Cote n° 131 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Foncteurs représentables par schéma quasi fini : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1971]
Édition de démonstration

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[Critères de représentabilité par un préschéma localement de présentation finie]

titre de l'éditeur, entre crochets.

22Conditions […] sur \(F\) […] ; […] […], immersion […]. note marginale à l'encre brune, écrite en biais dans le coin supérieur gauche ; seuls quelques mots se lisent.

Proposition 1 Lemme. \(S\) préschéma, \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to \mathrm{Ens}\), \(X\) un préschéma loc. de prés. finie sur \(S\) \(\in \operatorname{Ob} (\mathrm{Sch})_{/S}\), \(\xi \in F(X)\). On suppose « un préschéma loc. de prés. finie sur \(S\) » est écrit au-dessus de la ligne et renvoyé après \(X\).

\(\underleftarrow{L}_1)\) \(F\) de nature locale ;

\(\underleftarrow{L}_2)\) \(F\) « commute aux limites inductives d'anneaux » ;

\(R_{\mathrm{loc}})\) \((X, \xi)\) représente \(F\) quand on se restreint aux arguments \(T/S\) qui sont des anneaux locaux et essentiellement de type fini sur \(S\), à extension résiduelle finie sur \(S\). les trois étiquettes sont écrites sur des étiquettes antérieures, biffées et illisibles ; le \(L\) porte une flèche tracée dessous, rendue ici et dans la suite par \(\underleftarrow{L}\).

Alors \((X, \xi)\) représente \(F\), i.e. \(\xi : X \to F\) est un isom. « \(\xi : X \to F\) est un isom. » est au-dessus de la ligne.

Dém. Comme \(F\) est de nature locale, on peut supposer \(S\) affine ([…]), alors \(R_{\mathrm{loc}}\) signifie que pour tout spectre \(T\) d'un localisé \(B\) d'une algèbre de t.f. sur un anneau \(A\), \[\operatorname{Hom}_S(\struck{\operatorname{Spec}(B)}\, T, X) \xrightarrow{\ \sim\ } F(T)\] par \(\xi\). […] On est ramené à : prouver que ceci reste vrai pour tout \(T\) loc. de t.f. sur \(S\) ([…]). « spectre \(T\) d'un » est au-dessus de la ligne ; le même mot illisible entre parenthèses suit « \(S\) affine » et « sur \(S\) ».

1°) Injectivité. Soient \(u, v : T \rightrightarrows X\) définis tels que \(F(u)(\xi) = F(v)(\xi)\), prouvons \(u = v\). Par l'hyp. \(R_{\mathrm{loc}}\), \(u\) et \(v\) ont même restriction aux \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t}\) (à ext. résiduelle finie), d'où la conclusion.

2°) Surjectivité. Soit \(\eta \in F(T)\). Pour tout \(t \in T\) (à ext. résiduelle finie), il existe grâce à \(R_{\mathrm{loc}}\) un \(u_t : \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t} \to X\) (unique par 1°)) induisant \(\uncertain{\eta_t} \in F(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{T,t})\). En outre « (à ext. résiduelle finie) » est ajouté dans la marge droite et relié par une accolade aux deux lignes. La lettre de \(\eta_t\) est tracée comme un \(\xi\).

24en vertu de b), comme \(X\) est loc. de prés. finie sur \(S\), \(u_t\) provient d'un \(A \to \varinjlim B_f\) \(v_t : U_t \to X\), où \(U_t\) est un voisinage ouvert de \(t\). En vertu de b), prenant \(U_t\) assez petit, on aura \(F(v_t)(\xi) = \eta | U_t\). En vertu de 1°), on a, pour \(t, t' \in T\), \[v_t | U_t \cap U_{t'} = v_{t'} | U_t \cap U_{t'} ,\] où les \(U_t\) recouvrent \(T\), […] un \(v : T \to X\) induisant induisant les \(v_t\). Alors en vertu de a), on a \(F(v)(\xi) = \eta\).

