Fonds Grothendieck, cote n° 132, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)132
Plongements dans surfaces (Ladegaillerie) : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1974Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/132.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
sa pagination : (1)
\begin{tikzcd}[column sep=small]
X \arrow[dr, "f"'] & & Y \arrow[dl, "g"] \\
& S &
\end{tikzcd}
espaces topologiques, d'où X \times_S Y et
\Pi_1(X \times_S Y) \xrightarrow{\ \varphi\ } \Pi_1(X) \overset{2}{\times}_{\Pi_1(S)} \Pi_1(Y) .
a) Supposons f une fibration de Serre, alors \varphi induit une bijection
sur les \pi_0, un épimorphisme sur les \pi_1 associés aux composantes
connexes. I.e. \varphi est ess. surjectif et surjectif sur les
\mathrm{Hom}(x, y) \to \mathrm{Hom}(\varphi x, \varphi y).
Démonstration. Décomposons la situation suivant les composantes
connexes de X, S, Y, on est ramené au cas où S, X, Y sont connexes,
non vides, donc f surjectif. Comme Y \neq \emptyset,
prenons y_0 \in Y, x_0 \in X_{s_0} où s_0 = g(y_0). Posons
G = \pi_1(X, x_0), \quad H = \pi_1(Y, y_0), \quad \Sigma = \pi_1(S, s_0) ,
on a alors
\begin{tikzcd}[column sep=small]
G \arrow[dr, "f_1"'] & & H \arrow[dl, "g_1"] \\
& \Sigma &
\end{tikzcd}
permettant de reconstruire mod équivalence
\Pi_1(X) \overset{?}{\times}_{\Pi_1(S)} \Pi_1(Y)le signe au-dessus
du \times est ici un « ? », ou un 2 mal formé ; au début de la page et à la
ligne suivante il se lit 2 comme
\mathrm{Cat}\, G \overset{2}{\times}_{\mathrm{Cat}\, \Sigma} \mathrm{Cat}\, H
=: P. Les objets de cette dernière sont les objets \sigma de \Sigma, et
les hom \sigma \to \sigma' sont les couples (g, h) \in G \times H, avec
g_1(h) \sigma = \sigma' f_1(g), i.e. \sigma' = g_1(h) \sigma f_1(g)^{-1}.
Donc les classes d'isomorphie de P correspondent à l'ensemble des doubles
classes H \backslash \Sigma / G, et le \pi_1 correspondant\pi_1(P, \sigma) n'est autre que le stabilisateur de
\sigma \in \Sigma dans G \times H, opérant sur \Sigma par
(h, g) . \sigma = g_1(h) \sigma f_1(g)^{-1}.
la ligne biffée sous « le stabilisateur » se lit à peu près « aux
composantes des » ; « \pi_1(P, \sigma) n'est autre » est ajouté en
interligne au-dessus du passage biffé
en bas à gauche de la page, un petit carré qui explicite ces flèches
Calculons \pi_0(Z) (Z = X \times_S Y), en utilisant la fibration de Serre
F \subset Z \to Y
où F est la fibre de f : X \to S, en s_0 (avec les points base déjà
choisis, et z_0 = (x_0, y_0)) :
\pi_0(Z) = \pi_0(F) / \pi_1(Y)
(coinvariants)
(comme \pi_0(Y) = 1) ; d'ailleurs on a, par
la fibration de Serre (et \pi_0(X) = 1)la parenthèse « (comme
\pi_0(Y) = 1) » est écrite au-dessus de la ligne et rattachée par un
traitF \subset X \to S\pi_1(X) \to \pi_1(S) \to \pi_0(F) \to \pi_0 \ill{} \to 1i.e.\pi_0(F) \simeq \pi_1(S) / \pi_1(X) (op. à droite), d'où, en composant
\pi_0(Z) = \pi_1(Y) \backslash \pi_1(S) / \pi_1(X) ,
ce qui montre la bijectivité des \pi_0.
Reste. Soit Z' une composante connexe de Z. Elle se projette surY, donc \exists\, z'_0 \in Z'_{y_0}. Son image dans X est bien
dans X_{s_0} = F, donc en la reliant par un arc à x_0, on trouve en
appliquant f un lacet en s_0, soit \sigma [déterminé mod un élément de
\mathrm{Im}\, \pi_1(X, x_0) = G par chgt. de l'arc dans X…, et
mod. de même un élément de \mathrm{Im}\, \pi_1(Y, y_0) en
changeant le point z'_0…]
donne une description (X, Y)…note
en biais dans la marge de gauche, à la hauteur des dernières lignes ; « Im »
est ajouté au-dessus de \pi_1(X, x_0)
sous la seconde ligne, \pi_1(\widetilde{Y}) \simeq H et
\pi_0(\Phi) \simeq \Sigma / G ; \pi_2(Y) est pris entre crochets, et
\pi_1(Z), \pi_0(Z) sont surlignés d'un trait ; le « 1 » qui ouvre la
seconde ligne est repassé
\begin{tikzcd}[row sep=small]
F \arrow[d, hook] & & \Phi \arrow[d, hook] & \\
X \arrow[d] & & \mathrm{Cat}\, G \arrow[r, "\approx"] \arrow[d] & \widetilde{X} \arrow[d] \\
S & & \mathrm{Cat}\, \Sigma \arrow[r, "\approx"] & \widetilde{S}
\end{tikzcd}
entre les deux colonnes, une colonne biffée : \pi_1(X) = G au-dessus
de \pi_1(S)
\Phi = catégorie des éléments de \Sigma, avec
\mathrm{Hom}_\Phi(\sigma, \sigma') = ens. des g \in G tels que
\sigma = \sigma' f_1(g) i.e. g \in f_1^{-1}(\sigma'^{-1} \sigma) ; son
\pi_0 est \Sigma / G, ses \pi_1 tous isom. : \operatorname{Ker} f_1.
