Cote n° 133, pages 41–53

Cote n° 133 · batch 3 · pages 41–53 · Transcription · [Groupes de Witt et formes quadratiques, groupes formels] : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974).
Datation de l’inventaire : 1974-[à partir de 1975]
Édition de démonstration

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[Groupes algébriques lisses connexes, décomposition de Chevalley et extensions centrales]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 41 n'en porte aucun. Dans ce lot, les crochets droits à l'intérieur de son texte signalent ses propres additions interlinéaires.

41\(G\) groupe alg. lisse connexe sur \(k\), ayant une décomposition en ext. de Chevalley (p. ex. \(k\) parfait) \[1 \to L \to G \to A \to 1 \qquad (*)\] \(A\) schéma abélien, \(L\) groupe alg affine lisse connexe. dans la suite exacte, \(L\) est écrit sur une lettre biffée, et un exposant est biffé sur \(A\).

Considérons de plus \(M = G_{\mathrm{aff}}\), le plus grand quotient affine de \(G\), et la suite \[1 \to Z \to G \to M \to 1\] on sait que \((**)\) \(M\) affine, \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\) (caractéristiques pour cette ext.) et que cela entraîne \(Z\) central dans \(G\), \(Z \to A\) épi.

Considérons

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
1 \arrow[dr] & & & & 1 \\
& L \arrow[rr, dashed] \arrow[dr, hook] & & M \arrow[ur] & \\
L \cap Z = \mathfrak{z} \arrow[ur] \arrow[dr] & & G \arrow[ur] \arrow[dr] & & \\
& Z \arrow[rr, dashed] \arrow[ur, hook] & & A \arrow[dr] & \\
1 \arrow[ur] & & & & 1
\end{tikzcd}

(D) diagramme redessiné : sur la page, les deux flèches pointillées \(L \dashrightarrow M\) et \(Z \dashrightarrow A\) sont horizontales, et \(L \cap Z = \mathfrak{z}\) est écrit à gauche, relié par deux flèches à \(L\) et à \(Z\). La lettre \(\mathfrak{z}\) rend un « 3 » bouclé, sa notation pour ce groupe tout au long des pages 41 à 43.

avec \(Z \to A\) épi, donc \(G = Z.L\), i.e. \(L \to M\) épi.

\(G\) est une extension centrale de \(A \times M\) par \(\mathfrak{z}\), et est connue (comme telles, avec reconstitution du diagramme (D)) par la connaissance des deux extensions centrales \(L\) de \(M\) par \(\mathfrak{z}\) et \(Z\) de \(A\) par \(\mathfrak{z}\). Donc la donnée de \(G\) (avec ses deux structures) [satisfaisant à l'hyp. du début] équivaut à celle de

a)des groupes alg. \(M\), \(A\), \(\mathfrak{z}\) (\(M\) affine lisse connexe, \(A\) V.A., \(\mathfrak{z}\) [affine,] commutatif)
b)d'une extensions centrales \(L\) de \(M\) par \(\mathfrak{z}\), et \(Z\) de \(A\) par \(\mathfrak{z}\), satisfaisant (i) \(L\) lisse connexe, (ii) \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\).

« satisfaisant à l'hyp. du début » est une addition interlinéaire au-dessus des mots biffés, lecture incertaine ; « affine » est ajouté au-dessus de « commutatif ».

On peut reformuler ces données en

a')groupe alg. affine lisse connexe \(L^{*}\), et V.A. \(A\)
b')sous-groupe [alg] \(\mathfrak{z} \subset \underline{\mathrm{Cent}}(L)\)
c')Extension [centrale] […] \(Z\) de \(A\) par \(\mathfrak{z}\) telle que \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\).

en a'), l'astérisque sur \(L\) est net.

On sait d'ailleurs que les ext. centrales d'un schéma abélien \(A\) par un groupe [alg] comm. affine \(\mathfrak{z}\) sont données par \[\mathrm{Ext}^{1}(A, \mathfrak{z}) = \mathrm{Hom}(D(\mathfrak{z}), \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k})\] (la catégorie de ces extensions est rigide puisque le \(\mathrm{Ext}^{0} = \mathrm{Hom}(A, \mathfrak{z}) = 0\)) donc la donnée de [d'une extension] \(Z\) équivaut à la donnée de \[\varphi \colon D(\mathfrak{z}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\] et il reste à expliciter la condition \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\), [(plus gén.] […] la lettre qui suit « d'une extension » est surchargée ; on la lit \(Z\) (l'extension elle-même) sans certitude. En fin de ligne, « (plus gén. » est écrit au-dessus d'un mot biffé illisible ; la parenthèse se poursuit en tête de la page 42.

