Cote n° 134-2 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · [Chapitre I : Take off (pages 1 à 65) et table des matières provisoire] : tapuscrits annotés (19/02-22/02/1983), note manuscrite (s.d.), copies de lettre (1975, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1975-[1983]
Édition de démonstration

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Traduction anglaise (R. Brown) de la lettre à L. Breen du 17.2.1975

122numérotation : à partir de la p. 115, le crayon des archivistes a un de plus que la position dans le dossier ; cette page est crayonnée 123. Début de la traduction anglaise dactylographiée, par R. Brown, de la lettre à L. Breen du 17.2.1975 (« Translation of a letter of A. Grothendieck to L. Breen 17/2/1975 », « Dear Larry »), dont la copie française est transcrite au lot 3 (pp. 48 à 55) ; texte d'un tiers, résumé. Contenu : le pro-type d'homotopie associé à un topos ; critère d'Artin–Mazur pour qu'un morphisme de topos soit une « équivalence d'homotopie en dim \(\leqslant n\) », reformulé en termes de \(n\)-champs localement constants (énoncés (A) et (B)) ; énoncé (C) : les \((n-1)\)-champs localement constants sur \(X\) comme \(n\)-foncteurs du \(n\)-groupoïde fondamental \(\Pi_n(X)\) vers \(((n-1)\text{-Cat})\) ; cas \(n = 1\) (Poincaré, SGA 3). En marge gauche, au crayon gris, de la main de R. Brown (vérifié sur le fac-similé par Michel Hua, 2026-10-15) : « topoi » (en face de « toposes ») et « stack », souligné (en face de « n-champ »).

123p. « 2 » de la traduction. Le cas \(n=1\) : le groupoïde \(C_1\) retrouvé à partir du topos « multigalois » des systèmes locaux ; le \(n\)-topos classifiant \(\mathbb{C}_n = (n\text{-}\mathit{Hom})(C_n, ((n-1)\text{-Cat}))\) (« Brrr! ») ; doute sur l'existence d'un topos classifiant ordinaire pour un \(n\)-groupoïde dès \(n = 2\), rapproché de l'échec présumé du théorème de van Kampen pour \(\Pi_2\). En marge, dactylographié et coupé à gauche : « [t]his seems / suspect » (remarque du traducteur, non de Grothendieck).

124p. « 3 » de la traduction. Cohomologie d'un \(n\)-groupoïde \(C_n\) via (B) : \(\Gamma_X(F) \simeq \mathit{Hom}(e^X_{n-1}, F)\) ; « apologie » à la lettre précédente : cohomologie non commutative d'un topos par intégration de \(n\)-champs ; pour un \(n\)-champ de Picard strict défini par un complexe \(L^\bullet\), \(H^i(X, L^\bullet) = \pi_{n-i}\Gamma_X(F)\), et le foncteur « espace classifiant » \(\mathbb{C}\) pour les \(H^i\) de degré quelconque ; début d'un « N.B. » sur le morphisme canonique \(\mathbb{C}(\Gamma_X F) \to \Gamma_X(\mathbb{C}F)\).

125p. « 4 » de la traduction. Fin du N.B. ; second N.B. : pour un \(n\)-champ en groupoïdes, \(H^i(X,F) = \pi_{n-i}(\Gamma_X(F))\) sans structure de Picard, et pour un \(n\)-Gr-champ jusqu'à \(H^{n+1}\) par le \((n+1)\)-champ classifiant ; cas d'un \(n\)-champ localement constant donné par un \((n+1)\)-foncteur \(C_{n+1} \to\) (strict Picard \(n\)-Cat), définition de \(H^i(C, F)\) pour un \(\infty\)-groupoïde \(C\), et question : décrire la flèche \(H^{n+1}(X,F) \simeq H^{n+1}(\Pi_{n+1}(X), F)\).

