Cote n° 132 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Plongements dans surfaces (Ladegaillerie) : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974).
Datation de l’inventaire : 1974
Édition de démonstration

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1sa pagination : (1)

\begin{tikzcd}[column sep=small]
X \arrow[dr, "f"'] & & Y \arrow[dl, "g"] \\
& S &
\end{tikzcd}

espaces topologiques, d'où \(X \times_S Y\) et \[\Pi_1(X \times_S Y) \xrightarrow{\ \varphi\ } \Pi_1(X) \overset{2}{\times}_{\Pi_1(S)} \Pi_1(Y) .\]

a) Supposons \(f\) une fibration de Serre, alors \(\varphi\) induit une bijection sur les \(\pi_0\), un épimorphisme sur les \(\pi_1\) associés aux composantes connexes. I.e. \(\varphi\) est ess. surjectif et surjectif sur les \(\mathrm{Hom}(x, y) \to \mathrm{Hom}(\varphi x, \varphi y)\).

Démonstration. Décomposons la situation suivant les composantes connexes de \(X, S, Y\), on est ramené au cas où \(S, X, Y\) sont connexes, non vides, […] donc \(f\) surjectif. Comme \(Y \neq \emptyset\), prenons \(y_0 \in Y\), \(x_0 \in X_{s_0}\) où \(s_0 = g(y_0)\). Posons \[G = \pi_1(X, x_0), \quad H = \pi_1(Y, y_0), \quad \Sigma = \pi_1(S, s_0) ,\] on a alors

\begin{tikzcd}[column sep=small]
G \arrow[dr, "f_1"'] & & H \arrow[dl, "g_1"] \\
& \Sigma &
\end{tikzcd}

permettant de reconstruire mod équivalence \(\Pi_1(X) \overset{?}{\times}_{\Pi_1(S)} \Pi_1(Y)\)le signe au-dessus du \(\times\) est ici un « ? », ou un 2 mal formé ; au début de la page et à la ligne suivante il se lit 2 comme \(\mathrm{Cat}\, G \overset{2}{\times}_{\mathrm{Cat}\, \Sigma} \mathrm{Cat}\, H =: P\). Les objets de cette dernière sont les objets \(\sigma\) de \(\Sigma\), et les hom \(\sigma \to \sigma'\) sont les couples \((g, h) \in G \times H\), avec \(g_1(h) \sigma = \sigma' f_1(g)\), i.e. \(\sigma' = g_1(h) \sigma f_1(g)^{-1}\). Donc les classes d'isomorphie de \(P\) correspondent à l'ensemble des doubles classes \(H \backslash \Sigma / G\), et le \(\pi_1\) correspondant \(\pi_1(P, \sigma)\) n'est autre que […] le stabilisateur de \(\sigma \in \Sigma\) dans \(G \times H\), opérant sur \(\Sigma\) par \((h, g) . \sigma = g_1(h) \sigma f_1(g)^{-1}\). la ligne biffée sous « le stabilisateur » se lit à peu près « aux composantes des […] » ; « \(\pi_1(P, \sigma)\) n'est autre » est ajouté en interligne au-dessus du passage biffé

en bas à gauche de la page, un petit carré qui explicite ces flèches

\begin{tikzcd}
e_\Sigma \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, "f_1(g)"'] & e_\Sigma \arrow[d, "g_1(h)"] \\
e_\Sigma \arrow[r, "\sigma'"'] & e_\Sigma
\end{tikzcd}

au-dessus du carré, « \(e_G\) \(e_H\) »

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Calculons \(\pi_0(Z)\) (\(Z = X \times_S Y\)), en utilisant la fibration de Serre \[F \subset Z \to Y\] où \(F\) est la fibre de \(f : X \to S\), en \(s_0\) (avec les points base déjà choisis, et \(z_0 = (x_0, y_0)\)) : \[\pi_0(Z) = \pi_0(F) / \pi_1(Y)\] (coinvariants […]) (comme \(\pi_0(Y) = 1\)) ; d'ailleurs on a, par la fibration de Serre (et \(\pi_0(X) = 1\))la parenthèse « (comme \(\pi_0(Y) = 1\)) » est écrite au-dessus de la ligne et rattachée par un trait \[F \subset X \to S\] \(\pi_1(X) \to \pi_1(S) \to \pi_0(F) \to \pi_0 \ill{} \to 1\) i.e. \(\pi_0(F) \simeq \pi_1(S) / \pi_1(X)\) (op. à droite), d'où, en composant \[\pi_0(Z) = \pi_1(Y) \backslash \pi_1(S) / \pi_1(X) ,\] ce qui montre la bijectivité des \(\pi_0\).

Reste. Soit \(Z'\) une composante connexe de \(Z\). Elle se projette sur \(Y\), donc \(\exists\, z'_0 \in Z'_{y_0}\). Son image dans \(X\) est bien dans \(X_{s_0} = F\), donc en la reliant par un arc à \(x_0\), on trouve en appliquant \(f\) un lacet en \(s_0\), soit \(\sigma\) [déterminé mod un élément de \(\mathrm{Im}\, \pi_1(X, x_0) = G\) par chgt. de l'arc dans \(X\)…, et mod. de même un élément de \(\mathrm{Im}\, \pi_1(Y, y_0)\) en changeant le point \(z'_0\)…] donne une description […] \((X, Y)\)…note en biais dans la marge de gauche, à la hauteur des dernières lignes ; « Im » est ajouté au-dessus de \(\pi_1(X, x_0)\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_2(Z) \arrow[r] & \pi_2(Y) \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(F) \arrow[r] \arrow[d, "\text{épi}"] & \pi_1(Z) \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(Y) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \pi_0(F) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \pi_0(Z) \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
& 1 \arrow[r] & \pi_1(\Phi) \arrow[r] & \pi_1(\widetilde{Z}) \arrow[r] & \pi_1(\widetilde{Y}) \arrow[r] & \pi_0(\Phi) \arrow[r] & \pi_0(\widetilde{Z}) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

sous la seconde ligne, \(\pi_1(\widetilde{Y}) \simeq H\) et \(\pi_0(\Phi) \simeq \Sigma / G\) ; \(\pi_2(Y)\) est pris entre crochets, et \(\pi_1(Z)\), \(\pi_0(Z)\) sont surlignés d'un trait ; le « 1 » qui ouvre la seconde ligne est repassé

\begin{tikzcd}[row sep=small]
F \arrow[d, hook] & & \Phi \arrow[d, hook] & \\
X \arrow[d] & & \mathrm{Cat}\, G \arrow[r, "\approx"] \arrow[d] & \widetilde{X} \arrow[d] \\
S & & \mathrm{Cat}\, \Sigma \arrow[r, "\approx"] & \widetilde{S}
\end{tikzcd}

entre les deux colonnes, une colonne biffée : \(\pi_1(X) = G\) au-dessus de \(\pi_1(S)\)

\(\Phi\) = catégorie des éléments de \(\Sigma\), avec \(\mathrm{Hom}_\Phi(\sigma, \sigma')\) = ens. des \(g \in G\) tels que \(\sigma = \sigma' f_1(g)\) i.e. \(g \in f_1^{-1}(\sigma'^{-1} \sigma)\) ; son \(\pi_0\) est \(\Sigma / G\), ses \(\pi_1\) tous isom. : \(\operatorname{Ker} f_1\).