42à déterminer \(Z_{\mathrm{aff}}\) en termes de \(\varphi\), et écrire ensuite qu'il est \(1\)). On voit que aisément que \(Z_{\mathrm{aff}}\) est un quotient [\(\mathfrak{z}_{1}\)] de de \(\mathfrak{z}\) — savoir le plus grand quotient de \(\mathfrak{z}\) tel que l'extension correspondante de \(A\) par \(\mathfrak{z}_{1}\) soit triviale, et c'est aussi \(\mathfrak{z}_{1} = D(\operatorname{Ker}\varphi)\), donc il faut exprimer \(\operatorname{Ker}\varphi = 1\).

[…] Il y a deux cas à distinguer, en décomposant \(\mathfrak{z} = \mathfrak{z}_{u} \times \mathfrak{z}_{m}\) (unipot., t. mult.) et posant \(\Gamma = D(\mathfrak{z}_{m})\)

1°) \(k\) de car. \(0\), donc \(\mathfrak{z}_{u}\) est un groupe vectoriel, [soit \(\mathfrak{z}_{u} = W(t)\) (\(t\) tangent à l'origine)] Alors \(\varphi\) correspond à deux hom \[\varphi_{0} \colon \struck{\mathfrak{z}_{u}} \ t \longrightarrow t_{\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}} \simeq H^{1}(A, \underline{O}_{A})\] \[\varphi_{1} \colon \Gamma \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\] « soit \(\mathfrak{z}_u = W(t)\) (\(t\) tangent à l'origine) » est une addition interlinéaire, et « Alors \(\varphi\) » est entouré puis biffé ; « unipot. » et « t. mult. » sont écrits sous les deux facteurs. Dans \(\varphi_0\), un premier argument (\(\mathfrak{z}_u\), lecture incertaine) est biffé au profit de \(t\).

Si \(t_{0} = \operatorname{Ker}\varphi\)

Il faut \(\varphi_{0}\) injectif, \(\varphi_{1}\) injectif. (donc la donnée de \(\mathfrak{z} = \mathfrak{z}_{u} \times \mathfrak{z}_{m}\) [et de l'extension \(Z\), telle que \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\)] équivaut, par dualité : à la donnée d'un [couple] sous-espace \((t, \Gamma)\) d'un sous-espace vect. de \(H^{1}(A, \underline{O}_{A}) = t_{\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}}\) et d'un sous-groupe constant tordu de t. f. de pt […] à engendrement fini de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\))

2°) \(k\) de car. \(p > 0\). Alors, si il est bien connu que \((Z_{\mathrm{aff}})_{u}\) est est isogène à \(\mathfrak{z}_{u}\), ce qui montre que si \((Z_{\mathrm{aff}})_{u} = 0\), \(\mathfrak{z}_{u}\) est fini, bien plus : […] […] [un] groupe alg. comm. finis unipotents \(D(\mathfrak{z}_{u})\), […] correspondant par dualité exactement aux groupes alg. comm. radiciels. \(\varphi_{0} \colon D(\mathfrak{z}_{u})\) fin de paragraphe très raturée : les deux mots après « bien plus : » ne se lisent pas, « un » est ajouté au-dessus de la ligne, et une ligne entière est biffée avant « correspondant par dualité ».

Ici la donnée de \(\varphi\) équivaut à \[\varphi_{0} \colon D(\mathfrak{z}_{u}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k} \quad (\text{se factorise par } \underline{\mathrm{Pic}}^{0} = A^{*} \text{ et même par } \widehat{A^{*}})\] \[\varphi_{1} \colon \Gamma \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\] et la condition \(Z_{\mathrm{aff}} = 1\) équivaut à : \(\varphi_{0}\) et \(\varphi_{1}\) injectifs. (Donc la donnée de \(\mathfrak{z} = \mathfrak{z}_{u} \times \mathfrak{z}_{m}\), \(\mathfrak{z}_{u}\) fini, et de l'ext. \(Z\) équivaut à la donnée d'un couple \((\tau, \Gamma)\), d'un sous-groupe alg. radiciel \(\tau\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\) et d'un sous-groupe constant tordu \(\Gamma\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\), tq avec \[D(\mathfrak{z}) = \tau \times \Gamma \hookrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\] la parenthèse ouverte avant « Donc » n'est pas refermée sur la page.