On a \Pi_1(F) \to \Phi, induisant une bijection sur les \pi_0, et sur les
\pi_1 un épim., dont le noyau est
\operatorname{Coker}(\pi_2(X) \to \pi_2(S))
\pi_1(\widetilde{Z}) est ext. de g_1^{-1}(\mathrm{Im}\, G) par
\pi_1(\Phi) ;
\pi_1(Z) est ext. de id. par
\operatorname{Coker}(\pi_2(Y) \to \pi_1(F)),
donc est ext. de \pi_1(\widetilde{Z}) par
\operatorname{Coker}(\pi_2(X) \times \pi_2(Y) \to \pi_2(S))
Donc on trouveZ \to \widetilde{Z} induit un iso. pour les
\pi_1 ssi \pi_2(X) \times \pi_2(Y) \to \pi_2(S) est épi.
De plus, \pi_i(Z) = 0 pour i \geq 2\Leftrightarrow dès que
\pi_i(Y) = \pi_i(F) = 0 pour i \geq 2, or
\pi_{i+1}(S) \to \pi_i(F) \to \pi_i(X) donc il suffit
\pi_i(X) = \pi_i(Y) = \pi_i(S) = 0 pour i \geq 2, i.e. X, Y, S sont
des …
1 objets (u, v, \alpha : \varphi' u \xrightarrow{\sim} v \varphi)
la 2-flèche \alpha est tracée en diagonale dans le carré ; un
symbole biffé à côté de v. Sous u du triplet, une flèche renvoie à
« compatible avec orientations »
\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{D} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, bend right=30, "u_1"'] \arrow[d, bend left=30, "u_2"] & \mathcal{C} \arrow[d, bend right=30, "v_1"'] \arrow[d, bend left=30, "v_2"] \\
\mathcal{D}' \arrow[r, "\varphi'"'] & \mathcal{C}'
\end{tikzcd}
le premier terme de la ligne du bas est écrit sur une surcharge
Supposons \mathcal{C} connexe, non vide,\mathcal{D} non
vide, alors \varphi : \mathcal{D} \to \mathcal{C} est équivalent à un objet
(noté de même) où« non vide » et « \mathcal{D} non vide » ajoutés en
interligne\mathcal{C} = \mathrm{Cat}\, G , \qquad
\mathcal{D} = \coprod_{i \in I} \mathrm{Cat}\, \mathbb{Z}
donc \varphi donné par des hom \varphi_i : \mathbb{Z} \to G, donc par des
\ell_i = \varphi_i(1) \in G (i \in I)
idem \mathcal{C}' = \mathrm{Cat}\, G',
\mathcal{D}' = \coprod_{i' \in I'} \mathrm{Cat}\, \mathbb{Z}, \varphi'
donné par des \varphi'_{i'} : \mathbb{Z} \to G' i.e. des
\ell'_{i'} \in G'.
\boxed{u : I \xrightarrow{\sim} I'} (définit u)\boxed{v : G \xrightarrow{\sim} G} (définit v)sic : le
but est écrit G, sans accent\forall i \in I\boxed{\alpha(i) \in G'} tel que
\ell'_{u(i)} = \alpha_i\, v(\ell_i)\, \alpha_i^{-1}\boxed{v(\ell_i) = \alpha(i)\, \ell'_{u(i)}\, \alpha(i)^{-1}} (ce qui
définit \alpha)
\mathrm{Hom}((u_1, v_1, \alpha_1), (u_2, v_2, \alpha_2)) =
\left\{ (\lambda, \mu) \;\middle|\;
\begin{array}{l}
\lambda \in \mathbb{Z}^I,\ \mu \in G' , \\
\boxed{v_2 = \operatorname{int}(\mu) \circ v_1} , \\
\alpha_2(i)\, {\ell'_{u(i)}}^{\lambda_i} = \mu\, \alpha_1(i)
\end{array}
\right\}si u_1 = u_2 =: u, sinon c'est videentouré, et relié par
un trait aux indices de (u_1, v_1, \alpha_1), (u_2, v_2, \alpha_2)
ou aussi
\boxed{\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i) = {\ell'_{u(i)}}^{\lambda_i}}un signe biffé précède \operatorname{int}(\mu) et suit la virgule
après \mu \in G'
Supposons (\mathcal{C}', \mathcal{D}', \varphi') = (\mathcal{C}, \mathcal{D},
\varphi) donc G = G', I = I', \ell'_i = \ell_i ; donc
\underline{\mathrm{Aut}}(\,,\,)= \underline{\mathrm{End}}((\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)) est une Gr-catégorie.
\pi_0(\underline{\mathrm{End}}(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi))
\overset{?}{=}
u_1 = u_2(= u)v_2conjugué de v_1 i.e. \exists\, \mu \in G' tel
que v_2 = \operatorname{int}(\mu) v_1,
d'où
\begin{array}{rcl}
v_2(\ell_i) & = & \operatorname{int}(\mu)\, v_1(\ell_i) = \mu\, v_1(\ell_i)\, \mu^{-1} \\
\| & & \| \\
\alpha_2(i)\, \ell_{u(i)}\, \alpha_2(i)^{-1} & = & \mu\, \alpha_1(i)\, \ell_{u(i)}\, \alpha_1(i)^{-1} \mu^{-1}
\end{array}les deux \ell de la seconde ligne portaient un accent, biffé
d'où
(\operatorname{int} \alpha_2(i))\, \ell_{u(i)} =
(\operatorname{int}(\mu\, \alpha_1(i))) . \ell_{u(i)}
i.e. int\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i) centralise
\ell_{u(i)}.