On a \(\Pi_1(F) \to \Phi\), induisant une bijection sur les \(\pi_0\), et sur les \(\pi_1\) un épim., dont le noyau est \(\operatorname{Coker}(\pi_2(X) \to \pi_2(S))\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\pi_2(X) \arrow[r] & \pi_2(S) \arrow[r] & \pi_1(F) \arrow[r] & \pi_1(X) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & \pi_1(S) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & \pi_0(F) \arrow[d, no head, "\wr"] \\
& 1 \arrow[r] & \pi_1(\widetilde{F}) \arrow[r] & \pi_1(\widetilde{X}) \arrow[r] & \pi_1(\widetilde{S}) \arrow[r] & \pi_0(\Phi) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

la première ligne se poursuivait par « \(\to 1\) » et un terme biffé ([…] \(\pi_0\)) ; le \(\widetilde{F}\) de la seconde ligne est peut-être un \(\Phi\)

\(\sigma = 1\). \(\pi_1(\widetilde{Z}) = \{ (g, h) \mid f_1(g) = g_1(h) \}\)

\(\pi_1(\widetilde{Z})\) est ext. de \(g_1^{-1}(\mathrm{Im}\, G)\) par \(\pi_1(\Phi)\) ; \(\pi_1(Z)\) est ext. de id. par \(\operatorname{Coker}(\pi_2(Y) \to \pi_1(F))\), donc est ext. de \(\pi_1(\widetilde{Z})\) par \(\operatorname{Coker}(\pi_2(X) \times \pi_2(Y) \to \pi_2(S))\)

Donc on trouve \(Z \to \widetilde{Z}\) induit un iso. pour les \(\pi_1\) ssi \(\pi_2(X) \times \pi_2(Y) \to \pi_2(S)\) est épi.

De plus, \(\pi_i(Z) = 0\) pour \(i \geq 2\) \(\Leftrightarrow\) dès que \(\pi_i(Y) = \pi_i(F) = 0\) pour \(i \geq 2\), or \(\pi_{i+1}(S) \to \pi_i(F) \to \pi_i(X)\) donc il suffit \(\pi_i(X) = \pi_i(Y) = \pi_i(S) = 0\) pour \(i \geq 2\), i.e. \(X, Y, S\) sont des […]…

5

\begin{tikzcd}
\mathcal{D} \arrow[r, "\varphi"] & \mathcal{C}
\end{tikzcd}

0-objets \((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi : \mathcal{D} \to \mathcal{C})\)

sous le diagramme : sous \(\mathcal{D}\) « groupoïde 1-spécial orienté », sous \(\mathcal{C}\) « groupoïde 2-spécial », sous la flèche « foncteur spécial »

\begin{tikzcd}
\mathcal{D} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "u"', "\wr"] & \mathcal{C} \arrow[d, "v"] \\
\mathcal{D}' \arrow[r, "\varphi'"'] & \mathcal{C}'
\end{tikzcd}

1 objets \((u, v, \alpha : \varphi' u \xrightarrow{\sim} v \varphi)\)

la 2-flèche \(\alpha\) est tracée en diagonale dans le carré ; un symbole biffé à côté de \(v\). Sous \(u\) du triplet, une flèche renvoie à « compatible avec orientations »

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{D} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, bend right=30, "u_1"'] \arrow[d, bend left=30, "u_2"] & \mathcal{C} \arrow[d, bend right=30, "v_1"'] \arrow[d, bend left=30, "v_2"] \\
\mathcal{D}' \arrow[r, "\varphi'"'] & \mathcal{C}'
\end{tikzcd}

2-objets \((\lambda, \mu)\) \(\lambda : u_1 \xrightarrow{\sim} u_2\), \(\mu : v_1 \xrightarrow{\sim} v_2\)

dans le diagramme, \(\lambda\) entre \(u_1\) et \(u_2\), \(\mu\) entre \(v_1\) et \(v_2\), et les deux 2-flèches \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) en diagonale, partiellement repassées

\begin{tikzcd}
\varphi' u_1 \arrow[r, "\varphi' * \lambda", "\sim"'] \arrow[d, "\alpha_1"', "\wr"] & \varphi' u_2 \arrow[d, "\alpha_2", "\wr"'] \\
v_1 * \varphi \arrow[r, "\mu * \varphi"', "\sim"] & v_2 * \varphi
\end{tikzcd}

commutatif

le premier terme de la ligne du bas est écrit sur une surcharge

Supposons \(\mathcal{C}\) connexe, non vide[,] \(\mathcal{D}\) non vide, alors \(\varphi : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) est équivalent à un objet (noté de même) où« non vide » et « \(\mathcal{D}\) non vide » ajoutés en interligne \[\mathcal{C} = \mathrm{Cat}\, G , \qquad \mathcal{D} = \coprod_{i \in I} \mathrm{Cat}\, \mathbb{Z}\] donc \(\varphi\) donné par des hom \(\varphi_i : \mathbb{Z} \to G\), donc par des \(\ell_i = \varphi_i(1) \in G\) (\(i \in I\))

idem \(\mathcal{C}' = \mathrm{Cat}\, G'\), \(\mathcal{D}' = \coprod_{i' \in I'} \mathrm{Cat}\, \mathbb{Z}\), \(\varphi'\) donné par des \(\varphi'_{i'} : \mathbb{Z} \to G'\) i.e. des \(\ell'_{i'} \in G'\).

\(\underline{\mathrm{Hom}}((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi); (\mathcal{C}', \mathcal{D}', \varphi')) \overset{?}{=}\) […]

Objets

• \(\boxed{u : I \xrightarrow{\sim} I'}\) (définit \(u\))
• \(\boxed{v : G \xrightarrow{\sim} G}\) (définit \(v\))sic : le but est écrit \(G\), sans accent
• \(\forall i \in I\) \(\boxed{\alpha(i) \in G'}\) tel que […] \(\ell'_{u(i)} = \alpha_i\, v(\ell_i)\, \alpha_i^{-1}\) \(\boxed{v(\ell_i) = \alpha(i)\, \ell'_{u(i)}\, \alpha(i)^{-1}}\) (ce qui définit \(\alpha\))

\[\mathrm{Hom}((u_1, v_1, \alpha_1), (u_2, v_2, \alpha_2)) = \left\{ (\lambda, \mu) \;\middle|\; \begin{array}{l} \lambda \in \mathbb{Z}^I,\ \mu \in G' , \\ \boxed{v_2 = \operatorname{int}(\mu) \circ v_1} , \\ \alpha_2(i)\, {\ell'_{u(i)}}^{\lambda_i} = \mu\, \alpha_1(i) \end{array} \right\}\] si \(u_1 = u_2 =: u\), sinon c'est videentouré, et relié par un trait aux indices de \((u_1, v_1, \alpha_1)\), \((u_2, v_2, \alpha_2)\) ou aussi \(\boxed{\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i) = {\ell'_{u(i)}}^{\lambda_i}}\) un signe biffé précède \(\operatorname{int}(\mu)\) et suit la virgule après \(\mu \in G'\)