43NB Les groupes \(\mathfrak{z}\) qui peuvent intervenir (pour \(G\) convenable satisfaisant la condition de Chevalley) sont ceux les groupes alg. comm. affines pour lesquels a) \(\exists\) mono [central] \(\mathfrak{z} \hookrightarrow L\), avec \(L\) lisse connexe affine — tjrs vérifié, et ce avec \(L\) commutatif — ce qui donne un \(G\) commutatif — et b) \(\exists\) schéma abélien \(A\) et mono \(D(\mathfrak{z}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\) ce qui […] [ce qui] (pour \(k\) alg. clos, pour simplifier)

1°)si car. \(k = 0\) […] est tjrs vérifié
2°)Si car. \(k = p > 0\), est vérifié ssi \(\mathfrak{z}_{u}\) fini.

(attire notre attention sur ce fait, qui distingue ici les caractéristiques) ligne entourée, écrite en travers sous le 2°) et reliée à « est vérifié » par un trait ; lecture incertaine dans son ensemble.

NB Ceci montre [prouve] que la construction de \(G_{\mathrm{aff}}\) n'est pas […] [[…] un \(G\)] groupe affine lisse à fibres connexes sur base \(S\)…) n'est pas de nature « constructible » en général. Prenons p. ex. pour \(G\) une extension d'un schéma abélien \(A\) par \(\mathbb{G}_{a}\), non triviale en un pt maximal \(y\) de \(S\) de car. \(0\), donc \((G_{y})_{\mathrm{aff}} = 1\), cependant avec triviale [sur] spécialisation \(s\) de \(y\) de car. \(p > 0\), on aura \((G_{s})_{\mathrm{aff}} \simeq \mathbb{G}_{a}\). Par contre, cela montre en même temps qu'en égales car. résiduelles, c'est une construction [de nature] « constructible ». le début du paragraphe est raturé : après \(G_{\mathrm{aff}}\) trois mots biffés (« n'est pas … ») sont remplacés par une addition interlinéaire dont se lit seulement « un \(G\) ». La parenthèse fermante après « base \(S\)… » est sur la page sans parenthèse ouvrante.

Reformulation. Il est maladroit de prendre \(\mathfrak{z} \subset \underline{\mathrm{Cent}}(L)\) et mono \(D(\mathfrak{z}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\), il vaut mieux dire qu'on donne

A)groupe alg. affine lisse connexe \(L\) et V.A. \(A\)
B)Extension de \(A\) par \(\underline{\mathrm{Cent}}(L)\) i.e. hom. \[D(\underline{\mathrm{Cent}}(L)) \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}\]

L'avantage de la présentation adoptée plus haut semble uniquement dans le fait qu'elle permet d'expliciter la donnée B) sans faire intervenir des « choses » à la Cantor trop dégueulasses — la page s'arrête sur ce tiret ; la suite du lot change de sujet.

Fourbis auxiliaires cohomologiques pour groupes formels

titre de sa main, seul sur le feuillet 44, qui sert de couverture à la suite. Les feuillets 45 à 53 sont paginés par lui de 1 à 7 (45 = 1, 46 = 2, 48 = 3, 50 = 4, 51 = 5, 52 = 6, 53 = 7).

45sa p. 1.