Or sauf le cas de la « sphère à 1 seul trou », chaque \ell_j est un élément
libre, et en tous cas« en tous cas » en interligne,
au-dessus du passage biffé son centralisateur est le groupe engendré par
\ell_j : dans tous les cas, donc a) et b) impliquent déjà
l'existence de \lambda_i tel que
\alpha_2(i)^{-1} \mu\, \alpha_1(i) = \ell_{u(i)}^{\lambda_i} (d'ailleurs
unique sauf le cas de la sphère à un seul trou i.e. G = 1,
\operatorname{card} I = 1), donc
(u_1, v_1, \alpha_1) \simeq (u_2, v_2, \alpha_2) \quad \text{ssi} \quad
u_1 = u_2 ,\ \overline{v}_2 = \overline{v}_1
( au groupe). Donc
\pi_0(\underline{\mathrm{End}}) \simeq groupe des couples
(u, \overline{v}), où u \in \mathfrak{S}_I,
\overline{v} \in \operatorname{Autext} G, tels que \forall i \in I, on
ait \overline{v}(\ell_i) conjugué à \ell_{u(i)} (pour v un
aut. de G qui représente \overline{v}).
NBu est déjà déterminé par \overline{v}, ce qui résulte
du fait que si i, j \in I, i \neq j, alors \ell_i et \ell_j sont
non conjugués (en fait leurs images dans G_{\mathrm{ab}} sont
distinctes !) Donc \pi_0(\underline{\mathrm{End}}) \subset
\operatorname{Autext}(G), est formé des \overline{v} \in
\operatorname{Autext} tels que \forall i \in I, \overline{v}(\ell_i)
est conjugué à un des \ell_j.
ce NB est marqué d'un trait vertical dans la marge ; la lettre lue
u au début du NB est écrite comme un \sigma, et le \overline{v} de la
dernière ligne porte deux barres
\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) \overset{?}{=}
\mathrm{Aut}(u = \mathrm{id},\ v = \mathrm{id},\ \alpha = 1 \in G^I) = ?un signe biffé entre \alpha et =\lambda \in \mathbb{Z}^I, \mu \in G tels que
\mathrm{id}_G = \operatorname{int}(\mu) \circ \mathrm{id}_G
i.e. \mu \in Z(G) (centre)\forall i, \mu = \ell_i^{\lambda_i}
Or, sauf le cas de la sphère à 1 ou 2 trous, le groupe G est libre à
\geq 2 générateurs, donc son centre est nul, de plus les \ell_i sont
libres. Donc dans ce cas \mu = 1, \lambda_i = 0\forall i \in I, donc
\boxed{\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) = 0}
Dans le cas de la sphère à 2 trous (i.e. le cylindre), on a G \simeq \mathbb{Z},
\ell_i = \pm 1, ; les \ell_i sont encore libres (donc les
\lambda_i déterminés par \mu) et G = Z(G). Donc
\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) = G \quad (\simeq \mathbb{Z})
(pas canoniquement). Dans le cas de la sphère à 1 trou, G = 0, et on trouve
\pi_1(\underline{\mathrm{End}}) \simeq \mathbb{Z} \quad
(\text{isom.\ canonique})« i.e. le cylindre » est ajouté en interligne ; « (pas
canoniquement) » est rattaché par une flèche à « (\simeq \mathbb{Z}) »
un trait horizontal sépare ce qui suit
Regardons maintenant la 2-catégorie des (\mathcal{C}, \mathcal{D},
\varphi)avec \mathcal{D} fixe, donc u = \mathrm{id},
\lambda = \mathrm{id}. On trouve pour
\underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{D}\ \mathrm{fixe}}(\mathcal{C}, \mathcal{D},
\varphi)
objets : couples (v, \alpha) avec
\left\{ \begin{array}{l}
v \in \mathrm{Aut}\, G , \\
\alpha \in G^I \\
v(\ell_i) = \operatorname{int}(\alpha(i)) . \ell_i
\end{array} \right.
\mathrm{Hom}((v_1, \alpha_1), (v_2, \alpha_2)) = ens. des \mu \in G tels
que
\left\{ \begin{array}{l}
v_2 = \operatorname{int}(\mu) \circ v_1 \\
\alpha_2(i) = \mu\, \alpha_1(i)
\end{array} \right.
On trouve que (v_1, \alpha_1) \simeq (v_2, \alpha_2)\Rightarrow\overline{v}_1 = \overline{v}_2« \overline{v}_1
= \overline{v}_2 » écrit au-dessus du passage biffé i.e.
\exists\, \mu_0 tel que v_2 = \operatorname{int}(\mu_0) v_1, d'où
\begin{array}{rcl}
v_2(\ell_i) & = & \underline{\operatorname{int}(\mu_0)\, v_1(\ell_i)} \\
\| & & \| \\
\operatorname{int}(\alpha_2(i))\, \ell_i & & \operatorname{int}(\mu_0)\, \operatorname{int} \alpha_1(i)\, v_1(\ell_i)
\end{array}sic, v_1(\ell_i) au dernier terme, où l'on attend \ell_i
donc \alpha_2(i)^{-1} \mu_0\, \alpha_1(i) centralise \ell_i
0 \to \mathbb{Z}^I \dashrightarrow TS(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi)
\xrightarrow{\ \Psi\ } T(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi) \to
\mathfrak{S}_I \to 1sous TS : « Teichmüller spécial » ; sous T : « Teichmüller à
trous » ; sous \mathfrak{S}_I : « groupe symétrique ». Le début de la
suite, avant \mathbb{Z}^I, est bifféexacte sauf pour la sphère à 1 ou 2 trousdans la
marge de gauche, sous le début de la suite
Les (v, \alpha) \in TS dans le noyau de \Psi : TS \to T, i.e. tels que
\overline{v} = \mathrm{id}, sont représentables par des (v, \alpha) avec
v = \mathrm{id}, donc
\ell_i = \operatorname{int}(\alpha(i))\, \ell_i .