6

Supposons \((\mathcal{C}', \mathcal{D}', \varphi') = (\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\) donc \(G = G'\), \(I = I'\), \(\ell'_i = \ell_i\) ; donc \(\underline{\mathrm{Aut}}(\,,\,)\) \(= \underline{\mathrm{End}}((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi))\) est une Gr-catégorie. \[\pi_0(\underline{\mathrm{End}}(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)) \overset{?}{=}\]

NB \((u_1, v_1, \alpha_1) \simeq (u_2, v_2, \alpha_2)\) […] implique

1. a)\(u_1 = u_2\) \((= u)\)
2. b)\(v_2\) conjugué de \(v_1\) i.e. \(\exists\, \mu \in G'\) tel que \(v_2 = \operatorname{int}(\mu) v_1\),

d'où \[\begin{array}{rcl} v_2(\ell_i) & = & \operatorname{int}(\mu)\, v_1(\ell_i) = \mu\, v_1(\ell_i)\, \mu^{-1} \\ \| & & \| \\ \alpha_2(i)\, \ell_{u(i)}\, \alpha_2(i)^{-1} & = & \mu\, \alpha_1(i)\, \ell_{u(i)}\, \alpha_1(i)^{-1} \mu^{-1} \end{array}\] les deux \(\ell\) de la seconde ligne portaient un accent, biffé d'où \[(\operatorname{int} \alpha_2(i))\, \ell_{u(i)} = (\operatorname{int}(\mu\, \alpha_1(i))) . \ell_{u(i)}\] i.e. int \(\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i)\) centralise \(\ell_{u(i)}\).

Or sauf le cas de la « sphère à 1 seul trou », chaque \(\ell_j\) est un élément libre, et […] en tous cas« en tous cas » en interligne, au-dessus du passage biffé son centralisateur est le groupe engendré par \(\ell_j\) : dans tous les cas, donc a) et b) impliquent déjà l'existence de \(\lambda_i\) tel que \(\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i) = \ell_{u(i)}^{\lambda_i}\) (d'ailleurs unique sauf le cas de la sphère à un seul trou i.e. \(G = 1\), \(\operatorname{card} I = 1\)), donc \[(u_1, v_1, \alpha_1) \simeq (u_2, v_2, \alpha_2) \quad \text{ssi} \quad u_1 = u_2 ,\ \overline{v}_2 = \overline{v}_1\] ([…] au groupe […]). Donc \(\pi_0(\underline{\mathrm{End}}) \simeq\) groupe des couples \((u, \overline{v})\), où \(u \in \mathfrak{S}_I\), \(\overline{v} \in \operatorname{Autext} G\), tels que \(\forall i \in I\), on ait \(\overline{v}(\ell_i)\) conjugué à \(\ell_{u(i)}\) (pour \(v\) un aut. de \(G\) qui représente \(\overline{v}\)).

NB \(u\) est déjà déterminé par \(\overline{v}\), ce qui résulte du fait que si \(i, j \in I\), \(i \neq j\), alors \(\ell_i\) et \(\ell_j\) sont non conjugués (en fait leurs images dans \(G_{\mathrm{ab}}\) sont distinctes !) Donc \(\pi_0(\underline{\mathrm{End}}) \subset \operatorname{Autext}(G)\), est formé des \(\overline{v} \in \operatorname{Autext}\) tels que \(\forall i \in I\), \(\overline{v}(\ell_i)\) est conjugué à un des \(\ell_j\). ce NB est marqué d'un trait vertical dans la marge ; la lettre lue \(u\) au début du NB est écrite comme un \(\sigma\), et le \(\overline{v}\) de la dernière ligne porte deux barres

7

\[\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) \overset{?}{=} \mathrm{Aut}(u = \mathrm{id},\ v = \mathrm{id},\ \alpha = 1 \in G^I) = ?\] un signe biffé entre \(\alpha\) et \(=\) \(\lambda \in \mathbb{Z}^I\), \(\mu \in G\) tels que

1. a)\(\mathrm{id}_G = \operatorname{int}(\mu) \circ \mathrm{id}_G\) i.e. \(\mu \in Z(G)\) (centre)
2. b)\(\forall i\), \(\mu = \ell_i^{\lambda_i}\)

Or, sauf le cas de la sphère à 1 ou 2 trous, le groupe \(G\) est libre à \(\geq 2\) générateurs, donc son centre est nul, de plus les \(\ell_i\) sont libres. Donc dans ce cas \(\mu = 1\), \(\lambda_i = 0\) \(\forall i \in I\), donc \(\boxed{\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) = 0}\)

Dans le cas de la sphère à 2 trous [(]i.e. le cylindre[)], on a \(G \simeq \mathbb{Z}\), \(\ell_i = \pm 1\), […] ; les \(\ell_i\) sont encore libres (donc les \(\lambda_i\) déterminés par \(\mu\)) et \(G = Z(G)\). Donc \[\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) = G \quad (\simeq \mathbb{Z})\] (pas canoniquement). Dans le cas de la sphère à 1 trou, \(G = 0\), et on trouve \[\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) \simeq \mathbb{Z} \quad (\text{isom.\ canonique})\] « i.e. le cylindre » est ajouté en interligne ; « (pas canoniquement) » est rattaché par une flèche à « \((\simeq \mathbb{Z})\) »

un trait horizontal sépare ce qui suit

Regardons maintenant la 2-catégorie des \((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\) avec \(\mathcal{D}\) fixe, donc \(u = \mathrm{id}\), \(\lambda = \mathrm{id}\). On trouve pour \(\underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{D}\ \mathrm{fixe}}(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\)

objets : couples \((v, \alpha)\) avec \(\left\{ \begin{array}{l} v \in \mathrm{Aut}\, G , \\ \alpha \in G^I \\ v(\ell_i) = \operatorname{int}(\alpha(i)) . \ell_i \end{array} \right.\)

\(\mathrm{Hom}((v_1, \alpha_1), (v_2, \alpha_2))\) = ens. des \(\mu \in G\) tels que \(\left\{ \begin{array}{l} v_2 = \operatorname{int}(\mu) \circ v_1 \\ \alpha_2(i) = \mu\, \alpha_1(i) \end{array} \right.\)

On trouve que \((v_1, \alpha_1) \simeq (v_2, \alpha_2)\) […] \(\Rightarrow\) […] \(\overline{v}_1 = \overline{v}_2\)« \(\overline{v}_1 = \overline{v}_2\) » écrit au-dessus du passage biffé i.e. \(\exists\, \mu_0\) tel que \(v_2 = \operatorname{int}(\mu_0) v_1\), d'où \[\begin{array}{rcl} v_2(\ell_i) & = & \underline{\operatorname{int}(\mu_0)\, v_1(\ell_i)} \\ \| & & \| \\ \operatorname{int}(\alpha_2(i))\, \ell_i & & \operatorname{int}(\mu_0)\, \operatorname{int} \alpha_1(i)\, v_1(\ell_i) \end{array}\] sic, \(v_1(\ell_i)\) au dernier terme, où l'on attend \(\ell_i\) donc \(\alpha_2(i)^{-1} \mu_0\, \alpha_1(i)\) centralise \(\ell_i\)