I : \((N, M, d, \Theta) = \mathcal{C}\) […] \(\longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{gr}}(\ill{})\) […] \(\longrightarrow\) […]

II : \((N', M', d', \Theta') = \mathcal{C}'\)

III : \((*)\) \(\begin{cases} \pi_{0}(\mathcal{C}) \simeq \pi_{0}(\mathcal{C}') \\ \pi_{1}(\mathcal{C}) \simeq \pi_{1}(\mathcal{C}') \end{cases}\) compatibles avec op. des \(\pi_{0}\) sur \(\pi_{1}\) I, II, III sont trois données réunies par une accolade ; deux lignes lourdement biffées suivent I. Les primes de II sont écrits en surcharge, et un indice (1) sur \(\mathcal{C}'\) est biffé.

on veut reconstituer resp. \(K = G/\mathfrak{z} \simeq \operatorname{Im}(G \to M \times M')\) et \(H = \operatorname{Im}(N \times N' \to G)\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& N \cap N' = \mathfrak{z} = \pi_1 \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
N \arrow[dr, no head] \arrow[ddr, no head, bend right=50, "M^{\prime}"'] & & N' \arrow[dl, no head] \arrow[ddl, no head, bend left=50, "M"] \\
& NN' = H \arrow[d, no head] & \\
& G &
\end{tikzcd}

schéma en haut à droite de la page, sans flèches : les deux arcs extérieurs, marqués \(M'\) et \(M\), joignent \(N\) et \(N'\) à \(G\) (\(M' = G/N\), \(M = G/N'\)). « \(NN' = H\) » est écrit sur un « \(MM'\) » effacé. Le « 3 » bouclé \(\mathfrak{z}\) désigne ici \(N \cap N' = \pi_1\).

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\begin{tikzcd}[column sep=tiny, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& (N \times N' \to G,\; D_1,\; \Theta_1) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
(N, M, d, \Theta) \arrow[dr] & & (N', M', d', \Theta') \arrow[dl] \\
& (G,\; M \times M',\; D_2,\; \Theta_2) &
\end{tikzcd}

\((H, K, D, \Theta)\)

\(1 \to \mathfrak{z} \hookrightarrow H \subset G\) deux crochets relient \(\mathfrak{z}\) à \(G\) par-dessus et \(1\) à \(H\) par-dessous.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
H \arrow[rrr, bend left=20] & N \times N' \arrow[l] \arrow[r] & M \times M' \arrow[d] & K \arrow[l, hook'] \arrow[d] \\
\pi_1 \arrow[u] & \pi_1 \times \pi_1 \arrow[l, "\text{épi}"'] \arrow[u] & \pi_0 \times \pi_0 \arrow[r] & \pi_0
\end{tikzcd}

le carré de gauche est marqué « cocart », celui de droite « cart » ; la grande flèche courbe va de \(H\) à \(K\).

\((\alpha, \alpha').(\lambda, \lambda') = (\alpha.\lambda, \alpha'.\lambda')\)

\((\alpha, \alpha').(\lambda, -\lambda) = (\alpha.\lambda, -\alpha'\lambda)\)

Obstruction dans \(H^{3}(B_{\pi_0}/X, \pi_1)\)

Indétermination dans \(H^{2}(B_{\pi_0}/X, \pi_1) = \underline{\mathrm{Extop}}(\pi_0, \pi_1)\)

[…]

\(N'\) central (i.e. \(N' \subset \underline{\mathrm{Cent}}(G)\)) \(\Longleftrightarrow\) \(\Theta' \colon M' \to \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{gr}}(N')\) trivial (\(d' \to N'\) […])
\(N\) cocentral \(\Longleftrightarrow\) \(M'\) commutatif i.e. \(N \supset DG\)

les deux lignes sont réunies par une accolade ; « i.e. \(N' \subset \underline{\mathrm{Cent}}(G)\) » est entouré au-dessus de la première. La fin de la première ligne passe sous les lignes verticales de la marge.

L'une des deux conditions signifie que la donnée de \(\mathcal{C}'\) se réduit : la donnée des groupes comm. \(N'\) et \(M'\) et un hom \[N' \xrightarrow{\;d'\;} M'\] sans plus. Cela signifie que l'opération de \(\pi_0'\) sur \(\pi_1'\) est triviale, donc item pour \(\pi_0\) sur \(\pi_1\) (condition à vérifier sur \(\mathcal{C}\)). Ceci dit, la donnée des \(\begin{array}{|l} N' \xrightarrow{d'} M' \quad d(x') \text{ central} \\ N' \text{ commutatif} \end{array}\) nous. \((*)\) est sans conditions de compatibilité supplémentaire la donnée « \(N' \to M'\), \(d(x')\) central, \(N'\) commutatif » est encadrée ; une rature la traverse. Le mot final est surchargé. dans la marge de droite, quelques lignes en allemand écrites verticalement, en partie biffées, sans rapport apparent avec la page ; non transcrites.