Sauf dans le cas de la sphère à 1 trou, on a le centralisateur de \ell_i
est le groupe qu'il engendre et ce groupe est libre de rang 1, donc
\alpha(i) = \ell_i^{\lambda_i} \qquad \lambda_i \in \mathbb{Z} \text{ bien déterminé.}
On aura
(\mathrm{id}_G, (\ell_i^{\lambda_i})) \simeq (\mathrm{id}_G, (\ell_i^{\lambda'_i}))
ssi \exists\, \mu \in Z(G) tel que
\ell_i^{\lambda'_i} = \mu\, \ell_i^{\lambda_i}.
Dans tous les cas sauf la sphère à 2 trous (cylindre) Z(G) = 0, donc la
condition précédente est (\lambda_i) = (\lambda'_i), i.e.
\operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z}^I. Dans le cas de la sphère à 2
trous, Z(G) = G \simeq \mathbb{Z}la condition que(\ell_1, \ell_2) = (+1, -1)écrit au-dessus de la ligne biffée\mu = \ell_i^{\lambda'_i}\, \ell_i^{-\lambda_i}\ell_1^{\lambda_1}, \ell_2^{\lambda_2}passage biffé de traits
obliques, lecture partielle les conditions sur les \lambda (notation additive dans \mathbb{Z})
\lambda'_1 = \mu + \lambda_1 , \qquad
-\lambda'_2 = \mu - \lambda_2 \quad \text{i.e.} \quad \lambda'_2 = -\mu + \lambda_2
i.e.
\operatorname{Ker}(\mathbb{Z}^I \to \operatorname{Ker} \Psi) \simeq
\operatorname{Ker}(\mathbb{Z}^I \to \mathbb{Z})sous la dernière flèche, « opération somme »
donc \operatorname{Ker} \Psi \simeq \mathbb{Z} (canoniquement).
Enfin dans le cas de la sphère à 1 trou, G = 0 donc \alpha = 0, donc
TS(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \varphi) = 0.
On trouve d'autre part, trivialement,
\pi_1(\underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{D}\ \mathrm{fixe}}(\mathcal{C},
\mathcal{D}, \varphi)) = 1 .
catégorie topologique des surfaces orientéesécrit
le long du bord gauche, de bas en haut, avec un grand trait vertical qui
embrasse toute la partie supérieure de la page, jusqu'au trait horizontal
(\Sigma, \omega) 1-complexe combinatoire (circulation
« ordinaire » (ss pts isolés ni bandes isolés)), ()« () », d'un trait plus fin, est ajouté au-dessus et relié par
un trait à « combinatoire »\Pi_d\mathbb{Z}-groupoïde \pi_0(\Pi_d) fini
1-spécial\Pi_b groupoïde 1-spécial (i.e. \pi_0(\Pi_b) fini, les
groupes fond. isom. à \mathbb{Z})
les trois lettres (a), (c), (b) sont entourées, et (a), (c) réunies
par une accolade
\partial_t(\Sigma, \omega) 1-complexe combinatoire
orienté, dit « les co-circuits » de \Sigma.
\widetilde{\Pi}_b(i) = \struck{\ill{}} \coprod_{\alpha \in \mathrm{Isom}(\mathbb{Z}, \Lambda(i))}
\Pi_b(i)\mathbb{Z}-groupoïde grossier à deux
composantes connexes
\begin{array}{c}
\widetilde{\Pi}_b = \coprod_{i \in B} \widetilde{\Pi}_b(i) \\
\big\downarrow \scriptstyle \varphi_b \\
\Pi_b
\end{array}
\qquad \mathbb{Z}\text{-groupoïde 1-spécial}sous \overline{\Pi}_b et « comp. connexes », un trait souligne
\Pi_b(i) ; la première barre sur \Pi_b porte un signe peu lisible,
\widetilde{\ } ou \sim ; « à deux » est écrit au-dessus de
connexe ; au-dessus de « à deux », un petit signe
Catégorie non-strictifiée des 1-complexes topologiques compacts
divisés… combinatoires« combinatoires » est écrit sous la
ligne ; une flèche fine le relie à la ligne suivante
K_1 1-complexes sans bandes isolées (« sans » défini
…)l'indice de K_1 est écrit sur une surcharge\Pi_b groupoïde 1-spécial
\underline{\mathrm{Hom}}((K_1, \Pi_b), (K'_1, \Pi'_b)) \simeq
\mathrm{Cat}(\mathrm{Isom}(K_1, K'_1)) \times
\underline{\mathrm{Equ}}_{?}(\Pi_b, \Pi'_b)la formule court jusqu'au bord droit de la feuille, où la fin se
perd ; l'indice de \underline{\mathrm{Equ}}, rendu ici par « ? », est illisible ; le reste de la page est blanc
1) Soit une extension de groupes topologiques
(E) \qquad 1 \to N \to G \to H \to 1
et un hom. de groupes topologiques
H' \xrightarrow{\ u\ } H
d'où par image inverse une extension G' de H' par N et un hom.
d'extensions
\begin{tikzcd}[row sep=small]
(E) & 1 \arrow[r] & N \arrow[r] & G \arrow[r] & H \arrow[r] & 1 \\
(E') & 1 \arrow[r] & N \arrow[r] \arrow[u, "\mathrm{id}"] & G' \arrow[r] \arrow[u] & H' \arrow[r] \arrow[u, "u"'] & 1
\end{tikzcd}
le N de la seconde ligne porte une marque en exposant, peut-être un
chiffre
Passant aux \pi_0, on en déduit un hom. de suites exactes
(sauf 1 à gauche)
\begin{tikzcd}[row sep=small, column sep=small]
(S) & \pi_1 H \arrow[r] & \pi_0 N \arrow[r] & \pi_0 G \arrow[r] & \pi_0 H \arrow[r] & 1 \\
(S') & \pi_1 H' \arrow[r] \arrow[u] & \pi_0 N \arrow[r] \arrow[u, no head, "\parallel" description] & \pi_0 G' \arrow[r] \arrow[u] & \pi_0 H' \arrow[r] \arrow[u] & 1
\end{tikzcd}
dont la commutativité du carré de droite donne lieu à un hom.
\begin{array}{c}
\pi_0 G' \xrightarrow{\ c\ } \pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H' . \\
\| \\
\pi_0(G \times_H H')
\end{array}la lettre sur la flèche est repassée, lecture c incertaine
Il est facile de voir sur des exemples que cet hom. (qui est toujours
surjectif) n'est pas nécessairement bijectif. Ainsi, la seule
connaissance de la suite (S) et de \pi_1(H') \to \pi_1(H) ne permet pas, en
général, de déterminer \pi_0(G').