CQFD les renvois « a) » et « b) » visent vraisemblablement les conditions de la page 22 sous leurs premières étiquettes, biffées. « où les \(U_t\) recouvrent \(T\) » est au-dessus de la ligne.

Corollaire 1 Corollaire 1. Sous les conditions préliminaires de la prop., supposons en plus \(S\) loc. noeth., conditions ci-dessus Supposons aussi les conditions a), b), c) de conditions suivantes de : pour tout anneau local \(B\) ess. de type fini sur \(S\),

\(\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ})\) a) \(F\) […] compatible […] […] \(F(B) \to F(B')\) injectif […] complétion \(B'\), […] et […] complets [il existe […] dans certains cas […]] \(F(B) \to F(\hat{B}) \to \varprojlim\) […], injectif passage très raturé : la condition, d'abord posée sur un complété \(B'\), est biffée ligne par ligne ; la note de marge, reliée par une flèche, en donne la forme retenue.

\(\underrightarrow{L}_4^{\circ\circ})\) a) \(F\) […] pour tout anneau local \(B\) (à ext. résiduelle finie sur \(S\)) ess. de type fini sur \(S\), \[F(\hat{B}) \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \varprojlim F(B_n)\] est injectif.

\(R_0)\) \((X, \xi)\) représente \(F\) pour des arguments artiniens ess. de type fini sur \(S\), à ext. résiduelle finie sur \(S\).

Si \(\underleftarrow{L}_1\), \(\underleftarrow{L}_2\), \(\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ}\), \(\underrightarrow{L}_4^{\circ\circ}\) […] \(R_0\) sont satisfaits, alors \(F\) est représentable par \((X, \xi)\). l'énoncé du corollaire est tenu par un trait vertical dans la marge gauche.

26Il suffit de prouver que \(F\) satisfait à \(R_{\mathrm{loc}}\) […]. On peut supposer \(S\) affine, soit \(T\) loc. ess. de t. fini sur \(S\), défini par \(B\), \(T_n = \operatorname{Spec}(B_n)\), \(T' = \operatorname{Spec} \hat{B}\), \(\eta' =\) image de \(\eta\) par \(F(T) \to F(T')\). À prouver que \((*)\) est un isom. « on peut supposer \(S\) affine » est au-dessus de la ligne ; « image de \(\eta\) par \(F(T) \to F(T')\) » est ajouté dans la marge droite. Le signe cerclé renvoie à une application qui n'est pas écrite sur ce feuillet, vraisemblablement \(\operatorname{Hom}_S(T, X) \to F(T)\).

1°) C'est injectif. En effet, il suffit de noter que si \(u, v : T \to X\) sont tels que \(F(u)(\xi) = F(v)(\xi)\), on a \(F(u_n)(\xi) = F(v_n)(\xi)\) [induites sur \(T_n\) par \(u\), \(v\)], d'où par \(R_0\) \(u_n = v_n\) pour tout \(n\), d'où \(u = v\) car \(B\) noeth. donc \(B \subset \hat{B}\).

2°) C'est surjectif. Il suffit Soit \(\eta \in F(T)\). Il existe par \(R_0\) des \(u_n : T_n \to X\) qui induisent les \(\eta_n\), uniques, donc compatibles, d'où […] \(u' : T' \to X\) unique induisant les \(u_n\), d'où […] en vertu de \(\underleftarrow{L}_{\mathrm{loc}}\) la relation \(F(u')(\xi) = \eta'\).

Je dis qu'on a […] \(u' p_1 = u' p_2\). En vertu de 1°), cela […] signifie \(F(u' p_1)(\xi) = F(u' p_2)(\xi)\), qui se réduit à \(F(p_1)(\eta') = F(p_2)(\eta')\), qui résulte de \(\eta' = F(f)(\eta)\) et \(f p_1 = f p_2\). \[T' \times_T T' \;\overset{p_1}{\underset{p_2}{\rightrightarrows}}\; T' \xrightarrow{\ f\ } T , \qquad u' : T' \to X\] diagramme dans la marge gauche ; \(u'\) y est une flèche oblique de \(T'\) vers \(X\).