46sa p. 2.

Condition pour que \(N' = \underline{\mathrm{Cent}}\, G\)

*) Il faut que \(N' \subset \underline{\mathrm{Cent}}\, G\), i.e. op. [\(\Theta'\)] de \(M'\) sur \(N'\) triviale (\(\Longrightarrow\) \(N'\) commutatif et \(d'(N') \subset \underline{\mathrm{Cent}}(M')\))

b) D'ailleurs, l'image du centre de \(G\) dans \(K\) [\(= G/\pi_1\)] […] contenue dans \(\underline{\mathrm{Cent}}(K) \supset N'/\pi_1\), i.e. son image dans \(M\) contenue dans \(\underline{\mathrm{Cent}}(K)/(N'/\pi_1)\), et aussi dans \(\operatorname{Ker}(\Theta \colon M \to \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{gr}}(N))\). Soit \[\mathfrak{Z} = \struck{\underline{\mathrm{Cent}}(M)}\ [\underline{\mathrm{Cent}}(K)/(N'/\pi_1)] \cap \operatorname{Ker}\Theta \qquad (N' \subset \underline{\mathrm{Cent}}(G) \subset \overline{N'})\] « \(K\) » est écrit sur une autre lettre ; au-dessus, « \(= G/\pi_1\) » et un mot biffé. « \(\underline{\mathrm{Cent}}(K)/(N'/\pi_1)\) » est entouré en bout de ligne, puis récrit au-dessus de \(\underline{\mathrm{Cent}}(M)\) biffé dans la définition de \(\mathfrak{Z}\). La lettre \(\mathfrak{Z}\) rend son grand Z gothique, distinct du « 3 » bouclé de la page 45.

et soit \(\overline{N'}\) [le sous-groupe invariant de \(G\) […]] son image inverse (dans \(G\), qui est donc une extension de \(\mathfrak{Z}\) par \(N'\). L'opération de \(G\) sur \(\overline{N'}\), via \(M\), par automorphismes int intérieurs, est triviale sur \(N'\) et sur \(\mathfrak{Z} = \overline{N'}/N'\) (car \(\mathfrak{Z} \subset \underline{\mathrm{Cent}}(M)\)), donc se définit par un hom \[M \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathfrak{Z}, N') \qquad \struck{Z^{1}(\ill{}, \pi_1)}\] prenant en fait ses valeurs dans \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathfrak{Z}, \pi_1)\) (lequel, par construction de \(\mathfrak{Z}\), est aussi trivial sur \(d(N) \subset M\) (\(\mathfrak{Z} \subset \operatorname{Ker}\Theta\)). Donc l'hom se factorise en \[\varphi_G \colon \pi_0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathfrak{Z}, \pi_1) \qquad \struck{Z^{1}}\] qui s'interprète [aussi] comme \[\Psi_G \colon \mathfrak{Z} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\pi_0, \pi_1) \qquad \struck{\ill{}}\] Soit \(\mathfrak{Z}_G = \operatorname{Ker}\Psi_G\), et \(\overline{N'}_G\) l'image inverse de \(\mathfrak{Z}_G\) dans \(G\), il est clair alors que \[\overline{N'}_G = \underline{\mathrm{Cent}}(G)\] donc \(N' = \underline{\mathrm{Cent}}(G)\) équivaut à la condition \[\boxed{\mathfrak{Z}_G = \operatorname{Ker}\Psi_G = 1 \quad \text{i.e.\ } \Psi_G \text{ injectif}}\] Soit \(G_1\) une deuxième sol. du pb initial, déduite de \(G\) par une extension […] \(E\) de \(\pi_0\) par \(\pi_1\) (op. triviale de \(\pi_0\) sur \(\pi_1\) i.e. extension centrale).

\(\mathfrak{Z} = \operatorname{Ker}\Theta \cap \underline{\mathrm{Cent}}\,M\) […] ; \(\hat{M} \simeq G/N'\) ; \(Z^{1}(\pi_0, \pi_1)\) ; \(\mathfrak{Z} \subset \operatorname{Im}\underline{\mathrm{Cent}}(K)\) notes écrites en oblique dans la marge de gauche, en face de la définition de \(\overline{N'}\) ; lecture incertaine dans le détail. L'addition interlinéaire sur « le sous-groupe invariant de \(G\) » se termine par deux mots illisibles.

