c) Soient P, P' deux catégories de Picard, épinglées par M, N. Pour qu'elles soient équivalentes (avec leurs épinglages) il f. et s. que les applications \sigma_P, \sigma_{P'} : M \to {}_2N soient les =s. La catégorie des équivalences est alors un 1-torseur sous la catégorie de Picard stricte d'invariants \mathrm{Ext}^1(M,N) et \mathrm{Hom}(M,N) (obtenus par \mathrm{RHom}(M,N) tronqué)

d) La classification… des cat. de Picard épinglées par M, N, à équivalence près, est (comme groupe) \simeq \mathrm{Hom}(M, {}_2N).

e) Revenant à la situation de c) et utilisant la multiplication de Baer des Pic-cat. épinglées par (M,N) — trouver que celles qui correspondent à un \sigma : M \to {}_2N donné forment une 2-catégorie qui est un 2-torseur sous la 2-catégorie de Picard stricte formée des cat. de Pic. strictes épinglées par M, N [qui est un 2-groupoïde connexe : tous les objets sont 2-équivalents…]

f) Les Pic-catégories forment une 2-catégorie AUC de façon évidente (et sur les objets et flèches) … la fin de la page, très raturée, s'interrompt sur « D, » ; la page suivante reprend le sujet sous un nouveau numéro

6. Pic-catégories. On peut définir les Pic-catégories comme les objets d'une 3-catégorie, qui sera une sous-3-catégorie (pleine au niveau des 2-objets et 3-objets) de celle des Gr-catégories. suit un passage biffé : « Soient P, P' deux Pic-catégories, et \Lambda, \Lambda' : P \rightrightarrows P' deux \otimes-foncteurs … »

Mais on peut aussi penser à la 2-catégorie associée en gardant les =s 0 et 1 objets, mais en prenant les 2-objets à isom. près (c'est en fait la solution ) et oubliant les 3-objets. Si on se restreint aux cat. de Picard strictes, retrouve-t-on alors la 2-catégorie de Deligne (où les catégories Hom sont elles-mêmes des catégories de Picard, déduites des \mathrm{RHom}(L_{.}, L'_{.}) par troncature).

Si on s'intéresse surtout aux Pic-cat. strictes, on peut dire ceci :

a) Soit P une Gr-catégorie. Elle admet une structure de Pic-catégorie (une contrainte de comm. compatible avec ) ssi elle est splittable, i.e. k(P) \in H^3(\pi_0, \pi_1) est nul. Alors P admet = une structure de Picard stricte.

b) Les structures de Picard ~~strictes~~ sur P forment un torseur sous \mathrm{Bilant}(\pi_0, \pi_0, \pi_1). Les structures de Picard strictes forment un sous-torseur sous \mathrm{Bilalt}(\pi_0, \pi_0 ; \pi_1). le premier mot, surchargé d'une correction, se lit « Bilant » ou « Bilalt » ; le second est nettement « Bilalt »

page 4 de la main de l'auteur Pour l'addition ordinaire ils forment des triples (M, N, \sigma : M \to {}_2N). Si P, P' sont associés à (M,N,\sigma), (M',N',\sigma'), alors deux foncteurs \Lambda, \Lambda' : P \to P' \otimes-AUC — ils définissent le = hom (M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma') (dans la catégorie déduite de (Pic) en passant au quotient par les 2-flèches). Mais bien sûr, la catégorie des \otimes-foncteurs AUC P \to P' qui sont subordonnés à un hom donné (M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma') forment un groupoïde qui est un torseur sous la Pic-catégorie définie par troncation à partir de \mathrm{RHom}(M,N') (d'invariants \mathrm{Ext}^1(M,N'), \mathrm{Hom}(M,N')).