8

\[0 \to \mathbb{Z}^I \dashrightarrow TS(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi) \xrightarrow{\ \Psi\ } T(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi) \to \mathfrak{S}_I \to 1\] sous \(TS\) : « Teichmüller spécial » ; sous \(T\) : « Teichmüller à trous » ; sous \(\mathfrak{S}_I\) : « groupe symétrique ». Le début de la suite, avant \(\mathbb{Z}^I\), est biffé exacte sauf pour la sphère à 1 ou 2 trousdans la marge de gauche, sous le début de la suite

Les \((v, \alpha) \in TS\) dans le noyau de \(\Psi : TS \to T\), i.e. tels que \(\overline{v} = \mathrm{id}\), sont représentables par des \((v, \alpha)\) avec \(v = \mathrm{id}\), donc \[\ell_i = \operatorname{int}(\alpha(i))\, \ell_i .\] Sauf dans le cas de la sphère à 1 trou, on a le centralisateur de \(\ell_i\) est le groupe qu'il engendre et ce groupe est libre de rang 1, donc […] \[\alpha(i) = \ell_i^{\lambda_i} \qquad \lambda_i \in \mathbb{Z} \text{ bien déterminé.}\] On aura \[(\mathrm{id}_G, (\ell_i^{\lambda_i})) \simeq (\mathrm{id}_G, (\ell_i^{\lambda'_i}))\] ssi \(\exists\, \mu \in Z(G)\) tel que \(\ell_i^{\lambda'_i} = \mu\, \ell_i^{\lambda_i}\).

Dans tous les cas sauf la sphère à 2 trous (cylindre) \(Z(G) = 0\), donc la condition précédente est \((\lambda_i) = (\lambda'_i)\), i.e. \(\operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z}^I\). Dans le cas de la sphère à 2 trous, \(Z(G) = G \simeq \mathbb{Z}\) la condition […] que \((\ell_1, \ell_2) = (+1, -1)\)écrit au-dessus de la ligne biffée \(\mu = \ell_i^{\lambda'_i}\, \ell_i^{-\lambda_i}\) […] \(\ell_1^{\lambda_1}, \ell_2^{\lambda_2}\)passage biffé de traits obliques, lecture partielle […] les conditions sur les \(\lambda\) (notation additive dans \(\mathbb{Z}\)) \[\lambda'_1 = \mu + \lambda_1 , \qquad -\lambda'_2 = \mu - \lambda_2 \quad \text{i.e.} \quad \lambda'_2 = -\mu + \lambda_2\] i.e. \[\operatorname{Ker}(\mathbb{Z}^I \to \operatorname{Ker} \Psi) \simeq \operatorname{Ker}(\mathbb{Z}^I \to \mathbb{Z})\] sous la dernière flèche, « opération somme » donc \(\operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z}\) (canoniquement).

Enfin dans le cas de la sphère à 1 trou, \(G = 0\) donc \(\alpha = 0\), donc \(TS(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi) = 0\).

On trouve d'autre part, trivialement, \[\pi_1(\underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{D}\ \mathrm{fixe}}(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)) = 1 .\]

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catégorie […] topologique des surfaces orientéesécrit le long du bord gauche, de bas en haut, avec un grand trait vertical qui embrasse toute la partie supérieure de la page, jusqu'au trait horizontal

• (a)\((\Sigma, \omega)\) 1-complexe combinatoire (circulation « ordinaire » (ss pts isolés ni bandes isolés)[)], ([…]) « ([…]) », d'un trait plus fin, est ajouté au-dessus et relié par un trait à « combinatoire »
• (c)\(\Pi_d\) \(\mathbb{Z}\)-groupoïde […] \(\pi_0(\Pi_d)\) fini 1-spécial
• (b)\(\Pi_b\) groupoïde 1-spécial (i.e. \(\pi_0(\Pi_b)\) fini, les groupes fond. isom. à \(\mathbb{Z}\))

les trois lettres (a), (c), (b) sont entourées, et (a), (c) réunies par une accolade

• (a')

  \(\partial_t(\Sigma, \omega)\) 1-complexe combinatoire […] orienté, dit « les co-circuits » de \(\Sigma\).

  \(\Pi(\partial_t(\Sigma, \omega))\) \(\mathbb{Z}\)-groupoïde 1-spécial \(\xrightarrow{\ \varphi_0\ } \Pi(\Sigma)\)

• (b')

  \(\overline{\Pi}_b = \coprod_{i \in B} \Pi_b(i)\) (comp. connexes), \(\Lambda(i) = \pi_1 \Pi_b(i)\) (groupe isom. à \(\mathbb{Z}\))

  \(\widetilde{\Pi}_b(i) = \struck{\ill{}} \coprod_{\alpha \in \mathrm{Isom}(\mathbb{Z}, \Lambda(i))} \Pi_b(i)\) \(\mathbb{Z}\)-groupoïde grossier à deux composantes connexes

  \[\begin{array}{c} \widetilde{\Pi}_b = \coprod_{i \in B} \widetilde{\Pi}_b(i) \\ \big\downarrow \scriptstyle \varphi_b \\ \Pi_b \end{array} \qquad \mathbb{Z}\text{-groupoïde 1-spécial}\] sous \(\overline{\Pi}_b\) et « comp. connexes », un trait souligne \(\Pi_b(i)\) ; la première barre sur \(\Pi_b\) porte un signe peu lisible, \(\widetilde{\ }\) ou \(\sim\) ; « à deux » est écrit au-dessus de connexe ; au-dessus de « à deux », un petit signe

• (c')\(\mathrm{Cat}\, \pi_0(\Pi_d) \xleftarrow{\ \varphi_c\ } \Pi_d\) \(\mathbb{Z}\)-groupoïde 1-spécial

\[T((\Sigma, \omega), \Pi_d, \Pi_b) = (\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\] une flèche fine relie \((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)\) à « \(\mathbb{Z}\)-groupoïde 1-spécial » de la ligne (c') \[\begin{aligned} \mathcal{D} &= \Pi(\partial_t(\Sigma, \omega)) \amalg \widetilde{\Pi}_b \amalg \Pi_d \\ \mathcal{C} &= \Pi(\Sigma) \amalg \Pi_b \amalg \mathrm{Cat}(\pi_0(\Pi_d)) \\ \varphi &= \varphi_0 \amalg \varphi_b \amalg \varphi_d \end{aligned}\] NB \(\varphi\) est foncteur bordant

un trait horizontal traverse la page

• (d)\(\mathcal{C}'\) groupoïde
• (e)\(\varphi' : \mathcal{D} \to \mathcal{C}'\) \((\varphi' = (\varphi'_0, \varphi'_b, \varphi'_d))\) foncteur bordant

11

Catégorie non-strictifiée des 1-complexes topologiques compacts […] divisés… combinatoires« combinatoires » est écrit sous la ligne ; une flèche fine le relie à la ligne suivante

• \(K_1\) 1-complexes sans bandes isolées (« sans » défini […] …)l'indice de \(K_1\) est écrit sur une surcharge
• \(\Pi_b\) […] groupoïde 1-spécial

\[\underline{\mathrm{Hom}}((K_1, \Pi_b), (K'_1, \Pi'_b)) \simeq \mathrm{Cat}(\mathrm{Isom}(K_1, K'_1)) \times \underline{\mathrm{Equ}}_{?}(\Pi_b, \Pi'_b)\] la formule court jusqu'au bord droit de la feuille, où la fin se perd ; l'indice de \(\underline{\mathrm{Equ}}\), rendu ici par « ? », est illisible ; le reste de la page est blanc

