Traduction anglaise (R. Brown) de la lettre à L. Breen du 17.2.1975
numérotation : à partir de la p. 115, le crayon des archivistes a un de plus que la position dans le dossier ; cette page est crayonnée 123. Début de la traduction anglaise dactylographiée, par R. Brown, de la lettre à L. Breen du 17.2.1975 (« Translation of a letter of A. Grothendieck to L. Breen 17/2/1975 », « Dear Larry »), dont la copie française est transcrite au lot 3 (pp. 48 à 55) ; texte d'un tiers, résumé. Contenu : le pro-type d'homotopie associé à un topos ; critère d'Artin–Mazur pour qu'un morphisme de topos soit une « équivalence d'homotopie en dim \leqslant n », reformulé en termes de n-champs localement constants (énoncés (A) et (B)) ; énoncé (C) : les (n-1)-champs localement constants sur X comme n-foncteurs du n-groupoïde fondamental \Pi_n(X) vers ((n-1)\text{-Cat}) ; cas n = 1 (Poincaré, SGA 3). En marge gauche, au crayon gris, de la main de R. Brown (vérifié sur le fac-similé par Michel Hua, 2026-10-15) : « topoi » (en face de « toposes ») et « stack », souligné (en face de « n-champ »).
p. « 2 » de la traduction. Le cas n=1 : le groupoïde C_1 retrouvé à partir du topos « multigalois » des systèmes locaux ; le n-topos classifiant \mathbb{C}_n = (n\text{-}\mathit{Hom})(C_n, ((n-1)\text{-Cat})) (« Brrr! ») ; doute sur l'existence d'un topos classifiant ordinaire pour un n-groupoïde dès n = 2, rapproché de l'échec présumé du théorème de van Kampen pour \Pi_2. En marge, dactylographié et coupé à gauche : « [t]his seems / suspect » (remarque du traducteur, non de Grothendieck).
p. « 3 » de la traduction. Cohomologie d'un n-groupoïde C_n via (B) : \Gamma_X(F) \simeq \mathit{Hom}(e^X_{n-1}, F) ; « apologie » à la lettre précédente : cohomologie non commutative d'un topos par intégration de n-champs ; pour un n-champ de Picard strict défini par un complexe L^\bullet, H^i(X, L^\bullet) = \pi_{n-i}\Gamma_X(F), et le foncteur « espace classifiant » \mathbb{C} pour les H^i de degré quelconque ; début d'un « N.B. » sur le morphisme canonique \mathbb{C}(\Gamma_X F) \to \Gamma_X(\mathbb{C}F).
p. « 4 » de la traduction. Fin du N.B. ; second N.B. : pour un n-champ en groupoïdes, H^i(X,F) = \pi_{n-i}(\Gamma_X(F)) sans structure de Picard, et pour un n-Gr-champ jusqu'à H^{n+1} par le (n+1)-champ classifiant ; cas d'un n-champ localement constant donné par un (n+1)-foncteur C_{n+1} \to (strict Picard n-Cat), définition de H^i(C, F) pour un \infty-groupoïde C, et question : décrire la flèche H^{n+1}(X,F) \simeq H^{n+1}(\Pi_{n+1}(X), F).
p. « 5 » de la traduction, fin de la lettre, signée « Alexandre. ». Énoncés (A') et (B') pour un (n+1)-foncteur f_{n+1}\colon C_{n+1} \to D_{n+1} ; la cohomologie d'un topos par intégration de champs, sans complexes de faisceaux ni résolutions injectives ; les trois points de vue (a) complexes de faisceaux (algèbre homologique commutative), (b) Čechiste ou semi-simplicial (algèbre homotopique), (c) n-champs (algèbre homologique non commutative) — en (a) on résout les coefficients, en (b) la base, en (c) ni l'un ni l'autre.
Traduction anglaise (R. Brown) d'un extrait de la lettre à L. Breen des 17–19.7.1975
début de la traduction anglaise dactylographiée, par R. Brown, d'un extrait de la lettre à L. Breen des 17–19 juillet 1975 (« Translation of an extract from a Letter from A. Grothendieck to L. Breen 17-19 July, 1975 ») ; deux mots du titre sont effacés au correcteur. Texte d'un tiers, résumé ; l'original français manuscrit est plus loin dans le dossier (pp. 145 à 184). Contenu : réponse à la construction de Breen des n-catégories non strictes et du foncteur nerf (mérite d'exister, mais technique et sans foncteur des ensembles (semi-)simpliciaux vers les n-groupoïdes) ; idée d'une « liste de cadeaux de Noël » menant à une description axiomatique ; l'idée de Segal non comprise ; ce qu'il demande aux n-catégories de Picard strictes.
p. « 2 » de la traduction. Les n-catégories de Picard strictes équivalentes aux complexes de chaînes de longueur n ; la « grosse bévue » sur les H-espaces rectifiée par Breen ; question d'un analogue du « tapis » de Dold–Puppe pour les groupes semi-simpliciaux non commutatifs, et le yoga « simplicial sets \longleftrightarrow \infty-groupoids » comme version ensembliste ultime de Dold–Puppe ; les groupes dans (1-cat), Gr-catégories strictes (livre de Mme Sinh), calcul de fractions.
