à déterminer Z_{\mathrm{aff}} en termes de \varphi, et écrire ensuite qu'il est 1). On voit que aisément que Z_{\mathrm{aff}} est un quotient [\mathfrak{z}_{1}] de de \mathfrak{z} — savoir le plus grand quotient de \mathfrak{z} tel que l'extension correspondante de A par \mathfrak{z}_{1} soit triviale, et c'est aussi \mathfrak{z}_{1} = D(\operatorname{Ker}\varphi), donc il faut exprimer \operatorname{Ker}\varphi = 1.

Il y a deux cas à distinguer, en décomposant \mathfrak{z} = \mathfrak{z}_{u} \times \mathfrak{z}_{m} (unipot., t. mult.) et posant \Gamma = D(\mathfrak{z}_{m})

1°) k de car. 0, donc \mathfrak{z}_{u} est un groupe vectoriel, [soit \mathfrak{z}_{u} = W(t) (t tangent à l'origine)] Alors \varphi correspond à deux hom \varphi_{0} \colon \struck{\mathfrak{z}_{u}} \ t \longrightarrow t_{\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}} \simeq H^{1}(A, \underline{O}_{A}) \varphi_{1} \colon \Gamma \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k} « soit \mathfrak{z}_u = W(t) (t tangent à l'origine) » est une addition interlinéaire, et « Alors \varphi » est entouré puis biffé ; « unipot. » et « t. mult. » sont écrits sous les deux facteurs. Dans \varphi_0, un premier argument (\mathfrak{z}_u, lecture incertaine) est biffé au profit de t.

Si t_{0} = \operatorname{Ker}\varphi

Il faut \varphi_{0} injectif, \varphi_{1} injectif. (donc la donnée de \mathfrak{z} = \mathfrak{z}_{u} \times \mathfrak{z}_{m} [et de l'extension Z, telle que Z_{\mathrm{aff}} = 1] équivaut, par dualité : à la donnée d'un [couple] sous-espace (t, \Gamma) d'un sous-espace vect. de H^{1}(A, \underline{O}_{A}) = t_{\underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}} et d'un sous-groupe constant tordu de t. f. de pt à engendrement fini de \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k})

2°) k de car. p > 0. Alors, si il est bien connu que (Z_{\mathrm{aff}})_{u} est est isogène à \mathfrak{z}_{u}, ce qui montre que si (Z_{\mathrm{aff}})_{u} = 0, \mathfrak{z}_{u} est fini, bien plus : [un] groupe alg. comm. finis unipotents D(\mathfrak{z}_{u}), correspondant par dualité exactement aux groupes alg. comm. radiciels. \varphi_{0} \colon D(\mathfrak{z}_{u}) fin de paragraphe très raturée : les deux mots après « bien plus : » ne se lisent pas, « un » est ajouté au-dessus de la ligne, et une ligne entière est biffée avant « correspondant par dualité ».

Ici la donnée de \varphi équivaut à \varphi_{0} \colon D(\mathfrak{z}_{u}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k} \quad (\text{se factorise par } \underline{\mathrm{Pic}}^{0} = A^{*} \text{ et même par } \widehat{A^{*}}) \varphi_{1} \colon \Gamma \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k} et la condition Z_{\mathrm{aff}} = 1 équivaut à : \varphi_{0} et \varphi_{1} injectifs. (Donc la donnée de \mathfrak{z} = \mathfrak{z}_{u} \times \mathfrak{z}_{m}, \mathfrak{z}_{u} fini, et de l'ext. Z équivaut à la donnée d'un couple (\tau, \Gamma), d'un sous-groupe alg. radiciel \tau de \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k} et d'un sous-groupe constant tordu \Gamma de \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k}, tq avec D(\mathfrak{z}) = \tau \times \Gamma \hookrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{A/k} la parenthèse ouverte avant « Donc » n'est pas refermée sur la page.

sa p. 2.

Condition pour que N' = \underline{\mathrm{Cent}}\, G

*) Il faut que N' \subset \underline{\mathrm{Cent}}\, G, i.e. op. [\Theta'] de M' sur N' triviale (\Longrightarrow N' commutatif et d'(N') \subset \underline{\mathrm{Cent}}(M'))

b) D'ailleurs, l'image du centre de G dans K [= G/\pi_1] contenue dans \underline{\mathrm{Cent}}(K) \supset N'/\pi_1, i.e. son image dans M contenue dans \underline{\mathrm{Cent}}(K)/(N'/\pi_1), et aussi dans \operatorname{Ker}(\Theta \colon M \to \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{gr}}(N)). Soit \mathfrak{Z} = \struck{\underline{\mathrm{Cent}}(M)}\ [\underline{\mathrm{Cent}}(K)/(N'/\pi_1)] \cap \operatorname{Ker}\Theta \qquad (N' \subset \underline{\mathrm{Cent}}(G) \subset \overline{N'}) « K » est écrit sur une autre lettre ; au-dessus, « = G/\pi_1 » et un mot biffé. « \underline{\mathrm{Cent}}(K)/(N'/\pi_1) » est entouré en bout de ligne, puis récrit au-dessus de \underline{\mathrm{Cent}}(M) biffé dans la définition de \mathfrak{Z}. La lettre \mathfrak{Z} rend son grand Z gothique, distinct du « 3 » bouclé de la page 45.

et soit \overline{N'} [le sous-groupe invariant de G ] son image inverse (dans G, qui est donc une extension de \mathfrak{Z} par N'. L'opération de G sur \overline{N'}, via M, par automorphismes int intérieurs, est triviale sur N' et sur \mathfrak{Z} = \overline{N'}/N' (car \mathfrak{Z} \subset \underline{\mathrm{Cent}}(M)), donc se définit par un hom M \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathfrak{Z}, N') \qquad \struck{Z^{1}(\ill{}, \pi_1)} prenant en fait ses valeurs dans \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathfrak{Z}, \pi_1) (lequel, par construction de \mathfrak{Z}, est aussi trivial sur d(N) \subset M (\mathfrak{Z} \subset \operatorname{Ker}\Theta). Donc l'hom se factorise en \varphi_G \colon \pi_0 \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\mathfrak{Z}, \pi_1) \qquad \struck{Z^{1}} qui s'interprète [aussi] comme \Psi_G \colon \mathfrak{Z} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(\pi_0, \pi_1) \qquad \struck{\ill{}} Soit \mathfrak{Z}_G = \operatorname{Ker}\Psi_G, et \overline{N'}_G l'image inverse de \mathfrak{Z}_G dans G, il est clair alors que \overline{N'}_G = \underline{\mathrm{Cent}}(G) donc N' = \underline{\mathrm{Cent}}(G) équivaut à la condition \boxed{\mathfrak{Z}_G = \operatorname{Ker}\Psi_G = 1 \quad \text{i.e.\ } \Psi_G \text{ injectif}} Soit G_1 une deuxième sol. du pb initial, déduite de G par une extension E de \pi_0 par \pi_1 (op. triviale de \pi_0 sur \pi_1 i.e. extension centrale).

\mathfrak{Z} = \operatorname{Ker}\Theta \cap \underline{\mathrm{Cent}}\,M ; \hat{M} \simeq G/N' ; Z^{1}(\pi_0, \pi_1) ; \mathfrak{Z} \subset \operatorname{Im}\underline{\mathrm{Cent}}(K) notes écrites en oblique dans la marge de gauche, en face de la définition de \overline{N'} ; lecture incertaine dans le détail. L'addition interlinéaire sur « le sous-groupe invariant de G » se termine par deux mots illisibles.