Notre propos est de préciser des données algébriques simples,
relatives à l'extension (E), qui permettent de
déterminer
\pi_0(G') (mod. isom.), connaissant \pi_0 H \to \pi_0 H' et
\pi_1 H \to \pi_1 H' induit par u.
« déterminer » est en interligne, au-dessus du mot biffé, et
« (mod. isom.) » en interligne, rattaché par un trait à \pi_0(G')la parenthèse « (discrets) » est ajoutée au-dessus de la ligne, avec un
trait qui la rattache à « la seule connaissance » ; lecture et point
d'attache incertains. Sic : les deux flèches finales vont de H vers H', à
l'inverse de u ; le premier H est écrit sur une surcharge
\alpha) Réduction au cas N discret. Observons que N^0 est
invariant dans G (et dans G')
\left\{ \begin{array}{l}
\pi_0 G = \pi_0 G / N^0 \\
\pi_0 G' = \pi_0 G' / N^0
\end{array} \right.
et que ; d'ailleurs G'/N^0 comme extension de H par
N/N^0 = \pi_0 Nest l'image inverse de G/N^0 (extension de
H par \pi_0 N) via H' \xrightarrow{u} H.
l'accolade et « et que » sont écrits en marge des deux lignes de
formules, sans suite lisible ; sic : « extension de H » pour G'/N^0, où
l'on attend H'. Sic aussi, dans les deux égalités, \pi_0 G / N^0 :
entendre \pi_0(G/N^0)
D'ailleurs le diagramme commutatif
le N^0 du coin inférieur droit est écrit sur une surcharge
donc la donnée des \pi_i u équivaut à celle des \pi_i \hat{u} (car les
\to horiz. sont des isom.) et celle des \pi_1 uéquivautimplique celle de \pi_1 \hat{u} (car les \to horiz. sont des
épi.) Remplaçons Divisant tout par N^0, on est donc ramené au cas
où N est discret. Dans ce cas la suite (S) revient à
\left\{ \begin{array}{ll}
\pi_i G \simeq \pi_i H & i \geqslant 2 \\
\pi_1 G = \operatorname{Ker}(\pi_1 H \to \pi_0 N) & (\pi_0 N = N) \\
\pi_0 G \text{ est ext.\ de } \pi_0 H \text{ par } \operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N)
\end{array} \right.au-dessus de la première ligne, un mot biffé et « i \geqslant 2 »
écrit en tête ; le but de \pi_1 H \to est \pi_0 N repassé en N, avec
\pi_0 N = N en dessous
et de même pour les \pi_i G'. Notre propos
Supposons connus \pi_i H', on connaît donc\pi_i Gsic, pour \pi_i G' si i \geqslant 2, et \pi_1 G' comme
\operatorname{Ker}(\pi_1 H' \to N), en notant que \pi_1 H' \to a comm. du
\begin{tikzcd}[row sep=small]
\pi_1 H \arrow[r] & N \\
\pi_1 H' \arrow[r] \arrow[u, "\pi_1(u)"] & N \arrow[u, no head, "\parallel" description]
\end{tikzcd}
donc \pi_1 H' \to N est connu (par H' \xrightarrow{u} H) si
\pi_1 H \to N est connu, en termes des seuls \pi_1 u. Notre propos est
donc deen fait de déterminer (pour H' et
u : H' \to H) l'extension
la page s'arrête sur ce mot ; la suite est en page 15
suite de la page 14
\pi_0 G' de \pi_0 H' par R' = \operatorname{Coker}(\pi_1 H' \to N).
Montrons que \pi_0 G est lui-même une extension de
\operatorname{Coker}\pi_0 H par
\operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N), son image inverse par
\pi_0 H' \to \pi_0 H est une extension de \pi_0 H' par
R = \operatorname{Coker}(\pi_1 H \to N), non pasR'.
« Coker », souligné, porte en dessous
\pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H', relié par un trait à « image
inverse » : c'est ce produit fibré qui est l'image inverse. Le mot
« Coker » devant \pi_0 H est de lecture incertaineR est un quotient de R' par
\frac{\operatorname{Im}(\pi_1 H \xrightarrow{\varphi} N)}
{\operatorname{Im}(\pi_1 H' \xrightarrow{\varphi'} N)}
\simeq \pi_1 H / (\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u))
donc on a
1 \to \pi_1 H / (\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u))
\to \pi_0 G' \xrightarrow{\ c\ } \pi_0 G \times_{\pi_0 H} \pi_0 H' \to 1 .le R initial porte un petit signe en exposant ; le terme
\pi_1 H / (\operatorname{Ker} \varphi + \operatorname{Im} \pi_1(u)) est
écrit sous la ligne précédente, à gauche, et renvoyé par un trait au membre
de droite de l'isomorphisme
Celamontremet en évidence de façon
précise comment le noyau de c est lié au \pi_1 H et \pi_1 u, c'est un
quotient de \operatorname{Coker}\, \pi_1 u.
\beta) Cas H connexe. Alors l'ext. G est canonique,
à isom. unique près, par un hom.