126p. « 5 » de la traduction, fin de la lettre, signée « Alexandre. ». Énoncés (A') et (B') pour un \((n+1)\)-foncteur \(f_{n+1}\colon C_{n+1} \to D_{n+1}\) ; la cohomologie d'un topos par intégration de champs, sans complexes de faisceaux ni résolutions injectives ; les trois points de vue (a) complexes de faisceaux (algèbre homologique commutative), (b) Čechiste ou semi-simplicial (algèbre homotopique), (c) \(n\)-champs (algèbre homologique non commutative) — en (a) on résout les coefficients, en (b) la base, en (c) ni l'un ni l'autre.

Traduction anglaise (R. Brown) d'un extrait de la lettre à L. Breen des 17–19.7.1975

128début de la traduction anglaise dactylographiée, par R. Brown, d'un extrait de la lettre à L. Breen des 17–19 juillet 1975 (« Translation of an extract from a Letter from A. Grothendieck to L. Breen 17-19 July, 1975 ») ; deux mots du titre sont effacés au correcteur. Texte d'un tiers, résumé ; l'original français manuscrit est plus loin dans le dossier (pp. 145 à 184). Contenu : réponse à la construction de Breen des \(n\)-catégories non strictes et du foncteur nerf (mérite d'exister, mais technique et sans foncteur des ensembles (semi-)simpliciaux vers les \(n\)-groupoïdes) ; idée d'une « liste de cadeaux de Noël » menant à une description axiomatique ; l'idée de Segal non comprise ; ce qu'il demande aux \(n\)-catégories de Picard strictes.

129p. « 2 » de la traduction. Les \(n\)-catégories de Picard strictes équivalentes aux complexes de chaînes de longueur \(n\) ; la « grosse bévue » sur les H-espaces rectifiée par Breen ; question d'un analogue du « tapis » de Dold–Puppe pour les groupes semi-simpliciaux non commutatifs, et le yoga « simplicial sets \(\longleftrightarrow\) \(\infty\)-groupoids » comme version ensembliste ultime de Dold–Puppe ; les groupes dans (1-cat), Gr-catégories strictes (livre de Mme Sinh), calcul de fractions.

130p. « 3 » de la traduction. Les groupes dans (1-cat) décrits par un quadruplet \((L_1, L_0, d, \theta)\), \(d\colon L_1 \to L_0\), \(\theta\colon L_0 \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{Gr}}(L_1)\), avec les deux axiomes (a) \(d(\theta(x_0).x_1) = \mathrm{int}(x_0)\, d(x_1)\), (b) \(\theta(d(x_1)) = \mathrm{int}(x_1)\) (modules croisés) ; \(\pi_0 = \operatorname{Coker} d\), \(\pi_1 = \operatorname{Ker} d\) central, invariant de Postnikov–Sinh \(\alpha \in H^3(\pi_0, \pi_1)\) ; rencontres de ces objets, notamment pour la classification des groupes formels sur un corps parfait.

131p. « 4 » de la traduction. Question de la généralisation aux groupes dans (\(n\)-cat) : un complexe de chaînes non commutatif \(L_n \to L_{n-1} \to \dots \to L_1 \to L_0 \to 1\) avec des structures supplémentaires du type de \(\theta\), modélisant le type d'homotopie tronqué des groupes topologiques ; « Have you candidates to propose? ». Puis, entre crochets, du traducteur : un commentaire sur la bidualité et l'homologie est omis. Bas de page blanc.

132p. « 5 » de la traduction. Sur la question 7 de Breen : ce qui reste d'un topos \(X\) dans la catégorie homotopique — les \(\pi_i\), la cohomologie à coefficients constants, et précisément les \(n\)-champs localement constants ; triangle d'objets qui se déterminent mutuellement : topos (ou espace, ou complexe semi-simplicial) modulo \(n\)-homotopie, \(n\)-groupoïdes, \(n\)-catégories « spéciales » (à \(n\)-équivalence près), dessiné à la machine avec trois doubles flèches.