28Donc il existe \(u : T \to X\) tel que \(u' = u f\). Alors on a […] \(\eta = F(u)(\xi)\), car en vertu de \(\underleftarrow{L}_3\) a) il suffit de vérifier que \(F(f)(\eta) = F(f) F(u)(\xi)\), i.e. \(\eta' = F(u')(\xi)\), ce qui est vrai. les deux \(F(f)\) portent un trait qui peut être un accent : \(F(f')\).

OK

N.B. Il est plus naturel d'énoncer ces deux résultats ainsi : […] […] un hom. de foncteurs \(G \to F\) satisfaisant les conditions envisagées pour \(F\), et […] […] qu'il est un isom.

Corollaire 2. Soient \(S\) schéma artinien, \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens})\), pour que \(F\) soit représentable par un \(X\) loc. quasi fini sur \(S\), il faut et il suffit que \(F\) satisfasse les conditions suivantes :

1°) \(F\) est proreprésentable, les anneaux locaux qui interviennent dans la proreprésentation de \(F\) sont […] artiniens, i.e. finis sur \(S\).

2°) \(F\) satisfait les conditions \(\underleftarrow{L}_1\), \(\underleftarrow{L}_2\), \(\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ}\), \(\underrightarrow{L}_4^{\circ\circ}\).

30En effet, grâce à 1°) et à \(\underleftarrow{L}_1\) ([…]), on dispose d'un \((X, \xi)\). On peut lui appliquer le cor. 1, d'où la conclusion.

Prop. Plus généralement, on obtient

Corollaire 3

Proposition 2. \(S = \operatorname{Spec}(A)\), \(A\) anneau local noeth. complet, \(S'\) = complémentaire de l'origine, […] \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens})\). On suppose que

1°) \(F_{S'}\) représentable par un sch. préschéma \(X'\) loc. de type fini sur \(S\).

2°) La restriction de \(F\) aux \(B\) artiniens finis sur \(S\) est proreprésentable, les anneaux locaux qui interviennent dans la proreprésentation étant finis sur sont finis sur \(A\). au-dessus de la ligne : « il suffit de le vérifier pour \(A \to\) […] », la fin raturée.

3°) \(F\) satisfait les conditions \(\underleftarrow{L}_1\) \(\underleftarrow{L}_2\) \(\underleftarrow{L}_3^{\circ\circ}\) \(\underleftarrow{L}_4^{\circ\circ}\). ici la flèche sous le quatrième \(L\) paraît tournée vers la gauche.

On construit grâce à 2°) un \(X_1^{*} = \coprod_i \operatorname{Spec}(B_i)\) et \(\xi_1^{*} \in F(X_1^{*})\). Considérons \(X'_1 = X_1 | S'\), \(\xi'_1 = \xi_1 | X'_1\), d'où \(\xi'_1 = F(u)(\xi')\) où \(u : X'_1 \to X'\) est un morphisme. On suppose

4°) \(u\) est une immersion ouverte.

[…] : supposons donnés \(X_U\) sur \(U\) et \(Z\) sur \(S\), \(X_U \xrightarrow{\sim} F_U\), \(Z \to F\), tels que (i) \(Z_U \to X_U\) une immersion ouverte ; (ii) […] \(Z \to F\) […] en les pts de \(Z_0\) ; (iii) \(Z_0 \to F_0\) un isom. note écrite en biais dans le coin inférieur gauche, d'une autre plume ; elle reformule les hypothèses de la proposition.

32Sous ces conditions, \(F\) est représentable.

En effet, on peut recoller \(X_1\) et \(X'\) suivant \(u : X'_1 \to X'\), on obtient \(X\), et sur \(X\), grâce à \(\underleftarrow{L}_1\), on a un \(\xi \in F(X)\), induisant \(\xi_1\) et \(\xi'\). On lui applique le corollaire 1, qui implique que \((X, \xi)\) représente \(F\). Transformer 4°) en une […] plus facile à vérifier, avec une bonne […] de dim 1.