\struck{\pi \to}\ \pi \overset{\mathrm{déf}}{=} \pi_1(H)
\xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{z}(N)
et peut se décrire à l'aide du groupe universel
\widetilde{H} de H (ext. de H par \pi) en prenant son « image
directe » par \pi \xrightarrow{\varphi} N. Alors l'extension G' de H'
par N peut s'obtenir en prenant l'image inverse
H' \times_H \widetilde{H} de l'ext. \widetilde{H} de H par \pi via
H' \to H, et prenant l'image par
\pi \xrightarrow{\varphi} \mathfrak{z}(N) \hookrightarrow N. Il n'y a
pas de problème si H' n'est pas
connexe (décrivons les ext. de \pi_0 H'qui
sont !) — p. ex.N discret.
discret (plus généralement )Il faut prendre l'deux lignes biffées closent la page ; le « \mathfrak{z} » rend le
« 3 » bouclé qu'il écrit pour le centre, comme en page 21. Au-dessus de
\pi \xrightarrow{\varphi} \mathfrak{z}(N) le signe
\overset{\mathrm{déf}}{=} porte « déf » ; « par » dans « l'image inverse
… de l'ext. » est écrit sur une surcharge
1 \to N \to G \to H \to 1 ext. de groupes top.
[N discret]1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1 ext. de
groupes top. [\pi discret]1 \to \widetilde{H}_0 \to \widetilde{H} \to \mathfrak{G} \to 1
ext. de gr. top. [\mathfrak{G} discret]
au-dessus de (a), un « (A) » entouré ; devant (b), un signe biffé
On suppose données (b) et (c) et N, on s'intéresse aux ext. G de H par N, munies
d'une trivialisation stricte (i.e. comm. avec prod.
produits) de l'image inverse de cette extension par
\widetilde{H}_0 \to H (composé \widetilde{H}_0 \hookrightarrow
\widetilde{H} \to H) i.e. d'un hom. \widetilde{H}_0 \to G qui relève
\widetilde{H}_0 \to H et centralise N« et N » est en interligne, relié par un trait ; la parenthèse
après « stricte » est ajoutée au-dessus de la ligne, sa lecture est très
incertaine
(NBN étant discret, si \widetilde{H}_0 est connexe et
simplement connexe, il existe pour G donné une unique telle
trivialisation…)
ce quide plus (par ce splitting on
associe de \widetilde{G} sur
\widetilde{H}_0 () et sur \mathfrak{G} (via
\widetilde{G} \to G))
deux lignes serrées, ajoutées entre les lignes, dont l'essentiel ne se
lit pas
Soit \widetilde{G} l'image inverse de G par \widetilde{H} \to H(cf ci-dessous bien déf. de \widetilde{G})1 \to N \to \widetilde{G} \to \widetilde{H} \to 1
la donnée d'une ext. G est équivalente à celle de \widetilde{G},
munie d'une trivialisation stricte sur \pi. La trivialisation destructure supplémentaire sur l'ext. G (trivialisation de
l'image inverse par \widetilde{H}_0 \to H) équivaut donc à une
trivialisation stricte de \widetilde{G} sur le
sous-groupe \widetilde{H}_0. Dans ces conditions on doit étudier les
ext. \widetilde{E} de \widetilde{H} par N, trivialisées
strictementsimultanément sur \pi et sur
\widetilde{H}_0 [rappelons que cette dernière structure,
sur \widetilde{H}_0, est automatique dans les conditions dites]. Or une
ext. \widetilde{E} de \widetilde{H} par N
trivialisée strictement sur \widetilde{H}_0
équivaut à une ext. de \mathfrak{G} par N, soit \widetilde{G}_0 :
1 \to N \to \widetilde{G}_0 \to \mathfrak{G} \to 1au-dessus de \widetilde{G}_0, un signe biffé
(\widetilde{E} est l'image inverse par \widetilde{H} \to \mathfrak{G}).
De plus, il faut donner un splitting strict des diagrammes
à droite de « Soit \widetilde{G} … par \widetilde{H} \to H »,
la parenthèse « (cf ci-dessous …) » est reliée par un trait ; chacun des
mots « stricte », « strictement », « strict » en italique est ajouté en
interligne, relié par un traitla page s'arrête sur ce mot ; la suite, pages 17 à 20, puis 21
la flèche \varphi est pointillée ; au-dessus de \widetilde{G}_0,
un signe biffé
i.e. unrelèvement, et compatible
(\widetilde{G} \to \widetilde{G}_0), pour \widetilde{G} sur
\pi (via \widetilde{H} et \widetilde{G} \to \widetilde{H}) et
\widetilde{G}_0 (via G…
le début de la ligne est surchargé ; « et
\widetilde{G} \to \widetilde{G}_0 » est écrit sous la ligne, et
\widetilde{G}_0, à la fin, au-dessus d'un mot biffé
Cas particulier : \pi \subset \widetilde{H}_0, i.e.
\pi \to \mathfrak{G} est trivial, alors la donnée de \varphi équivaut à
la donnée d'un hom.