p. « 3 » de la traduction. Les groupes dans (1-cat) décrits par un quadruplet (L_1, L_0, d, \theta), d\colon L_1 \to L_0, \theta\colon L_0 \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{Gr}}(L_1), avec les deux axiomes (a) d(\theta(x_0).x_1) = \mathrm{int}(x_0)\, d(x_1), (b) \theta(d(x_1)) = \mathrm{int}(x_1) (modules croisés) ; \pi_0 = \operatorname{Coker} d, \pi_1 = \operatorname{Ker} d central, invariant de Postnikov–Sinh \alpha \in H^3(\pi_0, \pi_1) ; rencontres de ces objets, notamment pour la classification des groupes formels sur un corps parfait.
p. « 4 » de la traduction. Question de la généralisation aux groupes dans (n-cat) : un complexe de chaînes non commutatif L_n \to L_{n-1} \to \dots \to L_1 \to L_0 \to 1 avec des structures supplémentaires du type de \theta, modélisant le type d'homotopie tronqué des groupes topologiques ; « Have you candidates to propose? ». Puis, entre crochets, du traducteur : un commentaire sur la bidualité et l'homologie est omis. Bas de page blanc.
p. « 5 » de la traduction. Sur la question 7 de Breen : ce qui reste d'un topos X dans la catégorie homotopique — les \pi_i, la cohomologie à coefficients constants, et précisément les n-champs localement constants ; triangle d'objets qui se déterminent mutuellement : topos (ou espace, ou complexe semi-simplicial) modulo n-homotopie, n-groupoïdes, n-catégories « spéciales » (à n-équivalence près), dessiné à la machine avec trois doubles flèches.
p. « 6 » de la traduction. Définition des n-catégories « spéciales » (ou n-galoisiennes), groupoïde fondamental G_n, systèmes locaux, réalisation géométrique ; G_n comme sous-n-catégorie de \mathrm{Hom}_n(E_n, (n\text{-cat})) formée des foncteurs exacts ; hypothèse « localement homotopiquement trivial » ; pour le topos étale d'un schéma, pro-n-groupoïde fondamental et ind-n-catégorie.
p. « 7 » de la traduction. La « résistance instinctive » de Breen à réduire un topos à son type d'homotopie ; vers une notion plus fine de type d'homotopie : faisceaux constructibles sur le topos étale d'un schéma, partitions finies en strates localement fermées, faisceaux « P-constructibles ».
p. « 8 » de la traduction. Stabilité par les opérations (R\,\mathrm{Hom} (souligné), Rj_*j^*) et stratifications équisingulières ; exemple de deux strates X_0 fermée et X_1 = X \setminus X_0 : un faisceau F donné par F_1 sur X_1 et un morphisme F_0 \to i_0^* i_{1*}(F_1), exprimable par les seuls types d'homotopie de X_0 et X_1.
p. « 9 » de la traduction. Le foncteur exact à gauche \phi ; « voisinage tubulaire étale » de X_0 ; sur \mathbb{C}, voisinage tubulaire T de X_0 dans X, bord \partial T, \mathring{T} = T \setminus X_0 \simeq \partial T \times [0,1], \widetilde{X}_1 = X_1 \setminus \mathring{T}, et X reconstitué à homéomorphisme près à partir du diagramme X_0 \xleftarrow{p} \partial T \xrightarrow{j} \widetilde{X}_1 (p fibration, j inclusion).
p. « 10 » de la traduction. X comme somme amalgamée ; \phi(F_1) \simeq p_* j^*(\widetilde{F}_1) ; donnée de F équivalente à (F_0, \widetilde{F}_1, \tilde{u}\colon p^*(F_0) \to j^*(\widetilde{F}_1)) ; variantes du diagramme avec \mathring{T} \xrightarrow{j'} X_1, p'\colon \mathring{T} \to X_0, puis p''\colon \mathring{T} \to T.
p. « 11 » de la traduction. p'' « moralement » une fibration à jolie fibre ; les faisceaux P-constructibles pour une stratification équisingulière ramenés à un diagramme de types d'homotopie ordinaires X_0 \xleftarrow{p} \Delta \xrightarrow{j} X_1 et des systèmes de coefficients locaux reliés par p^*(F_0) \to j^*(F_1) ; exercice proposé : exprimer les opérations usuelles dans ce dictionnaire.
p. « 12 » de la traduction. Diagrammes vus dans la catégorie homotopique des ensembles semi-simpliciaux ; la « topologie modérée » (tame topology) : une stratification équisingulière d'un espace modéré compact donne canoniquement un diagramme de variétés à bord, reliées par des fibrations localement triviales et des inclusions de bord, d'où une description par dévissage. Un blanc dans la frappe avant « the inclusions of these pieces ».
p. « 13 » de la traduction. Les faisceaux P-constructibles exprimés sur ce diagramme ; les six opérations traduites dans ce cadre homotopique ; pour un morphisme modéré f\colon X \to Y, les quatre opérations Rf_*, Rf_!, Lg^*, g^! ; paraphrase attendue pour les schémas excellents ; le « type d'homotopie fin » comme limite des « P-types d'homotopie ». La phrase continue au-delà du lot.