Prop. 3. Soit \(F : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to \mathrm{Ens}\), on suppose : […]

1°) Pour tout \(a \in S\), posant \(S_a = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,a}\), le foncteur \(F_a = F_{/S_a}\) est représentable par un préschéma \(X_a\) loc. de t.f. sur \(S_a\).

2°) Pour tout \(T\) sur \(S\), loc. de type fini sur \(S\), et \(\eta \in F(T)\), l'ensemble \(M(T, \eta)\) des \(t \in T\) tels que \(\eta_t \in F(\uncertain{T_t})\) soit modulaire (loc.), est une partie constructible de \(T\).

3°) \(F\) satisfait \(\underleftarrow{L}_1\) et \(\underleftarrow{L}_2\).

Sous ces conditions, \(F\) est représentable. Transformer en une condition de modularité « générique ». 3°) est écrit en bas du feuillet et renvoyé par une flèche avant la conclusion ; « \(M(T, \eta)\) » et « (loc.) » sont ajoutés au-dessus de la ligne. La note de marge est reliée par une flèche à 2°).

34N.B. On dit que, pour un \(T\) local sur \(S\) et \(\eta \in F(T)\), \((T, \eta)\) est modulaire (loc.) si :

1°) pour tout \(T'\) local sur \(S\), l'application \[\operatorname{Hom}_{\mathrm{loc}, S}(T', T) \longrightarrow F(T')\] définie par \(\eta\) est une application bijection du premier ensemble sur le sous-ensemble des \(\eta' \in F(T')\) tels que \(\eta'(t') \in F(k(t'))\) soit dans \[\operatorname{Im}\bigl[\operatorname{Hom}_k(k(t'), k(t)) \longrightarrow F(k(t'))\bigr] ,\] où la deuxième flèche est définie par \(\eta(t) \in F(k(t))\). \(t\), \(t'\) les pts fermés de \(T\), \(T'\)

2°) Pour tout diagramme commutatif de corps (Q), où \(L = k(t)\), \(L' = k(t')\), \(k \to L\) et \(k \to L'\) les homomorphismes canoniques, et tout \(\beta' \in F(L')\) tel que \(F(j')(\beta') = F(j)(\beta)\) [où \(\beta = \eta(t)\)], on a \[\begin{cases} j'(L') \supset L & (\text{d'où } \lambda : L \to L') \\ \beta' = F(\lambda)(\beta) \end{cases}\]

\begin{tikzcd}
L \arrow[r, "j"] \arrow[dr, dashed, "\lambda"] & M \\
k \arrow[u, "i"] \arrow[r, "i'"'] & L' \arrow[u, "j'"']
\end{tikzcd}

le diagramme (Q) est en marge gauche, avec l'annotation \(\eta(t) = \beta\) devant \(L\) et \(\beta' =\) […] sous \(L'\) ; la flèche \(\lambda\) est pointillée.

[N.B. On dit que […] que exprime 2°) en disant que \(L\) est un corps de définition pour \(\beta\).]

\begin{tikzcd}
B \arrow[r] & L & \\
 & k \arrow[u] \arrow[r] & L' \\
A \arrow[uu] \arrow[ur] \arrow[rr] & & B' \arrow[u]
\end{tikzcd}

croquis en marge gauche, sous les indications \(t \in T\), \(s \in S\), \(T' \ni t'\) séparées par une courbe ; plusieurs lettres y sont biffées (un \(k\) à gauche de \(B\) et de \(A\), un objet à droite de \(B'\)), et une flèche pointillée descend vers \(L'\) depuis une lettre biffée voisine de \(L\) ; on n'a retenu que les flèches non biffées.