13

1) Soit une extension de groupes topologiques \[(E) \qquad 1 \to N \to G \to H \to 1\] et un hom. de groupes topologiques \[H' \xrightarrow{\ u\ } H\] d'où par image inverse une extension \(G'\) de \(H'\) par \(N\) et un hom. d'extensions

\begin{tikzcd}[row sep=small]
(E) & 1 \arrow[r] & N \arrow[r] & G \arrow[r] & H \arrow[r] & 1 \\
(E') & 1 \arrow[r] & N \arrow[r] \arrow[u, "\mathrm{id}"] & G' \arrow[r] \arrow[u] & H' \arrow[r] \arrow[u, "u"'] & 1
\end{tikzcd}

le \(N\) de la seconde ligne porte une marque en exposant, peut-être un chiffre

Passant aux \(\pi_0\), […] on en déduit un hom. de suites exactes (sauf 1 à gauche)

\begin{tikzcd}[row sep=small, column sep=small]
(S) & \pi_1 H \arrow[r] & \pi_0 N \arrow[r] & \pi_0 G \arrow[r] & \pi_0 H \arrow[r] & 1 \\
(S') & \pi_1 H' \arrow[r] \arrow[u] & \pi_0 N \arrow[r] \arrow[u, no head, "\parallel" description] & \pi_0 G' \arrow[r] \arrow[u] & \pi_0 H' \arrow[r] \arrow[u] & 1
\end{tikzcd}

dont la commutativité du carré de droite donne lieu à un hom. \[\begin{array}{c} \pi_0 G' \xrightarrow{\ c\ } \pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H' . \\ \| \\ \pi_0(G \times_H H') \end{array}\] la lettre sur la flèche est repassée, lecture \(c\) incertaine

Il est facile de voir sur des exemples que cet hom. (qui est toujours surjectif) n'est pas nécessairement bijectif. Ainsi, la seule connaissance de la suite (S) et de \(\pi_1(H') \to \pi_1(H)\) ne permet pas, en général, de […] déterminer \(\pi_0(G')\).

Notre propos est de préciser des données algébriques simples, relatives à l'extension (E), qui permettent de […] déterminer \(\pi_0(G')\) (mod. isom.), connaissant \(\pi_0 H \to \pi_0 H'\) et \(\pi_1 H \to \pi_1 H'\) induit par \(u\). « déterminer » est en interligne, au-dessus du mot biffé, et « (mod. isom.) » en interligne, rattaché par un trait à \(\pi_0(G')\) la parenthèse « (discrets) » est ajoutée au-dessus de la ligne, avec un trait qui la rattache à « la seule connaissance » ; lecture et point d'attache incertains. Sic : les deux flèches finales vont de \(H\) vers \(H'\), à l'inverse de \(u\) ; le premier \(H\) est écrit sur une surcharge

14

\(\alpha\)) Réduction au cas \(N\) discret. Observons que \(N^0\) est invariant dans \(G\) (et dans \(G'\)) \[\left\{ \begin{array}{l} \pi_0 G = \pi_0 G / N^0 \\ \pi_0 G' = \pi_0 G' / N^0 \end{array} \right.\] et que […] ; d'ailleurs \(G'/N^0\) comme extension de \(H\) par \(N/N^0 = \pi_0 N\) est l'image inverse de \(G/N^0\) (extension de \(H\) par \(\pi_0 N\)) via \(H' \xrightarrow{u} H\). l'accolade et « et que » sont écrits en marge des deux lignes de formules, sans suite lisible ; sic : « extension de \(H\) » pour \(G'/N^0\), où l'on attend \(H'\). Sic aussi, dans les deux égalités, \(\pi_0 G / N^0\) : entendre \(\pi_0(G/N^0)\) D'ailleurs le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[row sep=small]
H \arrow[r] & H/N^0 \\
H' \arrow[r] \arrow[u, "u"] & H'/N^0 \arrow[u, "\hat{u}"']
\end{tikzcd}

sic : \(H/N^0\), \(H'/N^0\) ; on attend \(G/N^0\) et \(G'/N^0\) donne un carré commutatif

\begin{tikzcd}[row sep=small]
\pi_i H \arrow[r] & \pi_i(H/N^0) \\
\pi_i H' \arrow[r] \arrow[u, "\pi_i u"] & \pi_i(H'/N^0) \arrow[u, "\pi_i \hat{u}"']
\end{tikzcd}

le \(N^0\) du coin inférieur droit est écrit sur une surcharge

donc la donnée des \(\pi_i u\) équivaut à celle des \(\pi_i \hat{u}\) (car les \(\to\) horiz. sont des isom.) et celle des \(\pi_1 u\) équivaut implique celle de \(\pi_1 \hat{u}\) (car les \(\to\) horiz. sont des épi.) Remplaçons Divisant tout par \(N^0\), on est donc ramené au cas où \(N\) est discret. Dans ce cas la suite (S) revient à […] \[\left\{ \begin{array}{ll} \pi_i G \simeq \pi_i H & i \geqslant 2 \\ \pi_1 G = \operatorname{Ker}(\pi_1 H \to \pi_0 N) & (\pi_0 N = N) \\ \pi_0 G \text{ est ext.\ de } \pi_0 H \text{ par } \operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N) \end{array} \right.\] au-dessus de la première ligne, un mot biffé et « \(i \geqslant 2\) » écrit en tête ; le but de \(\pi_1 H \to\) est \(\pi_0 N\) repassé en \(N\), avec \(\pi_0 N = N\) en dessous et de même pour les \(\pi_i G'\). Notre propos

Supposons connus […] \(\pi_i H'\), on connaît donc \(\pi_i G\)sic, pour \(\pi_i G'\) si \(i \geqslant 2\), et \(\pi_1 G'\) comme \(\operatorname{Ker}(\pi_1 H' \to N)\), en notant que \(\pi_1 H' \to\) […] a comm. du

\begin{tikzcd}[row sep=small]
\pi_1 H \arrow[r] & N \\
\pi_1 H' \arrow[r] \arrow[u, "\pi_1(u)"] & N \arrow[u, no head, "\parallel" description]
\end{tikzcd}

donc \(\pi_1 H' \to N\) est connu (par \(H' \xrightarrow{u} H\)) si \(\pi_1 H \to N\) est connu, en termes des seuls \(\pi_1 u\). Notre propos est donc de en fait de déterminer (pour \(H'\) et \(u : H' \to H\)) l'extension la page s'arrête sur ce mot ; la suite est en page 15

15suite de la page 14

\(\pi_0 G'\) de \(\pi_0 H'\) par \(R' = \operatorname{Coker}(\pi_1 H' \to N)\). […] Montrons que \(\pi_0 G\) est lui-même une extension de \(\operatorname{Coker}\) \(\pi_0 H\) par \(\operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N)\), son image inverse par \(\pi_0 H' \to \pi_0 H\) est une extension de \(\pi_0 H'\) par \(R = \operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N)\) […], non pas \(R'\). « Coker », souligné, porte en dessous \(\pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H'\), relié par un trait à « image inverse » : c'est ce produit fibré qui est l'image inverse. Le mot « Coker » devant \(\pi_0 H\) est de lecture incertaine \(R\) est un quotient de \(R'\) par \[\frac{\operatorname{Im}(\pi_1 H \xrightarrow{\varphi} N)} {\operatorname{Im}(\pi_1 H' \xrightarrow{\varphi'} N)} \simeq \pi_1 H / (\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u))\] donc on a \[1 \to \pi_1 H / (\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u)) \to \pi_0 G' \xrightarrow{\ c\ } \pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H' \to 1 .\] le \(R\) initial porte un petit signe en exposant ; le terme \(\pi_1 H / (\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u))\) est écrit sous la ligne précédente, à gauche, et renvoyé par un trait au membre de droite de l'isomorphisme

Cel[a] montre met en évidence de façon précise comment le noyau de \(c\) est lié au \(\pi_1 H\) et \(\pi_1 u\), c'est un quotient de \(\operatorname{Coker}\, \pi_1 u\).