NB : \mathrm{Hom}_{\otimes \mathrm{AUC}}(P, P') est un groupoïde

7) ~~Traductions~~ Extension aux champs de Picard sur un topos. Ils forment une 2-\otimes-catégorie AUC, et définissent un 2-\otimes-champ AUC. Il s'envoie dans la 1-\otimes-cat. AUC (ou 1-\otimes-champ AUC) des (M, N, \sigma : M \to {}_2N), mais si \Lambda, \Lambda' : P \to P' définissent le = (M,N,\sigma) \to (M',N',\sigma'), p.ex. l'identité, on…

page très raturée ; plusieurs raccords restent conjecturaux …ne peut plus affirmer que \Lambda et \Lambda' sont isomorphes (ni = loc. isom.), c'est tjrs vrai \Lambda : P \to P' fixés si \mathrm{Ext}^1(S; M, N') = 0 (resp. \mathrm{Ext}^1(M,N') = 0). On ne peut affirmer non plus qu'un hom \Lambda de (M,N,\sigma) en (M',N',\sigma') … [c'est OK si \mathrm{Ext}^2(S; M, N') = 0, resp. \mathrm{Ext}^2(M,N') = 0] … ni que tout (M,N,\sigma) provienne (i.e. d'un P — cf. plus bas —) ; mais pour P, P' \Lambda fixés, le champ des ~~cat. des~~ foncteurs AUC P \to P' correspondants est un 1-torseur sous le champ de Picard strict d'invariants \mathrm{Ext}^1(M,N'), \mathrm{Hom}(M,N') obtenu par troncage de \mathrm{RHom}(M,N') ; l'obstruction à trouver un tel \widehat{\Lambda} est dans \mathrm{Ext}^2(S, M, N') [et il devient nul loc., et donc est dans H^0(S, \underline{\mathrm{Ext}}^2(M,N'))]. Tout ceci provient des jeux habituels : le Baer, et du fait qui en résulte, que pour M, N, \sigma fixés, les champs de Picard d'invariants…

On peut prendre pour \Lambda l'identité

page 5 de la main de l'auteur M, N, \sigma forment une 2-catégorie ~~2-équivalente~~ qui est un 2-ps-torseur sous la catégorie des champs de Picard stricts d'inv. M, N (et \sigma donné…) — la « différence » de ~~deux~~ P et P' (épinglés par M, N, \sigma) est donc une cat. de Picard stricte d'inv. M, N — d'invariant \in \mathrm{Ext}^2(S; M, N).

Il reste encore à voir à quelles conditions un triple (M,N,\sigma) provient d'un P. ~~(L'obstruction serait-elle dans \mathrm{Ext}^3(S;M,N) ?)~~

C'est OK si \sigma est la restriction d'une application bilin. (antisymétrique) M \times M \to N, \varphi(x,y) = -\varphi(y,x) — c'est le cas si M_2 suit une demi-ligne biffée, illisible est un faisceau « libre », p.ex. si M est « libre » sur \mathbf{Z}. Cela montre déjà que si M est quotient d'un L tel que le composé L \xrightarrow{\ p\ } M \xrightarrow{\ \sigma\ } {}_2N est réalisable par une cat. de Picard (disons P, munie d'un élément de \mathrm{Ext}^2(S;L,N)), la « restriction » de cette P : (R,N) (R = \mathrm{Ker}\,p) définit une classe dans \mathrm{Ext}^2(S;R,N) déterminée mod. images d'éléments des \mathrm{Ext}^2(S;L,N), donc son image \omega(\sigma) dans \mathrm{Ext}^3(S;M,N) est can. déterminée, et elle est nulle ssi l'on peut

cette condition s'interprète : P (d'invariants (M,N,\sigma)) admet une contrainte de comm. qui en fasse un champ de Picard strict

choisir P (Pic. d'invariants L, N) telle que P|_R soit splittée — ou, ce qui revient au =, telle que P provienne d'une cat. de Pic. d'inv. M, N. le N des invariants corrige un M On vérifie immédiatement que \omega(\sigma) ne dépend pas des choix particuliers de L \to M \to 0, et que sa formation est fonctorielle en M, N et compatible avec les images inverses par morphismes de topos. On se place dans la situation universelle de M \to {}_2N, soit M \xrightarrow{\ \sigma\ } {}_2N sur B — aurions \mathrm{Ext}^i(B; M,N) = 0 pour i > 0, en particulier \omega(\sigma) \in \mathrm{Ext}^3(B; M,N) = 0 est nulle, donc \omega(\sigma) est nulle dans tous les cas !

page 6 de la main de l'auteur M, N faisceaux abéliens sur le topos X. \mathcal{P} 2-catégorie des chps de Picard sur X épinglés par P. comprendre sans doute « épinglés par (M,N) » ; la page ne porte qu'une lettre \mathcal{P} est munie de la composition de Baer.