133p. « 6 » de la traduction. Définition des \(n\)-catégories « spéciales » (ou \(n\)-galoisiennes), groupoïde fondamental \(G_n\), systèmes locaux, réalisation géométrique ; \(G_n\) comme sous-\(n\)-catégorie de \(\mathrm{Hom}_n(E_n, (n\text{-cat}))\) formée des foncteurs exacts ; hypothèse « localement homotopiquement trivial » ; pour le topos étale d'un schéma, pro-\(n\)-groupoïde fondamental et ind-\(n\)-catégorie.

134p. « 7 » de la traduction. La « résistance instinctive » de Breen à réduire un topos à son type d'homotopie ; vers une notion plus fine de type d'homotopie : faisceaux constructibles sur le topos étale d'un schéma, partitions finies en strates localement fermées, faisceaux « \(P\)-constructibles ».

135p. « 8 » de la traduction. Stabilité par les opérations (\(R\,\mathrm{Hom}\) (souligné), \(Rj_*j^*\)) et stratifications équisingulières ; exemple de deux strates \(X_0\) fermée et \(X_1 = X \setminus X_0\) : un faisceau \(F\) donné par \(F_1\) sur \(X_1\) et un morphisme \(F_0 \to i_0^* i_{1*}(F_1)\), exprimable par les seuls types d'homotopie de \(X_0\) et \(X_1\).

136p. « 9 » de la traduction. Le foncteur exact à gauche \(\phi\) ; « voisinage tubulaire étale » de \(X_0\) ; sur \(\mathbb{C}\), voisinage tubulaire \(T\) de \(X_0\) dans \(X\), bord \(\partial T\), \(\mathring{T} = T \setminus X_0 \simeq \partial T \times [0,1]\), \(\widetilde{X}_1 = X_1 \setminus \mathring{T}\), et \(X\) reconstitué à homéomorphisme près à partir du diagramme \(X_0 \xleftarrow{p} \partial T \xrightarrow{j} \widetilde{X}_1\) (\(p\) fibration, \(j\) inclusion).

137p. « 10 » de la traduction. \(X\) comme somme amalgamée ; \(\phi(F_1) \simeq p_* j^*(\widetilde{F}_1)\) ; donnée de \(F\) équivalente à \((F_0, \widetilde{F}_1, \tilde{u}\colon p^*(F_0) \to j^*(\widetilde{F}_1))\) ; variantes du diagramme avec \(\mathring{T} \xrightarrow{j'} X_1\), \(p'\colon \mathring{T} \to X_0\), puis \(p''\colon \mathring{T} \to T\).

138p. « 11 » de la traduction. \(p''\) « moralement » une fibration à jolie fibre ; les faisceaux \(P\)-constructibles pour une stratification équisingulière ramenés à un diagramme de types d'homotopie ordinaires \(X_0 \xleftarrow{p} \Delta \xrightarrow{j} X_1\) et des systèmes de coefficients locaux reliés par \(p^*(F_0) \to j^*(F_1)\) ; exercice proposé : exprimer les opérations usuelles dans ce dictionnaire.

139p. « 12 » de la traduction. Diagrammes vus dans la catégorie homotopique des ensembles semi-simpliciaux ; la « topologie modérée » (tame topology) : une stratification équisingulière d'un espace modéré compact donne canoniquement un diagramme de variétés à bord, reliées par des fibrations localement triviales et des inclusions de bord, d'où une description par dévissage. Un blanc dans la frappe avant « the inclusions of these pieces ».

140p. « 13 » de la traduction. Les faisceaux \(P\)-constructibles exprimés sur ce diagramme ; les six opérations traduites dans ce cadre homotopique ; pour un morphisme modéré \(f\colon X \to Y\), les quatre opérations \(Rf_*\), \(Rf_!\), \(Lg^*\), \(g^!\) ; paraphrase attendue pour les schémas excellents ; le « type d'homotopie fin » comme limite des « \(P\)-types d'homotopie ». La phrase continue au-delà du lot.