\(\beta\)) Cas \(H\) connexe. Alors l'ext. \(G\) est canonique, à isom. unique près, par un hom. \[\struck{\pi \to}\ \pi \overset{\mathrm{déf}}{=} \pi_1(H) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{z}(N)\] et peut se décrire […] à l'aide du groupe […] universel \(\widetilde{H}\) de \(H\) (ext. de \(H\) par \(\pi\)) en prenant son « image directe » par \(\pi \xrightarrow{\varphi} N\). Alors l'extension \(G'\) de \(H'\) par \(N\) peut s'obtenir en prenant l'image inverse \(H' \times_H \widetilde{H}\) de l'ext. \(\widetilde{H}\) de \(H\) par \(\pi\) via \(H' \to H\), et prenant l'image par \(\pi \xrightarrow{\varphi} \mathfrak{z}(N) \hookrightarrow N\). Il n'y a pas de problème si \(H'\) […] n'est pas connexe (décrivons les ext. de \(\pi_0 H'\) qui sont […] !) — p. ex. \(N\) discret. discret (plus généralement […]) Il faut prendre l'[…] deux lignes biffées closent la page ; le « \(\mathfrak{z}\) » rend le « 3 » bouclé qu'il écrit pour le centre, comme en page 21. Au-dessus de \(\pi \xrightarrow{\varphi} \mathfrak{z}(N)\) le signe \(\overset{\mathrm{déf}}{=}\) porte « déf » ; « par » dans « l'image inverse … de l'ext. » est écrit sur une surcharge

16

• (a)\(1 \to N \to G \to H \to 1\) ext. de groupes top. [\(N\) discret]
• (b)\(1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1\) ext. de groupes top. [\(\pi\) discret]
• (c)\(1 \to \widetilde{H}_0 \to \widetilde{H} \to \mathfrak{G} \to 1\) ext. de gr. top. [\(\mathfrak{G}\) discret]

au-dessus de (a), un « (A) » entouré ; devant (b), un signe biffé

On suppose données (b) et (c) et \(N\), on s'intéresse aux ext. \(G\) de \(H\) par \(N\), munies d'une trivialisation stricte (i.e. comm. avec prod. produits) de l'image inverse de cette extension par \(\widetilde{H}_0 \to H\) (composé \(\widetilde{H}_0 \hookrightarrow \widetilde{H} \to H\)) i.e. d'un hom. \(\widetilde{H}_0 \to G\) qui relève \(\widetilde{H}_0 \to H\) et centralise \(N\) « et \(N\) » est en interligne, relié par un trait ; la parenthèse après « stricte » est ajoutée au-dessus de la ligne, sa lecture est très incertaine (NB \(N\) étant discret, si \(\widetilde{H}_0\) est connexe et simplement connexe, il existe pour \(G\) donné une unique telle trivialisation…) ce qui […] de plus (par ce splitting on associe […] […] de \(\widetilde{G}\) sur \(\widetilde{H}_0\) ([…]) et sur \(\mathfrak{G}\) (via \(\widetilde{G} \to G\))) deux lignes serrées, ajoutées entre les lignes, dont l'essentiel ne se lit pas

Soit \(\widetilde{G}\) l'image inverse de \(G\) par \(\widetilde{H} \to H\) (cf ci-dessous bien déf. de \(\widetilde{G}\)) \[1 \to N \to \widetilde{G} \to \widetilde{H} \to 1\] la donnée d'une ext. \(G\) est équivalente à celle de \(\widetilde{G}\), munie d'une trivialisation stricte sur \(\pi\). La trivialisation de structure supplémentaire sur l'ext. \(G\) (trivialisation de l'image inverse par \(\widetilde{H}_0 \to H\)) équivaut donc à une trivialisation stricte de \(\widetilde{G}\) sur le sous-groupe \(\widetilde{H}_0\). Dans ces conditions on doit étudier les ext. \(\widetilde{E}\) de \(\widetilde{H}\) par \(N\), trivialisées strictement simultanément sur \(\pi\) et sur \(\widetilde{H}_0\) [rappelons que cette dernière structure, […] sur \(\widetilde{H}_0\), est automatique dans les conditions dites]. Or une ext. […] \(\widetilde{E}\) de \(\widetilde{H}\) par \(N\) trivialisée strict[ement] sur \(\widetilde{H}_0\) équivaut à une ext. de \(\mathfrak{G}\) par \(N\), soit \(\widetilde{G}_0\) : \[1 \to N \to \widetilde{G}_0 \to \mathfrak{G} \to 1\] au-dessus de \(\widetilde{G}_0\), un signe biffé (\(\widetilde{E}\) est l'image inverse par \(\widetilde{H} \to \mathfrak{G}\)). De plus, il faut donner un splitting strict des diagrammes à droite de « Soit \(\widetilde{G}\) … par \(\widetilde{H} \to H\) », la parenthèse « (cf ci-dessous …) » est reliée par un trait ; chacun des mots « stricte », « strictement », « strict » en italique est ajouté en interligne, relié par un trait la page s'arrête sur ce mot ; la suite, pages 17 à 20, puis 21

17suite de la page 16

\begin{tikzcd}[row sep=small]
1 \arrow[r] & N \arrow[r] & \widetilde{G}_0 \arrow[r] & \mathfrak{G} \arrow[r] & 1 \\
& & & \pi \arrow[u] \arrow[ul, dashed, "\varphi"] &
\end{tikzcd}

la flèche \(\varphi\) est pointillée ; au-dessus de \(\widetilde{G}_0\), un signe biffé

i.e. un relèvement, et compatible (\(\widetilde{G} \to \widetilde{G}_0\)), pour \(\widetilde{G}\) […] sur \(\pi\) (via \(\widetilde{H}\) et \(\widetilde{G} \to \widetilde{H}\)) et […] \(\widetilde{G}_0\) (via \(G\)… le début de la ligne est surchargé ; « et \(\widetilde{G} \to \widetilde{G}_0\) » est écrit sous la ligne, et \(\widetilde{G}_0\), à la fin, au-dessus d'un mot biffé