48sa p. 3 ; la page 47 intercalée n'est pas de sa main. \[1 \to \pi_1 \to E \to \pi_0 \to 1\] Les automorphismes intérieurs de \(E\) sont l'identité sur \(\pi_0\) et \(\pi_1\), donc définissent des hom \(\pi_0 \to \pi_1\), on trouve ainsi un accouplement \[c_E = c_{G, G_1} \colon \pi_0 \times \pi_0 \longrightarrow \pi_1\] (associant à \(x, y \in \pi_0\) \(\bar{x}\bar{y}\bar{x}^{-1}\bar{y}^{-1}\) [\(\in \pi_1\)], où \(\bar{x}, \bar{y}\) relèvements de \(x\) et \(y\)) C'est une forme alternée, nulle ssi l'extension \(E\) est commutative. On doit trouver, au signe près \[\Psi_{G_1} = \Psi_G + \struck{\beta}\, \tilde{c}_E\, \alpha\] où \(\tilde{c}_E \colon \pi_0 \to \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1)\) est défini de façon évidente par \(c_E\) (choix de ce droit ou à gauche [changement] […] d'un signe !), \(\alpha\) l'hom de passage au quotient \[\underbrace{\mathfrak{Z} \to M \to \pi_0}_{\alpha}\] \(\beta \colon \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1) \to \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, N')\) déduit de l'inclusion \(\pi_1 \to N'\). Il faut donc se borner aux \(G_1\) i.e. aux \(E\) pour lesquels \(c_E\) est tel que \[\Psi_G + \struck{\beta}\, \tilde{c}_E\, \alpha \colon \mathfrak{Z} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1)\] soit injectif. la parenthèse sur le choix du signe est très abrégée ; seul « d'un signe ! » est sûr. Le \(\beta\) est biffé dans les deux formules, en accord avec la ligne biffée qui le définissait.

NB on suppose \(\pi_0\) commutatif ici. Que dire sinon ? Regarder l'image \(\pi_0^{*}\) de \(\mathfrak{Z}\) dans \(\pi_0\), invariant et commut., on trouve \(\pi_0^{*} \times \pi_0 \to \pi_1\) note écrite en oblique dans le coin supérieur gauche, en face de la définition de \(c_E\).

On peut simplifier encore les conditions, en notant […] que le composé \[\mathfrak{Z} \xrightarrow{\;\Psi_G\;} \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, N') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, N'/\pi_1)\] ne dépend pas du choix de \(G_1\) : c'est ce dernier paragraphe est annulé par deux traits obliques ; il se poursuit, annulé de même, en tête de la page 50 (sa p. 4). L'étiquette de la première flèche est surchargée.

50sa p. 4 ; la page 49 intercalée n'est pas de sa main. Le haut de la page, jusqu'à « Soit \(\mathfrak{Z}_0 = \operatorname{Ker}\varphi_0\) », est annulé par des traits obliques, comme la fin de la page 48 qu'il continue.

clair sur la formule précédente donnant \(\Psi_{G_1}\) en termes de \(c_E\), mais on peut définir un hom \[\varphi_0 \colon \mathfrak{Z} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, N'/\pi_1)\] en termes des données de départ (I II III) qui définissent en effet le groupe \(K = G/\pi_1\) [ext. de \(M\) par \(N'/\pi_1\)] […], d'où comme précédemment \[M \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\mathfrak{Z}, N'/\pi_1)\] se factorisant par \(\pi_0\), i.e. \[\mathfrak{Z} \xrightarrow{\;\varphi_0\;} \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, N'/\pi_1).\] Soit \(\mathfrak{Z}_0 = \operatorname{Ker}\varphi_0\) l'insertion « ext. de \(M\) par \(N'/\pi_1\) » est reliée par un trait au mot « \(K\) » ; un mot interlinéaire au-dessus d'elle et un petit symbole au-dessus de « se factorisant » ne se lisent pas.