\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N) .si \piconnexe et discret, l'équivalence de G par
\pi se fait via \pi_0(H) (ou \pi_0(\widetilde{H})) et celle de
\mathfrak{G} par \mathfrak{z}(N) se fait via \widetilde{H}trivial et si \mathfrak{G} discret et
\widetilde{H}_0 connexe, \pi_0(H)= \pi_0(\widetilde{H}) = \mathfrak{G} dans le cas de
\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N)et\mathfrak{G}-hom.note écrite en biais dans l'angle supérieur gauche, à côté des lignes
qui précèdent, et reliée à « Cas particulier » par un trait ; lecture très
partielle
un trait horizontal traverse la page. En dessous, jusqu'au second
trait, une série de diagrammes de brouillon, barrés de longs traits
obliques : les suites 1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1 et
1 \to \pi \to \widetilde{H}' \to H' \to 1 reliées par
f : \widetilde{H}' \to \widetilde{H}, avec \widetilde{H}'_0 =
f^{-1}(\widetilde{H}_0) ; un carré de suites
1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1 au-dessus de
\to \widetilde{H}_0 \to G \to 1 et d'une ligne N \to N, avec une flèche
\varphi en biais ; une grille de sous-groupes H_1 \cap H_2 \subset H_1,
H_2 \subset H et de leurs quotients ; enfin les suites
1 \to \pi \to \widetilde{H} \to H \to 1 et
1 \to \pi \to \widetilde{H}_0 \to H_0 \to 1 sous
\mathfrak{G} = \mathfrak{G}. Ces brouillons ne sont pas repris dans la
suite
\operatorname{Ext}(\mathfrak{G}, N) \times
\operatorname{Hom}_{\mathfrak{G}}(\pi, \mathfrak{z}(N))
\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ext}(H \bmod \widetilde{H}_0, N)
\to \operatorname{Ext}(H, N)une flèche verticale descend de \operatorname{Ext}(\mathfrak{G}, N)
vers « équivaut à » ; \operatorname{Ext}(H, N) est écrit sous
\operatorname{Ext}(H \bmod \widetilde{H}_0, N)
1 \to N \to E \to \widetilde{H} \to 1
\quad \text{équivaut à} \quad H^2(\mathfrak{G}, N)sous E et \widetilde{H}, des H à demi effacés ; à gauche un
mot biffé
espace homogène sous H^2(H, \mathfrak{z}(N))
H^2(\mathfrak{G}, \mathfrak{z} N) \to H^2(H, \mathfrak{z} N)viaH \to \mathfrak{G}\operatorname{Ext}(\mathfrak{G}, N) \times \operatorname{Hom}(\pi, N)
\to H^2(H, \mathfrak{z}(N)) .la diagonale qui barre les brouillons traverse aussi ces dernières
lignes, sans qu'il soit sûr qu'elle les annule
page organisée autour d'un schéma de sigles reliés par des flèches ;
il est redessiné ici, les annotations qui l'entourent sont données
ensuite
sous \mathrm{PLO} : « (avec \pi_0(K) \to \pi_0(S) surjectif) » ;
à côté du second \mathrm{SOB} : « ycircuits » ;
sous \mathrm{CO} : « \simeqEquiv(\mathbb{N},
\{\mathfrak{G}_n\}) » ; la flèche \mathrm{TUBO} \to \mathrm{Kc} porte un
signe surchargé, et une flèche courbe va de \mathrm{PLO} vers
« classif. » à gauche
Accolade à droite de \mathrm{PLO} :
complexes hypercirculaires (i.e. complexes
circulaires K avec une partition \Pi' de \mathrm{Circ}(K) (ens. des
circuits) et applications \Pi' \xrightarrow{g} \mathbb{N}.
extensions des groupes de symétries de 1-complexes combinatoires
hypercirculaires \Pi' des groupes de Teichmüller
spéciaux\Pi_{g_i, n_i} ; ces ext. sont connues
quand on connaît les \Pi'_{g_i, n_i}séparément, et
les hom. canoniques
\mathbb{Z}^{n_i} \xrightarrow{\ \lambda\ } \operatorname{Centre}(L_{g_i, n_i})
et les ext. de Teichmüller
1 \to T_{g_i, n_i} \to L_{g_i, n_i} \to \mathfrak{G}_{n_i} \to 1au-dessous, un passage encadré, entièrement hachuré, où l'on devine
L_{g_i, n_i} \to T_{g_i, n_i} et « de noyau \operatorname{Im}(\mathbb{Z}^{n_i}
\to L_{g_i, n_i}) » ; il est remplacé par « …, ce qui est dit
dessus », avec « en donnant » en interligne. Une flèche
courbe y renvoie depuis l'accolade
Sous \mathrm{SOB} (à gauche) :
familles finies de couples (g_i, n_i) (genre, nb. de trous)
g \geqslant 0, n \geqslant 0 ; « groupes de Teichmüller à trous » :
familles finies de groupes extérieurs à lacets. Tout se détermine : à l'aide
des « gr. de Teichmüller à trous » ordinaires T_{g,n}.
Sous \mathrm{Kc} :
\simeq [1-complexes combinatoires circulaires] ;
groupoïdes des classes d'isomorphie de 1-complexes circulaires
connexes, groupes de symétries des complexes circulaires : tout se ramène à
la détermination des groupes de symétries des 1-complexes circulaires
connexes.
une flèche courbe part de \mathrm{TUBO} et mène à ce qui suit\to il suffit de le déterminer pour les cas connexes
i.e. les 1-compl. circ. connexes. Le calcul des
g_i n_i est donné par Yves. Il reste à voir les
K_g circulaires« circulaires » en interligne, au-dessus d'un mot
biffé de déterminer
\boxed{\operatorname{Aut}_{\mathrm{Circ}}(K) \to \operatorname{Aut}(T_{?}(K)) \simeq T_{g,n}}l'indice rendu par « ? » est illisible () ; sous la première
flèche, un signe biffé. Le prénom « Yves » se lit nettement
(B)entouré, en haut à gauche
Supposons à la fois
\widetilde{H}_0 est connexe et simplement connexe\pi \subset \widetilde{H}_0\pi, N, \mathfrak{G} discrets
Comme \mathfrak{G} discret, \widetilde{H}_0 connexe, on a
\left\{ \begin{array}{l}
\widetilde{H}_0 = \widetilde{H}^0 \\
\mathfrak{G} = \pi_0 \widetilde{H}
\end{array} \right. (composanteneutre).