Cas particulier : \(\pi \subset \widetilde{H}_0\), i.e. \(\pi \to \mathfrak{G}\) est trivial, alors la donnée de \(\varphi\) équivaut à la donnée d'un hom. \[\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N) .\] si \(\pi\) connexe et discret, l'équivalence de \(G\) par \(\pi\) se fait via \(\pi_0(H)\) (ou \(\pi_0(\widetilde{H})\)) et celle de \(\mathfrak{G}\) par \(\mathfrak{z}(N)\) se fait via […] \(\widetilde{H}\) trivial et si \(\mathfrak{G}\) discret et \(\widetilde{H}_0\) connexe, \(\pi_0(H)\) \(= \pi_0(\widetilde{H}) = \mathfrak{G}\) […] dans le cas de \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\) et \(\mathfrak{G}\)-hom. note écrite en biais dans l'angle supérieur gauche, à côté des lignes qui précèdent, et reliée à « Cas particulier » par un trait ; lecture très partielle

un trait horizontal traverse la page. En dessous, jusqu'au second trait, une série de diagrammes de brouillon, barrés de longs traits obliques : les suites \(1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1\) et \(1 \to \pi \to \widetilde{H}' \to H' \to 1\) reliées par \(f : \widetilde{H}' \to \widetilde{H}\), avec \(\widetilde{H}'_0 = f^{-1}(\widetilde{H}_0)\) ; un carré de suites \(1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1\) au-dessus de \(\to \widetilde{H}_0 \to G \to 1\) et d'une ligne \(N \to N\), avec une flèche \(\varphi\) en biais ; une grille de sous-groupes \(H_1 \cap H_2 \subset H_1, H_2 \subset H\) et de leurs quotients ; enfin les suites \(1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1\) et \(1 \to \pi \to \widetilde{H}_0 \to H_0 \to 1\) sous \(\mathfrak{G} = \mathfrak{G}\). Ces brouillons ne sont pas repris dans la suite

\[\operatorname{Ext}(\mathfrak{G}, N) \times \operatorname{Hom}_{\mathfrak{G}}(\pi, \mathfrak{z}(N)) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ext}(H \bmod \widetilde{H}_0, N) \to \operatorname{Ext}(H, N)\] une flèche verticale descend de \(\operatorname{Ext}(\mathfrak{G}, N)\) vers « équivaut à » ; \(\operatorname{Ext}(H, N)\) est écrit sous \(\operatorname{Ext}(H \bmod \widetilde{H}_0, N)\)

\[1 \to N \to E \to \widetilde{H} \to 1 \quad \text{équivaut à} \quad H^2(\mathfrak{G}, N)\] sous \(E\) et \(\widetilde{H}\), des \(H\) à demi effacés ; à gauche un mot biffé

espace homogène sous \(H^2(H, \mathfrak{z}(N))\)

\[H^2(\mathfrak{G}, \mathfrak{z} N) \to H^2(H, \mathfrak{z} N)\] via \(H \to \mathfrak{G}\) \[\operatorname{Ext}(\mathfrak{G}, N) \times \operatorname{Hom}(\pi, N) \to H^2(H, \mathfrak{z}(N)) .\] la diagonale qui barre les brouillons traverse aussi ces dernières lignes, sans qu'il soit sûr qu'elle les annule

18

page organisée autour d'un schéma de sigles reliés par des flèches ; il est redessiné ici, les annotations qui l'entourent sont données ensuite

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \mathrm{SO} & & & \\
& & \mathrm{PLO} \arrow[ul] \arrow[dl] \arrow[drr] & & \\
& \mathrm{TUBO} \arrow[dl] \arrow[r] & \mathrm{SOB} \arrow[dr, "\partial"] & & \mathrm{SOB} \arrow[dl, "-\partial\ (\simeq \partial)"] \\
\mathrm{Kc} & & & \mathrm{CO} &
\end{tikzcd}

sous \(\mathrm{PLO}\) : « (avec \(\pi_0(K) \to \pi_0(S)\) surjectif) » ; à côté du second \(\mathrm{SOB}\) : « y circuits » ; sous \(\mathrm{CO}\) : « \(\simeq\) Equiv \((\mathbb{N}, \{\mathfrak{G}_n\})\) » ; la flèche \(\mathrm{TUBO} \to \mathrm{Kc}\) porte un signe surchargé, et une flèche courbe va de \(\mathrm{PLO}\) vers « classif. » à gauche

Accolade à droite de \(\mathrm{PLO}\) :

complexes hypercirculaires (i.e. complexes […] circulaires \(K\) avec une partition \(\Pi'\) de \(\mathrm{Circ}(K)\) (ens. des circuits) et applications \(\Pi' \xrightarrow{g} \mathbb{N}\).

extensions des groupes de symétries de 1-complexes combinatoires hypercirculaires \(\Pi'\) […] des groupes de Teichmüller spéciaux \(\Pi_{g_i, n_i}\) ; ces ext. sont connues quand on connaît les \(\Pi'_{g_i, n_i}\) séparément, et les hom. canoniques \[\mathbb{Z}^{n_i} \xrightarrow{\ \lambda\ } \operatorname{Centre}(L_{g_i, n_i})\] et les ext. de Teichmüller \[1 \to T_{g_i, n_i} \to L_{g_i, n_i} \to \mathfrak{G}_{n_i} \to 1\] au-dessous, un passage encadré, entièrement hachuré, où l'on devine \(L_{g_i, n_i} \to T_{g_i, n_i}\) et « de noyau \(\operatorname{Im}(\mathbb{Z}^{n_i} \to L_{g_i, n_i})\) » ; il est remplacé par « …, […] ce qui est dit dessus », avec « en donnant […] » en interligne. Une flèche courbe y renvoie depuis l'accolade

Sous \(\mathrm{SOB}\) (à gauche) : familles finies de couples \((g_i, n_i)\) (genre, nb. de trous) \(g \geqslant 0\), \(n \geqslant 0\) ; « groupes de Teichmüller à trous » : familles finies de groupes extérieurs à lacets. Tout se détermine : à l'aide des « gr. de Teichmüller à trous » ordinaires \(T_{g,n}\).

Sous \(\mathrm{Kc}\) : \(\simeq\) [1-complexes combinatoires circulaires] ; groupoïdes des classes d'isomorphie de 1-complexes circulaires connexes, groupes de symétries des complexes circulaires : tout se ramène à la détermination des groupes de symétries des 1-complexes circulaires connexes.

une flèche courbe part de \(\mathrm{TUBO}\) et mène à ce qui suit \(\to\) il suffit de le déterminer pour les […] cas connexes i.e. les 1-compl. circ. connexes. Le calcul des \(g_i n_i\) est donné par Yves. Il reste à voir […] les \(K_g\) circulaires« circulaires » en interligne, au-dessus d'un mot biffé de déterminer \[\boxed{\operatorname{Aut}_{\mathrm{Circ}}(K) \to \operatorname{Aut}(T_{?}(K)) \simeq T_{g,n}}\] l'indice rendu par « ? » est illisible ([…]) ; sous la première flèche, un signe biffé. Le prénom « Yves » se lit nettement

19

(B)entouré, en haut à gauche

Supposons à la fois

• \(\alpha\))\(\widetilde{H}_0\) est connexe et simplement connexe
• \(\beta\))\(\pi \subset \widetilde{H}_0\)
• \(\gamma\))\(\pi\), \(N\), \(\mathfrak{G}\) discrets