\(\mathfrak{Z} \to \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1)\) ; \(\mathfrak{Z} \supset \mathfrak{Z}_0\) ; \(\mathfrak{Z}/\mathfrak{Z}_0 = \pi_0^{*} \subset \pi_0\) ; \(\pi_0^{*} \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1)/\mathfrak{Z}_0\) (inj) notes écrites verticalement dans la marge de gauche, traversées par les traits d'annulation ; « inj » est entouré.

à droite, isolé, un petit schéma : \(\underline{K} \to \Sigma\) et une flèche montant de \(\underline{I}\) vers \(\underline{K}\) ; lecture incertaine.

On peut diviser un peu plus en introduisant \[\mathfrak{Z}_0 = \operatorname{Ker}(\mathfrak{Z} \to \pi_0)\] et l'hom induit par \(\Psi_G\) \[\Psi_{0\struck{G}} \colon \mathfrak{Z}_0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1).\] \(= \struck{\ill{}}\ d(\underline{\mathrm{Cent}}(N)) \cap d^{-1}(\underline{\mathrm{Cent}}\,M) = d(\underline{\mathrm{Cent}}\,N) \cap \underline{\mathrm{Cent}}(M) \simeq \underline{\mathrm{Cent}}(N)/\pi_1 \cap \underline{\mathrm{Cent}}\,M\) addition à droite de la définition de \(\mathfrak{Z}_0\), d'une encre plus foncée, sur trois lignes ; « \(d^{-1}\) » est une lecture incertaine.

On trouve que la définition de celui-ci ne dépend pas du choix de \(G_1\), mais peut se faire en termes des groupes \(H\) et \(N, N' \subset H\) (construits par les données I II III). Une condition préliminaire indépendante de \(G_1\) (i.e. de \(E\)) est que (b) \(\Psi_0\) soit injective — cela exprime que \(N'\) est égal au centre de \(H\), \(N' = \underline{\mathrm{Cent}}(H)\). Ceci étant supposé acquis, posons soit (condition ?) le paragraphe est marqué d'une accolade et d'un point d'interrogation dans la marge de gauche, avec la mention entre parenthèses ; « (b) » est entouré. « étant supposé acquis » est ajouté sous la ligne.

51sa p. 5. \[\overline{\Psi}_{G_1} \colon \mathfrak{Z}/\mathfrak{Z}_0 = \pi_0^{*} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\pi_0, \pi_1)/\mathfrak{Z}_0\] déduit de \(\Psi_{G_1}\) par passage au quotient. La condition à exprimer encore est

c) \(\overline{\Psi}_{G_1}\) est injective

Cette condition dépend effectivement de \(G_1\) à priori, puisque \(\Psi_{G_1}\) donc \(\overline{\Psi}_{G_1}\) en dépend (de la manière explicitée plus haut). Cette condition sur \(G_1\) i.e. sur \(E_G \in \operatorname{Ob}\underline{\mathrm{Extop}}(\pi_0, \pi_1)\) (condition ?) la phrase reste inachevée ; un double trait la sépare de la suite.

On veut exprimer maintenant \(N = DG\). Donc

a) \(N \supset DG\) i.e. \(M'\) (\(= G/N\)) commutatif (\(\Longrightarrow\) \(\pi_0\) commutatif)

Il faut exprimer ensuite que pour tout sous-groupe [invariant] \(N_1 \subset N\) tel que \(G/N_1\) commutatif, on a \(N_1 = N\). \(G/N_1\) commutatif signifie que \(G\) y opère trivialement, cela implique qu'il opère [et […]] trivialement sur \(N/N_1\) (où \(G\) opère sur \(N\) (donc \(N/N_1\)) via \(M\), donc la condition est que […] \(N/N_1\) est majoré par \(\mathcal{D} = (N_{\mathrm{comm}})_{M}\) [\(= N/N_0\) si \(N_1 \supset N_0\)] [. Comme] donc dans l'extension [\(G/N_0\)] de \(G/N = M'\) par \(\mathcal{D}\), \(G\) y opère, [en induisant l'id. sur les facteurs], d'où un hom \[G \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(M', \mathcal{D})\] d'ailleurs nul sur \(N\), d'où hom \[M' \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(M', \mathcal{D})\] passage chargé d'additions interlinéaires, dont une, au-dessus de « trivialement sur \(N/N_1\) », ne se lit pas. La lettre \(\mathcal{D}\) rend un D cursif à boucle, distinct du \(D\) du groupe dérivé \(DG\) ; il désigne les coinvariants sous \(M\) de l'abélianisé de \(N\), que la page écrit « \(N_{\mathrm{comm}}\,\underline{M}\) » et la page 52 « \((N_{\mathrm{comm}})_M\) ».