\pi_0(\mathcal{P}) = groupe des objets de \mathcal{P} à équivalence près : 0 \longrightarrow \mathrm{Ext}^2(M,N) \longrightarrow \pi_0(\mathcal{P}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(M, {}_2N) \longrightarrow 0 le premier argument du \mathrm{Ext}^2 se lit aussi bien N ; la suite exacte impose M

\pi_1(\mathcal{P}) = groupe des classes d'isomorphie d'auto-équivalences d'un objet de \mathcal{P} = \mathrm{Ext}^1(M,N).

\pi_0(\mathcal{P}) = groupe des automorphismes du foncteur identique d'un objet P de \mathcal{P} = \mathrm{Hom}(M,N). la page répète \pi_0 ; il s'agit du groupe suivant, le \pi_2

\mathcal{P} 2-catégorie de Picard stricte ?

P \otimes P = catégorie dont les objets sont (L, L') avec \partial L \simeq L' \mathrm{Hom}\bigl((L,L'), (U,U')\bigr) = \bigl[\mathrm{Hom}(L,U) \times \mathrm{Hom}(L',U')\bigr] / N \quad \text{(diagonale)}

Splittages et la 2-gerbe associée à une Gr-catégorie (pages 18 et 19)

page 7 de la main de l'auteur. La page ouvre sur un tableau de correspondances : deux blocs face à face reliés par une double flèche, un bloc médian, et une flèche montant d'un quatrième bloc vers celui de droite ; les lignes du haut du bloc de droite et du bloc médian sont en partie biffées

« La 3-catégorie des Gr-catégories C avec \pi_0(C) = G, \pi_1(C) = M une lettre biffée précède le M, et 2-catégories des splittages des Gr-catégories » — « "noyaux" et représentations des noyaux par extensions » — « La 3-catégorie des 2-gerbes sur B_G ~~de faisceaux~~ ~~de liens~~ de liens commutatifs donnés (avec G opérant dessus) » — « Liens sur B_G et 2-gerbes des représentations des liens ».

Soit C une Gr-catégorie d'invariants G, M. On va lui associer une 2-gerbe \widetilde{C} sur B_G, donc : à tout objet X de B_G (aux G-ens) on associe une 2-catégorie. Si X est l'objet final de B_G, ce sera la 2-catégorie des splittages de C.

Fixons pour tout x \in G un représentant L(x) \in \mathrm{Ob}\,C, et pour tout couple (x,y), d'un isom \varphi_{x,y} : L(x) \otimes L(y) \simeq L(xy) ; (L, \varphi) (L : G \to \mathrm{Ob}\,C, \varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}\,C) d'une 2-cochaîne \lambda : G \times G \to M \psi_{x,y} = \varphi_{x,y}\,\lambda(x,y), la donnée d'associativité soit nulle. L'ens. des L splitt. forme un espace principal homogène sous Z^2(G,M). Soient (L,\varphi), (L,\varphi') deux splittages épinglés de type G, M tout ce passage est barré de grands traits obliques ; en marge et en interligne, un renvoi : « En termes de L, \varphi — L : G \to \mathrm{Ob}\,C, \varphi : G \times G \to \mathrm{Fl}(C) »

Soit C_0 la (Gr-)catégorie ci-décrite, splittée ~~(i.e. l'identité)~~ : \mathrm{Ob}\,C = G, \qquad \mathrm{Fl}\,C = G \times M \rightrightarrows G, \qquad s = b = \mathrm{pr}_1, (g,m) \cdot (g,m') = (g, m+m'), \qquad g \otimes g' = gg', devant g \otimes g' = gg', un premier départ « (g,m) \otimes (g',m') » est biffé (g,m) \otimes (g',m') = (gg', m+m'), \qquad a_{g,g',g''} = \mathrm{id}_{gg'g''}. lire C_0 — la page écrit C Or les splittages de C sont les équivalences des Gr-catégories (épinglées) S : C_0 \to C, ( le S porte un exposant — (L,\varphi) ? — surchargé

En tout cas, les splittages de C forment une catégorie, qui est un 1-torseur sous la Gr-catégorie des auto-équivalences de la Gr-catégorie C_0 avec elle-=. Quels sont les invariants de cette dernière Gr-catégorie ?

Objets : les applications \varphi : G \times G \to M (2-cochaînes) qui sont des cobords.