Comme \pi \subset \widetilde{H}_0, on a que H = \widetilde{H}/\pi est une
extension de \mathfrak{G} par H^0 = \widetilde{H}_0/\pi\boxed{H^0 = \widetilde{H}_0/\pi , \quad \mathfrak{G} = \pi_0(H)}
Comme \pi discret,\widetilde{H}_0 est simplement connexe,
c'est le le revêtement universel de
H^0 = \widetilde{H}_0/\pi« \pi discret, » et « \widetilde{H}_0 est » en interligne\boxed{\left\{ \begin{array}{l}
\widetilde{H^0} = \text{rev.\ universel de } H^0 \\
\pi = \pi_1(H^0) = \pi_1(H)
\end{array} \right.}
Donc la situation équivaut à :
1°) donnée d'un groupe top. H, i.e. [ce qui est
donc ext. d'un groupe discret \mathfrak{G} = \pi_0(H)
par un groupe connexe H^0 ; en donnant à un
groupe universel \widetilde{H^0}, extension de H^0
par \pi \simeq \pi_1(H^0)]
à droite du crochet, « groupeconnexe à un
groupe\mathfrak{G}opérant », sans suite sûre
2°) Une extension \widetilde{H} de H par \piqui
prolonge l'extension \widetilde{H^0} de H^0 par \pi = \pi_1(H^0).
NB Une telle extension n'est pas nécessairement unique
àisom. près, elle est unique
(i.e. mod. action de H^2(\mathfrak{G}, \pi))en
interligne, au-dessus du passage biffé
comme extension de \mathfrak{G} par \pi, et sauf erreur l'obstruction à
l'existence d'une telle ext. est dans H^3(\mathfrak{G}, \pi). Une telle
extension existe si H est produit semi-direct \mathfrak{G} . H^0 ; car
on peut prendre alors \widetilde{H} = \mathfrak{G} . \widetilde{H^0}.
3°) Le groupe discret N.
Avec ces données, on trouve que la catégorie des extensions de H
par N équivaut à celle des couples (\widetilde{G}_0, \varphi), où
\widetilde{G}_0 est une ext. de \mathfrak{G} par N et
\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N) un \mathfrak{G}-hom.
(\mathfrak{z}(N) = centre de N).
au-dessus de \widetilde{G}_0, un signe biffé, et un G au-dessus de
« … de H » ; le « \mathfrak{G}- » de « \mathfrak{G}-hom. » est
écrit sur une surcharge
NBG_0 = \pi_0 \widetilde{G} = \widetilde{G}/\widetilde{G}^0
(\widetilde{G}^0 \to \widetilde{H}^0estunisom.) comme G = \widetilde{G}/\pi, et
ona … \to \pi_0 G \to \pi_0 G \to 1écrit en biais dans l'angle inférieur gauche, avec le diagramme
\pi \to \pi_0 G = G_0 \supset N \supset \mathfrak{z}(N), une flèche
directe \pi \to \mathfrak{z}(N) ; lecture partielle
On peut aussi expliciter ainsi la construction de l'extension G(de H par N) associée à l'ext. \widetilde{G}_0 de \mathfrak{G} par N et le
\mathfrak{G}-hom. \varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N) :
« de H par N » en interligne ; devant \pi, un signe biffé ;
au-dessus de \widetilde{G}_0, un autre
Soit G_! l'ext. de H par N image inverse de l'ext. G_0 (de
\mathfrak{G} par N) via H \to \mathfrak{G}. Considérons l'extension
\widetilde{H} de H par \pi, le \mathfrak{G}-hom.
\varphi : \pi \to \mathfrak{z}(N) nous donne une ext. centrale\widetilde{H}^{\varphi}_{\ast} de H par \mathfrak{z}(N), correspondant
aux opérations de H (via \mathfrak{G}) sur \mathfrak{z}(N) par l'ext.
G_!. On peut donc prendre le produit contracté des deux
extensions G_! et
\widetilde{H}^{\varphi}, on trouve le G cherché.
« extensions » en interligne ; l'indice de G_! est un point d'exclamation, avec au-dessus un
petit signe qui peut être un \varphi ; l'indice de
\widetilde{H}^{\varphi}_{\ast} est incertain
D'ailleurs, comme G est un revêtement de H, on aura
\begin{array}{ll}
\pi_i(G) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_i(H) & \text{si } i \geqslant 2 \\
\pi_1(G) = \operatorname{Ker}(\pi_1(H) \to \pi_0(N)) &
\end{array}
\begin{tikzcd}[row sep=small]
\pi_1(H) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel" description] & \pi_0(N) \arrow[d, no head, "\parallel" description] \\
\pi \arrow[r] \arrow[dr, "\varphi"'] & N \\
& \mathfrak{z}(N) \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}
i.e. \pi_0 G est une ext. de \mathfrak{G} par
\operatorname{Coker}(\varphi : \pi \to N), et on vérifie que l'on a une
suite exacte
\pi \to G_0 \to \pi_0(G) \to 1au-dessous, une ligne entièrement hachurée où se lit
\pi_0(G) \to \pi_0(\dots)
(i.e. \pi_0(G) \simeq \operatorname{Coker}(\pi \to G_0)) où
\pi \to G_0 est le composé
\pi \to \mathfrak{z}(N) \hookrightarrow N \hookrightarrow G_0 \qquad \dots
(B')entouré, dans la marge gauche
Supposons seulement \pi, N, H discrets, \pi \subset \widetilde{H}_0
(conditions \beta) et \gamma)) mais pas nécess. \alpha)) (i.e. que
\widetilde{H}_0 soit connexe et simplement connexe).
le H de « \pi, N, H discrets » est un H capital appuyé ; la
condition \gamma) de la page 19 porte sur \mathfrak{G}, qu'on attend
peut-être iciN étant discret, on a encore
\pi_i(G) \xrightarrow{\ \sim\ } \pi_i(H) \quad \text{si } i \geqslant 2TSVPen bas à droite ; la suite est en page 21