Comme \(\mathfrak{G}\) discret, \(\widetilde{H}_0\) connexe, on a \(\left\{ \begin{array}{l} \widetilde{H}_0 = \widetilde{H}^0 \\ \mathfrak{G} = \pi_0 \widetilde{H} \end{array} \right.\) (composante neutre). Comme \(\pi \subset \widetilde{H}_0\), on a que \(H = \widetilde{H}/\pi\) est une extension de \(\mathfrak{G}\) par \(H^0 = \widetilde{H}_0/\pi\) \[\boxed{H^0 = \widetilde{H}_0/\pi , \quad \mathfrak{G} = \pi_0(H)}\] Comme \(\pi\) discret[,] \(\widetilde{H}_0\) est simplement connexe, c'est le le revêtement universel de \(H^0 = \widetilde{H}_0/\pi\) « \(\pi\) discret, » et « \(\widetilde{H}_0\) est » en interligne \[\boxed{\left\{ \begin{array}{l} \widetilde{H^0} = \text{rev.\ universel de } H^0 \\ \pi = \pi_1(H^0) = \pi_1(H) \end{array} \right.}\]

Donc la situation équivaut à :

1°) donnée d'un groupe top. \(H\), […] i.e. [ce qui est donc ext. d'un groupe discret \(\mathfrak{G} = \pi_0(H)\) par […] un groupe connexe \(H^0\) ; en donnant […] à un groupe […] universel \(\widetilde{H^0}\), extension de \(H^0\) par \(\pi \simeq \pi_1(H^0)\)] à droite du crochet, « groupe connexe à un groupe \(\mathfrak{G}\) opérant », sans suite sûre

2°) Une extension \(\widetilde{H}\) de \(H\) par \(\pi\) qui prolonge l'extension \(\widetilde{H^0}\) de \(H^0\) par \(\pi = \pi_1(H^0)\).

NB Une telle extension n'est pas nécessairement unique à isom. près, elle est unique […] (i.e. mod. action de \(H^2(\mathfrak{G}, \pi)\))en interligne, au-dessus du passage biffé comme extension de \(\mathfrak{G}\) par \(\pi\), et sauf erreur l'obstruction à l'existence d'une telle ext. est dans \(H^3(\mathfrak{G}, \pi)\). Une telle extension existe si \(H\) est produit semi-direct \(\mathfrak{G} . H^0\) ; car on peut prendre alors \(\widetilde{H} = \mathfrak{G} . \widetilde{H^0}\).

3°) Le groupe discret \(N\).

Avec ces données, on trouve que la catégorie des extensions de \(H\) par \(N\) équivaut à celle des couples \((\widetilde{G}_0, \varphi)\), où \(\widetilde{G}_0\) est une ext. de \(\mathfrak{G}\) par \(N\) et \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\) un \(\mathfrak{G}\)-hom. (\(\mathfrak{z}(N)\) = centre de \(N\)). au-dessus de \(\widetilde{G}_0\), un signe biffé, et un \(G\) au-dessus de « … de \(H\) » ; le « \(\mathfrak{G}\)- » de « \(\mathfrak{G}\)-hom. » est écrit sur une surcharge

NB \(G_0 = \pi_0 \widetilde{G} = \widetilde{G}/\widetilde{G}^0\) ([…] \(\widetilde{G}^0 \to \widetilde{H}^0\) est un isom.) comme \(G = \widetilde{G}/\pi\), et on a … \(\to \pi_0 G \to \pi_0 G \to 1\) écrit en biais dans l'angle inférieur gauche, avec le diagramme \(\pi \to \pi_0 G = G_0 \supset N \supset \mathfrak{z}(N)\), une flèche directe \(\pi \to \mathfrak{z}(N)\) ; lecture partielle

20

On peut aussi expliciter ainsi la construction de l'extension \(G\) [(]de \(H\) par \(N\)[)] associée à l'ext. \(\widetilde{G}_0\) de \(\mathfrak{G}\) par \(N\) et le \(\mathfrak{G}\)-hom. \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\) : « de \(H\) par \(N\) » en interligne ; devant \(\pi\), un signe biffé ; au-dessus de \(\widetilde{G}_0\), un autre

Soit \(G_!\) l'ext. de \(H\) par \(N\) image inverse de l'ext. \(G_0\) (de \(\mathfrak{G}\) par \(N\)) via \(H \to \mathfrak{G}\). Considérons l'extension \(\widetilde{H}\) de \(H\) par \(\pi\), le \(\mathfrak{G}\)-hom. \(\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)\) nous donne une ext. centrale \(\widetilde{H}^{\varphi}_{\ast}\) de \(H\) par \(\mathfrak{z}(N)\), correspondant aux opérations de \(H\) (via \(\mathfrak{G}\)) sur \(\mathfrak{z}(N)\) par l'ext. \(G_!\). On peut donc prendre le produit contracté des deux extensions \(G_!\) et \(\widetilde{H}^{\varphi}\), on trouve le \(G\) cherché. « extensions » en interligne ; l'indice de \(G_!\) est un point d'exclamation, avec au-dessus un petit signe qui peut être un \(\varphi\) ; l'indice de \(\widetilde{H}^{\varphi}_{\ast}\) est incertain

D'ailleurs, […] comme \(G\) est un revêtement de \(H\), on aura \[\begin{array}{ll} \pi_i(G) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_i(H) & \text{si } i \geqslant 2 \\ \pi_1(G) = \operatorname{Ker}(\pi_1(H) \to \pi_0(N)) & \end{array}\]

\begin{tikzcd}[row sep=small]
\pi_1(H) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \pi_0(N) \arrow[d, no head, "\parallel" description] \\
\pi \arrow[r] \arrow[dr, "\varphi"'] & N \\
& \mathfrak{z}(N) \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\pi_1(H) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & N \arrow[r] & \pi_0(G) \arrow[r] & \pi_0(H) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & 1 \\
\pi \arrow[r, "\varphi"'] & \mathfrak{z}(N) \arrow[u, hook] & & \mathfrak{G} &
\end{tikzcd}

i.e. \(\pi_0 G\) est une ext. de \(\mathfrak{G}\) par \(\operatorname{Coker}(\varphi : \pi \to N)\), et on vérifie que l'on a une suite exacte \[\pi \to G_0 \to \pi_0(G) \to 1\] au-dessous, une ligne entièrement hachurée où se lit \(\pi_0(G) \to \pi_0(\dots)\) (i.e. \(\pi_0(G) \simeq \operatorname{Coker}(\pi \to G_0)\)) où \(\pi \to G_0\) est le composé \[\pi \to \mathfrak{z}(N) \hookrightarrow N \hookrightarrow G_0 \qquad \dots\]

(B')entouré, dans la marge gauche Supposons seulement \(\pi, N, H\) discrets, \(\pi \subset \widetilde{H}_0\) (conditions \(\beta\)) et \(\gamma\))) mais pas nécess. \(\alpha\))) (i.e. que \(\widetilde{H}_0\) soit connexe et simplement connexe). le \(H\) de « \(\pi, N, H\) discrets » est un \(H\) capital appuyé ; la condition \(\gamma\)) de la page 19 porte sur \(\mathfrak{G}\), qu'on attend peut-être ici \(N\) étant discret, on a encore \[\pi_i(G) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_i(H) \quad \text{si } i \geqslant 2\] TSVPen bas à droite ; la suite est en page 21