Morphismes : \varphi \to \psi est l'ens. des 1-cochaînes dont le cobord est \psi - \varphi.

Objets à isom. près : H^2(G,M) ; endomorphismes d'un objet : Z^1(G,M). la page porte bien « qui sont des cobords » quelques lignes avant « à isom. près : H^2(G,M) »

\begin{tikzcd}[column sep=normal] C_0 \arrow[r, bend left=30, "S"] \arrow[r, bend right=30, "S'"'] & C \end{tikzcd}

entre les deux flèches, une 2-flèche \alpha ; la flèche S porte les données L_x, \varphi_{x,y}, la flèche S' les données L'_{x'}, \varphi'_{x',y'} \alpha'(x) = \alpha(x)\,\varphi(x), d'où \delta\varphi = 0 ; \mathrm{Hom}(\alpha, \alpha') = \{\, m \in M \mid \alpha'(x) = \alpha(x)(gm - m) \,\} entre les deux membres, plusieurs essais biffés — on y lit « \alpha' = \alpha(\delta g) » ; la fin du second est rognée par la marge

un trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit

Soit C une catégorie d'invariants G, M ; X un ens. où G opère. On va construire une 2-catégorie S(C,X) :

0-objets : systèmes L, \varphi ainsi :

à tout couple (x,g) (x \in X, g \in G) un L(x,g) \in \mathrm{Ob}\,C ; à tout triple (x,g,g') (x \in X, g \in G, g' \in G l'appartenance du g' est surchargée) un isom L(x,g) \otimes L(gx, g') \simeq L(x, g'g). le premier argument du second facteur est surchargé — un gx récrit sur autre chose

X \times G \rightrightarrows X (\mathrm{pr}_1 et l'opération) ; x \xrightarrow{\ g\ } gx \xrightarrow{\ g'\ } g'gx

Extensions d'une catégorie par un groupe (page 20)

la page ouvre une nouvelle numérotation — page 1 de la main de l'auteur ; la note se poursuit au lot 2 \Gamma catégorie, M groupe .

Une extension de \Gamma par M est la donnée :

a) pour toute flèche u \in \mathrm{Fl}\,\Gamma, d'un M-bitorseur P_u ;

b) pour deux flèches composables (u,v) de \Gamma, d'un isom \varphi_{u,v} : P_u \otimes P_v \simeq P_{uv}, avec axiome de commutativité du diagramme suivant, si (u,v,w) composables (axiome pentagonal) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] (P_u \otimes P_v) \otimes P_w \arrow[r, "\varphi_{u,v} \otimes \mathrm{id}"] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & P_{uv} \otimes P_w \arrow[dd, "\varphi_{uv,w}"] \\ P_u \otimes (P_v \otimes P_w) \arrow[d, "\mathrm{id} \otimes \varphi_{v,w}"'] & \\ P_u \otimes P_{vw} \arrow[r, "\varphi_{u,vw}"'] & P_{uvw} \end{tikzcd}

\mathrm{Fl}_3(\Gamma), \mathrm{Fl}_2(\Gamma), \mathrm{Fl}_1\Gamma, \mathrm{Fl}_0\Gamma, chaque étage envoyé sur le précédent par ses flèches de faces — quatre, trois, deux

[NB — au lieu de se donner M, il suffit de se donner une catégorie ~~de P~~ \widetilde{P} — ici la catégorie des M-bitorseurs.]

[Invariants : 1) \mathrm{Fl}(\Gamma) \xrightarrow{\ \alpha\ } \pi_0(\widetilde{P}) (= \mathrm{Autext}(M)) ; 2) c \in H^2(\Gamma ; \widetilde{P}) — (c'est un H^2 non commutatif, en général sans élément neutre [commutatif]).] les deux numéros sont cerclés sur la page ; l'intérieur du H^2 est griffonné puis récrit, un \alpha y est biffé, et le \widetilde{P} des deux formules reste une lecture incertaine = \mathrm{Aut}(M) si M commutatif

Une 2-extension de \Gamma par M est la donnée :

a) pour toute flèche u \in \mathrm{Fl}\,\Gamma, d'une M-gerbe P_u ;

b) pour deux flèches composables u, v, d'une équivalence \varphi_{u,v} : P_u \otimes P_v \simeq P_{uv} ;

c) pour trois flèches composables, d'un isom rendant commutatif le diagramme pentagonal