52sa p. 6. ou encore \[M' \times M' \xrightarrow{\;\lambda_G\;} \mathcal{D}\] C'est obtenu ainsi : si \(x, y \in M'(\uncertain{S})\), on relève en \(\bar{x}, \bar{y} \in G\), on prend \((\bar{x}, \bar{y}) = \bar{x}\bar{y}\bar{x}^{-1}\bar{y}^{-1}\), qui est dans \(N\), on réduit mod \(N_0\), et c'est \(\lambda_G(x, y)\). Comme [Si] \(N'\) est central (ce qu'on a supposé) cette description montre que si \(\bar{x}\) ou \(\bar{y}\) \(\in d'(N') \subset M'\), alors […] \(\lambda_G(x, y) = 0\), donc \(\lambda_G\) s'interprète comme un hom \[\pi_0 \otimes \pi_0 \xrightarrow{\;\lambda_G\;} \mathcal{D} = (N_{\mathrm{comm}})_{M}\] Notons aussi que \(\lambda_G\) est alterné. Ceci posé, la condition on a évidemment \[N/DG \simeq \mathcal{D}/\lambda_G(\pi_0 \otimes \pi_0)\] donc la condition cherchée est que \(\lambda_G\) est surjective. Pour apprécier cette condition, il faut voir comment \(\lambda_G\) varie avec \(G\), on trouve (si \(G_1\) est obtenu en utilisant l'extension \(E\) de \(\pi_0\) par \(\pi_1\)) \[\lambda_{G_1} = \lambda_G + \beta c_E\] où \(c_E \colon \pi_0 \otimes \pi_0 \to \pi_1\) est l'accouplement [(commut.)] associé à l'ext. centrale de \(\pi_0\) par \(\pi_1\), et où \[\beta \colon \pi_1 \longrightarrow \mathcal{D} = (N_{\mathrm{comm}})_{M}\] est le passage au quotient. N[…]

Nous pouvons diviser la condition \(\lambda_G\) surjective, en introduisant encore

53sa p. 7. \(\mathcal{D}_0 = \operatorname{Coker}(\pi_1 \to \mathcal{D})\), et l'hom \[\lambda_0 \colon \pi_0 \otimes \pi_0 \longrightarrow \mathcal{D}_0\] déduit de \(\lambda_G\) par passage au quotient. C'est indépendant du choix de \(G\), on le voit en ce qu'il se construit directement dans le groupe \(K = G/\pi_1\). Il faut donc

b) \(\lambda_0\) surjectif (car signifie aussi que \(N/\pi_1\) dans \(K \subset M \times M'\) est \(= DK\), ou encore que \(dN = DM\) […] exactement) vérifier

[…] Introduisons alors \(\operatorname{Ker}\lambda_0 = P \subset \pi_0 \otimes \pi_0\), (indépendant de \(G\)), donc \(\lambda_G\) induit \[\overline{\lambda}_G \colon P \twoheadrightarrow \pi_{1*} = \operatorname{Im}(\pi_1 \to \mathcal{D}) \subset \mathcal{D}\] et la condition effectivement dépendante du choix de \(G\) qu'on veut exprimer est

c) \(P \xrightarrow{\;\overline{\lambda}_G\;} \pi_{1*}\) est un épim.

Ici la dépendance de cette condition pour \(G\) variable est explicitée grâce à la formule donnant \(\overline{\lambda}_{G_1}\) en fonction de \(\overline{\lambda}_G\), qui s'écrit de façon évidente \[\overline{\lambda}_{G_1} = \overline{\lambda}_G + p\, c_E\, i\] \(i\) l'inclusion \(P \subset \pi_0 \otimes \pi_0\), \(p\) la projection \(\pi_1 \to \pi_{1*}\). sur les deux premières occurrences de \(\pi_{1*}\), un astérisque en exposant est biffé et remplacé par l'astérisque en indice. Dans « la formule donnant \(\overline{\lambda}_{G_1}\) », l'indice est mal formé. La page, et le dossier, s'arrêtent ici.