36Si \(a\) est le pt de \(S\) au-dessous de \(t\), et si \(F_a\) est représentable par \(X_a\) […] loc. de type fini sur \(S_a\), […] fini […] […] \(\eta\) définit \(u : T \to X_a\), posant \(x = u(t)\), d'où \(\bar{\eta} : \mathcal{O}_{X_a, x} \to \mathcal{O}_{T,t}\), le fait que \(\eta\) soit modulaire (loc.) signifie que \(\bar{\eta}\) est un isomorphisme. la lettre surmontée d'une barre est tracée comme \(\eta\).

Rem. N.B. Si \(\eta \in F(T)\), \(\eta' \in F(T')\) sont modulaires (loc.), et s'il existe un diagramme commutatif (Q) tel que \(F(j)(\eta(t)) = F(j')(\eta'(t'))\), alors (et alors seulement) il existe un (unique) \(\varphi : T \to T'\) tel que \(\eta = F(\varphi)(\eta')\).

Preuve prop. 3 (on peut supposer \(S\) noeth.). De 1°) résulte que l'ensemble […] \(M(T, \eta)\) est stable par […] générisation. Par 2°), il est donc ouvert. Donc Utilisant \(\underleftarrow{L}_2\), (pour tout \(a \in S\) et \(x \in X_a\) sur \(a\),) […] il existe […] un […] \(X^{(x)}\) […] noethérien, […] de t.f. sur \(S\), et \(\eta^{(x)} \in F(X^{(x)})\), modulaire (loc.) en « on peut supposer \(S\) noeth. » est ajouté au-dessus de la ligne ; « Utilisant \(\underleftarrow{L}_2\) » est interlinéaire.

38tous les pts de \(X^{(x)}\). Pour tout […] […] […] que les \(X^{(x)}\) se recollent […]. Pour tout couple \((x, y)\) correspondant à \((a, b)\), soit \(X^{(a,b)}\) l'ensemble des \(u \in X^{(a)}\) qui sont apparentés à un pt de \(X^{(b)}\). D'après […] \(\underleftarrow{L}_2\), […] résulte […] […] […] […]. […] De plus, on a un tout ce passage est encadré et barré de longs traits obliques.

Lemme. Soit \((Z, \eta)\) (\(Z\) loc. de t.f. sur \(S\), \(\eta \in F(\uncertain{S})\)) tel que pour tout \(z \in Z\), \(\eta_z\) soit modulaire. Considérons \(h_Z \xrightarrow{\eta} F\), et alors \(h_Z \times_F h_Z \subset h_{Z \times Z}\) est représentable par un sous-préschéma de \(Z \times Z\), soit \(Z'\). Les projections \(Z' \overset{\mathrm{pr}_1}{\underset{\mathrm{pr}_2}{\rightrightarrows}} Z\) sont des isomorphismes locaux, [et font de \(Z'\) un préschéma graphe d'équivalence dans \(Z\) […]]. on attendrait \(\eta \in F(Z)\). Reprendre les conditions (nécessaires) sur \(F\). Celles […] : […] puis […] …

AQT abréviation non résolue, centrée sous le lemme.

Or sous les conditions préliminaires, prenant \(Z = X^{(x)}\), on voit que quand on se restreint au-dessus de \(S_a\), \(Z'_a \rightrightarrows Z_a\) est la relation d'équivalence triviale. Donc

40il en est de même de \(Z' | U \rightrightarrows Z | U\), où \(U\) est un voisinage ouvert convenable de \(a\). En d'autres termes, à condition de prendre \(X^{(x)}\) assez petit, on peut supposer que \((X^{(x)}, \eta^{(x)})\) est « presque modulaire » [Précision de la signification de ce terme : \(\eta_x : h_{X^{(x)}} \to F\) est une immersion ouverte]. Alors, une autre proposition « formelle » nous permet de recoller les \(X^{(x)}\) et de trouver un \((X, \xi)\) qui représente \(F\) (grâce à \(\underleftarrow{L}_2\)). « presque » est cerclé ; la précision entre crochets est ajoutée au-dessus de la ligne et reliée par une accolade.